2017届安徽师大附中学高三上学期期中数学(文)试卷

黑龙江省哈尔滨师大附中2017届高三上学期期中考试（文）数学试卷答 案1~5．DAABD 6~10．DACAC11~12．DB13．177,178 14．2(2,2)33k k k ππππ-+∈Z 15．3 16．417．（1）由(,)a a c =r (12cos ,2cos 1)b A C =--r 且//a b r r得(2cos 1)(12cos )a C c A -=-由正弦定理得sin (2cos 1)sin (12cos )A C C A -=-化简为2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C +=+，即2sin()sin sin A C A C +=+ABC △中A B C π++=，所以2sin sin sin B A C =+由正弦定理得2b a c =+， 由5b =，得10a c +=；（2）1tan22B =得4tan 3B =，ABC V 中43sin ,cos 55B B ==，所以43sin(),cos()55A C A C +=+=-又2sin sin sin B A C =+，[]843sin sin ()sin cos sin 555A A C A A A A =++-=++化简为22sin cos A A =+，所以2cos sin 2AA -=，代入22sin cos 1A A +=得cos 0A =或4cos 5A =又A 为ABC △的最大内角，所以cos cos A B <，所以cos 0A =，所以2A π=．18、（122n a +=，得2844,n n n S a a =++ 所以2n ≥时，11()(4)0n n n n a a a a --+--= 数列{}n a 各项为正数，所以140n n a a ---=，又1n =时218448n n n S a a a =++=，所以12a =，所以通项公式为42n a n =-． （2）1111111()(42)(42)4(21)(21)82121n n n b a a n n n n n n +====--+-+-+11111111(1)(1)83352121821n T n n n =-+-++-=--++L19．（1）根据题意，样本中应抽取女士11002002000⨯=110人， 男士20011090-=人；∴110(10253535)5x =-+++=，90(1530253)17y =-+++=；∴消费金额在8000,1[0000]（单位：元）的网购者有女士5人，男士3人，从中任选2名，基本事件为2828C =种，其中选出的2名都是男士的基本事件为3种， ∴所求的概率为328P =； （2）2200(28001400) 4.714 3.841110906040k -=≈>⨯⨯⨯可以在犯错误率不超过0.05的前提下，认为“是否为网购达人与性别有关”． 20．（1）222(1)(),()1(1)x x e e x x f x f x x x x x -'==++++()00f x x '>⇒<或1x >；()001f x x '<⇒<<函数()f x 在(,0),(1,)-∞+∞单调递增，在(0,1)单调递减． （2）当1x ≥时，()1f x ≥总成立，即当1x ≥时11xe bx ≥+恒成立，因为0x e >，所以10bx +>在1x ≥恒成立，所以0b ≥所以只需1x ≥时1xe bx ≥+恒成立，需1x e b x-≤在1x ≥时恒成立，设1(),x e g x x -=则2(1)1()x e x g x x-+'=， 1x ≥时，2(1)1()0xe x g x x -+'=>，所以1()x e g x x-=在[)1,+∞单调递增，1x ≥时，()(1)1g x g e ≥=-，所以1b e ≤-，综上01b e ≤≤-21．（1）()1cos2,f x x '=-[]0,π时()03f x x ππ'>⇒<≤；()003f x x π'<⇒≤<函数()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减增．[]0,π时，min ()()33f x f ππ==(0)0,(),f f ππ==max ()()f x f ππ==（2）存在(0,)2x π∈，不等式()f x ax <成立存在(0,)2x π∈，2sin x x ax -<成立设()()2sin ,(0)0()12cos g x f x ax x x ax g g x a x '=-=--==--则且．(0,)2x π∈时，12cos (1,1)x -∈-所以()()12cos 1,1g x a x a a '=--∈--- 若10,a --<即1a >-时，(0)10g a '=--<因为()12cos g x a x '=--在(0,)2π单调递增，所以存在区间()0,(0,)2t π⊂，使()0,x t ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,t 单调递减，()0,x t ∈时()0g x <即()f x ax <所以1a >-22．（1）若1a =，()230+232f x x x a x +->-->即解集为2+3⎛⎫-∞∞ ⎪⎝⎭U ，（2，）； （2）恒成立()3f x x <-，即32x a x ---<恒成立，3()(3)3x a x x a x a ---≤---=-，所以只需32a -<，需15a <<23．（1）由柯西公式222()(49)(23)x y x y ++≥+，则2323x y x y +≤+≤所以．（2）由2222220a b c a b c ++---=，得222(1)(1)(1)3a b c -+-+-=， 有柯西公式[]2222(1)(1)(1)(411)2(1)(1)(1)a b c a b c ⎡⎤-+-+-++≥++-+-⎣⎦得求证：218(2)a b c ≥--，所以2a b c --≤黑龙江省哈尔滨师大附中2017届高三上学期期中考试（文）数学试卷解析1．【专题】转化思想；数系的扩充和复数。

2022-2021学年安徽省芜湖市安师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）若集合A={x|x＞﹣1}，下列关系式中成立为（）A．0⊆A B．∅∈A C．0∈A D．{﹣1}⊆A2．（3分）下列函数中，与函数y=x表示同一函数的是（）A．B．C．，且a≠1）D．，且a≠1）3．（3分）已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下x、f（x）的对应填表：x 1 2 3 4 5 6f（x）123.6 21.5 ﹣7.2 11.7 ﹣53.6 ﹣126.9则函数f（x）在区间上的零点至少有（）个．A．3B．2C．4D．54．（3分）已知a=（），b=log 2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．（3分）已知f（x）=ax3﹣﹣2（a，b≠0），若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣106．（3分）计算的结果为（）A．B．C．D ．7．（3分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（）A．B． C．D．8．（3分）已知为偶函数，且当任意＜+∞时，总有＜0，则下列关系式中肯定成立的是（）A．f（3）＜f（1）＜f（π）B．f（π）＜f（0）＜f（1）C． f（0）＜f（1）＜f（2）D．f（0）＜f（π）＜f（2）9．（3分）已知f（x）=是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D ．10．（3分）已知定义在D=上的函数f（x）=，对任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|最大与最小值之和为（）A．7B．8C．9D．10二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11．（4分）若幂函数f（x ）的图象过点，则的值为．12．（4分）高一某班60名同学参与跳远和铅球测验，及格分别为40人和31人，这两项测验成果均不及格的有4人，则这两项都及格的人数是．13．（4分）若log a＜1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是．14．（4分）已知在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x3+lgx，则其解析式为f（x）=．15．（4分）已知函数f（x）=（其中e=2.71718…），有下列命题：①f（x）是奇函数，g（x）是偶函数；②对任意x∈R，都有f（2x）=f（x）•g（x）；③f（x）在R上单调递增，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减；④f（x ）无最值，g（x）有最小值；⑤f（x）有零点，g（x）无零点．其中正确的命题是．（填上全部正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16．（8分）设全集U=R，集合A={x|1≤2x＜8}，B={x|log2x≥1}．（Ⅰ）求∁U（A∩B）；（Ⅱ）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．17．（8分）计算下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）．18．（8分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（xy）=f（x）+f（y），，且对于任意0＜α＜β，都有f（α）＞f（β）．（Ⅰ）求f（1）；（Ⅱ）若f（2x）﹣f（2﹣x）≥﹣1，求实数x的取值范围．19．（9分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点﹣1．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）当x∈时，求函数F（x）=f（x）﹣kx的最小值g（k）．20．（8分）已知函数f（x）=a•2x﹣2﹣x，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称．（Ⅰ）求g（x）的解析式；（Ⅱ）若对任意x∈R，不等式f（x）+g（x）﹣1≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．（9分）已知函数f（x）=lnx．（Ⅰ）对任意的α，β∈（0，+∞），试比较与的大小；（Ⅱ）证明：f （）+f （）+…+f （）+f （）＜4027．（其中e=2.71718…）2022-2021学年安徽省芜湖市安师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）若集合A={x|x＞﹣1}，下列关系式中成立为（）A．0⊆A B．∅∈A C．0∈A D．{﹣1}⊆A考点：元素与集合关系的推断；集合的包含关系推断及应用．专题：规律型．分析：依据元素和集合之间的关系，分别推断即可．解答：解：A．元素与集合用属于号，所以0∈A，即A错误．B．集合与集合之间用包含号，所以∅⊆A，即B错误．C．O在集合A中，所以0∈A，即C正确．D．﹣1不在集合A中，所以{﹣1}⊈A，即D错误．故选C．点评：本题主要考查集合元素和集合关系的推断，比较基础．2．（3分）下列函数中，与函数y=x 表示同一函数的是（）A．B．C．，且a≠1）D．，且a≠1）考点：推断两个函数是否为同一函数．专题：阅读型．分析：分析给出的四个选项是否与函数y=x为同一函数，关键看给出的四个函数的定义域和对应关系是否与函数y=x全都，对四个选项逐一推断即可得到正确结论．解答：解：函数y=x 的定义域为R，函数=，与函数y=x的解析式不同，所以不是同一函数；的定义域是{x|x≠0}，所以与函数y=x的定义域不同，不是同一函数；函数的定义域是{x|x＞0}，与函数y=x的定义域不同，不是同一函数；函数，与函数为同一函数．故选D．点评：本题考查两个函数是否为同一函数的推断，推断两个函数是否为同一函数，关键是推断两个函数的定义域是否相同，对应关系是否全都，为基础题．3．（3分）已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下x、f（x）的对应填表：x 1 2 3 4 5 6f（x）123.6 21.5 ﹣7.2 11.7 ﹣53.6 ﹣126.9则函数f（x）在区间上的零点至少有（）个．A．3B．2C．4D．5考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用函数零点的判定定理推断．解答：解：由表格知，f（2）×f（3）＜0，f（4）×f（3）＜0，f（4）×f（5）＜0；则函数在（2，3），（3，4），（4，5）上都存在零点；则函数f（x）在区间上的零点至少有3个．故选：A．点评：考查了函数的零点的判定定理，属于基础题．4．（3分）已知a=（），b=log 2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：借助中间量把a，b，c的大小关系找出来即可．解答：解：由于0＜a=（）＜（）0=1，b=log 2＜=0，c=log ＞=1，故选C．点评：本题主要考查指数函数、对数函数的性质．5．（3分）已知f（x）=ax3﹣﹣2（a，b≠0），若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣10考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（﹣2）=﹣8a+﹣2=2，从而=4，由此能求出f（2）=8a ﹣﹣2=﹣4﹣2=﹣6．解答：解：∵f（x）=ax3﹣﹣2（a，b≠0），f （﹣2）=2，∴f（﹣2）=﹣8a+﹣2=2，∴=4，∴f（2）=8a ﹣﹣2=﹣4﹣2=﹣6．故选：C．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要留意函数性质的合理运用．6．（3分）计算的结果为（）A．B．C．D ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的性质和运算法则求解．解答：解：=（log83+log83）（log94+log92）=×log98====．故选：A．点评：本题考查对数的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，留意对数性质和去处法则的合理运用．7．（3分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（）A．B． C．D．考点：函数的图象．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：依据对数函数的图象所过的特殊点求出a的值，再争辩四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项．解答：解：由对数函数的图象知，此函数图象过点（3，1），故有y=log a3=1，解得a=3，对于A，由于y=a﹣x是一个减函数故图象与函数不对应，A错；对于B，由于幂函数y=x a是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故B正确；对于C，由于a=3，所以y=（﹣x）a是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C错；对于D，由于y=log a（﹣x）与y=log a x的图象关于y轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D错．故选B．点评：本题考查函数的性质与函数图象的对应，娴熟把握各类函数的性质是快速精确解答此类题的关键．8．（3分）已知为偶函数，且当任意＜+∞时，总有＜0，则下列关系式中肯定成立的是（）A．f（3）＜f（1）＜f（π）B．f（π）＜f（0）＜f（1）C． f（0）＜f（1）＜f（2）D．f（0）＜f（π）＜f（2）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出函数f（x ）在（，+∞）递减，再得出函数的关于x=对称，从而推断出函数的大小．解答：解：∵任意＜+∞时，总有＜0，则f（x ）在（，+∞）递减，∵函数y=f（x+）为偶函数，且此函数是由f（x ）左移个单位得到，∴函数f（x）关于x=对称，∴函数在（﹣∞，）递增，如图示：由图象的对称性知f（0）=f（3）、f（1）=f（2），∵f（x ）在（，+∞）递减，∴f（π）＜f（3）＜f（2），∴f（π）＜f（0）＜f（1）故选：B．