2015届高考二轮复习 专题二 第3讲 导数及其应用

第3讲导数及其应用考情解读 1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用．1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．3．函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．4．定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：①ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x；②ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；③ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．(2)微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a).热点一导数的运算和几何意义例1 (1)(2014·广东)曲线y ＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．(2)在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a >0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝52的一个公共点，若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是________． 思维启迪 (1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程．(2)A 点坐标是解题的关键点，列方程求出． 答案 (1)5x ＋y －3＝0 (2)4 解析 (1)因为y ′＝e －5x(－5x )′＝－5e－5x，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)， 即5x ＋y －3＝0.(2)设A (x 0，y 0)，则C 1在A 处的切线的斜率为f ′(x 0)＝3ax 20，C 2在A 处的切线的斜率为－1k OA ＝－x 0y 0， 又C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直， 所以(－x 0y 0)·3a 20＝－1，即y 0＝3ax 30， 又ax 30＝y 0－1，所以y 0＝32， 代入C 2：x 2＋y 2＝52，得x 0＝±12，将x 0＝±12，y 0＝32代入y ＝ax 3＋1(a >0)，得a ＝4.思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．(1)已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )且f (x )＝x 2f ′(π3)＋sin x ，则f ′(π3)＝________.(2)若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于________． 答案 (1)36－4π(2)2 解析 (1)因为f (x )＝x 2f ′(π3)＋sin x ，所以f ′(x )＝2xf ′(π3)＋cos x ．所以f ′(π3)＝2×π3f ′(π3)＋cos π3.所以f ′(π3)＝36－4π.(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f ′(π2)＝1，即函数f (x )＝x sin x ＋1在点x ＝π2处的切线的斜率是1，直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率是－a2，所以(－a2)×1＝－1，解得a ＝2.热点二 利用导数研究函数的性质例2 已知函数f (x )＝(x ＋a )e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈[0,4]时，求函数f (x )的最小值．思维启迪 (1)直接求f ′(x )，利用f ′(x )的符号确定单调区间；(2)讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系，一般情况下，f (x )的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到． 解 (1)因为f (x )＝(x ＋a )e x ，x ∈R ，所以f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝－a －1.当x 变化时，f (x )和f ′(x )的变化情况如下：故f (x )单调增区间为(－a －1，＋∞)．(2)由(1)得，f (x )的单调减区间为(－∞，－a －1)； 单调增区间为(－a －1，＋∞)．所以当－a －1≤0，即a ≥－1时，f (x )在[0,4]上单调递增，故f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝f (0)＝a ；当0<－a －1<4，即－5<a <－1时， f (x )在(0，－a －1)上单调递减， f (x )在(－a －1,4)上单调递增，故f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝f (－a －1)＝－e－a －1；当－a －1≥4，即a ≤－5时，f (x )在[0,4]上单调递减， 故f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝f (4)＝(a ＋4)e 4.所以函数f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≥－1，－e－a －1， －5<a <－1，(a ＋4)e 4， a ≤－5.思维升华 利用导数研究函数性质的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导函数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解．(4)①若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号． ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解． (5)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．已知函数f (x )＝ln x ＋2ax，a ∈R .(1)若函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值为3，求实数a 的值． 解 (1)∵f (x )＝ln x ＋2a x ，∴f ′(x )＝1x －2ax 2.∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝1x －2ax 2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a ≤x2在[2，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x2，则a ≤[g (x )]min ，x ∈[2，＋∞)，∵g (x )＝x2在[2，＋∞)上是增函数，∴[g (x )]min ＝g (2)＝1.∴a ≤1.所以实数a 的取值范围为(－∞，1]． (2)由(1)得f ′(x )＝x －2ax2，x ∈[1，e]．①若2a <1，则x －2a >0，即f ′(x )>0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上是增函数．所以[f (x )]min ＝f (1)＝2a ＝3，解得a ＝32(舍去)．②若1≤2a ≤e ，令f ′(x )＝0，得x ＝2a . 当1<x <2a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(1,2a )上是减函数，当2a <x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2a ，e)上是增函数． 所以[f (x )]min ＝f (2a )＝ln(2a )＋1＝3， 解得a ＝e 22(舍去)．③若2a >e ，则x －2a <0，即f ′(x )<0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是减函数． 所以[f (x )]min ＝f (e)＝1＋2ae＝3，得a ＝e.适合题意． 综上a ＝e.热点三 导数与方程、不等式例3 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值；(3)是否存在实数m ，使得函数y ＝g (2ax 2＋1)＋m －1的图象与函数y ＝f (1＋x 2)的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．思维启迪 (1)利用F ′(x )确定单调区间；(2)k ＝F ′(x 0)，F ′(x 0)≤12分离a ，利用函数思想求a的最小值；(3)利用数形结合思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化． 解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2.∵a >0，由F ′(x )>0⇒x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增函数． 由F ′(x )<0⇒x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减函数． ∴F (x )的单调递减区间为(0，a )， 单调递增区间为(a ，＋∞)． (2)由F ′(x )＝x －ax2(0<x ≤3)得k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立⇔a ≥－12x 20＋x 0恒成立．∵当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12，∴a ≥12，a 的最小值为12.(3)若y ＝g (2a x 2＋1)＋m －1＝12x 2＋m －12的图象与y ＝f (1＋x 2)＝ln(x 2＋1)的图象恰有四个不同交点，即12x 2＋m －12＝ln(x 2＋1)有四个不同的根，亦即m ＝ln(x 2＋1)－12x 2＋12有四个不同的根．令G (x )＝ln(x 2＋1)－12x 2＋12.则G ′(x )＝2xx 2＋1－x ＝2x －x 3－x x 2＋1＝－x (x ＋1)(x －1)x 2＋1当x 变化时G ′(x )、G (x )的变化情况如下表：由上表知：G (x )极小值＝G (0)＝12，G (x )极大值＝G (－1)＝G (1)＝ln 2>0.又由G (2)＝G (－2)＝ln 5－2＋12<12可知，当m ∈(12，ln 2)时，y ＝G (x )与y ＝m 恰有四个不同交点．故存在m ∈(12，ln 2)，使函数y ＝g (2ax 2＋1)＋m －1的图象与y ＝f (1＋x 2)的图象恰有四个不同交点．思维升华 研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考．已知函数f (x )＝a (x 2＋1)＋ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，恒有ma －f (x )>a 2成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知，得f ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x(x >0)．①当a ≥0时，恒有f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ②当a <0时，若0<x < －12a，则f ′(x )>0， 故f (x )在(0，－12a]上是增函数； 若x >－12a，则f ′(x )<0，故f (x )在[－12a，＋∞)上是减函数． