2018届安徽省皖南八校高三上学期第一次联考(10月)理科数学试题及答案2 精品

2018届 高三上学期第一次联考试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log 2x ＜1}，则 A ∩B=（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，1）C ．（0，2）D ．（1，2）2．已知复数z=（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知sin α=，则cos （π﹣2α）=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．4．已知函数f （x ）=lg ，则f =（ ）A ．0B ．2C ．20D ．40345．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（ ）A ．B ．C ．2D ．66．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．37．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（ ）A ．2B ．C ．D ．8．已知a ＜0，则“ax 0=b ”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 09．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．210．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）12．函数f （x ）=（x 2﹣3）e x ，当m 在R 上变化时，设关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣=0的不同实数解的个数为n ，则n 的所有可能的值为（ ） A ．3 B ．1或3 C ．3或5 D ．1或3或5二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，，，则= ．14．如果不等式组表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0）在函数y=2x +a 的图象上，那么实数a 的取值范围是 ．15．四面体A ﹣BCD 中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于 ．16．四边形ABCD 中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于 ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asinA=（b ﹣c ）sinB+（c﹣b ）sinC ．（1）求角A 的大小；（2）若a=，cosB=，D 为AC 的中点，求BD 的长．19．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD ⊥BM（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为．20．已知椭圆M ： +=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A 、B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点（与A 、B 不重合）． （I ）求椭圆M 的方程；（II ）记△ABC 与△ABD 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1﹣S 2|的最大值，并求此时l 的方程．21．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.x＜1}，则 A∩B=（）1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log2A．（﹣∞，2） B．（0，1）C．（0，2）D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={ x|≥1}={x|1＜x≤2}，x＜1}={x|0＜x＜2}，集合B={ x|log2∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：D．2．已知复数z=（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，即可推出结果．【解答】解： ==，故它所表示复平面内的点是（）．在复平面内对应的点，在第一象限．故选A．3．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：sinα=，则cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=﹣，故选：B．4．已知函数f （x）=lg，则f =（）A．0 B．2 C．20 D．4034【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质可得f（﹣x）+f（x）=2，即可得出．【解答】解：f（﹣x）+f（x）=lg+==2，∴f =2．故选：B．5．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（）A．B．C．2D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，即可求出其体积．【解答】解：由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，则体积为=2，故选C．6．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象向左平移个单位后与原图象重合，得到是一个周期，写出周期的表示式，解出不等式，得到ω的最小值．【解答】解：∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3 所以最小是3故选D．7．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（）A．2B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．再利用等比数列的求和n公式即可得出这五个正三角形的面积之和．【解答】解：此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．n∴这五个正三角形的面积之和=×==．故选：D．8．已知a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，利用导数可得：x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，即可判断出结论．【解答】解：a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，则f′（x ）=ax ﹣b ，令f′（x ）=0，解得x=．∴x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，∴∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0，∴a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是：∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0， 故选：C ．9．