福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含解析

福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期末
数学（文）考试试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，则在复平面内，复数所对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】 C
【解析】
，复数所对应的点为，为第三象限的点，故选 C.
2.已知是虚数单位，复数（其中）是纯虚数，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为复数是纯虚数，即，解得，故选 B.
3.已知等比数列，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
因为，因为，所以若，那么，若，那么，所以是充要条件，故选 C.
4.已知命题“”是“”的充要条件；，则（）
A. 为真命题
B. 为假命题
C. 为真命题
D. 为真命题
【答案】D
【解析】。

福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期末数学（文）考试试题第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数4723iz i-=+，则在复平面内，复数z 所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知i 是虚数单位，复数1(1)()Z m m i m R =-++∈其中是纯虚数，则m =.A -1.B 1.C 1±.D 03.已知等比数列，则1"0"a >是2017"0"a >的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．己知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：x e R x x ln ,<∈∃，则A．￢p∨q 为真命题B．p∧￢q 为假命题C．p∧q 为真命题D．p∨q 为真命题5.已知圆的一条切线与双曲线有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是A.B.C.D.6.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小1份为A．53B．103C．56D．1167.sin()cos(),0,3252πππααα++-=--<<则2cos()3πα+等于A.45-B.35-C.45D.358．函数的图象如图所示，为了得到g（x）=cos2x 的图象，则只需将f（x）的图象A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9.=+=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≥a z ay x z x y y x y y x 无数个，则取得最大值的最优解有若满足已知,,22),(A．1B．-1C．1或-1D．无法确定10．在∆ABC 中，点D 满足BD =34BC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE =AB λ+AC μ，则22(1)t λμ=-+的最小值是A．10B．4C．910D．41811.已知函数()f x 的定义域为R，对于12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，且()11f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为A．()+∞,1B．(,1)-∞C．(1,0)(0,3)-D．(,0)(0,1)-∞12.已知函数()21,22,2416x mx f x mx x x -⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≥⎪+⎩，当22x >时，对任意[)12,x ∈+∞的总存在()2,2x ∈-∞使得()()12f x f x =，则实数m 的取值范围是A.[)2,4 B.[]2,4 C.[)3,4 D.[]3,4第II 卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数,x y 满足30644x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为.14．均值不等式已知0,0,43>>=+y x xy y x 则x y +的最小值是15.已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，点分别为曲线上的点，则的最小值为.16.已知函数⎩⎨⎧>≤≤=),1(log ),10(sin )(2014x x x x x f π若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足112n n n a S ++=+*()n N ∈.（Ⅰ）证明数列{}2nnS 为等差数列；（Ⅱ）求12...n S S S +++.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，点,E F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求三棱锥P BEF -的体积.19.（本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率.20.(本小题满分12分)已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为22，且长轴长是短轴长的2倍.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设()0,2P 过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于B A ,两点,若对满足条件的任意直线l ,不等式()R PB PA ∈≤⋅λλ恒成立,求λ的最小值.21．（本小题满分12分）已知函数)(ln )1()(R a x a xax x f ∈+--=．（Ⅰ）当10≤<a 时，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得至少有一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为=4sin(3πρθ-，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ（其中R ϕ∈），求||PQ 的最大值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||2|f x x x t =-++，t R ∈.(Ⅰ)当1t =时，解不等式()5f x ≥；（Ⅱ）若存在实数a 满足()|3|2f a a +-<，求t 的取值范围.高三期末数学(文)考试答案一、选择题：题号123456789101112答案CBCDDACDBCDA二、填空题：13.-1.514.232+15.216.)2015,2(三、解答题：17.解：（Ⅰ）证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=，┄┄┄2分整理得11122n nn n S S ++-=，┄┄4分所以数列{}2nn S 是以1为首项，1为公差的等差数列.┄┄┄┄┄┄┄┄6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，112nn S n n =+-=，即2n n S n =⋅，┄┄┄┄┄┄7分令12n n T S S S =+++212222nn T n =⋅+⋅++⋅①┄┄┄┄┄┄8分21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅②┄┄┄┄┄┄┄9分①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅，┄┄┄┄┄┄10分整理得12(1)2n n T n +=+-⋅.┄┄┄┄┄┄┄12分18.解：（1）作//FM CD 交PC 于M ，连接ME .┄┄┄┄1分∵点F 为PD 的中点，∴1//2FM CD ，又1//2AE CD ，∴//AE FM ，∴四边形AEMF 为平行四边形，∴//AF EM ，┄┄┄┄3分∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，∴直线//AF 平面PEC .┄┄┄┄5分（2）连接ED ，在ADE ∆中，1AD =，12AE =，60DAE ∠=，∴2222211132cos 601(212224ED AD AE AD AE =+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯=，┄┄6分∴32ED =，∴222AE ED AD +=，∴ED AB ⊥.┄┄┄┄7分PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PD AB ⊥，PDED D =，PD ⊂平面PEF ，ED ⊂平面PEF ，∴AB ⊥平面PEF .┄┄┄┄9分1113322228PEF S PF ED ∆=⨯⨯=⨯⨯=，∴三棱锥P BEF -的体积P BEF B PEF V V --==13PEF S BE ∆=⨯⨯131382=⨯⨯348=.12分19.解：（1）当日需求量10n ≥时，利润为6010(10)4040200y n n =⨯+-⨯=+；当日需求量10n <时，利润为60(10)1070100y n n n =⨯--⨯=-.所以利润y 关于需求量n 的函数解析式为40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩.┄┄┄┄6分（2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10元获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元.若利润在区间[500,650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9.则利润在区间[500,650]内的概率为10149335050++=.20.【解析】（1）依题意,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222222c b a a cb a ,……1分解得22a =,21b =,∴椭圆Γ的标准方程为2212x y +=.…3分（2）设1122(,),(,)A x y B x y ,∴11221212(2,)(2,)(2)(2)PA PB x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+,当直线l 垂直于x 轴时,121x x ==-,12y y =-且2112y =,此时1(3,)PA y =-,21(3,)(3,)PB y y =-=--,∴22117(3)2PA PB y ⋅=--=.…6分当直线l 不垂直于x 轴时,设直线l :(1)y k x =+,由22(1)22y k x x y =+⎧⎨+=⎩,得2222(12)4220k x k x k +++-=,∴2122412k x x k +=-+,21222212k x x k -=+,……8分∴21212122()4(1)(1)PA PB x x x x k x x ⋅=-+++++2221212(1)(2)()4k x x k x x k =++-+++2222222224(1)(2)41212k k k k k k k-=+⋅--⋅++++2217221k k +==+217131722(21)2k -<+.……11分要使不等式PA PB λ⋅≤(λ∈R )恒成立,只需max 17()2PA PB λ≥⋅=,即λ的最小值为172.……12分21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()'22111x a x a a f x x x x --+=+-=…………………………2分(1)当01a <<时，由()'0fx >得，x a 0<<或1>x ，由()'0f x <得，a x <<1故函数()f x 的单调增区间为()0,a 和()1,+∞,单调减区间为(),1a …………4分(2)当1a =时,()'0fx ≥,()f x 的单调增区间为()0,+∞…………………………5分（Ⅱ）先考虑“至少有一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立”的否定“(0,)x ∀∈+∞，()f x x ≤恒成立”。

