主动成长夯基达标1.若直线与圆的公共点的个数不少于1个,则直线与圆的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都不对思路解析:依据直线和圆三种位置关系的定义,结合条件“直线与圆的公共点的个数不少于1个”,应该确定直线与圆的位置关系是相交或相切. 答案:D2.⊙O 内最长的弦长为m ,直线l 与⊙O 相离且与O 的距离为d ,则d 与m 的关系是( ) A.d =mB.d >mC. 2m>dD. 2m <d 思路解析:因为圆的最长弦为直径,所以此圆的半径为2m.又因为直线l 与⊙O 相离,所以2m>d . 答案:C3.已知直线AB 经过⊙O 上的一点C ,并且OA =OB,CA =CB .求证:直线AB 是⊙O 的切线.图2-3-6思路分析:由于直线AB 经过⊙O 上一点C ,所以连结OC ,只要证明OC ⊥AB 即可.证明:如上图,连结OC ,∵OA =OB ,CA =CB ,∴OC 是等腰△OAB 底边AB 上的中线.∴AB ⊥OC.又∵点C 在⊙O 上, ∴AB 是⊙O 的切线.4.已知l 1、l 2分别切⊙O 于点A 、B,且l 1∥l 2,连结AB ,如图2-3-7所示. 求证:AB 是⊙O 的直径.图2-3-7思路分析:过A 、O 作直线OA ,再证OA 过点B.不能先连结AB,因为没有相关的定理可运用.证明:过O 、A 两点作直线OA .∵l 1切⊙O 于点A ,∴OA ⊥l 1.∵l 1∥l 2,∴OA ⊥l 2. ∵l 2切⊙O 于点B ,∴OA 过切点B （经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点）. ∴AB 为⊙O 的直径.5.如图2-3-8所示,D 是⊙O 的直径AB 延长线上一点,PD 是⊙O 的切线,P 是切点,∠D =30°.求证:PA =PD .图2-3-8思路分析:欲证PA =PD ,只要证∠A =∠D =30°即可.证明:连结OP ,∵PD 是⊙O 的切线,P 为切点,∴PO ⊥PD.又∵∠D =30°,∴∠POD =60°. ∴∠A =30°.∴∠A =∠D .∴PA =PD .6.如图2-3-9,已知直角梯形ABCD 中,∠A =∠B =90°,AD ∥BC ,E 为AB 上一点,DE 平分∠ADC ,CE 平分∠BCD .求证:以AB 为直径的圆与DC 相切.图2-3-9思路分析:要证以AB 为直径的圆与直线DC 相切,只要证AB 中点(圆心)到直线DC 距离等于半径(AB 的一半),先证E 为AB 中点,再证E 到DC 距离等于21AB .证明:过E 作EF ⊥DC ,垂足为F .∵ED 平分∠ADC ,DA ⊥EA ,EF ⊥DF ,∴EA =EF .同理,EB =EF ,∴EB =EA, 即E 为AB 中点. 又EF =EA =EB =AB 21, ∴以AB 为直径的圆与DC 相切.7.如图2-3-10,在△OAB 中,若OA =OB =2a,⊙O 的半径r =a.问:AB 与⊙O 相切、相交、相离时,∠AOB 的取值范围如何?图2-3-10思路分析:先作出O 到AB 的距离OC ,根据AB 与⊙O 的不同位置关系确定OC 的取值范围,从而再确定∠AOB 的取值范围. 解:过O 作OC ⊥AB ,垂足为C ,(1)当AB 与⊙O 相切时,OC =r =a,此时cos ∠AOC =OA OC =21, ∴∠AOC=60°.又∵OA =OB ,∴OC 平分∠AOB . ∴∠AOB =120°.(2)当AB 与⊙O 相交时,OC <r =a ,此时cos ∠AOC <21, ∴60°<∠AOC <90°. ∴120°<∠AOB <180°.(3)当AB 与⊙O 相离时,OC >r ,此时cos ∠AOC >21, ∴0°<∠AOC <60°.∴0°<∠AOB<120°.8.如图2-3-11,△ABC 中,AD 为BC 边上的高,且AD =21BC ,E 、F 分别是AB 、AC 的中点,以EF 为直径作⊙O .求证:⊙O 与BC 相切.图2-3-11思路分析:此题属于“作垂直证半径”类型,只要证明EF 的中点到BC 的距离等于EF 的一半即可.