一类非自治共振二阶系统周期解的存在性

非自治二阶哈密顿系统周期解的存在性石璐;安天庆【摘要】用最小作用原理和临界点理论研究了一类非自治二阶哈密顿系统周期解的存在性问题.首先假设F(t,x)=F1(t,x)+F2(t,x)满足假设(A),再使F1满足次凸条件,并且在[0,T]上的积分趋于无穷,运用最小作用原理,得到一个解的新的存在性结果.另外,将F1在[0,T]上的积分趋于无穷这一条件减弱为F1在[0,T]的一个正测度子集E 上的积分趋于无穷,运用最小作用原理,也能得到同样的结果.【期刊名称】《江南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(014)001【总页数】4页(P117-120)【关键词】次凸位势;周期解;临界点;最小作用原理【作者】石璐;安天庆【作者单位】河海大学理学院,江苏南京 210098;河海大学理学院,江苏南京210098【正文语种】中文【中图分类】O177考虑非自治二阶哈密顿系统周期解的存在性问题。

其中T＞0,且F:[0,T]× RN→R满足下述假设:(A)对每个x∈RN,F(t,x)关于t可测,对a.e.t∈[0,T],F(t,x)关于x连续可微,且存在a∈C[R+,R+],b∈L1([0,T];R+),使得很多学者已经用最小作用原理证明了问题(1)至少有一个解,且为φ在上的最小值。

文中受到文献[1-4]中结果与文献[5-7]中条件的激发,考虑了问题(1)中的次凸问题,同样通过运用最小作用原理,得到问题(1)的解的新结果。

文中假设F(t,x)=F1(t,x)+F2(t,x)满足假设(A)。

定理1 假设F1,F2满足假设(A),且(1)F1(t,·)是(λ,μ)次凸,且0＜(2)∃r∈L1(0,T;R+),α∈[0,2),且使得(3)则问题(1)至少有一个解,且为φ在(Ω)上的最小值。

注[2] 若对于λ,μ＞0,x,y∈RN,有称函数F:RN→R为(λ,μ)次凸。

定理2 假设F1,F2满足假设(A),且(1)F1(t,·)是(λ,μ)次凸,且0＜(2)∃r∈L1(0,T;R+),α∈[0,2),且使得(3)∃E⊂[0,T],且meas(E)＞0,使得并且∃γ∈L1(0,T),使得则问题(1)至少有一个解,且为φ在H1T(Ω)上的最小值。

第29卷第4期江苏理工学院学报JOURNAL OF JIANGSU UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVo l.29，No.4Aug.，20232023年8月在天体力学中，质点的运动规律可以表示为非线性微分方程组。

庞加莱在《天体力学新方法》中提出，诸多力学微分方程系统都可化成正规型微分方程系统，即Hamilton 系统。

Hamilton 系统作为一类重要的动力学系统，在力学、统计力学、天体力学、控制论等领域有着广泛的应用。

在动力学系统中，天体运行的位置坐标和速度经过一定时间都会回到原来的数值，因此周期解理论作为天体运行周期轨道的存在性和稳定性的理论，是非线性动力系统的主要研究对象。

寻找这类非线性微分方程的周期解主要有三种方法：定性方法、分析方法、数值方法。

本文对于Hamilton 系统周期解的研究主要运用分析方法中的变分法。

变分法起源于物理学的最速降线问题，这个物理问题最终由数学家运用极小化原理得到解决。

其一般原理为：在赋范空间X 中，设映射φ:X →R ，将求算子方程φ′(u )=0在X 上的解，归结为求φ的局部极小值或极大值。

用变分法解Hamilton 系统周期解的关键即：在某空间上定义相应泛函，从而使泛函的临界点与Hamilton 系统的周期解相对应。

本文运用变分方法中极小作用原理，考虑如下扰动的二阶Hamilton 系统：ìíîu (t )+Bu ()t =∇F (t,u (t ))a.e.t ∈[0,T ]u (0)-u (T )=u (0)-u (T )=0。

（1）系统中，B 是反对称矩阵，T >0，F :[0,T ]×R N →R 。

此非线性微分方程满足条件(A )：F ()t ,x 对∀x ∈R N 关于t 是可测的，对a.e.t ∈[0,T ]关于x 是连续可微的；∃a ∈C ()R +,R +，b ∈L 1()0,T ;R +使得对a.e.t ∈[0,T ]和∀x ∈R N 都有|F ()t,x |≤a ()|x |b ()t ，|∇F ()t ,x |≤a ()|x |b ()t 。

