DSP第二章07y补充

− jω n
♦
7．序列的卷积 ： ．
F[ x(n) ∗ y (n)] = =
n =−∞ ∞
∑ [ x(n) ∗ y(n)]e
∞
∞ ∞
∞
n =−∞ k =−∞
∑ ∑ x(k ) y(n − k )e
− jω k m =−∞
− jω n
♦
令n-k= m
=
k =−∞
∑ x(k )e
∑
y (m)e− jωn = X (e jω )Y (e jω )
x(n) = xe (n) + xo (n)
♦
定义xe(n)和 定义xe(n)和xo(n)
* * xe (n) = xe (−n), xo (n) = − xo (−n)
♦
序列x(n)与xe(n)和xo(n)的关系 序列x(n)与xe(n)和xo(n)的关系
1 xe (n) = [ x(n) + x∗ (−n) ] 2 1 xo (n) = [ x(n) − x∗ (−n) ] 2
1 x(n) = F [ X (e )] = 2π
−1 jω
π
X (e jω )e jωndω
(2.39)
X ( z ) z =e jω =
n =−∞
∑Hale Waihona Puke +∞x(n)e-jωn
可见: 序列的傅里叶变换在数值上等于它在z平 可见 序列的傅里叶变换在数值上等于它在 平 面单位圆上取值的Z变换 面单位圆上取值的 变换
n =−∞
xr(n)和xi(n)都是实数序列， xr(n)和xi(n)都是实数序列， 都是实数序列 有共轭对称性， 它的实部是偶函数， Xe(ejω)有共轭对称性， 它的实部是偶函数， 虚部是 奇函数。 奇函数。 具有共轭反对称性质， 其实部是奇函数， Xo(ejω)具有共轭反对称性质， 其实部是奇函数， 虚 部是偶函数。 部是偶函数。
∫π
−
π
X (e jω )e jω n dω ]
1 = 2π
1 = 2π
∫π
−
π
X (e ) ∑ x∗ (n)e jωn dω
jω n =−∞
+∞
∫π
−
π
X (e jω ) X ∗ (e jω )dω
1 = 2π
∫π
−
π
| X (e jω ) |2 dω
序列傅里叶变换的对称性
♦
任何序列x 任何序列x(n)总能表示为一个共轭对称序列 xe(n)和共轭反对称序列xo(n)之和 和共轭反对称序列x
jω
(2.45)
序列傅里叶变换的特点
♦
频谱是ω的连续周期函数，周期为 。 频谱是 的连续周期函数，周期为2π。 的连续周期函数
X (e jω ) = F[ x(n)] =
n=−∞ n =−∞
∑
+∞
x(n)e-jω n
(2.38)
X (e j(ω + 2π ) ) = X (e jω )
♦
x(n)为实序列时，频谱幅度在区间0≤ω≤2π内 为实序列时， 为实序列时 是偶对称函数，相位是奇对称函数。 是偶对称函数，相位是奇对称函数。
例 设= {···，1，1， 1，1，0，0，0，0，···}是一个以 是一个以N ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是一个以 = 8为周期的周期序列，求傅里叶变换。 为周期的周期序列， 为周期的周期序列 求傅里叶变换。 解：如图是周期序列的周期N= 8，傅里叶变换为 如图是周期序列的周期N 8，傅里叶变换为
2π +∞ % 2π % X (e jω ) = X (k )δ (ω − k ), N = 8 ∑ N k =−∞ N
% % X (k ) = ∑ x (n)e
n =0 N −1 -j 2π kn N
= ∑e
n=0
3
-j
2π kn 8
参考前例可以得到
% X (k ) = e
7 -j πk 8
sin(πk ) sin(πk / 8)
♦
4．序列乘以n ： ．序列乘以
dX (e jω ) F[nx(n)] = j dω
序列傅里叶变换的性质
♦ ♦
5．序列的折叠： ．序列的折叠：
F[ x ( − n)] = X (e -jω )
6．序列的复共轭 ： ．
F[ x* (n)] = X * (e-jω )
F[ x* (−n)] = X * (e jω )
频谱用幅度和相位表示
X (e ) =| X (e ) | e
jω jω jarg[X (e jω )]
= X (ω )e jϕ (ω )
(2.43)
♦ 幅度特性
2 X (ω ) =| X (e jω ) |= X R (e jω ) + X I2 (e jω )
(2.44)
♦ 相位特性
X I (e jω ) ϕ (ω ) = arg[X (e )]=arg X R (e jω )