福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期中数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.）1. 设全集是实数集，已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题选择C选项.2. 已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】即的共轭复数对应的点位于复平面的第四象限.本题选择D选项.3. 已知数列为等比数列，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】本题选择D选项.4. .我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”即是面积.意思是说如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.已知某不规则几何体与如图（1）所对应的几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（图（1）中的网格纸中的小正方形的边长为）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，不规则几何体与三视图所对应的几何体的体积相同，根据三视图，可得该几何体是四棱柱，AH⊥平面ABCD，H∈AB，且该四棱柱的底面是长方形，长为BC=6，宽为AB=2，四棱锥的高为PH=4，其中，AH=2，如图所示.故它的体积为.本题选择B选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．5. .阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依据程序框图进行循环运算：第一次第二次第三次第四次第五次跳出循环，输出本题选择B选项.点睛：利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断.6. 将函数（）的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的图象向右平移个单位，可得在上为增函数，解得，当时,ω取得最大值为.本题选择B选项.7. 已知实数，满足，若使得目标函数取最大值的最优解有无数个，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式组表示的平面区域如下图所示.由得；当时，直线化为，此时取得最大值的最优解只有一个C点，不满足条件；当时，直线截距取得最大值，此时最优解只有一个C点，不满足条件；当时，直线截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线与AC 平行，由直线AC的斜率，解得；综上，满足条件的.本题选择D选项.点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．8. 若圆：（）始终平分圆：的周长，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程为，由题意知直线经过圆的圆心(−1,−1)，因而.时取等号.的最小值为3.本题选择A选项.9. .下列命题中，真命题的个数为①对任意的，，是的充要条件；②在中，若，则；③非零向量，，若，则向量与向量的夹角为锐角；④.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于①，若，则显然成立；若a，成立；若，成立；故对任意的a，b∈R，a>b是a|a|>b|b|的充要条件，故①正确；对于②，在△ABC中，若A>B，则a>b，又由正弦定理知，a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB，故②正确；对于③,非零向量若,则向量与向量的夹角为锐角或0，故③错误；对于④,∵，；同理可得,；，故④正确。

福建省闽侯第四中学2017-2018学年高二上学期期末考试试题数学（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，复数z 满足•1z i i =+，则z =（ ） A .1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】由题意，得1i1i iz +==-.故选B. 2.若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A.11a b> B.11a b a>- C. |a|>|b|D. 22a b >【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可.【详解】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以成立； 选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立； 选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立. 故选：B.【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.3.已知命题p ：∃x ∈R ，x 2-x +1≥0．命题q ：若a 2＜b 2，则a ＜b ，下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ￢∧C. p q ∧￢D. p q ∧￢￢【答案】B 【解析】 【分析】先判定命题,p q 的真假，再结合复合命题的判定方法进行判定. 【详解】命题p ：∃x=0∈R ，使x 2-x+1≥0成立． 故命题p 为真命题；当a=1，b=-2时，a 2＜b 2成立，但a ＜b 不成立， 故命题q 为假命题，故命题p ∧q ，￢p ∧q ，￢p ∧￢q 均为假命题； 命题p ∧￢q 为真命题， 故选B ．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档．4.“0x ≠”是“0x >”的（ ） A. 充分而不必要 B. 充分必要条件． C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由条件得0x ≠，则x 值可以小于0可以大于0，故推不出0x >；反之，当0x >时，一定有0x ≠．故“0x ≠”是 “0x >”的必要而不充分条件.故答案为C ．5.下列命题中，说法错误．．的是（ ） A. “若p ，则q ”的否命题是“若p ⌝，则q ⌝”B. “p q ∧是真命题”是“p q ∨是真命题”的充分不必要条件C. “22,20x x x ∀>-> ”的否定是“22,20x x x ∃≤-≤ ” D. “若0b =，则()2f x ax bx c =++是偶函数”的逆命题是真命题【答案】C 【解析】选项A 中，由否命题的定义知，结论正确．选项B 中，由“p q ∧是真命题”可得“p q ∨是真命题”，反之不成立．故“p q ∧是真命题”是“p q∨是真命题”的充分不必要条件．所以B 正确．选项C 中，“22,20x x x ∀>-> ”的否定是“22,20x x x ∃>-≤ ”，故C 不正确．选项D 中，所给命题的逆命题为“若()2f x ax bx c =++是偶函数，则0b =”为真命题．故D 正确．选C ．6.设0,0a b >>，若3是3a 与23b 的等比中项，则21a b+的最小值为（ ） A .5B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】∵3是3a 与23b 的等比中项， ∴222333(3)3a b a b +⨯===， ∴21a b +=， ∴212144(2)()4428b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅=，当且仅当4b a a b =且21a b +=，即11,24a b ==时等号成立．选D ．7.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示,12,x x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,2212,s s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差,则有( )A. 221212,x x s s >< B. 221212,x x s s => C. 221212,x x s s == D. 221212,x x s s =<【答案】D 【解析】由甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图可得，1914151516216x +++++==15，2813151517226x +++++==15，2116s =×[(-6)2+(-1)2+02+02+12+62]=2237136s =，×[(-7)2+(-2)2+02+02+22+72]=533．所以 221212,x x s s =<．选D ．点睛：(1)茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，再进一步估计总体情况．8.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则84S S =（ ） A.1716B.12C. 2D. 17【答案】A 【解析】等比数列{}n a ，42511188.2a a a q a q q =⇒=⇒= 81884414(1)1171.(1)1161a q S q q a q S qq---===--- 故答案选A ．9.