点评：本题考查了函数的单调性，函数的对称性，函数的奇偶性，是一道基础题．9．（3分）已知f（x）=是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D ．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：结合二次函数，指数函数的性质，得到不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：≤a ≤，故选：D．点评：本题考查了二次函数的性质，指数函数的性质，考查了函数的单调性，是一道中档题．10．（3分）已知定义在D=上的函数f（x）=，对任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|最大与最小值之和为（）A．7B．8C．9D．10考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：先画函数f（x）的图象如图，从图象上看，求适合使得f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立的|x1﹣x2|最大值与最小值．解答：解：画函数f（x）的图象如图：从图象上看，要满足对任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立：∵f（﹣4）=0，f（4）=4，∴任意x∈D，f（﹣4）≤f（x）≤f（4），故满足|x1﹣x2|最大值为8，而对于任意x∈D，f（x）≤f（x）≤f（x），故满足|x1﹣x2|最小值为0，则|x1﹣x2|最大与最小值之和为8+0=8，故选：B．点评：本题主要考查函数求最值的方法，特殊是分段函数的最值求法，对于较简单的函数可以考虑画函数的图象，结合图形解题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11．（4分）若幂函数f（x ）的图象过点，则的值为4．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题．分析：依据题意设幂函数的解析式为：f（x）=xα，又函数的图象过点，可得α=﹣2，即可求出函数的解析式，进而解决问题．解答：解：设幂函数的解析式为：f（x）=xα，由于幂函数f（x）的图象过点，即，所以解得：α=﹣2，即f（x）=x﹣2，所以=4．故答案为：4．点评：解决此类问题的关键是娴熟把握幂函数的有关性质，如幂函数的概念、解析式、定义域、值域，以及利用待定系数法求函数的解析式，此题属于基础题．12．（4分）高一某班60名同学参与跳远和铅球测验，及格分别为40人和31人，这两项测验成果均不及格的有4人，则这两项都及格的人数是15人．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据题意列出算式，计算即可得到结果．解答：解：依据题意得：40+31+4﹣60=15（人），则两项都及格的人数是15人．故答案为：15人点评：此题考查了交集及其运算，娴熟把握交集的定义是解本题的关键．13．（4分）若log a＜1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（0，）∪（1，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：把1变成底数的对数，争辩底数与1的关系，确定函数的单调性，依据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种状况求并集得到结果．解答：解：∵log a＜1=log a a，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0＜a＜1时，函数是一个减函数，依据函数的单调性有a，综上可知a的取值是（0，）∪（1，+∞），故答案为：（0，）∪（1，+∞）点评：本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础学问，本题解题的关键是对于底数与1的关系，这里应用分类争辩思想来解题．14．（4分）已知在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x3+lgx，则其解析式为f（x）=．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：设x＜0，则﹣x＞0．利用当x＞0时，f（x）=x3+lgx，可得f（﹣x）=﹣x3+lg（﹣x）．由于f（x）是R上的奇函数，可得f（x）=﹣f（﹣x），及f（0）=0即可得出．解答：解：设x＜0，则﹣x＞0．∵当x＞0时，f（x）=x3+lgx，∴f（﹣x）=﹣x3+lg（﹣x），∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣lg（﹣x）．又f（0）=0．∴；故答案为：．点评：本题考查了函数奇偶性，属于基础题．15．（4分）已知函数f（x）=（其中e=2.71718…），有下列命题：①f（x）是奇函数，g（x）是偶函数；②对任意x∈R，都有f（2x）=f（x）•g（x）；③f（x）在R上单调递增，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减；④f（x）无最值，g（x）有最小值；⑤f（x）有零点，g（x）无零点．其中正确的命题是①③④⑤．（填上全部正确命题的序号）考点：命题的真假推断与应用．专题：函数的性质及应用；简易规律．分析：直接由函数奇偶性的定义推断①正确；代值验证②错误；由函数单调性的定义推断③正确；由函数的单调性说明f （x）无最值，g（x）有最小值；直接求出f（x）的零点，由单调性及奇偶性和最值说明g （x）无零点．解答：解：∵f（﹣x）=，g（﹣x）=，∴f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，命题①正确；f （2x）=f（x）•g（x）=，∴命题②不正确；函数y=e x，y=﹣e﹣x在实数集上均为增函数，∴f（x）在R上单调递增，设x 1＜x2＜0，则=．∵x1＜x2＜0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2）．g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，命题③正确；由③结合指数函数的单调性可知f（x）无最值，当x=0时，g（x）有最小值1，命题④正确；由f（x）=0，即，得x=0，∴f（x）有零点0，g（x）在x=0时有最小值1，且函数是偶函数，∴g（x）无零点，命题⑤正确．故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了命题的真假推断与应用，考查了函数的性质，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16．（8分）设全集U=R，集合A={x|1≤2x＜8}，B={x|log2x≥1}．（Ⅰ）求∁U（A∩B）；（Ⅱ）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．考点：并集及其运算；交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：（I）首先依据指数函数和对数函数的性质化简集合A和B，然后依据交集和补集的定义求出答案即可；（II）由B∪C=C得出B⊆C，进而得出﹣，从而得出a的值．解答：解：（I）A={x|0≤x＜3}，B={x|x≥2}…2（分）C u（A ∩B）={x|x＜2或x≥3}…4（分）（II）∵B∪C=C，∴B⊆C…6（分），∴点评：此题考查了交集及补集的元素，集合的包含关系推断以及应用，同学在求两集合补集时留意全集的范围，由题意得到集合B是集合C的子集是解其次问的关键．17．（8分）计算下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）．考点：对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：函数的性质及应用．分析：（I）利用指数幂的运算法则即可得出．（II）利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．解答：解：（I）原式=+1+﹣23×32=+1+8﹣72=﹣60.5．（II）原式===6．点评：本题考查了指数幂对数的运算法则、lg2+lg5=1，属于基础题．18．（8分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（xy）=f（x）+f（y），，且对于任意0＜α＜β，都有f（α）＞f（β）．（Ⅰ）求f（1）；（Ⅱ）若f（2x）﹣f（2﹣x）≥﹣1，求实数x的取值范围．考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）解f（1）；（Ⅱ）由f（xy）=f（x）+f（y），可化简不等式为f（x）≥f（2﹣x），从而利用函数的单调性求解不等式．解答：解：（Ⅰ）令x=y=1得，f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0．（Ⅱ）∵f（2x）﹣f（2﹣x）≥﹣1，∴f（2x）+f （）≥f（2﹣x），∴f（x）≥f（2﹣x），又∵对于任意0＜α＜β，都有f（α）＞f（β），∴，解得，0＜x≤1，∴x的取值范围为（0，1]．点评：本题考查了函数单调性的推断与应用，同时考查了同学对新学问的接受力量，属于中档题．19．（9分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点﹣1．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）当x∈时，求函数F（x）=f（x）﹣kx的最小值g（k）．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意得方程组，解出a，b，c的值即可；（2）先求出F（x）的表达式，得到函数的对称轴，通过争辩对称轴的位置，从而得到函数的最小值．解答：解：（1）由题意得：，解得：a=1，b=2，c=1，∴f（x）=x2+2x+1；（2）由（1）得：F（x）=x2+（2﹣k）x+1，∴对称轴x=，开口向上，当≤﹣1，即k≤0时，g（k）=F（x）min=F（﹣1）=k，当﹣1＜＜1，即0＜k＜4时，g（k）=F（x）min=F（k）=﹣+k，当≥1，即k≥4时，g（k）=F（x）min=F（1）=4﹣k，综上：g（k）=．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分类争辩思想，是一道中档题．20．（8分）已知函数f（x）=a•2x﹣2﹣x，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称．（Ⅰ）求g（x）的解析式；（Ⅱ）若对任意x∈R，不等式f（x）+g（x）﹣1≥0恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）设p（x，y）为g（x）上任意一点，则p（x，y）关于y轴对称点为p′（﹣x，y），由题意知p′（﹣x，y）在f（x）图象上，代入可得g（x）=a•2﹣x﹣2x；（Ⅱ）由题意可得a（2﹣x+2x）﹣（2﹣x+2x）﹣1≥0，解得a≥1+（x∈R），令y=t+，其中t=2x＞0，易知y在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，即可推得y min=2，进而求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设p（x，y）为g（x）上任意一点，则p（x，y）关于y轴对称点为p′（﹣x，y），由题意知p′（﹣x，y）在f（x）图象上，故g（x）=a•2﹣x﹣2x．（Ⅱ）由f（x）+g（x）﹣1≥0得a（2﹣x+2x）﹣（2﹣x+2x）﹣1≥0，∵2﹣x+2x＞0∴a≥1+（x∈R）令y=t+，其中t=2x＞0，易知y在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴当t=1，即x=0时，y min=2∴=．故有：a ≥．点评：本题主要考察了函数奇偶性的性质，函数恒成立问题及解法，属于中档题．21．（9分）已知函数f（x）=lnx．（Ⅰ）对任意的α，β∈（0，+∞），试比较与的大小；（Ⅱ）证明：f （）+f （）+…+f （）+f （）＜4027．（其中e=2.71718…）考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）运用不等式证明ln≥0，f （）≥即可．（2）依据（1）结论放缩可证明．解答：解：（1）∀α，β∈（0，+∞）f （）﹣=ln ﹣=ln﹣ln =ln又=（）2≥0，∴≥1，∴ln≥0，∴f （）≥（仅有α=β时等号成立）（2）点评：本题考查了函数的性质，不等式的关系，对数的运算属于综合题．。

安师大附中2008-2009学年第一学期期中考查高三数学试卷（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知集合{}012|2=++=ax x x M 的真子集只有一个，则a 的取值集合是（ ） A 、)1,1(- B 、),1()1,(+∞--∞ C 、{}1,1-D 、{}02、已知平面向量),2(),2,1(m -==，且b a //，则=+b a 32（ ） A 、)8,4(--B 、)6,3(--C 、)4,2(--D 、)10,5(--3、已知121:,12:>->+xq x P ，则p ⌝是q ⌝的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、若]4,4[ππ-∈x ，则x x x cos sin cos 2+的取值范围是（ ）A 、[]1,0B 、]221,0[+ C 、]221,221[+- D 、]22,21[- 5、当),1(+∞∈x 时，幂函数αx y =的图象恒在直线x y =的下方，则α的取值范围是（ ）A 、10<<αB 、0<αC 、1>αD 、1<αA 、向左平移12π单位B 、向右平移12π单位 C 、向左平移6π单位D 、向右平移6π单位7、设函数)(x f 的定义域为R ，最小正周期为π23，若⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=)0(cos )02(sin )(ππx x x x x f ， 则)415(π-f 的值为（ ） A 、0B 、1C 、22 D 、22- 8、已知定义在R 上的偶函数)(x f 在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使0)(>x f 的x 取值范围是（ ） A 、)2,(-∞B 、)2,2(-C 、),2()2,(+∞--∞D 、),2(+∞9、把点（3，4）按向量a 平移后的坐标为)1,2(-，则x y 2=的图象按向量a 平移后的图象的函数表达式为（ ） A 、325+=-x y B 、325-=-x y C 、325+=+x yD 、325-=+x y10、设c b a ,,均为正数，且c b a c b a 22121log )21(,log )21(,log 2===，则（ ）A 、a b c <<B 、b a c <<C 、c b a <<D 、c a b <<11、在A B C ∆中，三内角A 、B 、C 对边分别为c b a ,,若1,60=︒=b A ，ABC ∆的面积3=S ，则CB A cb a sin sin sin ++++的值为（ ）A 、3326 B 、3392C 、339D 、3313 12、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 最小正周期为3，且1)1(>f ，132)2(+-=a a f ，是a 的取值范围是（ ） A 、32<a B 、32<a 且1-≠a C 、321<<-aD 、1-<a 或32>a安师大附中2008-2009学年第一学期期中考查高三数学答题卷(文)13、已知平面向量)2,4(),3,1(-=-=，+λ与垂直，则λ= 。

