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李雅普诺夫方法分析控制系统稳定性0306

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现代控制理论 6-4 应用李雅普诺夫方法分析线性定常系统稳定性

现代控制理论 6-4 应用李雅普诺夫方法分析线性定常系统稳定性
9
线性定常离散系统 x(k + 1) = Φx(k ) x(0 ) = x 0
Φ ≠ 0 原点是唯一的平衡状态。
选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数：
c
V (x(k )) = xT (k )Px(k )
e a e a
令 Φ T PΦ − P = −Q
ΔV (x(k )) = − xT (k )Qx(k )
e a
1 0⎤ −2 1 ⎥ ⎥ 0 − 1⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡0 0 0 ⎤ Q = ⎢0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ⎦ ⎣
A T P + PA = −Q
t
y c
7
c
⎡0 0 − k ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎥ ⎢1 − 2 0 ⎥ ⎢ p ⎥ ⎢ 12 p22 p23 ⎥ + ⎢ ⎢0 1 − 1 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎣ 1 0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢p ⎢ 12 p22 p23 ⎥ ⎢ 0 − 2 1 ⎥ = ⎢0 0 0 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎢− k 0 − 1⎥ ⎢0 0 − 1⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎣
e a e a
A T P + PA = −Q
⎧ p13 = 0 ⎪ ⇒ ⎨ p11 − 2 p12 − kp23 = 0 ⎪ p − p − kp = 0 13 33 ⎩ 12
(1) (2) (3)
⎧ 2( p12 − 2 p22 ) = 0 ⎪ ⎨ p13 − 3 p23 + p22 = 0 ⎪2( p − p ) = −1 33 ⎩ 23
T T = [Φx(k )] P[Φx(k )] − x (k )Px (k )

第5章李雅普诺夫稳定性分析

第5章李雅普诺夫稳定性分析
3
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷

控制系统的李雅普诺夫稳定性分析

控制系统的李雅普诺夫稳定性分析

8.3控制系统的李雅普诺夫稳定性分析稳定性描述系统受到外界干扰，平衡工作状态被破坏后，系统偏差调节过程的收敛性。

它是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。

经典控制理论用代数判据、奈氏判据、对数频率判据、特征根判据来判断线性定常系统的稳定性，用相平面法来判断二阶非线性系统的稳定性，这些稳定性判据无法满足以多变量、非线性、时变为特征的现代控制系统对稳定性分析的要求。

1892年，俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描述的稳定性理论，提出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一方法（称为间接法）和利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数借以判断稳定性的第二方法（称为直接法）。

李雅普诺夫提出的这一理论是确定系统稳定性的更一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统，它有效地解决过一些用其他方法未能解决的非线性微分方程的稳定性问题，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。

8.3.1 李雅普诺夫稳定性概念忽略输入后，非线性时变系统的状态方程为（8-70） (,)t =&xf x 式中 x —n 维状态向量；T —时间变量；(,)t f x —n 维函数，其展开式为12(,,,,)i i n xf x x x t =&L （n i ,,1L =） 假定方程的解为 ，x 0和t 0 分别为初始状态向量和初始时刻，。

00(;,)t t x x 0000(;,)t t =x x x 1.平衡状态 如果对于所有t ，满足(,)e e t =&xf x =0 （8-71） 的状态x e 称为平衡状态（又称为平衡点）。

平衡状态的各分量不再随时间变化。

若已知状态方程，令 所求得的解x ，便是平衡状态。

0=&x对于线性定常系统，其平衡状态满足=&xAx 0e =Ax ，如果矩阵A 非奇异，系统只有唯一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。

