匀变速直线运动的速度与位移的关系-(导)学案

2.4匀变速直线运动的位移与速度的关系【学习目标】1、知道位移速度公式，会用公式解决实际问题。

2、掌握匀变速直线运动的位移、速度、加速度和时间之间的相互关系，会用公式解决匀变速直线运动的问题。

【重点、难点分析】学习重点：会用公式解决匀变速直线运动的问题。

学习难点：灵活运用各种公式解决实际问题。

【自主学习】射击时，火药在枪筒内燃烧．燃气膨胀，推动弹头加速运动．我们把子弹在枪筒中的运动看作匀加速直线运动，假设子弹的加速度是25/105s m a ⨯=，枪筒长；x=0.64m ，运用以前的公式计算射出枪口时的速度．反思：这个问题中，已知条件和所求结果都不涉及 ，它只是一个中间量。

能不能根据at v v +=0和2021at t v x +=，直接得到位移x 与速度v 的关系呢？ 【合作探究】1、汽车以加速度a=2 m/s2做匀加速直线运动，经过A 点时其速度v A =3m/s,经过B 点时速度v B =15m/s ，则A 、B 之间的位移为多少？2、一艘快艇以2 m ／s 2的加速度在海面上做匀加速直线运动，快艇的初速度是6m ／s ．求这艘快艇在8s 末的速度和8s 内经过的位移．总结：公式ax v v at t v x at v v t 2,21,202200=-+=+=中包含五个物理量，它们分别为：初速度 v 0 和加速度 a ，运动时间 t ，位移 x 和末速度 v ，在解题过程中选用公式的基本方法为：1．如果题目中无位移 x ，也不让求位移，一般选用 公式；2．如果题中无末速度 v ，也不让求末速度，一般选用 公式；3．如果题中无运动时间 t ，也不让求运动时间，一般选用 公式； 注 ：匀变速运动中的各公式均是矢量式，注意各量的符号。

匀变速直线运动的平均速度 由匀变速直线运动的推导过程可知：t v v x )(210+=，根据平均速度的定义v =t x ，可联立得 .即在匀变速直线运动中，物体运动的平均速度等于 .又由匀速直线运动的速度公式at v v +=0，代入平均速度公式得： 即匀变速直线运动的平均速度等于中间时刻速度。

2.3 匀变速直线运动的速度与位移的关系 姓名一、匀变速直线运动的位移和速度关系1、写出匀加速直线运动速度随着时间的变化关系 写出匀加速直线运动位移随着时间的变化关系 将上面表达式中时间t 消去，得到的表达式为 式中各个字母的含义二、匀变速直线运动的两个推论1、中间时刻速度：2、匀变速直线运动的物体在连续相等的时间内的位移之差为一恒量。

（初速度为v 加速度为a 的匀加速直线运动，在相同的时间间隔T 内，依次通过A 、B 、C 、D 、E 点，证明x 4－x 3= x 3－x 2= x 22法一： 法二：三、例题1、发射枪弹时，枪弹在枪筒中的运动可以看做匀加速运动，如果枪弹的加速度大小是5×105m/s 2，枪筒长0.64m ，枪弹射出枪口时的速度是多大?2、一光滑斜面坡长为l0m ，有一小球以l0m/s 的初速度从斜面底端向上运动，刚好能到达最高点，试求：小球运动的加速度。

3、一个滑雪的人，从80 m 长的山坡上匀变速滑下，初速度是3m/s ，末速度是5.0 m/s ，他通过这段山坡需要多长时间？4、做匀变速直线运动的物体，在第一个4s 内的位移为24m ，在第二个4s 内的位移是60m ，求：(1)此物体的加速度。

(2)物体在第四个4s 内的位移。

A B C D E v 0 v B =? v C =? v D =? v E =? x 1 x 2 x 3 x 4检测题1．美国“肯尼迪号”航空母舰上有帮助飞机起飞的弹射系统.已知“F—A18”型战斗机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m/s2，起飞速度为50m/s，若该飞机滑行100m时起飞，则弹射系统必须使飞机具有的速度为（）A．30m/s B．40m/s C．20m/s D．10m/s2．汽车以20m/s的速度做匀速运动，某时刻关闭发动机而做匀减速运动，加速度大小为5m/s2，则它关闭发动机后通过37.5m所需时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s3．汽车进行刹车试验，若速度从8m/s匀减速到零所用的时间为1 s，按规定速率为8m/s的汽车刹车后位移不得超过5.9m，那么上述刹车试验是否符合规定（）A．位移为8m，符合规定B．位移为8m，不符合规定C．位移为4m，符合规定D．位移为4m，不符合规定4．某同学在研究小车运动实验中，获得一条点迹清晰的纸带.每隔0.02 s打一个点，该同学选择A、B、C、D四个计数点，测量数据如图所示，单位是cm.求（1）小车在B点的速度；（2）小车的加速度。

匀变速直线运动教案（集合6篇）匀变速直线运动教案第1篇一、教材分析本节的内容是让学生熟练运用匀变速直线运动的位移与速度的关系来解决实际问题，教材先是通过一个例题的求解，利用公式x=v0t+at2和v=v0+at推导出了位移与速度的关系：v2-v02=2ax，到本节为止匀变速直线运动的速度—时间关系、位移—时间关系、位移—速度关系就都学习了，解题过程中应注意对学生思维的引导，分析物理情景并画出运动示意图，选择合适的'公式进行求解，并培养学生规范书写的习惯，解答后注意解题规律，学生解题能力的培养有一个循序渐进的过程，注意选取的题目应由浅入深，不宜太急，对于涉及几段直线运动的问题，比较复杂，引导学生把复杂问题变成两段简单问题来解。

二、目标1知识与技能（1）理解匀变速直线运动的位移与速度的关系。

（2）掌握匀变速直线运动的位移、速度、加速度和时间的关系，会用公式解决匀变直线运动的实际问题。

（3）提高匀变速直线运动的分析能力，着重物理情景的过程，从而得到一般的学习方法和思维。

（5）培养学生将已学过的数学规律运用到物理当中，将公式、图象及物理意义联系起来加以运用，培养学生运用数学工具解决物理问题的能力。

2过程与方法利用多媒体课件与课堂学生动手实验相互结合，探究匀变速直线运动规律的应用的方法和思维。

3情感态度与价值观既要联系的观点看问题，还要具体问题具体分析。

三、教学重、难点具体到实际问题当中对物理意义、情景的分析。

四、学情分析我们的学生属于A、B、C分班，学生已有的知识和实验水平均有差距。

有些学生仅仅对公式的表面理解会做套公式的题，对物理公式的内涵理解不是很透彻，所以讲解时需要详细。

五、教学方法讲授法、讨论法、问题法、实验法。

六、课前准备1．学生的学习准备：预习已学过的两个公式（1）速度公式（2）位移与时间公式2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

高一物理新授课学案《匀变速直线运动的规律及结论》类型一匀变速直线运动的基本公式的应用1．匀变速直线运动基本公式的比较2公式列方程→解方程，必要时进行讨论(比如刹车问题)。

例1一个滑雪的人，从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度为1.8 m/s，末速度为5.0 m/s，他通过这段山坡需要多长时间？针对训练1．(多选)一个物体以v0＝8 m/s的初速度沿光滑斜面向上滑，加速度的大小为2 m/s2，冲上最高点之后，又以相同的加速度往回运动，则()A．1 s末的速度大小为6 m/sB．3 s末的速度为零C．2 s内的位移大小是12 mD．5 s内的位移大小是15 m类型二匀变速直线运动的推论的应用1．平均速度公式：做匀变速直线运动的物体，在任意一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半，即v＝v0＋v2＝vt2。

推导：2．逐差相等公式（1）在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2。

（2）对于不相邻的第m段、第n段位移x m和x n，则有x m－x n＝(m－n)aT2。

推导：例2一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m 和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度、末速度及加速度大小。

针对训练2．一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s ,4 s内位移为20 m，求：(1)质点4 s末的速度大小；(2)质点2 s末的速度大小。

类型三初速度为零的匀加速直线运动的比例式的应用1．按时间等分(设相等的时间间隔为T)的比例式(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶v n＝1∶2∶3∶…∶n。

(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶x n＝12∶22∶32∶…∶n2。

(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为x1′∶x2′∶x3′∶…∶x n′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。

