吉林省实验中学2015届高三上学期第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

一、选择题（本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有选项是符合题目要求的。

）()1．下列关于细胞的叙述，错误．．的是A. ADP、运载体、rRNA共有的化学元素有C、H、0、N、PB．同一植株中根尖与茎尖细胞基因的表达完全不同C．在适宜条件下，洋葱鳞片叶（地下茎）表皮细胞产生ATP的细胞器只有线粒体D．蓝藻与豌豆有相似的细胞膜2．下列各项生命活动能在真核细胞的细胞质基质中进行的是A.氨基酸脱水缩合B．RNA的合成C.丙酮酸和[H]结合D．C3的还原3．男性红绿色盲患者中一个处于有丝分裂后期的细胞和女性红绿色盲基因携带者中一个处于减数第二次分裂中期的细胞进行比较，在不考虑变异的情况下，下列说法正确的是A．常染色体数目比值为4:1 B．核DNA数目比值为4:1C. 红绿色盲基因数目比值为1:1D. 染色单体数目比值为2:14．下列关于四幅图的描述，错误．．的是（）A．图甲可表示人成熟的红细胞吸收钾离子速率与氧浓度之间的关系B．图乙中内分泌细胞分泌的激素，需要通过体液运送才能到达靶细胞C．图丙中父亲、女儿为某遗传病患者，母亲、儿子为正常，则该遗传病最可能为X染色体上的显性遗传病D．图丁中，每条染色体上的DNA含量减半不可能发生在减数第一次分裂后期5．图甲为基因表达过程，图乙为中心法则，①～⑤表示生理过程。

下列叙述不正确的是图甲图乙A．图甲中mRNA可以相继结合多个核糖体，合成相同肽链B．青霉素影响核糖体在mRNA上移动，故影响基因的转录过程C．图甲所示过程对应图乙中的②和③过程D．图乙中涉及碱基A与U配对的过程有②③④⑤，且①②③都可以在线粒体和叶绿体中完成6．下列有关生命活动调节的叙述不正确．．．的是A．甲状腺激素和抗利尿激素的分泌均与下丘脑相关B．胰岛细胞不属于下丘脑所分泌激素的靶细胞C．浆细胞分泌的抗体能特异性地识别抗原，但浆细胞不能识别抗原D．人体通过注射抗体而获得的免疫属于非特异性免疫7．设N A表示阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A．标准状况下，1.12L1H2和0.2g 2H2均含有0.1N A个质子B．在同压不同温的情况下，质量相同的氧气和臭氧所含氧原子数不相同C．标准状况下，11.2L庚烷完全燃烧后生成的CO2分子数为3.5N AD．常温下，将5.6 g 铁投入足量的浓硫酸中转移电子数为0.3 N A8．下列离子方程式书写正确的是A．向KI与稀硫酸的混合溶液中通入氧气：4H++O2+6I－= 3I2+2H2OB．亚硫酸钠溶液与双氧水混合：SO32－＋2H2O2 = SO42－＋2H2O＋O2↑C．a mol FeI2溶液中通入2a mol Cl2：2Fe2++4I－+3Cl2 = 2I2+2Fe3++6C1－D．硅酸钠溶液中通入过量的CO2：SiO32－＋CO2＋H2O = H2SiO3↓＋CO32－9．25℃时进行四组实验，其中“实验内容”与对应“现象或结论”关系错误．．的是选项实验内容现象或结论A向2SO2+O22SO3的平衡体系中加入由18O构成的氧气则SO2中的18O的含量会增加]B 向pH=1的盐酸和醋酸各0.5L的溶液中各加入1.4g铁粉醋酸中生成H2的速率快且最终气体量多C 以石墨为电极，电解KI溶液（其中含有少量酚酞和淀粉）阴极逸出气体且附近溶液渐呈红色D 以Pb为负极，硫酸溶液为电解负极质量增加，SO42-向负极迁移，溶液pH增大质的铅蓄电池，在放电过程中10．下列有关说法不正确．．．的是 A ．将物质的量浓度为10-3mol/L 的醋酸和pH=11的NaOH 溶液等体积混合后，溶液显碱性B ．右图可表示常温下，稀释HA 、HB 两种酸的稀溶液时，溶液 pH 随加水量的变化，则同浓度的NaA 溶液的pH 大于Na B 溶液C ．25℃时，pH ＝2的1.0 L 醋酸溶液中水电离出的H +的数目为10-12N AD ．某吸热反应能自发进行，则该反应一定是熵增的反应11． X 、Y 、Z 、W 、R 是周期表前20号元素，它们的原子序数依次增大，X 与R ，Y 与W 分别同主族，Z 原子最外电子数是W 原子最外层电子数的一半，X 与Y 可形成X 2Y 和X 2Y 2两种液态化合物。

2015年吉林市普通高中高三复习第三次调研测试卷数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集*=N U ，集合},,,{98632=，A ，集合}N ,|{*∈3>=x x xB ，则图中阴影部 分所表示的集合是 （A ）}{2（B ）}{32， （C ）},{321，（D ）},{986， 2．已知i 为虚数单位，则=+12ii - （A ）25 （B ）25 （C ）217 （D ）210 3．已知α是第四象限角，且43-=αtan ，则=αsin （A ）53-（B ）54-（C ）53 （D ）54 UAB4．已知实数y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧0≥2-+20≤3--33≤y x y x y ，则目标函数y x z -2=的最大值为（A ）-4（B ）1（C ）2（D ）35. 已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>3)＝0.023，则P (－1≤ξ≤3)等于（A ）0.977（B ）0.954（C ）0.628（D ）0.4776．x x x d )(--1⎰102等于（A ）41 （B ）21 （C ）41-π （D ）42-π7．现有三个函数：①2+=-xx e e y ，②2-=-x x e e y ，③xx x x ee e e y --+-=的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 （A ）①②③（B ）③①②（C ）②①③（D ）③②①8．已知执行如下左图所示的程序框图，输出的485=S ，则判断框内的条件可以是（A ）?5<k （B ）?7>k （C ）?5≤k （D ）?6≤kO yx O y x O yx开始k=1 S =1S = 3S +2k = k +1否输出S 结束 是9．一个几何体的三视图如上右图，则其表面积为（A ）20（B ）18（C ）32+14（D ）22+1410．边长为4的正方形ABCD 的中心为O ，以O 为圆心，1为半径作圆，点M 是圆O 上的任意一点，点N 是边AB 、BC 、CD 上的任意一点（含端点），则DA MN ⋅的取值范围是（A ）][1818-， （B ）][1616-， （C ）][1212-， （D ）][88-，11．已知边长为1的等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角D AB C -- 的余弦值为33，若A 、B 、C 、D 、E 在同一球面上，则此球的体积为 （A ）π2 （B ）π328 （C ）π2（D ）π3212．若存在直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切，则称曲线1C 和曲线2C 为“相关曲线”， 有下列四个命题：①有且只有两条直线l 使得曲线：1C 4=+22y x 和曲线0=4+2+4-+222y x y x C :为“相关曲线”； ②曲线1+21=21x y C :和曲线1-21=22x y C :是“相关曲线”； ③当0>>a b 时，曲线ax y C 4=21:和曲线2222=+a y b x C ）（-:一定不是“相关曲线”；④必存在正数a 使得曲线：1C x a y ln =和曲线:2C x x y -=2为“相关曲线”.（第9题图）（第8题图）其中正确命题的个数为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

吉林省实验中学2015届高三数学上学期第三次模拟考试试题 文第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x AB =<<=≤=，则A.()01，B.(]02，C.()1,2D.(]12， 2.若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 A.－4B.－45C.4D.453.如果0a b <<,那么下列不等式成立的是 A ．11a b< B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b-<- 4.设,,a b c 分别是,,ABC A B C ∆∠∠∠中所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直 5.直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是 A.[0，π) B.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 6.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为 A.83π B.163πC. 4πD. 8π7.已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面,αβ，下列命题正确的是 A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若αβ⊥，m αβ=，且n m ⊥，则n α⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，m β⊥，且l m ⊥，则αβ⊥8.在同一个坐标系中画出函数xa y =，ax y sin=的部分图像，其中0>a 且1≠a ，C D9. 若不等式0log 42<-x x a 对任意)41,0(∈x恒成立，则实数a 的取值范围为 A. )1,2561(B.)1,2561[ C.)2561,0( D.]2561,0( 10. 程序框图如图所示，该程序运行后 输出的S 的值是A. 13B.3-C.21-D. 211.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2015S 的值为A ．2015B ．2013C ．1008D ．100712.若函数22()sin 6sin cos 3cos (0)f x x x x x ωωωωω=--+>的最小正周期为2π，若对任意x R ∈,都有()1()1f x f α-≤-，则tan α的值为A.32-B.23- C.32 D. 23第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分。