在等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，111a =-，1082108S S -=，则11S =（ ） A. 11 B. 11-C. 10D. 10-【答案】B 【解析】由等差数列的知识可得，数列{}nS n为等差数列，且首项为1111S a ==-，设其公差为d ，则1081081108S S d -==-， ∴11111(111)111S=-+⨯-=-， ∴1111S =-．选B ．10.设1F ，2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左右焦点，点(,)M a b .若1230MF F ︒∠=，则双曲线的离心率为（ ） A.32B.2C. 2D.3【答案】C 【解析】如图，由题意得点M 在直线x a =上，则1AMF ∆是直角三角形，其中190MAF ∠=︒， 且1,AF a c AM b =+=， ∵1230MF F ∠=︒， ∴122MF AM b ==，则2222()(2)4a c b b b ++==，∴2222222233()33a ac c b c a c a ++==-=-， 整理得2220c ac a --=， ∴220e e --=，解得2e =或1e =-(舍去)．选C ．点睛：求椭圆或双曲线的离心率（或范围）时，要先分析题意、理清所给的条件，并将所给的条件转化到同一个三角形内，并根据三角形的有关知识得到关于,,a b c 的方程或不等式，消去b 后转化为关于,a c 的方程或不等式，再根据ce a=得到关于离心率e 的方程或不等式，求解后可得离心率或其范围． 11.设{}n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时的n 值为（ ） A. 18 B. 19C. 20D. 21【答案】C【解析】{}n a 为等差数列,n S 有最小值，则0d >，1011a a <，又11101a a <-，说明11100,0a a ><，111010a a +< ，1110100a a a +< ，则11100a a +> ，20120101110()10()0S a a a a =+=+> ，191191019()1902S a a a =+=<，则20S 为最小正值.选C. 12.如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A. y 2＝9xB. y 2＝6xC. y 2＝3xD. 23y x ＝【答案】C 【解析】 【分析】分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，计算∠BCB 1＝30°，得到1111122KF A F AA AF ＝＝＝计算得到32p =. 【详解】如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1， 由抛物线的定义知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点， 设l 交x 轴于K ， 则1111122KF A F AA AF ＝＝＝，即32p =，∴抛物线方程为y 2＝3x 故选C.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，做辅助线判断△AA 1F 为等边三角形是解题的关键.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线22149x y -=的焦距为__________．【答案】【解析】因为224,9,a b c c =====22149x y-=的焦距为14.在数列{}n a 中，232a =，373a =且数列{}1n na +是等比数列，则n a =__________．【答案】21n n- 【解析】试题分析：由于数列{}1n na +是等比数列，2337,23a a ==，所以23214,318a a +=+=，所以公比是2，所以数列{}1n na +的通项公式是12nn na +=，进而n a =21n n -，故答案填21n n-. 考点：1.通项公式；2.等比数列.15.已知点P 为抛物线C ：24y x =上一点，记P 到此抛物线准线l 的距离为1d ，点P 到圆()()24244x y +++=上点的距离为2d ，则12d d +的最小值为__________．【答案】3【解析】易知圆()()24244x y +++=的圆心为(2,4)M --，半径为2，设抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F ，连接PF ，由抛物线的定义，得122d d PF d +=+，要求2||PF d +的最小值，需,,F P M 三点共线，且最小值为222(12)(04)23FM -=++--=．点睛：本题考查抛物线的定义的应用；涉及抛物线的焦点或准线的距离的最值问题是一种常考题型，往往利用抛物线的定义进行合理转化，而本题中，要将点到准线的距离转化成到焦点的距离，还要将点到圆上的点的距离的最值转化为点到圆心的距离减去半径.16.抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为________.3【解析】 【分析】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为Q ，P ，结合抛物线的定义在梯形ABPQ 中可得2a b MN +=，在AFB ∆中由余弦定理得|AB |2＝(a ＋b )2－ab ，利用基本不等式得到3)AB a b ≥+，进而可得所求的最大值．【详解】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，分别过A ，B 作准线l ：2px =-的垂线，垂足分别为Q ，P ，由抛物线定义得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |． 在梯形ABPQ 中2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b ， ∴2a bMN +=. 在AFB ∆中，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ， 又2()2a b ab +≤， ∴222213()()()()44a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，∴)AB a b ≥+，∴2a bMN AB +≤=a b =时等号成立． ∴MN AB【点睛】（1）由抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离间的转化，另外对于弦长||AB 可在三角形中由余弦定理求得．（2）对于圆锥曲线中的最值问题，可根据题意得到目标函数后利用基本不等式或利用函数的知识解决．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知命题A ：方程22151y x t t +=--表示焦点在y 轴上椭圆；命题B ：实数t 使得不等式2340t t --<成立.（1）若命题A，求实数t 的值； （2）命题A 是命题B 的什么条件.【答案】（1）2t =（2）命题A 是命题B 的充分不必要条件. 【解析】试题分析：（1）利用椭圆的焦点在y 轴上确定几何元素间的关系，再利用离心率公式进行求解；（2）利用椭圆标准方程的分母化简命题A ,通过解一元二次不等式化简命题B ，再利用数集间的包含关系进行判定.试题解析：（1）椭圆离心率，解得：.(2) 由已知得：，解得：，即命题A 成立的条件为 ， 命题B 成立的条件为，由此可得命题A 是命题B 的充分不必要条件. 18.已知函数()()211(0)f x ax a x a =-++≠.（1）若()2f x ≤在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()0f x <.【答案】（1）322322a --≤≤-+2）见解析 【解析】 试题分析：（1）由条件可得不等式()2110ax a x -+-≤在R 上恒成立，根据抛物线的开口方向和判别式可得所求范围．（2）原不等式化为()()110ax x --<，根据a 的不同取值解不等式即可． 试题解析：（1）由()2f x ≤在R 上恒成立，可得()2110ax a x -+-≤在R 上恒成立．∴()20140a a a <⎧⎪⎨++≤⎪⎩， 解得322322a --≤≤-+∴实数a 的取值范围为322,322⎡---+⎣．（2）由不等式()()2110f x ax a x =-++<得()()110ax x --<．①当01a <<时，不等式等价于()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得 11x a<<；②当1a =时，不等式等价于()210x -<，无解；③当1a >时，不等式等价于()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭， 解得11x a<<； ④当0a <时，不等式等价于()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭， 解得1x a<或1x >； 综上当01a <<时，()0f x <的解集为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当1a =时，()0f x <的解集为∅；当1a >时，()0f x <的解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当0a <时，()0f x <的解集为()1,1,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集．（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．19.已知过点()4,0A -的动直线l 与抛物线G ：()220x py p =>相交于B ，C 两点.当直线l 的斜率是12时，4AC AB =.（1）求抛物线G 的方程；（2）设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围.【答案】（1）24x y =（2）()2,b ∈+∞ 【解析】试题分析：（1）设抛物线方程为22x py =，与直线l 方程1(4)2y x =+联立，并设1122(,),(,)B x y C x y ，结合韦达定理可1212,y y y y +，而已知条件4AC AB =告诉我们有214y y =，这样可解得p ，得抛物线方程；（2）设直线l 方程为(4)y k x =+，与抛物线方程联立方程组，同时设BC 中点为00(,)x y ，结合韦达定理可得00,x y ，从而得BC 中垂线方程，求出纵截距（关于k 的函数），由直线与抛物线相交可得k 的范围，从而可求得纵截距的范围．试题解析：（1）设()12,B x y ，()22,C x y ，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为()142y x =+， 即24x y =-，由2224x py x y ⎧=⎨=-⎩得：()22880y p y -++= ()2864p ∴∆=+- ()160p p =+>， 124y y =①，1282p y y ++=②， 又4AC AB =Q ， 214y y ∴=③，由①②③及0p >得：2P =，得抛物线G 的方程为24x y =.