学案10 匀变速直线运动规律的应用[目标定位] 1.会推导匀变速直线运动的速度与位移的关系式，并会用此公式进行分析和相关计算.2.能推导初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式，并能简洁应用.3.会分析刹车类问题，同时把握逆向思维法.4.会分析简洁的追及相遇问题．一、速度位移公式的推导及应用 [问题设计]射击时，火药在枪筒中的燃烧．燃气膨胀，推动弹头加速运动．假如把子弹在枪筒中的运动看做匀加速直线运动，子弹在枪筒中运动的初速度为v 0，子弹的加速度为a ，枪筒长为x .试分析求解子弹射出枪口时的速度． 答案 v t ＝v 0＋at① x ＝v 0t ＋12at 2②由①②两式联立消去中间变量t ，得：v 2t －v 20＝2ax ，v t ＝2ax ＋v 20[要点提炼]1．匀变速直线运动的位移速度公式：v 2t －v 20＝2ax ，此式是矢量式，应用解题时确定要先选定正方向，并留意各量的符号．若v 0方向为正方向，则：(1)物体做加速运动时，加速度a 取正值；做减速运动时，加速度a 取负值．(2)位移x >0说明物体通过的位移方向与初速度方向相同，x <0说明物体通过的位移方向与初速度方向相反． 2．当v 0＝0时，v 2t ＝2ax .3．公式特点：该公式不涉准时间． [延长思考]物体做匀加速运动，取初速度v 0方向为正方向，应用公式v 2t －v 20＝2ax 求解运动位移为x 时的速度v t 时，v t有一正一负两解，两解都有意义吗？为什么？若匀减速运动呢？答案 物体做单一方向的加速直线运动，速度不行能是负值，故正值有意义，负值无意义应舍掉． 若物体做匀减速直线运动，依据状况而定．假如物体做单方向的匀减速运动，只有正值有意义；假如物体先做减速运动，速度减到零后再反向加速运动，速度的两个解都有意义，正值与负值分别表示减速运动过程中和反向加速运动过程中位移为x 时的速度． 二、初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式一个物体做初速度为零的匀加速直线运动，以t ＝0开头计时，请同学们填空：(1)物体T 末、2T 末、3T 末、…、nT 末的瞬时速度之比v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝__________. (2)T 内、2T 内、3T 内、…、nT 内的位移之比x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝__________.(3)第一个T 内、其次个T 内、第三个T 内、…、第n 个T 内的位移之比x 1′∶x 2′∶x 3′…∶x n ′＝________. (4)通过前x 、前2x 、前3x 、…、前nx 时的速度之比v 1′∶v 2′∶v 3′∶…∶v n ＝__________. (5)通过前x 、前2x 、前3x 、…、前nx 的位移所用的时间之比t 1∶t 2∶t 3∶…∶t n ＝____________. (6)通过连续相等的位移所用时间之比t 1′∶t 2′∶t 3′∶…∶t n ′＝__________. 答案 设物体的加速度为a(1)由v t ＝at 知：v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n(2)由x ＝12at 2得：x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝1∶22∶32∶…∶n 2(3)由x ＝12at 2得第一个T 内位移x 1′＝12a ×T 2＝12aT 2其次个T 内位移x 2′＝12a ×(2T )2－12a ×T 2＝32aT 2第三个T 内位移x 3′＝12a ×(3T )2－12a ×(2T )2＝52aT 2……第n 个T 内位移x n ′＝12a ×(nT )2－12a [(n －1)T ]2＝2n －12aT 2所以x 1′∶x 2′∶x 3′∶…∶x n ′＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)(4)由v 2t ＝2ax 得v 1′∶v 2′∶v 3′∶…∶v n ′＝1∶2∶3∶…∶n(5)由x ＝12at 2得t 1∶t 2∶t 3∶…∶t n ＝1∶2∶3∶…∶n(6)由x ＝12at 2得t ＝2xa即t 1′＝2xat 2′＝2×2x a －2x a ＝2xa (2－1)t 3′＝2×3x a －2×2x a ＝2xa (3－2)… t n ′＝2×nx a－2×(n －1)xa＝2xa(n －n －1) 则t 1′∶t 2′∶t 3′∶…∶t n ′＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n－n －1)一、速度与位移关系的简洁应用例1 机场跑道长为2 500 m ，喷气式飞机以恒定的加速度a ＝3.5 m /s 2加速，当速率达95 m/s 时可升空．假定飞机在到达此速率时因故要停止飞行，则喷气式飞机的制动系统至少要产生多大的加速度？ 解析 设飞机从开头起飞到达到95 m/s 时前进的位移为x 1由v 2t －v 20＝2ax ，代入数据解得x 1≈1 289.3 m.设飞机制动过程的加速度为a ′，飞机制动过程中的最大位移x2＝2 500 m－1 289.3 m＝1 210.7 m由0－v2t＝2a′x2得：a′≈－3.73 m/s2，“－”号表示与速度方向相反．答案 3.73 m/s2针对训练A、B、C三点在同一条直线上，一物体从A点由静止开头做匀加速直线运动，经过B点的速度是v，到C点的速度是3v，则x AB∶x BC等于()A．1∶8 B．1∶6C．1∶5 D．1∶3答案A解析由公式v2t－v20＝2ax，得v2＝2ax AB，(3v)2＝2a(x AB＋x BC)，两式相比可得x AB∶x BC＝1∶8.二、初速度为零的匀变速直线运动的比例式例2一观看者站在第一节车厢前端，当列车从静止开头做匀加速运动时(设每节车厢的长度相同，车厢间间隙可以不计)()A．每节车厢末端经过观看者的速度之比是1∶2∶3∶…∶nB．每节车厢末端经过观看者的速度之比是1∶2∶3∶…∶nC．在连续相等时间里经过观看者的车厢数之比是1∶3∶5∶…∶(2n－1)D．在相等时间里经过观看者的车厢数之比是1∶2∶3∶…∶n解析设每节车厢长为l，由2ax＝v2t得第一节车厢末端经过观看者时v1＝2al，同理，其次节车厢末端经过观看者时v2＝2a·2l……第n节车厢末端经过观看者时，v n＝2a·nl，所以有v1∶v2∶v3∶…∶v n＝1∶2∶3∶…∶n，选项A正确．由连续相等时间里的位移之比可知经过观看者的车厢数之比是1∶3∶5∶…∶(2n－1)，选项C正确．答案AC三、追及相遇问题1．分析追及相遇问题时，确定要抓住(1)位移关系：x2＝x0＋x1.其中x0为开头追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追赶物体的位移，x2表示后面物体的位移．(2)临界状态：v1＝v2.当两个物体的速度相等时，可能毁灭恰好避开相撞、相距最远、相距最近等临界、最值问题．2．处理追及相遇问题的三种方法(1)物理方法：通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解．(2)数学方法：由于匀变速直线运动的位移表达式是时间t的一元二次方程，我们可利用判别式进行争辩：在追及问题的位移关系式中，若有两个解，并且两个解都符合题意，说明相遇两次；有一个解，说明刚好追上或相遇；无解，说明不能够追上或相遇．(3)图像法：对于定性分析的问题，可利用图像法分析，避开繁杂的计算，快速求解．例3一辆汽车以3 m/s2的加速度启动的瞬间，另一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过．(1)汽车确定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？(2)在汽车追上自行车前，当v汽<v自时，两者间的距离如何变化？当v汽>v自时，两者间的距离如何变化？汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多大？解析(1)由于汽车做加速运动，故汽车确定能追上自行车．汽车追上自行车时，两者位移相等，x汽＝x自，即12at2＝v自t，得：t＝2v自a＝2×63s＝4 sv汽＝at＝3×4 m/s＝12 m/s(2)开头阶段，v汽<v自，两者间的距离渐渐变大．后来v汽>v自，两者间的距离又渐渐减小．所以当v汽＝v自时，两者距离最大．设经过时间t1，v汽＝v自，则at1＝v自，代入得t1＝2 s此时x自＝v自t1＝6×2 m＝12 mx汽＝12at21＝12×3×22 m＝6 m最大距离Δx＝x自－x汽＝6 m答案见解析1．速度位移关系：v2t－v20＝2ax.2．初速度为零的几个比例式．3．刹车类问题：首先应确定刹车时间t刹＝－v0a，然后将给定的时间与t刹对比再进行求解．4．逆向思维法：末速度为零的匀减速直线运动逆向看成是初速度为零的匀加速直线运动．5．追及相遇问题⎩⎪⎨⎪⎧一个条件：速度相等两个关系：位移关系、时间关系1．(速度与位移关系的简洁应用)两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它们运动的最大位移之比为()A．