吉林省实验中学2016届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. 设集合A = {x\x>2}f 若m = \ne e（幺为自然对数底）,则（ ）A. 0G AB. AC. me AD. A^{x\x> m]【答案】C 【解析】试题分析：因为m = \ne e=e>2,所以me A,故选C. 考点：元素与集合间的关系.2.若复数z 满足（3-4z ）z = |4 + 3f|,则z 的虚部为（）4A. -4B.——C. 45【答案】D 【解析】试题分析：由（3-4z ）z = |4 + 3zj = 5,得4的虚部为一，故选D.5考点：复数的概念及运算.（ ? V3. x 2-4的展开式中的常数项为（ I 才丿 A. 80B. -80C. 40【答案】C 【解析】试题分析：因为展开式的通项公式为=（—2）9贵1,令10-5r = 0,解得r = 2,X所以弓 j 的展开式中的常数项为（-2吃 =40,故选C._J_= 5(3 + 4" =? + £•,所以复数z3-4/ (3-40(3 + 40 5 5D. -40考点：二项式定理.4.等差数列仏”｝的前刃项和为S”，若603+2為—3色=5,则S?等于( )A. 28B. 21C. 14D. 7【答案】D【解析】试题分析：由6^+20—302=5,得6@4_〃) + 2。

4_3(。

4_2〃)=5,即5a4=5,所以勺=1,所以57 = 7x(^+^)=Z^|gl = 7,故选D.考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的通项公式；3、等差数列的前农项和公式.【一题多解】由6°3+2。

4 一3。

2 =5 ,得6(q + 2d) + 2(°] + 3d)一3(勺 + d) = 5纠 +15d = 5(q +3/) = 5,即5a4 =5 ,所以a4 =1, 所以$ 7x(4+些= 22^ = 7,故选D.7 2 25.设命题#: « = (3,1),方=(加,2), Y^aDb；命题q:关于兀的函数y = (m2-5m-5^a A(a > 0且G Hl)是指数函数，则命题p是命题？的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 B.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由a "b,得m = 6；又由函数尹=(沪—5初—6)"是指数函数，得初° —5初—5 = 1,解得胡=6 或初=-1,所以命题去是命题g的充分不必要条件，故选A.考点：1、充分条件与必要条件；2、向量平行的充要条件；3、指数函数的概念.6.执行右边的程序框图，如果输入的N = 10,那么输出的S=( )【答案】B 【解析】试题分析:第-次循环,得"心山2；第二次循环,得厂=占4 +占 j 第三次循环, 得厂= —= S = 1 +丄 +—:^ = 4;第四了欠循环，得T = ——?——:s = l +丄 + — +3x2x1 2x1 3x2x14x3x2xl 2x1 3x2x1——-——,lc = 5；・・,由此可推出当疋=11时退出，输出S = l +丄 + —-— + ——-——+•・・+ 4x3x2xl2x1 3x2x1 4x3x2xl------ ----- ,即输出1 +丄+丄+……+ —,故选氏10x--x3x2xl 2! 3! 10!考点：程序框图.7. 给出下列关于互不重合的三条直线加、/、n 和两个平面0的四个命题:① 若m<^a,lX\a = A ，点m ,贝9/与加不共而；② 若加、/是异面直线，ICa , m □ a ，且〃丄/,斤丄m ,则兀丄a ； ③ 若l0a,m0j8,a00,则IDm；A. 1+丄+丄+2 31 + — 10c ・1+丄+丄+……+丄2 3 11,11 1B. 1+ — + —— + ..... 十——2! 3! 10!r ,1 1 1D ・ 1+ —— + —+ ... + —2! 3! 11!④若/ua,/nua,zn/n = A,ZEI0,加口0,则aWp ,其中为真命题的是（）A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③【答案】C【解析】试题分析：①中，rti异面直线判定定理可得/与加异面，故①为真命题；②中，根据条件对以在Q内找到两条相交线，使得它们都与Q垂直，故可得〃丄故②为真命题；③中/与血可能平行，也可能相交，也可能异面，故③为假命题；④中命题是面面平行的判定定理的符号表示式，故④为真命题，故选C.考点：空间直线与平面的位置关系.8.袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次取出2个小球，则在笫一次摸出红球的条件下，笫二次摸出红球的概率是（）.3311A. B. 一 C.— D.—10524【答案】C【解析】试题分析：因为第一次摸到红球的概率为°,则第一次摸出红球且第二次摸出红球的概率为—X—=—,所以所求概率为=■二一，故选C.5 4 10 3 25考点：1、条件概率；2、独立事件.（jr 兀、9.两数/（x） = 2sin（0x + 0）, 69>0,一一<（p<—的部分图象如图所示，则0。

