高中数学(人教A版)课件：必修一第二章第二节《对数函数及其性质对数函数的综合应用》

练习：（1）y log a (9 x 2 ) （2）y log (2 x1) (3 x 2)
3y
log
7
1 1 3x
4y loga 4 x
小结： 1.对数函数的概念. 2.对数函数的定义域. 3.对数函数的图象及其性质，通过对a分类讨 论掌握其性质与图象.
练习：已知函数 f(x)=log2 (2x-1)
即已知y求x的问题。
yx＝log2xy
对数函数：
一般地，我们把函数 y log a xa 叫0做且对a数函1
数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是情势定义，
注意辨别．如：y 2 log 2 x,
能称其为对数型函数.
y l都og不2 是52 对x 数函数，而只
a>1
0<a<1
图
y
y
象
o (1, 0)
（1, 0) xo
x
(1) 定义域： (0,+∞)
性 (2) 值域：R
(3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(4) 0<x<1时, y<0;
(4) 0<x<1时, y>0;
质
x>1时, y>0
x>1时, y<0
(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
0 1 23 4
连 -1 线 -2
2 4… 1 2…
x
x … 1/4 1/2
列 表
y
y
log 2
log 1
x…
x…
2
-2 2

∵log23<log24=2,∴log23-1<1.
又log34>log33=1,∴log34>log23-1,
即c>a,∴c>a>b,故选B.
5 | 如何解对数不等式
对数不等式的类型及解题方法 (1)形如loga f(x)>logab的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确 定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论; (2)形如loga f(x)>b的不等式,应将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=logaab),借 助函数y=logax的单调性求解; (3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用图 象求解.
已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0). (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围; (2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1? 如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由. 解析 (1)设t(x)=3-ax,∵a>0, ∴t(x)=3-ax为减函数, 当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a, 当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立,∴3-2a>0,∴a3< .
2
2
2
综上,原不等式的解集为
1 2
,1.
对数函数的概念 对数函数的图象和性质
1 | 对数函数的概念
一般地,函数① y=logax(a>0,且a≠1) 叫做对数函数,其中x是自变量,定义 域是② (0,+∞) .
2 |对数函数的图象与性质

定义
对数函数 图 象 数形结合 性 质
作业布置 P74 第6题 第7题
x log 2 y
y log 2 x
y log 2 x
观察，这个式 子有什么特点？
(1)底数为大于0且不等于1的常数，不含有自变 量x； (2) 自变量x在真数位置，且x的系数是1； (3)log2x的系数是1.
探究1：对数函数的定义
一般地，我们把函数 y=logax(a>0,且a≠1) 叫 做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 （0，+∞）．
f (8) log 2 8 3
回想一下，我们是如何 研究指数函数的？
先画出函数的图象， 再借助图象研究其性
质
探究2：对数函数的图象和性质
作图步骤: ①列表 ②描点 ③用平滑曲线连接. （1）作y=log2x的图象 列表
x
11 42
12
4…
y log2 x 2 1 0 1 2 …
y
描 点
2
2.2.2 对数函数及其性质 （一）
预习中存在的问题
• 1.画图不规范 • 2.对对数函数的定义式理解不够到位 • 3.求函数的定义域存在问题
学习目标
1.理解对数函数的定义; 2.熟悉对数函数的图象与性质.
我们研究指数函数时，曾讨论过折纸问题，折纸
一次，变成两面，折两次，纸变成4面，…,设折x次 后，得到纸的面数为y，则 y=2x,x∈ 那么，如果知道纸的面数y，N如* 何得到折纸次数x？
log 2 x 1
(3) y log7 (1 3x)
2.函数y=log2（x-a）的定义域为（1，+∞）， 则（ D ） A．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＜0 D．a=1