2016-2017学年辽宁省师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（）A．{0，1，2}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{2，3}2．复数i（1﹣2i）=（）A．﹣2+i B．2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i3．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件4．在△ABC中，设=，=，且||=2，||=1，•=﹣1，则||=（）A．1 B． C． D．25．已知实数x，y满足，则z=（x﹣1）2+y2的最大值是（）A．1 B．9 C．2 D．116．设f（x）为定义在R上的奇函数，且是周期为4的周期函数，f（1）=1，则f（﹣1）+f （8）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，a=3，则△ABC 的周长的最大值为（）A．2 B．6 C． D．98．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A． B． C． D．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．81 B．54 C．45 D．1810．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是（）A． B．1 C． D．11．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为﹣1，给出以下结论：①f（x）的解析式为f（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]；②f（x）的极值点有且仅有一个；③f（x）的最大值与最小值之和等于0．其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个12．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=lnx的图象在点x=1处的切线方程是．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a4+a5=12，则S7的值为．15．已知x＞0，y＞0，++1=2，则2x+y的最小值为．16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB斜倾角分别为α，β，则|tanα﹣tanβ|的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数f（x）=cosx（2sinx﹣cosx）+asin2x的一个零点是．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）令x∈[﹣，]，求此时f（x）的最大值和最小值．18．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=p（S n﹣a n）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n•b n=2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知抛物线C：x2=4y，过点P（t，0）（其中t＞0）作互相垂直的两直线l1，l2，直线l1与抛物线C相切于点Q（在第一象限内），直线l2与抛物线C相交于A，B两点．（Ⅰ）当t=1时，求直线l1的方程；（Ⅱ）求证：直线l2恒过定点．21．（12分）设函数，f（x）=lnx+，k∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求f（x）的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；（2）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：+=1，以O为极点，x轴的正半轴极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的方程为：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（1）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；（2）在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．2016-2017学年辽宁省师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2016•江西校级三模）已知集合A={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（）A．{0，1，2}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{2，3}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出A中x的范围，确定出整数解得到A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：0≤x≤3，x∈Z，即A={0，1，2，3}，由B中不等式变形得：lnx＜lne，解得：0＜x＜e，即B=（0，e），则A∩B={1，2}．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（2015•甘肃校级模拟）复数i（1﹣2i）=（）A．﹣2+i B．2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】利用两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，求得结果．【解答】解：∵复数i（1﹣2i）=i﹣2i2=2+i，故选B．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．4．（2016•江西校级三模）在△ABC中，设=，=，且||=2，||=1，•=﹣1，则||=（）A．1 B． C． D．2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】根据向量的数量积的运算，先求出与的夹角为θ，再根据余弦定理即可求出答案．【解答】解：设=，=，设与的夹角为θ，∵||=2，||=1，•=﹣1，∴•=||•||cosθ=2×1×cosθ=﹣1，∴cosθ=，∴θ=120°，∴∠ACB=60°，由余弦定理可得||2=||2+||2﹣2||•||cos60°=4+1﹣2×2×1×=3，∴||=，故选：C．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和余弦定理，考查运算能力，属于中档题5．（2016秋•沙河口区校级期中）已知实数x，y满足，则z=（x﹣1）2+y2的最大值是（）A．1 B．9 C．2 D．11【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式．【分析】画出平面区域，利用z=（x﹣1）2+y2的几何意义表示为区域内的点与（1，0）的距离的平方最大值求得．【解答】解：x，y满足的平面区域如图：z=（x﹣1）2+y2的几何意义表示为区域内的点与（1，0）的距离的平方最大值，显然到D 的距离最大，所以z=（x﹣1）2+y2的最大值z=（1﹣1）2+32=9；故选B．【点评】本题考查了简单线性规划问题；一般的，正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最值是常用方法．6．（2015•滨州二模）设f（x）为定义在R上的奇函数，且是周期为4的周期函数，f（1）=1，则f（﹣1）+f（8）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的周期性得出f（x+4）=f（x）．奇偶性得出f（﹣x）=﹣f（x），化简得出f（﹣1）+f（8）=﹣f（1）+f（0），即可求解．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x）∵f（x）是周期为4的周期函数，∴f（x+4）=f（x）．∵f（1）=1，∴f（﹣1）+f（8）=﹣f（1）+f（0）=﹣1故选：B【点评】本题考查了函数的性质，运用求解函数值，难度不大，属于容易题，关键是掌握好性质的定义式．7．（2016秋•沙河口区校级期中）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，a=3，则△ABC 的周长的最大值为（）A．2 B．6 C． D．9【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由已知利用余弦定理可求A，利用a=3和sinA的值，根据正弦定理表示出b和c，代入三角形的周长a+b+c中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可得到周长的最大值．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，可得：bc=b2+c2﹣a2，∴cosA==，∵A∈（0，π），∴A=，∴由a=3，结合正弦定理得：==2，∴b=2sinB，c=2sinC，则a+b+c=3+2sinB+2sinC=3+2sinB+2sin（﹣B）=3+3sinB+3cosB=3+6sin（B+），可知周长的最大值为9．故选：D．【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．8．（2016•福安市校级模拟）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；图表型．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．9．（2016秋•沙河口区校级期中）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．81 B．54 C．45 D．18【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6，…成等比数列，由已知数据易得答案．【解答】解：由等比数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6，…成等比数列，并设其公比为q，又由题意可得S3=9，S6﹣S3=36﹣9=27，∴q==3，∴a7+a8+a9=S9﹣S6=27×3=81．故选：A．【点评】本题考查等比数列的求和公式和性质，属基础题．10．（2016秋•沙河口区校级期中）已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是（）A． B．1 C． D．【考点】球内接多面体．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】据三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC，可得S 在面ABC上的射影为AB中点H，SH⊥平面ABC，在面SHC内作SC的垂直平分线MO 与SH交于O，则O为SABC的外接球球心，OH为O与平面ABC的距离，由此可得结论．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC，∴S在面ABC上的射影为AB中点H，∴SH⊥平面ABC．∴SH上任意一点到A、B、C的距离相等．∵SH=，CH=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心．∵SC=2，∴SM=1，∠OSM=30°，∴SO=，∴OH=，即为O与平面ABC的距离．故选：A．【点评】本题考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定OHO与平面ABC的距离是关键．11．（2014•北京校级模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为﹣1，给出以下结论：①f（x）的解析式为f（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]；②f（x）的极值点有且仅有一个；③f（x）的最大值与最小值之和等于0．其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的概念及应用．【分析】首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；则命题①可得出判断；最后令f′（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题②③得出判断．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为﹣1，则有，解得a=0，b=﹣4．所以f（x）=x3﹣4x，f′（x）=3x2﹣4．①可见f（x）=x3﹣4x，因此①正确；②令f′（x）=0，得x=±．因此②不正确；所以f（x）在[﹣，]内递减，且f（x）的极大值为f（﹣）=，极小值为f（）=﹣，两端点处f（﹣2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值为M=，最小值为m=﹣，则M+m=0，因此③正确．所以正确的结论为①③，故选C．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，应用导数求函数的极值点，最大值与最小值等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．12．（2016•日照二模）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．【解答】解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（2012秋•增城市期末）函数f（x）=lnx的图象在点x=1处的切线方程是y=x﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】先x=1代入解析式求出切点的坐标，再求出函数的导数后代入求出f′（1），即为所求的切线斜率，再代入点斜式进行整理即可．【解答】解：把x=1代入f（x）=lnx得，f（1）=ln1=0，∴切点的坐标为：（1，0），由f′（x）=（lnx）′=，得在点x=1处的切线斜率k=f′（1）=1，∴在点x=1处的切线方程为：y=x﹣1，故答案为：y=x﹣1．【点评】本题考查了导数的几何意义和直线点斜式方程，关键求出某点处切线的斜率即该点处的导数值，还有切点的坐标，利用切点在曲线上和切线上．14．（2012秋•广州期末）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a4+a5=12，则S7的值为28．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】利用等差数列的性质可求得a4，而S7=7a4，从而可求得S7的值，．【解答】解：∵{a n}为等差数列，a3+a4+a5=12，∴3a4=12，∴a4=4，又S7=7a4=28．故答案为：28．【点评】本题考查等差数列的前n项和，着重考查利用等差数列的性质，属于中档题．15．（2013•新余二模）已知x＞0，y＞0，++1=2，则2x+y的最小值为8．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，++1=2，∴2x+y=（2x+y）=4+=8，当且仅当y=2x=4时取等号．∴2x+y的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．16．（2016•江西校级三模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB斜倾角分别为α，β，则|tanα﹣tanβ|的最小值为1．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的标准方程及其性质可得：k PA•k PB=﹣，即tanαtanβ=﹣=﹣，由|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵离心率e===，∴=．设P（x0，y0），椭圆顶点A（﹣a，0），B（a，0），k PA=，k PA•k PB=，又=1，∴，∴k PA•k PB=﹣，即tanαtanβ=﹣=﹣，∴|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|≥2=1．