下载文档原格式
一元一次方程的应用专项练习（一）——等积变形问题、行程问题注意：1、列方程解应用题的步骤：（1）审：分析题中已知什么，求什么，明确它们之间的关系，分析问题的过程中能借助图形的就借助图形，不能借助图形的要一边审题，一边提炼信息，一边大胆猜测；（2）设：在审题的过程中，利用生活中的常识和一些常见的公式，大胆假设未知数，并不是问什么就设什么，更多的时候是在分析问题的过程中遇到哪个量“碍手”就设哪个；（3）找：根据“审”和“设”过程中提炼出的信息或图形，找到等量关系；（4）列：根据找到的等量关系，列出需要的代数式，并列出方程；（5）解：解出所列方程；（6）验：口算检验所求的解是否满足方程，是否满足实际情况；（7）答：写出答案，包括单位。
2、等积变形问题中常见的等量关系有：（1）变形前后的体积相等；（2）变形前后的面积相等；（3）变形前后的周长相等。
3、行程问题中常见的等量关系有：基本量之间的关系：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度1、内径为120mm的圆柱形玻璃杯，和内径为300mm，高为32mm的圆柱形铁桶盛同样多的水，求玻璃杯内水的高度。
2、将一个长、宽、高分别为12cm、6cm、47cm的长方体铁块和一个棱长为6cm的立方体铁块熔成一个底面为正方形，且边长为15cm的长方体，求这个长方体的高。
3、一个长方形的周长为26cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm后就成为一个正方形，求这个长方形的长。
4、用60米的篱笆，围成一个长方形花园，若长比宽的2倍少3米，则长方形花园的面积是多少？5、甲、乙两辆货车从相距360km的两地同时出发，相向而行，2h后两车相遇。
已知甲车每小时比乙车快10km，求甲、乙两车速度。
6、甲、乙两地相距180km，一人骑自行车从甲地出发每小时走15km，另一人骑摩托车从乙地同时出发，两人相向而行，已知摩托车的速度是自行车的3倍，问多少小时后两车相遇？7、甲、乙两地相距180km，一人骑自行车从乙地出发每小时走15km，另一人骑摩托车从甲地同时出发，两人同向而行，已知摩托车的速度是自行车的3倍，问多少小时后摩托车追上自行车？8、甲、乙两人在长为400m的环形跑道上跑步，已知甲的速度为9m/s，乙的速度为7m/s。
3.2一元一次方程的应用第1课时等积变形和行程问题教学目标：1.通过学习列方程解决实际问题，进一步感知数学在生活中的作用；2.通过分析等积变形，追及问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题。
进一步发展分析问题，解决问题的能力；3.在合作与交流中学会肯定自己和倾听他人意见。
教学重点：找出等积变形，追及问题中的条件和要求的结论，并找出等量关系，列出方程，解决实际问题。
教学难点：找等量关系，，设未知数列方程.一、创设情境问题：例1：小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。
小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。
于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。
（1）爸爸追上小明用了多长时间？（2）追上小明时，距离学校还有多远？分析：当爸爸追上小明时，两人所行距离相等。
在解决这个问题时要抓住这个等量关系。
（引导学生画出线路图）80x5 80x180x相等关系：爸爸走的路程=小明走5分钟的路程 + 小明走x分钟的路程= 小明走的总路程爸爸所用的时间 = 小明所用总时间– 5分钟例2：圆柱体积公式：长方体体积公式：如图，已知圆柱(2)的体积是圆柱(1)的体积的3倍，求圆柱(1)的高(图中φ40表示直径为40毫米)二．合作探究（一）交流展示1.用直径为4cm的圆钢（截面为圆形的实心长条钢材）铸造3个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，则需要截取多长的圆钢？2.某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离。
3.甲、乙两人从相距为180千米的A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.已知甲的速度为15千米/时，乙的速度为45千米/时.经过多少时间两人相遇？4.甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？变题相遇后经过多少时间甲到达B地？在分析应用题中的数量关系时，常用列表分析法与线段图示法，使题目中的条件和结论变得直观明显，因而容易找到它们之间的相等关系.三、议一议：1．育红学校七年级学生步行到郊外旅行。