2.类比指数函数，请同学们归纳指数函数和对 数函数的区别与联系.
课后练习 课后习题
得到 t s 和s=3t 3
思考2:设，2xx、yy分别为自变量可以得到哪两个函数？这两个函数相同吗？
y 2x和y log2 x
这时：我们就说互y为反2x函和数y 。 log2 x
下面我们从图像的角度来观察一下反函数之间的关系：
如图示：
y
y 2x
y=x
A(m,n)
1 01
y log2 x
2.对数函数对底数的限制： (a0，且a1)
二、对数函数的定义域
例2求下列函数的定义域：
（1）y loga x2 (a 0,且a 1)
解:∵x2﹥0即x≠0 ∴函数y=logax2的定义域是{x|x≠0}
（2） y loga (4 x)
解:∵4-x﹥0即x﹤4 ∴函数y=loga(4-x)的定义域是{x|x﹤4}
解：由loga (3a 1) 1得 loga (3a 1) loga a,
若a
1,
有
3a 3a
1 1
a 0
,
此时无解.
若0
a
1,
有
3a 3a
1 1
a 0
,
得a
1 3
,
所以0
a
1.
综上，a的取值范围为（0,1）.
反函数
思考1:设某物体以3m/s的速度作匀速直线运动，分别以位移s和时间t
为自变量，可以得到哪两个函数？这两个函数相同吗？
y
y
0 (1,0) x
0 (1,0) x
图象性质
定义域:(0,+∞)
值域:R
过定点(1,0),即当x＝1时,y＝0

y=0.5x 和y= log0.5x 的图象画在一个坐标内 ，观察图象的特点！
（书面作业）
•P73 2,3
19
Thank you!
要善于退，足够的退，退到不失去重 要性的地方就是解决数学问题的诀窍。
20
比较两个同底对数值的大小时:
１.观察底数是大于1还是小于1（ a>1时为增函数
小
２.比较真数值的大小；
0<a<1时为减函数）
结
３.根据单调性得出结果。
14
•（3） loga5.1与 loga5.9 (a>0,且a≠1)
解: 若a>1 则函数y=log a x在区间（0，+∞）上是增函数；
∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 < loga5.9
16
函数 yloga x,ylogb x,ylogc x,ylogd x
C 的图像如图,则 所下 示列式子中正( 确) 的
y ylogb x A .0 a b 1 c d
yloga x B .0 b a 1 d c
x
O
ylogd x C .0 d c 1 b a
2.2.2对数函数的图象与性质
y
x
o 1
1
（一）对数函数的定义 ★ 函数 y = log a x (a>0,且a≠1)叫做对数函数.
其中x是自变量， 定义域是(0,＋∞)
想 对数函数解析式有哪些结构特征？ 一 ①底数：a>0,且 a≠1 想 ②真数: 自变量x ？ ③系数函数？（导学与评价P53） ① y log a x 2 ; ② y log 2 x 1; ③ y 2 log 8 x ; ④ yloxga(x0,且x1); ⑤ ylo5gx.

y
y
(③)
1 ① O1 x
y
1
③O1
x
1 ②O 1 x
y 1
④O 1 x
讲授新课
例1比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log6 7, log7 6
(2) log3 , log2 0.8
(3) 60.7 , 0.76 , log0.7 6
讲授新课
例1比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log6 7, log7 6
质
2.对数函数的性质：
图y
a＞1
0＜a＜1
y
象O
x
O
x
定义域：(0,+∞)； 值域：R
性 过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0.
质
x∈(0, 1)时，y<0； x∈(1, +∞)时，y>0.
2.对数函数的性质：
图y
a＞1
0＜a＜1
y
象O
x
O
x
定义域：(0,+∞)； 值域：R
性 过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0.
x∈(0, 1)时，y>0 x∈(1, +∞)时，y<0.
在(0,+∞)上是增函数
2.对数函数的性质：
图y 象O
a＞1
x
0＜a＜1
y
O
x
定义域：(0,+∞)； 值域：R
性 过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0.
质
x∈(0, 1)时，y<0； x∈(1, +∞)时，y>0.
x∈(0, 1)时，y>0 x∈(1, +∞)时，y<0.
2.对数函数的性质：

小结：若底数相同,利用对数函数的单调性判断.
练习1. 比较下列各组数中的两个值的大小：
（1）lg3 lg8 ；
（2）log0.41.2 log0.42.5；
变式若（3）㏒1.2 m<㏒1.2 n,则m n. （4）㏒0.2 m<㏒0.2 n,则m n.
例 比较对数值大小
2. 底、真数都不同的两个对数比较大小 ⑴ log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 3π , log 2 0.8 .
a 1
0 a 1
y
y
图
y loga x
(1,0)
像
o (1,0)
xo
x
y loga x
定义域 性值 域 质 单调性
奇偶性 过定点
(0,)
(0,)
R 在(0,)上递增
R 在(0,)上递减
非奇非偶
非奇非偶
(1,0), 即x=1时，y=0
单调性的应用
例 比较对数值大小
1. 同底的两个对数比较
⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) 解:(3)当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数, log a5.1＜log a5.9 当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数, log a5.1＞log a5.9
对数函数,定义域是 (0,+ ，
例如：函数 y loga (a 1)x 是对数函数，
则a=
.
概念辨析
例1 下列函数是对数函数的是（ 1,5,7,8 ）
① y log4 x ③ y log4 x

