切线及切线性质定理

切线证明法切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线．思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可． 证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．图1图2证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质--与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1,B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC , ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．图3 OABCD2 31∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2,已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径,D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明:连接OC,则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ,∴AE∥CO,又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC，OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE,AD。

初中数学切线性质和切线长知识点归纳切线性质和切线长切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角同学们，看了这些学问点的介绍，很熟识了吧，要准时复习哦。

这样才能记得更好的。

中考物理学问归纳：压强和浮力1．压力：垂直作用在物体外表上的力叫压力。

2．压强：物体单位面积上受到的压力叫压强。

3．压强公式：P=F/S ，式中p单位是：帕斯卡，简称：帕，1帕=1牛/米2，压力F单位是：牛；受力面积S单位是：米24．增大压强方法 :(1)S不变，F↑;(2)F不变，S↓ (3) 同时把F↑，S↓。

而减小压强方法则相反。

5．液体压强产生的缘由：是由于液体受到重力。

6．液体压强特点：(1)液体对容器底和壁都有压强，(2)液体内部向各个方向都有压强；(3)液体的压强随深度增加而增大，在同一深度，液体向各个方向的压强相等；(4)不同液体的压强还跟密度有关系。

7．液体压强计算公式：，〔ρ是液体密度，单位是千克/米3；g=9.8牛/千克；h是深度，指液体自由液面到液体内部某点的竖直距离，单位是米。

〕8．依据液体压强公式：可得，液体的压强与液体的密度和深度有关，而与液体的体积和质量无关。

9．证明大气压强存在的试验是马德堡半球试验。

10．大气压强产生的缘由：空气受到重力作用而产生的，大气压强随高度的增大而减小。

11．测定大气压强值的试验是：托里拆利试验。

12．测定大气压的仪器是：气压计，常见气压计有水银气压计和无液气压计〔金属盒气压计〕。

13．标准大气压：把等于760毫米水银柱的大气压。

1标准大气压=760毫米汞柱=1.013×105帕=10.34米水柱。

14．沸点与气压关系：一切液体的沸点，都是气压减小时降低，气压增大时上升。

1与切线有关的定理一、切线的性质及判定 1． 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．①切线的判定定理设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线．l AlAl证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 二、内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．P22． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p=，其中()12pa b c =++；图（2）中，90C∠=︒，则()12r a b c =+-cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长例2. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B。

切线定理性质切线定理性质是指在几何中，一个点在一条曲线上时，任意一条从该点出发的切线都会和曲线上存在着特殊关系，这种关系就是切线定理性质。

切线定理性质包括三种形式，分别是一阶切线定理、二阶切线定理和三阶切线定理。

一阶切线定理是指，如果一个点在一条曲线上，那么任何一个从该点出发的切线，其切点到曲线上点的距离，与该点到曲线上点的距离成正比。

二阶切线定理是指，如果一个点在一条曲线上，那么任何一个从该点出发的切线，其切点到曲线上点的角度，与该点到曲线上点的切线斜率成反比。

三阶切线定理是指，如果一个点在一条曲线上，那么任何一个从该点出发的切线，其切点到曲线上点的切线斜率，与该点到曲线上点的切线斜率的平方成反比。

切线定理性质的证明：1. 一阶切线定理的证明：假设有一条曲线y=f(x)，设M(x0,y0)是曲线上的一点，令直线l: y = k(x-x0)+y0 与曲线C相切于点(x1,y1)，由斜率定理，可以得到k=f'(x0)，因此，|OM|/|OM1|=1/(1+k^2)^(1/2)，而切线斜率k=f'(x0)，所以|OM|/|OM1|=1/|f'(x0)|即|OM|/|OM1|=1/|f'(x0)|2. 二阶切线定理的证明：同样假设有一条曲线y=f(x)，设M(x0,y0)是曲线上的一点，令直线l: y = k(x-x0)+y0 与曲线C相切于点(x1,y1)，由斜率定理，可以得到k=f'(x0)，根据切点定理，有∠OM1O=∠OM1M=arctan(k)，因此，∠OM1M=arctan(f'(x0))即，∠OM1M=arctan(f'(x0))3. 三阶切线定理的证明：假设有一条曲线y=f(x)，设M(x0,y0)是曲线上的一点，令直线l: y = k(x-x0)+y0 与曲线C相切于点(x1,y1)，由斜率定理，可以得到k=f'(x0)，根据斜率定理，可以得到：k′=f″(x0)，因此，|OM|/|OM1|=(1+k^2)^(1/2)/(1+k^2+2kk′)^(1/2)，而k=f'(x0)，k′=f″(x0)，所以|OM|/|OM1|=(1+f'(x0)^2)^(1/2)/(1+f'(x0)^2+2f'(x0)f ″(x0))^(1/2)即|OM|/|OM1|=(1+f'(x0)^2)^(1/2)/[(1+(f'(x0))^2)^(1/2) *|f″(x0)|]即|OM|/|OM1|=(1+f'(x0)^2)^(1/2)/|f'(x0)*f″(x0)|从上面的讨论可以得出结论：切线定理性质是指在几何中，一个点在一条曲线上时，任意一条从该点出发的切线都会和曲线上存在着特殊关系，分别是一阶切线定理、二阶切线定理和三阶切线定理。