1∶2 B．1∶4C．1∶ 2 D．2∶1答案B解析由0－v20＝2ax得x1x2＝v201v202，故x1x2＝(12)2＝14，B正确．2．(初速度为零的匀加速直线运动的比例式)一石块从楼房阳台边缘向下做自由落体运动到达地面，把它在空中运动的时间分为相等的三段，假如它在第一段时间内的位移是1.2 m ，那么它在第三段时间内的位移是( ) A ．1.2 m B ．3.6 m C ．6.0 m D ．10.8 m答案 C解析 将该自由落体运动时间分成了相等的三段，由其规律知：第T 内、第2T 内、第3T 内的位移之比为x 1∶x 2∶x 3＝1∶3∶5，第一段时间内的位移为1.2 m ，则第三段时间内的位移为x ＝1.2×5 m ＝6.0 m ，故选C. 3．(追及相遇问题)A 、B 两列火车，在同一轨道上同向行驶，A 车在前，其速度v A ＝10 m /s ，B 车在后，其速度v B ＝30 m/s ，因大雾能见度低，B 车在距A 车x 0＝85 m 时才发觉前方有A 车，这时B 车马上刹车，但B 车要经过180 m 才能停止，问：B 车刹车时A 车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B 车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？ 答案 不会 5 m解析 B 车刹车至停下来过程中，由v 2t －v 20＝2ax ，得a B ＝－v 2B2x ＝－2.5 m/s 2假设不相撞，设经过时间t 两车速度相等，对B 车有 v A ＝v B ＋a B t 解得t ＝8 s此时，B 车的位移为x B ＝v B t ＋12a B t 2＝160 mA 车位移为x A ＝v A t ＝80 m因x B <x 0＋x A ，故两车不会相撞，两车最近距离为Δx ＝5 m.题组一 速度与位移关系的理解与应用1．一辆汽车以20 m /s 的速度沿平直路面行驶，当汽车以大小为5 m/s 2的加速度刹车时，其刹车距离为()A ．40 mB ．20 mC ．100 mD ．4 m 答案 A 解析 已知v 0＝20 m /s ，a ＝－5 m/s 2，v t ＝0，由v 2t －v 20＝2ax得刹车距离x ＝－v 202a ＝－2022×(－5)m ＝40 m ．A正确．2．2021年岁末中国首艘航母“辽宁舰”在南海传出“顺当完成作战科目试验”的消息．歼­15战机成功起降“辽宁舰”，确立了中国第一代舰载机地位．如图1所示，航空母舰上有挂念飞机起飞的弹射系统，已知歼­15战机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m /s 2, 战机滑行100 m 时起飞，起飞速度为50 m/s ，则航空母舰静止时弹射系统必需使歼­15战机具有的初速度为( )图1 A ．10 m /s B ．20 m/s C ．30 m /s D ．40 m/s答案 D解析 依据运动公式v 2t －v 20＝2ax ，解得v 0＝v 2t －2ax ＝502－2×4.5×100 m /s ＝40 m/s.D 正确．3．一滑雪运动员由静止开头沿足够长的斜坡匀加速下滑．当下滑距离为l 时，速度为v ，那么，当他的速度是v2时，下滑的距离是( ) A.l 2 B.2l 2 C.l 4 D.3l 4 答案 C 解析 由v 2t －v 20＝2ax知v 2t ＝2al ，得l ＝v 2t 2a ；当速度为v t 2时有(v t 2)2＝2al 1，得l 1＝v 2t 8a ＝l4，C 正确． 4．一物体从斜面顶端由静止开头匀加速下滑，经过斜面中点时速度为2 m/s ，则物体到达斜面底端时的速度为( ) A ．3 m /s B ．4 m/s C ．6 m/s D ．2 2 m/s答案 D解析 由题意得v 2t ＝2ax,22＝2a ·x2，故v t ＝2 2 m/s ，D 正确．5．一列火车由静止以恒定的加速度启动出站，设每列车厢的长度相同，不计车厢间间隙距离，一观看者站在第一列车厢前端，他通过测时间估算出第一列车厢末端驶过他时的速度为v 0，则第n 列车厢末端驶过他时的速度为( )A ．n v 0B ．n 2v 0 C.n v 0 D ．2n v 0 答案 C解析 由v 2t ＝2ax 得：v 20＝2a ·lv 2＝2a ·nl联立解得：v ＝n v 0，故选C.题组二 初速度为零的匀加速直线运动的比例式6．做匀减速直线运动的物体经4 s 后停止，若在第1 s 内的位移是14 m ，则最终1 s 内的位移是( ) A ．3.5 m B ．2 m C ．1 m D ．0 答案 B解析 物体做匀减速直线运动至停止，可以把这个过程看做反向的初速度为零的匀加速直线运动，则连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7，所以由14 m 7＝x 11得，所求位移x1＝2 m.7．完全相同的三块木块并排固定在水平面上，一颗子弹以速度v 水平射入，若子弹在木块中做匀减速直线运动，且穿过第三块木块后速度恰好为零，则子弹依次射入每块木块时的速度之比和穿过每块木块所用时间之比为( )A ．v 1∶v 2∶v 3＝3∶2∶1B ．v 1∶v 2∶v 3＝3∶2∶1C ．t 1∶t 2∶t 3＝1∶(2－1)∶(3－2)D ．t 1∶t 2∶t 3＝(3－2)∶(2－1)∶1 答案 BD8．一个物体从静止开头做匀加速直线运动，它在第1秒内与第2秒内位移大小之比为x 1∶x 2，在通过第1米时与通过第2米时的速度大小之比为v 1∶v 2，则下列说法正确的是( ) A ．x 1∶x 2＝1∶3，v 1∶v 2＝1∶2 B ．x 1∶x 2＝1∶3，v 1∶v 2＝1∶2 C ．x 1∶x 2＝1∶4，v 1∶v 2＝1∶2 D ．x 1∶x 2＝1∶4，v 1∶v 2＝1∶2 答案 B解析 物体从静止开头做匀加速直线运动，它在连续相等的时间内的位移之比x 1∶x 2∶x 3……∶x n ＝1∶3∶5∶……∶(2n －1)，所以x 1∶x 2＝1∶3；由v 2t ＝2ax 得v 1∶v 2＝1∶ 2.9．一观看者发觉，每隔确定时间就有一个水滴自8 m 高处的屋檐落下，而且当看到第五滴水刚要离开屋檐时，第一滴水正好落到地面，那么这时其次滴水离地面的高度是(g 取10 m/s 2)( ) A ．2 m B ．2.5 m C ．2.9 m D ．3.5 m答案 D解析 由初速度为零的匀变速直线运动的比例式知相邻水滴位移比为1∶3∶5∶7，所以其次滴水到地面(第一滴)的距离应为总高度的71＋3＋5＋7＝716，所以其离地距离为716×8 m ＝3.5 m.题组三 追及相遇问题及综合应用10．为了平安，汽车过桥时的速度不能太大．一辆汽车由静止动身做匀加速直线运动，用10 s 时间通过一座长120 m 的桥，过桥后的速度是14 m/s.请计算： (1)它刚开上桥头时的速度有多大； (2)桥头与动身点的距离多远． 答案 (1)10 m/s (2)125 m解析 (1)设汽车刚开上桥头时的速度为v 1，过桥后的速度为v 2，则有x ＝v 1＋v 22tv 1＝2xt －v 2＝(2×12010－14) m /s ＝10 m/s.(2)汽车的加速度a ＝v 2－v 1t ＝14－1010m /s 2＝0.4 m/s 2桥头与动身点的距离x ′＝v 212a ＝1002×0.4m ＝125 m.11．高速大路给人们带来极大便利，但由于在高速大路上行驶的汽车速度很大，雾天曾毁灭过几十辆车追尾的事故，造成极大的人身损害和财产损失．现假设某条高速大路限制速度为120 km /h ，某种雾天的能见度(即观看者与能观看的最远目标间的距离)为37 m ，汽车紧急制动的最大加速度大小为8 m/s 2，制动时司机的反应时间(即司机发觉状况到踩下刹车的时间，该时间内汽车照旧匀速运动)为0.6 s ，求：(1)当汽车速度为120 km /h 时，突然以8 m/s 2的最大加速度紧急制动，从踩下刹车到汽车停止运动，汽车滑行的距离x ；(2)在该雾天，为了平安，汽车行驶的最大速度v . 答案 (1)69.4 m (2)20 m/s解析 (1)v 1＝120 km/h ＝1003 m/s ，v 2＝0，a ＝－8 m/s 2 2ax ＝v 22－v 21解得：x ＝6259m ≈69.4 m.(2)能见度37米为停车总位移，设反应时间位移为x 1，刹车位移为x 2有 x 1＝v t,2ax 2＝0－v 2，且x 1＋x 2＝37 m 解得：v ＝20 m/s12．一辆货车以8 m /s 的速度在平直铁路上行驶，由于调度失误，在后面600 m 处有一辆客车以72 km/h 的速度向它靠近．客车司机发觉后马上合上制动器，但客车要滑行2 000 m 才能停止．求： (1)客车滑行的加速度大小为多少； (2)通过计算分析两车是否会相撞． 答案 (1)0.1 m/s 2 (2)见解析 解析 (1)由v 2t －v 20＝2ax得客车滑行的加速度大小为a ＝v 222x ＝2022×2 000m /s 2＝0.1 m/s 2(2)假设不相撞，设两车达到共同速度用时为t ，则 v 2－at ＝v 1，t ＝120 s货车在该时间内的位移x 1＝v 1t ＝8×120 m ＝960 m 客车在该时间内的位移x 2＝v 1＋v 22t ＝1 680 m 位移大小关系：x 2＝1 680 m>600 m ＋x 1＝1 560 m ，故会相撞．。