课堂小结： 人教A版高中数学必修1 .2对数函数及其性质课件
a 1
y
图
象
01
x
0a1
y
01
x
图函 象数 特性 征质
人教A版高中数学必修1 .2 对数函数及其性质课件
定义图域象：位于(0y，轴+右∞侧) 图值象向域上：、R向下无限延伸
过经定过点（：1，（0）1，点0），loga1 0
在自左(0，往+右∞呈)上上是升增趋函势数 自在左(0往，右+∞呈)上下是降减趋函势数
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
0<a<1
6 5 4 3 2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
函数的性质：1定义域 2值域 3定点 4单调性 5最值 6奇偶性 7对称性 ？
性
1.定义域： (,)
2.值域： (0,)
质 3.过点 (0,1) ，即x= 0 时，y= 1
4.在 R上是 增 函数 在R上是 减 函数
本节课的学习预告：
想 一
为什么函数的定义域是(0,＋∞)？
想 ？
即真数大于0？
辨析：
下列函数是否为对数函数
(1)y 2log2 x ____________(_×__)
(2)y log2 x2 ____________(_×__)
(3) y
log5
x 5
_____________(_×__)
(4)y loga x _____________(_×__)
第2章 基本初等函数（Ⅰ）
2.2.2 对数函数及其性质
温故知新

3
3
质
0<a<1时,x<0,y>1;x>0,0<y<1
(5) a>பைடு நூலகம்时, 在R上是增函数； 0<a<1时,在R上是减函数
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
y
o
1
y=logax (a>1)
x
y=logax (0<a<1) (1)定义域： (0,+∞) (2)值域：R
(3)过点(1,0)
(4) a>1时,0<x<1,y<0; x>1,y>0 0<a<1时,0<x<1,y>0; x>1,y<0
2.求下列函数的定义域：
⑴ y log5 (1 x)
⑵ y 1
log 2 x
⑶
y
log
7
1
1 3x
⑷ y log3 x
3.比较下列各题中两个值的大小：
⑴ lg 6,lg 8
⑵ log 0.5 6, log 0.5 4
⑶ log 2 0.5, log 2 0.6 ⑷ log1.5 1.6, log1.5 1.4
(5) a>1时,在(0,+∞)是增函数； 0<a<1时,在(0,+∞)是减函数
回顾小结
通过本节的学习，大家对对数函数有哪些认 识？能概括一下吗？
对数函 数定义
图象与 性质
类比与 归纳
分类 讨论
数形 结合
1.画出函数 y log 3 x 及 y log 1 x 的图象，并且说
3
明这两个函数的相同点和不同点.

对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
y o1
y=logax (a>1)
x
y=logax (0<a<1) (1)定义域： (0,+∞) (2)值域：R
(3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(4) a>1时, x<0,0<y<1; x>0,y>1 (4) a>1时,0<x<1,y<0; x>1,y>0
⑴定义域：
性 ⑵值域：
（0，+∞） R
质 ⑶过特殊点： 过点（1，0），即x=1时y=0 ⑷单调性 ： 在（0，+∞）上是增函数 ⑷单调性：在（0，+∞）上是减函数
记忆口诀
对数函数的性质的助记口诀:
对数增减有思路, 函数图象看底数; 底数只能大于0, 等于1来也不行; 底数若是大于1, 图象从下往上增; 底数0到1之间, 图象从上往下减; 无论函数增和减, 图象都过(1,0)点.
解（2）：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
例题解析
例1：比较下列各组中，两个值的大小：
（3） log a 5.1与 log a 5.9 （a＞０，且a≠１）
解（3）：考察函数log a 5.1与 log a 5.9 可看作函数y=log a x的 两个函值 , 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1， 因此需要对底数a进行讨论
线
-2
y=log1/2x
关于x轴对称
问题探究