一类非线性系统周期解的存在性
本文旨在探讨一类非线性系统周期解的存在性。

非线性系统是由具有非线性特性的物理系统（如摩擦力），化学反应以及生物系统等构成的具有复杂动力学行为的物理系统。

由于其不可线性，因此它们具有解决复杂问题的特殊优势，且可以近似地模拟出实际问题的对应行为。

非线性系统具有周期解的存在性就是指：在某类非线性系统中，当其内部参数取一系列定义为特定值时，系统可能具有重复出现的解，这些解可以成为该系统的周期解。

这些周期的解可以提供巨大的优势，特别是在计算机模拟非线性系统过程中，对于系统的行为判定极其重要。

此外，为了确定一类非线性系统是否具有周期解，可以采用拉普拉斯变换来研究系统的稳定性。

拉普拉斯变换是用于描述非线性系统的稳定性的数学工具，通过计算拉普拉斯变换的幂级数可以检验该非线性系统内部参数是否具有周期性。

综上所述，从理论上讲，一类非线性系统具有周期解的存在性，可以使用拉普拉斯变换来判断其内部参数是否具有周期性，当参数为特定值时，非线性系统可能具有重复出现的解。

一类非线性系统具有周期解的存在性，可以提供更准确的模拟系统过程，并用于分析复杂问题的解决方案。

非自治p(t)-拉普拉斯系统周期解的存在性张申贵;慕嘉【摘要】In this paper, we investigate a class of non-autonomous p(t)-Laplacian system. By using saddle point theorem and the least action principle, some sufficient conditions for the existence of periodic solutions are obtained, which generalize and improve the resuls in [8].%本文研究一类非自治p(t)-Laplace系统.利用鞍点定理和极小作用原理,获得了周期解存在的充分条件,推广和改进了文献[8]中的结果.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2017(037)002【总页数】10页(P409-418)【关键词】周期解;p(t)-Laplace系统;临界点【作者】张申贵;慕嘉【作者单位】西北民族大学数学与计算机科学学院,甘肃兰州 730030;西北民族大学数学与计算机科学学院,甘肃兰州 730030【正文语种】中文【中图分类】O175.8;O176.3考虑二阶 Hamilton 系统(其中 T ＞ 0,设 F:满足如下假设(A) 对每个关于 t 可测;对几乎所有的关于 x 连续可微,且存在使得对所有的和成立.Mawhin 和 Willem 在文 [1]在非线性项有界,即存在使得对所有和成立时,得到了系统 (1.1) 周期解的存在性定理.文 [2]假设非线性项是次线性增长的,即存在使得对所有和成立.在具有线性增长非线性项,即存在f,g ∈ L1(0,T;R+),使得对所有x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T]成立时,文 [3]中得到以下定理.定理A[3]设 F 满足 (1.2) 式, 且若则系统 (1.1) 在 Sobolev 空间 HT1中至少有一个周期解.文 [4]将定理 A 中的强制性条件改进为下方有界的情形当非线性项▽F(t,x) 线性增长时, 文 [5–7]中分别在具有部分周期位势, 脉冲作用项, 单调性条件下得到了二阶 Hamilton 系统周期解的存在性定理.设存在常数 M0＞ 0,M1＞ 0,M2＞ 0 和非负函数ω ∈ C([0,∞),[0,∞)), 使得受到文 [8]和 [9]的启发, 我们考虑用控制函数ω(|x|) 替换线性增长条件 (1.2) 中的|x|,并将上述结果推广到非自治 p(t)- 拉普拉斯系统其中p(t) ∈ C([0,T],R+),p(t)=p(t+T),且临界点理论是研究微分方程和差分方程边值问题可解性的有效方法, 如文 [10–12]. 非自治 p(t)- 拉普拉斯系统来自于非线性弹性问题和流体力学,该系统刻画了“逐点异性”的物理现象.近年来,临界点理论已用于研究非自治 p(t)- 拉普拉斯系统周期解的存在性,参见文[13–21].记p(t) ∈ C([0,T],R+), 定义当p−＞ 1 时,空间 W1,p(t)T 是自反的 Banach 空间,其范数为记则引理2.1,存在常数有其中引理2.2有引理2.3[16]在 Sobolev 空间 W1,p(t)T 上定义泛函ϕ如下:则u ∈ WT1,p(t)是问题 (1.3) 的周期解当且仅当 u 是泛函ϕ的临界点, 且ϕ连续可微,定义1设 X 为 Banach 空间, 若泛函ϕ∈ C1(X,R) 满足: 对任何点列 {un} ⊂ X, 由{ϕ(un)} 有界,ϕ′(un) → 0 蕴含 {un} 有收敛子列, 则称泛函ϕ满足 (PS) 条件.