第三讲 匀变速直线运动的规律【 知识要点 】一、匀变速直线运动的规律(1)速度公式：vt ＝v0＋at.(2)位移公式：s ＝v0t ＋12at2. (3)速度位移公式：vt2－v02=2aX二、由匀变速直线运动的v －t 图像可获得的信息(如图所示)(1)由图像可直接读出任意时刻的瞬时速度，图像与纵轴的交点(截距)表示初速度．(2)图线的斜率表示物体运动的加速度．(3)图线与横轴所包围的“面积”表示位移大小．三、初速度为零的匀变速直线运动的比例式1．初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间为T)的比例式(1)T 末、2T 末、3T 末、……、nT 末瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶……∶vn ＝1∶2∶3∶……∶n(2)T 内、2T 内、3T 内、……、nT 内的位移之比s1∶s2∶s3∶……∶sn ＝12∶22∶32∶……∶n2(3)第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内、……、第n 个T 内的位移之比s1′∶s2′∶s3′∶……∶sn ′＝1∶3∶5∶……∶(2n －1)2．初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为s)的比例式(1)通过前s 、前2s 、前3s ……、前ns 时的速度之比v1∶v2∶v3∶……∶vn ＝1∶2∶3∶……∶n(2)通过前s 、前2s 、前3s ……、前ns 的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶……∶tn ＝1∶2∶3∶……∶n(3)通过连续相等的位移所用时间之比t1′∶t2′∶t3′∶……∶tn ′＝1∶(2－1)∶(3－2)∶……∶(n －n －1)注意 (1)以上比例式成立的条件是物体做初速度为零的匀加速直线运动．(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化．【典型例题】【例题1】 【题干】一物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a ＝2 m/s2，求：(1)第5 s 末物体的速度多大？(2)前4 s 的位移多大？(3)第4 s 内的位移多大？【解析】 (1)第5 s 末物体的速度由v1＝v0＋at1得v1＝0＋2×5 m/s＝10 m/s(2)前4 s 的位移由s1＝v0t ＋12at2 得s1＝0＋12×2×42 m＝16 m (3)物体第3 s 末的速度v2＝v0＋at2＝0＋2×3 m/s＝6 m/s则第4 s 内的位移s2＝v2t3＋12at32＝6×1 m＋12×2×12 m＝7 m 【例题2】【题干】一个物体以v0＝8 m/s 的初速度沿光滑斜面向上滑，加速度的大小为2 m/s2，冲上最高点之后，又以相同的加速度往回运动．则( )A ．1 s 末的速度大小为6 m/sB ．3 s 末的速度为零C ．2 s 内的位移大小是12 mD ．5 s 内的路程是15 m【解析】由t ＝vt －v0a，物体冲上最高点的时间是4 s ，又根据vt ＝v0＋at ，物体1 s 末的速度为6 m/s ，A 对，B 错．根据s ＝v0t ＋12at2，物体2 s 内的位移是12 m,4 s 内的位移是16 m ，第5 s 内的位移沿斜面向下大小为1 m ，所以5 s 内的路程是17 m ，C 对，D 错．【答案】AC【例题3】【题干】一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，已知途中先后经过相距27 m 的A 、B 两点所用时间为2 s ，汽车经过B 点时的速度为15 m/s.求：(1)汽车经过A 点时的速度大小和汽车的加速度；(2)汽车的出发点O 到A 点的距离．【解析】(1)设汽车运动方向为正方向，过A 点时速度为vA ，故由s ＝v0＋vt 2t 得sAB ＝vA ＋vB 2t 代入数据解得vA ＝12 m/s对AB 段有a ＝vB －vA t＝1.5 m/s2 (2)对OA 段(v0＝0)，由vt2－v02＝2as 得sOA ＝vt2/2a ＝48 m【答案】(1)12 m/s 1.5 m/s (2)48 m【例题4】【题干】质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2 s 、第2个2 s 和第5个2 s 内的位移之比为( )A ．1∶4∶25B ．1∶3∶5C ．1∶3∶9D ．2∶2∶1【解析】质点做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内位移之比为1∶3∶5∶……∶(2n－1)，所以质点在第1个2 s 、第2个2 s 和第5个2 s 内的位移之比为1∶3∶9，因此选C.【答案】C【课后作业】【基础】1、【题干】改革开放以来，人们的生活水平得到了很大的改善，快捷、方便、舒适的家用汽车作为代步工具正越来越多的走进寻常百姓家中．汽车起动的快慢和能够达到的最大速度，是衡量汽车性能的指标体系中的两个重要指标．在平直的公路上，汽车启动后在第10 s 末速度表的指针指在如图所示的位置，前10 s 内汽车运动的距离为150 m ．下列说法中正确的是A. 第10 s 末汽车的瞬时速度大小是70 m/sB. 第10 s 末汽车的瞬时速度大小是70 km/hC. 第10 s内汽车的平均速度大小是70 m/sD. 前10 s内汽车的平均速度大小是35 m/s【答案】B【解析】A、汽车的速度表显示的是瞬时速度，由图可知在第10s末汽车的瞬时速度是70km/h，故A错误，B正确；C、10秒内汽车的位移是150m，则在10s内汽车的平均速度15m/s，故CD错误。

