证明线段比例式或等积式的方法

相似热门题型解题技巧整理类型1 证比例式或等积式的技巧方法指导：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．题型1 构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为A 中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：AE ·CF ＝BF ·EC .1．证明：如图，过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M . ∵CM ∥AB ，∴△CMF ∽△BDF . ∴BF CF ＝BD CM. 又∵CM ∥AD ，∴△ADE ∽△CME .∴AE EC ＝ADCM .∵D 为AB 的中点，∴BD CM ＝AD CM .∴BF CF ＝AE EC，即AE ·CF ＝BF ·EC . 2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB ·DF ＝BC ·EF .2．证明：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ， ∴△DGF ∽△ECF ，△ADG ∽△ABC . ∴EF DF ＝CE DG ，AB BC ＝AD DG. ∵AD ＝CE ，∴CE DG ＝AD DG .∴AB BC ＝EFDF，即AB ·DF ＝BC ·EF .点拨：过某一点作平行线，构造出“A ”型或“X ”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．题型2 三点找三角形相似法1．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F .求证：DC AE ＝CFAD .1．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴AE ∥DC ，∠A ＝∠C .∴∠CDF ＝∠E ， ∴△DAE ∽△FCD ，∴DC AE ＝CFAD.2．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E .求证：AM 2＝MD ·ME .2．证明：∵DM ⊥BC ，∠BAC ＝90°， ∴∠B ＋∠BEM ＝90°，∠D ＋∠DEA ＝90°. ∵∠BEM ＝∠DEA ，∴∠B ＝∠D . 又∵M 为BC 的中点，∠BAC ＝90°，∴BM ＝AM . ∴∠B ＝∠BAM .∴∠BAM ＝∠D .又∵∠AME ＝∠DMA .∴△AME ∽△DMA . ∴AM MD ＝MEAM.∴AM 2＝MD ·ME .题型3 构造相似三角形法1．如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N .求证：BP ·CP ＝BM ·CN .1．证明：如图，连接PM ，PN . ∵MN 是AP 的垂直平分线， ∴MA ＝MP ，NA ＝NP . ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝∠1＋∠3＝60°. ∴∠2＋∠4＝60°. ∴∠5＋∠6＝120°. 又∵∠6＋∠7＝180°－∠C ＝120°. ∴∠5＝∠7.∴△BPM ∽△CNP . ∴BP CN ＝BM CP，即BP ·CP ＝BM ·CN .题型4 等比过渡法1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE .求证：(1)△DEF ∽△BDE ； (2)DG ·DF ＝DB ·EF .1．证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .∵DE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BDE ＝180°，∠ACB ＋∠CED ＝180°，∴∠CED ＝∠BDE .又∵∠EDF ＝∠ABE ，∴△DEF ∽△BDE .(2)由△DEF ∽△BDE 得DE BD ＝EFDE，∴DE 2＝DB ·EF .又由△DEF ∽△BDE ，得∠BED ＝∠DFE .∵∠GDE ＝∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF .∴DG DE ＝DEDF，∴DE 2＝DG ·DF ，∴DG ·DF ＝DB ·EF .2．如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP 于点G ，交CE 于点D .求证：CE 2＝DE ·PE .2．证明：∵BG ⊥AP ，PE ⊥AB ， ∴∠AEP ＝∠BED ＝∠AGB ＝90°. ∴∠P ＋∠PAB ＝90°，∠PAB ＋∠ABG ＝90°. ∴∠P ＝∠ABG .∴△AEP ∽△DEB . ∴AE DE ＝PEBE，即AE ·BE ＝PE ·DE . 又∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°. 又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＋∠CBE ＝90°. ∴∠ACE ＝∠CBE .∴△AEC ∽△CEB . ∴AE CE ＝CEBE，即CE 2＝AE ·BE .∴CE 2＝DE ·PE . 题型5 两次相似法1．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F .求证：BF BE ＝ABBC .1．证明：易得∠BAC ＝∠BDF ＝90°. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠DBF ， ∴△BDF ∽△BAE ，得BD AB ＝BFBE.∵∠BAC ＝∠BDA ＝90°，∠ABC ＝∠DBA . ∴△ABC ∽△DBA ，得AB BC ＝BD AB ，∴BF BE ＝AB BC.2．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N .求证：(1)△AMB ∽△AND ； (2)AM AB ＝MN AC .2．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形．∴∠B ＝∠D . ∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°， ∴△AMB ∽△AND .(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN ＝ABAD ，∠BAM ＝∠DAN .又AD ＝BC ，∴AM AN ＝ABBC.∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠MAD ＝90°.∴∠B ＋∠BAM ＝∠MAN ＋∠NAD ＝90°， ∴∠B ＝∠MAN .∴△AMN ∽△BAC ，∴AM AB ＝MNAC. 题型6 等积代换法1．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .求证：AE AF ＝ACAB .1.证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AED ＝90°. 又∵∠BAD ＝∠DAE ，∴△ADE ∽△ABD ，得AD 2＝AE ·AB ，同理可得AD 2＝AF ·AC ，∴AE ·AB ＝AF ·AC ，∴AE AF ＝AC AB.题型7 等线段代换法1．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE ·PF .1．证明：连接PC ，如图．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BC ，∠ABC ＝∠ACB ，∴BP ＝CP ，∴∠1＝∠2，∴∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2，即∠3＝∠4.∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F ，∴∠4＝∠F .又∵∠CPF ＝∠CPE ，∴△CPF ∽△EPC ，∴CP PE ＝PFCP ，即CP 2＝PF ·PE .∵BP＝CP ，∴BP 2＝PE ·PF .2．已知：如图，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P .求证：PD 2＝PB ·PC .2．证明：如图，连接PA ，则PA ＝PD ，∴∠PDA ＝∠PAD . ∴∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAP .又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC .∴∠B ＝∠CAP . 又∵∠APC ＝∠BPA ，∴△PAC ∽△PBA ，∴PA PB ＝PCPA ，即PA 2＝PB ·PC ，∴PD 2＝PB ·PC .类型2 巧用“基本图形”探索相似条件方法指导：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．3．母子型型．4．旋转型．1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D .(1)求证：AE ·BC ＝BD ·AC ；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．1．(1)证明：∵ED ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∴AE AC ＝DEBC .∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC . ∵ED ∥BC ，∴∠DEB ＝∠EBC . ∴∠DBE ＝∠DEB .∴DE ＝BD .∴AE AC ＝BD BC， 即AE ·BC ＝BD ·AC .(2)解：设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高， h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高， h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高．∵S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，∴S △ADE S △BDE ＝h △ADE h △BDE ＝32.∴h △ADE h △ABC ＝35.∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝h △ADE h △ABC ＝35. ∵DE ＝6，∴BC ＝10.题型2 相交线型1．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DOCO ，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．2．解：相似．理由如下：因为EO BO ＝DO CO，∠BOE ＝∠COD ，∠DOE ＝∠COB ，所以△BOE ∽△COD ，△DOE ∽△COB .所以∠EBO ＝∠DCO ，∠DEO ＝∠CBO .因为∠ADE ＝∠DCO ＋∠DEO ，∠ABC ＝∠EBO ＋∠CBO .所以∠ADE ＝∠ABC .又因为∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC .1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F .求证：AB AC ＝DFAF .1．证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAC ＝∠ADB ＝90°.又∵∠CBA ＝∠ABD (公共角)，∴△ABC ∽△DBA .∴AB AC ＝DBDA ，∠BAD ＝∠C .∵AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，∴DE ＝EC . ∴∠BDF ＝∠CDE ＝∠C .∴∠BDF ＝∠BAD . 又∵∠F ＝∠F ， ∴△DBF ∽△ADF .∴DB AD ＝DF AF .∴AB AC ＝DF AF.点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：AE ·AB ＝AF ·AC .可由两组“射影图”得AE ·AB ＝AD 2，AF ·AC ＝AD 2，∴AE ·AB ＝AF ·AC .题型4 旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC . 求证：(1)△ADE ∽△ABC ； (2)AD AE ＝BD CE .4．证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC . 又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC . (2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝ABAC.∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC .∴AD AE ＝BDCE.类型3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系方法指导：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．题型1 证明两线段的数量关系 类型1：证明两线段的相等关系1．如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N .求证：BM ＝MC .1．证明：∵DE ∥BC .∴△NEO ∽△MBO .∴NE MB ＝ON OM. 同理可得DN MC ＝ON OM .∴DN MC ＝NE BM .∴DN NE ＝MCBM .∵DE ∥BC ，∴△ANE ∽△AMC .∴AN AM ＝NEMC .同理可得AN AM ＝DN BM ，∴DN BM ＝NE MC .∴DN NE ＝BMMC .∴MC BM ＝BM MC.∴MC 2＝BM 2.∴BM ＝MC .2．如图，一直线和△ABC 的边AB ，AC 分别交于点D ，E ，和BC 的延长线交于点F ，且AE CE ＝BF CF .求证：AD ＝DB .2．证明：如图，过C 作CG ∥AB 交DF 于G 点． ∵CG ∥AB ，∴AD CG ＝AE CE ，BD CG ＝BFCF，∵AE CE ＝BF CF ，∴AD CG ＝BD CG， ∴AD ＝BD .类型2：证明两线段的倍分关系1．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∠A ＝60°，求证：DE ＝12BC .2．证明：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∠A ＝60°，∠ABD ＝∠ACE ＝30°，∴AD AB ＝12，AEAC ＝12，∴AD AB ＝AE AC .又∠A ＝∠A ，∴△AD E ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB ＝12，∴DE ＝12BC.4．如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E .求证：AC ＝2CE .4．证明：如图，延长CE ，交AM 的延长线于F .∵AB ∥CF ，∴∠BAM ＝∠F ，△BDM ∽△CEM ，△BAM ∽△CFM ，∴BD CE ＝BM MC ，BA CF ＝BM MC ，∴BD CE ＝BA CF.又∵BA ＝2BD ，∴CF ＝2CE .又AM 平分∠BAC ，∴∠BAM ＝∠CAM ，∴∠CAM ＝∠F ，∴AC ＝CF ，∴AC ＝2CE .