自治系统零解的稳定性分析

关于零解稳定和一致稳定的几个判定定理对于系统稳定性的判定，控制学家们提出了很多系统稳定与否的判定定理。

这些定理都是基于系统的数学模型，根据数学模型的形式，经过一定的计算就能够得出稳定与否的结论，其中，主要的判定方法有：劳斯判据、赫尔维茨判据、李亚谱若夫三个定理。

这些稳定性的判别方法分别适合于不同的数学模型，前两者主要是通过判断系统的特征值是否小于零来判定系统是否稳定，后者主要是通过考察系统能量是否衰减来判定稳定性。

具体到使用方法及形式上，可分为下列三种具体的判定方法：从闭环系统的零、极点来看，只要闭环系统的特征方程的根都分布在s平面的左半平面，系统就是稳定的。

1、劳斯判据：判定多项式方程在S平面的右半平面是否存在根的充要判据。

——特征方程具有正实部根的数目与劳斯表第一列中符号变化的次数相同。

2、奈奎斯特判据：利用开环频率的几何特性来判断闭环系统的稳定性和稳定性程度，更便于分析开环参数和结构变化对闭环系统瞬态性能影响。

——利用幅角原理——Z、P分别为右半平面闭环、开环极点，要想闭环系统稳定，则Z=P+N=0，其中N为开环频率特性曲线GH（jw)顺时针绕（-1，j0)的圈数。

3、波特图：幅值裕度——系统开环频率特性相位为-180时（穿越频率），其幅值倒数K，意义为闭环稳定系统，如果系统的开环传递系数再增大K 倍，系统临界稳定。

相位裕度——系统开环频率特性的幅值为1时（截止频率），其相位与180之和。

意义为：闭环稳定系统，如果系统开环频率特性再滞后r，系统进入临界稳定。

低频段——稳态误差有关。

L(w)在低频段常见频率为[-20]、[-40],也就是一阶或二阶无差（v=1/v=2)中频段——截止频率附近的频段，与系统的瞬态性能有关。

为了具有合适的相位裕度（30~60），L（w)在中频段穿过0分贝线的斜率应为[-20]，并且具有足够的宽度。

高频段——抗高频干扰能力。

高频段闭环频率特性近似于开环频率特性，高频段幅值分贝越小，则抑制高频信号衰落的作用越大，抗高频干扰越强。

毕业论文--平面自治系统的平衡点及其稳定性分析本科生毕业设计（论文）平面自治系统的平衡点及其稳定性分析二级学院 ：专 业 ：年 级 ：学 号 ：作者姓名 ：指导教师 ：完成日期 ： 2013年5月5日○ A 基础理论 ● B 应用研究 ○ C 调平面自治系统的平衡点及其稳定性分析论文答辩小组组长：成员：论文成绩：目录1 引言 (1)2 预备知识 (2)2.1基本概念及基本定理 (2)2.1.1基本概念 (2)2.1.2 基本定理 (3)3 平面自治系统的平衡点及其稳定性分析 (4)3.1线性系统的平衡点及其稳定性 (4)3.1.1 A有同号相异实根 (4)3.1.2 A有异号实根 (6)3.1.3 A有重实根 (6)3.1.4 A有一对共轭复根 (8)3.2 非线性系统的平衡点及其稳定性 (10)4 结束语 (11)参考文献 (12)平面自治系统的平衡点及其稳定性分析摘要：本文主要探讨了平面自治系统的平衡点及其稳定性，并将其用数学软Maple形象地描绘出来.关键词：平面自治系统；平衡点；稳定性The equilibrium point and its stability of the plane autonomoussystemAbstract:This article mainly discusses the equilibrium point and its stability of the plane autonomous system, and applies mathematical software by Maple to describe vividly.Keywords: the plane autonomous system; equilibrium point; stability1 引言20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,在自然科学（如物理、化学、生物、天文）和社会科学（如工程、经济、军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述,尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程,分析它的变化规律,预测它的未来形态时,要建立对象的动态模型,通常要用到微分方程模型,而稳定性模型的对象仍是动态过程,而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定.因此,用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性,对稳定性模型的研究起着很重要的作用.微分方程的稳定性理论将平衡点（奇点）分为结点（临界结点或星形结点、两向结点或正常结点、单向结点）、鞍点、焦点、中心等类型.奇点是平面自治系统的一类特殊的轨线，一般来说,奇点及其附近的轨线的性态是比较复杂的,熟练掌握平面自治系统奇点类型对于研究系统的相图有重要的意义.本文将探讨平面自治系统的平衡点及其稳定性,并结合Maple 软件分析其相图.2 预备知识2.1基本概念及基本定理2.1.1基本概念定义1右端不显含自变量t 的微分方程组 ()(),,dx dt dy dtf x yg x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (1)是二阶自治方程(系统).定义2 代数方程组()(),0,0f x y g x y ⎧⎪⎨⎪⎩== 的实根00,x x y y ==组成的点()000,P x y 称为二阶自治方程(1)的平衡点或奇点.注 二维常系数线性自治系统的一般形式为 dx ax by dt dy cx dy dt⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (2) 它的系数矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征方程是()()20ab a d ad bc cd λλλλ--=-++-=--(3) 将特征方程改写为20p q λλ-+=，其中(),p a d q ad bc =-+=-.