稳定性与李雅谱诺夫方法

稳定性与李雅谱诺夫方法

（3）
成立，则称 为系统的平衡状态。 对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的。
1.2
稳定性的几个定义
，有：
若用 那么
表示状态矢量
与平衡状态
的距离，用点集
表示以
为中心 为半径的超球体，
（4）
在n维状态空间中，有：
（5）
当 很小时，则称 为 的邻域。因此，若有 位于球 ， 则意味着 域 内，便有： 同 理，若方程式(1)的解
为矩阵微分方程式的初始条件。
当选取正定矩阵
时，可由函
计算出
；再根据
是否具有连续、
对称、正定性来判别线性时变系统的稳定性。
证明
设李雅普诺夫函数取为：
式中，
为连续的正定对称矩阵。取V（x,t）对时间的全导数，得：
即 （5） 式中
由稳定性判据可知，当 一个正定对称矩阵，则 定的。
为正定对称矩阵时，若
也是
判别其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。
4
4.1
李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
线性定常连续系统渐近稳定判据
设线性定常连续系统为：
则平衡状态 证明书171页
为大范围渐阵A所有特征根均具有负实部等价于存在正定实对称矩阵P，使得ATP+PA<0
定理：线性连续定常系统
其平衡态xe=0大范围渐近稳定的充要条件为：任意给定正定实对称矩阵Q，若存在正定实对称矩阵P， 满足 则可取
Ax x
AT P PA Q
V ( x) xT Px
为系统的李雅谱诺夫函数。
运用时应注意： 1. 先选Q>0，之后代入李雅谱诺夫方程求取P，然后判定P的正定性，进而得出系统稳定与否的结论； 2. 通常选Q=I；

李雅普诺夫稳定性

李雅普诺夫稳定性

x bx5
这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。
李雅普诺夫理论基础
例：证明下面单摆的平衡状态 ( , 0) 是不稳定的。
MR2 b MgR sin 0
式中 R 为单摆长度，M 为单摆质量， b 为铰链的摩擦系数，
g 是重力常数。(系统的平衡点是什么？)
在 的邻域内
sin sin cos ( ) h.o.t. ( ) h.o.t. 设 ~ ，那么系统在平衡点附近的线性化结果是
以速度 1 指数收敛于 x 0 。
例2：系统 x x2 , x(0) 1它的解为 x 1/(1 t)，是个慢于任 何指数函数 et ( 0) 的函数。
3、局部与全部稳定性
定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能 保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的， 也称为全局渐近（或指数）稳定的。
李雅普诺夫理论基础
§2.2 线性化和局部稳定性
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。
Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基
本上是合理的。
对于自治非线性系统 x f (x) ，如果 f (x) 是连续可微的,那
么系统的动态特性可以写成( f (0) 0 )：
x
f x
李雅普诺夫理论基础
第二章 Lyapunov理论基础
稳定性是控制系统关心的首要问题。
稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某 处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动， 那么就把该系统描述为稳定的。
例如：单摆，飞行器 李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892
年首次发表。 1. 线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非

第五章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析汇总

第五章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析汇总
则状态方程的解为： x(t ) e At x(0) ( R1e1t ... Rnent ) x(0)
Re(i ) 0, (i 1, 2,..., n) lim x(t ) 0, 系统渐近稳定。
t
如果只有一个（或一对）特征值的实部等于0，其余特征值实 部均小于0，则系统仅仅可能是李亚普诺夫意义下的稳定性。
线性定常系统的特征值判据： 系统 x Ax 渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实 部，即：Re( i ) 0 (i 1,2,, n) 证明：假定A有相异特征值 1 ,..., n 根据凯莱哈密顿定理：矩阵指数eAt为 e1t ,..., ent的线性组合
e At R1e1t ... Rn ent
x xe ( x1 xe1 ) 2 ... ( xn xen ) 2
2
2
2
由范数的定义可知，向量 ( x xe ) 的范数可写成
通常又将 x xe 称为 围之内时，则记为
x 与 xe 的距离。当向量 ( x xe ) 的范数限定在某一范
x xe
0
xe
与经典控制理论的区别： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 平衡点/BIBO； 状态稳定/输出稳定； 经典控制的稳定大致对应于现代控制的渐进稳定； 即便输出稳定，状态可能不稳定； 李雅普诺夫意义下的稳定在经典中是不稳定的； 经典控制不需要一致性、全局性概念。
5.2 李雅普诺夫稳定性理论 一、李雅普诺夫第一方法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用状态方程解的性质来 判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系 统以及线性时变系统和非线性系统可以线性化的情况。
意义：当系统运动到xe点时，系统状态各分量将维持平衡， 不再随时间变化。 平衡点：由系统状态在状态空间中所确定的点 求法：1、线性定常系统

系统稳定性及其李雅普诺夫稳定

第四章系统稳定性及其李雅普诺夫稳定4－1 稳定性一般概念对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地发挥作用的。

从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会回到原来的平衡位置。

系统的稳定一般有外部稳定和内部稳定两种。

外部稳定又称作输出稳定，也就是当系统在干扰取消后，在一定时间内，其输出会恢复到原来的稳态输出。

输出稳定有时描述为系统的BIBO稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。

系统内部稳定主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响。

当扰动信号取消后，系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。

在经典控制论中，研究对象都是用高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO）系统，反映的仅是输入输出的关系，不会涉及系统内部的状态。