吉林省实验中学2010届高三年级第三次模拟数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．若全集U R =，集合{}{}23,13A x x B x x x =-≤≤=<->或，则集合()U AC B 等于（ ）A ．{}24x x -≤< B ．{}34x x x ≤≥或 C ．{}13x x -≤≤ D ．{}21x x -≤<-2．如果复数21ai i++是实数，（i 为虚数单位，a R ∈），则实数a 的值是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．在一椭圆中，以焦点12,F F 为直径两端点的圆，恰好经过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于（ ）A ．12BCD4．如果,x y 满足不等式组135x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，那么目标函数z x y =-的最小值是（ ）A ．－1B ．－3C ．－4D ．－25．已知,,a b l 表示三条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，有下列四个命题： ①若,a b αββγ==，且//a b ，则//αγ；②若,a b 相交，且都在,αβ外，//,//a a αβ，//,//b b αβ，则//αβ； ③若,,,a b a b αβαββ⊥=⊂⊥，则b α⊥；④若,a b αα⊂⊂，,l a l b ⊥⊥，则l α⊥．其中，正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④6．若等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S a +=+，则常数a 的值等于（ ）A ．13-B ．－1C ．13D ．－37．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出200人作进一步调查，其中低于1 500元的称为低收入者，高于 3 000元的称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中分别抽取的人数是 （ ）A ．1 000，2 000B ．40，80C ．20，40D ．10，20 8．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 （ ）A ．14-B ．4C ．2D ．12-9．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 （ ）A ．332cm B3C ．334cm D ．338cm10．把函数cos y x x =的图像沿x 轴向左或向右平移(0)m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π0．0．0．0．0．11．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．5612．定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的函数()()()212h x f x bf x =++有5个不同的零点12345,,,,x x x x x ，则2222212345x x x x x ++++等于 （ ）A ．2222b b+ B ．16 C ．5 D ．15第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．61)x的展开式中，常数项为 ．（用数字作答） 14．右图的框图表示的程序所输出的结果是 ． 15．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点， 曲线在P 点处切线的倾斜角为α，则角α的取 值范围是 ．16．双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的离心率是2，则ab 312+的最小值是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 为锐角ABC ∆的三个内角，向量(22sin ,cos sin )m A A A =-+,(1sin ,cos sin )n A A A =+-且m n ⊥．（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求222sin cos(2)3y B B π=+-取最大值时，∠ B 的大小．18．（本小题满分12分）长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1的长是a ，底面ABCD 的边长AB ＝2a ，BC ＝a ，E 为C 1D 1的中点．（I ）求证：DE ⊥平面BCE ；（II ）求二面角E －BD －C 的正切值．19．（本小题满分12分）从“神七”飞船带回的某种植物种子由于在太空中被辐射，我们把它们称作“太空种子”.这种 “太空种子”成功发芽的概率为34，发生基因突变的概率为13，种子发芽与发生基因突变是两个相互独立事件.科学家在实验室对太空种子进行培育，从中选出优良品种.（I ）这种太空种子中的某一粒种子既发芽又发生基因突变的概率是多少？（II ）四粒这种太空种子中既发芽又发生基因突变的种子数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列和数学期望E ξ.D 1C 1 B 1A 1CD E AB20．（本小题满分12分）已知x e a x x f )()(2-=（I ）若a ＝3，求)(x f 的单调区间和极值；（II ）已知21,x x 是)(x f 的两个不同的极值点，且||||2121x x x x ≥+，若b a a a a f +-+<323)(323恒成立，求实数b 的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，已知曲线).(21:,1:*N n x y C x y C n n ∈+==-从C 上的点),(n n n y x Q 作x 轴的垂线，交,n n nC P P y 于点再从点作轴的垂线，交C 于点).,(111+++n n n y x Q 设,11=x 1n n n a x x +=-，1n n n b y y +=-．（I ）求Q 1、Q 2的坐标； （II ）求数列}{n a 的通项公式；（III ）记数列}{n n b a ⋅的前n 项和为1, : .3n n S S <求证请考生在第22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 是⊙O 上的点，OC 垂直于直径AB ，过F 点作⊙O 的切线交AB 的延长线于D ．连结CF 交AB 于E 点． （I ）求证：2DE DB DA =⋅；（II ）若⊙O的半径为OB，求EF 的长．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）． （I ）将曲线C 的极坐标方程和直线l 参数方程转化为普通方程；（II ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且||AB =，试求实数m 值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()|1|||(0)f x x x a a =++->． （I ）作出函数()f x 的图象；（II ）若不等式()5f x ≥的解集为][(,23,)-∞-+∞，求a 值．AB OCDE F参考答案CDBBC DCBCA CD13．15 14．1320 15．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭16．3 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）m n ⊥，∴(22s i n )(1s i n)(c o s s i n )(c o s A A A AA A -+++-= ……………2分2222(1s i n )s i n c o sA A A ⇒-=- …………………4分ABC ∆是锐角三角形， …………6分（Ⅱ）ABC ∆是锐角三角形，且3A =，62B ππ∴<<2212sin cos(2)1cos 2cos 22322y B B B B B π∴=+-=--+ ……………7分32cos 21)1223B B B π=-+=-+ ………10分 当y 取最大值时，232B ππ-=即512B π=． ……………12分 18．（本小题满分12分）解：（1）∵1AA ＝a ， AB ＝2a ，BC ＝a ，E 为11C D 的中点． ∴a CE DE 2==， ∴DE ⊥CE ……………2分又∵a EB a DB 3,5== ∴DE ⊥EB ， ………………4分 而B EB CE = ∴DE ⊥平面BCE ………………6分（2） 取DC 的中点F ，则EF ⊥平面BCD ,作FH ⊥BD 于H ，连EH ， 则∠EHF 就是二面 角E-BD-C 的一个平面角． …………………8分由题意得 EF ＝a ，在Rt △DFH 中，a HF 55=………………10分∴tan ∠EHF ＝5. …………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记“这批太空种子中的某一粒种子既发芽又发生基因突变”为事件A ，则311()434P A =⨯= ………………4分 （Ⅱ）ξ的可能取值是0，1，2，3，4()438104256P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； ()314132714464P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()22241327244128P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()33413334464P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ()4441144256P C ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. ξ的分布列为：………10分数学期望81272731012+3+412566412864256E ξ=⨯+⨯+⨯⨯⨯=. ……………12分 20．解：（1）xe x xf a )3()(,32-=∴= 130)32()(2或-=⇒=-+='x e x x x f x ……………1分当),1()3,(+∞⋃--∞∈x 时()0,(3,1)f x x '>∈-时0)(<'x f)(x f ∴的增区间为]3,(--∞，；),1[+∞减区间为[-3，1]， ………………3分)(x f 的极大值为36)3(-=-e f ；极小值为.2)1(e f -= …………………5分（2）0)2()(2=-+='xe a x x xf 即02=-+2a x x由题意两根为21,x x ，a x x x x -=-=+∴2121,2．故22≤≤-a 又044>+=∆a .21≤<-∴a ………………7分 记a a a e a a a a a a f a g a 323)(3323)(3)(23223+---=+--=333)1(3)(22+---+='a a e a a a g a02510)1)(1(32=±-=⇒=--+=a a e a a a 或(() ()0()0 ()0a g a g a g a g a -''''><> ()g a 递增 递减 递增 …………10分又2(0)0,(2)68g g e ==- 2m a x()68g a e ∴=- ……………11分 268b e ∴>- …………12分 21．（本小题满分12分）解：（I ）由题意知).32,23(),32,1(),1,1(21Q P Q ………2分 （II ）).,(),,(111+++n n n n n n y x Q y x Q ).,(1+∴n n n y x P 的坐标为点 ,1,1,,111+++==∴n n n n n n x y x y C Q Q 上在曲线 又,21,1nn n n n x y C P -++=∴上在曲线 …………4分 .2,21n n n n n a x x --+=∴+=∴…………6分（III ）112211)()()(x x x x x x x x n n n n n +-++-+-=---n nn n -------=---=++++=11)2()1(22211)21(111222…………8分,)122()222(1)221221(21)11(2)()(1111-⋅⋅-⋅=---=-=-⋅-=⋅∴--+-++n n n n n n n n n n n n n n x x y y x x b a,231,3122,2222nn n nnnb a ⋅≤⋅∴≥-⋅≥-⋅ …………10分 n n n b a b a b a S +++=∴ 2211.31)211(31211)21(1612312312312<-=--⋅=⨯++⨯+⨯≤n nn ……12分 22．（本小题满分10分）解:（1）连结OF ．∵DF 切⊙O 于F ， ∴∠OFD =90°．∴∠OFC +∠CFD =90°． ∵OC =OF ，∴∠OCF =∠OFC ．∵CO ⊥AB 于O ，∴∠OCF +∠CEO =90°． ∴∠CFD =∠CEO =∠DEF ，∴DF =DE ． ∵DF 是⊙O 的切线,∴DF 2=DB ·DA ． ∴DE 2=DB ·DA ． …………5分（2）231==OB OE ，CO=，422=+=OE CO CE ．∵CE ·EF = AE ·EB =（+2）（-2）=8， ∴EF =2． …………10分 23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为: 0422=-+x y x …………2分直线l 的直角坐标方程为：y x m =- …………4分（Ⅱ）（法一）由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R ＝2，∴圆心到直线l的距离2d == …………6分|2|12m =⇒-= …………8分∴1m =或3m = …………10分（法二）把2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）代入方程0422=-+x y x ,得222)40t m t m m -+-=, …………6分212122),4t t m t t m m ∴+=-=-．∴12||||AB t t =-=== …………8分∴1m =或3m = …………10分24．（本小题满分10分）解:（Ⅰ）|||1|)(a x x x f -++=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤-+-<+--=)2(12)1(1)1(12x a x a x a x a x …………2分函数)(x f 如图所示 …………5分（Ⅱ）由题设知：5|||1|≥-++a x x如图，在同一坐标系中作出函数5=y 的图象（如图所示）又解集为][),32,(+∞⋃--∞． …………7分由题设知，当2-=x 或3时，5)(=x f 且51<+a 即4<a由51)2(2)2(=+---=-a f 得： 2=a - …………10分。

吉林省东北师大附中2015届高三上学期第三次摸底考试数学（理科）试卷【试卷综述】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、导数、数列、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷。