沪科版七上数学3.2 一元一次方程的应用第1课时等积变形和行程问题【知识与技能】1.通过一元一次方程解决实际问题，进一步体会方程这一数学模型的重要作用，增强数学的应用意识.2.掌握一元一次方程解应用题的一般步骤，能根据问题的意义，检验结果的合理性.【过程与方法】从学生熟悉的一元一次方程及一元一次方程的解法的基础上，引出利用一元一次方程解决实际问题.通过各种师生活动加深学生对“列一元一次方程解应用题的一般步骤”的理解；让学生在经历知识的获得过程中，体会数学模型思想.过程中还培养了学生的运算能力，提高了教学效率.【情感态度】经历将数学问题实际化的过程，感受数学在生活中的应用，进一步体会方程模型的重要性.【教学重点】重点是掌握列一元一次方程解决实际问题.【教学难点】难点是灵活运用一元一次方程解等积变形和行程问题.一、情境导入，初步认识【情境1】实物投影，并呈现问题：如图，用直径为200mm的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm，300mm和90mm的长方体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢（计算时π取3.14，结果精确到1mm）？【情境2】实物投影，并呈现问题：为了适应经济发展，铁路运输再次提速，如果客车行驶的平均速度增加40km/h，提速后由合肥到北京1 110km的路程只需行驶10h.那么，提速前，这趟客车平均每小时行驶多少千米?【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生正确列出方程，在列方程时，注意等量关系的确定及未知数的设法.在解决问题的过程中，让学生总结列方程解应用题的一般步骤，并能根据问题的意义，检验结果的合理性.情境1中设应截取的圆柱体钢长为x mm.根据题意，得3.14×22002⎛⎫⎪⎝⎭x=300×300×90，解这个方程得x≈258.检验：x≈258适合方程，且符合题意.答：应截取约258mm长的圆柱体钢.情境2中设提速前客车平均每小时行驶x km，那么提速后客车平均每小时行驶（x+40）km.客车行驶路程1 110km，平均速度是（x+40）km/h，所需时间是10h.根据题意，得：10（x+40）=1 110.解方程，得x=71.检验：x=71适合方程，且符合题意.答：提速前这趟客车的平均速度是71km/h.【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会到实际生活中的数学问题，并使学生体验数学知识与生活实际的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知列方程解应用题的方法步骤问题1列方程解应用题的方法步骤是什么？问题2寻找等量关系的方法有哪些？【教学说明】学生通过回顾列方程解应用题的过程，再经过观察、分析、类比后能得出结论.【归纳结论】列方程解应用题的方法步骤：（1）审：审题，弄清题意，明确各数量之间的关系；（2）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；（3）设：设未知数，通常题目问什么，就可以设什么为未知数；（4）列：根据这个相等关系列出所需的代数式，从而列出方程；（5）解：解所列出的方程，求出未知数的值；（6）答：检验是否符合题意，答题.列方程解应用题的关键是寻找题目中的等量关系，一般有下列三种方法：①从有关数量比较的关键词语中发现等量关系，如大、小、多、少、倍、分等；②借助基本数量关系，探讨数量之间的等量关系，如路程＝平均速度×时间；③注意变化中的不变量，寻找隐含的等量关系，如行程问题中，静水速度不变等.三、运用新知，深化理解1.甲、乙两站相距1200千米，一列慢车从甲站开出，每小时行80千米，一列快车从乙站开出，每小时行120千米，两车同时开出，出发后（）小时两车相距200千米.A.5B.7C.5或7D.62.一块长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5cm的圆柱，圆柱的高是多少？3.小亮与小莹在运动场上跑步，跑道一圈的长为400米，小亮与小莹的速度分别为5米/秒与4米/秒.（1）如果二人从跑道上某一位置同时相背起跑，那么经过多少秒二人第一次相遇？（2）如果二人从跑道上某一位置同时同向起跑，那么经过多少分钟小亮第一次追上小莹？【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对一元二次方程有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.【答案】1.C2.解：设圆柱的高是x cm，根据题意，得4×3×2=π×1.52x，解得x=323πcm.答：圆柱的高是323πcm.5.解:（1）设经过x秒二人第一次相遇.根据题意，得5x+4x=400，解这个方程，得x=400 9.所以经过4009秒二人第一次相遇.(2)设经过y秒小亮第一次追上小莹.根据题意，得5y-4y=400，解这个方程，得y=400. 40020 603=.所以经过203分钟小亮第一次追上小莹.四、师生互动，课堂小结1.列方程解应用题的一般步骤是什么？2.如何运用一元一次方程解决等积变形问题和行程问题？3.通过这节课的学习，你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.布置作业：从教材第94页“练习”和第97页“习题3.2”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课主要是列方程解决等积变形与行程问题，列方程解应用题的过程实际上就是将问题“数学化”的过程.也就是先将实际问题化为数学问题，即方程，也就是“数学模型”，然后解这个数学问题，即解方程，再将这个数学问题的解转化为实际问题的解.。