匀变速直线运动规律的应用学习目标：1.[物理观念]理解匀变速直线运动的位移与速度的关系． 2.[科学思维]了解匀变速直线运动的位移与速度关系的推导方法． 3.[科学思维]掌握匀变速直线运动的位移、速度、加速度和时间之间的相互关系，会用公式解决匀变速直线运动的问题．一、位移与速度的关系1．公式：v 2t －v 20＝2ax ；若v 0＝0，则v 2t ＝2ax . 2．推导：速度公式v t ＝v 0＋at ，位移公式x ＝v 0t ＋12at 2由以上两式可得：v 2t －v 20＝2ax . 二、匀变速直线运动的推论 中间位置的瞬时速度 1．公式：v x 2＝v 20＋v 2t 2.2．推导：在匀变速直线运动中，某段位移x 的初、末速度分别是v 0和v t ，加速度为a ，中间位置的速度为v x 2，则根据速度与位移关系式，对前一半位移：v 2x 2－v 20＝2a ·x 2，对后一半位移v 2t －v 2x 2＝2a ·x 2，即v 2x 2－v 20＝v 2t －v 2x 2，所以v x 2＝v 20＋v 2t2.1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)公式v 2t －v 20＝2ax 适用于所有的直线运动．(×)(2)公式v 2t －v 20＝2ax 中的四个物理量都是矢量，各量的正、负表示与规定的正方向相同还是相反．(√)(3)因为v 2t －v 20＝2ax ，则v 2t ＝v 20＋2ax ，所以物体的末速度v t 一定大于初速度v 0.(×) (4)只有初速度为零的匀加速直线运动，v x 2>v t2的关系才是成立的.(×)2．物体从长为L 的光滑斜面顶端由静止开始下滑，滑到底端时的速率为v ，如果物体以v 0＝v2的初速度从斜面底端沿斜面上滑，上滑时的加速度与下滑时的加速度大小相同，则可以达到的最大距离为( )A ．L 2B ．L 3C ．L4 D ．2L C [对于下滑阶段有：v 2＝2aL ， 对于上滑阶段：0－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 22＝－2ax ，联立解得x ＝L4，A 、B 、D 错误，C 正确．]速度与位移的关系提示：由v 2－v 20＝2ax 得x ＝v 22a＝3240 m.2t 20(1)适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动．(2)公式的矢量性：公式中v 0、v t 、a 、x 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v 0方向为正方向．①物体做加速运动时，a 取正值，做减速运动时，a 取负值．②x >0，说明物体位移的方向与初速度方向相同；x <0，说明物体位移的方向与初速度的方向相反．2．两种特殊形式(1)当v 0＝0时，v 2t ＝2ax .(初速度为零的匀加速直线运动)． (2)当v t ＝0时，－v 20＝2ax .(末速度为零的匀减速直线运动)．【例1】 我国多地出现的雾霾天气，给交通安全带来了很大的危害，某地雾霾天气中高速公路上的能见度只有72 m ，要保证行驶前方突发紧急情况下汽车的安全，汽车行驶的速度不能太大．已知汽车刹车时的加速度大小为5 m/s 2.(1)若前方紧急情况出现的同时汽车开始制动，汽车行驶的速度不能超过多大？(结果可以带根号)(2)若驾驶员从感知前方紧急情况到汽车开始制动的反应时间为0.6 s，汽车行驶的速度不能超过多大？思路点拨：①该问题中减速过程中，已知量和未知量都不涉及时间，可用速度和位移的关系式求解．②在驾驶员的反应时间内，汽车做匀速直线运动．[解析](1)汽车刹车的加速度a＝－5 m/s2，要在x＝72 m内停下，设行驶的速度不超过v1，由运动学公式有：0－v21＝2ax代入题中数据可得v1＝12 5 m/s.(2)设汽车行驶的速度不超过v2，在驾驶员的反应时间t0内汽车做匀速运动的位移为x1，则x1＝v2t0刹车减速位移x2＝－v222ax＝x1＋x2联立各式代入数据可得v2＝24 m/s.[答案](1)12 5 m/s (2)24 m/s运动学问题的一般求解思路(1)弄清题意．建立一幅物体运动的图景，尽可能地画出草图，并在图中标明一些位置和物理量．(2)弄清研究对象．明确哪些是已知量，哪些是未知量，据公式特点选用恰当公式．(3)列方程、求解．必要时要检查计算结果是否与实际情况相符合．[跟进训练]1．美国“肯尼迪”号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统．已知“F－15”型战斗机在跑道上加速时，产生的最大加速度为5 m/s2，起飞的最小速度是50 m/s，弹射系统能够使飞机具有的最大速度为30 m/s，则：(1)飞机起飞时在跑道上至少加速多长时间才能起飞？(2)航空母舰的跑道至少应该多长？[解析](1)飞机在跑道上运动的过程中，当有最大初速度、最大加速度时，起飞所需时间最短，故有t ＝v t －v 0a ＝50－305s ＝4 s则飞机起飞时在跑道上的加速时间至少为4 s. (2)由v 2t －v 20＝2ax 得x ＝v 2t －v 202a ＝502－3022×5m ＝160 m ，即航空母舰的跑道至少为160 m.[答案] (1)4 s (2)160 m匀变速直线运动的几个推论汽车以2 m/s 2的加速度由静止开始启动，若汽车做匀加速直线运动．请分别计算汽车1 s 、2 s 、3 s 、4 s 末的速度，以及1 s 、2 s 、3 s 、4 s 末的速度比．你能发现什么规律？提示：v ＝at 知v 1＝2 m/s ，v 2＝4 m/s ，v 3＝6 m/s ，v 4＝8 m/s ，故v 1∶v 2∶v 3∶v 4＝1∶2∶3∶4，速度比等于时间比．在匀变速直线运动中，某段位移x 的初末速度分别是v 0和v ，加速度为a ，中间位置的速度为v x 2，则根据速度与位移关系式，对前一半位移v 2x 2－v 20＝2a ·x 2，对后一半位移v 2－v 2x2＝2a ·x 2，即v 2x 2－v 2＝v 2－v 2x 2，所以v x 2＝v 20＋v22.由数学知识知：v x 2＞v t 2＝v 0＋v2.2．由静止开始的匀加速直线运动的几个重要比例 (1)1T 末、2T 末、3T 末……nT 末瞬时速度之比v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n .(2)1T 内、2T 内、3T 内……nT 内的位移之比x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝12∶22∶32∶…∶n 2.(3)第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内……第n 个T 内位移之比x Ⅰ∶x Ⅱ∶x Ⅲ∶…∶x n ＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)．(4)通过前x 、前2x 、前3x ……位移时的速度之比v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n .(5)通过前x 、前2x 、前3x ……的位移所用时间之比t 1∶t 2∶t 3∶…∶t n ＝1∶2∶3∶…∶n .(6)通过连续相等的位移所用时间之比t Ⅰ∶t Ⅱ∶t Ⅲ∶…∶t n ＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n －n －1)．【例2】 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s 末的速度为4 m/s.求：(1)第6 s 末的速度； (2)前6 s 内的位移； (3)第6 s 内的位移．思路点拨：①小球做初速度为零的匀加速直线运动． ②注意区别前6 s 和第6 s 的确切含义． [解析] (1)由于第4 s 末与第6 s 末的速度之比v 1∶v 2＝4∶6＝2∶3故第6 s 末的速度v 2＝32v 1＝6 m/s.(2)由v 1＝at 1得a ＝v 1t 1＝44m/s 2＝1 m/s 2. 所以第1 s 内的位移x 1＝12a ×12 m ＝0.5 m第1 s 内与前6 s 内的位移之比x 1∶x 6＝12∶62故前6 s 内小球的位移x 6＝36x 1＝18 m. (3)第1 s 内与第6 s 内的位移之比x Ⅰ∶x Ⅵ＝1∶(2×6－1)＝1∶11故第6 s 内的位移x Ⅵ＝11x Ⅰ＝5.5 m. [答案] (1)6 m/s (2)18 m (3)5.5 m有关匀变速直线运动推论的选取技巧(1)对于初速度为零，且运动过程可分为等时间段或等位移段的匀加速直线运动，可优先考虑应用初速度为零的匀变速直线运动的常用推论．(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，然后用比例关系，可使问题简化．[跟进训练]2.(多选)如图所示，一冰壶以速度v 垂直进入两个相同矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶可看成质点)( )A ．v 1∶v 2＝2∶1B ．v 1∶v 2＝2∶1C ．t 1∶t 2＝1∶ 2D ．t 1∶t 2＝(2－1)∶1BD [初速度为零的匀加速直线运动中连续两段相等位移的时间之比为1∶(2－1)，故所求时间之比为(2－1)∶1，所以C 错误，D 正确；由v ＝at 可得初速度为零的匀加速直线运动中的速度之比为1∶2，则所求的速度之比为2∶1，故A 错误，B 正确．]1．物理观念：速度与位移关系v 2－v 20＝2ax . 2．科学思维：v 0＝0的匀加速直线运动的推论.1．做匀减速直线运动的物体经4 s 后停止，若在第1 s 内的位移是14 m ，则最后1 s 内的位移是 ( )A ．3.5 mB ．2 mC ．1 mD ．0B [物体做匀减速直线运动至停止，可以把这个过程看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7，所以由14 m 7＝x 11得，所求位移x 1＝2 m ，故B 正确．]2．A 、B 、C 三点在同一条直线上，一物体从A 点由静止开始做匀加速直线运动，经过B 点的速度是v ，到C 点的速度是3v ，则x AB ∶x BC 等于 ( )A ．1∶8B ．1∶6C ．1∶5D ．1∶3A [由公式v 2t －v 20＝2ax ，得v 2＝2ax AB ，(3v )2＝2a (x AB ＋x BC )，两式相比可得x AB ∶x BC ＝1∶8.]3．一个做初速度为零的匀加速直线运动的物体，第1秒内位移和第3秒内位移的比为( )A ．1∶9B ．1∶5C ．1∶4D ．1∶316B [根据x ＝12at 2得1 s 内、2 s 内、3 s 内的位移之比为1∶4∶9，则第1 s 内、第3s 内的位移之比为1∶5，故B 正确，A 、C 、D 错误．]4．(新情境题)歼­31是中航工业沈阳飞机工业集团研制的第五代单座双发战斗机，某次该飞机起飞滑行时，从静止开始做匀加速运动，加速度大小为 4.0 m/s 2，飞机速度达到80 m/s 时离开地面升空．如果在飞机刚达到起飞速度时，突然接到命令停止起飞，飞行员立即使飞机紧急制动，飞机做匀减速运动，加速度的大小为5.0 m/s 2.请你为该类型的飞机设计一条跑道，使在这种特殊的情况下飞机停止起飞而不滑出跑道．那么，设计的跑道至少要多长？[解析] 由匀变速直线运动速度—位移关系式，可得飞机匀加速和匀减速阶段的位移分别为x 1＝v 2t2a 1＝8022×4.0 m ＝800 mx 2＝v 2t2a 2＝8022×5.0m ＝640 m所以，设计的跑道至少长x ＝x 1＋x 2＝(800＋640)m ＝1 440 m.[答案] 1 440 m。