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，在试卷上作答无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）【题文】一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】（1）设集合{||1|2}A x x =-<，1{|24}x B x +=≥，则AB = （ ）（A ） [0,2] （B ）(1,3) （C ）[1,3) （D ）(1,4) 【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】C 解析：{|13}A x x =-<<，{|1}B x x =≥，{|13}A B x x ∴=≤< 故选C.【思路点拨】化简集合A ，B ，直接计算即可.【题文】（2）若命题:p 2000,13x R x x ∃∈+>，则p ⌝是 ( )（A ）2000,13x R x x ∃∈+≤ （B ）2,13x R x x ∀∈+≤（C ）2,13x R x x ∀∈+< （D ）2,13x R x x ∀∈+> 【知识点】特称命题的否定A3【答案】【解析】B 解析：由定义可得p ⌝为2,13x R x x ∀∈+≤，故选B. 【思路点拨】特称命题的否定是全称命题.【题文】（3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若151,15a S ==，则6a 等于 （ ）（A ） 8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【知识点】等差数列D2 【答案】【解析】C 解析：155551552a a S a +=⨯=∴=，公差1d =，所以66a =， 故选C.【思路点拨】由等差数列性质计算可得，也可由515S =直接求公差.【题文】（4）“1<λ”是数列“)(22*∈-=N n n n a n λ为递增数列”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【知识点】充分必要条件A2 【答案】【解析】A 解析：由“1<λ”可得][221[] 12122210n n a a n n n n n λλλ+-=+-+--=-+（）（）＞，故可推出“数列)(22*∈-=N n n n a n λ为递增数列”，故充分性成立．由“数列)(22*∈-=N n n n a n λ为递增数列”可得][221[]12122210n n a a n n n n n λλλ+-=+-+--=-+（）（）＞，故212n λ+＜， 即32λ＜，不能推出“1<λ”，故必要性不成立．因此“1<λ”是“数列)(22*∈-=N n n n a n λ为递增数列”的充分不必要条件，故选A. 【思路点拨】由“1<λ”可得1 0n n a a +-＞，推出“数列)(22*∈-=N n n n a n λ为递增数列”．由“数列)(22*∈-=N n n n a n λ为递增数列”，不能推出“1<λ”，由此得出结论．【题文】（5）在等比数列{}n a 中，若452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ） （A ） 6 （B ）5 （C ）4 （D ）3【知识点】等比数列 D3【答案】【解析】C 解析：因为452,5a a ==，4510a a ∴⋅=，4412781281845lg lg lg lg lg()lg()lg()4lg104a a a a a a a a a a a +++++=====，故选C.【思路点拨】4518a a a a ⋅=⋅，结合对数运算性质得4412781845lg lg lg lg lg()lg()a a a a a a a a +++++==即可求解.【题文】（6）设α，β都是锐角，且55cos =α，10sin()10αβ-=，则=βcos （ ） （A ）22 （B ）210- （C ）22或210- （D ）22或210【知识点】两角和与差的余弦公式C5【答案】【解析】A 解析：cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-，由题意可得25310sin ,cos()510ααβ=-=，代入得2cos 2β=，故选A. 【思路点拨】注意到角的变换()βααβ=--，再利用两角差的余弦公式计算可得结果. 【题文】（7）已知函数2()2sin 222cos f x x x =-，则()f x 的最小正周期T 和其图像的一条对称轴方程是 ( ) （A ）2,8x ππ=（B ）32,8x ππ=（C ）,8x ππ= （D ）3,8x ππ= 【知识点】三角函数图像与性质C3 【答案】【解析】D 解析：2()2sin 222cos 2sin 22(1cos 2)f x x x x x =-=-+2sin(2)24x π=--，T π∴=，对称轴32,4228k x k x πππππ-=+∴=+，当0k =时，38x π=，故选D.【思路点拨】先化简()2sin(2)24f x x π=--即可求周期与对称轴方程.【题文】（8）已知函数2()ln 3,f x x x x =+-则其导函数'()f x 的图像与x 轴所围成的封闭 图形的面积为 （ ）（A ）ln 2 （B ）3ln 24- （C ）3ln 24+ （D ）32 【知识点】定积分的应用B13【答案】【解析】B 解析：()1'23f x x x =+-令()'0f x =,得：12x =或1, 所以'()f x 的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为：1'111221()()|()(1)2f x dx f x f f -=-=-⎰1133(ln )(ln113)ln 22424=+--+-=-,故选B.【思路点拨】由题可得'()f x 的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为：1'111221()()|()(1)2f x dx f x f f -=-=-⎰，代入计算可得结果.【题文】（9）已知0,0,lg 2lg8lg 2x yx y >>+=，则113x y+的最小值是 ( ) （A ）4 （B ）3 (C) 2 (D) 1 【知识点】基本不等式E6【答案】【解析】A 解析：由题得333y lg2lg2lg(22)lg2lg2x y x y x ++=⨯==，所以31x y +=，11113(3y)()(2)333y x x x y x y x y+=++=++224≥+=，当且仅当33y xx y=，即22(3)x y =，11,26x y ==时等号成立，故选A. 【思路点拨】】由题得31x y +=，做变换11113(3y)()(2)333y x x x y x y x y+=++=++即可利用基本不等式求解.【题文】（10）若函数)(x f 的定义域为R ，2)(>'x f 恒成立，2)1(=-f ，则42)(+>x x f 解集为（ ）（A ）(,1)-∞- （B ）(,1)-∞ （C ）(1,1)- （D ）(1)-+∞， 【知识点】导数的应用B12【答案】【解析】D 解析：令()()(24)g x f x x =-+，要求42)(+>x x f ，就是求()0g x >，g'()()20x f x '=->，所以函数()g x 在R 上单调递增，而(1)(1)20g f -=--=，()0(1)g x g >=-，即1x >-，故选D.【思路点拨】构造函数()()(24)g x f x x =-+，得g'()()20x f x '=->，得函数()g x 在R 上单调递增，又(1)0g -=，所以()0(1)g x g >=-，可求其解集. 【题文】（11）设01a <≤，函数x x x g xax x f ln )(,)(-=+=，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则a 的取值范围为 （ ）（A ）(0,1] （B ）(0,2]e - （C ）[2,1]e - （D ）1[1,1]e- 【知识点】函数综合B14【答案】【解析】C 解析：令222'()1a x af x x x-=-=，11'()1x g x x x -=-=， [1,e]x ∈，01a <≤，'()0,'()0f x g x ∴>>，即(),()f x g x 在[1,e]x ∈时单调递增，由对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，所以min max ()()f x g x ≥，即(1)()f g e ≥，112a e a e ∴+≥-∴≥-，又01a <≤，得21e a -≤≤，故选C.【思路点拨】由题意可得(),()f x g x 在[1,e]x ∈时单调递增，要使对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，只需min max ()()f x g x ≥.【题文】（12）定义函数348,12,2()1(), 2.22x x f x x f x ⎧--⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩≤≤，则函数()()6g x xf x =-在区间[1,2](n n *)∈N 内的所有零点的和为 ( )（A ）31(1)42n - （B ）31(1)22n - （C ）3(21)4n - （D ）3(21)2n -【知识点】根的存在性及根的个数判断 B5【答案】【解析】D 解析：当312x ≤≤时，88f x x =-（）， 所以()2(82)18g x x =--，此时当32x =时，0max g x =（）；当322x ≤＜时，168f x x =-（），所以28120g x x =--+（）（）＜；由此可得12x ≤≤时，0max g x =（）． 下面考虑122n n x -≤≤且2n ≥时，g x （）的最大值的情况．当12232n n x --≤≤⋅时，由函数f x （）的定义知()11112()2)(22n n xf x f f x --==⋯=, 因为13122n x -≤≤，所以()2225(1282)n n g x x --=--， 此时当232n x -=⋅时，0max g x =（）；当2322n n x -⋅≤≤时，同理可知()1225(182)20n n g x x --=--+，＜．由此可得122n n x -≤≤且2n ≥时，0max g x =（）．综上可得：对于一切的*n N ∈，函数g x （）在区间12]2[n n-，上有1个零点，从而g （x ）在区间[1]2n ，上有n 个零点，且这些零点为232n n x -=⋅，因此，所有这些零点的和为3(221)n-．故选D. 【思路点拨】函数f x （）是分段函数，要分区间进行讨论，当12x f x ≤≤，（）是二次函数，当2x ＞时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）【题文】二、填空题（本大题共4小题, 每小题5分, 共20分） 【题文】（13）函数221()(0)41x f x x x +=>+的最大值为 ；【知识点】函数的最值B3 【答案】【解析】212+解析：令21t x =+（1t >），原式222t t t =-+122t t=+-，（1） 222t t +≥，（1）式1212222+≤=-，故最大值为212+. 【思路点拨】令21t x =+（1t >），原式222tt t =-+122t t=+-，利用基本不等式即可 求解.【题文】（14）在ABC △中，内角A B C 、、所对的边的长分别为a b c 、、，且2()a b b c =+，则BA= ； 【知识点】余弦定理C8【答案】【解析】12解析：2a b b c =+（），即222a a b bc b c b=++=，，∴由正弦、余弦定理化简得：2222222a c b c bc b c cosB ac ac a +-++===2222a a sinAab b sinB===，则2sinA sin B =，即2A B =或2A B π+=，2222a b c bccosA =+-，且22a b b c b bc =+=+（），22222222b c a b c b bccosA bc bc +-+--∴== ()02c c b bc -=＞ ，即2c b C B A B C A B ππ∴++=∴+＞，＞，，＜，故2A B π+=不成立，舍去，2A B ∴=，则12B A =．故答案为12. 【思路点拨】利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形为22a b bc =+代入，约分后再将2a b c b+=代入，利用正弦定理化简得到22sinA sinBcosB sin B ==，进而得到2A B =，即可求出所求式子的值．【题文】（15）函数()ln()(0)f x x ax a =<的递增区间是 ； 【知识点】函数的单调性B3【答案】【解析】1(,)ae-∞解析：0a <，∴ 定义域为(,0)-∞，'()ln()1f x ax =+，当'()0f x >时，函数()f x 递增，此时110ax x e ae >∴<<，故递增区间为1(,)ae -∞.【思路点拨】求单调区间先求定义域，再根据'()0f x >解出x 的范围即可.【题文】（16）已知数列}{n a 中，12122,5,23(3)n n n a a a a a n --===+≥，则20193a a -= .【知识点】递推公式D5【答案】【解析】1- 解析：由1223n n n a a a --=+，得112333n n n n a a a a n ----=--≥（）（）， 122125353210a a a a ==∴-=-⨯=-≠，，，∴数列{}13n n a a --是以1-为首项，以1-为公比的等比数列，20193a a -是这个数列的第19项，18201931(1)1a a -=-⨯-=-， 故答案为1-.【思路点拨】把给出的数列递推式变形，得到等比数列{}13n n a a --，求出其通项公式即可. 【题文】三、解答题（本题共6小题, 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【题文】（17）（本小题满分10分） 已知ABC ∆是斜三角形，内角A B C 、、所对的边的长分别为a b c 、、．己知C a A c cos 3sin =．（I ）求角C ；（II ）若c =21，且sin sin()5sin 2,C B A A +-= 求ABC ∆的面积. 【知识点】余弦定理 正弦定理C8 【答案】【解析】（I ）3C π=（II ）534解析：（I ）根据正弦定理a csinA sinC= ，可得csin A asinC =， sinA 3cos ,sin 3cos c a C a C a C =∴=，可得sin 3cos C C =，得3sinC tanC cosC ==,03C C ππ∈∴=（，），； （II ）sin sin(B A)5sin 2A,C 3C π+-==sin sin()C A B ∴=+sin(A B)sin(B A)5sin 2A ∴++-=，2sin cosA 25sin cos B A A ∴=⨯ A B C 、、为斜三角形，cos 0A ∴≠，sinB 5sinA ∴=，由正弦定理可知5b a = (1)由余弦定理2222cos c a b ab C =+-2212122a b ab ∴=+-⨯ (2)由（1）（2）解得5,1a b ==11353sin 152224ABCSab C ∴==⨯⨯⨯=. 【思路点拨】（I ）根据正弦定理算出csin A asinC =，与题中等式比较可得3tanC =，结合C 为三角形内角，可得C 的大小；（II ）余弦定理2222cos c a b ab C =+-的式子，列式解出5,1a b ==，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到ABC 的面积．【题文】（18）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，N n *∈.（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）令1(1)n n n c a =--，不等式2014(1100,N )k c k k *≥≤≤∈的解集为M ，求所有()k a k M ∈的和.【知识点】数列递推式；等比数列的通项公式；数列的求和D5 D3 D4【答案】【解析】（I ）2nn a =（II ）11451012142204814()3--=-解析：. （Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，42911()a q a q ∴=，解得1a q =， 又221(2525)n n n n n n a a a a a q a q +++=∴+=（），,则2215q q +=（），22520q q -+=解得12q =（舍）或2q =．1222n n n a -∴=⨯=． （Ⅱ）由（I ）可得：()()1112nnn n c a =--=--，当n 为偶数，122014n n c =-≥，即22013n≤-，不成立． 当n 为奇数122014n n c =+≥，即22013n≥，1011210242204821549n m m ==∴=+≤≤，，，，{}k a k M ∴∈（）组成首项为112，公比为4的等比数列． 则所有k a k M ∈（）的和11451012142204814()3--=-． 【思路点拨】（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由2510a a =，可得42911()a q a q =，解得1a q =．再利用2125n n n a a a +++=（），可得q ，即可得出n a ．（II ）由（I ）可得()()1112n nn n c a =--=--．当n 为偶数，不成立．当n 为奇数，122014n n c =+≥，可得21n m =+，得到m 的取值范围．可知k a k M ∈（）组成首项为211，公比为4的等比数列,求出即可． 【题文】(19)（本小题满分12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格.现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立. 课 程来初等代数 平面几何 初等数论 微积分初步合格的概率3243 32 21 （Ⅰ）求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（Ⅱ）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望ξE ． 【知识点】二项分布与n 次独立重复试验的模型；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差K6 K2 K8 【答案】【解析】（I ）512（II ）54解析：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，且事件A ，B ，C ，D 相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：P ABCD P ABCD P ABCD ++=（）（）（）322132213211543324332433212⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ． （2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，5312B ξ～（，），03373430121728()PC ξ===（），213577351()()12121728P C ξ===（），223575252()()12121728P C ξ===（）， 33351253()121728P C ξ===（） ，ξ∴的分布列为：5312B ξ～（，）,512534E ξ∴=⨯=． 【思路点拨】（I ）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为P ABCD P ABCD P ABCD ++（）（）（），由事件A ，B ，C ，D 相互独立能求出结果．（II ）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，5312B ξ～（，），由此能求出ξ的分布列和数学期望．【题文】(20) （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，90BAC ︒∠=，F 为棱1AA 上的动点，14,2A A AB AC ===．（Ⅰ）当F 为1A A 的中点，求直线BC 与平面1BFC 所成角的正弦值； （Ⅱ）当1AFFA 的值为多少时，二面角1B FC C --的大小是45︒．【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角G12 G10 【答案】【解析】（I ）63（II ）153AF FA = 解析：（1）如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得11000200020004024A B C A C （，，），（，，），（，，），（，，），（，，），F 为1AA 中点，02(0)F ∴，，，1()()(202224220)BF BC BC =-=-=-，，，，，，，，，设()n x y z =，，是平面1BFC 的一个法向量，则12202240n BF x z BC x y z n ⎧⎪⎨⎪⎩=-+==-++= ，得x y z =-=, 取1x =，得1)1(1n =-，，， 设直线BC 与平面1BFC 的法向量1)1(1n =-，，的夹角为θ， 则463||||223BC n cos BC n θ-===-⋅⋅， ∴直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值为63．…（5分） （2）设()0,0(,04)F t t ≤≤，1()2,0,4()22BF t BC =-=-，，，， 设()n x y z =，，是平面1BFC 的一个法向量，则1•20•2240n BF x tz n BC x y z ⎧⎪=-+==-+⎨⎩=⎪+， 取2z =，得4)2(n t t =-，，,(2)00AB =，，是平面1BFC 的一个法向量，||||n ABcos n AB n AB =＜，＞()22222244t t t =+-+=，得52t =， 即15322AF FA ==，， ∴当153AF FA =时，二面角1B FC C --的大小是45︒．…（10分） 【思路点拨】（I ）以点A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC 与平面1BFC 所成角的正弦值．（II ）求出平面1BFC 的一个法向量，利用向量法能求出当153AF FA =时，二面角1B FC C --的大小是45︒.【题文】(21) （本小题满分12分）已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率5,2e =虚轴长为2. （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于A ，B 两点（A B ，均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【知识点】直线与双曲线H8【答案】【解析】（Ⅰ）2214x y -=（Ⅱ）直线l 过定点，定点坐标为1003⎛⎫- ⎪⎝⎭， 解析：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为22221(0,b 0)x y a a b -=>>，由已知得：52c a =，22b =，又222a b c +=，解得2,1a b ==，∴双曲线的标准方程为2214x y -=.（Ⅱ）设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ ，得 222(14k )84(m 1)0x mkx ---+=，有2222212221221406416(14k )(m 1)08014k 4(m 1)014kk m k mk x x x x ⎧->⎪∆=+-+>⎪⎪⎨+=<-⎪⎪-+⎪=>⎩- ， 22221212121224(k )(k )k ()14m k y y x m x m x x mk x x m k-=++=+++=- ，以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点(2,0)D -，1AD BD k k ∴=-，即1212122y yx x ⋅=-++， 1212122()40y y x x x x ∴++++=22222244(1)1640141414m k m mk k k k--+∴+++=---，22316200m mk k ∴-+=．解得：12m k =，2103km =. 当12m k =时，l 的方程为(2)y k x =+，直线过定点(20)-，，与已知矛盾； 当2103k m =时，l 的方程为103y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线过定点1003⎛⎫- ⎪⎝⎭，，经检验符合已知条件． 所以，直线l 过定点，定点坐标为1003⎛⎫-⎪⎝⎭，．【思路点拨】（Ⅰ）由已知得：52c a =，22b =，易得双曲线标准方程； （Ⅱ））设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ ，得 222(14k )84(m 1)0x mkx ---+=，以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点(2,0)D -，1AD BD k k ∴=-，即1212122y yx x ⋅=-++，代入即可求解. 【题文】 (22)（本小题满分12分） 已知函数()()2ln(1)af x x a R x=-+∈ （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设,m n 是正数，且m n ≠，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-. 【知识点】利用导数研究函数的单调性B12【答案】【解析】（I ）当02a ≤≤时，()f x 的递增区间为(1,)+∞；当0a <或2a >时，()f x 的递增区间为22(1,2),(2,)a a a a a a --+-+∞，减区间为22(2,2)a a a a a a --+-.（II ）略解析：（I ）函数)(x f 的定义域为(1,)+∞，22212221(1)a x ax af x x x x x -+'=-=--（）， 令2()22h x x ax a =-+，由题意得2(1)0x x ->，则2484(2)a a a a ∆=-=-，对称轴为x a =，（1）当02a ≤≤时，()0h x ≥，即0f x '≥（），()f x 在(1,)+∞上递增； （2）当0a <或2a >时，()0h x =的两根为212x a a a =--，222x a a a =+-，由(1)12210h a a =-+=>，2a >，得121x x <<，当12(,)x x x ∈时，()0h x <，0f x '<（），()f x 递减；当12(1,)(,)x x x ∈+∞时，()0h x >，0f x '>（），()f x 递增，所以()f x 的递增区间为22(1,2),(2,)a a a a a a --+-+∞，减区间为22(2,2)a a a a a a --+-.（II ）要证2m n m nlnm lnn -+-＜，只需证112m m n nm nln -+＜， 即21()1m m n l n n m n -+＞ ，即()2101m n n l mn m n--+＞，设()211x g x lnx x -=-+（）， 由题知g x （）在1+∞（，）上是单调增函数，又1m n ＞， 所以10mg g n=（）＞（）， 即()2101m n n l mn m n--+＞ 成立，得到2m n m n lnm lnn -+-＜． 【思路点拨】（I ）求出函数的导数，对a 分情况讨论，（1）当02a ≤≤时，（2）当0a <或2a >时，求出导数为0的根，即可得到单调区间；（II ）把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证()2101m n n l m n m n--+＞，根据题意得到g x （）在1x ≥时单调递增，且1m n ＞，利用函数的单调性可得证．。