题型2 证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行1．如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接CE ，AE .求证：AE ∥BC .1．证明：如图，过点C 作CO ⊥AB 于点O .∵DE ＝CD ，DE ⊥CD ， ∴∠ECD ＝∠CED ＝45°.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠B ＝45°.∴∠CAB ＝∠CED .又∵∠AOC ＝∠EDC ＝90°，∴△ACO ∽△ECD .∴AC CO ＝EC CD .又∵∠ACE ＋∠ECO ＝∠OCD ＋∠ECO ＝45°，∴∠ACE＝∠OCD .∴△ACE ∽△OCD .∴∠CAE ＝∠COD ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE ＋∠ACB ＝180°.∴AE ∥BC .2．在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，EF ∥BC ，DF ∥AB ，连接CE 和AD ，分别交DF ，EF 于点N ，M .(1)如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论；(2)如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．2．解：(1)MN ∥AC ∥ED .证明如下：∵EF ∥BC ，∴△AEM ∽△ABD ，△AMF ∽△ADC ，∴EM BD ＝AM AD ＝MF DC .∵E 为AB 的中点，EF ∥BC ，∴F 为AC 的中点．又∵DF ∥AB ，∴D 为BC 的中点，∴EM ＝MF .∵F 为AC 的中点，FN ∥AE ，∴N 为EC 的中点，从而MN ∥AC .又∵D 为BC 的中点，E 为AB 的中点，∴ED ∥AC ，∴MN ∥AC ∥ED .(2)MN ∥AC .证明如下：∵EF ∥BC ，∴△AEM ∽△ABD ，△AMF ∽△ADC ，∴EM BD ＝AMAD ＝MF DC ，∴EM MF ＝BD DC .又∵DF ∥AB ，∴BD DC ＝EN NC ，∴EM MF ＝EN NC ，∴EM EF ＝EN EC.又∵∠MEN ＝∠FEC ，∴△MEN ∽△FEC .∴∠EMN ＝∠EFC .∴MN ∥AC .类型2：证明两线垂直1．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC 2＝AB ·AD ，BC 2＝BA ·BD ，求证：CD ⊥AB .1．证明：∵AC 2＝AB ·AD ，∴AC AD ＝ABAC .又∵∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽△ABC .∴∠ADC ＝∠ACB .又∵BC 2＝BA ·BD ，∴BC BD ＝BABC .又∵∠B ＝∠B ，∴△BCD ∽△BAC .∴∠BDC ＝∠BCA . ∴∠ADC ＝∠BDC .∵∠BDC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∴CD ⊥AB .2．如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F 把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF .2．证明：∵AD ＝13AB ，点E ，F 把AB 三等分，∴设AE ＝EF ＝FB ＝AD ＝k ，则AB ＝CD ＝3k .∵CD ∥AB ，∴∠DCG ＝∠FAG ，∠CDG ＝∠AFG . ∴△AFG ∽△CDG ，∴FG DG ＝AF CD ＝23.设FG ＝2m ，则DG ＝3m ，∴DF ＝FG ＋DG ＝2m ＋3m ＝5m . 在Rt △AFD 中，DF 2＝AD 2＋AF 2＝5k 2，∴DF ＝5k . ∴5m ＝5k .∴m ＝55k .∴FG ＝255k . ∴AF FG ＝2k 255k ＝5，DF EF ＝5k k ＝ 5.∴AF FG ＝DFEF. 又∠AFD ＝∠GFE ，∴△AFD ∽△GFE . ∴∠EGF ＝∠DAF ＝90°.∴EG ⊥DF .类型4 相似三角形与函数的综合应用方法指导：解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．题型1 相似三角形与一次函数1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53，点D 的坐标为(0，1)．(1)求直线AD 的解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．1．解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0) 将D (0，1) A ⎝⎛⎭⎫43，53代入解析式得： ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝153＝43k ＋b 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＝12∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(2)直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.令y ＝0，得x ＝－2.得B (－2，0)，即OB ＝2. 直线AC 为y ＝－x ＋3. 令y ＝0，得∴x ＝3. 得C (3，0)，即BC ＝5 设E ⎝⎛⎭⎫x ，12x ＋1 ①当E 1C ⊥BC 时，如图，∠BOD ＝∠BCE 1＝90°，∠DBO ＝∠E 1BC .∴△BOD ∽△BCE 1. 此时点C 和点E 1的横坐标相同． 将x ＝3代入y ＝12x ＋1，解得y ＝52.∴E 1⎝⎛⎭⎫3，52. ②当CE 2⊥AD 时，如图， ∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠DBO ＝∠CBE 2， ∴△BOD ∽△BE 2C .过点E 2作EF ⊥x 轴于点F ，则∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°. 又∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°， ∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°.∴∠E 2BF ＝∠CE 2F .∴△E 2BF ∽△CE 2F ，则E 2F BF ＝CFE 2F .即E 2F 2＝CF ·BF .⎝⎛⎭⎫12x ＋12＝(3－x )(x ＋2)解得：x 1＝2，x 2＝－2(舍去)∴E 2(2，2) 当∠EBC ＝90°时，此情况不存在． 综上所述：E 1⎝⎛⎭⎫3，52或E 2(2，2)．题型2 相似三角形与二次函数1．如图，直线y ＝－x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，B ，C (1，0)三点．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)若点D 的坐标为(－1，0)，在直线y ＝－x ＋3上有一点P ，使△ABO 与△ADP 相似，求出点P 的坐标．2．解：(1)由题意得A (3，0)，B (0，3)，∵抛物线经过A ，B ，C 三点，∴把A (3，0)，B (0，3)，C (1，0)三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3，∴抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)如图，由题意可得△ABO 为等腰直角三角形．