当且仅当|tanα|=|tanβ|=1时取等号．∴|tanα﹣tanβ|的最小值为1，故答案为：1．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016•日照二模）已知函数f（x）=cosx（2sinx﹣cosx）+asin2x的一个零点是．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）令x∈[﹣，]，求此时f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）将f（x）化简，将（，0）代入求得a=1，将其化简为f（x）=2sin（2x﹣），求周期，（2）x∈[﹣，]，2x﹣∈[，]，由正弦函数图象求得f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）=cosx（2sinx﹣cosx）+asin2x=2sinxcosx﹣cos2x+asin2x，=sin2x﹣cos2x+asin2x，一个零点是，代入求得a=1，∴f（x）=2sin（2x﹣），f（x）的最小正周期为π，（2）x∈[﹣，]，2x﹣∈[，]，∴f（x）的最大值为，最小值﹣2．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．18．（12分）（2016秋•沙河口区校级期中）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；数形结合；等体积法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥CD，CD⊥AD，从而CD⊥平面ADE，再由AB∥CD，能证明AB⊥平面ADE．（Ⅱ）凸多面体ABCDE的体积V=V B﹣CDE+V B﹣ADE，由此能求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，又在正方形ABCD中，CD⊥AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，又在正方形ABCD中，AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．…（6分）解：（Ⅱ）连接BD，设B到平面CDE的距离为h，∵AB∥CD，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，又AE⊥平面CDE，∴h=AE=1，又=，∴=，又==，∴凸多面体ABCDE的体积V=V B﹣CDE +V B﹣ADE=．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）（2014•锦州一模）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=p（S n﹣a n）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n•b n=2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1即可得出a n，n=1时单独考虑，再利用等比数列的通项公式即可得出；（II）由（I）得，利用“错位相减法”即可得出其前n项和．【解答】解：（I）当n=1时，，得．当n≥2时，，，两式相减得a n=pa n﹣1，即．故{a n}是首项为，公比为p的等比数列，∴．由题意可得：2a1=6a3+a2，，化为6p2+p﹣2=0．解得p=或（舍去）．∴=．（II）由（I）得，则，+（2n﹣1）×2n+（2n+1）×2n+1，两式相减得﹣T n=3×2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n+1）×2n+1==﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1，∴．【点评】熟练掌握：当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1，a1=S1；等比数列的通项公式，“错位相减法”是解题的关键．20．（12分）（2016•江西校级三模）已知抛物线C：x2=4y，过点P（t，0）（其中t＞0）作互相垂直的两直线l1，l2，直线l1与抛物线C相切于点Q（在第一象限内），直线l2与抛物线C相交于A，B两点．（Ⅰ）当t=1时，求直线l1的方程；（Ⅱ）求证：直线l2恒过定点．【考点】抛物线的简单性质．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）当t=1时，设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x﹣1），代入抛物线的方程，运用直线和抛物线相切的条件：判别式为0，即可得到所求直线的方程；（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，则l1直线的方程为y=k（x﹣t），代入抛物线的方程，运用直线和抛物线相切的条件：判别式为0，可得t=k，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得直线l2的斜率及方程，进而得到定点．【解答】解：（Ⅰ）当t=1时，设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立可得：x2﹣4kx+4k=0，由于直线l1与抛物线C相切，所以△=16k2﹣16k=0，求得：k=0或k=1，根据点Q在第一象限内，所以k=1，从而直线l1的方程为x﹣y﹣1=0；证明：（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，则l1直线的方程为y=k（x﹣t），与抛物线方程联立可得：x2﹣4kx+4kt=0，由于直线l1与抛物线C相切，所以△=16k2﹣16kt=0，解得：t=k，故Q点坐标为（2t，t2），所以直线l1的斜率为，又l1⊥l2，故设l2的方程为：，即，则直线l2恒过定点（0，1）．【点评】本题考查抛物线和直线相切的条件，注意联立方程运用判别式为0，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及直线方程运用，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）（2015•山西三模）设函数，f（x）=lnx+，k∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求f（x）的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；（2）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先利用导数的几何意义求出k的值，然后利用导数求该函数单调区间及其极值；（2）由题意可知，函数f（x）﹣x在（0，+∞）上递增，即该函数的导数大于等于零在（0，+∞）恒成立，然后转化为导函数的最值问题来解．【解答】解：（1）由已知得．∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，∴此切线的斜率为0．即f′（e）=0，有，解得k=e．∴，由f′（x）＜0得0＜x＜e，由f′（x）＞0得x＞e．∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，当x=e时f（x）取得极小值．故f（x）的单调递减区间为（0，e），极小值为2．（2）条件等价于对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2（*）恒成立．设h（x）=f（x）﹣x=lnx+．∴（*）等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减．由在（0，+∞）上恒成立，得恒成立．所以（对k=，h′（x）=0仅在x=时成立），故k的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查了导数的几何意义（切线问题）以及利用导数如何研究函数单调性、极值的基本思路，属于基础题型．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2014•安阳一模）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：+=1，以O为极点，x轴的正半轴极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的方程为：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（1）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；（2）在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，利用同角三角函数的基本关系把曲线C1的直角坐标方程化为参数方程．（2）设点P（cosθ，2sinθ），求得点P到直线l的距离为d=，利用正弦函数的值域求得d的最大值．【解答】解：（1）直线l的方程为：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6，即2x﹣y﹣6=0．曲线C1：+=1的参数方程为（θ为参数）．（2）设点P（cosθ，2sinθ），则点P到直线l的距离为d==，故当sin（﹣θ）=﹣1时，d取得最大值为=2．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，两角和的正弦公式、正弦函数的值域，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2015•大连二模）已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值三角不等式．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质可得≥==4．（2）由题意可得|2+x|+|2﹣x|≤恒成立，由于的最小值为4，故有x的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集，解绝对值不等式求得实数x的取值范围．【解答】解：（1）∵≥==4，故的最小值为4．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，即|2+x|+|2﹣x|≤恒成立，故|2+x|+|2﹣x|不大于的最小值．（4分）由（1）可知，的最小值为4，当且仅当（2a+b）（2a﹣b）≥0时取等号，∴的最小值等于4．（8分）∴x的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集．解不等式得﹣2≤x≤2，故实数x的取值范围为[﹣2，2]．（10分）【点评】本题考查查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想．。

2016-2017学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（3分）下列语句不是命题的是（）A．﹣3＞4B．0.3是整数C．a＞3D．4是3的约数2．（3分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（3分）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．4．（3分）已知：，，类比上述等式，则：a+t＝（）A．70B．68C．69D．715．（3分）“直线x﹣y﹣k＝0与圆（x﹣1）2+y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（）A．﹣1＜k＜3B．﹣1≤k≤3C．0＜k＜3D．k＜﹣1或k＞3 6．（3分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2B．﹣2C．D．7．（3分）已知变量x，y的一组观测数据如表所示：据此得到的回归方程为＝x+，若＝7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位8．（3分）若函数f（x）＝x2﹣在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，+2）D．9．（3分）已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．或C．D．10．（3分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）11．（3分）已知；，则f（n+1）﹣f（n）＝（）A．B．C．D．12．（3分）对二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y＝f（x）上二、填空题：本大题共4小题：每题4分，共16分．13．（4分）复数i（1+i）的虚部为．14．（4分）在研究吸烟与患有肺病的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患有肺病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则有以下说法：①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人．你认为正确的说法是．（填上你认为正确的所有说法的序号）15．（4分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是．16．（4分）如图是函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的大致图象，则＝．三、解答题：本大题共5小题：共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）已知p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；q：实数x 满足．（1）若a＝1，且p，q均正确，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（8分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．19．（8分）已知函数f（x）＝kx3﹣3x2+1（k≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围．20．（12分）地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．下图1和图2分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（Ⅰ）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？附：．临界值表：21．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y ＝f（x）相切？（只需写出结论）2016-2017学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（3分）下列语句不是命题的是（）A．﹣3＞4B．0.3是整数C．a＞3D．4是3的约数【解答】解：A，B，D都是表示判断一件事情，C无法判断，故选：C．2．（3分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【解答】解：由，得z＝i（1﹣i）＝1+i．故选：B．3．（3分）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选：B．4．（3分）已知：，，类比上述等式，则：a+t＝（）A．70B．68C．69D．71【解答】解：观察下列等式：，照此规律，第7个等式中：a＝8，t＝82﹣1＝63a+t＝71．故选：D．5．（3分）“直线x﹣y﹣k＝0与圆（x﹣1）2+y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（）A．﹣1＜k＜3B．﹣1≤k≤3C．0＜k＜3D．