因此经典控制论中只讨论系统的输出稳定问题。

系统的稳定性是系统本身的特性，与系统的外部输入（控制）无关。

在经典控制论中，我们通过研究线性定常系统的特征根的情况来判断系统的输出稳定性：如果系统的特征根都有负的实部（即都在复平面的左部），则系统输出稳定。

对于n阶线性连续系统，其特征方程为：…………………………（4－1）当n≥4时，要求出其所有特征根是非常困难的，从而要想通过解出高阶系统的特征根来判别系统稳定性也是不现实的。

所以1877年劳斯（Routh）和1895年霍尔维茨（Hurwitz）分别提出了有名的劳斯－霍尔维茨稳定判据，它可以通过线性定常系统特征方程的系数的简单代数运算来判别系统输出稳定性，而不必求出各个特征根。

有关Routh-Hurwitz判据的详细内容请参阅有关经典控制论教材。

当系统不是线性定常系统时，或者对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好解决了，这就需要下面介绍的李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性的理论。

控制系统李雅普诺夫稳定性分析

本文详细阐述了控制系统李雅普诺夫稳定性的基本概念和理论。首先，引入了平衡状态以及稳定、渐近稳定、大范围稳定、不稳定的定义，为后续分析奠定基础。接着，详细介绍了李雅普诺夫第一法，包括线性系统和非线性系统的稳定判据，该方法通过求解特征方程的特征值来判断系统的稳定性。此外，还重点介绍了李性，适用于线性、非线性、定常或时变系统，具有更广泛的适用性。特别是对于难以求解的状态方程，李雅普诺夫第二法提供了有效的稳定性分析手段。在介绍完理论后，本文还针对线性系统进行了李雅普诺夫稳定性分析，展示了李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用。最后，强调了稳定性分析在自动控制系统设计中的重要性，以及李雅普诺夫理论在稳定性分析领域的突出贡献。

控制系统的李雅普诺夫稳定性分析教材

稳定性是一个自动控制系统正常工作的首要、必 要条件，是一个重要特征。
要求：
在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破， 但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态， 或者趋于另一平衡状态继续工作。
4
引言
俄国学者李雅普诺夫 Lyapunov （1857－1918）
1892年在博士论文中提出稳定性 理论 ----不仅适用于单变量线性系统， 还适用于多变量、非线性、时变 系统，是确定系统稳定性的更一 般性理论。 1907（15年后）出版了法文版 1992（100年后）出版了英文版 当今任何一本控制期刊都有李雅 普诺夫的名字。
表示始于初态x0的一个运 动或一条状态轨迹 只需考虑自治系统（因为 稳定性是系统在自由运动 下的特性）：
2、初态： x f ( x, t ) 的解为 x(t , x0 , t0 )
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
8
3、平衡状态
对系统
f ( x, t ) x
n维状态 向量
xt; x0 , t0 xe
f x, t由初态 表明齐次方程 x 扰动所引起的自由响应是有界的

x或短暂 0
15
2、李雅普诺夫（李氏）意义下的稳定性
f ( x, t ) x 设系统 x e f ( xe , t ) 0
如果对每个实数 0 都对应存在另一个 实数 ( , t0 ) 0 ，使得满足
三个平衡 状态
0 xe2 1
10
xe 1 0
0
0 xe3 1
3）线性系统在平衡点稳定，则系统稳定； 而非线性系统在平衡点稳定，则只是在该点稳定， 而不是整个系统稳定----可见，稳定性问题是相对 于平衡状态而言的。 4）线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数， 而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关； 但非线性系统的稳定性出了与系统的结构和参数有 关外，还与初始条件及外界扰动的大小有关。

李雅普诺夫稳定性分析

第六章 李雅普诺夫稳定性分析在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。

因为它关系到系统是否能正常工作。

经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。

分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。

1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。

§6-1 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。

一、外部稳定性1、定义（外部稳定性）：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。

(外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明：（1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的[]∞∈0t ，恒有∞<≤k t h )(成立。

（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。

2、系统外部稳定性判据线性定常连续系统∑),,(C B A 的传递函数矩阵为Cxy Bu Ax x=+=BUA sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+=B A sIC s G 1)()(--=当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。