3.2一元一次方程的应用第1课时等积变形和行程问题【学习目标】1、理解等积变形前后不变的量，速度、时间、路程三个基本量之间的关系．会列一次方程解行程问题。
2、在解决行程问题的过程中，进一步掌握列一元一次方程解简单应用题的方法和步骤。
等积变形和行程问题：等积变形问题：“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积.行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间.（2）基本类型有①相遇问题；②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题.等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝ r2h②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc行程问题基本量之间的关系路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题快行距－慢行距＝原距（3）航行问题顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．【自主学习】1、还记得小学学过的行程问题中的路程 时间和速度三个量之间关系吗？注意：（1）“同时”、“同地”、“相向”、“同向”关键字的含义。
（2）行程问题一般从时间、路程找等量关系。
（3）注意单位的统一。
2、慢车每小时行驶48千米，x 小时可行驶 千米，快车每小时行驶72千米，如果快车先开5/12小时，那么在慢车开出x 小时后快车行驶 千米。
3、(1) 如图甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发相向而行，相遇时他们走的时间的关系是_________________ ______，走的路程关系是_______ __ __.4、(2)如果甲从A 、乙从B 同时出发同向而行，甲追乙，在C 点追击，那么他们走的路程关系是_ ____________，时间关系是______ ___________相遇乙走的乙甲B A甲走的路程C B 乙甲A4、用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？5、某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？【合作探究】问题1：小明与小兵的家分别在相距20千米的甲、乙两地，星期天小明从家出发骑自行车去小兵家，小明骑车的速度为每小时13千米．两人商定到时候小兵从家里出发骑自行车去接小明，小兵骑车速度是每小时12千米。
3.2 第1课时 等积变形与行程问题知识点 1 等积变形问题1．根据图中给出的信息，可得正确的方程是( )图3－2－1A ．π·(82)2x ＝π·(62)2·(x ＋5)B ．π·(82)2x ＝π·(62)2·(x －5)C ．π·82x ＝π·62·(x ＋5) D ．π·82x ＝π·62×52．教材例1变式在一个长20 cm ，宽10 cm ，高8 cm 的长方体水槽中装满水，然后全部倒入底面积为25 cm 2的圆柱体中，水柱的高度是______cm.3．在一个底面直径是10 cm ，高是18 cm 的圆柱形桶内装满水，再将桶内的水倒入一个底面直径是12 cm ，高是10 cm 的圆柱形玻璃杯内，能否完全装下？若装不下，则桶内水面还有多高？若没装满，求杯内水面的高度．知识点 2 行程问题——相遇4．快车从甲地到乙地要行10小时，慢车从乙地到甲地要行15小时，两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，________小时后两车相遇．5．甲、乙两车分别从距离360千米的两地同时相向开出，已知甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是40千米/时，若甲车先开出1小时，则乙车开出多长时间后两车相遇？知识点 3 行程问题——追及6．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则6 h相遇；若同向而行，则12 h 甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的( )A.32倍 B.23C．