k＜﹣1或k＞3【解答】解：联立直线与圆的方程得：，消去y得：2x2+（﹣2k﹣2）x+k2﹣1＝0，由题意得：△＝（﹣2k﹣2）2﹣8（k2﹣1）＞0，变形得：（k﹣3）（k+1）＜0，解得：﹣1＜k＜3，∵0＜k＜3是﹣1＜k＜3的一个真子集，∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜k＜3．故选：C．6．（3分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2B．﹣2C．D．【解答】解：∵f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，∴f′（x）＝2x+3f′（2）+，令x＝2，则f′（2）＝4+3f′（2）+，即2f′（2）＝﹣，∴f′（2）＝﹣．故选：D．7．（3分）已知变量x，y的一组观测数据如表所示：据此得到的回归方程为＝x+，若＝7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位【解答】解：由表格得＝5，＝0.9，∵回归直线方程为＝bx+7.9，过样本中心，∴5b+7.9＝0.9，即b＝﹣，则方程为＝﹣x+7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就减少1.4个单位，故选：B．8．（3分）若函数f（x）＝x2﹣在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，+2）D．【解答】解：∵f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣＝，f′（x）＞0得，x＞；f′（x）＜0得，0＜x＜；∵函数f（x）定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴0≤k﹣1＜＜k+1，∴1≤k＜．故选：B．9．（3分）已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．或C．D．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，∴命题“∃x∈R，x2﹣2ax+3＜0”是真命题，故△＝4a2﹣12＞0，解得：或，故选：B．10．（3分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：设g（x）＝，则g（x）的导数为：g′（x）＝，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）＝为减函数，又∵g（﹣x）＝＝＝＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）＝＝0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．11．（3分）已知；，则f（n+1）﹣f（n）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴f（n+1）﹣f（n）＝，故选：D．12．（3分）对二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y＝f（x）上【解答】解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）＝ax2+bx+c的导数为f′（x）＝2ax+b，即有f′（1）＝0，即2a+b＝0，①又f（1）＝3，即a+b+c＝3②，又f（2）＝8，即4a+2b+c＝8，③由①②③解得，a＝5，b＝﹣10，c＝8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c＝0，且4a+2b+c＝8，且＝3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c＝0，且2a+b＝0，且4a+2b+c＝8，解得a＝﹣不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c＝0，且2a+b＝0，且＝3，解得a＝﹣不为非零整数，不成立．故选：A．二、填空题：本大题共4小题：每题4分，共16分．13．（4分）复数i（1+i）的虚部为1．【解答】解：复数i（1+i）＝﹣1+i．复数的虚部为：1．故答案为：1．14．（4分）在研究吸烟与患有肺病的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患有肺病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则有以下说法：①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人．你认为正确的说法是②④．（填上你认为正确的所有说法的序号）【解答】解：独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性是存在差异的．①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病，显然错误；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病，根据统计，是正确的；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人，显然错误；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人，也有可能，故正确．故答案为②④．15．（4分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是存在一个能被2整除的数不是偶数．【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题．其否定一定是一个特称命题，结合全称命题的否定方法，我们易得，命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是：存在一个能被2整除的数不是偶数．故答案为：存在一个能被2整除的数不是偶数．16．（4分）如图是函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的大致图象，则＝．【解答】解：由图象知f（x）＝0的根为0，1，2，∴d＝0．∴f（x）＝x3+bx2+cx＝x（x2+bx+c）＝0．∴x2+bx+c＝0的两个根为1和2．∴b＝﹣3，c＝2．∴f（x）＝x3﹣3x2+2x．∴f′（x）＝3x2﹣6x+2．∵x1，x2为3x2﹣6x+2＝0的两根，∴．∴．故填：．三、解答题：本大题共5小题：共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）已知p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；q：实数x 满足．（1）若a＝1，且p，q均正确，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1，（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3，由解得2＜x≤3，∵p，q均正确，∴2＜x＜3，故实数x的取值范围为（2，3），（2）∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∵p为a＜x＜3a，∴，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围（1，2]．18．（8分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．【解答】解：（1）∵f（1）＝1，f（2）＝5，f（3）＝13，f（4）＝25，∴f（2）﹣f（1）＝4＝4×1．f（3）﹣f（2）＝8＝4×2，f（4）﹣f（3）＝12＝4×3，f（5）﹣f（4）＝16＝4×4∴f（5）＝25+4×4＝41．（2）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）＝4n．∴f（2）﹣f（1）＝4×1，f（3）﹣f（2）＝4×2，f（4）﹣f（3）＝4×3，…f（n﹣1）﹣f（n﹣2）＝4•（n﹣2），f（n）﹣f（n﹣1）＝4•（n﹣1）∴f（n）﹣f（1）＝4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]＝2（n﹣1）•n，∴f（n）＝2n2﹣2n+1．19．（8分）已知函数f（x）＝kx3﹣3x2+1（k≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围．【解答】解：（I）当k＝0时，f（x）＝﹣3x2+1∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，单调减区间[0，+∞）．当k＞0时，f'（x）＝3kx2﹣6x＝3kx（x﹣）∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，[，+∞），单调减区间为[0，]．（II）当k＝0时，函数f（x）不存在最小值．当k＞0时，依题意f（）＝﹣+1＞0，即k2＞4，由条件k＞0，所以k的取值范围为（2，+∞）20．（12分）地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．下图1和图2分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（Ⅰ）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？附：．临界值表： 【解答】解：（Ⅰ）七年级学生竞赛平均成绩（45×30+55×40+65×20+75×10）÷100＝56（分），八年级学生竞赛平均成绩（45×15+55×35+65×35+75×15）÷100＝60（分）． …（6分） （Ⅱ）…（8分） ∴，∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”． 21．（12分）已知函数f （x ）＝2x 3﹣3x ． （Ⅰ）求f （x ）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y ＝f （x ）相切，求t 的取值范围； （Ⅲ）问过点A （﹣1，2），B （2，10），C （0，2）分别存在几条直线与曲线y ＝f （x ）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f （x ）＝2x 3﹣3x 得f ′（x ）＝6x 2﹣3，令f′（x）＝0得，x＝﹣或x＝，∵f（﹣2）＝﹣10，f（﹣）＝，f（）＝﹣，f（1）＝﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则y0＝2﹣3x0，且切线斜率为k＝6﹣3，∴切线方程为y﹣y0＝（6﹣3）（x﹣x0），∴t﹣y0＝（6﹣3）（1﹣x0），即4﹣6+t+3＝0，设g（x）＝4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）＝12x2﹣12x＝12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：∴g（0）＝t+3是g（x）的极大值，g（1）＝t+1是g（x）的极小值．当g（0）＝t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）＝t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）＝t﹣7＜0，g（2）＝t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切．。

安徽省师范大学附属中学2017届 高三上学期期中考查试卷（理）第I 卷(选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A∩B=∅，则实数a 的取值范围是（ ）(A)(,1]-∞-(B)(,1]-∞(C)[1,)-+∞(D)[1,)+∞2、复数1cos sin z x i x =-，2sin cos z x i x =-，则21z z ∙=（ ）(A)1(B)2(C)3 (D)43、在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ）(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件4、某长方体的三视图如图，长度为的体对角线在正视图中的投影长度为，在侧视图中的投影长度为，则该长方体的全面积为（ ）5、一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ） (A)13，12(B)12，13(C)13，13(D)13，146、等比数列}{n a 中，,60,404321=+=+a a a a 78a a +=（ ）(A)135 (B)100 (C)95(D)807、已知向量==,若,则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)8、已知ABC ∆的三边长成公差为2的周长是（ ）(A)253+ (B)456+ (C)6(D)10(A)15(B)18 (C)21 (D)249、已知双曲线221(00)mx ny m n -=>>、的离心率为2，则椭圆122=+ny mx 的离心率为（ ） (A)33 (B)332 (C)36 (D)31 10、如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0,—1)，B (π,—1)，C (π,1)，D (0,1)，正弦曲线f (x )=sin x 和余弦曲线g (x )=cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )(A)π21+(B)π221+(C)π1 (D)π2111、函数()f x 的定义域为[]1,1-，图像如图1所示；函数()g x 的定义域为[]1,2-，图像如图2所示..{}(())0A x f g x ==,{}(())0B x g f x ==,则A∩B 中元素的个数为（ ）.(A)1(B)2(C)3(D)412、设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是( )(A)(－∞，0)(B)⎝⎛⎭⎫0，12 (C)⎣⎡⎭⎫12，＋∞(D).⎝⎛⎦⎤－∞，12第II 卷(非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2016-2017学年福建省师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={y|y=，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．[2，+∞）B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]2．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．4．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位5．等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a2a4=（）A．6 B．9 C．36 D．816．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q7．若2cos2α=sin（﹣α），且α∈（，π），则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．1 D．8．设函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数9．若x，y满足约束条件则（x+2）2+（y+3）2的最小值为（）A．B．C．5 D．910．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C． D．11．函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．12．数列{a n}满足a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前44项和为（）+1A．