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，运用双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形， F 2在直线PF 1的投影是其中点，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长， 由勾股定理可知|PF 1|=4b ，根据双曲定义可知4b ﹣2c=2a ，整理得c=2b ﹣a ， 代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab=0，求得=，即b=a ， 则c==a ，即有e==． 故选：A ．10．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能【考点】抛物线的简单性质．【分析】先由抛物线定义可知AM=AF ，可推断∠1=∠2；又根据AM ∥x 轴，可知∠1=∠3，进而可得∠2=∠3，同理可求得∠4=∠6，最后根据∠MFN=∠3+∠6，则答案可得． 【解答】解：如图，由抛物线定义可知AM=AF ，故∠1=∠2， 又∵AM ∥x 轴，∴∠1=∠3，从而∠2=∠3，同理可证得∠4=∠6， 而∠2+∠3+∠4+∠6=180°，∴∠MFN=∠3+∠6=×180°=90°，∴以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是相切， 故选B ．11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象．【分析】设出对称点的坐标，代入两个函数的解析式，转化为方程有解，利用函数图象关系列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）与g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，设函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）上的一点为（m，n），m＜0，可得n=m3+2m﹣1，则（﹣m，﹣n）在g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上，﹣n=﹣m3﹣log2（﹣m+a）+1，可得2m=log2（﹣m+a），即（m＜0）有解，即，t＞0有解．作出y=，与y=log2（t+a），t＞0的图象，如图：只需log2a＜1即可．解得a∈（0，2）．故选：D．12．函数f（x）=（x2﹣3）e x，当m在R上变化时，设关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．3或5 D．1或3或5【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求f（x）的导数，单调区间和极值，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，由判别式和根与系数的关系可得方程有一正一负根，结合图象可得原方程实根的个数．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣3）e x的导数为f′（x）=（x+3）（x﹣1）e x，当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值﹣2e；在x=﹣3处取得极大值6e﹣3，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0，由判别式为m2+＞0，方程有两个不等实根，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，t1t2=﹣＜0，则原方程有一正一负实根．当t＞6e﹣3，y=t和y=f（x）有一个交点，当0＜t＜6e﹣3，y=t和y=f（x）有三个交点，当﹣2e＜t＜0时，y=t和y=f（x）有两个交点，当t＜﹣2e时，y=t和y=f（x）没有交点，则x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的实根个数为3．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则= 2 ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=，结合题中数据即可算出的值．【解答】解：∵∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形∵M是线段BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=∵，得2=16，即=4∴==2故答案为：214．如果不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，那么实数a的取值范围是[﹣3，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，推出a的范围即可．【解答】解：不等式组表示的可行域如图：平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，可得a≤0，指数函数y=2x，向下平移a单位，经过可行域的A时，a可得最小值，由，可得A（2，1），此时1=22+a，解得a=﹣3，实数a的取值范围是：[﹣3，0]故答案为：[﹣3，0]．15．四面体A﹣BCD中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于32π．【考点】球的体积和表面积．【分析】如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，取EF中点O，AO=DO=OB=OC=2，即可得O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，【解答】解：如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，∵AB=AC=DB=DC=2，∴AE⊥BC，DE⊥BC，∴AE=DE，∴EF⊥AD，取EF中点O，OF=，∴AO=DO=，同理可得OB=OC=2，故O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，则它的外接球表面积等于4πR2=32π，故答案为：32π．16．四边形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，设BC 为2x ，可求DH=，S四边形ABCD=x 2+x ，设x=sin θ，则利用三角函数恒等变换的应用化简可得S 四边形= [1+sin （2θ﹣）]，利用正弦函数的性质即可求得S 四边形的最大值．【解答】解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，∴D 在以BC 为焦点的椭圆上运动，A 在以BC 为直径的圆上运动，∴当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，此时，设BC 为2x ，则DH=，∴S 四边形ABCD =S △BCD +S ABC =x +=x 2+x，设x=sin θ，则=cos θ，∴S 四边形=sin 2θ+sin θcos θ=（2sin 2θ+2sin θcos θ）=（1﹣cos2θ+sin2θ）= [1+sin（2θ﹣）]，∴当sin （2θ﹣）=1时，即θ=时，S 四边形取得最大值，最大值为：．故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用公式a n =S n ﹣S n ﹣1得出通项公式，再验证n=1是否成立即可；（2）化简bn，使用裂项法求和，解不等式得出n的范围即可．