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数2i1+i的共轭复数为（A ）1+i（B ）1i -（C ）1+i -（D ）1i --（2）命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（A ）对任意x ∈R ，都有x 2＜0 （B ）不存在x ∈R ，使得x 2＜0（C ）存在x 0∈R ，使得x 20≥0 （D ）存在x 0∈R ，使得x 20＜0（3）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（A ）2- （B ）0 （C ）1 （D ）2（4）设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知38S =，67S =，则789a a a ++= （A ）578 （B ）558 （C ）18 （D ）18- （5）已知向量(sin 2)θ=-，a ，(1cos )θ=，b ，且⊥a b ，则2sin 2cos θθ+的值为 （A ）1 （B ）2 （C ）12（D ）3（6）如图，设区域{}()|0101D x y x y =，，≤≤≤≤，向区域内随机投{}3()|010≤≤≤≤M x y x y x =，，内的概率是（A ）14 （B ）13（C ）25 （D ）27 （7）设αβγ，，为平面，m n ，为直线，则m β⊥的一个充分条件是 （A ）n m n αβαβ⊥⊥，，= （B ）m αγαγβγ⊥⊥，，= （C ）m αββγα⊥⊥⊥，， （D ）n n m αβα⊥⊥⊥，，（8）过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的 横坐标为3，|PQ |＝10，则抛物线方程是（A ）y 2＝4x （B ） y 2＝2x （C ） y 2＝8x （D ）y 2＝6x（9）已知两个实数()a b a b ≠，，满足a bae be =．命题:ln ln p a a b b +=+；命题:(1)(1)0q a b ++>，则下列命题正确的是（A ）p 真q 假 （B ）p 假q 真 （C ）p 真q 真 （D ）p 假q 假3（10）已知E F ，分别是矩形ABCD 的边BC 与AD 的中点，且22BC AB ==，现沿EF 将平面ABEF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ，则三棱锥A FEC -外接球的体积为 （A（B（C（D）（11）若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间()62ππ，是减函数，则a 的取值范围是（A ）()2,4 （B ）(],2-∞ （C ）(],4-∞ （D ）[)4,+∞（12）设双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线l 交两条渐近线于A 、B 两点，l 与双曲线的一个交点为P ，设O 为坐标原点，若OP mOA nOB =+()m n ∈R ，，且29mn =，则该双曲线的离心率为（A（B（C（D ）89第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