若△ABO ∽△AP 1D ，则AO AD ＝OBDP 1，∴DP 1＝AD ＝4，∴P 1(－1，4)；若△ABO ∽△ADP 2，过点P 2作P 2M ⊥x 轴于M ，∵△ABO 为等腰直角三角形，∴△ADP 2是等腰直角三角形，由三线合一可得DM ＝AM ＝2＝P 2M ，即点M 与点C 重合，∴P 2(1，2)，∴点P 的坐标为(－1，4)或(1，2)．2．如图，直线y ＝2x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，过点B 的抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线BC 交于点D (3，－4)．(1)求直线BD 和抛物线对应的函数解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M ，作MN 垂直于x 轴，垂足为点N ，使得以M ，O ，N 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．解：(1)易得A (－1，0)，B (0，2)，C (1，0)． 设直线BD 对应的函数解析式为y ＝kx ＋m .把B (0，2)，C (1，0)的坐标分别代入y ＝kx ＋m ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，k ＋m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，m ＝2.∴直线BD 对应的函数解析式为y ＝－2x ＋2. ∵抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋bx ＋c .∴把B (0，2)，D (3，－4)的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，－9＋3b ＋c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2. ∴抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋x ＋2.(2)存在，①如图①，当△MON ∽△BCO 时，ON CO ＝MN BO ，即ON 1＝MN 2，∴MN ＝2ON .设ON ＝a ，则M (a ，2a )，∴－a 2＋a ＋2＝2a ，解得a 1＝－2(不合题意，舍去)，a 2＝1，∴M (1，2)；②如图②，当△MON ∽△CBO 时，ON BO ＝MN CO ，即ON 2＝MN 1，∴MN ＝12ON .设ON ＝n ，则M ⎝⎛⎭⎫n ，12n ，∴－n 2＋n ＋2＝n2，解得n 1＝1－334(不合题意，舍去)，n 2＝1＋334，∴M (1＋334，1＋338)．∴存在这样的点M (1，2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋334，1＋338.题型3 相似三角形与反比例函数1．如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为(2，3)，双曲线y ＝kx (x >0)经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE .(1)求k 的值及点E 的坐标；(2)若点F 是OC 边上一点，且△FBC ∽△DEB ，求直线FB 对应的函数解析式．1．解：(1)在矩形OABC 中，∵点B 的坐标为(2，3)，∴BC 边的中点D 的坐标为(1，3)．∵双曲线y ＝k x 经过点D (1，3)，∴3＝k 1，∴k ＝3，∴y ＝3x .∵点E 在AB 上，∴点E 的横坐标为2.又∵双曲线y ＝3x 经过点E ，∴点E 的纵坐标为y ＝32，∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32. (2)易得BD ＝1，BE ＝32，CB ＝2.∵△FBC ∽△DEB ，∴BD CF ＝BE CB ，即1CF ＝322，∴CF ＝43，∴OF ＝53，即点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，53.设直线FB 对应的函数解析式为y ＝k 1x ＋b ，而直线FB 经过B (2，3)，F ⎝⎛⎭⎫0，53，∴k 1＝23，b ＝53，∴直线FB 对应的函数解析式为y ＝23x ＋53.类型5 全章达标综合检测方法指导：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．题型1 3个概念 概念1：成比例线段1．下列各组线段，是成比例线段的是( C ) A ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cm B ．2 cm ，5 cm ，0.6 dm ，8 cm C ．3 cm ，9 cm ，1.8 dm ，6 cm D ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cm2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m ，在图纸上，这条边的长为5 cm ，其他两条边的长都为4 cm ，则其他两边的实际长度都是__20__m .概念2：相似多边形3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D ′＝∠D ，试判断四边形A ′B ′C ′D ′与四边形ABCD 是否相似，并说明理由．3．解：四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似．由已知条件知，∠DAB ＝∠D ′A ′B ′，∠B ＝∠B ′，∠BCD ＝∠B ′C ′D ′，∠D ＝∠D ′，且AB A′B′＝BC B′C′＝CD C′D′＝DA D′A′＝56，所以四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似．概念3：位似图形4．如图，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C .设点B 的对应点B ′的坐标是(a ，b )，求点B 的坐标．4．解：如图，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，过点B ′作B ′N ⊥x 轴于点N ，则△CBM ∽△CB ′N .所以MC NC ＝BM B ′N ＝BC B ′C .又由已知条件知NC ＝a ＋1，B ′N ＝－b ，BC B ′C ＝，所以MCa ＋1)＝BM－b )＝所以MC ＝12(a ＋1)，BM ＝－b 2.所以MO ＝12(a ＋1)＋1＝a ＋32.所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－a ＋32，－b2.题型2 2个性质平行线分线段成比例的性质5．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6.若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y .(1)求出y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 为何值时，△BDE 的面积有最大值，最大值为多少？5．解：(1)∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，∴8－2x 8＝y 6，∴y ＝－32x ＋6(0≤x ≤4)．(2)∵S △BDE ＝12·2x ·y ＝12·2x ·⎝⎛⎭⎫6－32x ＝－32(x －2)2＋6，∴当x ＝2时，S △BDE 有最大值，最大值为6.性质2：相似三角形的性质6．如图，已知D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与BA 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．6．