一、匀变速直线运动的规律1.匀变速直线运动的公式（1）速度公式∶（2）位移公式:（3）速度—位移公式∶（4）平均速度公式:2.匀变速直线运动规律的应用技巧（1）任意相邻相等时间内的位移之差相等，即常用于纸带处理求加速度【例1】某同学利用重物牵引小车研究匀加速直线运动，从打出纸带中选出一条理想纸带，点O为纸带上选取的第一个计数点，每相邻计数点间有四个点未画出，已知打点计时器的频率为f，回答以下问题：（1）纸带的___________（填“左端”或“右端”）与小车相连；（2）该小车运动的加速度为=a___________；（用题中所给的字母表示）（3）如果当时交变电流的频率是48Hzf=，而计算时仍按50Hzf=处理，那么加速度的测量值将___________（填“偏大”“偏小”或“相等”）。

【变式1】实验装置中打点计时器所用电源的频率为50Hz。

图是某同学利用该实验装置研究小车做匀变速运动规律时打出的一条纸带，0、1、2、3、4是计数点，相邻两个计数点间都有四个计时点没有标出，部分实验数据如图所示，可求得小车的加速度大小为______2m/s（结果保留三位有效数字）；计数点2与计数点3间的距离2x=______cm；【变式2】某同学用打点计时器测量做匀加速直线运动的物体的加速度，电源频率f=50Hz在纸带上打出的点中，选出零点，每隔4个点取1个计数点，因保存不当，纸带被污染，如图所示，A、B、C、D是依次排列的4个计数点，仅能读出其中3个计数点到零点的距离：SA=16.6mm SB=126.5mm SD=624.5mm若无法再做实验，可由以上信息推知：物体的加速度大小为______（用SA、SB、SD和f表示）。

（2）某段时间的中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，即某段位移的中间位置的瞬时速度等于【例2】如图的平潭海峡公铁两用大桥是世界上最长的跨海公铁两用大桥，其中元洪航道桥的A、B、C三根桥墩间距分别为AB=132m、BC=196m。