（2）设l ：()4y k x =+，BC 的中点坐标为()00,x y ，由()244x y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得24160x kx k --=④ 022C B x x x k +∴==，()200424y k x k k =+=+. ∴线段BC 的中垂线方程为()21242y k k x k k --=--， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：()2224221b k k k =++=+对于方程④，由216640k k ∆=+>得0k >或4k >-，()2,b ∴∈+∞.20.已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214a b =，22n n S a =-， ()211n n nb n b n n +-+=+ ()*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.（3）若数列{}n c 的通项公式为,2,4n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，令212n n n P c c -=+.n T 为{}n P 的前n 项的和，求n T . 【答案】（1）2n n a =（2）见解析（3）7127499n n n T -=+⋅ 【解析】试题分析：（1）利用n S 与n a 的关系，即1(2)n n n a S S n -=-≥，可得数列{}n a 的递推式，知其为等比数列，同时由11a S =求得首项，从而得通项公式n a ；（2）在已知等式21(1)n n nb n b n n +-+=+中两边同时除以(1)n n +可证得结论；（3）由（2）可求得通项n b ，从而得通项n c ，最终得1(41)4n n P n -=-，利用错位相减法可求得和n T ．试题解析：（1）当1n >时，112222n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩ 122n n n a a a -⇒=- 12n n a a -⇒= 当1n =时，1122S a =- 12a ⇒=，综上，{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，2n n a =.（2）214a b =Q ，11b ∴=，()211n n nb n b n n +-+=+Q ，111n n b b n n+∴-=+ 综上，n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1，首项为1的等差数列. （3）由（2）知：11n b n n=+- 2n b n ⇒= 212n n n P c c -∴=+()()222122122224n n n n --⋅⋅=-+ ()()221412414n n n n --=-⋅=-⋅()012134+74+114+414n n T n -=⨯⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅12343474114n T ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅ ()()1454414n n n n -+-+-⋅两式相减得：0123344444n T -=-⨯+⨯+⨯+ ()144414n n n -⋅⋅⋅+⋅--()()141433441414n n n T n --∴-=+⨯--⋅- 7127499n n n T -∴=+⋅. 21.已知椭圆22143x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于B ，C 两点. （1）求该椭圆的离心率；（2）求直线AB 和AC 分别与直线4x =交于点M ，N ，问：x 轴上是否存在定点P 使得MP NP ⊥？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）12（2）x 轴上存定点(1,0)P 或(7,0)P ，使得MP NP ⊥. 【解析】试题分析：（1）由椭圆方程分别求出a,b,c 的值，求出离心率；（2）假设在x 轴上存在点p ，设直线BC 的方程为1x ty =+，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出1212,y y y y +的表达式，求出M,N 的坐标，由MP ⊥NP ，求出P 点的坐标，即得出定点．试题解析： (1)由椭圆方程可得a ＝2，b ＝，从而椭圆的半焦距c ＝＝1. 所以椭圆的离心率为e ＝＝.(2)依题意，直线BC 的斜率不为0，设其方程为x ＝ty ＋1.将其代入＋＝1，整理得(4＋3t 2)y 2＋6ty －9＝0.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝，y 1y 2＝.易知直线AB 的方程是y ＝ (x ＋2)，从而可得M (4，)，同理可得N (4，)．假设x 轴上存在定点P (p ，0)使得MP ⊥NP ，则有·＝0. 所以(p －4)2＋＝0.将x 1＝ty 1＋1，x 2＝ty 2＋1代入上式，整理得(p －4)2＋＝0，所以(p －4)2＋＝0，即(p －4)2－9＝0，解得p ＝1或p ＝7. 所以x 轴上存在定点P (1，0)或P (7，0)，使得MP ⊥NP .点睛：本题主要考查椭圆的几何性质以及定点问题，属于难题．本题关键是利用韦达定理求出1212,y y y y +的表达式，再表示出M,N 的坐标．22.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在极坐标（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为25sin ρθ=（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为()3,5，求PA PB +.【答案】（1）22(5) 5.x y +-=（2）|PA|+|PB|=32．【解析】【详解】试题分析：（1）利用极坐标方程和直角坐标方程的互化公式即可求解；（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，利用t 的几何意义和根与系数的关系进行求解. 试题解析：（1）由得， 即.（2）将直线的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得，即由于，故可设是上述方程的两实根， 所以，又直线过点，故由上式及t 的几何意义得：.。

2018届高三第一学期开学考试数学(文科)试卷（共4页；完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．设集合{}2320M x x x =++>，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N ，则 MN =（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >-C ． {}2x x ≤-D ．R2. 已知复数z 满足2zi i x =+()x R ∈，若z 的虚部为1，则z =（ ）．A ． 2B ．CD 3. 若2cos 2sin()4παα=-，且()2παπ∈，，则cos 2α的值为（ ）A ． 78-B ．8-C ．1D ．84. 下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C. 命题“R x ∃∈,使得210x x ++<”的否定是:“R x ∀∈,均有210x x ++<”.D. 命题“若21x =,则1x =”的否命题为: “若21x =,则1x ≠”.5. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为500尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（ ） A ．6B ．7C ．8D ．96. 记21sin 23sin ,23cos ,21cos-===c B A ，则A,B,C 的大小关系是（ ） A ．A B C >> B ．A C B >> C ． B A C >>D. C B A >>7. 如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，第1次到第第14次的考试成绩依次记为A 1 ， A 2 ， …A 14 ， 如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 7 8. 函数f （x ）＝｜x ｜＋2ax （其中a∈R）的图象不可能是9. 函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，的图象与2()2cos ()16g x x π=-+的图象的对称轴相同，则()f x 的一个增区间为（ ）A ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10. 已知数列{}n a 满足11a =，()112n n a a n n +-=+，若2121n n a a +->，222()n n a a n N *+<∈则数列{}(1)nn a -的前40项的和为（ ） A.1920 B. 325462 C. 4184 D. 204111. 已知函数2()ln(1)(2)()f x x x a x a a R =+-+--∈若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x >，则实数a 的取值范围是 ( ) A. ln 3ln 21,32+⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ln3ln 21(,)32+C. ln 3ln 21,32+⎛⎤⎥⎝⎦D. ()ln3,ln 21+ 12．已知f （x ）为定义在(0,)+∞上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为（ ）．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13. 已知向量,a b 满足(4,3),3a b =-=，若向量,a b 的夹角为23π，则23a b +=_____. 14. 已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ .15. 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为______________16. 已知直线n l ：y x =与圆n C ：222n x y a n +=+ 交于不同的两点n A 、n B ，n N +∈，数列{}n a 满足：11a =，2114n n n a A B +=，则数列{}n a 的通项公式为________ . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足 12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，，.（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求{}n b 的前n 项和. 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1s i n c o s s i n c o s3a A C c A A c +=，D 是AC 的中点，且cos B BD == (Ⅰ) 求角A 的大小；(Ⅱ) 求△ABC 的最短边的边长。