【解答】解：（I）∵Sn=n2﹣3n．∴当n=1时，S1=12﹣3×1=﹣2，即 a1=﹣2，当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=n2﹣5n+4∴an =Sn﹣Sn﹣1=2n﹣4，显然，n=1时，2n﹣4=﹣2=a1也满足上式，∴数列{an }的通项公式an=2n﹣4．（II）bn===﹣，∴Tn=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．令＞得 n＞2016，∵n∈N*，故n的最小值为2017．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA=（b﹣c）sinB+（c ﹣b）sinC．（1）求角A的大小；（2）若a=，cosB=，D为AC的中点，求BD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由已知，利用正弦定理可得a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，化简可得2bc=（b2+c2﹣a2），再利用余弦定理即可得出cosA，结合A的范围即可得解A的值．（Ⅱ）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．【解答】解：（I）∵，∴由正弦定理可得： a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，即2bc=（b2+c2﹣a2），∴由余弦定理可得：cosA==，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）∵由cosB=，可得sinB=，再由正弦定理可得，即，∴得b=AC=2．∵△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，即10=AB2+4﹣2AB•2•，求得AB=32．△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠A=18+1﹣6•=13，∴BD=．19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．20．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．（I）求椭圆M的方程；（II）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此时l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据离心率e及a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x 1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．【解答】解：（I）设椭圆M的半焦距为c，即c=1，又离心率e=，即=∴a=2，b2=a2﹣c2=3∴椭圆M的方程为（II ）设直线l 的方程为x=my ﹣1，C （x 1，y 2），D （x 2，y 2），联立方程组，消去x 得，（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣＜0S 1=S △ABC =|AB|•|y 1|，S 2=S △ABD =|AB|•|y 2|，且y 1，y 2异号∴|S 1﹣S 2|=|AB|•|y 1+y 2|=×4×|y 1+y 2|==∵3|m|+≥4，当且仅当3|m|=，即m=±时，等号成立∴|S 1﹣S 2|的最大值为=此时l 的方程为x ±2y+=021．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可； （Ⅱ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出F （x ）＞F （0），证出结论即可；（Ⅲ）要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜﹣x 2，根据函数的单调性只需证﹣f （x 2）=f （x 1）＜f （﹣x 2），即f （x 2）+f （﹣x 2）＞0，结合（Ⅱ）得出结论． 【解答】解：（I ）f′（x ）=e x ﹣x ﹣1，f′′（x ）=e x ﹣1 当x ＜0时，f′′（x ）＜0，当x ＞0时，f′′（x ）＞0∴f′（x ）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增． 当x=0时，f′（0）=0为f′（x ）极小值，无极大值．（II）证明：由题意g （x）=﹣f （﹣x）=﹣e﹣x+x2﹣x+1，令F （x）=f （x）﹣g （x）=f （x）+f （﹣x）=e x+e﹣x﹣x2﹣2（x≥0），F′（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，F′′（x）=e x+e﹣x﹣2≥0因此，F′（x）在[0，+∞）上单调递增，从而有F′（x）≥F′（0）=0；因此，F （x）在[0，+∞）上单调递增，当x＞0时，有F （x）＞F （0）=0，即f （x）＞g （x）．（III）证明：由（I）知，f′（x）≥0，即f （x）在R上单调递增，且f （0）=0．因为x1≠x2，不妨设x1＜x2，于是有x1＜0，x2＞0，要证x1+x2＜0，即证x1＜﹣x2．因为f （x）单调递增，f （x1）+f （x2）=0故只需证﹣f （x2）=f （x1）＜f （﹣x2），即f （x2）+f （﹣x2）＞0因为x2＞0，由（II）知上不等式成立，从而x1+x2＜0成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，即可求圆C的直角坐标方程；（II）设A、B点所对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入圆C的方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，∴x 2+y 2=2y ，∴圆C 的直角坐标方程为，x 2+y 2﹣2y=0（II ）设A 、B 点所对应的参数分别为t 1，t 2，把直线l 的参数方程代入圆C 的方程 则t 1，t 2是下面方程的根（3+t ）2+（+t ）2﹣2（+t ）=0整理得，t 2+3t+4=0所以，t 1+t 2=﹣3，t 1t 2=4（t 1，t 2同号）∵直线l 过P （3，）∴根据t 的几何意义可知|PA|=|t 1|，|PB|=|t 2|∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=3[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x ﹣|+|x+m|（m ＞0） （1）证明：f （x ）≥4；（2）若f （2）＞5，求m 的取值范围． 【考点】带绝对值的函数．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，利用基本不等式即可证得结论．（2）若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m 或2﹣＜m ﹣3．转化为二次不等式，解出即可，注意m ＞0．【解答】（1）证明：∵f （x ）=|x ﹣|+|x+m|≥|（x ﹣）﹣（x+m ）|=|﹣﹣m|=+m （m ＞0）又m ＞0，则+m ≥4，当且仅当m=2取最小值4． ∴f （x ）≥4；（2）解：若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．由于m＞0，则m2﹣m﹣4＞0或m2﹣5m+4＞0，解得m＞或m＞4或0＜m＜1．故m的取值范围是（，+∞）∪（0，1）．。