新教材同步高中物理必修第一册学案：专题强化 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式v －t 图像的综合应用[学习目标] 1.理解平均速度公式、位移差公式，并能解决相关问题.2.进一步掌握v －t 图像的特点，会用v －t 图像求位移．一、匀变速直线运动的平均速度公式 1．公式的推导匀变速直线运动位移公式x ＝v 0t ＋12at 2平均速度v ＝x t ＝v 0＋12at初、末速度的平均值：v 0＋v 2＝v 0＋(v 0＋at )2＝v 0＋12at中间时刻的速度：2t v ＝v 0＋a ·t 2＝v 0＋12at故有v ＝v 0＋v2＝2t v 即在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值．如图1所示．图12.v ＝xt 与v ＝v 0＋v 2及v ＝2t v 的比较v ＝xt 适用于任何形式的运动；v ＝v 0＋v 2和v ＝2t v 只适用于匀变速直线运动．命题角度1 平均速度公式的应用物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a 1＝2 m/s 2，加速一段时间t 1，然后接着做匀减速直线运动，直到速度减为零，已知整个运动过程所用的时间t ＝20 s ，总位移为300 m ，则物体运动的最大速度为( ) A ．15 m /s B ．30 m/s C ．7.5 m/s D ．无法求解答案 B解析 设最大速度为v m ，匀加速直线运动过程：v ＝12(0＋v m )＝12v m ，x 1＝v m t 12，匀减速直线运动过程：v ＝12(v m ＋0)＝12v m ，x 2＝v m 2t 2，所以整个运动过程x ＝x 1＋x 2＝v m 2(t 1＋t 2)＝v m 2t ，解得v m ＝30 m/s.一物体做匀加速直线运动，共运动4 s ，第1 s 内位移为3 m ，最后2 s 位移为16 m ，则物体的加速度为( )A ．1 m /s 2B ．1.5 m/s 2C ．2 m /s 2D ．2.5 m/s 2 答案 C解析 第1 s 内平均速度：v 1＝3 m/s ，等于中间时刻0.5 s 时的瞬时速度，v 0.5＝v 1＝3 m/s 最后2 s 平均速度：v 2＝8 m/s ，等于中间时刻3 s 末的瞬时速度，v 3＝v 2＝8 m/s a ＝v 3－v 0.5Δt ＝8－33－0.5 m /s 2＝2 m/s 2，选项C 正确．命题角度2 中间时刻与中间位置的瞬时速度一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l ，火车头经过某路标时的速度为v 1，而车尾经过此路标时的速度为v 2，求： (1)火车中点经过此路标时的速度大小； (2)整列火车通过此路标所用的时间t . 答案 (1)v 12＋v 222 (2)2lv 1＋v 2解析 火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v 1，前进位移l ，速度变为v 2，所求的是质点经过l2处的速度，其运动简图如图所示．(1)前一半位移l 2，22x v －v 12＝2a ·l 2后一半位移l 2，v 22－22x v ＝2a ·l 2所以有22x v －v 12＝v 22－22x v ，故2x v ＝v 12＋v 222. (2)火车的平均速度v ＝v 1＋v 22故所用时间t ＝l v ＝2lv 1＋v 2.1．注意：在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度2t v 与中间位置的瞬时速度2x v 是不同的，2t v ＝v 0＋v2，2x v ＝v 02＋v 22. 2．可以证明：不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有2x v ＞2t v .二、位移差公式Δx ＝aT 2匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T 内的位移差都相等． 即Δx ＝x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1＝aT 2(如图2)．图2(1)推导：第一个时间T 内的位移：x 1＝v 0T ＋12aT 2第二个时间T 的位移：x 2＝(v 0＋aT )T ＋12aT 2第三个时间T 内的位移：x 3＝(v 0＋a ·2T )T ＋12aT 2……第n 个时间T 内的位移：x n ＝[v 0＋a ·(n －1)T ]T ＋12aT 2所以有Δx ＝x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1＝aT 2T 为连续相等的时间间隔，x 1、x 2、x 3、…、x n 为连续相等时间间隔内的位移． (2)应用①判断物体是否做匀变速直线运动如果Δx ＝x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1＝aT 2成立，则a 为一恒量，说明物体做匀变速直线运动． ②求加速度利用Δx ＝aT 2，可求得a ＝Δx T 2.③推论：x m －x n ＝(m －n )aT 2.(多选)(2019·长春外国语学校月考)一质点做匀加速直线运动，第3 s 内的位移是2 m ，第4 s 内的位移是2.5 m ，那么以下说法正确的是( ) A ．第2 s 内的位移是2.5 m B ．第3 s 末的瞬时速度是2.25 m/s C ．质点的加速度是0.125 m/s 2 D ．质点的加速度是0.5 m/s 2 答案 BD解析 由Δx ＝aT 2，得a ＝x 4－x 3T 2＝0.5 m/s 2，x 3－x 2＝x 4－x 3，所以第2 s 内的位移x 2＝1.5 m ，A 、C 错误，D 正确；第3 s 末的瞬时速度等于2～4 s 内的平均速度，所以v 3＝x 3＋x 42T ＝2.25 m/s ，B 正确．三、v －t 图像的综合应用 1．利用v －t 图像求位移v －t 图线与时间轴所围的“面积”表示位移．“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；通过的位移为时间轴上、下“面积”绝对值之差．通过的路程为时间轴上、下“面积”绝对值之和．(多选)(2019·北京市昌平区高一上期末)汽车以10 m/s 的速度在平直公路上匀速行驶，驾驶员发现正前方的斑马线上有行人，于是刹车礼让，汽车恰好停在斑马线前．假设驾驶员的反应时间为0.5 s ，汽车运动的v －t 图像如图3所示．下列说法中正确的是( )图3A ．在驾驶员反应时间内，汽车行驶的距离为5 mB ．从驾驶员发现情况到汽车停止，共行驶的距离为15 mC ．汽车刹车时的加速度大小为10 m/s 2D ．从驾驶员发现情况到汽车停止的平均速度为6 m/s 答案 ABD解析 汽车在驾驶员的反应时间内做匀速直线运动，则反应时间内汽车行驶的距离x 1＝v t 1＝10×0.5 m ＝5 m ，故A 正确；根据v －t 图像的“面积”表示物体通过的位移可知，从驾驶员发现情况到汽车停止，共行驶的距离x ＝10×0.5 m ＋12×10×2 m ＝15 m ，故B 正确；匀减速运动的加速度大小a ＝|Δv Δt |＝102 m /s 2＝5 m/s 2，故C 错误；从驾驶员发现情况到汽车停止的平均速度v ＝x t ＝152.5 m /s ＝6 m/s ，故D 正确．2．x －t 图像与v －t 图像的比较种类内容v －t 图像 x －t 图像 图线斜率 表示加速度 表示速度 图线与时间轴所围面积 表示位移无意义 两图线交点坐标表示速度相同，不表示相遇，往往是距离最大或最小的临界点表示相遇相同点表示物体做直线运动在如图4所示的x －t 图像和v －t 图像中，给出的四条曲线1、2、3、4分别代表四个不同物体的运动情况，则下列说法正确的是( )图4A ．图线1、3表示物体做曲线运动B ．x －t 图像中0～t 1时间内物体1和2的平均速度相等C ．v －t 图像中t 3时刻物体3的速度大于物体4的速度D ．两图像中t 2、t 4时刻分别表示物体2和4开始反向运动 答案 B解析 运动图像反映物体的运动规律，不是运动轨迹，无论速度—时间图像还是位移—时间图像，只能表示物体做直线运动，故A 错误；x －t 图像中0～t 1时间内物体1和2通过的位移相等，所用时间相等，则平均速度相等，故B 正确；由题图知，v －t 图像中t 3时刻物体3的速度等于物体4的速度，故C 错误；x －t 图像的斜率表示物体的速度，斜率大于0，表示物体沿正方向运动；斜率小于0，表示物体沿负方向运动．而t 2时刻之前物体2沿正方向运动，t 2时刻之后物体2沿负方向运动，故t 2时刻物体2开始反向运动．v －t 图像中速度的正负表示运动方向，物体4在0～t 5这段时间内速度始终为正，故t 4时刻物体4没有反向运动，故D 错误．1．(位移差公式Δx ＝aT 2的应用)(多选)如图5所示，物体做匀加速直线运动，A 、B 、C 、D 为其运动轨迹上的四点，测得AB ＝2 m ，BC ＝3 m ，且物体通过AB 、BC 、CD 所用的时间均为0.2 s ，则下列说法正确的是( )图5A ．物体的加速度为20 m/s 2B ．物体的加速度为25 m/s 2C ．CD ＝4 m D ．CD ＝5 m 答案 BC解析 由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx ＝aT 2，可得：a ＝BC －ABT 2＝25 m/s 2，故A 错误，B 正确；根据CD －BC ＝BC －AB ，可知CD ＝4 m ，故C 正确，D 错误．2.(v －t 图像的综合应用)(2019·山西大学附中月考)如图6是物体做直线运动的v －t 图像，由图可知，该物体( )图6A ．0～2 s 内和0～4 s 内的位移不相等B ．0～2 s 内和0～4 s 内的平均速度大小不相等C ．第1 s 内和第4 s 内的位移大小不相等D ．第3 s 内和第4 s 内的加速度不相同 答案 B解析 0～2 s 内物体的位移x 2＝(1＋2)×12 m ＝1.5 m ，则平均速度v 2＝x 2t 2＝0.75 m/s.0～4 s内物体的位移x 4＝1.5 m ＝x 2，则平均速度v 4＝x 4t 4＝0.375 m /s ，A 错，B 对．第1 s 内和第4 s内位移大小均为0.5 m ，C 错．第3 s 内和第4 s 内加速度均为－1 m/s 2，D 错．3．(平均速度公式的应用)一质点做匀变速直线运动，初速度v 0＝2 m/s ，前4 s 内位移为20 m ，求：(1)质点前4 s 内的平均速度大小； (2)质点第4 s 末的速度大小； (3)质点第2 s 末的速度大小． 答案 (1)5 m /s (2)8 m/s (3)5 m/s解析 (1)利用平均速度公式，前4 s 内的平均速度 v ＝x t ＝204 m /s ＝5 m/s(2)因为v ＝v 0＋v 42，代入数据解得， 第4 s 末的速度v 4＝8 m/s.(3)第2 s 末为这段时间的中间时刻，故v 2＝v ＝5 m/s.训练1 平均速度公式与位移差公式的应用1．