990 B．870 C．640 D．615二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．14．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是．15．若等差数列{a n}满足a6+a7+a8＞0，a6+a9＜0，则当n=时，{a n}的前n项和最大．16．已知A是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）图象上的一个最高点，B，C是f（x）图象上相邻的两个对称中心，且△ABC的面积为，若存在常数M（M＞0），使得f（x+M）=Mf（﹣x），则该函数的解析式是f（x）=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足．（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．18．已知函数f（x）=（sinωx+cosϖx）cosωx﹣（x∈R，ω＞0）．若f（x）的最小正周期为4π．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f （A）的取值范围．19．已知数列{a n}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2log2a n﹣1，求数列{a n b n}的前n项和T n．20．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．21．已知函数f（x）=xe x﹣alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，曲线C′上任一点为M（x0，y0），求+的取值范围．选修4-5：不等式选讲23．已知f（x）=|3x+|+3|x﹣a|．（Ⅰ）若a=1，求f（x）≥8的解集；（Ⅱ）对任意a∈（0，+∞），任意x∈R，f（x）≥m恒成立，求实数m的最大值．2016-2017学年福建省师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={y|y=，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．[2，+∞）B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]【考点】交集及其运算．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=≥0，得到A=[0，+∞），由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即B=[﹣1，2]，则A∩B=[0，2]，故选：D．2．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充要条件的定义，逐一分析“x＞y”⇒x＞|y|”和“x＞|y|”⇒“x＞y”的真假，可得答案．【解答】解：当x=1，y=﹣2时，“x＞y”成立，但“x＞|y|”不成立，故“x＞y”是“x＞|y|”的不充分条件，当“x＞|y|”时，若y≤0，“x＞y”显然成立，若y＞0，则“x＞|y|=y”，即“x＞y”成立，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要条件，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，故选：B．3．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数，然后求解复数的模．【解答】解：复数z满足zi=2i+x（x∈R），可得z==2﹣xi．若z的虚部为2，可得x=﹣2．z=2﹣2i．∴|z|=2故选：B．4．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．5．等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a2a4=（）A．6 B．9 C．36 D．81【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴3（1+q2+q4）=21，化为：q4+q2﹣6=0，解得q2=2．则a2a4==32×22=36．故选：C．6．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【考点】复合命题的真假．【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．【解答】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为真命题．则￢p∧q为真命题．故选B．7．若2cos2α=sin（﹣α），且α∈（，π），则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．1 D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），且2cos2α=sin（﹣α），∴2（cos2α﹣sin2α）=（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα=﹣，或cosα﹣sinα=0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．∵cosα+sinα=﹣，则有1+sin2α=，sin2α=．故选：A．8．设函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】求出函数f（x）的定义域，判断f（x）的奇偶性，再根据复合函数的单调性判断f （x）在（0，1）上的单调性．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x）=ln[（1+x）（1﹣x）]，x∈（﹣1，1）；∴f（﹣x）=ln[（1﹣x）（1+x）]=f（x），∴f（x）是（﹣1，1）上的偶函数；又f（x）=ln[（1+x）（1﹣x）]=ln（1﹣x2），当x∈（0，1）时，二次函数t=1﹣x2是减函数，所以函数f（x）=ln（1﹣x2）也是减函数．故选：D．9．若x，y满足约束条件则（x+2）2+（y+3）2的最小值为（）A．B．C．5 D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，（x+2）2+（y+3）2的几何意义是区域内的点到点D（﹣2，﹣3）的距离的平方，则由图象知D到直线BC：x+y+2=的距离最小，此时最小值d=，则（x +2）2+（y +3）2的最小值为d 2=（）2=，故选：B ．10．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，对三角形的形状进行探究，得到BC 为直径；将用表示，利用运算法则展开求出投影，选出正确选项．【解答】解：∵∴∴，∴∴O ，B ，C 共线为直径 ∴AB ⊥AC∵∴=1，可得|BC |=2∴==1∴向量在向量方向上的投影为故选D ．11．函数f （x ）=（1﹣cosx ）sinx 在[﹣π，π]的图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可排除B，再由x∈（0，π）时，f（x）＞0，可排除A，求导数可得f′（0）=0，可排除D，进而可得答案．【解答】解：由题意可知：f（﹣x）=（1﹣cosx）sin（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故可排除B，又因为当x∈（0，π）时，1﹣cosx＞0，sinx＞0，故f（x）＞0，可排除A，又f′（x）=（1﹣cosx）′sinx+（1﹣cosx）（sinx）′=sin2x+cosx﹣cos2x=cosx﹣cos2x，故可得f′（0）=0，可排除D，故选C12．数列{a n}满足a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前44项和为（）+1A．990 B．870 C．640 D．615【考点】数列的求和．【分析】令a1=a，由递推式，算出前几项，得到相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值．【解答】解：令a1=a，由，可得a2=1+a，a3=2﹣a，a4=7﹣a，a5=a，a6=9+a，a7=2﹣a，a8=15﹣a，a9=a，a10=17+a，a11=2﹣a，a12=24﹣a，…可得（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）+…+（a41+a43）=2+2++2+…+2=2×11=22；a2+a6+a10+…+a42=（1+a）+（9+a）+…+（81+a）=11（1+a）+×11×10×8=451+11a；a4+a8+a12+…+a44=（7﹣a）+（15﹣a）+…+（87﹣a）=11（7﹣a）+×11×10×8=517﹣11a；即有前44项和为22+451+11a+517﹣11a=990．故选A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．14．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是0＜b＜2．【考点】函数的零点．【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，故答案为：0＜b＜215．若等差数列{a n}满足a6+a7+a8＞0，a6+a9＜0，则当n=7时，{a n}的前n项和最大．【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】等差数列{a n}满足a6+a7+a8＞0，a6+a9＜0，可得3a7＞0，a7+a8＜0，可得a8＜0，即可得出．【解答】解：∵等差数列{a n}满足a6+a7+a8＞0，a6+a9＜0，∴3a7＞0，a7+a8＜0，可得a8＜0，因此等差数列{a n}是单调递减数列，∴，{a n}的前7项和最大．故答案为：7．16．已知A 是函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）图象上的一个最高点，B ，C 是f（x ）图象上相邻的两个对称中心，且△ABC 的面积为，若存在常数M （M ＞0），使得f （x +M ）=Mf （﹣x ），则该函数的解析式是f （x ）= ﹣sin πx ． 【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得A 的纵坐标为1，再根据△ABC 的面积为，求得ω=π，再根据存在常数M （M ＞0），使得f （x +M ）=Mf （﹣x ），求得φ，可得函数的解析式．【解答】解：由题意可得A 的纵坐标为1，BC=•=，△ABC 的面积为••1=，∴ω=π，f （x ）=sin （πx +φ）． ∵存在常数M （M ＞0），使得f （x +M ）=Mf （﹣x ），即sin （πx +M π+φ）=Msin （﹣πx +φ）， ∴M=1，φ=π，∴f （x ）=sin （πx +π）=﹣sin πx ， 故答案为：﹣sin πx ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足．（I ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n 项和．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（ I ）当n=1时，a 1=S 1，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，计算即可得到{a n }的通项公式；（ II ）由（I ）知，运用裂项相消求和，化简即可得到所求和． 【解答】解：（ I ）当n=1时，a 1=S 1=1；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣﹣+=2﹣n ，故{a n }的通项公式为a n =2﹣n ；（ II ）由（I ）知，则数列S n =．18．已知函数f （x ）=（sin ωx +cos ϖx ）cos ωx ﹣（x ∈R ，ω＞0）．若f （x ）的最小正周期为4π．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f （A）的取值范围．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）通过两角和公式把f（x）化简成f（x）=sin（2ωx+），通过已知的最小正周期求出ω，得到f（x）的解析式．再通过正弦函数的单调性求出答案．（2）根据正弦定理及（2a﹣c）cosB=bcosC，求出cosB，进而求出B．得到A的范围．把A 代入f（x）根据正弦函数的单调性，求出函数f（A）的取值范围．【解答】解：（1），∵，∴，∴，∴f（x）的单调递增区间为；（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴，∴∵，，∴∴．19．已知数列{a n}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2log2a n﹣1，求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）等比数列{a n}中，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项，有等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；（Ⅱ）把（1）中求得的结果代入b n=2log2a n﹣1，求出b n，利用错位相减法求出T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，因为a2=4，所以a3=4q，．）因为a3+2是a2和a4的等差中项，所以2（a3+2）=a2+a4．即2（4q+2）=4+4q2，化简得q2﹣2q=0．因为公比q≠0，所以q=2．所以（n∈N*）．（Ⅱ）因为，所以b n=2log2a n﹣1=2n﹣1．所以．则，①，，②，①﹣②得，．=，所以．20．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式，利用三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得sin（A﹣30°）=，结合A的范围，利用正弦函数的性质即可求A的值．（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式可得4=b2+c2﹣bc≥bc，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，∴，当且仅当b=c时，等号取到．21．已知函数f（x）=xe x﹣alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=0，解方程可得a，由导数的单调性，结合f′（1）=0，可得f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论①当b≤0时，求得f（x）的最小值，可得结论成立；②当0＜b≤e时，设g（x）=xe x﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），求出导数，构造函数h（x）=（x+1）e x﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，求得导数，判断单调性，可得g（x）最小值，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=xe x﹣alnx的导数为f′（x）=（x+1）e x﹣，x＞0，依题意得f′（1）=0，即2e﹣a=0，解得a=2e．所以f′（x）=（x+1）e x﹣，显然f′（x）在（0，+∞）单调递增且f′（1）=0，故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：①当b≤0时，由（Ⅰ）知，当x=1时，f（x）取得最小值为e．