安徽“皖南八校”2018届高三第一次联考理科数学一、选择题1、全集,=U R 集合2{|210},{|12,},=-->=-≤≤∈A x x x B x x x Z 则图中阴影部分所表示的集合为A. {1,2}-B. {1,0}-C. {0,1}D. {1,2}2、在复平面内，复数z 的对应点为(1,1)，则22z z-= A. 13i -- B. 13i -+ C. 13i - D. 13i +3、若数列{}n a 的前n 项和为2n S kn n =+，且1020,a =则100a =A. 200B. 160C. 120D. 1004、已知,,a b c 满足313349,log 5,,5a b c ===则 A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. c b a << 5、函数1()1x f x ae -=的图象在点(1,(1))f 处的切线斜率为52，则实数a = A. 12 B. 12- C. 3 D. 3- 6、若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，21()log (1),1f x x x =-++则不等式4(1)7f x +>的解集为A. (2,)+∞B. (,1)(3,)-∞-⋃+∞C. (4,2)-D. (,4)-∞-7、已知下列命题：（1）“co s 0x <”是“tan 0x <”的充分不必要条件； （2）命题“存在,41x Z x ∈+是奇数”的否定是“任意,41x Z x ∈+不是奇数”；（3）已知,,,a b c R ∈若22,ac bc >则.a b > 其中正确命题的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3 8、若,x y 满足4,20,24,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则4y z x -=的取值范围是 A. 3(,][1,)2-∞-⋃-+∞ B. 5(,][1,)2-∞-⋃-+∞ C. 53[,]22-- D. 3[,1]2-- 9、已知tan 3,tan(2)1,ααβ=--=则tan 4β=A.43 B. 43- C. 2 D. 2- 10、在ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，CE 的延长线交AB 于点,F 若,DF AB AC λμ=+ 则λμ+= A. 23- B. 34- C. 65D. 1 11、已知函数()2sin()1(0,||)f x x ωϕωϕπ=--><的一个零点是,3x π=直线6x π=-函数图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调增区间是 A. [3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ B. 5[3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ C. 2[2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ D. [2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ 12、已知函数1,0(),(0),21,0x kx x f x k x --≤⎧=<⎨->⎩当方程1[()]2f f x =-恰有三个实数根时，实数k 的取值范围为 A. 1(,0)2- B. 1[,0)2- C. 1(,]2-∞- D. 1(,)2-∞- 二、填空题13、已知向量(,1),(1,0),(2,).a k b c k ===- 若(2),a b c +⊥ 则k =14、已知120()1,x m dx +=⎰则函数2()log (32)m f x x x =+-的单调递减区间是15、设等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且321272,,,33S a a a ==<则数列{}n na 的前n 项和为 n T =16、在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且222,3a b c ab c +-==，sin sin sin ,A B A B += 则ABC 的周长为三、解答题17、（本小题满分10分）已知函数()s i n ()1(0,||)2f x A x A πωϕϕ=+-><的图象两相邻对称中心的距离为2π，且()()1().6f x f x R π≤=∈ （1）求函数()f x 的解析式；（2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围.18、（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11,a =点111(,)n n a a +在函数()3f x x =+的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1),n n nb a =-求数列{}n b 的前n 项和.n S19、（本小题满分12分）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且向量(c o s 21,2s i n m B A =-与向量s i n ,1)n C =- 平行.（1）若1,a b ==求;c（2）若4sin(),c a A C a c+>+求cos B 的取值范围.20、（本小题满分12分） 已知函数()22xxa f x =+是偶函数. （1）求不等式5()2f x <的解集； （2）对任意x R ∈，不等式(2)()18f x mf x ≥-恒成立，求实数m 的最大值及此时x 的取值.21、（本小题满分12分）设函数()sin 2(1cos )2f x x a x x =++-在56x π=处取得极值. （1）若()f x 的导函数为()f x '，求()f x '的最值；（2）当[0,]x π∈时，求()f x 的最值.22、（本小题满分12分）已知函数()(1)ln 1,().f x a x x a R =-+∈（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若(1,),()ln x f x x a x ∈+∞>-恒成立，求实数a 的取值范围.。

2018-2018学年安徽省高三（上）10月联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）1．已知集合A={y |y=x 2﹣2x ﹣1，x ∈R }，B={y |y=x +，x ∈R 且x ≠0}，则（∁R B ）∩A=（ ） A ．（﹣2，2] B ．[﹣2，2） C ．[﹣2，+∞） D ．（﹣2，2）2．在复平面内，复数z=（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．下列推理过程是演绎推理的是（ ）A ．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B ．某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人C ．两条直线平行，同位角相等；若∠A 与∠B 是两条平行直线的同位角，则∠A=∠BD ．在数列{a n }中，a 1=2，a n =2a n ﹣1+1（n ≥2），由此归纳出{a n }的通项公式 4．设a=log 10182018，b=log 10182018，c=log 10182018，则（ ） A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c5．