(1)证明：如图，∵D 是BC 边上的中点，DE ⊥BC ， ∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠1.又∵AD ＝AC ，∴∠ACD ＝∠2，∴△ABC ∽△FCD . (2)解：如图，过点A 作AM ⊥CB 于点M . ∵D 是BC 边上的中点，∴BC ＝2CD .由(1)知△ABC ∽△FCD ，∴S △ABC S △FCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC CD 2＝41.又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20.∵S △ABC ＝12BC ·AM ，∴AM ＝2S △ABC BC ＝2×2010＝4. ∵DE ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴DE ∥AM ，∴△BDE ∽△BMA .∴DE AM ＝BDBM .由AD ＝AC ，AM ⊥BC ，知DM ＝12CD ＝14BC ＝52. ∴DE 4＝55＋52，∴DE ＝83. 点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键．题型3 1个判定——相似三角形的判定7．如图，△ACB 为等腰直角三角形，点D 为斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接AE ，过C 作CO ⊥AB 于O .求证：△ACE ∽△OCD.7．证明：∵△ACB 为等腰直角三角形，AB 为斜边， ∴∠CAB ＝45°.∵CO ⊥AB .∴∠AOC ＝90°.又∵DE ⊥CD ，DE ＝CD ，∴∠CED ＝45°，∠CDE ＝90°. ∴∠CAO ＝∠CED ，∠AOC ＝∠EDC .∴△ACO ∽△ECD .∴∠ACO ＝∠ECD ，AC CO ＝CECD .∴∠ACE ＝∠OCD .∴△ACE ∽△OCD .8.如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过点C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为点E .设P 是AC ︵上异于点A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G .(1)求证：△PAC ∽△PDF ；(2)若AB ＝5，AP ︵＝BP ︵，求PD 的长．8．(1)证明：由四边形APCB 内接于圆O ，得∠FPC ＝∠B . 又∠B ＝∠ACE ＝90°－∠BCE ，∠ACE ＝∠APD ，所以∠APD ＝∠FPC ，所以∠APD ＋∠DPC ＝∠FPC ＋∠DPC ， 即∠APC ＝∠FPD . 又∠PAC ＝∠PDC ， 所以△PAC ∽△PDF .(2)解：由(1)知△PAC ∽△PDF ，所以∠PCA ＝∠PFD . 又∠PAC ＝∠CAF ，所以△PAC ∽△CAF ，所以△CAF ∽△PDF ， 所以PD AC ＝DFAF，则PD ·AF ＝AC ·DF .由AB ＝5，AC ＝2BC ，∠ACB ＝90°，知BC ＝5，AC ＝2 5. 由OE ⊥CD ，∠ACB ＝90°知CB 2＝BE ·AB ，CE ＝DE . 所以B E ＝CB 2AB ＝55＝1.所以AE ＝4，CE ＝CB 2－BE 2＝5－1＝2， 所以DE ＝2.又AP ︵＝BP ︵，∠AFD ＝∠PCA ，所以∠AFD ＝∠PCA ＝45°. 所以FE ＝AE ＝4，AF ＝42，所以PD ＝AC·DF AF ＝25×（4＋2）42＝3102.题型4 2个应用 应用1：测高的应用9．如图，在离某建筑物CE 4 m 处有一棵树AB ，在某时刻，1.2 m 的竹竿FG 垂直地面放置，影子GH 长为2 m ，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD 高为2 m ，那么这棵树的高度是多少？9．解：(方法一：作延长线)延长AD ，与地面交于点M ，如图①.由AM ∥FH 知∠AMB ＝∠FHG .又因为AB ⊥BG ，FG ⊥BG ，DC ⊥BG ，所以△ABM ∽△DCM ∽△FGH ，所以AB BM ＝CD CM ＝FG GH. 因为CD ＝2 m ，FG ＝1.2 m ，GH ＝2 m ，所以2CM ＝1.22，解得CM ＝103m . 因为BC ＝4 m ，所以BM ＝BC ＋CM ＝4＋103＝223(m )． 所以AB 223＝1.22，解得AB ＝4.4 m . 故这棵树的高度是4.4 m .(方法二：作垂线)过点D 作DM ⊥AB 于点M ，如图②.所以AM DM ＝FG GH. 而DM ＝BC ＝4 m ，AM ＝AB －CD ＝AB －2(m )，FG ＝1.2 m ，GH ＝2 m ，所以AB －24＝1.22，解得AB ＝4.4 m . 故这棵树的高度是4.4 m .应用2：测宽的应用10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m 有一棵树，在河的对岸每隔60 m 有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m 处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．10．解：如图，过点A 作AF ⊥DE ，垂足为F ，并延长交BC 于点G .∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∵AF ⊥DE ，DE ∥BC ，∴AG ⊥BC ，∴AF AG ＝DE BC ，∴30AG ＝2460. 解得AG ＝75，∴FG ＝AG －AF ＝75－30＝45，即河的宽度为45 m .题型5 1个作图——作一个图形的位似图形11．如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O 和△ABC .请以点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC 的位似图形．(第11题) 11．思路导引：本题位似中心为O ，先连接CO ，因为要把原三角形缩小为原来的一半，可确定C ′O ＝12CO ，由其确定出C ′的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点． 解：画出图形，如图中的△A ′B ′C ′即为所求作的图形．点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．题型6 1个技巧 ——证明四条线段成比例的技巧12.如图，已知△ABC ，∠BAC 的平分线与∠DAC 的平分线分别交BC 及BC 的延长线于点P ，Q .(1)求∠PAQ 的度数；(2)若点M 为PQ 的中点，求证：PM 2＝CM ·BM .12．思路导引：(1)由角平分线的定义及∠BAD 为平角直接可得．(2)由于线段PM ，CM ，BM 在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM ＝AM ，从而证明△ACM 与△ABM 相似即可．(1)解：∵AP 平分∠BAC ，∴∠PAC ＝12∠BAC . 又∵AQ 平分∠CAD ，∴∠CAQ ＝12∠CAD . ∴∠PAC ＋∠CAQ ＝12∠BAC ＋12∠CAD ＝12(∠BAC ＋∠CAD )． 又∵∠BAC ＋∠CAD ＝180°，∴∠PAC ＋∠CAQ ＝90°，即∠PAQ ＝90°.(2)证明：由(1)知∠PAQ ＝90°，又∵M 是线段PQ 的中点，∴PM ＝AM ，∴∠APM ＝∠PAM .∵∠APM ＝∠B ＋∠BAP ，∠PAM ＝∠CAM ＋∠PAC ，∠BAP ＝∠PAC ，∴∠B ＝∠CAM .又∵∠AMC ＝∠BMA ，∴△ACM ∽△BAM .∴CM AM ＝AM BM，∴AM 2＝CM ·BM ，即PM 2＝CM ·BM . 点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解．。