引理2.4[1](极小作用原理) 若泛函ϕ:X → R 弱下半连续, 且ϕ在自反的Banach 空间 X 中强制,即当‖u‖ → ∞ 时,有ϕ(u) → +∞,则泛函ϕ在空间 X 中有极小值.引理2.5[1](鞍点定理) 设 E 是 Hilbert 空间,E=E1⊕ E2, 其中 E2/={0} 是有限维子空间. 若ϕ∈ C1(X,R) 满足 (PS) 条件和以下两个条件(i) 存在e ∈ Bρ∩ E2和常数ω ＞σ, 使得ϕ|e+E1≥ ω; (ii) 存在常数σ 和ρ, 使得ϕ|∂Bρ∩E2≤ σ,则ϕ有临界值c≥ω且其中;id 表示恒等算子;Bρ是 E 中以 0 为中心半径为 r 的开球;∂Bρ表示Bρ的边界. 定理3.1设ω ∈ C([0,∞),[0,∞)),满足(ω1)–(ω4). 设存在f,g ∈ L1(0,T;R+), 使得对所有x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T]成立,且则问题 (1.3) 在 Sobolev 空间 WT1 ,p(t)中至少有一个周期解.注定理 3.1 推广与改进了定理 A 和文献 [8]中定理 1.5. 首先, 定理 3.1 中将对应结果推广到了非自治 p(t)- 拉普拉斯系统;另一方面,易见式 (3.2) 中极限是下方有界的. 取p(t)≡ 2,则p−=p+=2,令其中β(t) ∈ L1(0,T;R+), 则 F 满足定理 3.1 的条件,但不满足定理 A 和文 [8]中定理 1.5.证由条件(ω1)–(ω3), 式 (3.1),(2.1),有利用 Young 不等式及,有由式 (3.4) 和 (3.5) 式,有Z由引理 1.2, 由式 (3.2) 和(ω4), 并注意到时. 注意到当p−＞ 1 时, 空间 WT1 ,p(t)是自反的 Banach空间, 泛函ϕ弱下半连续[20], 由极小作用原理可知, 泛函ϕ至少有一个临界点, 从而得到问题 (1.3) 至少有一个周期解.定理3.2设非负函数ω 满足F 满足 (3.1) 和 (3.3) 式,且其中则问题 (1.3) 在 Sobolev 空间 WT1 ,p(t)中至少有一个周期解.注取,则,令则 F 满足定理 3.2 中的条件,但不满足文 [13–21]中定理.Z证我们将利用鞍点定理来证明定理 3.2,设第1步证明泛函ϕ满足 (PS) 条件, 即任何点列, 由有界,可推得 {un} 有收敛子列. 首先证明有界.类似于 (3.4) 式的证明,有由式 (3.5),(3.8),有另一方面, 由式 (2.1),可得由式 (3.9),(3.10), 有其中. 由式 (3.9),有由式 (3.4),(3.5),(3.12),有其中 K 为式 (3.7) 中定义的正常数. 反设在 WT1,p(t)中无界,当由引理 2.2,当当n → ∞ 时,, 有ω(|u¯n|) → +∞. 由式 (3.6),(3.13), 并注意到p−＞ 1,当n → ∞ 时,当n→ ∞ 时, 式 (3.12), 有ω(|u¯n|) → +∞. 由式 (3.6),(3.13),并注意到p−＞ 1,当n → ∞ 时,ϕ(un) → −∞.这与有界矛盾! 故 {un} 在 WT1 ,p(t)中有界. 注意到当 p−＞ 1 时,WT1,p(t)紧嵌入C([0,T];RN) 和 WT1 ,p(t)的一致凸性, 类似于文献 [19]中定理 3.2 的证明,{un} 在 WT1,p(t)中有收敛子列,故泛函ϕ满足 (PS)条件.第2步取我们证明鞍点定理的环绕条件成立. 对u ∈ E1, 类似于 (3.4) 式的证明,有由式 (3.14),有对,由引理由 (3.3) 式知故当时, 有成立. 显然存在常数η,使得ϕ(u)≥ η.另一方面,对,由式 (3.6),∀ε＞ 0,当充分大时,有令ε充分小, 当时,, 则因此存在正常数ρ, 使得【相关文献】[1]Mawhin J,Willem M.Criticalpoint theory and Hamiltonian systems[M].NewYork:Springer Verlag, 1989.[2]Tang C L.Periodic solutions ofnon-autonomous second order systems with sublinear nonlinearity[J]. Proc.Amer.Math.Soc.,1998,126(11):3263–3270.[3]Zhao F K,Wu X.Existence of periodic solutions for nonautonmous second order systems with linear nonlinearity[J].Nonl.Anal.,2005,60(7):325–335.