设动点P （x ，y ）满足，则z=5x +2y 的最大值是（ ）A ．50B ．60C ．70D ．1006．已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a m =b m =16，a m +4=b m +4，m ∈N *，则下列大小关系正确的是（ ） A ．a m +1＜a m +2 B ．a m +1＞b m +2 C ．b m +2＜a m +2 D ．b m +1＞b m +27．已知函数y=sinx +acosx 的图象关于对称，则函数y=asinx +cosx 的图象的一条对称轴是（ ）A ．x=B ．x=C ．x=D ．x=π8．在整数Z 中，被7除所得余数为r 的所有整数组成的一个“类”，记作[r ]，即[r ]={7k +r |k ∈Z }，其中r=0，1，2，…6．给出如下五个结论： ①2018∈[1]； ②﹣3∈[4]； ③[3]∩[6]=Ø；④z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]∪[6]；⑤“整数a ，b 属于同一“类””的充要条件是“a ﹣b ∈[0]．” 其中，正确结论的个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．29．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．210．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，又I为△ABC的内心，且b﹣c=4，b+c﹣a=6，则×=（）A．6 B．8 C．12 D．1611．如图，网格纸上小正方形变长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体体积为（）A．B．C．8 D．12．奇函数f（x）定义域是（﹣1，0）∪（0，1），f（）=0，当x＞0时，总有（﹣x）f′（x）ln（1﹣x2）＞2f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．使得二项式（3x+）n的展开式中含有常数项的最小的n为．14．国庆节放假，2个三口之家结伴乘火车外出，每人均实名购票，上车后随意坐所购票的6个座位，则恰好有2人是对号入座（座位号与自己车票相符）的坐法有种？（用具体数字作答）15．已知函数f（x）=，则f17．设函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B+C）=，a=1，求△ABC的面积的最大值．18．随着科技的发展，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，除传统的打电话外，手机的功能越来越强大，人们可以玩游戏，看小说，观电影，逛商城等，真是“一机在手，天下我有”，所以，有人把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，低头族已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取100名市民，再根据频率分布直方图统计这500名市民的平均年龄；（II）在抽出的100名中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在[30，40）的选取2名担任主要发言人．记这2名主要发言人年龄在[30，35）的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，=．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．=2a n+2．20．数列{a n}中，a1=3，a n+1（I）求证：{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）设b n=，求S n=b1+b2+…+b n，并证明：∀n∈N*，≤S n＜．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．22．已知函数．（Ⅰ）若函数g（x）=e x在x=0处的切线也是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在直线x﹣y+1=0的下方，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若x1，x2∈（，），且x1≠x2，判断与a2x1x2的大小关系，并说明理由．注：题目中e=2.71828…是自然对数的底数．2018-2018学年安徽省高三（上）10月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）1．已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣1，x∈R}，B={y|y=x+，x∈R且x≠0}，则（∁R B）∩A=（）A．（﹣2，2] B．[﹣2，2）C．[﹣2，+∞）D．（﹣2，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A中二次函数的值域，确定出集合A，当x大于0时，利用基本不等式求出集合B中函数的值域；当x小于0时，﹣x大于0，同理利用基本不等式求出函数的值域，综上，求出两解集的并集确定出集合B，根据全集为R，求出集合B的补集得到C R B，然后找出C R B与集合A的公共部分即可得到所求的集合．【解答】解：由集合A中的函数y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2≥﹣2，∴集合A=[﹣2，+∞），由集合B中的函数y=x+，当x＞0时，x+≥2；当x＜0时，﹣x＞0，﹣（x+）=（﹣x）+（﹣）≥2，此时x+≤﹣2，综上，集合B=（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），又全集为R，∴C R B=（﹣2，2），则（C R B）∩A=（﹣2，2）．故选D2．在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z===的共轭复数对应的点位于第三象限．故选：C．3．下列推理过程是演绎推理的是（）A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B ．某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人C ．两条直线平行，同位角相等；若∠A 与∠B 是两条平行直线的同位角，则∠A=∠BD ．在数列{a n }中，a 1=2，a n =2a n ﹣1+1（n ≥2），由此归纳出{a n }的通项公式 【考点】演绎推理的基本方法．【分析】根据三种推理的定义及特点，逐一分析四个答案中的推理过程，可得结论． 【解答】解：A 中，由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质是类比推理；B 中，某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人，是归纳推理；C 中，两条直线平行，同位角相等；若∠A 与∠B 是两条平行直线的同位角，则∠A=∠B ，是演绎推理；D 中，在数列{a n }中，a 1=2，a n =2a n ﹣1+1（n ≥2），由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理． 故选：C4．设a=log 10182018，b=log 10182018，c=log 10182018，则（ ） A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 【考点】对数的运算性质．