闽侯四中 2017-2018 学年上学期期末考试试题高一数学（时间 120 分钟，满分 150 分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题 5 分，共 60 分）．1. 设集合或则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合或∴故选：C2. 已知集合若则的子集个数为（）A. 14B. 15C. 16D. 32【答案】C则P=M∪N={1，2，3，4}，∴P的子集有24=16个．故答案为：C．3. 函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由2cosx﹣1≥0，得cosx，解得：．∴函数的定义域为故选：B．4. 计算的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，.故选：B5. 已知向量与反向，则下列等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】向量与反向：=，=，故选：C6. 设为平行四边形对角线的交点，O 为平行四边形所在平面内任意一点，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．7. 若点是所在平面内一点，且满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知：则M为△ABC的重心，由重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，3S△ABM=S△ABC，∴S△ABM：S△ABC=，故答案选：B．8. 已知全集，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】全集A={y|y=log2x，1＜x＜2}=（0，1），=（，+∞），则A∩B=（，1），故选：C．点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解，在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.9. 已知幂函数的图像经过点，则下列正确的是（）A. B. （其中）C. D. （其中）【答案】D【解析】设幂函数f（x）=xα，其图象过点，∴2α==解得α=，∴f（x）=；∴f（x）在R递减，故选：D．10. 若的内角满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，由正弦定理可得，由余弦定理可得，故选D.11. 设函数的最小正周期为，且图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】D【解析】函数的最小正周期为π，即：，∴ω=2．则f（x）=sin（2x+φ），向左平移个单位后得：sin（2x++φ）是奇函数，即+φ=kπ，k∈Z．∴φ=kπ﹣，∴|φ|，则φ=．故得f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x﹣）．由对称中心横坐标可得：2x﹣=kπ，可得：x=，k∈Z．∴A，B选项不对．由对称轴方程可得：2x﹣=kπ+，可得：x=，k∈Z．当k=0时，可得．故选：D点睛：本题主要考查了三角函数中的平移变换以及的对称性等，对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标；在平移过程中掌握“左加右减，上加下减，左右针对，上下针对而言”的原则.12. 已知是定义在R上的偶函数，且，若，则方程在区间内解的个数的最小值是（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】∵f（x）是定义在R上的偶函数，且f（3﹣x）=f（x），f（x﹣3）=f（x），∴f（x）是以3为周期的周期函数，又∵f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）=0，∴f（﹣2）=0，∴f（5）=f（2）=0，f（1）=f（﹣2）=0，f（4）=f（1）=0．即在区间（0，6）内，f（2）=0，f（5）=0，f（1）=0，f（4）=0，方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是：4．故选：B．点睛：本题考查函数的周期性、奇偶性及根的个数判断，由f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f（2）=0，可得f（﹣2）=0，重复利用函数的周期性，看在区间（0，6）内，还能推出哪些数的函数值等于0．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若非零向量，满足，，则与的夹角为__________．【答案】【解析】设向量的夹角为，由题意可得：，即与的夹角为120°.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．14. 已知则__________．【答案】【解析】由可得：cos，∴ cos故答案为：15. 函数的定义域为__________．【答案】【解析】由log0.9（2x﹣6）≥0，得0＜2x﹣6≤1，即3＜x．∴函数的定义域为．故答案为：．16. 设函数，则下列结论正确的是__________．（写出所有正确的编号）①的最小正周期为；②在区间上单调递增；③取得最大值的的集合为④将的图像向左平移个单位，得到一个奇函数的图像【答案】①②④【解析】对于函数，由于它的周期为=π，故①正确．令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，k∈z，求得 kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，故f（x）在区间上单调递增，故②正确．令2x﹣=2kπ，求得x=kπ+，k∈z，故f（x）取得最大值的x的集合为{x|x=+kπ，k∈Z}，故③不正确．将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=2cos[2（x+）﹣]=2cos（2x+）=2sin2x 的图象，由于y=﹣2sin2x为奇函数，故④正确．故答案为：①②④．点睛：点睛：本题主要考查公式三角函数的图像和性质.由函数可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（）；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知平面直角坐标系中，点为原点，．(I)求的坐标及；(Ⅱ)设为单位向量，且，求的坐标【答案】（1）,（2），或【解析】试题分析：（I）利用向量的坐标运算直接求的坐标及；（II）利用向量的垂直，数量积为0，结合单位向量求解即可．试题解析：（I）,(Ⅱ)设单位向量，所以，即又,所以即由，解得或者所以，或18. 已知函数．(I)求的最小正周期及对称中心坐标；(Ⅱ)求的递减区间．【答案】（1），对称中心坐标为.;（2）递减区间为（2）利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间即可．试题解析：（I），则的最小正周期，由，得即，的对称中心坐标为.;(Ⅱ)由，得，的递减区间为.19. 已知角终边上一点．(I)求的值：(Ⅱ)若为第三象限角，且，求的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用任意角的三角函数定义，求出角的正弦函数与余弦函数值，利用诱导公式化简，代入求解即可；（2）利用二倍角公式求出正弦函数与余弦函数值，然后利用两角和与差的三角函数化简求解即可．试题解析：因为为角终边上一点，所以，.=，==;(Ⅱ),又因为第三象限角，且，所以，则=点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.20. 已知的周长为，且(I)求边的长；(Ⅱ)若的面积为，求角的度数.【答案】（1）边的长为1；（2）【解析】试题分析：（1）由题中所给三角形周长,即为已知,又由结合正弦定理可化角为边得到关于边的关系式,由上述所得这两式,就可求得的值; (2)由三角形的面积公式,结合已知可以求得的值,结合余弦定理得,这样即可求出的值,又结合三角形中的范围,进而得到的值.试题解析：解：（1）由题意及正弦定理得：,,两式相减得. （6分）(2)由,得, （8分）由余弦定理得，,又,（14分）考点：1.正弦定理;2.余弦定理;3.三角形面积公式21. 根据两角的和的正弦公式，有：①②由①+②得，③令，则，代入③得：(I)类比上述推理方法，根据两角的和差的余弦公式，求证：；(Ⅱ)若的三个内角、、满足试判断的形状. 【答案】（1）见解析（2）直角三角形【解析】试题分析：解法一：(Ⅰ)因为，①，② 2分①-② 得. ③ 3分令有，代入③得. 6分(Ⅱ)由二倍角公式,可化为, 8分即. 9分设的三个内角A,B,C所对的边分别为，由正弦定理可得. 11分根据勾股定理的逆定理知为直角三角形. 12分解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为， 8分因为A,B,C为的内角，所以，所以.又因为，所以,所以.从而. 10分又因为,所以，即.所以为直角三角形. 12分考点：两角和与差三角函数公式、二倍角公式点评：本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等22. 已知函数是定义在上的奇函数.（1）求的值和实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；（3）若且求实数的取值范围.【答案】（1）（2）增函数，见解析；（3）【解析】试题分析：（1）直接把0代入即可求出f（0）的值；再结合f（﹣x）+f（x）=0对定义域内的所有自变量成立即可求出实数m的值；（2）先研究内层函数的单调性，再结合复合函数的单调性即可判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）先根据得到a的范围；再结合其为奇函数把f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0转化为f （b﹣2）＞f（2﹣2b），结合第二问的单调性即可求出实数b的取值范围．试题解析：（I）因为是奇函数。