(2019·北京西城区高一上期末)歼－20飞机在第十一届中国国际航空航天博览会(中国航展)上进行飞行展示，这是中国自主研制的新一代隐身战斗机首次公开亮相．假设该战斗机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，起飞的速度为v ，所经历的时间为t ，则起飞前的运动距离为( ) A ．v t B.v t 2C ．2v tD ．不能确定答案 B2．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图1所示，如果拍摄时每隔2 s 曝光一次，轿车车身总长为4.5 m ，那么这辆轿车的加速度为( )图1A ．1 m /s 2B ．2.25 m/s 2C ．3 m /s 2D ．4.25 m/s 2 答案 B解析 轿车车身总长4.5 m ，则题图中每一小格为1.5 m ，由此可算出两段距离分别为x 1＝12 m 和x 2＝21 m ，又T ＝2 s ，则a ＝x 2－x 1T 2＝21－1222m /s 2＝2.25 m/s 2，故选B.3．一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动，经过3 s 后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经过9 s 停止，已知物体经过斜面和水平地面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的位移与在水平地面上的位移之比是( ) A ．1∶1 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．3∶1 答案 C解析 设物体到达斜面底端时的速度为v ， 则物体在斜面上的平均速度v 1＝v2，在斜面上的位移x 1＝v 1t 1＝v2t 1在水平地面上的平均速度v 2＝v2，在水平地面上的位移x 2＝v 2t 2＝v2t 2所以x 1∶x 2＝t 1∶t 2＝1∶3，故选C.4．(多选)(2019·山西大学附中月考)一质点从A 点开始做匀加速直线运动，随后依次经过B 、C 、D 三点．已知AB 段、CD 段距离分别为5 m 、13 m ，质点经过AB 段、BC 段、CD 段时间相等，均为1 s ，则( ) A ．质点的加速度大小为4 m/s 2 B ．质点的加速度大小为2 m/s 2 C ．质点在C 点的速度大小为11 m/s D ．质点在B 点的速度大小为6 m/s 答案 AC解析 AB 、BC 、CD 段时间相等，均为T ＝1 s 由x 3－x 1＝2aT 2得a ＝x 3－x 12T 2＝13－52×12 m /s 2＝4 m/s 2 由x 2－x 1＝x 3－x 2得BC 段长度x 2＝9 m B 点对应AC 段的中间时刻，v B ＝v AC ＝x 1＋x 22T ＝5＋92×1m /s ＝7 m/s C 点对应BD 段的中间时刻，v C ＝vBD ＝x 2＋x 32T ＝9＋132×1m /s ＝11 m/s ，故A 、C 正确． 5．(2019·上海市延安中学期末)物体沿一直线运动，在t 0时间内通过的路程为s ，它在中间位置12s 处的速度为v 1，在中间时刻12t 0时的速度为v 2，则v 1和v 2的关系为( ) A ．当物体做匀加速直线运动时，v 1>v 2 B ．当物体做匀减速直线运动时，v 1<v 2 C ．当物体做匀加速直线运动时，v 1＝v 2D ．当物体做匀减速直线运动时，v 1＝v 2 答案 A解析 画出匀加速直线运动和匀减速直线运动的v －t 图像，如图所示，可很直观地看出总有v 1>v 2，只有A 正确．6．为了安全，汽车过桥的速度不能太大．一辆汽车由静止出发做匀加速直线运动，用了10 s 时间通过一座长120 m 的桥，过桥后瞬间的速度是14 m/s.求：(汽车可看成质点) (1)汽车刚开上桥头时的速度大小； (2)桥头与出发点间的距离． 答案 (1)10 m/s (2)125 m解析 (1)设汽车刚开上桥头时的速度为v 1， 则有x ＝v 1＋v 22tv 1＝2xt －v 2＝(2×12010－14) m /s ＝10 m/s.(2)汽车的加速度a ＝v 2－v 1t ＝14－1010 m /s 2＝0.4 m/s 2桥头与出发点间的距离x ′＝v 21－02a ＝1002×0.4m ＝125 m.7.从斜面上某一位置每隔0.1 s 释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图2所示的照片(照片与实际大小相同)，测得x AB ＝15 cm ，x BC ＝20 cm.试问：图2(1)小球的加速度的大小；(2)拍摄时小球在B 点时的速度的大小； (3)拍摄时C 、D 间的距离x CD ； (4)A 点的上方滚动的小球还有几个．答案 (1)5 m /s 2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m (4)2个 解析 (1)由推论Δx ＝aT 2可知，小球加速度为a ＝Δx T 2＝x BC －x AB T 2＝(20－15)×10－20.12m /s 2＝5 m/s 2.(2)由题意知B 点对应AC 段的中间时刻，所以B 点的速度等于AC 段的平均速度，即 v B ＝x AC 2T ＝(20＋15)×10－22×0.1 m /s ＝1.75 m/s.(3)由于连续相等时间内位移差恒定， 所以x CD －x BC ＝x BC －x AB ， 得x CD ＝2x BC －x AB＝2×20×10－2 m －15×10－2 m ＝0.25 m. (4)设A 点处小球的速度为v A ， 由于v A ＝v B －aT ＝1.25 m/s ，所以A 点处小球的运动时间为t A ＝v Aa ＝0.25 s ，所以在A 点的上方滚动的小球还有2个．训练2 v -t 图像的应用1．(多选)物体甲的x －t 图像和物体乙的v －t 图像分别如图1甲、乙所示，则关于这两个物体的运动情况，下列说法正确的是( )图1A ．甲在0～6 s 时间内运动方向不变，它通过的总位移大小为4 mB ．甲在0～6 s 时间内平均速度为零C ．乙在0～6 s 时间内通过的总位移为零D ．乙在0～6 s 时间内加速度大小不变，方向发生了变化 答案 AC解析 位移－时间图像中图线的斜率表示速度，甲在整个过程中图线的斜率不变，知甲运动的速度不变，总位移为Δx ＝2 m －(－2 m)＝4 m ，故A 正确，B 错误；乙在0～6 s 内，先向负方向做匀减速直线运动，后向正方向做匀加速直线运动，速度的方向在第3 s 时发生改变，图线与时间轴围成的面积表示位移，则乙在0～6 s 内总位移为零，故C 正确；在速度－时间图像中斜率表示加速度，整个过程中图线的斜率不变，知乙的加速度大小不变，方向也未发生改变，故D 错误．2.(多选)(2019·宁波市高一上期末)小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其v －t 图像如图2所示，则由图可知下列判断正确的是( )图2A ．小球能弹起的最大高度为1.25 mB ．小球能弹起的最大高度是0.45 mC ．小球第一次反弹后瞬间速度的大小为3 m/sD ．小球下落的最大速度为5 m/s 答案 BCD解析 图线在0.5～0.8 s 段表示小球反弹后上升过程，图线与时间轴围成的“面积”表示位移，故球能弹起的最大高度h ＝12×3×0.3 m ＝0.45 m ，故A 错误，B 正确；小球在0.5 s 末第一次反弹，小球第一次反弹的速度大小为3 m /s ，故C 正确；小球在0.5 s 末与地面相碰瞬间下落的速度最大，该最大速度为5 m/s ，故D 正确．3.(多选)做直线运动的物体的v －t 图像如图3所示．由图像可知( )图3A ．前10 s 物体的加速度为0.5 m /s 2，后5 s 物体的加速度为－1 m/s 2B ．15 s 末物体回到出发点C ．前15 s 内物体位移为37.5 mD ．前10 s 内的平均速度为2.5 m/s 答案 ACD解析 在v －t 图像中，图线斜率表示加速度，故前10 s 物体的加速度为a 1＝v －v 0t 1＝5－010 m /s 2＝0.5 m/s 2，后5 s 物体的加速度为a 2＝0－55 m /s 2＝－1 m/s 2，故A 正确；v －t 图线与时间轴所围“面积”表示位移，故物体在前15 s 内的位移为x ＝12×15×5 m ＝37.5 m ；前10 s 内的平均速度v ＝x 1t 1＝12×10×510m /s ＝2.5 m/s ，故B 错误，C 、D 正确．4.(2020·屯溪一中检测)某物体做直线运动，物体的v －t 图像如图4所示．若初速度的大小为v 0，末速度的大小为v 1，则在0～t 1时间内物体的平均速度( )图4A ．等于12(v 0＋v 1)B ．小于12(v 0＋v 1)C ．大于12(v 0＋v 1)D ．条件不足，无法比较答案 C解析 v －t 图线与时间轴所围的面积表示位移，显然位移大于图中梯形的面积，故在0～t 1时间内物体的平均速度大于12(v 0＋v 1)，选项C 正确，A 、B 、D 错误．5．(2019·太原五中阶段性检测)已知A 、B 两物体在同一直线上运动，v －t 图像如图5所示，则( )图5A ．0～4 s 内B 的位移比A 的位移大 B ．在t ＝4 s 时A 、B 两物体相遇C ．0～4 s 内B 在A 的前面D ．A 物体的加速度大于B 物体的加速度 答案 A解析 由v －t 图像与时间轴所围面积表示位移，故0～4 s 内，B 的位移大于A 的位移，A 正确．由于A 、B 两物体初始位置之间的关系未知，故不能确定其他时刻两物体的位置关系，故B 、C 错误．由v －t 图像的斜率表示加速度可知B 的加速度大于A 的加速度，故D 错误．6.(2019·哈尔滨四校高一上期中)有一质点从x 轴的坐标原点开始沿x 轴做直线运动，其速度随时间变化的图像如图6所示，下列四个选项的图像中，a 表示质点运动的加速度，x 表示质点的位移，其中正确的是( )图6答案 B解析 由v －t 图像可知，0～1 s 时间内质点的加速度为a ＝Δv Δt ＝21 m /s 2＝2 m/s 2，同理可得1～2 s 内质点的加速度为－2 m /s 2,2～3 s 内质点的加速度为－3 m/s 2,3～4 s 内质点的加速度为3 m/s 2，故A 错误，B 正确；位移—时间图线的斜率表示速度，质点做变速运动，则位移—时间图线应该是曲线，不是直线，故C 、D 错误．7.(2019·重庆市部分区县高一上学期期末)如图7所示为一质点做直线运动的v －t 图像．求：图7(1)前2 s 和后4 s 的加速度大小；(2)从开始运动到停止的过程中，质点运动的平均速度大小． 答案 见解析解析 (1)由题图可知，前2 s 的加速度a ＝Δv 1Δt 1＝3 m/s 2，后4 s 的加速度a 2＝Δv 2Δt 2＝－1.5 m /s 2，即后4 s 的加速度大小为1.5 m/s 2.(2)从开始运动到停止的过程中，加速时间t 1＝2 s ，匀速时间t 2＝4 s ，减速时间t 3＝4 s ， 质点位移x ＝v2(t 1＋t 3)＋v t 2＝42 mv ＝xt＝4.2 m/s.。