【分析】利用log a （xy ）=log a x +log a y （x 、y ＞0），化简a ，b ，c 然后比较log 10182，log 10182，log 10182大小即可．【解答】解：因为a=log 10182018=1+log 10182，b=log 10182018=1+log 10182，c=log 10182018=1+log 10182，因为y=log 2x 是增函数，所以log 21018＞log 21018＞log 21018，∵log 21018=，log 21018=，log 21018=所以log 10182＞log 10182＞log 10182， 所以a ＞b ＞c ， 故选：D ．5．设动点P （x ，y ）满足，则z=5x +2y 的最大值是（ ）A ．50B ．60C ．70D ．100【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合求出z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABCO ）．由z=5x +2y 得y=﹣x +，平移直线y=﹣x +，由图象可知当直线y=﹣x +经过点C （20，0）时，直线y=﹣x +的截距最大，此时z 最大． 代入目标函数z=5x +2y 得z=5×20=100． 即目标函数z=5x +2y 的最大值为100． 故选：D ．6．已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a m =b m =16，a m +4=b m +4，m ∈N *，则下列大小关系正确的是（ ） A ．a m +1＜a m +2 B ．a m +1＞b m +2 C ．b m +2＜a m +2 D ．b m +1＞b m +2 【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】根据等差数列、等比数列的性质得到a m +a m +4=b m +4+b m ⇒2a m +2≥2即可判定．【解答】解：∵a m =b m =16，a m +4=b m +4⇒a m +a m +4=b m +4+b m⇒2a m +2≥2⇒b m +2＜a m +2．故选：C ．7．已知函数y=sinx +acosx 的图象关于对称，则函数y=asinx +cosx 的图象的一条对称轴是（ ）A ．x=B ．x=C ．x=D ．x=π【考点】正弦函数的对称性．【分析】函数y=sinx +acosx 变为y=sin （x +∅），tan ∅=a 又图象关于对称，+∅=k π+，k ∈z ，可求得∅=k π﹣，由此可求得a=tan ∅=tan （k π﹣）=﹣，将其代入函数y=asinx +cosx 化简后求对称轴即可．【解答】解：y=sinx +acosx 变为y=sin （x +∅），（令tan ∅=a ）又图象关于对称，∴+∅=k π+，k ∈z ，可求得∅=k π﹣，由此可求得a=tan ∅=tan （k π﹣）=﹣，∴函数y=﹣sinx +cosx=sin （x +θ），（tan θ=﹣）其对称轴方程是x +θ=k π+，k ∈z ，即x=k π+﹣θ又tan θ=﹣，故θ=k 1π﹣，k 1∈z故函数y=asinx +cosx 的图象的对称轴方程为x=（k ﹣k 1）π++=（k ﹣k 1）π+，k ﹣k 1∈z ，当k ﹣k 1=1时，对称轴方程为x=故选A ．8．在整数Z 中，被7除所得余数为r 的所有整数组成的一个“类”，记作[r ]，即[r ]={7k +r |k ∈Z }，其中r=0，1，2，…6．给出如下五个结论： ①2018∈[1]； ②﹣3∈[4]； ③[3]∩[6]=Ø；④z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]∪[6]；⑤“整数a ，b 属于同一“类””的充要条件是“a ﹣b ∈[0]．” 其中，正确结论的个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【考点】整除的定义．【分析】根据“类”的定义分别进行判断即可．【解答】解：①∵2018÷7=288，∴2018∈[0]，故①不正确； ②∵﹣3=7×（﹣1）+4，∴﹣3∈[4]，故②正确； ③[3]∩[6]=Ø，正确④∵整数集中的数被7除的数可以且只可以分成7类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]∪[6]，故④正确；⑤∵整数a ，b 属于同一“类”，∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而a ﹣b 被5除的余数为0，反之也成立，故当且仅当“a ﹣b ∈[0]”整数a ，b 属于同一“类”．故⑤正确． 正确的结论为②③④⑤． 故选：B ．9．已知双曲线C ：的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，又I为△ABC的内心，且b﹣c=4，b+c﹣a=6，则×=（）A．6 B．8 C．12 D．16【考点】正弦定理．【分析】设AD=x，BD=y，CE=z，则，解得x==3．由，可得=||（b﹣c）即可得解．【解答】解：设AD=x，BD=y，CE=z，则，解得x==3，如图所示，∵，∴=（）=﹣=||b﹣||c=||（b﹣c）=3×4=12．故选：C．11．如图，网格纸上小正方形变长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体体积为（）A．B．C．8 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图，可得该多面体是一个四棱锥，画出真直观图，进而可得体积．【解答】解：由已知中的三视图，可得该多面体是一个四棱锥，其直观图如下图所示：其体积相等于正方休体积一半的三分之二；故V==，故选：A．12．奇函数f（x）定义域是（﹣1，0）∪（0，1），f（）=0，当x＞0时，总有（﹣x）f′（x）ln（1﹣x2）＞2f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】把已知条件（﹣x）f′（x）ln（1﹣x2）＞2f（x）变形为f′（x）ln（1﹣x2）﹣＞0，可想到构造函数g（x）=f（x）ln（1﹣x2）并判断其单调性，结合f（）=f（﹣）=0，得g（）=g（﹣）=0，由单调性可得，在（﹣1，），（0，）上，g（x）＜0，而ln（1﹣x2）＜0，则f（x）＞0成立，答案可求．【解答】解：∵当x＞0时，总有（﹣x）f′（x）ln（1﹣x2）＞2f（x）成立，即f′（x）ln（1﹣x2）＞成立，也就是f′（x）ln（1﹣x2）﹣＞0成立，又∵ln（1﹣x2）=ln（1﹣x）+ln（1+x），∴，即[f（x）ln（1﹣x2）]′＞0恒成立，可知函数g（x）=f（x）ln（1﹣x2）在（0，1）上单调递增，∵f（x）是奇函数，∴g（x）=f（x）ln（1﹣x2）是奇函数，则在（﹣1，0）上单调递增，又f（）=f（﹣）=0，∴g（）=f（﹣）=0，∴g（x）的图象如下：在（﹣1，），（0，）上，g（x）＜0，而ln（1﹣x2）＜0，∴f（x）＞0成立．∴不等式f（x）＞0的解集为．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．使得二项式（3x+）n的展开式中含有常数项的最小的n为5．【考点】函数的最值及其几何意义；二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0方程有解．由于n，r都是整数求出最小的正整数n即可．【解答】解：二项式（3x+）n展开式的通项为：T r=C n r3r，+1令=0，据题意此方程有解，∴n=r，当r=3时，n的最小值为5．