福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合）D.【答案】C所以C.2. ）B. C. 1 D. 2【答案】A,故选A.3. 已知）B. C. D.【答案】BB.（）【答案】DD.5.）【答案】CC.6. 已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（）D.【答案】DD.7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.图中的执行该程序框图，则输出的（）A. 23B. 38C. 44D. 58【答案】A【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以3余数为2；除以5余数为3；除以7余数为2，那么这个数首先是238. ）【答案】DD.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）C. D.【答案】A【解析】A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查棱锥的体积公式、棱锥的表面积以及学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. ）B. 3C. 或3D. 3【答案】AA.11.和上顶点.若以为直径的圆与）C.【答案】A【解析】半径为与圆有公共点，A.【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质及求椭圆的离心率范围，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将. 本题是利用点到直线的距离小于圆半的不等式，最后解出.12. 已知函数3个整数解，则实数小值为（）【答案】C【解析】个整数解，递增，，合题意，时，不等式无解；合题意，时，的最小值为 C.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4项和公式问题等等.第Ⅱ卷（共90分）二.填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是__________．【解析】福州三宝的全排列共有14. __________．，故答案为__________．，故答案为.16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是__________元.【答案】2100000【解析】【方法点晴】本题主要考查利用线性规划解决现实生活中的最佳方案及最大利润问题，属于难题题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列项和为（1（2【答案】（12为公比的等比数列. （2）【解析】试题分析：（1时，（2）由（1试题解析：（12为公比的等比数列.（2）由（1（1）2）（1）-（2）得：，【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，解,”的表达式.18. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10（3）在（2用样本估计总体的思想，（精【答案】（1）样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2）（3）【解析】试题分析：（1的编号为法先抽取样本的编号，再对应抽取评分数据即可；（2）先根据样本平均值公式直接求出抽到再根据方差公式求出方差即可；（3）级”的用户所占的百分比约为试题解析：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.（2）由（1则有（3）由题意知评分在之间，即由（1）中容量为105另解：由题意知评分在，即，从调查的40名用户评分数据2119. 如图，在四棱锥点.（1）证明：（2.【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）取，根据三角形中位线定理可得（2试题解析：（1）取的中点，连接，（22.三棱锥的体积【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20.（1上，求直线（2.【答案】（12【解析】试题分析：（1）（2都过定点试题解析：（1）由题意得（2）由（1）知，点，解得.故可设圆的圆心为，的半径为的一般方程为.都过定点.21. 已知函数（1（2【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1的范围，可得函数（2）1，所以试题解析：（1，在；当为増函数；在上，.（2）因为由（1）知，当在上为增函数，在请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程（为参数，.在以为极点，.（1没有公共点，求的取值范围；（2）若曲线距离的最大值为.【答案】（12【解析】试题分析：（1）将曲线与直线转为直角坐标系方程，然后联立直线与方程组求得结果（2）利用三角函数求出点到直线的距离表达式解析：（1，即；所以（2）由（1的直角坐标方程为.点睛：本题考查了参数方程的知识点，先将参数方程或者极坐标方程转化为直角坐标系的方程，然后根据在直角坐标系的方法求得结果，在计算点到线的距离时，由三角函数的方法在计算中更为简单23. 选修4-5：不等式选讲（1（2的不等式.【答案】（12【解析】试题分析：（1）根据题目进行分类讨论的化简2）解析：（1解得或或，（2时，由题意，知。

2018-2019学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{x|x2﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．B．{0，1}C．{0，1，2}D．2．（5分）复数z＝1﹣2i，则＝（）A．2i B．﹣2C．﹣2i D．23．（5分）随机抽取某中学甲班9名同学、乙班10名同学，获得期中考试数学成绩的茎叶图如图：估计该中学甲、乙两班数学成绩的中位数分别是（）A．75，84B．76，83C．76，84D．75，834．（5分）如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是（）A．B．C．D．5．（5分）已知cos2α+3cosα＝1，则cosα＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知点（0，3）到双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离为2，则C的离心率是（）A．B．C．D．7．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S3＝﹣6，则S5＝（）A．18B．10C．﹣14D．﹣228．（5分）函数f（x）＝2x2﹣ln|x|的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+2sin2x﹣1在[0，m]单调递增，则m的最大值是（）A．B．C．D．π10．（5分）如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线依次交抛物线及圆（x﹣1）2+y2＝于点A，B、C、D四点，则|AB|+|CD|的值是（）A．6B．7C．8D．911．（5分）在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若＝λ+，则λ+μ的最大值是（）A．3B．2C．2D．412．（5分）已知函数f（x）＝|x3﹣3x﹣2a|+a（a∈R），对于任意x1，x2∈[0，2]，|f（x1）﹣f （x2）|≤3恒成立，则a的取值范围是（）A．[，]B．[﹣1，1]C．[0，]D．[0，1]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，若，则m＝14．（5分）若实数x，y满足约束条件，则3x+y的最大值是．15．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若△SAB的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是．16．（5分）在△ABC中，已知AC＝6，BC＝8，cos（A﹣B）＝，则sin（B﹣C）＝．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项为S n，且S5＝15，a2+a3＝5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．18．（12分）如图，在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，以AD为折痕将△ADM折起，使点M到达点P的位置，且平面ABCD⊥平面P AD，E是PB中点，AB＝2BC．（Ⅰ）求证：CE∥平面P AD；（Ⅱ）若AD＝2，AB＝4，求三棱锥A﹣PCD的高．19．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点在E上．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx+2与E交于A，B两点，若＝2，求k的值．20．（12分）随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多．每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫．已知一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如表：（Ⅰ）从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；（Ⅱ）科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立y关于x的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（ⅰ）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请根据3月7日、15日和22日这三天的数据，求出y关于x的线性回归方程；（ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ⅰ）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣•．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e1﹣x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）函数f（x）与函数y＝x2﹣4x+m（m∈R）的图象总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为x1，x2．（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）求证：x1+x2＞4．请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α为l的倾斜角），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ＝4sinθ，三条直线θ＝（ρ∈R），θ＝（ρ∈R），θ＝（ρ∈R）与曲线E分别交于不同于极点的三点A，B，C．（Ⅰ）求证：|OA|+|OC|＝|OB|；（Ⅱ）直线l过A，B两点，求y0与α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|+3a，a∈R．（Ⅰ）若对于任意x∈R，总有f（x）＝f（4﹣x）成立，求a的值；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤﹣|2x﹣1|+a成立，求a的取值范围．