当A 非奇异时,系统(2)有惟一奇点()0,0O ,称为初等奇点.方程(3)的根即为矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征根. 关于非线性系统()(),,dx ax by x y dt dy cx dy x y dtϕψ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ (4)的奇点与线性系统(2)的奇点有很大关系.2.1.2 基本定理定理1 (Perron 第一定理) 设系统(4)中的()(),,x y x y ϕψ与满足条件：()()0,0i O 在奇点的邻域内有连续的一阶偏导数；()()()()()22,,,,ii x y O r x y O r r x y ϕψ===+则如果()0,0O 是对应线性系统(2)的焦点、结点或鞍点,那么()0,0O 也是非线性系统(4)的同类型奇点,且具有相同的稳定性.定理 2 (Perron 第二定理) 如果定理1中的条件()i 保持不变,而将条件()()()()()()11,,,0,0ii x y O r x y O r O εεϕψε++==加强为，其中为任意小的正数，当()()为对应线性系统2的临界或退化结点时,它也必是非线性系统4的同类型奇点，且具有相同的稳定性.对于一般的非线性系统(1),可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性,而对于任意高阶的方程都可以化为一阶方程组来处理.系统(1)的线性近似系统为(2),即dx ax by dt dy cx dy dt⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 假设0ad bc -≠,即奇点()0,0O 为初等奇点(又称为一次奇点).先讨论线性系统(2)的平衡点的定性性质.由线性方程组理论知系统(2)的通解完全由它的系数矩阵A 的若尔当标准形确定.设A 的实若尔当标准形为J,则存在非奇异实矩阵P,使1P AP J -=.从而可利用非奇异线性坐标变换,将系统(2)化为线性系统 1d PAP dt μμυυ-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注意到系统(2)与系统(5)可以相互转化，因此只要把(5)式的轨线性质搞清楚了系统(2)的轨线性质也就清楚了.1P AP J -=是下面三种形式之一：00λμ⎛⎫ ⎪⎝⎭，01λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，αββα⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 其中,,,,,.λμαβλμβ为实数，均非零这里第一、二种形式对应于矩阵A 仅有实特征根的情形,第三种形式相应于矩阵A 具有一对共轭复根1,2i λαβ=±的情形.用A 表示(2)式右端的系数矩阵.首先考虑矩阵A 非退化的情形，即det 0A ≠,这时A 在复数域有两个非零特征根12,λλ（12=,λλλμ=这里令）.下面根据特征根的不同情形来研究系统(5)的平衡点.3 平面自治系统的平衡点及其稳定性分析3.1线性系统的平衡点及其稳定性3.1.1 A 有同号相异实根此时，λμ≠都是实数且0λμ>.①()0,00,0,0,0,0q p O λμ<<∆>>>或为稳定的两向结点.(5)②()0,00,0,0,0,0q p O λμ>>∆>><或为不稳定的两向结点.例1 考虑如下的平面线性系统 3,2.du u dt dw u w dt⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (6)解 首先计算系数矩阵A 的特征根.系统(6)的系数矩阵为3021A ⎛⎫= ⎪⎝⎭.从而特征根为121,3λλ==,是一对同号相异的正实根.因此,原点()0,0O 作为系统(6)的平衡点是一个不稳定的两向结点.为了画出相图,我们需要找出平衡点()0,0O 的两个特殊方向.为此先求出A 的特征向量.()1110=10=1A I λξξ⎛⎫-= ⎪⎝⎭当时，由得，特征向量；()2221=330=1A I λξξ⎛⎫-= ⎪⎝⎭当时，由得，特征向量.这样,我们相应绘出两条直线12l l 和,它们上面的轨道都是继续沿着它们且背离原点O .因为12λλ<,因此除了2l 上的轨道外,所有轨道的曲线都与1l 相切于O 点,从而直线12l l 和分别给出了平衡点()0,0O 的两个特殊方向.由此可以画出系统(6)的相图,见图1.图13.1.2 A有异号实根此时，λμ≠都是实数且0λμ<.①0,0λμ<>或0,0q∆><,()0,0O为鞍点.②0,0λμ><或0,0q∆><,()0,0O为鞍点.例2 作出系统2323duu wdtdwu wdt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩在()0,0O点附近的相图.解系统(7)的系数矩阵A为2323A⎛⎫= ⎪-⎝⎭.由()()det()340A Iλλλ-=-+=,解得特征根124,3λλ=-=,是一对异号实根.因此原点()0,0O作为系统(7)的平衡点是鞍点.其相图见图2.图23.1.3 A有重实根此时,λμ=.①0λ<或0,0p q>>,()0,0O为稳定临界结点或退化结点.②0λ>或0,0p q<>,()0,0O为不稳定临界结点或退化结点.例3 考虑如下的平面线性系统(7),3.duu wdtdwu wdt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(8)解系统(8)的系数矩阵A为1113A--⎛⎫= ⎪-⎝⎭.由()2det()20A Iλλ-=+=,解得特征根122λλ==-,相同的实根.因此平衡点O 或者是稳定的星形结点或者是稳定的单向结点.它们之间的区别在于平衡点()0,0O有多少个特殊方向,无穷个对应于前者,唯一一个对应于后者.