% % % % % % X (1) = ∑ (− j) n x(n) = x(0) − jx(1) − x (2) + jx(3) = −2 + 2 j
% % % % % % X (2) = ∑ (− j) 2 n x (n) = x(0) − x(1) + x(2) − x(3) = −2
n =0
第二章 DTFT
♦ DTFT主要性质 DTFT主要性质 ♦ 周期序列的离散傅里 叶级数变换
2.6 序列傅里叶变换的定义
♦ ♦ ♦ ♦
序列的傅里叶变换定义
X (e jω ) = F[ x( n)] =
n =−∞
∑ x(n)e ω
∫π
-
+∞
-j n
(2.38)
傅里叶逆变换定义 由Z变换定义式 变换定义式
♦ 序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)
♦
FT ［ xe(n) ］ =1/2 ［ X(ejω)+X*(ejω) ］ =Re ［ X(ejω) ］ =XR(ejω) ♦ FT ［ xo(n) ］ =1/2 ［ X(ejω)-X*(ejω) ］ =jIm ［ X(ejω) ］ =jXI(ejω)
2.7 序列傅里叶变换的性质
♦
♦
线性： １．线性：满足叠加原理
F[ ax1 ( n) + bx2 ( n)] = aX 1 (e jω ) + bX 2 (e jω )
2．序列的移位 ： ．
F[ x(n − k )] = e-jω k X (e jω )
♦
3．序列的调制 ： ．
F[e jω0 n x(n)] = X (e j(ω −ω0 ) )
周期序列的离散傅里叶级数变换对
– 离散傅里叶级数正变换
–
离散傅里叶级数反变换
周期序列： 周期序列：时域与频域
♦
时域周期序列的离散傅里叶级数在频域也是周期序列
♦
周期序列与有限 长序列之间本质 联系： 联系：
周期序列的信息 可用它在一个周期中 的N个值来代表
例： 求周期序列的傅里叶级数
例
设{···，0，1，2，3，0，1，2，3，···}是一个以N= ， }
X (e jω ) = X ( z ) z =e jω
x( n) = F−1[ X (e jω )] = 1 X ( z ) z n −1dz jω z =e 2π j ∫ c
(2.40)
(2.41)
傅里叶变换对的计算
♦ ♦
频谱用实部和虚部表示
X (e jω ) = X R (e jω ) + jX I (e jω ) (2.42)
2π kn N
（2.7.4）
j 2π n N
♦ ak: 傅里叶级数的系数 ♦ 基频序列 e1(n) 基频序列: ♦ k次谐波序列 ek(n) 次谐波序列: 次谐波序列
e1 (n)=e
e k ( n) = e
j
2π kn N
周期序列用离散傅里叶级数表示
♦
离散傅里叶级数只有N个独立谐波分量: 离散傅里叶级数只有N个独立谐波分量: 因为复指数序列是k 因为复指数序列是k的周期函数
-j 2π 4
3
4−1 3
4为周期的周期序列，求离散傅里叶级数。 为周期的周期序列，求离散傅里叶级数。
解： W4 = e
= −j
% % % X (k ) = ∑ x(n)W = ∑ (− j)kn x(n), k = ±1, ± 2, L
n =0 kn 4 n =0
% % % % % % X (0) = ∑ x(n) = x(0) + x(1) + x(2) + x(3) = 6
1 = 2π
∫π
−
π
X (e jθ )Y (e j(ω −θ ) )dθ
♦
8．帕斯瓦尔定理 ：能量守恒定理，表明信号在时 ． 能量守恒定理， 域的总能量等于其频域的总能量
1 ∑ | x(n) | = n∑ x(n) x (n) = n∑ x (n)[ 2π n =−∞ =−∞ =−∞
2 ∗ ∗ +∞ +∞ +∞
♦ ♦
X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω) 表 示 序 列 的 共 轭 对 称 部 分 xe(n) 对 应 着 DTFT 的 实 部 而序列的共轭反对称部分x (n)对应着 对应着DTFT XR(ejω) ， 而序列的共轭反对称部分 xo(n) 对应着 DTFT 的虚部。 的虚部。
2.8 周期序列的傅里叶级数表示
序列傅里叶变换的对称性质
♦
试分析x(n)=e jωn的对称性 例 试分析 ♦ 解： ♦ 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到： ♦ x*(-n)= e jωn ♦ 因此x(n)=x*(-n)， 是共轭对称序列， 如展 成实部与虚部， 得到 ♦ x(n)=cosωn+j sinωn