证明:取EF 中点O ,作OG ⊥BC 于G ,设AD 与EF 交于H , ∵E 、F 为AB 、AC 中点,∴EF ∥BC 21.又BC AD 21=,∴EF =AD . ∵OG ⊥BC ,AD ⊥BC ,且EF ∥BC ,∴四边形OGDH 为矩形. ∴OG =HD =AD 21,即EF OG 21=. ∴⊙O 与BC 相切.走近高考9.如图2-3-12,已知菱形ABCD 中,∠BAD =60°,对角线AC 与BD 交于O ,边长AB =16,以O 为圆心,半径为多少时,所作的圆才能与菱形的四边都相切?图2-3-12思路分析:本题实际上是求菱形内切圆的半径,根据条件容易确定答案. 解:在菱形ABCD 中,∵∠BAD =60°,∴△ABD 为正三角形.又∵AB =B D =16,AC ⊥BD ,且平分∠DAB , ∴OD =8, 38=AO .过O 作OE ⊥AD,垂足为E ,由AD ·EO =OA ·OD ,∴34=OE ,即以O 为圆心,34为半径所作的圆与菱形各边都相切.10.如图2-3-13,AB 是⊙O 的直径,点P 在BA 的延长线上,弦CD ⊥AB ,垂足为E ,∠POC =∠PCE .图2-3-13(1)求证:PC 是⊙O 的切线;(2)若OE ∶EA =1∶2,PA =6,求⊙O 的半径; (3)在(2)的条件下,求sin ∠PCA 的值.思路分析:(1)要证切线PC ,仍是先证PC ⊥OC .(2)要求半径,可以求OA ,先求OE ,这可以在Rt △PCO 中,利用∠POC =∠PCE ,列出有关方程求解.(3)求sin ∠PCA,先求sin ∠ACE =ACAE. (1)证明:在△OCP 和△CEP 中,∵∠POC =∠PCE ,∠OPC =∠CPE , ∴△COP ∽△ECP .∴∠OCP =∠CEP . ∵CD ⊥AB ,∴∠CEP =90°. ∴∠OCP =90°.∴PC 为⊙O 的切线. (2)解:设OE =x ,则EA =2x ,OA =OC =3x.∵∠COP =∠PCE ,∴sin ∠OPC =sin ∠OCE , 即633+x x =xx3,解得x =1.∴OA =3. (3)解:∵∠OCP =90°,∴∠P CA +∠ACO =90°.∴sin ∠PCA =cos ∠ACO .又OA =OC ,∴∠ACO =∠CAO . ∴sin ∠PCA =cos ∠CAO . 而AE =2,OE =1,OC =3, ∴22EA CE AC += =32. 而cos ∠CAO =AC AE=322 =33,即sin ∠PCA =33. 11.如图2-3-14,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,∠ACB =45°,∠ABC =120°,⊙O 的半径为1.图2-3-14(1)求弦AC 、AB 的长;(2)若P 为CB 延长线上的一点,试确定P 点的位置,使得PA 与⊙O 相切,并证明你的结论. 思路分析:(1)要求AC ,可在△AOC 中求解,求AB ,可在△AOB 中求解.(2)要确定P 的位置,只需求PB ,可在△APB 中求解,过P 作PE ⊥AB ,则将斜三角形分解为直角三角形.解:(1)过O 作OD ⊥AC 于D,∵∠AB C=120°,则∠AOC =120°. 又OA =OC ,∴∠OAD =∠OCD =30°. 在Rt △AOD 中,cos ∠OAD =OAAD,又OA =1, ∴AD =OA ·cos30°=23.∴AC =2AD =3. 在△AOB 中,OA =OB =1,∠AOB =2∠ACB =90°,∴2=AB .(2)过P 作PE ⊥AB 于E,设BE =a , ∵∠ABP =180°-∠ABC =60°, ∴∠BPE =30°.∴BP =2BE =2a.在Rt △BPE 中,PE =22BE BP - =a 3.∵PA 切⊙O 于A ,∴∠OAP =90°. ∵∠OAB =45°,∴∠PAE =45°. 在Rt △PAE 中,AE =PE =a 3, 又∵AE +EB =AB =2,∴23=+a a ,解得226-=a . ∴PB =2a =6-2.。