吉林省实验中学2015届高三上学期第三次质量检测数学（理）试题（解析版）本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、导数、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、立体几何，数列，参数方程，几何证明等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

【题文】1.已知集合U={1,2,3,4}，集合A={1，2},B={2,3},则()U C A B ⋃=( ) A.{1，3，4} B{3，4} C.{3} D{4} 【知识点】集合及其运算A1【答案解析】D 由A={1，2},B={2,3}则A B ⋃={1,2,3}所以()U C A B ⋃={4}故选D 。

【思路点拨】先求出A B ⋃再求出结果。

【题文】2.已知i 是虚数单位，则31ii+=-（ ） A.1-2i B.2-i C.2+i D. 1+2i 【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案解析】D 由31i i +=-242i+=1+2i 故选D 。

【思路点拨】先化简求出结果【题文】3．若条件:12p x +>，条件:q x a >，且p q ⌝⌝是的充分不必要条件，则a 的取值范围围是A ．1a ≥B ．1a ≤C ．3a ≥-D ．3a ≤-【知识点】充分条件、必要条件A2【答案解析】A ∵p ：|x+1|＞2，∴p={x|x ＞1或x ＜-3}， 若¬p 是¬q 的充分不必要条件则q 是p 的充分不必要条件，则q ⊊p ，∴a ≥1，故答案为：A ． 【思路点拨】先求出，p={x|x ＞1或x ＜-3}，再根据¬p 是¬q 的充分不必要条件，得到q 是p 的充分不必要条件，即q ⊊p ，从而得出答案．【题文】4最大的是A ．8B ．C ．10D ．【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【思路点拨】三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值 【题文】5．若02πθ-<<，且sin 3P θ=，()3sin Q θ=，()13sin R θ=，则,,P Q R 大小关系为A. R Q P <<B. Q R P <<C. P Q R <<D. R P Q << 【知识点】指数与指数函数对数与幂函数B6 【答案解析】A 0<sin 3θ<13,因为1sin 0θ-<<，则Q>R,所以R Q P <<故选A. 【思路点拨】先根据指数函数幂函数性质确定大小【题文】6．已知函数()2sin ,(),(),()f x x g x x x m f x g x ===直线与的图象分别交,M N 两点，则MN 的最大值为A. 3B. 4C. D ．2 【知识点】三角函数的图象与性质C3【思路点拨】依题意可设M （x 0，2sinx 0），N （x 0 ，0），|MN|=|2sinx 0- 0|，利用辅助角公式即可．【题文】7．设m n ，是两条不同的直线, αβ，是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A ．若αβ⊥,,m n αβ⊂⊂,则m n ⊥ B ．若α∥β,,m n αβ⊂⊂,则n ∥m C ．若m n ⊥,,m n αβ⊂⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,n ∥m ,n ∥β,则αβ⊥【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5【答案解析】D 选项A ，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则可能m ⊥n ，m ∥n ，或m ，n 异面，故A 错误；选项B ，若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ，或m ，n 异面，故B 错误； 选项C ，若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C 错误；选项D ，若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β，故D 正确．故选D【思路点拨】由α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，可推得m ⊥n ，m ∥n ，或m ，n 异面；由α∥β，m ⊂α，n ⊂β，可得m ∥n ，或m ，n 异面；由m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β．【题文】8．已知函数()()log 1a f x x =+，1a >,对于定义域内的12,x x 有1201x x <<<，给出下列结论：①()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦; ②()()2112x f x x f x <; ③()()2112f x f x x x ->-;④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.其中正确结论的序号是A. ①②B. ①③C. ②④ D ③④ 【知识点】对数与对数函数B7【答案解析】D 因为1a >所以为增函数①错误，()()2112x f x x f x <没有必然联系所以②错误③()()2112f x f x x x ->-;④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭正确。