相似立体模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)相似立体模型总结2 (比例式、等积式的常见证明方法)本文总结了相似立体模型中常见的比例式和等积式的证明方法。

比例式的常见证明方法1. 比例式的宽度证明要证明两个相似立体模型的宽度成比例，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的宽度分别为$a$和$b$。

- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的相应边长之比为$\frac{a}{b}$。

2. 比例式的高度证明要证明两个相似立体模型的高度成比例，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的高度分别为$h$和$k$。

- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的相应边长之比为$\frac{h}{k}$。

3. 比例式的长度证明要证明两个相似立体模型的长度成比例，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的长度分别为$l$和$m$。

- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的相应边长之比为$\frac{l}{m}$。

等积式的常见证明方法1. 等积式的底面积证明要证明两个相似立体模型的底面积等积，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的底面积分别为$A$和$B$。

- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的高度之比为$\frac{{\sqrt{A}}}{{\sqrt{B}}}$。

2. 等积式的体积证明要证明两个相似立体模型的体积等积，可以采用以下证明方法：- 首先，测量两个立体模型的体积分别为$V_1$和$V_2$。

- 然后，利用相似三角形的性质，证明两个立体模型的边长之比的立方为$\left(\frac{{V_1}}{{V_2}}\right)^{\frac{1}{3}}$。

结论以上介绍了相似立体模型中常见的比例式和等积式的证明方法，可根据具体情况选择合适的方法进行证明。

证明线段的比例式或等积式的方法要证明线段的比例式或等积式，有多种方法可以使用。

下面我们将介绍几个常用的方法。

方法一：向量法利用向量的性质可以很方便地证明线段的比例式或等积式。

假设有线段AB和CD，要证明它们的比例式或等积式，可以先求出向量AB和向量CD，然后判断它们是否平行或共线，再比较它们的模长大小。

如果向量AB和向量CD平行或共线，我们可以根据向量的定义得知它们的比例式：AB：CD=，AB，：，CD如果向量AB和向量CD不平行或不共线，但线段AB与线段CD的比例式或等积式成立，我们也可以利用向量的性质推导出它们的比例关系。

具体的推导过程需要根据具体的题目条件来确定。

方法二：相似三角形法利用相似三角形的性质也可以方便地证明线段的比例式或等积式。

相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等且对应边成比例。

如果有线段AB和CD，我们可以通过构造相似三角形来证明它们的比例式。

假设我们可以找到一个三角形ABC与三角形CDE相似，那么根据相似三角形的性质有：AB：CD=AC：CE这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。

方法三：重心法利用重心的性质也可以证明线段的比例式或等积式。

重心是指一个几何图形的平衡点，即重心到图形上各点的距离乘以图形上各点的质量（或面积）之和为零。

对于线段AB和CD，我们可以找到它们的重心O，并将线段AO和BO 延长到与CD相交于点E和F。

那么根据重心的性质，线段AO与线段OD 以及线段BO与线段OC的比例关系可以推导出：AO：OC=BO：OD进一步地，根据线段分线段外部点定理，我们可以得出：AO：OD=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。

方法四：三角形面积法利用三角形面积的性质也可以证明线段的比例式或等积式。

假设有线段AB和CD，我们可以构造三角形AOB与三角形COD，其中O为点A和C 的连接线与BC的交点。

根据三角形面积的性质，有：三角形AOB的面积：三角形COD的面积=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。

比例式等积式证明的常用方法在数学中，我们经常会遇到需要证明等式或不等式的情况。

其中，比例式等积式是一种常见的数学问题，需要通过推理和运算来证明两个比例式或等积式之间的等式关系。

在本文中，我将介绍一些常用的方法和策略，帮助读者更好地理解和解决比例式等积式证明的问题。

一、分数乘法分数乘法是比例式等积式证明中常用的一种方法。

我们可以利用分数乘法的性质，将等式中的分数进行运算，推导出等号两边相等的关系。

例如，我们需要证明以下比例式：(3/5) × (5/7) = (4/7) × (x/3)首先，我们可以将等式右边的分数进行乘法运算：(3/5) × (5/7) = (4/7) × (x/3)(15/35) = (4x/21)接下来，我们可以通过交叉乘积的方法来求解未知数x：15 × 21 = 35 × 4x315 = 140xx = 315/140x = 9/4通过分数乘法的方法，我们成功地证明了上述比例式的成立，并求解出了未知数x的值。

二、对角线乘积对角线乘积也是比例式等积式证明中常用的一种方法。

对于一个由两个平行线段组成的类似平行四边形的图形，我们可以利用对角线的性质，将等式中的线段长度进行运算，证明两个等式或不等式之间的关系。

例如，我们需要证明以下等积式：(2x + 3) × (5x - 1) = (3x + 2) × (4x - 5)首先，我们可以将等式左边和右边的对角线进行乘积运算：(2x + 3) × (5x - 1) = (3x + 2) × (4x - 5)(10x^2 - 2x + 15x - 3) = (12x^2 - 20x + 8x - 10)接下来，我们合并同类项并化简等式：10x^2 + 13x - 3 = 12x^2 - 12x - 100 = 2x^2 - 25x - 7最后，我们可以通过求解二次方程来求解未知数x的值。