2018-2019学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：集合A＝{x∈N||x|≤2}＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{x|x2﹣2＜0}＝{x|﹣＜x＜}，则A∩B＝{0，1}．故选：B．2．【解答】解：复数z＝1﹣2i，则＝＝＝＝2．故选：D．3．【解答】解：根据茎叶图知，甲班9名同学的成绩从小到大依次为：52，66，72，74，76，76，78，82，96，中位数是76；乙班10名同学的成绩从小到大依次为：62，74，74，78，82，84，85，86，88，92，中位数是×（82+84）＝83．故选：B．4．【解答】解：圆柱被不平行于底面的平面所截，得到的截面为椭圆，结合正视图，可知侧视图最高点在中间，故选：C．5．【解答】解：∵cos2α+3cosα＝1，∴2cos2α+3cosα﹣2＝0，则cosα＝或cosα＝﹣2（舍），故选：C．6．【解答】解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线设为y＝x，即为bx﹣ay＝0，可得点P（0，3）到渐近线的距离为＝2，即有3a＝2c，可得e＝＝．故选：A．7．【解答】解：根据题意得，q≠1∴a+a2＝2 ①a3＝﹣8 ②又a1（1+q）＝2，a1q2＝﹣8∴q2＝﹣4﹣4q解得q＝﹣2，a1＝﹣2∴S5＝﹣22故选：D．8．【解答】解：函数f（x）＝2x2﹣ln|x|为偶函数，则其图象关于y轴对称，排除B；当x＞0时，f（x）＝2x2﹣lnx，f′（x）＝4x﹣．当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，∴f（x）有极小值f（）＝＞0．结合选项可得，函数f（x）＝2x2﹣ln|x|的部分图象大致为A．故选：A．9．【解答】解：f（x）＝sin2x+2sin2x﹣1＝sin2x﹣cos2x＝．由，得，k∈Z．取k＝0，可得f（x）的一个增区间为[]．∵函数f（x）＝sin2x+2sin2x﹣1在[0，m]单调递增，∴m的最大值是．故选：C．10．【解答】解：∵y2＝4x，焦点F（1，0），准线l0：x＝﹣1由定义得：|AF|＝x A+1，又∵|AF|＝|AB|+，∴|AB|＝x A+；同理：|CD|＝x D+，直线l：y＝x﹣1，代入抛物线方程，得：x2﹣6x+1＝0，∴x A x D＝1，x A+x D＝6，∴|AB|+|CD|＝6+1＝7．综上所述4|AB|+|CD|的最小值为7．故选：B．11．【解答】解：根据题意，如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系：则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），则BD的方程为x+y＝1，点C为圆心且与BD相切的圆C，其半径r＝d＝＝，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝；P在圆C上，设P的坐标为（1+cosθ，1+sinθ），则＝（1，0），＝（0，1），＝（1+cosθ，1+sinθ），若＝λ+，则（1+cosθ，1+sinθ）＝λ（1，0）+μ（0，1），则有λ＝1+cosθ，μ＝1+sinθ；λ+μ＝2+（cosθ+sinθ）＝2+sin（θ+）≤3，即λ+μ的最大值为3；故选：A．12．【解答】解：当a＝1时，f（x）＝|x3﹣3x﹣2|+1，令g（x）＝x3﹣3x﹣2，则g′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），当x∈[0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（1，2]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；故x＝1时，g（x）取得最小值﹣4；x＝2时，g（x）取得最大值0∴f（x）min＝1，f（x）max＝5，此时f（x）max﹣f（x）min＝5﹣1＝4≤3不成立，故a＝1不符合题意，排除B，D当a＝﹣时，f（x）＝|x3﹣3x+1|﹣，令g（x）＝x3﹣3x+1，则g′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1）当x∈[0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（1，2]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；故x＝1时，g（x）取得最小值﹣4；x＝2时，g（x）取得最大值0∴f（x）min＝0，f（x）max＝3，此时f（x）max﹣f（x）min＝3≤3恒成立，符合题意，故排除C故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：向量，，若，则﹣2m﹣3×2＝0，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．14．【解答】解：由实数x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（2，3），化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为9．故答案为：9．15．【解答】解：如图，设母线长为a，∵SA⊥SB，∴，∴a＝4，∵∠SAM＝30°，∴∠ASC＝120°，延长SM使MO＝MS，则O为外接球球心，半径为4，∴表面积为64π，故答案为：64π．16．【解答】解：因为BC＞AC，所以A＞B作AD＝BD＝x，则∠DAB＝B，则∠DAC＝A﹣B，在△ADC中由余弦定理得cos（A﹣B）＝cos∠DAC，∴＝，解得x＝4，∴AD＝BD＝DC＝4，cos C＝cos（A﹣B）＝，sin C＝＝＝，又cos C＝，∴＝，解得c＝2∴cos B＝＝，sin B＝，∴sin（B﹣C）＝sin B cos C﹣cos B sin C＝×﹣×＝．故答案为三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，a2+a3＝5．又，∴a3＝3，∴a2＝2，∴a1＝d＝1，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝n．（Ⅱ）解：由上问知a n＝n，∴a2n﹣1＝2n﹣1，a2n+1＝2n+1．∴＝，∴ ＝＝18．【解答】（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连接DF ，EF ，如图所示．因为点E 是PB 中点，所以EF ∥AB 且．又因为四边形ABCM 是平行四边形，所以AB ∥CD 且，所以EF ∥CD 且EF ＝CD ，所以四边形EFDC 为平行四边形，所以CE ∥DF ， 因为CE ⊄平面P AD ，DF ⊂平面P AD ， 所以CE ∥平面P AD ．（Ⅱ）解：取AD 的中点O ，连结PO 、CO ，如图所示，因为在平行四边形ABCM 中，D 为CM 的中点，AB ＝2BC ，AD ＝2，AB ＝4 因为AD ＝2，所以PD ＝P A ＝AD ＝2，所以△ADP 为正三角形， 所以PO ⊥AD ，且，因为在平行四边形ABCM 中，D 为CM 的中点，以AD 为折痕将△ADM 折起，使点M 到达点F 的位置，且平面ABCD ⊥平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝120°．所以＝..，，设三棱锥A ﹣PCD 的高为h ，因为V A﹣PCD＝V P﹣ACD，，所以，所以三棱锥A﹣PCD的高为．19．【解答】（Ⅰ）解：由题意得，所以，①，又点在E上，所以②，联立①②，解得a＝2，b＝1，所以椭圆E的标准方程为．（Ⅱ）解：设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），依题意得，联立方程组消去y，得（1+4k2）x2+16kx+12＝0．△＝（16k）2﹣48（1+4k2）＞0，，，，＝x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＝（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＝＝，∵，∴，，所以，．20．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，m、n的所有情况为：{23，25}、{23，30}、{23，26}、{23，16}、{25，30}、{25，26}、{25，16}、{30，26}、{30，16}、{26，16}共有10个；设“m、n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为：{25，30}、{25，26}、{30，26}共有3个，所以，即事件A的概率为；（Ⅱ）（ⅰ）由数据得，，，，∴＝＝，＝﹣•＝27﹣×12＝﹣3；∴y关于x的线性回归方程为＝x﹣3；（ⅱ）由（ⅰ）知，y关于x的线性回归方程为＝x﹣3，当x＝10时，＝×10﹣3＝22，且|22﹣23|＜2，当x＝8时，＝×8﹣3＝17，且|17﹣16|＜2；所以，所得到的线性回归方程＝x﹣3是可靠的．21．【解答】（Ⅰ）解：由已知得，∴∴f（1）＝0，又∵f（1）＝1，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y＝x﹣1．（Ⅱ）解法一：令g（x）＝f（x）﹣x2+4x﹣m＝（x﹣1）e1﹣x﹣x2+4x﹣m，∴g′（x）＝﹣（e1﹣x﹣2）（x﹣2），由g′（x）＜0得，x＞2；由g′（x）＞0得，x＜2易知，x＝2为g（x）极大值点，又x→﹣∞时g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→﹣∞即函数g（x）在x＜2时有负值存在，在x＞2时也有负值存在．由题意，只需满足，∴m的取值范围是：解法二：f′（x）＝﹣e1﹣x（x﹣2），由f′（x）＜0得，x＞2；由f′（x）＞0得，x＜2易知，x＝2为极大值点．而y＝x2﹣4x+m（m∈R）在x＝2时取得极小值，由题意，只需满足，解得．②由题意知，x1，x2为函数g（x）＝f（x）﹣x2+4x﹣m﹣（x﹣1）e1﹣x﹣x2+4x﹣m的两个零点，由①知，不妨设x1＜2＜x2，则4﹣x2＜2，且函数g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，欲证x1+x2＞4只需证明g（x1）＞g（4﹣x2），而g（x1）＝g（x2），所以，只需证明g（x2）＞g（4﹣x2）．令H（x2）＝g（x2）﹣g（4﹣x2）（x2＞2），则∴．∵x1＞2，∴，即所以，H′（x2）＞0，即H（x2）在（2，+∞）上为增函数，所以，H（x2）＞H（2）＝0，∴g（x2）＞g（4﹣x2）成立．所以，x1+x2＞4．请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）证明：依题意，，，，∴|OA|+|OC|＝OB|；（Ⅱ）直线θ＝与圆的交点A的极坐标为（4sin，）＝（2，），B点的极坐标为（4sin，）＝（4，），从而，A、B两点的直角坐标分别为：A（，1），B（0，4），∴直线l的方程为：，所以，y0＝1，．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝f（4﹣x），x∈R，所以f（x）的图象关于x＝2对称，又的图象关于对称，所以，所以，a＝﹣4．（Ⅱ）∃x∈R，使得f（x）≤﹣|2x﹣1|+a等价于∃x∈R，使得|2x+a|+|2x﹣1|+2a≤0．等价于（|2x+a|+|2x﹣1|+2a）min≤0，设g（x）＝|2x+a|+|2x﹣1|+2a，则g（x）min＝|（2x+a）﹣（2x﹣1）|+2a＝|a+1|+2a，所以，|a+1|+2a≤0．当a≥﹣1时，a+1+2a≤0，，所以，；当a＜﹣1时，﹣a﹣1+2a≤0，a≤1，所以a＜﹣1，综上，．解法二：（Ⅰ）∵f（x）＝f（4﹣x）∴|2x+a|+3a＝|2（4﹣x）+a|+3a，∴|2x+a|＝|8﹣2x+a|，即2x+a＝﹣（8﹣2x+a），或2x+a＝8﹣2x+a（舍）所以，a＝﹣4（Ⅱ）由f（x）≤﹣|2x﹣1|+a得，|2x+a|+|2x﹣1|≤﹣2a而|2x+a|+|2x﹣1|≥|a+1|由题意知，只需满足|a+a|≤﹣2a，即2a≤a+1≤﹣2a即，∴．。

