圆柱和圆锥等积变形

圆柱等积变形的易错题和好题1．如图，把纸盒里的牛奶倒入圆柱体容器中正好倒满，这纸盒中的牛奶有多少毫升？2．一个底面内半径和高分别是12cm、20cm的空心圆锥和空心圆柱组合成如图①所示的容器。

若在这个密封容器内注入一些细沙，则不仅能填满圆锥，还能填注部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm。

若将这个容器如图①倒立，则沙子的高度是多少厘米？3．一个小圆锥体玩具被芳芳一不小心掉进了一个底面积为3平方分米，高4分米的圆柱体量杯中，她发现正好水面上升了1分米。

你能求出这个小圆锥体玩具的体积吗？4．下图中圆柱杯子与圆锥杯子底面积相等，把圆锥杯子装满水倒进圆柱杯子，至少需要倒（）杯才能把圆柱杯子装满。

请在下面用你喜欢的方式描述你的思考过程。

5．如图所示，一个长方体礼盒刚好能容纳6个圆柱形茶叶罐（单位：厘米）（1）一个圆柱形茶叶罐的体积是多少立方厘米？（2）做一个长方体礼盒至少需要多少平方厘米的包装材料？（接口处不计）（3）能容纳这6个茶叶罐的长方体礼盒还可以设计出不同的方案，你所设计的礼盒长是（），宽是（），高是（）。

6．一个底面半径是10厘米的圆柱形玻璃杯，原来水深15厘米，现在把一块长和宽都是8厘米，高是42厘米的长方体铁块垂直放入水中，水没有溢出，求水面上升了多少厘米？7．袁隆平爷爷，世界上第一个成功利用水稻杂交优势的科学家，被誉为“杂交水稻之父”，发展杂交水稻，造福世界人民是袁降平院士毕生的追求。

目前，我国杂交水稻年种植积约2.57亿亩，非杂交水稻年种植面积约1.94亿亩，2020年我国稻谷总产量约为120亿千克，其中杂交水稻产量与非杂交水稻产量的比为13①7，杂交水稻每年增产的稻谷，可为中国多养活8000万人。

（1）2020年杂交水稻产量约多少亿千克？，那么问题为___________________。

（2）根据上面的信息，如果列式为1.94 2.57（3）如下图，已知圆锥形谷堆的底面直径是圆柱形铁桶底面直径的2倍，它们的高一样，把这些稻谷装在铁桶中（铁桶厚度忽略不计），装得下吗？请把你的想法写下来。

人教版数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》“等积变形”教学预案永川区望城路小学何开莲教材分析数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》是整个小学阶段最后一个“几何与图形”的内容。

包括圆柱圆锥的认识、圆柱的表面积、圆柱的体积和圆锥体积。

圆柱、圆锥是人们在生产、生活中经常遇到的几何形体。

教学这一部分内容，有利于发展学生的空间观念，为进一步应用几何知识解决实际问题打下基础。

几何知识一向是小学生学习的难点。

特别是圆柱的表面积、圆柱圆锥体积的应用问题更是让学生忘而却步。

造成这种现象的原因除了计算复杂繁琐外，就是学生对立体图形的空间思维能力差。

不能根据文字叙述想象立体图形的样子，找不到解题的关键。

我的思考本次教研主题是“提高立体图形空间思维能力”。

围绕这个主题，我确定从“等积变形”思想方法来落实。

“等积变形”是小学阶段要渗透落实的重要思想方法之一。

生活中大量存在其身影。

在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过熔铸、锻造、重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的“等积变形”。