【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的外部稳定性。

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一致渐进稳定。 定理2
例3：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性 。
解：由则于原点是平衡状态。
设 则 故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。
定理3
例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性 。
解: 设 可见 与 )有 有
即 则 无关，故非零状态(如 ，而对其余任意状态
故
正半定。
令
即非零状态时， 不恒为零，则原点不稳 定即系统不稳定。
例1：已知非线性系统的状态方程为：
试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。 解：
令 原点是唯一平衡点
设 则
定理1 负定
1)原点是渐进稳定的；
2) 因为 稳定的；
，该系统是大范围渐进
例2：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性 。
解：1) 令 即原点是平衡状态。 设
则：
负半定
令
只有全零解
非零状态时
原点
是渐进稳定，且是大范围
式中P(0)为初始条件。当Q(i)=I时
2.7 系统响应快速性的估计
2.7.1 系统动态性能 定义 (x)与V(x)比值的负值为
对于渐进稳定系统， 恒取正值， 越大渐进稳 定的运动x(t)趋于平衡点越快。解上式得到
其中x0，t0分别是系统的初始状态和初始时刻。为方便 讨论，定义
将 带入前面的V(x) 中，得到
A非奇异：
A奇异：
有无穷多个
b.非线性系统 例如：
令
可能有多个
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态 的充分小的领域内不存在别的平衡状 态。对于孤立的平衡状态，总可以经 过适当的坐标变换，把它变换到状态 空间的原点。
2.2 李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 一个实数
都对应存在另 ，使得由满足
则Lyapunov函数及其导数为
则
令
，由
得到
把以上结果带入到 中，得到 =0.553，=1.447，由于源自，取=0.553。
(2) 也可由QP-1矩阵的最小特征值求得。
根据
，考虑到Q=I,
求出矩阵QP-1的两个特征值 因此 =0.553。
(3) 求从封闭曲线V(x) = 150到封闭曲线V(x) =0.06 的过渡过程时间，因为
定的。
❖ 定理4：若(1)
正定；
(2)
正定
则原点是不稳定的。
➢ 说明： 大，
正定 能量函数随时间增 在 处发散。
➢ 原点不稳定 线性系统不稳定 非线性系统不一定
❖ 推论1：当 且 原点不稳定。
正定，
正半定，
在非零状态不恒为零时,则
❖ 推论2：
正定，
正半定，若
，
，则原点是李雅普诺夫
意义下稳定(同定理3)。
线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定 。
非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局
部发散的轨迹。至于是否
趋于无穷远,
域外是否存在其它平衡状
态并不确定。若存在极限环，则系统仍是李雅
普诺夫意义下的稳定性。
3.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
❖ 应用：自适应，最优控制，非线性控 制等。
主要内容：
李氏第一法（间接法）：求解特征方 程的特征值
李氏第二法（直接法）：利用经验和 技巧来构造李氏函数
2.1 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 =Ax+Bu(u=0)
2.初态 =f(x,t)的解为
初态
3.平衡状态：
系统的平衡状态
a.线性系统
几点说明：
1)
选取不唯一，但没有通用办法，
选取不当，会导致
不定的结果。
2) 这仅仅是充分条件。
--单调衰减(实际上是衰减振荡)
李氏第二法的步骤：
1) 构造一个
二次型；
2) 求
，并代入状态方程；
3) 判断
的定号性；
4) 判断非零状态情况下， 零。 渐进稳定
李氏稳定
不稳定
是否为
令 若
若仅
成立 李氏意义 下稳定 成立 渐进稳定
其中aij 为待定系数，可以是常数、t 的函数、 xi 的函数。 2. 由grad V构成V(x)的导数，并由V(x)导数的 负定条件可以确定部分参数aij 。
3. 按条件(1)决定其余待定参数aij 。 4. 按照(2)得到V(x)，验证其正定性。若 不正定需重新选择待定参数aij ，直到V(x) 正定为止。 5. 确定渐进稳定范围。
是：对任意给定的连续正定对称矩阵Q(t)， 存在一个连续正定对称矩阵P(t)使得