福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,,所以，故选C.2. 若复数为纯虚数，则实数（）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】复数为纯虚数，所以,故选A.3. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，故选B.4. （）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】，故选D.5. 已知双曲线的两个焦点都在轴上，对称中心为原点，离心率为.若点在上，且，到原点的距离为，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直角三角形的性质可得，又，的方程为，故选C.6. 已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设球半径为该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，可得，球的表面积为，故选D.7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.图中的表示正整数除以正整数后的余数为，例如.执行该程序框图，则输出的等于（）A. 23B. 38C. 44D. 58【答案】A【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以3余数为2；除以5余数为3；除以7余数为2，那么这个数首先是23，故选8. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数的周期为函数向右平移个周期后，得到，故选D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥，其中三棱锥的高为，底面为等腰直角三角形，直角边长为，表面积为，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查棱锥的体积公式、棱锥的表面积以及学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 已知函数若，则（）A. B. 3 C. 或3 D. 或3【答案】A【解析】若，得，若，不合题意，，故选A.11. 过椭圆的右焦点作轴的垂线，交于两点，直线过的左焦点和上顶点.若以为直径的圆与存在公共点，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线的方程为，圆心坐标为，半径为与圆有公共点，，可得，，，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质及求椭圆的离心率范围，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围 . 本题是利用点到直线的距离小于圆半径构造出关于的不等式，最后解出的范围.12. 已知函数，若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的最小值为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】，等价于，即恰有个整数解，即有个整数解，，时，不等式无解，时，不等式只有一个整数解，排除选项，当时，由可得在递减，由可得在递增，，合题意，时，，不等式无解；，合题意，，合题意，当时，，不等式无解；故时，有且只有个整数解，又的最小值为，故选C.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.第Ⅱ卷（共90分）二.填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是__________．【答案】【解析】福州三宝的全排列共有种排法，角梳与纸伞相邻的排法，有种排法，根据古典概型概率公式可得，角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是，故答案为.14. 曲线在处的切线方程为__________．【答案】【解析】由，得，所以切线斜率为，切点坐标为，由点斜式得切线方程为，即，故答案为.15. 的内角的对边分别为，已知，则的大小为__________．【答案】【解析】由，根据正弦定理得，即，，又，，故答案为.16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是__________元.【答案】2100000【解析】【方法点晴】本题主要考查利用线性规划解决现实生活中的最佳方案及最大利润问题，属于难题题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列前项和为，且.（1）证明数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）数列是以为首项，以2为公比的等比数列. （2）【解析】试题分析：（1）当时，，可得以，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）知，，可得，利用错位相减法可得数列的前项和.试题解析：（1）当时，，所以，当时，，所以，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，所以，所以（1）（2）（1）-（2）得：，所以.【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少？（精确到)参考数据：.【答案】（1）样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2）,=33（3）【解析】试题分析：（1）由第一分段里随机抽到的评分数据为的编号为，根据系统抽样方法先抽取样本的编号，再对应抽取评分数据即可；（2）先根据样本平均值公式直接求出抽到的个样本的均值，再根据方差公式求出方差即可；（3）由题意知评分在之间，即之间，根据表格数据可得容量为的样本评分在之间有人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.试题解析：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.（2）由（1）中的样本评分数据可得，则有（3）由题意知评分在之间，即之间，由（1）中容量为10的样本评分在之间有5人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.另解：由题意知评分在，即之间，，从调查的40名用户评分数据中在共有21人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.19. 如图，在四棱锥中，,，点为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，从而可得四边形为平行四边形，，利用线面平行的判定定理可得平面；（2）由得，由勾股定理可得，从而得平面，到平面的距离为，利用三角形面积公式求出底面积，根据等积变换及棱锥的体积公式可得.试题解析：（1）取的中点，连接.因为点为棱的中点，所以且，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为，所以.因为，所以，所以，因为,平面，平面,所以平面.因为点为棱的中点，且，所以点到平面的距离为2..三棱锥的体积.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20. 抛物线与两坐标轴有三个交点，其中与轴的交点为.（1）若点在上，求直线斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆过定点.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由. 可得；（2）设圆的圆心为，都过定点.试题解析：（1）由题意得.故（2）由（1）知，点坐标为.令，解得，故.故可设圆的圆心为，由得，，解得，则圆的半径为.所以圆的方程为，所以圆的一般方程为，即.由得或，故都过定点.21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）对分两种情况讨论，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2））因为，所以原不等式等价于，结合（1）可得，利用导数研究函数的单调性，可得以，所以，即，即.试题解析：（1），①若，则，在上为増函数；②若，则当时，；当时，.故在上，为増函数；在上，为减函数.（2）因为，所以只需证，由（1）知，当时，在上为增函数，在上为减函数，所以.记，则，所以，当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以.所以当时，，即，即.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围；（2）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）将曲线与直线转为直角坐标系方程，然后联立直线与方程组求得结果（2）利用三角函数求出点到直线的距离表达式，结合题目求得结果解析：（1）因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为；因为（参数，）所以曲线的普通方程为，由消去得，，所以，解得，故的取值范围为.（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，故曲线上的点到的距离，故的最大值为由题设得，解得.又因为，所以.点睛：本题考查了参数方程的知识点，先将参数方程或者极坐标方程转化为直角坐标系的方程，然后根据在直角坐标系的方法求得结果，在计算点到线的距离时，由三角函数的方法在计算中更为简单23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题目进行分类讨论的化简，继而算出结果（2）利用不等式求解，再根据条件计算出实数的取值范围解析：（1）因为，所以，，或或解得或或，所以，故不等式的解集为.（2）因为，所以当时，恒成立，而，因为，所以，即，由题意，知对于恒成立，所以，故实数的取值范围.。