故答案为：5．14．国庆节放假，2个三口之家结伴乘火车外出，每人均实名购票，上车后随意坐所购票的6个座位，则恰好有2人是对号入座（座位号与自己车票相符）的坐法有135种？（用具体数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：首先在在6个人中任取2人，使其对号入座，利用组合数公式计算可得其情况数目，其次分析不是对号入座的4人，假设这4人为A、B、C、D，利用列举法分析可得情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，6人中恰好有2人是对号入座，需要在6个人中任取2人，使他的座位号与自己车票相符，有C62=15种坐法，另外的4人不是对号入座，假设这4人为A、B、C、D，其座位号与自己车票都不相符的坐法有：BADC，CADB，DABC，BDAC，CDAB，DCAB，BCDA，DCBA，CDBA；共9种坐法，故6人中恰好有2人是对号入座的坐法有15×9=135种；故答案为：135．15．已知函数f（x）=，则f=f（1）=，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f==2+（sin﹣sin0）=．故答案为：．16．已知平面θ截一球面得圆P，过该圆心P且与平面θ成60°二面角的平面γ截该球面得圆Q．若该球的半径为，圆P的面积为3π，则该圆Q的面积为6π．【考点】球的体积和表面积．【分析】先求出圆P的半径，然后根据勾股定理求出OP的长，找出二面角的平面角，从而求出OQ的长，最后利用垂径定理即可求出圆Q的半径，从而求出面积．【解答】解：设球心为O，则∵圆P的面积为3π∴圆P的半径为根据勾股定理可知OP=2∵过圆心P且与θ成60°二面角的平面β截该球面得圆Q∴∠OPQ=30°，在直角三角形OPQ中，OQ=1，∴圆Q的半径为∴圆Q的面积为6π．故答案为：6π三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．设函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B+C）=，a=1，求△ABC的面积的最大值．【考点】余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）先化简函数，利用三角函数的性质求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；（Ⅱ）利用f（B+C）=，求出A，根据a=1，利用余弦定理，结合基本不等式，即可求△ABC的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=﹣cos2x﹣sin2x+1+cos2x=cos（2x+）+1，∴f（x）的最大值为2，此时2x+=2kπ，∴x=kπ﹣，∴使f（x）取最大值时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；（Ⅱ）∵f（B+C）=，∴cos[2（B+C）+]+1=，∴B+C=，∴A=．∵a=1，∴1=b2+c2﹣2bc•≥2bc﹣bc，∴bc≤1，∴S==bc≤，∴△ABC的面积的最大值为．18．随着科技的发展，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，除传统的打电话外，手机的功能越来越强大，人们可以玩游戏，看小说，观电影，逛商城等，真是“一机在手，天下我有”，所以，有人把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，低头族已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取100名市民，再根据频率分布直方图统计这500名市民的平均年龄；（II）在抽出的100名中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在[30，40）的选取2名担任主要发言人．记这2名主要发言人年龄在[30，35）的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）根据频数之和为100计算①，根据频率计算公式计算②；补全频率分布直方图，利用加权平均数公式计算平均年龄；（II）求出20名人中，[30，35）和[35，40）内的人数，利用概率公式计算P（ξ），得出分布列和数学期望．【解答】解：（I）由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：100﹣5﹣20﹣30﹣10=35，②位置应填数字为：=0.3．补全频率分布直方图，如图所示．平均年龄估值为：22.5×0.18+27.5×0.20+32.5×0.35+37.5×0.30+42.5×0.10=33.5．（II）设抽出的20名受访者年龄在[30，35）和[35，40）分别由m，n名，由分层抽样可得，解得m=7，n=6所以年龄在[30，40）共有13名．故ξ的可能取值为0，1，2，，，，0 1 2．19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，=．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）建立空间直角坐标系，利用向量关系求出F的坐标，根据线面平行的判定定理即可证明证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（I ）如图，连接AB 1，交A 1E 于F ，连接MF ， ∵E 为BB 1的中点，∴建立以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图： 设AA 1=h ，则A （0，0，0），C 1（0，1，h ），A 1（0，0，h ），E （2，0，），M （0，，0）， B 1（2，0，h ），设F （x ，0，z ），则∥，∥，∵=（x ，0，z ），=（2，0，h ），∴①∵=（x ，0，z ﹣h ），=（2，0，﹣），∴= ②，由①②得z=h ，x=， 或F 作FT ⊥AB ，则==，则∴AF=AB 1，∵=．∴MF ∥CB 1，∵MF ⊂平面平面A 1EM ，CB 1⊄平面A 1EM ， ∴CB 1∥平面A 1EM ；（Ⅱ）设平面C 1A 1E 的法向量为=（x ，y ，z ），平面MA 1E 的法向量为=（x ，y ，z ），则，则，令z=1，则x=，y=0，则=（，0，1），由得，令z=1，则x=，y=，即=（，，1）|cos ＜，＞|==，得h 2=2，即h=， 则AA 1的长度为．20．数列{a n}中，a1=3，a n+1=2a n+2．（I）求证：{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）设b n=，求S n=b1+b2+…+b n，并证明：∀n∈N*，≤S n＜．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）把原数列递推式变形，可得{a n+2}是等比数列，求出其通项公式后可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入，整理后利用错位相减法求S n=b1+b2+…+b n，然后放缩得答案．【解答】（Ⅰ）证明：由a n+1=2a n+2，得a n+1+2=2（a n+2），∵a1+2=5≠0，∴，∴{a n+2}是首项为5，公比为2的等比数列，则，∴；（Ⅱ）解：，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣②①﹣②得：．∴；∵，∴{S n}单调递增，则，∴．