排列与组合

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1．排列组合的意义与计算方法

2．排列组合三宝：捆绑法、插空法、挡板法

(★★☆)

8月26日晚上师资组刚到蜜桃仙谷，大家都很兴奋。王雨洁、夏川、杨秀情、谷运增、崔兆玉、刘丽娜、兰海等高年级的七位老师想站在一块儿合个影，这个时候争执出现了：

⑴雨洁觉得：7个人随便站成一排，她认为这样简单公平；

⑵夏川认为：7个人可以站成两排，前3后4，这样看起来比较美观；

⑶兰海固执：自己必须站在正中间，因为自己的脑瓜长的比别人更圆一些；

⑷兆玉发言：自己和丽娜站两端，“我们俩宽度一样，这样比较对称”

⑸秀情老师：“我和阿增不站两端，其余的随便排，快点，不要磨叽！”

(★★☆)

高年级组的7位老师继续照相，这次排队有了新的讲究：雨洁、夏川、丽娜三位美女老师强烈要求必须相邻，任谁劝都不听，这时候只见摄像师老段拿着一根绳子嘿嘿阴笑着就走过来了：我能很快解决你们这样一共有几种排队方式的问题。

(★★☆)

刚才的事儿影响了照相的进度。嘿，在这段时间里老杨和谷老师打起来了，还把谷老师的耳朵给咬了……海哥在劝架的过程由于处理不当和老杨、谷老师同时起了矛盾，3人带着情绪照相，强烈要求：互不相邻(秀情：下一步就是把海哥的鼻子给啃下来)，这样还有几种排队的方式？ 小升初计数重点考查内容————

排列组合

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(★★☆)

7个人照完相，集体已经讨论好晚饭的事儿了，大家一致决定从我们7人中推选出3个人来去买晚饭，其余人在这儿围着篝火唱个舞、跳个歌啊什么的。推选三个人去买饭，有几种选法？

(★★★☆)

饭终于买回来了，这时候海哥、老杨、兆玉买回来了20个桃子，只见海哥悄悄地说：咱们7人悄悄的分了，每人至少一个(假定桃子一模一样)到底有多少种分法呢？

1．由数字1，2，3，4，5可以组成 ______个没有重复数字的正整数？

2．(2010年10月西城区实验中学小升初试题)三个老师和五个学生排成一列照相，如果要求三个男同学不相邻，两个女同学必须相邻，而三个老师必须相邻，那么一共有______种不同的排法。

1、题型简介

排列组合问题在近年来各类公务员考试中出现较多。下面给出了解决排列组合问题的几个核心知识点，从真题来看，基础公式型、分类讨论型、分步计算型、重复剔除型、等价转化型这五种题型考查较多，同学们可以重点学习。

2、核心知识

（1）基础公式法

加法原理：

一件事情，有n类方法可以完成，并且每类方法又分别存在种不同方法，则完成这件事情共有种方法。

乘法原理：

一件事情，需要n个步骤完成，并且每步又分别存在种不同方法，则完成这件事情共有种方法。

排列基础公式：

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一列（与顺序有关），有种方法。

组合基础公式：

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组（与顺序无关），有 (其中m!=1×2×3×…×m)种方法。

（2）分类讨论法

根据题意分成若干类分别计算。

（3）分步计算法

根据题意，分步计算。

（4）捆绑插空法

相邻问题——捆绑法：先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列。

不相邻问题——插空法：先将剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入所成间隙中。

（5）错位排列法

错位排列问题：有n封信和n个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数计算Dn，则D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6=265…（请牢牢记住前六个数）。

（6）重复剔除法

A．平均分组问题 将mn个人平均分成m组，总共有种分配方法。

B．多人排成圈问题

N人排成一圈，有种排法。

C．物品串成圈问题

N个珍珠串成一条项链，有种串法。

（7）多人传球法

M个人传N次球，记，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。

（8）等量转换法

根据比赛规则，比赛问题主要分为淘汰赛和循环赛，每类比赛都有对应的解题方法。其中N为参加比赛的总人数或总的队数。一般都给你些已知条件，求比赛场次、比赛分数、比赛人数等。

排列组合公式/排列组合计算公式

2008—07—08 13：30

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个,不进行排列。

N-元素的总个数

R参与选择的元素个数

！—阶乘 ，如 9！＝9*8＊7*6*5*4＊3*2＊1

从N倒数r个,表达式应该为n＊(n-1)＊(n—2)。。(n-r+1）；

因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1）＝r

举例：

Q1: 有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数？

A1： 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴.

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997之类的组合， 我们可以这么看，百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9—1-1种可能,最终共有9*8＊7个三位数。计算公式＝P(3，9)＝9*8*7，(从9倒数3个的乘积）

Q2: 有从1到9共计9个号码球,请问，如果三个一组，代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”？

A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可.即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C（3,9)=9*8*7/3*2＊1

排列、组合的概念和公式典型例题分析

例1 设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？

解（1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有 种不同方法．

（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有 种不同方法．

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排列与组合

作者：谷荷莲

来源：《数学金刊·高考版》2015年第02期

排列、组合问题是高中数学的重要内容之一，是学习概率的基础. 纵观近几年高考试题，排列、组合问题每年必考，特别是与概率分布问题结合的题目在高考中占有相当的比重.

重点：理解排列、组合的概念；掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质；能解决简单的实际应用问题.

难点：排列、组合的综合应用，解题方法的灵活多变；元素异同、有序还是无序问题的区别，解答方法的选择依据；元素、位置容易混淆，元素位置如何的对应.

1. 识别元素是解决排列、组合计数问题的首要条件

一个问题给出后，什么是“元素”，要看成几个元素，元素中有没有相同的元素，要不要“分层次”“分集团”处理.

2. “元素”与“位置”的关系

大多计数问题都可以看做“元素”与“位置”的对应关系问题，题目中“元素”与“位置”要如何对应？比如：简单的组合问题就是只有一个位置，把所有的元素都放在一个位置，所以没有顺序；简单的排列问题就是元素个数与位置个数一样多，所以计数时“先取后排”.

3. “有序”与“无序”是排列与组合的重要特征

“有序”为排列问题，“无序”为组合问题. 对于有特殊元素（位置）的排列、组合问题，特殊元素（位置）可优先安排，也可采用间接法.

4. 解排列组合应用题的基本规律

（1）通过“元素”与“位置”的识别，将具体问题抽象为数学问题，先确定怎么使用分类计数原理与分步计数原理：①单独使用；②联合使用.

（2）再确定如何用排列模型或组合模型解决问题.

（3）对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：①元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素. ②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置. ③相同“元素”排列时注意利用除法“消序”. ④整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数. 龙源期刊网