3倍 D.137．已知A，B两地相距48千米，甲骑自行车每小时走18千米，乙步行每小时走6千米，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，同向而行，开始时乙在前，经过多少小时甲追上乙？知识点 4 行程问题——环形跑道8．甲、乙两人在400 m的环形跑道上练习跑步，甲的速度是5 m/s，乙的速度是7 m/s.两人站在同一起点，同时同向出发，那么当乙第一次恰好追上甲时，甲跑了________m.知识点 5 行程问题——顺(逆)风(水)9．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3 h，若静水时船速为26 km/h，水速为2 km/h，则A港和B港相距________km.10．如图3－2－2所示，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，容器内部底面积分别为80 cm2，100 cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm，则甲容器的容积为( )图3－2－2A．1280 cm3 B．2560 cm3C．3200 cm3 D．4000 cm311．甲、乙两人从相距140千米的两地同时相向而行，甲骑车的速度为80 km/h，乙骑车的速度为60 km/h，________ h后两人相距70 km.12．家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：(1)他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米；(2)他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米；(3)抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米；(4)下山用1个小时．根据上面的信息，他做出如下计划：①在山顶游览1个小时；②中午12：00回到家吃中餐．若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？13．一队学生从学校出发去部队军训，行进速度是5千米/时，走了4.5千米时，一名通信员按原路返回学校报信，然后他随即追赶队伍，通信员的速度是14千米/时，他在距部队6千米处追上队伍，则学校到部队的距离是多少(报信时间忽略不计)?14．如图3－2－3，已知箭头的方向是水流的方向，一艘游艇从江心岛的右侧A 点逆流航行3小时到达B 点后，又继续顺流航行2小时15分钟到达C 点，总共行驶了198 km ，已知游艇的速度是38 km/h.(1)求水流的速度；(2)由于AC 段在建桥，游艇用同样的速度沿原路返回共需要多少时间？图3－2－33．2 第1课时 等积变形与行程问题1．A ． 2．643．解： 水的体积为(102)2π×18＝450π(cm 3)．圆柱形玻璃杯的容积为(122)2π×10＝360π(cm 3)．∵450π>360π，即水的体积大于圆柱形玻璃杯的容积，故不能完全装下．设桶内水面还有x cm 高，由题意，得(102)2π×18－(122)2π×10＝(102)2πx ，解得x ＝3.6.故桶内水面还有3.6 cm 高． 4．65．解：设乙车开出x 小时后两车相遇，由题意，得 60(x ＋1)＋40x ＝360， 解得x ＝3.答：乙车开出3小时后两车相遇． 6．C .7．解：设经过x 小时甲追上乙． 依题意得18x －6x ＝48， 解得x ＝4.答：经过4小时甲追上乙． 8．1000 ． 9．504 10．C ． 11．0.5或1.512 解： 设上山的速度为v ，下山的速度为(v ＋1)，则2v ＋1＝v ＋1＋2， 解得v ＝2，即上山速度是2千米/时，则下山的速度是3千米/时，山高为5千米． 则计划上山的时间为5÷2＝2.5(时)， 计划下山的时间为1小时，则共用时间为2.5＋1＋1＝4.5(时)， 12－4.5＝7.5， 所以出发时间为7：30.答：孔明同学应该在7：30从家出发．13．解：设通信员从开始返回学校到追上队伍的时间为t 小时，由题意可得14t －4.5＝4.5＋5t ，解得t ＝1，所以学校到部队的距离是4.5＋5×1＋6＝15.5(千米)．14．解： (1)设水流速度为x km /h ，则游艇的顺流航行速度为(x ＋38)km /h ，游艇的逆流航行速度为(38－x)km /h .根据题意可得3(38－x)＋94(38＋x)＝198.解得x ＝2.∴水流的速度为2 km /h .(2)由(1)可知，顺流航行的速度为40 km /h ，逆流航行的速度为36 km /h . ∴AB 段的路程为3×36＝108(km )，BC 段的路程为94×40＝90(km )．故原路返回时间为9036＋10840＝2.5＋2.7＝5.2(h )．答：游艇用同样的速度沿原路返回共需要5小时12分钟．。