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）求得抛物线的焦点，可得c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解方程可得a=2，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，由判别式为0，可得kb=1，再由椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），可得椭圆的c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解得a=2，b==，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，可得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0，由相切的条件可得，△=（2kb﹣4）2﹣4k2b2=0，化简可得kb=1，由y=kx+和椭圆方程3x2+4y2=12，可得（3+4k2）x2+8x+﹣12=0，由64﹣4（3+4k2）（﹣12）＞0，可得k＞，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，即有中点坐标为（﹣，），设N（0，n），由=﹣，可得n=﹣，由y=kx+，设y=0，则x=﹣，M（﹣，0），可得直线MN的斜率为k MN==﹣=﹣≥﹣=﹣．当且仅当k=＞时，取得最小值﹣．22．已知函数．（Ⅰ）若函数g（x）=e x在x=0处的切线也是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在直线x﹣y+1=0的下方，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若x1，x2∈（，），且x1≠x2，判断与a2x1x2的大小关系，并说明理由．注：题目中e=2.71828…是自然对数的底数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算g′（0），g（0），得到切线方程，从而求出a的值；（Ⅱ）问题转化为对于x＞0恒成立，根据函数的单调性，求出a的范围即可；（Ⅲ）根据函数f（x）的单调性得到f（x1）＞f（x1+x2），整理变形即可．【解答】解：（Ⅰ）g′（x）=e x，g（x）在x=0处切线斜率k=g′（0）=1，切线l：y=x+1，又，设l与f（x）相切时的切点为，则斜率，则切线l的方程又可表示为，由解之得a=e2；（Ⅱ）由题f（x）﹣x﹣1＜0对于x＞0恒成立，即对于x＞0恒成立，令，则，由h'（x）=0得x=，则当x＞0时，h（x）max=h（）=﹣1，由﹣1＜0，得：0＜a＜e2，即实数a的取值范围是（0，e2）；（Ⅲ）＞a2x1x2，理由如下：由题，由f'（x）=0得x=，当＜x＜a时，f′（x）＜0，单调递减，因为x1＜x1+x2＜a，所以f（x1）＞f（x1+x2），即，所以，①同理，②①+②得，因为，由x1+x2＜a得，即，所以，即，所以＞a2x1x2．2018年1月11日。

山东省、安徽省2018届高三数学上学期10月大联考试题理（扫描版）
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“皖南八校”2018届高三第一次联考数学(理科)一．选择题（每题5分）.1已知集合}|{1>=x x A ，}log |{12<=x x B ，则（ ）.A }|{41<<=x x B A .B }|{1>=x x B A.C }|{2>=x x B A .D }|{0>=x x B A.2若复数z 满足i i z -=+21)(，则=||z （ ）.A 3 .B 2 .C 22 .D 32.3若31=αsin ，α是第二象限角，则=α2sin （ ） .A 924- .B 924 .C 322- .D 322 .4下列四个命题1p ：若1>a ，则函数ax x y -=2在),(1-∞上是减函数；2p ：若1>a ，则3223..a a > 3p ：若函数)(log 1-=x y a 在),(+∞1上是增函数，则1>a ；4p ：若函数)(x f 是幂函数，则)(x f 在),(+∞1上一定是增函数，其中真命题为（ ）.A 21p p , .B 32p p , .C 43p p , .D 41p p ,.5已知向量),(12=a ，52=||b ，15=+||b a ，则向量b a ,的夹角为（ ）.A 4π .B 3π .C 32π .D 43π .6已知y x ,满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤-042632y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为（ ）.A 417 .B 524 .C 320 .D 776 .7直线x y 2=与曲线22-+=x x y 围成的封闭图形的面积为（ ）.A 49 .B 29 .C 5 .D 6 .8若函数)(x f 是奇函数，定义域为R ，且当0≥x 时，232x x a x f -+=)(，则满足112>-)(x f 的实数x 的取值范围是（ ）.A ),(0-∞ .B ),(1-∞ .C ),(+∞0 .D ),(+∞1.9设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若3315=S ，34110=S ，则=n n S a （ ）.A 1221--n n .B 1331--n n .C 12231-⨯-n n .D 13321-⨯-n n .10若0>>b a ，且12=+b a ，则下列不等式成立的是（ ）.A 2222-<+<b a b a ab log B ba a ab b 2222+<<-log .C b a ab a b 2222+<<-log .D 2222-<<+b a ab b a log .11将函数）π82-=x y sin(的图象向左平移4π个单位，得到函数)(x f y =的图象，则（ ） .A )][)(Z k k k x f ∈++（ππ，ππ的单调增区间为函数16916 B 2285163上的最大值为π，π在区间函数],[)(x f .C ）π为点（的图象的一个对称中心函数012,)(x f .D 165x π程为的图象的一条对称轴方函数-=)(x f .12已知函数)()(1212--=x n ax x f 的一个极值点为1=x ，则当][2e 1e 2e 1++∈，x 时，函数)(xf 的最大值与最小值的和为（ ）.A 2e 2e 12）++( .B 22e 12）++( .C 2e 2e 1）+( .D 22e 1）+( 二．填空题（每题5分）.13函数x x y 425-⨯=的定义域为___________.14函数x x a y 2cos sin -=的最小值为2-，且0>a ，则__________=a .15已知等差数列}{n a 的公差为d ，若1a ，d 都是实数，且211143=-a a ，则d 的取值范围是_________ .16如图，在同一平面内，向量→OA ,→OB ,→OC 的模分别为32152=∠=∠BOC AOB tan ,tan ,,,.若→→→+=OC OA OB μλ,则_________=+μλ2三．解答题（本大题共6小题，共70分）.17（本小题满分10分） ABC △的内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 且.sin )sin(sin )(A a B A c B b a -+=+（1）求C ；（2）若,2=a ABC △的面积为33，求.sin AB C设等差数列}{n a 的前n 项为.,,15953-==S S S n)(1求数列}{n a 的通项公式和前n 项和n S ；)(2若数列}{n b 满足,)(93392211-⨯-=+⋅⋅⋅++n n n n b a b a b a 求数列}{n b 的通项公式。