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数； 当a <0时，f (x )在(0,－12a]上是增函数，在[ －12a，＋∞)上是减函数． (2)由题意，知对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]， 恒有ma －f (x )>a 2成立， 等价于ma －a 2>f (x )max . 因为a ∈(－4，－2)，所以24< －12a <12<1. 由(1)，知当a ∈(－4，－2)时，f (x )在[1,3]上是减函数， 所以f (x )max ＝f (1)＝2a ， 所以ma －a 2>2a ，即m <a ＋2.因为a ∈(－4，－2)，所以－2<a ＋2<0. 所以实数m 的取值范围为m ≤－2. 热点四 定积分 例4 (1)已知a ＝ʃ10(e x＋2x )d x (e为自然对数的底数)，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >02－x ，x ≤0，则f (a )＋f (log 216)＝________.(2)(2014·山东)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4思维启迪 (1)利用微积分基本定理先求出a ，再求分段函数的函数值；(2)利用图形将所求面积化为定积分． 答案 (1)7 (2)D 解析 (1)因为a ＝ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|1＝e ＋1－1＝e ，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >02－x ，x ≤0，所以f (a )＋f (log 216)＝f (e)＋f (－log 26)＝ln e ＋2－(－log 26)＝1＋6＝7. (2)令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2，∴S ＝ʃ20(4x －x 3)＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x 2－x 4420＝8－4＝4，故选D.思维升华 (1)直接使用微积分基本定理求定积分时，要根据求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出原函数． (2)利用定积分求所围成的阴影部分的面积时，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分的上限与下限．同时，有的定积分不易直接求出，需要借用其几何意义求出．(1)若ʃa1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，且a >1，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2 (2)如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．9－2 3 C.323D.353答案 (1)D (2)C解析 (1)ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1，由题意，可得a 2＋ln a －1＝3＋ln 2， 解得a ＝2.(2)由题图，可知阴影部分面积为ʃ1－3(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝(3－13－1)－(－9＋9－9)＝323.1．函数单调性的应用(1)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0在区间(a ，b )上恒成立； (2)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0在区间(a ，b )上恒成立； (3)可导函数f (x )在区间(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的必要不充分条件． 2．可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值； (2)对于可导函数f (x )，“f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x )＝0”是“f (x )在x ＝x 0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点． 3．利用导数解决优化问题的步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论． 4．定积分在几何中的应用被积函数为y ＝f (x )，由曲线y ＝f (x )与直线x ＝a ，x ＝b (a <b )和y ＝0所围成的曲边梯形的面积为S .(1)当f (x )>0时，S ＝ʃb a f (x )d x ； (2)当f (x )<0时，S ＝－ʃb a f (x )d x ；(3)当x ∈[a ，c ]时，f (x )>0；当x ∈[c ，b ]时，f (x )<0，则S ＝ʃc a f (x )d x －ʃb c f (x )d x .真题感悟1．(2014·江西)若曲线y ＝e －x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ＝1e x ，∴y ′＝－e －x ，∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， ∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2)．2．(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a >0)，若f (x )在[－1,1]上的最小值记为g (a )． (1)求g (a )；(2)证明：当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4. (1)解 因为a >0，－1≤x ≤1，所以 ①当0<a <1时，若x ∈[－1，a ]，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ， f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1，a )上是减函数； 若x ∈[a,1]，则f (x )＝x 3＋3x －3a ， f ′(x )＝3x 2＋3>0， 故f (x )在(a,1)上是增函数． 所以g (a )＝f (a )＝a 3.②当a ≥1时，有x ≤a ，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ， f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1,1)上是减函数， 所以g (a )＝f (1)＝－2＋3a .综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，0<a <1，－2＋3a ，a ≥1.(2)证明 令h (x )＝f (x )－g (a )． ①当0<a <1时，g (a )＝a 3.若x ∈[a,1]，则h (x )＝x 3＋3x －3a －a 3， h ′(x )＝3x 2＋3，所以h (x )在(a,1)上是增函数，所以，h (x )在[a,1]上的最大值是h (1)＝4－3a －a 3， 且0<a <1，所以h (1)≤4.故f (x )≤g (a )＋4.若x ∈[－1，a ]，则h (x )＝x 3－3x ＋3a －a 3，h ′(x )＝3x 2－3， 所以h (x )在(－1，a )上是减函数，所以，h (x )在[－1，a ]上的最大值是h (－1)＝2＋3a －a 3. 令t (a )＝2＋3a －a 3，则t ′(a )＝3－3a 2>0， 知t (a )在(0,1)上是增函数． 所以，t (a )<t (1)＝4，即h (－1)<4. 故f (x )≤g (a )＋4.②当a ≥1时，g (a )＝－2＋3a ， 故h (x )＝x 3－3x ＋2，h ′(x )＝3x 2－3， 此时h (x )在(－1,1)上是减函数，因此h (x )在[－1,1]上的最大值是h (－1)＝4. 故f (x )≤g (a )＋4.综上，当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4. 押题精练1．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎡⎭⎫94，＋∞解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1， 即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ， 又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.2．已知函数f (x )＝x 28－ln x ，x ∈[1,3]．(1)求f (x )的最大值与最小值；(2)若f (x )<4－at 对任意的x ∈[1,3]，t ∈[0,2]恒成立，求实数a 的取值范围；解 (1)∵函数f (x )＝x 28－ln x ，∴f ′(x )＝x 4－1x，令f ′(x )＝0得x ＝±2， ∵x ∈[1,3]，当1<x <2时，f ′(x )<0；当2<x <3时，f ′(x )>0；∴f (x )在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，∴f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝12－ln 2； 又f (1)＝18，f (3)＝98－ln 3， ∵ln 3>1，∴18－(98－ln 3)＝ln 3－1>0， ∴f (1)>f (3)，∴x ＝1时f (x )的最大值为18，x ＝2时函数取得最小值为12－ln 2. (2)由(1)知当x ∈[1,3]时，f (x )≤18， 故对任意x ∈[1,3]，f (x )<4－at 恒成立，只要4－at >18对任意t ∈[0,2]恒成立，即at <318恒成立，记g (t )＝at ，t ∈[0,2]． ∴⎩⎨⎧ g (0)<318g (2)<318，解得a <3116， ∴实数a 的取值范围是(－∞，3116)．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．曲线y ＝x 3－2x 在(1，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －2＝0D ．x ＋y ＋2＝0答案 A解析 由已知，得点(1，－1)在曲线y ＝x 3－2x 上，所以切线的斜率为y ′|x ＝1＝(3x 2－2)|x ＝1＝1，由直线方程的点斜式得x －y －2＝0，故选A.2．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.3．(2014·陕西)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝1125x 3－35x B ．y ＝2125x 3－45x C ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15x 答案 A解析 函数在[－5,5]上为减函数，所以在[－5,5]上y ′≤0，经检验只有A 符合．故选A.4．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |x <－1，或0<x <1}答案 A解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.5．若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12，0)内单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．[14，1) B ．[34，1) C ．(94，＋∞) D ．