证明线段成比例问题的常用方法（1）方法一、三点定形法利用分析的方法，由欲证的比例式或等积式转化为比例式．寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似．每一个三角形都是由三个不同的点所组成的，并且用三个不同的字母表示。

反过来想，由三个不同的字母必定可以确定一个三角形，如果四条成比例线段出自于一对相似三角形，我们必能从其比例式中看出是哪两个三角形相似。

【例1】如图，CD 、BE 是△ABC 的两条高，求证： ①AC AE AB AD ⋅=⋅ ②∠AED ＝∠ABC ③FE FB FC FD ⋅=⋅分析：①欲证AC AE AB AD ⋅=⋅即证ABACAE AD =I ．横看法：II ．竖找法：F ⑩DE ABC~AEB ∆⇒∆ADC ⇒∆AEBADC⇒∆ADE ⇒∆∆ACB ~ADE⇒∆⇒∆ADE试验：（射影定理）如图Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高， 求证： ①AB AD AC ⋅=2②BA BD BC ⋅=2③DB DA CD ⋅=2请用“三点定形法”尝试下面问题的可行性，看有何发现？ 1、已知：如图，△ABC 中，EF ∥BC ，AD 交EF 于G.求证： CDFGBD EG =；2、R t △ABC 中，∠C =90°，四边形DENM 为正方形， 求证：NB AM MN ⋅=2DCBAGABCF EDBCDEMNDCBADCBA证明线段成比例问题的常用方法（2）方法二、等量代换法当需要证明的比例式不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括： 1.等比代换； 2.等线段代换； 3.等积代换．【例1】]已知：如图，AC 是□ABCD 的对角线，G 是AD 延长线上的一点，BG 交AC 于F ，交CD 于E ．求证：BFFEFG BF =。

归纳：这是利用中间比进行代换的典型例题，这种代换往往出现于平行截比定理以及相似三角形的综合应用．【例2】R t △ABC 中，∠C =90°，四边形DENM 为正方形， 求证：NB AM MN ⋅=2归纳：这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等ABCDEMN腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含条件．【例3】R t △ABC 中，∠BAC =90°， D 为AC 上一点，AE ⊥BD ①若DCB DEC ∠=∠，求证：D 为AC 的中点；②若AF ⊥BC 于F ，连EF ，求证：△BEF ∽△BCD归纳：此例为等积代换的典型例题，这种代换方法往往需要含有射影定理和另外一对相似三角形同时出现．【练习】△ABC 中，AD ⊥BC ，AB =AC ，E 为DA 上任意一点，CM ∥AB 交BE 于M ，BM 交AC 于F . 求证：EM EF BE ⋅=2ABCDEFABCDEABCEFM证明线段成比例问题的常用方法（3）方法三、辅助平行线法利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线截比定理和平行相似定理来实现．【例1】如图，在△ABC 中，D 是AC 上一点，延长CB 到E ，使BE =AD ，ED 交AB 于F ．求证：ACBCEF DF．【例2】已知在△ABC 中，点D 为边BC 上一点，点E 为边AC 上的中点，AD 与BE 交于P ． （1）如图1，当BD ＝CD 时，PBPE＝ ；（2）如图2，当CD ＝2BD 时，求证：PE ＝PB ．DFABCEABC PE图1D图2ABC D PEFE DCB AFEDCB A【例3】如图，已知等腰Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为BC 边上一动点，BC ＝nDC ，CE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ． （1）若n ＝3，则=DE CE ，=DEAE（2）若n ＝2，求证：AF ＝2FC ；（3）当n ＝ ，F 为AC 的中点（直接填出结果，不要求证明）【练习】△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AC 上一点，AD 、BE 交于F 。

证明线段积相等的方法证明线段的积相等的常用方法是把等积式化成比例式，然后根据“三点定形”确定它们所在三角形是否相似，若相似，则结论成立；若不相似，再用中间量（线段或比）来“搭桥”.通常可以用这样的顺口溜记忆：遇到等积化比例，横找竖找找相似.图形相似不成立，等线等比寻代替. 一、化等积式为比例式，直接证相似例1、如图，A B C 中，090ACB ∠=，M 为A B 的中点，E M A B ⊥交B C 于点D ，交A C 的延长线于点E ，求证：2MC MD ME =∙ 分析：首先根据比例的基本性质，把等积式变成比例式M C M E M DM C=,然后把等式左边的两条线段放在一起，组成△MCD,等式右边两条线段组成M E C , 然后证明M C D ∽M E C 即可. 证明略.二、等线段做代替例2、如图，直角梯形A B C D 中，A B ∥C D ,A B B C ⊥,对角线A C B D ⊥于E,AD BD =,过点E 作E F ∥A B 交A D 于F ,求证：2AF AE EC =∙分析：把等积式变成比例式：A F E C A EA F=,然后把等式左边的两条线段放到同一个三角形中去得到AFE ，而等式右边的两条 线段组不成三角形.在这种情况下，需要把比例式中的四条线段 中的某一条换成和它相等的另一条线段，以便组成相似的三角形. 据本题中的已知条件，应把A F 换成B E ,于是得到新的比例式：B E E C A EB E=,这时就可以组成相似的ABE 和B C E . 证明略三、中间比做过渡例3、如图，已知A B C D ，P 为D C 延长线一点，A P 分别交,BD BC 于点,.M N ，试说明:2AM MN MP =ADBCPMN D CBFA EEACDMB分析：首先把等积式化成比例式得：A M M P M NA M=,然后把等式左边的两条线段放在一起，发现它们共线组不成三角形，等式右边的情况亦是如此.这时需要观察图形，可以看出AM D ∽N M B ,易证得A M D M M NB M=；PM D ∽A M B ，易证得M P D M A MB M=,这样通过D M B M这个中间比就起到了过渡的作用.证明略.。