吉林省实验中学2015届高三上学期第三次适应性数学试卷（文科）一.选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x∈N|0＜x＜3}，B={x|2x﹣1＞1}，则A∩B=（）A．∅B．{1} C．{2} D．{1，2}2．（5分）在复平面内，复数z=（1+2i）（1﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）如果a＞0，b＞c＞0，则下列不等式中不正确的是（）A．﹣a+b＞﹣a+c B．ab﹣ac＞0 C．D．4．（5分）函数﹣sinx在区间[0，2π]上的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（5分）如果执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．1206．（5分）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，m⊥l，则m⊥α7．（5分）在△AB C中，若a=4，b=3，cosA=，则B=（）A．B．C．D．8．（5分）函数的图象不可能是（）A．B．C．D．9．（5分）已知命题p：“a=1是x＞0，x+≥2的充分必要条件”，命题q：“存在x0∈R，+x0﹣2＞0”，则下列命题正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧（￢q）”是真命题C．命题“（￢p）∧q”是真命题D．命题“（￢p）∧（￢q）”是真命题10．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（1）=5，对任意实数x都有f′（x）＜3，则不等式f（x）＜3x+2的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）11．（5分）函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny ﹣1=0（m＞0，且n＞0）上，则的最小值是（）A．25 B．24 C．13 D．1212．（5分）已知，且函数的最小值为b，若函数则不等式g（x）≤1的解集为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a2=1，a3+a4=2，，则a5+a6+a7+a8=．14．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）+lnx，则f（e）=．15．（5分）已知满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是．16．（5分）设定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件时称f（x）为“友谊函数”：（1）对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；（2）f（1）=1；（3）若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则下列判断正确的有．①f（x）为“友谊函数”，则f（0）=0；②函数g（x）=2x﹣1在区间[0，1]上是“友谊函数”；③若f（x）为“友谊函数”，且0≤x1＜x2≤1，则f（x1）≤f（x2）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=cosx（sinx﹣cosx）+1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[﹣，0]时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）上点P（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y+1=0．（1）若y=f（x）在x=﹣2时有极值，求y=f（x）的表达式；（2）在（1）的条件下求y=f（x）在[﹣3，2]上的最值及相应的x的值．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）求证：AD⊥平面PQB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且，求四棱锥M﹣ABCD的体积．20．（12分）己知等差数列{a n}，公差d＞0，前n项和为S n，且满足a2a3=45，a1+a4=14．（I）求数列{a n}的通项公式及前，n项和S n；（II）设，若数列{b n}也是等差数列，试确定非零常数c；并求数列的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m的取值范围．三.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点．（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC；（Ⅱ）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的长．[选修4-4：坐标系和参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣4．（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的最大值和最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0）（Ⅰ）若a=2时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若不等式f（x）≤4对一切x∈[a，2]恒成立，求实数a的取值范围．吉林省实验中学2015届高三上学期第三次适应性数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x∈N|0＜x＜3}，B={x|2x﹣1＞1}，则A∩B=（）A．∅B．{1} C．{2} D．{1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求解指数不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．解答：解：∵A={x∈N|0＜x＜3}={1，2}，B={x|2x﹣1＞1}={x|x＞1}，则A∩B={2}．故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，考查了指数不等式的解法，是基础题．2．（5分）在复平面内，复数z=（1+2i）（1﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接化简复数z，然后求出对应点的坐标，则答案可求．解答：解：∵z=（1+2i）（1﹣i）=1﹣i+2i﹣2i2=3+i，∴复数z对应的点的坐标为（3，1）．∴复数z对应的点位于第一象限．故选：A．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）如果a＞0，b＞c＞0，则下列不等式中不正确的是（）A．﹣a+b＞﹣a+c B．ab﹣ac＞0 C．D．考点：不等关系与不等式．专题：计算题．分析：由不等式的性质直接判断即可．解答：解：A中b＞c两边同时加﹣a，不等号方向不变，正确；B中b＞c两边同时乘以a，因为a＞0，所以不等号方向不变，正确．C中若b=2，c=1时，错误；D正确．故选C点评：本题考查不等式的性质，属基础知识的考查．4．（5分）函数﹣sinx在区间[0，2π]上的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：函数零点的判定定理．专题：数形结合．分析：解：令f（x）=0，则x=sinx，原问题在区间[0，2π]上的零点个数就转化为两个函数y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象，由图知交点个数．解答：解：令f（x）=0，则x=sinx，上的零点个数就转化为两个函数y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象：由图知交点个数是2．故选B．点评：利用函数的图象可以加强直观性，同时也便于问题的理解．本题先由已知条件转化为确定f（x）的解析式，再利用数形结合的方法判断方程根的个数．5．（5分）如果执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．120考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的k，ρ的值，当有k=4，ρ=360时不满足条件k ＜m，输出p的值为360．解答：解：执行程序框图，有n=6，m=4k=1，ρ=1第一次执行循环体，ρ=3满足条件k＜m，第2次执行循环体，有k=2，ρ=12满足条件k＜m，第3次执行循环体，有k=3，ρ=60满足条件k＜m，第4次执行循环体，有k=4，ρ=360不满足条件k＜m，输出p的值为360．故选：B．点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．6．（5分）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，m⊥l，则m⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．分析：由线面平行的性质定理和面面平行的判定定理判断A、B；再由线面和面面垂直的定理判断C、D．解答：解：A不对，由线面平行的性质定理知必须l⊂β；B不对，由面面平行的判定定理知两条直线必须相交；D不对，有条件有可能m⊂α；C正确，由l∥β知在β内有与l平行的直线，再由l⊥α和面面垂直的判定定理得α⊥β．故选C．点评：本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了学生对定理的运用能力和空间想象能力．7．（5分）在△ABC中，若a=4，b=3，cosA=，则B=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题；三角函数的求值．分析：先利用同角三角函数关系求得sinA的值，进而利用正弦定理求得sinB的值，最后求得B．解答：解：∵cosA=，0＜∠A＜π∴sinA===∵=，即=，∴sinB=，∴∠B=或，∵sinA=＞∴∠A＞∴∠B=与三角形内角和为180°矛盾．∴∠B=，故选A．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题的过程中注意对结果正负号的判断．8．（5分）函数的图象不可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：函数的图象是一个随着a值变化的图，讨论a值的不同取值从而得到不同的图象，从这个方向观察四个图象．解答：解：当a＜0时，如取a=﹣1，则f（x）=，其定义域为：x≠±1，它是奇函数，图象是A．故A正确；当a＞0时，如取a=1，则f（x）=，其定义域为：R，它是奇函数，图象是B．故B正确；当a=0时，则f（x）=，其定义域为：x≠0，它是奇函数，图象是C，C正确；故选D．点评：由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响图象的形状，这是本题的关键．9．（5分）已知命题p：“a=1是x＞0，x+≥2的充分必要条件”，命题q：“存在x0∈R，+x0﹣2＞0”，则下列命题正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧（￢q）”是真命题C．命题“（￢p）∧q”是真命题D．命题“（￢p）∧（￢q）”是真命题考点：复合命题的真假．专题：计算题；综合题．分析：根据基本不等式进行讨论，可得：“a=1是x＞0，x+≥2的充分不必要条件”，命题p是假命题．再根据一元二次不等式的解法，得到命题q：“存在x0∈R，+x0﹣2＞0”是真命题．由此不难得出正确的答案．解答：解：对于p，当a=1时，x+≥2=2，在x＞0时恒成立，反之，若x＞0，x+≥2恒成立，则2≥2，即，可得a≥1因此，“a=1是x＞0，x+≥2的充分不必要条件”，命题p是假命题．对于q，∵在x0＜﹣1或x0＞2时+x0﹣2＞0才成立，∴“存在x0∈R，+x0﹣2＞0”是真命题，即命题q是真命题．综上，命题p为假命题而命题q为真命题，所以命题“（￢p）∧q”是真命题故选C点评：本题以两个含有不等式的命题真假的判断为载体，着重考查了一元二次不等式的解法、基本不等式和复合命题的真假判断等知识，属于基础题．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（1）=5，对任意实数x都有f′（x）＜3，则不等式f（x）＜3x+2的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）考点：函数的单调性与导数的关系；导数的运算．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：本题可以构造函数g（x）=f（x）﹣3x，利用函数g（x）的单调性将不等式转化为两个函数值的大小，得到自变量的大小关系，从而得到本题结论．解答：解：记g（x）=f（x）﹣3x，∵对任意实数x都有f′（x）＜3，∴g′（x）=f′（x）﹣3＜0，∴g（x）定义在R上的单调递减函数．∵f（1）=5，∴g（1）=f（1）﹣3=5﹣3=2．∵f（x）＜3x+2，∴f（x）﹣3x＜2，∴g（x）＜g（1）．∵g（x）定义在R上的单调递减函数，∴x＞1．故选D．点评：本题考查了导函数与函数单调性的关系，还考查了构造函数的思想，本题难度适中，属于中档题．11．（5分）函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny ﹣1=0（m＞0，且n＞0）上，则的最小值是（）A．25 B．24 C．13 D．12考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意求出点P的坐标为（1，4），因为点P在直线mx+ny﹣1=0上所以m+4n=1.=（m+4n）（）利用基本不等式求出的最小值为25．解答：解：因为函数f（x）=a x﹣1+3的图象过一个定点P所以点P的坐标为（1，4）又因为点P在直线mx+ny﹣1=0上所以m+4n=1∴=（m+4n）（）=≥17+2=25∴的最小值是25．故选A．点评：利用基本不等式求函数的最值时2015届高考的一个重点内容，一般作适当的变形在用公式，运用公式时注意三个条件：一正二定三相等．12．（5分）已知，且函数的最小值为b，若函数则不等式g（x）≤1的解集为（）A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法；基本不等式；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：函数的性质及应用．分析：利用三角函数的平方关系和商数关系及基本不等式即可得出f（x）的最小值即b．再利用一元二次不等式的解法、交集与并集的运算即可得出．解答：解：∵，∴tanx＞0．∴==．当且仅当，即x=时取等号．因此b=．不等式g（x）≤1⇔①或②，解②得．因此不等式f（x）≤1的解集为=．故选D．点评：熟练掌握三角函数的平方关系和商数关系及基本不等式、一元二次不等式的解法、交集与并集的运算等是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a2=1，a3+a4=2，，则a5+a6+a7+a8=12．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：可设{a n}的公比为q，利用a1+a2=1，a3+a4=2，可求得q2，从而可求得a5+a6与a7+a8．