(1，94) 答案 B解析 由x 3－ax >0得x (x 2－a )>0.则有⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2－a <0， ∴x >a 或－a <x <0，即函数f (x )的定义域为(a ，＋∞)∪(－a ，0)．令g (x )＝x 3－ax ，则g ′(x )＝3x 2－a .由g ′(x )<0得－3a 3<x <0. 从而g (x )在x ∈(－3a 3，0)上是减函数，又函数f (x )在x ∈(－12，0)内单调递增，则有⎩⎨⎧ 0<a <1，－a ≤－12，－3a 3≤－12，∴34≤a <1. 6．如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A ．ʃ20|x 2－1|d xB ．|ʃ20(x 2－1)d x |C ．ʃ20(x 2－1)d xD ．ʃ10(x 2－1)d x ＋ʃ21(1－x 2)d x答案 A解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如图图形的面积相等，即ʃ20|x 2－1|d x ，选A.二、填空题7．已知f (x )＝x 3＋f ′(23)x 2－x ，则f (x )的图象在点(23，f (23))处的切线斜率是________． 答案 －1解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(23)x －1，令x ＝23，可得f ′(23)＝3×(23)2＋2f ′(23)×23－1，解得f ′(23)＝－1，所以f (x )的图象在点(23，f (23))处的切线斜率是－1. 8．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在x ∈(2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________． 答案 a <12解析 f ′(x )＝(ax ＋1)′(x ＋2)－(x ＋2)′(ax ＋1)(x ＋2)2＝a (x ＋2)－(ax ＋1)(x ＋2)2＝2a －1(x ＋2)2，令f ′(x )<0，即2a －1<0，解得a <12. 9．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________．答案 [－2，－1]解析 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2.①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3，故3m －2n ＝－3.②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0，所以t ∈[－2，－1]．10．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____________． 答案 0<t <1或2<t <3解析 f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－(x －1)(x －3)x，由f ′(x )＝0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t ，t ＋1)内，函数在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3.三、解答题11．(2014·重庆)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x， 由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.12．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x . (1)a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的公共点个数；(2)a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为两个．解 (1)当a ＝2时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )， 得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ， 整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝x 3＋x 2－x －2(x ≠1)， 求导得y ′＝3x 2＋2x －1＝0得x 1＝－1，x 2＝13， 得到极值点分别在－1和13处， 且极大值、极小值都是负值，图象如图，故交点只有一个．(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ， 整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，对h (x )求导可以得到极值点分别在－1和13处，画出草图如图．h (－1)＝1，h (13)＝－527， 当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故a ＝－527时恰有两个公共点． 13．设函数f (x )＝a e x (x ＋1)(其中，e ＝2.718 28……)，g (x )＝x 2＋bx ＋2，已知它们在x ＝0处有相同的切线．(1)求函数f (x )，g (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值；(3)若对∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a e x (x ＋2)，g ′(x )＝2x ＋b .由题意，得两函数在x ＝0处有相同的切线．∴f ′(0)＝2a ，g ′(0)＝b ，∴2a ＝b ，f (0)＝a ，g (0)＝2，∴a ＝2，b ＝4，∴f (x )＝2e x (x ＋1)，g (x )＝x 2＋4x ＋2.(2)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0得x >－2，由f ′(x )<0得x <－2，∴f (x )在(－2，＋∞)单调递增，在(－∞，－2)单调递减．∵t >－3，∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2]单调递减，在[－2，t ＋1]单调递增，∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2. ②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]单调递增，∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)；∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2e －2(－3<t <－2)2e t (t ＋1)(t ≥－2) (3)令F (x )＝kf (x )－g (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，由题意当x ≥－2时，F (x )min ≥0.∵∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立，∴F (0)＝2k －2≥0，∴k ≥1.F ′(x )＝2k e x (x ＋1)＋2k e x －2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)，∵x ≥－2，由F ′(x )>0得e x >1k ，∴x >ln 1k； 由F ′(x )<0得x <ln 1k ，∴F (x )在(－∞，ln 1k )单调递减，在[ln 1k，＋∞)单调递增． ①当ln 1k<－2， 即k >e 2时，F (x )在[－2，＋∞)单调递增，F (x )min ＝F (－2)＝－2k e －2＋2＝2e 2(e 2－k )<0， 不满足F (x )min ≥0.当ln 1k ＝－2，即k ＝e 2时，由①知，F (x )min ＝F (－2)＝2e 2(e 2－k )＝0，满足F (x )min ≥0. ③当ln 1k >－2，即1≤k <e 2时，F (x )在[－2，ln 1k )单调递减，在[ln 1k，＋∞)单调递增． F (x )min ＝F (ln 1k)＝ln k (2－ln k )>0， 满足F (x )min ≥0.综上所述，满足题意的k 的取值范围为[1，e 2]．。

第十三节导数在研究函数中的应用(一)1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．知识梳理一、函数的导数与函数的单调性的关系1．函数单调性的充分条件．设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为________；如果在这个区间内y′<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为________．2．函数单调性的必要条件．设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果函数y＝f(x)在这个区间内为增函数，那么在这个区间内________；如果函数y＝f(x)在这个区间内为________，那么在这个区间内________．3．求可导函数的单调区间的一般步骤和方法．(1)确定函数f(x)的定义域．(2)计算导数________，令________，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根．(3)把函数f(x)的间断点[即f(x)的无定义的点]的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把f(x)的定义域分成若干个小区间．(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小区间的增减性[若f′(x)>0，则f(x)在相应区间内为增函数；若f′(x)<0，则f(x)在相应区间内为减函数]．二、函数的极值1．函数极值的定义．一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是____________，记作____________，x0是________．如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)．就说f(x0)是______________，记作______________，x 0是极小值点．极大值与极小值统称为________．2.判别f (x 0)是极大值、极小值的方法．若x 0满足f ′(x 0)＝0，且在x 0的两侧f (x )的导数异号，则x 0是f (x )的极值点，f (x 0)是极值，并且如果f ′(x )在x 0两侧满足“左正右负”，那么x 0是f (x )的________，f (x 0)是________；如果f ′(x )在x 0两侧满足“________”，那么x 0是f (x )的极小值点，f (x 0)是极小值．3．求可导函数f (x )的极值的步骤．(1)确定函数的定义区间，求导数________．(2)求方程________的根．(3)用函数的导数为0的点和函数定义域的边界点，顺次将函数的定义域分成________，并列成表格．检查f ′(x )在________________，如果________，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果________，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右______，那么f (x )在这个根处______．三、函数的最大值与最小值1．函数的最大值与最小值．在闭区间[]a ，b 上图象连续不断的函数f (x )在[]a ，b 上________最大值与最小值．2．利用导数求函数的最值的步骤．