进一步判断,我们同样先求出A的特征向量,由1(2)0A Iξ+=解得特征向量111ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭.显然，总共能解出的线性无关的特征向量组有且只有一个向量组成.因此O是稳定的单向结点.沿特征向量111ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭绘出一条直线1l,它上面的轨道继续沿着它指向原点O,其余所有轨道的曲线都与1l相切于O点,见图3.图3例4 研究下面系统,.duudtdwwdt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解系统(9)的系数矩阵A为1001A⎛⎫= ⎪⎝⎭.(9)由()2det()10A Iλλ-=-=,解得特征根121λλ==,是相同的实根.因此原点()0,0O作为系统(9)的平衡点是星形结点(或临界结点).其相图见图4.图43.1.4 A有一对共轭复根此时,1,2iλαβ=±而且0β≠.①()00,0,0.p O<>实部或为稳定焦点②()0000.p O><实部或，，为不稳定焦点③()=000,0.p O=实部或，为中心例5 研究下面系统的奇点,并在奇点邻域内画出积分曲线族图像：3,65.duu wdtdwu wdt⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩.解系统(10)的系数矩阵A为1365A⎛⎫= ⎪--⎝⎭.由()()det()15180A Iλλλ-=---+=,解得特征根1,223iλ=-±,是一对共轭复根且()1,2Re0λ<.因此原点()0,0O作为系统(10)的平衡点是稳定的焦点,见图5.为的方向,在点()1,0作了确定积分曲线(螺线)(10)出速度向量1,6x y==-.图5例6 研究下面系统的奇点，并在奇点邻域内画出积分曲线族图像：25,22.duu wdtdwu wdt⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解系统(11)的系数矩阵A为25=22A--⎛⎫⎪⎝⎭.由()()det()22100A Iλλλ-=---+=,解得特征根1,26λ=±因此,奇点是中心.沿轨线运动的方向由向量()()()0,1,0,15,2x y⎛⎫=-⎪⎝⎭确定,见图6.图6(11)3.2 非线性系统的平衡点及其稳定性对于非线性系统,先将其线性化,得到该非线性系统的线性近似系统,再根据线性系统的平衡点及其稳定性的判断方法, 并结合Perron 第一定理和Perron 第二定理就可以判断出其线性近似系统的平衡点及其稳定性与该非线性系统的平衡点及其稳定性一致.例7 讨论非线性系统的奇点O(0,0)的类型.()()22222dx x y x x y dt dy x y y x y dt⎧=---+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩(12)解 将系统(12)写成 ()()2,,dxx y x y dtdy x y x y dtϕψ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩其中()()()()2222,,,x y x x y x y y x y ϕψ=-+=+.(12)的线性近似系统为：2dxx y dt dy x y dt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(13)()()3,3,3,0,0p q O ==∆=-对于系统13，易知惟一奇点是系统（13）的稳定焦点.()(),,,x y x y ϕψ又满足定理1,所以奇点()00O ，也是原非线性系统(12)的稳定焦点.例8 讨论非线性系统的奇点的类型.2222dx y x y dtdy x x y dt⎧=--+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(14)解 系统(14)的线性近似系统为dxy dtdy x dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(15)易知,奇点()0,0O 是系统(15)的中心,但根据已知定理1和定理2无法判断其是否为系统(2)的中心.作极坐标变换,令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，代入 系统(14)可得到21dr r dtd dtθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而解得()()1,010r t t r θθ==++，可见+,0.t r θ→+∞→∞→当时，容易得出奇点()0,0O 是原系统(14)的稳定焦点.4 结束语对于一般形式的线性方程组(2),可先由系数矩阵A 的特征根迅速判断出平衡点的类型和稳定性,然后利用平面线性系统平衡点的下面两个性质作出相图.首先注意到当t t →+∞→-∞或时,某些轨道将沿某一确定的方向称为(平衡点的特殊方向)趋向于平衡点,特别地,两向结点和鞍点有两个特殊方向,单向结点有一个特殊方向,星形结点有无穷个特殊方向,焦点和中心没有特殊方向;并且当某条直线给出平衡点的特殊方向时,它被平衡点分割的两条射线都是系统的轨道,这些性质在放射变换下保持不变.其次平面线性系统(2)在相平面上给出的方向场关于平衡点()0,0对称，即若()()(),,,P x y Q x y 为系统在点(),x y 给出的方向,则()()(),,,P x y Q x y --为系统在点(),x y --给出的方向.通过探讨平面自治系统的平衡点及其稳定性,并结合图像对其进行分析,对平衡状态的稳定性及稳定性模型的研究起着非常重要的作用.参考文献[1]张伟年,杜正东,徐冰编.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006:179-190. 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