又b（x2﹣2x+2）的最大值为b，故f（x）≥b（x2﹣2x+2）；②当0＜b≤e时，设g（x）=xe x﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），所以g′（x）=（x+1）e x﹣﹣2b（x﹣1），令h（x）=（x+1）e x﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，则h′（x）=（x+2）e x+﹣2b，当x∈（0，1）时，﹣2b≥0，（x+2）e x＞0，所以h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，（x+2）e x﹣2b＞0，＞0，所以h′（x）＞0．所以当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0．，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x=1时，g（x）取得最小值g（1）=e﹣b≥0，所以g（x）≥0，即f（x）≥b（x2﹣2x+2）．综上，当b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，曲线C′上任一点为M（x0，y0），求+的取值范围．【考点】平面直角坐标轴中的伸缩变换；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由（t为参数）消去参数可得直线l的普通方程，由ρ=2，两端平方可得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′的方程为x2+=4，化为参数方程，则（θ为参数）代入+即可求得取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由（t为参数）消去参数可得直线l的普通方程为：x+y﹣2﹣1=0由ρ=2，两端平方可得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4…（Ⅱ）曲线C经过伸缩变换得到曲线C′的方程为x2+=4，即+=1 又点M在曲线C′上，则（θ为参数）代入x0+y0得：x0+y0得=•2cosθ+•4sinθ=22osθ+2sinθ=4sin（θ+），所以x0+y0的取值范围是[﹣4，4]…选修4-5：不等式选讲23．已知f（x）=|3x+|+3|x﹣a|．（Ⅰ）若a=1，求f（x）≥8的解集；（Ⅱ）对任意a∈（0，+∞），任意x∈R，f（x）≥m恒成立，求实数m的最大值．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的解析式，对x讨论，当x≥1时，当﹣＜x＜1时，当x≤﹣时，化简f（x），再解不等式，最后求并集即可；（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质，结合基本不等式，可得f（x）的最小值为2，再由不等式恒成立思想，可令m不大于最小值，即可得到m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）若a=1，则f（x）=|3x+1|+|3x﹣3|，则当x≥1时，f（x）=3x+1+3x﹣3=6x﹣2≥8，解得x≥，则为x≥；当﹣＜x＜1时，f（x）=3x+1+3﹣3x=4≥8，无解，则x∈∅；当x≤﹣时，f（x）=﹣3x﹣1+3﹣3x=2﹣6x≥8，解得x≤﹣1，则为x≤﹣1．综上可得x≤﹣1或x≥．则解集为（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）；（Ⅱ）f（x）=|3x+|+3|x﹣a|≥|（3x+）+（3a﹣3x）|=|+3a|=3a+≥2=2，当且仅当3a=即a=时，取得最小值2．由于任意x∈R，f（x）≥m恒成立，则m≤2，即有m的最大值为2．2016年12月15日。

2021届安徽师大附中学高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题1．已知复数z 满足i z i 21+=⋅（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A.2 B.3 C.5 D.5 【答案】C【解析】试题分析：()()12122iz i i i i+==+-=-,所以z = C. 【考点】复数的运算.2．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：由正弦定理可知2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ≤⇔≤⇔≤,所以a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的充分必要条件，故选A. 【考点】充要条件的判断.3．已知双曲线221()my x m R -=∈与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.y =B.y x =C.13y x =±D.3y x =± 【答案】A【解析】试题分析：椭圆2215y x +=的焦点坐标为()0,2±，所以11143m m +=⇒=，所以双曲线方程为2213y x -=，渐近线方程为y =. 【考点】双曲线的简单几何性质.4．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于（ ） A.18 B.24 C.60 D.90 【答案】C【解析】试题分析：由题意可知()()()2 11181263878322ad a d a dS a d⎧+⋅+=+⎪⎨⨯=+=⎪⎩，整理得21132278d a da d⎧=-⎨+=⎩，因为0d≠，所以132ad=-⎧⎨=⎩，所以10110910602S a d⨯=+=，故选C.【考点】等差数列的通项公式与前n项和公式.5．某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A.4B.22C.24 D.8【答案】D【解析】试题分析：根据三视图还原可知该几何体为长、宽、高分别为3,2,2的长方体，被一个平面截去一部分剩余的23，如图所示，所以该几何体的体积为()232283⨯⨯⨯=，故选D.【考点】三视图与几何体的体积.6．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（）A.错误!未找到引用源。

2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m2．（3分）设P是异面直线a，b外的一点，则过点P与a，b都平行的平面（）A．有且只有一个B．恰有两个C．不存在或只有一个D．有无数个3．（3分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条4．（3分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0 5．（3分）如图所示的是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在原正四面体中，给出下列结论：①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN所成角为60°；④DE与MN垂直．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（3分）一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π7．（3分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（）A．B．C．D．8．（3分）直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（）A．3x﹣2y+2=0B．2x+3y+7=0C．3x﹣2y﹣12=0D．2x+3y+8=0 9．（3分）在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形10．（3分）如果直线l将圆x2+y2﹣4x+2y=0平分，且不通过第三象限，则l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．11．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．112．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上）13．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为．14．（3分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．16．（3分）在三棱锥S﹣ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，，，则直线SC与AB所成角的余弦值是．三、解答题（本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（9分）已知三条直线l1：2x﹣y+a=0（a＞0），l2：﹣4x+2y+1=0，l3：x+y﹣1=0，且l1与l2间的距离是．（1）求a的值．（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是：．18．（9分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．19．（10分）若满足方程：x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4t2）恒在所给的圆内，求t的取值范围．20．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，EF=1，，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求多面体EFABCD的体积．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4和圆C2：（x+3）2+（y﹣1）2=4（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为2，求直线l2的方程；（3）直线l3的方程是x=，证明：直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选：B．【点评】本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题2．（3分）设P是异面直线a，b外的一点，则过点P与a，b都平行的平面（）A．有且只有一个B．恰有两个C．不存在或只有一个D．有无数个【分析】当P与a（或者b）构成的平面恰与b（或者a）平行时，为0个，否则是1个．【解答】解：∵a，b为异面直线，∴a，b不平行，过p做a的平行线有且只有一条设为c，同样过p做b的平行线有且只有一条设为d．a，b的平行线只能组成一个平面，设为平面A．如果c恰好和b相交或者d与a相交，即当a或者b正好在A平面内时，过P 且与a，b都平行的平面不存在；如果c不与b相交或者d不与a相交，过P且与a，b都平行的平面有且只有一个．综上，过点P与a，b都平行的平面不存在或只有一个．故选：C．【点评】本题考查满足条件的平面个数的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．3．（3分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2两圆圆心距离：，说明两圆相交，因而公切线只有两条．故选：B．【点评】本题考查圆的切线方程，两圆的位置关系，是基础题．4．（3分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0【分析】要求两个圆的交点的中垂线方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，求出两个圆的圆心坐标，利用两点式方程求解即可．【解答】解：由题意圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，圆：x2+y2﹣4x+6y=0的圆心（2，﹣3）和圆：x2+y2﹣6x=0的圆心（3，0），所以所求直线方程为：，即3x﹣y﹣9=0．故选：C．【点评】本题是基础题，考查两个圆的位置关系，弦的中垂线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．5．（3分）如图所示的是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在原正四面体中，给出下列结论：①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN所成角为60°；④DE与MN垂直．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH 与MN成60°角，DE⊥MN．【解答】将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，如图：对于①，G、H分别为DE、BE的中点，则GH∥AD，而AD与EF异面，故GH与EF不平行，故①错误；对于②，假设BD与MN共面，则A、D、E、F四点共面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面，故②正确；对于③，依题意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH与MN成60°角，故③正确；对于④，DE⊥AF，MN∥AF，∴DE与MN垂直，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②③④，故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查正四面体的结构特征等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．（3分）一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π【分析】正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．【解答】解：由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：．所以球的表面积为：4πR2==3π．故选：A．【点评】本题是中档题，考查正四面体的外接球的表面积的求法，注意正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球是本题解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．7．（3分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（）A．B．C．D．【分析】一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，设出底面半径和母线与轴所成角为θ，表示出圆锥的高，根据圆锥体积公式V=，和球的体积公式V=πR3，代入即可求得圆锥的母线与轴所成角正弦值．【解答】解：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高H=R•ctgθ圆锥的体积，V1==ctgθ半球的体积V2=∵V1=V2解得ctgθ=2，∵ctgθ==2，sin2θ+cos2θ=1解得sinθ=．故选：C．【点评】考查圆锥和球的体积公式，及线线角的问题，在计算过程中注意公式的灵活应用，属基础题．8．（3分）直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（）A．3x﹣2y+2=0B．2x+3y+7=0C．3x﹣2y﹣12=0D．2x+3y+8=0【分析】直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6=0选特殊点，关于点（1，﹣1）对称点求出，验证B即可得到答案．【解答】解：直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6=0选特殊点（0，2），它关于点（1，﹣1）对称点（2，﹣4），显然（2，﹣4）不在2x+3y+7=0上．故选：D．【点评】选择题的解法，灵活多样，本题用排除、特值、验证的方法解答．本题是基础题．9．