设函数f (x )在(a ，b )内可导，在闭区间[]a ，b 上图象连续不断，求函数f (x )在[]a ，b 上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f (x )在(a ，b )内的________；(2)将f (x )的各________与________比较，得出函数f (x )在[]a ，b 上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．一、1.增函数 减函数 2.y ′≥0 减函数 y ′≤03．(2)f ′(x ) f ′(x )＝0二、1.函数f (x )的一个极大值 y 极大值＝f (x 0) 极大值点 函数f (x )的一个极小值 y 极小值＝f (x 0) 极值2．极大值点 极大值 左负右正3．(1)f ′(x ) (2)f ′(x )＝0 (3)若干小开区间 方程根左右的值的符号 左正右负 左负右正 不改变符号 无极值三、1.必有 2.(1)极值 (2)极值 f (a )，f (b )基础自测1．函数y ＝x sin x ＋cos x 在(π，3π)内的单调增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫π，3π2 B.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 C.⎝⎛⎭⎫5π2，3πD ．(π，2π)解析：∵y ＝x sin x ＋cos x ，∴y ′＝x cos x .当x ∈(π，3π)时，要使y ′＝x cos x ＞0，只要cos x ＞0，结合选项知，只有B 满足． 答案：B2. (2013·四川南充二模)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析：因为函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，所以，当x ＜－2时，f ′(x )＜0，所以xf ′(x )＞0；当－2＜x ＜0，f ′(x )＞0，所以xf ′(x )＜0.故选C.答案：C3．(2012·哈尔滨三中月考)函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5，∴f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1.如果函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上单调，那么a －1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0，f ′(2)≤0，解得a ≥1或a ≤－3.于是满足条件的a ∈(－3,1)．答案：(－3,1)4．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝______处取得极小值．答案：21．(2012·陕西卷)设函数f (x )＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析：f ′(x )＝(x ＋1)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－1，x <－1时，f ′(x )<0，f (x )＝x e x 为减函数；x >－1时，f ′(x )>0，f (x )＝x e x 为增函数，所以x ＝－1为f (x )的极小值点．故选D.答案：D2．(2013·北京卷)已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．解析：(1)由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )， 因为y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切．所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0且b ＝f (a )，则a ＝0，b ＝f (0)＝1.(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0.所以当x >0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)递增．当x <0时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，0)上递减．所以f (x )的最小值为f (0)＝1.由于函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b >1时曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．所以b 的取值范围是(1，＋∞)．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x >0，x ln (－x )，x <0. (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)求f (x )的单调区间；(3)若关于x 的方程f (x )＝k 恰有三个不同的根，求实数k 的取值范围．解析：(1)当x >0时，－x <0，∵f (x )＝x ln x ，f (－x )＝－x ln x ，∴f (－x )＝－f (x )，当x <0时，－x >0，∵f (x )＝x ln(－x )，f (－x )＝－x ln(－x )，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)当x >0时，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1， 令f ′(x )<0，得 0<x <1e， ∴当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f (x )是减函数， 令f ′(x )>0，得 x >1e， ∴当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f (x )是增函数， 又 f (x )是奇函数，∴当x ∈⎝⎛⎭⎫－1e ，0时，f (x )是减函数， x ∈⎝⎛⎫－∞，－1e 时，f (x )是增函数， ∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1e ，0，⎝⎛⎭⎫0，1e ，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－1e ，⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. (3)考查f (x )的图象变化，由(2)知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f (x )由0递减到f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f (x )由f ⎝⎛⎭⎫1e 递增到＋∞， 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1e 时，f (x )由－∞递增到f ⎝⎛⎭⎫－1e ＝1e， 当x ∈⎝⎛⎭⎫－1e ，0时，f (x )由f ⎝⎛⎭⎫－1e 递减到0， ∵方程f (x )＝k 恰有三个不同的根，∴f (x )的图象与y ＝k 的图象应有3个不同的交点，∴－1e <k <0或0<k <1e.∴实数k 的取值范围⎝⎛⎭⎫－1e ，0∪⎝⎛⎭⎫0，1e 2．(2013·惠州一模改编)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1在x ＝3处的切线方程为y ＝5x －8.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k e x 恰有两个不同的实根，求实数k 的值．解析：(1)由f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1在x ＝3处的切线方程为y ＝5x －8，所以切点为(3,7)． 则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(3)＝6a ＋b ＝5，f (3)＝9a ＋3b ＋1＝7，解得a ＝1，b ＝－1. 所以f (x )＝x 2－x ＋1；(2)由(1)知f (x )＝x 2－x ＋1，关于x 的方程f (x )＝k e x 恰有两个不同的实根，即x 2－x ＋1＝k ·e x 有两个不同的实根，也就是k ＝e －x (x 2－x ＋1)有两个不同的实根． 令g (x )＝e －x (x 2－x ＋1)，则g ′(x )＝(2x －1)e －x －(x 2－x ＋1)e －x ＝－(x 2－3x ＋－(x －1)(x －2)e －x由g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝2.所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在(－∞，1)上为减函数；当x ∈(1,2)时，g ′(x )＞0，g (x )在(1,2)上为增函数；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )＜0，g (x )在(2，＋∞)上为减函数；所以，当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝1e ，当x ＝2时函数取得极大值g (2)＝3e 2. 函数y ＝k 与y ＝g (x )的图象的大致形状如上，由图象可知，当k ＝1e 和k ＝3e 2时，关于x 的方程f (x )＝k e x 恰有两个不同的实根． 2)e -x =。

【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习第三章导数及其应用导数的应用理（含2014试题）理数1. (2014陕西,10,5分)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x[答案] 1.A[解析] 1.根据题意,所求函数在(-5,5)上单调递减.对于A,y=x3-x,∴y'=x2-=(x2-25),∴∀x∈(-5,5),y'<0,∴y=x3-x在(-5,5)内为减函数,同理可研究B、C、D均不满足此条件,故选A.2.(2014辽宁,11,5分)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[-5,-3]B.C.[-6,-2]D.[-4,-3][答案] 2.C[解析] 2.由题意知∀x∈[-2,1]都有ax3-x2+4x+3≥0,即ax3≥x2-4x-3在x∈[-2,1]上恒成立.当x=0时,a∈R.当0<x≤1时,a≥=--+.令t=(t≥1),g(t)=-3t3-4t2+t,因为g'(t)=-9t2-8t+1<0(t≥1),所以g(t)在[1,+∞)上单调递减,g(t)max=g(1)=-6(t≥1),所以a≥-6.当-2≤x <0时,a≤--+,同理,g(t)在(-∞,-1]上递减,在上递增.因此g(t)min=g(-1)=-2,所以a≤-2.综上可知-6≤a≤-2,故选C.3.(2014课标全国卷Ⅱ,12,5分)设函数f(x)=sin.若存在f(x)的极值点x0满足+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是()A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞) [答案] 3.C[解析] 3.f '(x)=cos,∵f(x)的极值点为x0,∴f '(x0)=0,∴cos=0,∴x0=kπ+,k∈Z,∴x0=mk+,k∈Z,又∵+[f(x0)]2<m2,∴+<m2,k∈Z,即m2+3<m2,k∈Z,∵m≠0,∴<,k∈Z,又∵存在x0满足+[f(x0)]2<m2,即存在k∈Z满足上式,∴>,∴>,∴m2-3>,∴m2>4,∴m>2或m<-2,故选C.4.(2014课表全国Ⅰ，11，5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)[答案] 4.C[解析] 4.(1)当a=0时,显然f(x)有两个零点,不符合题意.(2)当a≠0时, f '(x)=3ax2-6x,令f '(x)=0,解得x1=0,x2=.