[4]Tang X H,Meng Q.Solutions of a second-order Hamiltonian system with periodic boundary conditions[J].Nonl.Anal.,2010,11:3722–3733.[5] 张申贵. 一类非自治二阶系统的多重周期解 [J]. 山东大学学报 (理学版),2011,46(11):64–69.[6]Chen P,Tang X H.Existence of solutions for a class of second-order p-Laplacian systems with impulsive eff ects[J].Appl.Math.,2014,59(5):543–570.[7] 吴越, 安天庆. 一类非自治二阶哈密顿系统的周期解 [J]. 吉林大学学报 (理学版),2013,51(1):57–63.[8]Wang Z Y,Zhang J H.Periodic solutions of a class of second order non-autonomous Hamiltonian systems[J].Nonl.Anal.,2010,72(12):4480–4487.[9]Zhang Q F,Tang X H.Periodic solutions for second ordersystems[J].Appl.Math.,2012,41(5), 303–310.[10] 彭艳芳.R3中一类 Kirchhoff 型方程变号解的存在性及集中性 [J]. 数学杂志,2015,35(1):75–84.[11] 敖恩, 张国伟. 关于二阶半线性椭圆方程的 Dirichlet 边值问题一个注记 [J]. 数学杂志,2014,34(1): 37–42.[12] 张克玉, 徐家发. 一类二阶差分方程边值问题解的存在性 [J]. 数学杂志,2014,34(5):857–862.[13]Ge B,Xue X P,ZHOU Q M.Existence of periodic solutions for a diff erential inclusion systems involving the p(t)-Laplacian[J].Acta Math.Sci.,2011,31B(5):1786–1802.[14]Fan X L.A Knobloch-type result for p(t)-Laplaciansystems[J].J.Math.Anal.Appl.,2003,282(3): 453–464.[15]Zhang L,Tang X H,Chen J.Infinitely many periodic solutions for some second-order diff erential systems with p(t)-Laplacian[J].Boundary Value Problems,2011,33(2):1–15.[16]Wang X J,Yuan R.Existence of periodic solutions for p(t)-Laplaciansystems[J].Nonl.Anal.,2009, 70(1):866–880.[17] 张申贵. 一类超线性 p(t)-Laplacian 系统的无穷多周期解 [J]. 吉林大学学报 (理学版),2014,52(1): 34–38.[18]Zhang L,Tang X H.Existence and multiplicity ofperiodic solutions for some second order diff erential systems with p(t)-Laplacian[J].Math.Slovaca,2013,63(6):1269–1290. [19]Zhang L,Tang X H.Subharmonic solutions for some nonautonomous Hamiltonian systems with p(t)-Laplacian[J].Bull.Belg.Math.Soc.(2),2011,18(2):385–400.[20]Zhang L,Chen Y.Existence of periodic solutions of p(t)-Laplaciansystems[J].Bull.Malays.Math. Sci.Soc.(2),2012,35(1):25–38.[21]Chen P,Tang X H,Agarwal R.Existence of homoclinic solutions for p(n)-Laplacian Hamiltonian systems on orlicz sequence space[J]put.Model.,2012,55(3):989–1002.。