（3分）在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形【分析】A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF，即可判断出正误．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，即可判断出正误；C．当EF∥平面ABC时，可得EF∥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AE，EF⊥AE，即可判断出正误；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误．【解答】解：A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴AE⊥BC，可得：AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF﹣定为直角三角形，正确．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，因此不正确；C．当EF∥平面ABC时，平面PBC∩ABC=BC，可得EF∥BC，∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，因此EF⊥AE，则△AEF﹣定为直角三角形，正确；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，因此△AEF﹣定为直角三角形，正确．故选：B．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理、直角三角形的定义，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．10．（3分）如果直线l将圆x2+y2﹣4x+2y=0平分，且不通过第三象限，则l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】直线l过圆心（2，﹣1），设直线l：y=kx+（﹣1﹣2k），由直线l不过第三象限，得到直线l的斜率k≤0，且﹣1﹣2k≥0，由此能求出l的斜率的取值范围．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x+2y=0，∴（x﹣2）2+（y+1）2=5，∵直线l将圆x2+y2﹣4x+2y=0平分，∴直线l是直径，过圆心（2，﹣1），设直线l：y+1=k（x﹣2），即y=kx+（﹣1﹣2k），∵直线l不过第三象限，∴直线l的斜率k≤0，且纵截距：﹣1﹣2k≥0，解得k≤﹣．∴l的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣）．故选：C．【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查直线方程、圆等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S=×1×1=，高为1，故棱锥的体积V==，故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【分析】解法一：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M 和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜；③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论．【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为=1，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故﹣≤0，故点M在射线OA上．设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即=，即=，可得a=＞0，求得b＜，故有＜b＜．③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|x N﹣x P|=，即（1﹣b）•|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．两边开方可得（1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得b＞1﹣，故有1﹣＜b＜．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，故选：B．解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．由于a＞0，∴b＞1﹣．当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．综上可得，1﹣＜b＜，故选：B．【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上）13．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【分析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．14．（3分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于．【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，∠B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴sin∠B1AD1===，故答案为：．【点评】本题主要考查了线面角问题，求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线，再求线面角的正弦值，是中档题．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．【分析】设，由=+两边同时平方可求cosθ，结合θ的范围及公式可求，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，进而可求r【解答】解：由题意可得，=r设，θ∈[0，π]则==r2cosθ∵=+两边同时平方可得，=即×∴cosθ=∵，∴且cos∴=设圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，则d=rcos=即∴r=故答案为：．【点评】本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键．16．（3分）在三棱锥S﹣ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，，，则直线SC与AB所成角的余弦值是．【分析】将三棱锥放入到长方体内，利用余弦定理能求出直线SC与AB所成角的余弦值．【解答】解：将三棱锥放入到长方体内，则∠DSC是直线SC与AB所成角，长方体的高SA=2，AB=，SC=4，BC=，CD==5，∴△DSC中，cos∠DSC==．∴直线SC与AB所成角的余弦值是．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（9分）已知三条直线l1：2x﹣y+a=0（a＞0），l2：﹣4x+2y+1=0，l3：x+y﹣1=0，且l1与l2间的距离是．（1）求a的值．（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是：．【分析】（1）将直线l2的方程化为2x﹣y﹣=0，利用两条平行线l1与l2间的距离公式能求出a．（2）假设存在点P，设点P（x0，y0）．若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x﹣y+c=0上，且=•，求出2x0﹣y0+=0或2x0﹣y0+=0．若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有=•，由此能求出存在点P（，）同时满足三个条件．【解答】解：（1）将直线l2的方程化为2x﹣y﹣=0，∴两条平行线l1与l2间的距离d==，由a＞0，解得a=3．（2）假设存在点P，设点P（x0，y0）．若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x﹣y+c=0上，且=•，解得c=或c=，所以2x0﹣y0+=0或2x0﹣y0+=0．若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有=•，即|2x0﹣y0+3|=|x0+y0﹣1|，所以x0﹣2y0+4=0或3x0+2=0．由于点P在第一象限，所以排除3x0+2=0．联立方程2x0﹣y0+=0和x0﹣2y0+4=0，解得（舍去）；联立方程2x0﹣y0+=0和x0﹣2y0+4=0，解得，所以存在点P（，）同时满足三个条件．【点评】本题考查实数值的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，考查两平行线间距离公式、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（9分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．【分析】（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；（Ⅱ）首先，可以得到∠A 1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得到，∠A1D1E=60°．【解答】解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．（Ⅱ）∵，EB 1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在Rt△EB 1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在Rt△EB1D1中，得，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．【点评】本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．19．（10分）若满足方程：x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4t2）恒在所给的圆内，求t的取值范围．【分析】（1）已知方程可化为（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9，由此能求出t的取值范围．（2）r==，由此能求出r max=，此时圆的面积最大，并能求出对应的圆的方程．（3）由点P恒在所给圆内，得（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，由此能求出0＜t＜．【解答】解：（1）已知方程可化为：（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9∴r2=﹣7t2+6t+1＞0，即7t2﹣6t﹣1＜0，解得﹣＜t＜1，t的取值范围是（﹣，1）．（2）r==，当t=∈（﹣，1）时，r max=，此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：（x﹣）2+（y+）2=．（3）圆心的坐标为（t+3，4t2﹣1）．半径r2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣（16t4+9）=﹣7t2+6t+1∵点P恒在所给圆内，∴（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，即4t2﹣3t＜0，解得0＜t＜．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．20．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，EF=1，，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求多面体EFABCD的体积．【分析】（1）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM∥平面ADF；（2）由线面垂直的判定定理，证出BD⊥平面ABEF，求出三棱锥D﹣AEF的体积，再求得四棱锥E﹣ABCD的体积，作和得答案．【解答】（1）证明：取AD的中点N，连接MN、NF，在△DAB中，∵M是BD的中点，N是AD的中点，∴MN∥AB，MN=，又∵EF∥AB，EF=，∴MN∥EF，MN=EF，则四边形MNFE为平行四边形，∴EM∥FN，又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，∴EM∥平面ADF；（2）解：∵EB⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EB，∵∠ABD=90°，即BD⊥AB，且EB、AB是平面ABEF内的相交直线，∴BD⊥平面ABEF，∴BD是三棱锥D﹣AEF的高线，在Rt△BDC中，BD==3，而△AEF面积S=×EF×BE=，×BD=××3=，因此可得三棱锥D﹣AEF的体积V=S△AEF又四棱锥E﹣ABCD得体积V=，∴多面体EFABCD的体积V=．【点评】本题考查线面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，属于中档题．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4和圆C2：（x+3）2+（y﹣1）2=4（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为2，求直线l2的方程；（3）直线l3的方程是x=，证明：直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．【分析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求直线l1的方程；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣4），再利用圆C2的圆心到l的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；（3）设出过P点的直线l4与l5的点斜式方程，根据⊙C1和⊙C2的半径，及直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等，可得⊙C1的圆心到直线l4的距离与圆C2的圆心到直线l5的距离相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．【解答】（1）解：由题意，直线的斜率存在时，设方程为y=k（x﹣2），即kx﹣y ﹣2k=0．圆心到直线的距离为=2，∴k=，∴直线l1的方程y=（x﹣2）；直线的斜率不存在时，方程为x=2也满足题意，综上所述，直线l1的方程为y=（x﹣2）或x=2；（2）解：设直线l2的方程为y=k（x﹣4），被圆C2截得的弦长为2，∴圆C2的圆心到l的距离为1．由点到直线l的距离公式得d==1，解得k=0或﹣，所以直线l的方程为y=0或y=﹣（x﹣4）；（3）证明：设点P（a，b），由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l4的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l5方程为：y﹣b=﹣（x﹣a），∵⊙C1的圆心坐标为（4，5），半径r1=2，⊙C2的圆心坐标为（﹣3，1），半径为r2=2，圆心距O102=3，∵直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l4的距离与圆C2的圆心到直线l5的距离相等，∴=整理得k（3﹣a+b）+b+a﹣2=0或（5﹣b﹣a）k﹣a+b﹣8=0，∵k的取值有无穷多个，∴或∴或∴直线l3的方程是x=，直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，对称的知识，注意方程无数解的条件，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型，是中档题．。