当a>0时,>0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在(-∞,0)与上为增函数,在上为减函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f(0)<0,即1<0,不成立.当a<0时,<0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在和(0,+∞)上为减函数,在上为增函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f>0,即a·-3·+1>0,解得a>2或a<-2,又因为a<0,故a的取值范围为(-∞,-2).选C.5.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，7）已知函数的图像与轴恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）[答案] 5. C[解析] 5. , 当或时, 可得; 当时, , 所以函数的极小值为, 极大值为, 由题意可得, 解得.6. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，8) 下图可能是下列哪个函数的图象（）[答案] 6. C[解析] 6. 因为当时, 函数y=2x和函数y=－x2－1都为增函数, 可知函数y=2x－x2－1在上为增函数, 故可排除选项A; 因为函数y =为偶函数, 故可排除选项B; 因为, 只有一个实数根, 所以函数应只有一个极值点, 故可排除选项D, 故选C.7. (2014福州高中毕业班质量检测, 10) 已知函数为常数),当时取得极大值, 当时取极小值, 则的取值范围是( )A. B. C. D.[答案] 7.D[解析] 7.因为，又因为当时取得极大值, 当时取极小值,所以，即，作出不等式组表示的平面区域，如图中解方程组可得，由图知，点到直线的距离的平方是的最小值，即，是的最大值，故的取值范围是.8. (2014福州高中毕业班质量检测, 9) 若定义在上的函数满足,, 且当时, 其图象是四分之一圆(如图所示), 则函数在区间上的零点个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 2[答案] 8. B[解析] 8. 因为定义在上的函数满足, ,所以函数是偶函数，且关于对称，又因为函数的定义域是, 所以，令得，极小值由表中数据可知的单调减区间为，单调增区间为，当时，函数的极小值为，所以在时取得极大值，且函数在上是增函数，所以当时由3个交点；时只有一个交点，故函数在区间上的零点个数为4.9. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），10) 定义在区间[0,1]上的函数的图象如右图所示，以、、为顶点的的面积记为函数, 则函数的导函数的大致图象为( )[答案] 9. D[解析] 9.：如图，当时，的面积单调递增，；当时，单调递减，；当时，单调递增，；当时，单调递减，；且. 所以选D.10. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，10) 已知函数，，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.[答案] 10. D[解析] 10. 令，，所以，若，则，所以在上是减函数，在的最大值为，此时不存在，使得，即使得成立；若，则由，总存在使得成立.故实数的范围为.11. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，8) 若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.[答案] 11.C[解析] 11. 因为，令，所以，所以函数在，上单调递增；在上单调递减，要函数在上有最小值，所以，解得，故实数的取值范围是.12.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，7）设随机变量服从正态分布，若，则函数没有极值点的概率是（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8[答案] 12. C[解析] 12. ，由题意可得，解得，又因为且随机变量的正态曲线关于对称，所以13.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，7）已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（）A. B.C. D.[答案] 13. C[解析] 13. 令，当，；当，，所以函数在（0，+为增函数，所以. 所以欲使有零点，只需使.14. (2014广西桂林中学高三2月月考，12) 已知函数的定义为，且函数的图像关于直线对称，当时，，其中是的导函数，若，则的大小关系是（）(A) (B) (C) (D)[答案] 14.B[解析] 14. 由时，所以，则，所以当时，，则在上是减函数，因为函数的图象关于直线对称，则函数是偶函数，又因为，而，，所以，故.15.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 12) 对于函数与，若存在区间[m，n]（m< n），使得与在区间[m，n]上的值域相等，则称f(x) 与g(x) 为等值函数，若与为等值函数，则a的取值范围为( )(A) (B) (C) (D)[答案] 15. C[解析] 15. 由题意，因为与互为反函数，故其图像关于直线对称且在上为增函数，若满足题意中等值函数的要求，结合指、对数函数的图像知, 与在直线上有两个共同的交点，交点的横坐标分别为由对其两边取对数得所以又因为令，则易知在上为增，为减，故，所以，故，又，故.16.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，12) 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．[答案] 16.[解析] 16. 由，得：，即，令，则当时，，即在是减函数，，，，在是减函数，所以由得，，即，故选17. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 10) 已知函数，若对于任意的正数，函数都是其定义域上的增函数，则函数可能是（）A. B.C. D.[答案] 17. A[解析] 17. 对于A，，，，是其定义域上的增函数，即A正确；对B，，，函数在其定义域上单调递减，故B错误；对C，为开口向上的二次函数，故在其对称轴两侧单调性不同，故C错误；对D，，，，在其定义域上单调递减，故D错误.综上所述，A正确.18. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 9) 定义域为的连续函数，对任意都有，且其导函数满足，则当时，有（）A. B. C. D.[答案] 18. D[解析] 18. ，当时，，即时函数是增函数，又对任意都有，则函数的图象关于对称，，，，.19. (2014湖北黄冈高三期末考试) “” 是“函数在区间上单调递增” 的（）A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件[答案] 19. A[解析] 19.当时，，在上单调递增；令，，若函数在上单调递增，则或在上恒成立，即或在上恒成立，或.故“” 是函数在上单调递增的充要条件.20. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，16) 定义在上的函数满足：当时，＜, 则不等式+≥+的解集为________________.[答案] 20.[解析] 20. 设，则，所以是奇函数，又当时，,所以在单调递减，从而在上是减函数.由，可化为，即，从而，故解集为.21. (2014北京东城高三第二学期教学检测，11) 若函数有零点，则的取值范围为_______.[答案] 21.或[解析] 21. 由已知，所以不是零点。

提能专训(二十二) 导数的简单应用与定积分A 组一、选择题1．(2014·武汉名校联考)曲线y ＝2x －ln x 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝－x －1 B ．y ＝－x ＋3 C ．y ＝x ＋1 D ．y ＝x －1[答案] C[解析] ∵y ＝2x －ln x ，∴y ′＝2－1x，∴y ′|x ＝1＝1.∴在点(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1， 即y ＝x ＋1.2．(2014·福州质检)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52C.⎝⎛⎭⎪⎫2，103D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103[答案] C[解析] f ′(x )＝x 2－ax ＋1，由题意知，f ′(x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，又∵Δ＝a 2－4，对称轴x ＝a 2，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54－a 2，f ′(3)＝10－3a .∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，f ，12<a 2<3或⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0，f或⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，f解得2<a <52或52≤a <103，即2<a <103.3．(2014·陕西五校联考)定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝4，则不等式e xf (x )>e x＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(3，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞)[答案] A[解析]令F(x)＝e x f(x)－e x－3，则F′(x)＝e x f(x)＋e x f′(x)－e x＝e x(f(x)＋f′(x)－1)>0，∴函数F(x)＝e x f(x)－e x－3在R上单调递增．又F(0)＝0，∴F(x)＝e x f(x)－e x －3>0的解集为(0，＋∞)，即不等式e x f(x)>e x＋3(其中e x为自然对数的底数)的解集为(0，＋∞)．4．(2014·安徽望江中学一模)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )[答案] C[解析]由函数y＝xf′(x)的图象可知，当x<－1时，xf′(x)<0，∴f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，－1)上是增函数，同理可得f(x)在(－1,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故选C.5．(2014·山西高考信息优化卷)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－3x 3＋2x －1 D ．f (x )＝x e x[答案] D[解析] 先考虑选项D ，由f (x )＝x e x，得f ′(x )＝e x＋x e x，f ″(x )＝e x＋e x＋x e x＝(x＋2)e x .当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，有f ″(x )>0，所以f (x )＝x e x不是凸函数．6．(2014·河南六市联考)已知定义在(0，＋∞)上的单调函数f (x )，对∀x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－log 3x ]＝4，则函数g (x )＝f (x －1)－f ′(x －1)－3的零点所在区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [答案] B[解析] 由题意，得f (x )－log 3x ＝c (c 为常数)，则f (x )＝log 3x ＋c ，故f [f (x )－log 3x ]＝f (c )＝log 3c ＋c ＝4.