类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一网搜罗◆类型一 三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E ，连接AG . (1)求证：AG ＝CG ； (2)求证：AG 2＝GE ·GF .2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F . (1)若FD ＝2FB ，求FDFC的值；(2)若AC ＝215，BC ＝15，求S △FDC 的值．◆类型二 利用等线段代换3．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB .求证：AB AE ＝ACAD.◆类型三找中间比利用等积式代换4．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP，垂足为G，交CE于D，求证：CE2＝PE·DE.参考答案与解析1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ，∴∠F ＝∠FCD .在△ADG 与△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴∠EAG ＝∠DCG ，AG ＝CG .(2)∵∠EAG ＝∠DCG ，∠F ＝∠DCG ，∴∠EAG ＝∠F .又∵∠AGE ＝∠FGA ，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EGAG，∴AG 2＝GE ·GF .2．解：(1)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ABC ＝∠DCB ＋∠ABC ，∴∠A ＝∠DCB .∵E 是AC 的中点，∠ADC ＝90°，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠EDA .∵∠BDF ＝∠EDA ，∴∠DCB ＝∠BDF .又∵∠F ＝∠F ，∴△BDF ∽△DCF ，∴FD ∶CF ＝BF ∶FD ＝1∶2.(2)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠ACB .∵∠ABC ＝∠CBD ，∴△BDC ∽△BCA ，∴BD ∶CD ＝BC ∶AC ＝15∶215＝1∶2.在Rt △BAC中，由勾股定理可得AB ＝53，∴S △BDC S △BCA ＝BC 2AB 2＝15，∴S △BDC ＝15×12×215×15＝3.∵△BDF ∽△DCF ，∴S △FBD S △FDC ＝⎝⎛⎭⎫BD CD 2＝14，即S △BDC S △FDC ＝34.∵S △BDC＝3，∴S △FDC ＝4.3．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AE ＝ACAB .又∵AB＝AD ，∴AB AE ＝ACAD.4．证明：∵∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，∴∠ACE ＋∠BCE ＝90°，∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BCE ，∴Rt △ACE ∽Rt △CBE ，∴CE BE ＝AECE ，∴CE 2＝AE ·BE .又∵BG ⊥AP ，CE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠DGP ＝∠PEA ＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P ＝∠3，∴△AEP ∽△DEB ，∴PE BE ＝AEDE，∴PE ·DE ＝AE ·BE ，∴CE 2＝PE ·DE .专项训练二概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A．通常加热到100℃时，水沸腾 B．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( )A.316B.38C.58D.1316第7题图第8题图8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB＝15，AC＝9，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________．三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格：(2)先从袋子中取出m 个红球，再放入m 个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m 的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________； (2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________； (3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6. 9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.1315．解：(1)4 2或3(2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14； (2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16； (3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13； (2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 5 22 23 2 5 2 32 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。

数学：巧用比例性质，解证比例线段各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢比例的三条性质，是相似形中证明比例线段问题的基本依据，若能灵活加以应用，则可减少思维障碍，迅速打开解题突破口。

1巧用基本性质“三点形法”是证明线段等积的最常用也是最有效的方法。

它是根据比例的基本性质，将等积式转化为比例式，找出其中包含的几个字母，是否存在可由“三点”定出的两个相似三角形。

例1、如图1，在Rt△ABc中，∠BAc=，AB=Ac，D为Bc中点，E为Ac 上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE=，（1）求证：BD·Bc=BG·BE；（2）求证：AG⊥BE；（3）若E为Ac的中点，求EF∶FD的值。

分析：（１）将待证的等积式化为比例式：，横看：比例式的两个分子为B、D、E三点，两个分母为B、G、c三点，均不能构成相似三角形；竖看：比例式左端BD、BG构成△BDG，右端BE、Bc构成△BEc，依“三点形法”只需证△BDG∽△BEc；（2）、（3）分析略。

在运用“三点形法”时，首先要化等积式为比例式，然后再横看看、竖看看，找到相似三角形进而证明。

但有时将等积式化为比例式后无法再用“三点形法”，此时还需运用以下三种常用的转化方法进行证明：1．1等线段转化法例2、如图2，△ABc中，AB=Ac，AD是中线，P为AD上一点，过点c作cF∥AB，延长BP交Ac于E，交cF于F，求证：=PE&#183F分析：线段BP、PE、PF在同一条直线BE上，无法用相似三角形来证明。

连结Pc，可得BP=Pc，故可用Pc来替换BP。

证明：连结Pc，∵△ABc中，AB=Ac，AD是中线∴AP平分∠BAc，∠BAP=∠cAP∴△BAP≌△cAP，∴BP=cP，∠ABP=∠AcP又∵cF∥AB∴∠ABP=∠F∴∠AcP=∠F∴△PcF∽△PEc∴，=PE&#183F而BP=cP∴=PE·PF将某线段用与其相等的线段替换，以便能构成相似三角形，这是证明线段比例式和等积式的基本方法之一。