解答：解：设{a n}的公比为q，∵a1+a2=1，a3+a4=q2（a1+a2）=2，∴q2=2，∴a5+a6=q2（a3+a4）=4，a7+a8=q2（a5+a6）=8，∴a5+a6+a7+a8=12．故答案为：12．点评：本题考查等比数列的通项公式，重点是考查学生对等比数列性质的灵活应用的能力，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）+lnx，则f（e）=﹣1．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=e代入导函数中得到关于f′（e）的方程，求出方程的解即可得到f′（e）的值．解答：解：求导得：f′（x）=2f'（e）+，把x=e代入得：f′（e）=e﹣1+2f′（e），解得：f′（e）=﹣e﹣1，∴f（e）=2ef′（e）+lne=﹣1故答案为：﹣1点评：本题要求学生掌握求导法则．学生在求f（x）的导函数时注意f′（e）是一个常数，这是本题的易错点．15．（5分）已知满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是[，2）．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：综合题．分析：先确定函数在R上单调增，再利用单调性的定义，建立不等式，即可求得a的取值范围．解答：解：∵对任意x1≠x2，都有＞0成立∴函数在R上单调增∴∴故答案为：[，2）．点评：本题考查函数的单调性，考查函数单调性定义的运用，属于中档题．16．（5分）设定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件时称f（x）为“友谊函数”：（1）对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；（2）f（1）=1；（3）若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则下列判断正确的有①②③．①f（x）为“友谊函数”，则f（0）=0；②函数g（x）=2x﹣1在区间[0，1]上是“友谊函数”；③若f（x）为“友谊函数”，且0≤x1＜x2≤1，则f（x1）≤f（x2）．考点：函数恒成立问题；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：①直接取x1=x2=0，利用f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）可得：f（0）≤0，再结合已知条件f（0）≥0即可求得f（0）=0；②按照“友谊函数”的定义进行验证；③由0≤x1＜x2≤1，则0＜x2﹣x1＜1，故有f（x2）=f（x2﹣x1+x1）≥f（x2﹣x1）+f（x1）≥f （x1），即得结论成立．解答：解：①因为f（x）为“友谊函数”，则取x1=x2=0，得f（0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，又由f（0）≥0，得f（0）=0，故①正确；②显然g（x）=2x﹣1在[0，1]上满足：（1）g（x）≥0；（2）g（1）=1，若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有g（x1+x2）﹣[g（x1）+g（x2）]=﹣1﹣[（﹣1）+（﹣1）]=（﹣1）（﹣1）≥0，即g（x1+x2）≥g（x1）+g（x2），满足（3）故g（x）=2x﹣1满足条件（1）﹑（2）﹑（3），所以g（x）=2x﹣1为友谊函数．故②正确；③因为0≤x1＜x2≤1，则0＜x2﹣x1＜1，所以f（x2）=f（x2﹣x1+x1）≥f（x2﹣x1）+f（x1）≥f（x1），故有f（x1）≤f（x2）．故③正确；故答案为：①②③．点评：本题主要是在新定义下对抽象函数进行考查，在做关于新定义的题目时，一定要先研究定义，在理解定义的基础上再做题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=cosx（sinx﹣cosx）+1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[﹣，0]时，求函数f（x）的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）对函数解析式进行化简，求得关于正弦函数的解析式，利用正弦函数的性质求得最小正周期T．（Ⅱ）根据x的范围，求得2x﹣的范围，利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的最大和最小值．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx﹣cos2x+1=sin2x﹣+1=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，∴函数f（x）的最小正周期为T==π．（Ⅱ）∵x∈[﹣，0]，∴﹣≤2x﹣≤﹣．∴﹣1≤sin（2x﹣），∴≤sin（2x﹣）+≤1，即≤f（x）≤1；当2x﹣=﹣时，即x=﹣时，函数f（x）取到最小值，当2x﹣=﹣，即x=﹣时，函数f（x）取到最大值1．点评：本题主要考查了三角函数的图象和性质，三角函数的恒等变换的运用．注意对三角函数图象，性质，以及倍角公式等公式的熟练掌握．18．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）上点P（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y+1=0．（1）若y=f（x）在x=﹣2时有极值，求y=f（x）的表达式；（2）在（1）的条件下求y=f（x）在[﹣3，2]上的最值及相应的x的值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，f（1）=4，f'（1）=3，f'（﹣2）=0，从而解出参数值，从而得y=f （x）的表达式；（2）令f′（x）=3x2+4x﹣4=0，解出极值点，代入求极值与端点的函数值，从而求最值及相应的x的值．解答：解：（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f′（x）=3x2+2ax+b，∵曲线y=f（x）上点P（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y+1=0，且y=f（x）在x=﹣2时有极值；∴，解得，a=2，b=﹣4，c=5；则y=f（x）=x3+2x2﹣4x+5；（2）由（1）知，f（x）=x3+2x2﹣4x+5，f′（x）=3x2+4x﹣4，令f′（x）=0解得，x=﹣2或x=，又∵x∈[﹣3，2]，且f（﹣2）=13，f（）=，f（﹣3）=8，f（2）=13；∴当x=±2时，f（x）取得最大值13；当x=进，f（x）取得最小值．点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了在闭区间上的最值问题，属于中档题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）求证：AD⊥平面PQB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且，求四棱锥M﹣ABCD的体积．考点：平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）连接BD，等边三角形PAD中，中线PQ⊥AD；因为菱形ABCD中∠BAD=60°，所以AD⊥BQ，最后由线面垂直的判定定理即可证出AD⊥平面PQB；（2）连接QC，作MH⊥QC于H．因为平面PAD⊥平面ABCD，PQ⊥AD，结合面面垂直性质定理证出PQ⊥平面ABCD．而平面PQC中，PQ∥MH，可得MH⊥平面ABCD，即MH就是四棱锥M﹣ABCD 的高线．最后利用锥体体积公式结合题中数据即可算出四棱锥M﹣ABCD的体积．解答：解：（1）连接BD∵PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD又∵∠BAD=60°，底面ABCD为菱形，∴△ABD是等边三角形，∵Q为AD的中点，∴AD⊥BQ∵PQ、BQ是平面PQB内的相交直线，∴AD⊥平面PQB．（2）连接QC，作MH⊥QC于H．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD∴PQ⊥平面ABCD，结合QC⊂平面ABCD，可得PQ⊥QC∵平面PQC中，MH⊥QC且PQ⊥QC，∴PQ∥MH，可得MH⊥平面ABCD，即MH就是四棱锥M﹣ABCD的高线∵，可得，∴四棱锥M﹣ABCD的体积为V M﹣ABCD==．点评：本题给出特殊四棱锥，求证线面垂直并求锥体体积，着重考查了直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质和体积公式等知识，属于中档题．20．（12分）己知等差数列{a n}，公差d＞0，前n项和为S n，且满足a2a3=45，a1+a4=14．（I）求数列{a n}的通项公式及前，n项和S n；（II）设，若数列{b n}也是等差数列，试确定非零常数c；并求数列的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由等差数列{a n}的性质可得a2+a3=a1+a4=14，进而解得a2，a3，即可得到a1，d，利用通项公式和前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由数列{b n}是等差数列，则2b2=b1+b3，得出c，从而得出b n，再利用裂项求和即可得出T n．解答：解：（Ⅰ）由等差数列{a n}的性质可得a2+a3=a1+a4=14，又a2a3=45．∴，解得或，∵d＞0，∴应舍去，因此．∴d=a3﹣a2=4，a1=a2﹣d=5﹣4=1，∴a n=1+（n﹣1）×4=4n﹣3，S n==2n2﹣n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∵数列{b n}是等差数列，则2b2=b1+b3，即．解得c=﹣．∴b n=2n．==．∴T n===．点评：熟练掌握等差数列的性质、通项公式和前n项和公式、裂项求和是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用极值的定义，即可求a的值；（2）当0＜a≤2时，判断导数的符号，即可判断f（x）的单调性；（3）问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立．解答：解：．（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2﹣a=0，∴a=3．…（3分）（2）当0＜a≤2时，f′（x）=因为0＜a≤2，所以，而x＞0，即，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）（3）当a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a，故问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立记，（1＜a＜2），则，…（10分）令M（a）=﹣alna﹣1+a，则M'（a）=﹣lna＜0所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0…（12分）故g'（a）＜0，所以在a∈（1，2）上单调递减，所以即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣log2e]．…（14分）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．三.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点．（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC；（Ⅱ）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；数形结合．分析：（Ⅰ）证明BD平分∠ABC可通过证明D是的中点，利用相等的弧所对的圆周角相等证明BD是角平分线；（Ⅱ）由图形知，可先证△ABH∽△DBC，得到，再由等弧所对的弦相等，得到AD=DC，从而得到，求出AH的长解答：解：（Ⅰ）∵AC∥DE，直线DE为圆O的切线，∴D是弧的中点，即又∠ABD，∠DBC与分别是两弧所对的圆周角，故有∠ABD=∠DBC，所以BD平分∠ABC（Ⅱ）∵由图∠CAB=∠CDB且∠ABD=∠DBC∴△ABH∽△DBC，∴又∴AD=DC，∴∵AB=4，AD=6，BD=8∴AH=3点评：本题考查与圆有关的比例线段，解题的关键是对与圆有关性质掌握得比较熟练，能根据这些性质得出角的相等，边的相等，从而使问题得到证明[选修4-4：坐标系和参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣4．（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的最大值和最小值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：计算题．分析：（1）展开两角差的余弦，整理后代入ρcosθ=x，ρsinθ=y得圆的普通方程，化为标准方程后由三角函数的平方关系化参数方程；（2）把x，y分别代入参数式，利用三角函数化积后借助于三角函数的有界性求最值．解答：解：（1）由，得，即，ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0，即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0为所求圆的普通方程，整理为圆的标准方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，令x﹣2=，y﹣2=．得圆的参数方程为（α为参数）；（2）由（1）得：x+y=4+=4+2sin（），∴当sin（）=1时，x+y的最大值为6，当sin（）=﹣1时，x+y的最小值为2．故x+y的最大值和最小值分别是6和2．点评：本题考查了点的极坐标和直角坐标的互化，考查了普通方程和参数方程的互化，训练了asinθ+bcosθ的化积公式，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0）（Ⅰ）若a=2时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若不等式f（x）≤4对一切x∈[a，2]恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x﹣2|≤4，再由绝对值的意义求得不等式f（x）≤4的解集．（Ⅱ）当x∈[a，2]，不等式即 x+1+x﹣a≤4，解得a≥2x﹣3，求得2x﹣3的最大值为2×2﹣3=1，可得a≥1，从而得到1≤a≤2．解答：解：（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0），若a=2时，则不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x﹣2|≤4．而由绝对值的意义可得|x+1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2和2对应点的距离之和，而﹣和应点到﹣2和2对应点的距离之和正好等于4，故不等式f（x）≤4的解集为[﹣，]．（Ⅱ）当x∈[a，2]，不等式即 x+1+x﹣a≤4，解得a≥2x﹣3．由于2x﹣3的最大值为2×2﹣3=1，∴a≥1，故1≤a≤2，实数a的取值范围为[1，2]．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。