∴c ＝3，∴f (x )＝log 3x ＋3，则函数g (x )＝f (x －1)－f ′(x －1)－3＝log 3(x －1)－1x －1log 3e 在(1，＋∞)上为增函数，又g (2)＝－log 3e<0，g (3)＝log 32－12log 3e>0，故函数g (x )＝f (x －1)－f ′(x －1)－3的零点所在的区间是(2,3)，故选B.7．(2014·东北三省四市二联)已知函数f (x )＝x 2的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))处的切线互相垂直并交于点P ，则点P 的坐标可能是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3B ．(0，－4)C ．(2,3) D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－14 [答案] D[解析] 由题意知，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，f ′(x )＝2x ，则A ，B 两点上的切线斜率分别为k 1＝2x 1，k 2＝2x 2，又切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即x 1x 2＝－14.两条切线方程分别为l 1：y ＝2x 1x －x 21，l 2：y ＝2x 2x －x 22，联立得(x 1－x 2)[2x －(x 1＋x 2)]＝0，∵x 1≠x 2，∴x ＝x 1＋x 22，代入l 1，解得y ＝x 1x 2＝－14，故选D.8．(2014·云南统检)函数f (x )＝x ＋－2x2x的图象在点(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A.23B.43C.12D.16[答案] C[解析] 因为f ′(x )＝2x2x ＋3－x ＋x 2－2，所以f ′(－1)＝－4，所以函数图象在点(－1,2)处的切线方程为y ＝－4x －2，则切线与坐标轴的交点为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，所以切线与坐标轴围成三角形的面积为12×2×12＝12，故选C.9．(2014·呼和浩特教研)已知x 1，x 2是函数f (x )＝exx－3的两个零点，若a <x 1<x 2，则f (a )的值满足( )A ．f (a )＝0B ．f (a )>0C ．f (a )<0D ．f (a )的符号不确定[答案] D[解析] 因为f ′(x )＝x －xx 2(x ≠0)，所以由f ′(x )＝0，解得x ＝1，且当x <0和0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )在x ＝1时取得极小值e －3，且x <0时，恒有f (x )<0，所以两个零点0<x 1<1<x 2，当0<a <x 1时，f (a )>0，当a <0时，f (a )<0，所以f (a )的符号不确定，故选D.10．(2014·银川第六次月考)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a >0且a ≠1)，fg＋f －g －＝52.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n gn 的前n 项和大于62，则n 的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9[答案] A[解析] ∵f (x )＝a xg (x )(a >0，且a ≠1)， ∴f xg x＝a x.又∵f ′(x )·g (x )>f (x )g ′(x )， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫f x g x ′＝fx g x －f x gx g 2x>0，∴f xg x ＝a x是增函数，∴a >1.∵f g＋f －g －＝52，∴a ＋a －1＝52，解得a ＝2或a ＝12(舍)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ng n 为{2n }．∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n 的前n 项和大于62，∴2＋22＋23＋ (2)＝－2n1－2＝2n ＋1－2>62，即2n ＋1>64＝26，∴n >5，∴n 的最小值为6，故选A. 二、填空题11．(2014·安阳调研)已知函数f (x )＝2x 2－xf ′(2)，则函数f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程是________．[答案] 4x －y －8＝0[解析] ∵f (x )＝2x 2－xf ′(2)， ∴f ′(x )＝4x －f ′(2)． ∴f ′(2)＝4×2－f ′(2)， ∴f ′(2)＝4，∴f (2)＝0. 故在点(2，f (2))处的切线方程为y －0＝4(x －2)，即4x －y －8＝0.12．(2014·广西四市第二次联考)已知f (x )＝x 2＋a ln x 的图象上任意不同两点连线的斜率大于2，那么实数a 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞[解析] 由题意知函数f (x )＝x 2＋a ln x 在某点处的切线的斜率不小于2，于是得f ′(x )＝2x ＋a x≥2.∵x >0，∴a ≥2x －2x 2.令h (x )＝2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，∴当x ＝12时，h (x )有最大值12，∴a ≥12.13．(2014·云南统检)已知f (x )＝ax －cos 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π6.若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π6，∀x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π6，x 1≠x 2，f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围为________．[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32 [解析] 由题意可得f (x )＝ax －cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π6上单调递减，所以f ′(x )＝a ＋2cosx sin x ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π6上恒成立，所以a ≤(－sin 2x )min ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝－32，即实数a的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32. 14．(2014·成都三诊)设定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，f ′(x )>13，其中f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式f (x 3)<13x 3＋23的解集为________．[答案] (－∞，1)[解析] 令t ＝x 3，g (t )＝f (t )－13t ，则g ′(t )＝f ′(t )－13>0，故g (t )是增函数，又g (1)＝23，故原不等式即为g (t )<g (1)，故t <1，x 3<1，x <1.15．(2014·沈阳质检)已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )的导函数为f ′(x )，且f ′(0)＝4，则a 2＋2b 2的最小值为________．[答案] 8 2[解析] f ′(x )＝(x －a )(x －b )＋x [(x －a )(x －b )]′，f ′(0)＝ab ＝4，a 2＋2b 2≥22ab ＝8 2.当且仅当a ＝2b 时等号成立．16．(2014·南昌一模)已知点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上的一个动点，则点P 到直线l ：y ＝x －2的距离的最小值为________．[答案]2[解析] 通解：设P (x ，y )，则点P 到直线l 的距离为 |x －x 2－ln x －2|12＋12＝|x ＋ln x －x 2－2|2. 令h (x )＝x ＋ln x －x 2－2，则h ′(x )＝1＋1x －2x (x >0)．令1＋1x－2x ＝0，解得x ＝1，即当0<x <1时，h ′(x )>0，此时h (x )为增函数；当x >1时，h ′(x )<0，此时h (x )为减函数．所以当x ＝1时，h (x )取最大值，h (x )max ＝1＋ln 1－12－2＝－2，所以|x ＋ln x －x 2－2|min ＝2，所以点P 到直线l 的距离的最小值为22＝ 2.优解：y ′＝2x －1x(x >0)，因为将直线l 平移到与曲线第一次相切时，点P 到直线l 的距离最小，即为切点到直线l 的距离，而直线l ：y ＝x －2的斜率为1，所以令2x －1x＝1，解得x ＝1(x ＝－12舍去)，所以切点坐标为(1,1)，它到直线y ＝x －2的距离为|1－1－2|12＋12＝2，即点P 到直线l 的距离的最小值为 2.B 组一、选择题1．(2014·重庆七校联盟联考)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －，x >0，e x ＋∫211t d t ，x ≤0，则f (2 016)等于( ) A ．0 B ．ln 2 C ．1＋e 2D ．1＋ln 2[答案] D[解析] f (2 016)＝f (0)＝e 0＋(ln 2－ln 1)＝1＋ln 2，故选D.2．(2014·巴彦淖尔一中考试)若∫a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] A[解析] ∫a 1⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝x 2＋ln x a 1＝a 2＋ln a －1－0＝3＋ln 2.∴a ＝2. 3．(2014·天津七校联考)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率是( )A ．2B ．1C ．3D ．－2 [答案] A[解析] 在f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8两边求导得，f ′(x )＝2f ′(2－x )×(－1)－2x ＋8.令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)×(－1)－2＋8⇒f ′(1)＝2.4．(2014·海口调研)记曲线y ＝1－x －2与x 轴所围的区域为D ，若曲线y ＝ax (x－2)(a <0)把D 的面积均分为两等份，则a 的值为( )A ．－38B ．－3π16C ．－3π8D ．－π16[答案] B[解析] 易知D 表示半圆面，其面积为π2，所以∫20ax (x －2)d x ＝a ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫x 33－x 220＝12×π2，解得a ＝－3π16，故选B.5．(2014·陕西质检)已知顶点为P 的抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴交于A ，B 两点，现向该抛物线与x 轴围成的封闭区域内随机抛掷一粒小颗粒，则该颗粒落在△APB 中的概率为( )A.35B.34C.23D.12[答案] B[解析] 已知P 为抛物线y ＝－x 2＋2x 的顶点，则P (1,1)，不妨设A (0,0)，B (2,0)，则△PAB 的面积为1，抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴围成的面积S ＝∫20(－x 2＋2x )d x ＝－233＋22＝43，则所求概率为34. 