V(x(t),t)为系统的Lyapunov函数。
证明：取Lyapunov函数 V(x(t), t)=xT(t) P(t) x(t)
P为正定对称阵，且为时间的连续函数，则
由上式可知
上式•是黎卡提方程的特殊情况，解为•
式中 ( , t)――系统 (t) = A(t)x(t)的状态转移 矩阵。当取Q(t) = I时
给定一正定实对称矩阵Q，存在唯一的正
定实对称矩阵P使
成立，则
为系统的一个Lyapunov函数。
例1： 解：选取
P正定
是大范围一致渐进稳定
推论 系统
所有特征值实部都小
于负常数-a的充要条件是：对任意给定的正
定矩阵Q，都存在正定矩阵P满足方程
2. 线性时变系统的Lyapunov稳定性分析 设系统方程为 系统在平衡点xe=0大范围渐进稳定的充要条件
定性分析方法 重点内容： •李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造 •线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 •李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别
❖ 研究的目的和意义:稳定性是自动控制 系统正常工作的必要条件，是一个重 要特征。
❖ 要求：在受到外界扰动后，虽然其原 平衡状态被打破，但在扰动消失后， 仍然能恢复到原来的平衡状态，或者 趋于另一平衡状态继续工作。
1）李氏稳定的充要条件：
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半 部。
2. 非线性系统的稳定性分析：
假定非线性系统在平衡状态附近可展
开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。
设非线性系统状态方程：
--非线性函数
在平衡状态 数，于是：
附近存在各阶偏导
其中： --(级数展开式中二阶以上各项之和)
李雅普诺夫方法分析控制系 统稳定性0306
2.1 稳定性基本概念 2.2 Lyapunov意义下的稳定性 2.3 Lyapunov第一法 2.4 Lyapunov第二法
2.5 Lyapunov方法在线性系统中的应用 2.6 Lyapunov方法在非线性系统中的应用
教学要求：
1.正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义下的 稳定性概念 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳
显然，当选取Q(t) = I时，可以通过系统 的状态转移矩阵 ( , t)计算矩阵P(t)，并 根据矩阵P(t)是否连续、对称、正定性来 分析线性时变系统的稳定性。
3. 线性定常离散系统的Lyapunov稳定性分析
设系统状态方程：
其中 -非奇异阵，
是平衡状态。
设
令
李氏代数方程
定理：系统
渐进稳定的
充要条件为：
给定任一正定实对称阵Q，存在一个正实
对称P，使式
成立，则
是系统的一个李氏函数。
4. 线性时变离散系统的Lyapunov稳 定性分析
设线性时变离散系统方程为
则系统在平衡状态大范围渐进稳定的充要条 件是：对于任给定正定对称矩阵Q(k)存在一 个正定对称矩阵P(k+1)使得
并且 上面的差分方程的解
所以
从曲线V(x) = 150上出发任一轨迹，进入V(x) =0.06 所包围的区域内，所需时间不超过14.148个时间单 位 。如果 是Lyapunov 收敛时间常数，则自 由响应时间常数上限为
参数的最优化设计
设线性系统状态方程为
其中，系统矩阵A(a)的某些元素依赖于可选参数 a。参数a选择原则是使二次型积分指标
其中梯度grad V是n•维列向量 则
如果grad V的n维旋度等于零，即rot(grad V) = 0， 则上式与积分路径无关。旋度为零的充要条件是： grad V的雅可比矩阵是对称的。
即 (1)
当上式满足时，V(x)的积分路径可任意选择： (2)
应用变量梯度法步骤： 1. 将Lyapunov函数的梯度设为
显然 给出了V(x)趋于平衡点的速度估计。 是表 征Lyapunov函数V(x)趋于平衡点快慢的最大时间常数 ，该常数约为用传统控制理论计算出的系统自由响应 时间常数的一半。
2.7.2 线性定常系统 的计算
设线性定常系统为
，矩阵A的所有
特征值都有负实部，即线性系统渐进稳定。则
式中P为正定对称矩阵，Q= - (ATP+PA)
上式为向量函数的雅可比矩阵。 令 则线性化系统方程为：
结论：
1) 若
，则非线性
系统在 处是渐进稳定的，与
无关。
2) 若
则不稳定。
3) 若
，稳定性与 有关，
3.4 李雅普诺夫第二法(直接法)
❖ 稳定性定理：
设系统状态方程：
其平衡状态满足
，假定
状态空间原点作为平衡状态(
)，并设
在原点邻域存在
对 x 的连续一阶偏
是负半定的，而且在解的曲线上V(x)不恒为零， 所以系统是渐进稳定的。
非线性系统的Lyapunov稳定性分析
克拉索夫斯基方法(见pdf课件) 变量梯度法(了解)