围绕“等积变形”，我设计“面积变形”和“体积变形（重点）”两个内容。

“面积变形”是为了使计算简便。

“体积变形”设计为稍复杂的体积变形：不规则物体体积计算（看图计算）和未完全浸没（解决问题）。

利用“化曲为直”、“动画重现”“割补剪拼”、“移花接木”“数形结合”等方式，让学生体会转化思想在数学中的广泛应用，提高学生的立体图形空间观念。

教学目标1.优化圆柱体表面积计算公式，能够解决稍复杂的体积的“等积变形”问题。

2.在不同情境中，找准“形变”与“体积不变”的关系，在变化中找不变的量，抓住解决问题的关键，从而正确解决实际问题。

3.发展空间观念，提高学生立体图形空间思维能力。

体会转化的思想价值。

教学重、难点重点：运用多种方法通过“等积变形”解决实际问题。

难点：在不同题目情境中，找准不变的量，抓住“等积”这一解题关键。

等积变形题目圆锥熔铸成圆柱
等积变形是一种有趣的几何变形，它可以将一个几何体变形成另一个几何体，使其体积保持不变。

这种变形可以发生在多种几何图形之间，其中最常见的是圆锥熔铸成圆柱，即将一个圆锥体通过熔铸变形成一个圆柱体，而且它们的体积保持不变。

这种等积变形的原理是，圆锥体和圆柱体的体积公式是相同的，即V = π r2 h，其中r 是圆的半径，h是高度。

因此，如果圆柱的高度和圆锥的高度相同，那么两者的体积也必须相同，也就是说，在高度h相同的情况下，圆柱的半径必须与圆锥的半径r相同，这就是等积变形的原理。

圆锥熔铸成圆柱的实际变形过程是，首先将圆锥放入熔炉内，熔炉的温度调到适当的温度，当圆锥融化时，将圆锥熔铸成圆柱。

这种过程需要调整熔炉的温度，以保证圆锥和圆柱的体积相等。

熔铸成圆柱的过程具有许多优势，例如，可以节省材料，可以减少制造时间，可以降低成本等。

由于圆锥和圆柱的体积相等，因此可以在不改变体积的前提下，将原材料熔铸成更加结实坚固的圆柱，从而节省材料，减少制造时间，降低成本。

等积变形是一种有趣的几何变形，它可以将一个几何体变形成另一个几何体，使其体积保持不变。

本文主要讨论了将圆锥熔铸成圆柱的等积变形，并介绍了它的原理以及实际变形过程，以及其优点。

希望本文能够对读者有所帮助。

苏教版六年级下册《第2章圆柱和圆锥》小学数学-有答案-同步练习卷（33）一、填空．（共23分，每空1分．）1. 把圆柱体侧面展开，得到一个长方形，它的长等于圆柱________，它的宽等于圆柱________．2. 下面图形中是圆柱或圆锥的在下面的括号内写出名称。

________________________________．3. 一个圆柱的体积是24立方分米，和它等底等高的圆锥的体积是________立方分米。

4. 一个圆锥的体积是24立方厘米，与它等底等高的圆柱体积是________立方厘米。

5. 折一折、想一想能得到什么图形？写在括号内。

________________________．6. 等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积6立方厘米，圆柱的体积是________立方厘米。

7. 一个圆柱的底面直径是2米，高是2.4米，它的表面积是________平方米，体积是________立方米。

8. 一个圆锥的底面周长是15.7厘米，高是4厘米，它的体积是________立方厘米。

9. 数学小组将一圆柱按左图切割开，然后拼为右图，观察填空。

拼出的右图是一个近似的________体，它的高与圆柱的高________，是________；它的底面积与圆柱的底面积________，是________；拼出图形的体积是________，圆柱的体积与它________，所以圆柱的体积是________．10. 判断下面圆锥与哪个圆柱的体积相等，在相对应的图形下面的括号内画“√”．（单位：cm）________________________________．二、解答题（共4小题，满分0分）想一想，连一连计算并填表。

计算下面各圆柱和圆锥的体积。

（单位：cm）把下面圆柱的侧面沿高展开，得到的长方形长和宽各是几厘米？两个底面分别是多大的圆？在方格纸上画出这个圆柱的展开图。

（每个方格边长1厘米）二、解决问题．（共30分，每小题0分．）如图压路机前轮转动一周，压路的面积是多少平方米？从某地运来一车圆木，共50根，每根圆木的直径是0.4米长是5米。

四圆柱和圆锥一、认识圆柱、圆柱的组成部分1.圆柱的形成:圆柱是以长方形的一条边为轴旋转得到的;也可以由长方形卷起来得到。

2.生活中常见的圆柱:3.圆柱各部分的名称及其特征:(1)圆柱的上、下两个面都是圆形的,大小相同,叫做底面。

(2)圆柱周围的面是曲面,我们叫它侧面。

(3)圆柱两底之间的距离叫做高,一个圆柱有无数条高,它们都相等。

二、圆柱的侧面以及侧面积的求法1.圆柱的侧面展开图及其形状:(1)沿着高展开,展开图是长方形,长方形的长等于圆柱的底面周长,长方形的宽等于圆柱的高;当底面周长和高相等时(h=2πr),侧面展开图为正方形。

(2)如果不沿着高展开,展开图形是平行四边形或不规则图形。

(3)无论如何展开都得不到梯形。

2.圆柱的侧面展开后各个部分与圆柱的关系:展开后长方形的长等于圆柱的底面周长,宽等于圆柱的高。

3.圆柱的侧面积=底面的周长×高,即S侧=Ch=πd×h=2πr×h。

三、圆柱的表面积的计算1.圆柱的侧面积加上两个底面的面积就是圆柱的表面积。

巧记小圆柱直挺挺,上、下底面都相同,可以看作是由长方形旋转而成的,还可以看作是由平面卷曲而成的。

易错点:1.圆柱的侧面是曲面,高有无数条,不是1条。

2.高指圆柱两底面之间的距离。

易错点:1.如果底面周长和高相等,展开图为正方形。

2.底面直径和高相等,侧面展开图不是正方形。

巧记规律沿高剪,圆柱侧面展开是长方形,侧面积是底面周长和高的积。

2.圆柱的表面积=2×底面积+侧面积,即S表=S侧+S底×2=2πr×h+2πr2。

3.圆柱的切割引起表面积的变化:(1)横切:切面是圆,表面积增加2个底面积,即S增=2πr2。

(2)竖切(过直径):切面是长方形(如果h=2r,切面为正方形),该长方形的长是圆柱的高,宽是圆柱的底面直径,表面积增加两个长方形的面积,即S增=4rh。

四、圆柱表面积的计算在实际生活中的应用在实际生活中,有时需要计算圆柱的表面积,如制作水桶时,不要上底面;制作圆柱形通风管时,不需要两个底面,这时需要计算圆柱的侧面积。