6．(2014·沈阳质检)已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f x x >0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 由题意，可得xfx ＋f x x ＝xf xx>0，令xf (x )＝g (x )，则x >0时，g (x )单调递增；x <0时，g (x )单调递减，且g (0)＝0，所以函数g (x )的图象与y ＝－1x的图象只有1个交点，故F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是1，故选B.7．(2014·保定调研)已知函数f (x )对定义域R 内的任意x 都有f (x )＝f (4－x )，且当x ≠2时，其导数f ′(x )满足xf ′(x )>2f ′(x )，若2<a <4，则( )A ．f (2a)<f (3)<f (log 2a ) B ．f (3)<f (log 2a )<f (2a) C ．f (log 2a )<f (3)<f (2a ) D ．f (log 2a )<f (2a)<f (3) [答案] C[解析] 由f (x )＝f (4－x )知函数f (x )的图象关于x ＝2对称，由x ·f ′(x )>2f ′(x )得(x －2)·f ′(x )>0，即当x >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．∵2<a <4，∴2a>4>3，1<log 2a <2，∴f (2a)>f (3)>f (log 2a )．故选C.8．(2014·昆明调研)已知函数f (x )＝ln x ＋1ln x ，则下列结论中正确的是( )A ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是增函数B ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是减函数C ．∀x >0，且x ≠1，f (x )≥2D ．∃x 0>0，f (x )在(x 0，＋∞)内是增函数 [答案] D[解析] 由已知，得f ′(x )＝1x ·ln 2x －1ln 2x (x >0且x ≠1)，令f ′(x )＝0，得ln x ＝±1，得x ＝e 或x ＝1e .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，x ∈(1，e)时，f ′(x )<0；当x∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.故x ＝1e和x ＝e 分别是函数f (x )的极大值点和极小值点，但是由函数的定义域可知x ≠1，故函数f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 内不是单调的，所以A ，B 错；当0<x <1时，ln x <0，此时f (x )<0，C 错；只要x 0≥e，则f (x )在(x 0，＋∞)内是增函数，D 正确．9．(2014·淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.∫20|x 2－1|d x B.||∫20x 2－xC.∫20(x 2－1)d xD.∫10(x 2－1)d x ＋∫21(1－x 2)d x[答案] A[解析] 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即∫20|x 2－1|d x ，故选A.10．(2014·衡水中学二调)在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k >0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为( )A.13B.23C.12D.34[答案] A[解析] ∵M 的面积为∫10(x －x 2)d x＝⎝⎛⎪⎪⎪ ⎭⎪⎫12x 2－13x 310＝16， A 的面积为∫1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫12x 2－13x 3－k 2x 21－k 0＝16(1－k )3， ∴16－k 316＝827，∴k ＝13，故选A. 二、填空题11．(2014·吉林三模)∫a0b aa 2－x 2d x ＝________. [答案]ab π4[解析] ∫ab a a 2－x 2d x ＝b a∫a 0a 2－x 2d x ， 其中∫aa 2－x 2d x 表示以a 为半径的14圆的面积，所以b a ∫a 0a 2－x 2d x ＝b a ×πa 24＝ab π4. 12．(2014·洛阳统考)用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的较小的数，设f (x )＝min{x 2，x }，那么由函数y ＝f (x )的图象、x 轴、直线x ＝12和直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为________．[答案]11924[解析] 如图所示，所求图形的面积为阴影部分的面积，即所求的面积S ＝⎠⎜⎛121x 2d x ＋∫41x d x ＝11924.13．(2014·安阳调研)已知函数f (x )＝22x ＋1＋sin x ，其导函数记为f ′(x )，则f (2 013)＋f ′(2 013)＋f (－2 013)－f ′(－2 013)＝________.[答案] 2[解析] ∵f (x )＋f (－x )＝22x ＋1＋sin x ＋22－x ＋1＋sin(－x )＝22x ＋1＋2·2x1＋2x ＝2，f ′(x )＝－2·2xln 2x ＋2＋cos x ，∴f ′(x )－f ′(－x )＝－2·2x ln 2x ＋2＋cos x －－2·2－x ln 2－x ＋2－cos(－x )＝－2·2xln 2x ＋2－－2·2xln 2x ＋2＝0.∴f (2 013)＋f ′(2 013)＋f (－2 013)－f ′(－2 013)＝f (2 013)＋f (－2 013)＋f ′(2 013)－f ′(－2 013)＝2＋0＝2.14．(2014·咸阳一模)∫e 11xd x ＋∫2－24－x 2d x ＝________.[答案] 2π＋1[解析] ∫e 11xd x ＝ln x |e1＝1－0＝1，因∫2－24－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4的x 轴上方的面积， 故∫2－24－x 2d x ＝12π×22＝2π，故答案为2π＋1.15．(2014·贵州适应性考试)曲线f (x )＝fe e x－f (0)x ＋12x 2在点(1，f (1))处的切线方程为________．[答案] y ＝e x －12[解析] 依题意，得f ′(x )＝fee x－f (0)＋x ，f ′(1)＝fe ×e－f (0)＋1，f (0)＝1，f (0)＝fe－f (0)×0＋12×02，即f ′(1)＝e ，f (1)＝f e·e－f (0)＋12＝e －12，因此所求的切线方程是y －⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12＝e(x －1)，即y ＝e x －12. 16．(2014·武汉武昌区调研)过函数y ＝x 12(0<x <1)图象上一点M 作切线l 与y 轴和直线y ＝1分别交于点P ，Q ，点N (0,1)，则△PQN 面积的最大值为________．[答案]827[解析] 设切点为M (t 2，t )，0<t <1，因为y ′＝12x ，所以切线斜率为k ＝12t ，切线方程为y －t ＝12t (x －t 2)，即y ＝12t x ＋t 2，分别令x ＝0，y ＝1，得P ⎝⎛⎭⎪⎫0，t 2，Q (2t －t 2,1)，所以△PQN 的面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2(2t －t 2)＝14t 3－t 2＋t ，S ′＝34t 2－2t ＋1＝14(t －2)(3t －2)，注意到0<t <1，所以当t ＝23时，△PQN 的面积取到最大值14×⎝ ⎛⎭⎪⎫233－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23＝827.。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题解析导数的简单应用微专题1导数的几何意义及其应用导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P 处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．『典型题训练』1．若过函数f(x)＝ln x－2x图象上一点的切线与直线y＝2x＋1平行，则该切线方程为()A．2x－y－1＝0B．2x－y－2ln2＋1＝0C．2x－y－2ln2－1＝0D．2x＋y－2ln2－1＝02．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l过定点()A．(0，2) B．(1，0)C．(1，a＋1) D．(e，1))，则曲线y＝f(x)在x＝0 3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝cos x－xf′(π2处的切线方程是()A．2x－y－1＝0 B．2x＋y＋1＝0C．x－2y＋2＝0 D．x＋2y＋1＝04．已知函数f(x)＝a e x＋x2的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝(2e+2)x＋b，那么ab＝()A．2 B．1 C．－1 D．－25．[2021·重庆三模]已知曲线C1：f(x)＝e x＋a和曲线C2：g(x)＝ln (x＋b)＋a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的取值范围是()，+∞)B．[0，＋∞)A．[−94]C．(−∞，1]D．(−∞，94在点(－1，－3)处的切线方程为________________．6．[2021·全国甲卷(理)]曲线y＝2x−1x+2微专题2利用导数研究函数的单调性『常考常用结论』导数与单调性的关系1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0；2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．『提分题组训练』1．[2021·山东烟台模拟]已知a＝ln12 020+2 0192 020，b＝ln12 021+2 0202 021，c＝ln12 022+2 0212 022，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b2．函数f(x)＝x2－a ln x在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(0，2] B．(2，＋∞)C．(－∞，2] D．(－∞，2)3．已知函数f(x)＝23x3－ax2＋4x在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是()A．(2√2，＋∞) B．[2√2，＋∞)C．(－∞，－2√2) D．(－∞，－2√2]4．若函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈(－π，0)，f′(x)sin x<f(x)cos x恒成立，则()A．√2f(−5π6)>f(−3π4)B．f(−5π6)>√2f(−3π4)C．√2f(−5π6)<f(−3π4)D．f(−5π6)<√2f(−3π4)5．定义在R上的函数f(x)满足f(x)>1－f′(x)，f(0)＝6，则不等式f(x)>1＋5e x(e为自然对数的底数)的解集为()A．(0，＋∞) B．(5，＋∞)C．(－∞，0)∪(5，+∞) D.(−∞，0)6．[2021·山东济南一模]设a＝2022ln2020，b＝2021ln2021，c＝2020ln2022，则() A．a>c>b B．c>b>aC．b>a>c D．a>b>c微专题3利用导数研究函数的极值、最值『常考常用结论』导数与极值、最值(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最大者”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最小者”．『提分题组训练』1．已知函数f(x)＝12sin2x＋sin x，则f(x)的最小值是()A．－3√32B．3√32C．－3√34D．3√342．[2021·全国乙卷(理)]设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则()A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜a 2D ．ab ＞a 23．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则点(a ，b )为() A ．(3，－3) B ．(－4，11) C ．(3，－3)或(－4，11) D ．(4，11)4．若函数f (x )＝x 3－3x 在区间(2a ，3－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是() A ．(－3，1) B ．(－2，1) C ．(−3，−12) D ．(－2，－1]5．若函数f (x )＝12e 2x －m e x －m2x 2有两个极值点，则实数m 的取值范围是() A ．(12，+∞) B ．(1，＋∞) C ．(e 2，+∞) D ．(e ，＋∞) 6．[2021·山东模拟]若函数f (x )＝{2x−2−2m ，x <12x 3−6x 2，x ≥1有最小值，则m 的一个正整数取值可以为________．参考答案导数的简单应用微专题1导数的几何意义及其应用典型题训练1．解析：由题意，求导函数可得y ′＝1x －2， ∵切线与直线y ＝2x ＋1平行， ∴1x －2＝2， ∴x ＝14，∴切点P 坐标为(14，−2ln 2−12)，∴过点P 且与直线y ＝2x ＋1平行的切线方程为y ＋2ln2＋12＝2(x −14)，即2x －y －2ln2－1＝0.故选C.答案：C2．解析：由f (x )＝ax －ln x ＋1⇒f ′(x )＝a －1x ，f ′(1)＝a －1，f (1)＝a ＋1，故过(1，f (1))处的切线方程为：y ＝(a －1)(x －1)＋a ＋1＝(a －1)x ＋2，故l 过定点(0，2)．故选A.答案：A3．解析：∵f (x )＝cos x －xf ′(π2)， ∴f ′(x )＝－sin x －f ′(π2)，∴f ′(π2)＝－sin π2－f ′(π2)＝－1－f ′(π2)， 解得：f ′(π2)＝－12，∴f (x )＝cos x ＋12x ，f ′(x )＝－sin x ＋12，∴f (0)＝1，f ′(0)＝12，∴y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －1＝12x ，即x －2y ＋2＝0.故选C.4．解析：因为f (x )＝a e x ＋x 2，所以f ′(x )＝a e x ＋2x ，因此切线方程的斜率k ＝f ′(1)＝a e ＋2，所以有a e ＋2＝2e ＋2，得a ＝2，又切点在切线上，可得切点坐标为(1，2e ＋2＋b )， 将切点代入f (x )中，有f (1)＝2e ＋1＝2e ＋2＋b ，得b ＝－1， 所以ab ＝－2.故选D. 答案：D5．解析：f ′(x )＝e x ，g ′(x )＝1x+b ，设斜率为1的切线在C 1，C 2上的切点横坐标分别为x 1，x 2，由题知e x 1＝1x2+b＝1，∴x 1＝0，x 2＝1－b ，两点处的切线方程分别为y －(1＋a )＝x 和y －a 2＝x －(1－b )， 故a ＋1＝a 2－1＋b ，即b ＝2＋a －a 2＝－(a −12)2＋94≤94.故选D. 答案：D6．解析：y ′＝(2x−1x+2)′＝2(x+2)−(2x−1)(x+2)2＝5(x+2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(−1+2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即y ＝5x ＋2.答案：y ＝5x ＋2微专题2利用导数研究函数的单调性提分题组训练1．解析：构造函数f (x )＝ln x ＋1－x ，f ′(x )＝1x－1＝1−x x，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (12 020)>f (12 021)>f (12 022)，a >b >c .故选A.2．解析：由题意得，f ′(x )＝2x －ax ≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤2x 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 因为2x 2在x ∈[1，＋∞)的最小值为2， 所以m ≤2.故选C. 答案：C3．解析：f ′(x )＝2x 2－2ax ＋4，由题意得∃x ∈(－2，－1)，使得不等式f ′(x )＝2(x 2－ax ＋2)<0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a <(x +2x )max ，令g (x )＝x ＋2x ，x ∈(－2，－1)， 则g ′(x )＝1－2x 2＝x 2−2x 2，令g ′(x )>0，解得－2<x <－√2， 令g ′(x )<0，解得－√2<x <－1，故g (x )在(－2，－√2)上单调递增，在(－√2，－1)上单调递减， 故g (x )max ＝g (－√2)＝－2√2，故满足条件的a 的范围是(－∞，－2√2)， 故选C. 答案：C4．解析：因为任意x ∈(－π，0)，f ′(x )sin x <f (x )cos x 恒成立， 即任意x ∈(－π，0)，f ′(x )sin x －f (x )cos x <0恒成立， 又x ∈(－π，0)时，sin x <0，所以[f (x )sin x ]′＝f ′(x )sin x−f (x )cos x(sin x )2<0，所以f (x )sin x 在(－π，0)上单调递减， 因为－5π6<－3π4，所以f(−5π6)sin(−5π6)>f(−3π4)sin(−3π4)，即f(−5π6)−12>f(−3π4)−√22，所以√2f (−5π6)<f (−3π4)，故选C.答案：C5．解析：设g (x )＝e x f (x )－e x ，因为f (x )>1－f ′(x )，所以g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]>0，所以g (x )是R 上的增函数， 又g (0)＝e 0f (0)－e 0＝5，所以不等式f (x )>1＋5e x 可化为e xf (x )－e x >5，即g (x )>g (0)，所以x >0.故选A.答案：A6．解析：令f (x )＝ln xx+1且x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＝1+1x−ln x (x+1)2，若g (x )＝1＋1x －ln x ，则在x ∈(0，＋∞)上g ′(x )＝－1x 2−1x <0，即g (x )单调递减， 又g (e)＝1e >0，g (e 2)＝1e 2－1<0，即∃x 0∈(1e ，e 2)使g (x 0)＝0， ∴在(x 0，＋∞)上g (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )单调递减； ∴f (2021)<f (2020)，有ln 20212 022<ln 20202 021，即a >b ，令m (x )＝ln xx−1且x ∈(0，1)∪(1，+∞)，则m ′(x )＝1−1x−ln x (x−1)2，若n (x )＝1－1x －ln x ，则n ′(x )＝1x (1x －1)，即在x ∈(0，1)上n (x )单调递增，在x ∈(1，＋∞)上n (x )单调递减，∴n (x )<n (1)＝0，即m ′(x )<0，m (x )在x ∈(1，＋∞)上递减， ∴m (2022)<m (2021)，有ln 20222 021<ln 20212 020，即b >c ，故选D.答案：D微专题3利用导数研究函数的极值、最值提分题组训练1．解析：由题得f ′(x )＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cos x ＋1)， 所以当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－1≤cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )取得最小值时，cos x ＝12，此时sin x ＝±√32， 当sin x ＝－√32时，f (x )＝sin x cos x ＋sin x ＝－3√34； 当sin x ＝√32时，f (x )＝sin x cos x ＋sin x ＝3√34； 所以f (x )的最小值是－3√34.故选C.答案：C 2．解析：当a >0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图1所示，观察可知b >a .当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .综上，可知必有ab >a 2成立．故选D.答案：D3．解析：由f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2，求导f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，由函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则{f(1)=10f′(1)=0，即{1−a−b+a2=103−2a−b=0，解得{a=−4b=11或{a=3b=−3，当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，此时f(x)在定义域R上为增函数，无极值，舍去．当a＝－4，b＝11，f′(x)＝3x2＋8x－11，x＝1为极小值点，符合题意，故选B.答案：B4．解析：因为函数f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3，当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得最大值，又f(－1)＝f(2)＝2，且f(x)在区间(2a，3－a2)上有最大值，所以2a<－1<3－a2≤2，解得－2<a≤－1，所以实数a的取值范围是(－2，－1]故选D.答案：D5．解析：依题意，f′(x)＝e2x－m e x－mx有两个变号零点，令f′(x)＝0，即e2x－m e x－mx＝0，则e2x＝m(e x+x)，显然m≠0，则1m ＝e x+xe2x，设g(x)＝e x+xe2x，则g′(x)＝(e x+1)·e2x−(e x+x)·2e2xe4x ＝1−e x−2xe2x，设h(x)＝1－e x－2x，则h′(x)＝－e x－2<0，∴h(x)在R上单调递减，又h(0)＝0，∴当x∈(－∞，0)时，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(0，＋∞)时，h(x)<0，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)max＝g(0)＝1，且x→－∞时，g(x)→－∞，x→＋∞时，g(x)→0，<1，解得m>1.∴0<1m故选B.答案：B6．解析：y＝2x－2－2m在(－∞，1)上单调递增，∴y＝2x－2－2m>－2m；当x≥1时，y＝2x3－6x2，此时，y′＝6x2－12x＝6x(x－2)．∴y＝2x3－6x2在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴y＝2x3－6x2在[1，＋∞)上的最小值为－8，函数f(x)有最小值，则－2m≥－8，即m≤4，故m的一个正整数取值可以为4.答案：4。