圆的切线：切线的定义、性质和求解方法切线是与圆相切于一点且只与圆的该点相交一次的直线。

切线与半径垂直，也就是与半径所在的直径形成直角。

切线的定义给定一个圆，如果通过圆上的一点作两条直线，其中一条与半径垂直且只与该点相交一次，那么称这条直线为这个圆的一条切线。

切线的性质1. 切线与圆相切于一点，且只与圆的该点相交一次。

2. 切线与半径垂直，即与半径所在的直径形成直角。

3. 以切点为端点的切线被称为切线段。

4. 圆心到切点的线段被称为切线的斜率。

切线的求解方法求解圆的切线可以根据以下步骤进行：1. 给定一个圆和切点P，连接圆心O与切点P，得到半径OP。

2. 利用切线性质，使切线与半径OP垂直，得到直角三角形。

3. 根据已知条件，计算切线的长度。

切线的长度可以通过利用勾股定理或几何构造法进行计算。

勾股定理法求切线长度1. 已知圆的半径r和切点与圆心的连线OP的长度d。

2. 根据勾股定理，有切线长度s的平方等于d的平方减去圆的半径r的平方，即s^2 = d^2 - r^2。

3. 取根号可以得到切线的长度s。

几何构造法求切线长度1. 已知圆的半径r和切点与圆心的连线OP的长度d。

2. 以切点为圆心，作一条半径为r的圆。

3. 连接圆心与新圆上与切点P相对应的点Q，得到直角三角形OPQ。

4. 根据直角三角形OPQ中的三边关系，可以计算出切线的长度s。

这是圆的切线的定义、性质和求解方法的简要介绍。

掌握这些基本概念和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用切线在几何学中的重要性。

圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。

圆的切线垂直于经过切点的半径。

圆的切线，切线的性质定理，圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。

切线的性质定理的推论（1）经过切点垂直于切线的线段必是此圆的直径或半径。

（2）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

线段DA垂直于直线AB BA为圆o的切线切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．关于圆的定理1、切线定理垂直于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线长定理从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

3、切割线定理圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点，则有pC^2=pA·pB 设ABP 是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT ²=PA·PB 4、割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这
一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

一条直线与一条弧线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线。

切线定理的证明与应用解析切线定理，又称为切角定理，是解析几何中的一个重要定理，用于描述平面上一条曲线与其切线的关系。

本文将对切线定理的证明及其应用进行详细的解析。

一、切线定理的证明为了证明切线定理，我们首先需要了解什么是切线以及切线的性质。

在平面几何中，给定一条曲线和曲线上的一点P，过点P且与曲线仅有一个公共点的直线称为曲线在点P处的切线。

证明切线定理的关键是利用导数的概念和性质。

假设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)分别是x和y关于参数t的函数。

取曲线上一点P(x0,y0)，并选取一条过P的切线L。

切线L的斜率可以表示为dy/dx。

由于切线仅与曲线在点P处相切，因此曲线上的其他点(x,y)也必须满足曲线方程g(x)-y=0与切线方程dy/dx(x-x0)-y+y0=0的联立条件。

通过解联立方程，我们可以得到一个关于dx和dy的方程。

对该方程进行一阶泰勒展开，可以得到一般形式的切线方程：dy/dx = [dy/dt] / [dx/dt] = g'(t) / f'(t)这个方程给出了曲线在任意一点处切线的斜率。

切线定理则是该定理的特殊情况，即当t=t0时的情况。

在切线上，有t=t0，因此切线方程简化为：dy/dx = g'(t0) / f'(t0)这个结果就是切线定理。

二、切线定理的应用切线定理在解析几何中有着广泛的应用。

下面我们将介绍切线定理在求曲线的切线、判定曲线凹凸性以及估算近似值等方面的应用。

1. 求曲线的切线通过切线定理，我们可以根据给定曲线的函数表达式，求出曲线在任意点处的切线方程。

我们只需要求出函数的导数，然后在给定点处代入即可得到切线的斜率。

再根据切线的斜率和经过给定点的条件，可以得到切线的方程。

2. 判定曲线的凹凸性对于曲线上的某一点P(x0,y0)，切线定理可以用来判定该点所在的曲线的凹凸性。

如果切线的斜率dy/dx大于零，则该点位于曲线的上凸部分；若切线的斜率小于零，则该点位于曲线的下凸部分。

切线的概念、切线的判定和性质-人教版九年级数学上册教案一、切线的概念1. 切线的定义在圆上取一点P，连接P与圆心O，若通过点P的直线与圆相交于点P，则这条直线称为该圆在点P处的切线。

2. 切线的性质切线只与圆相交于切点，且垂直于半径。

二、切线的判定1. 判定方法1在圆上任取一点P，连接P与圆心O。

若连接P与圆心O的线段与已知直线L 垂直，则L与圆的交点就是切点，而L即为此点处的切线。

2. 判定方法2在圆上任取一点P，连接P与圆心O。

作过点P并与已知直线L平行的直线，与圆相交于点Q。

再连接点Q与圆心O，则Q与L的交点即为圆在点P处的切点，L即为点P处的切线。

三、切线性质的应用1. 切线定理若一条直线与圆相交于点A、B，则与这条直线垂直的切线分别过点A、B。

2. 判定定理在圆上任取两点P、Q，以这两点为端点连一条线段，若该线段平分圆周角，则它的延长线必过圆的圆心。

3. 弦割定理两条互相垂直的弦互相垂直。

4. 弦长定理两条互相垂直的弦所对圆周的两段弧相等。

5. 弧上点角定理圆周上一点的任意两个角所对的弧长相等。

四、练习题1.已知圆O，半径为3.4cm，P为圆上一点，PA为一条直线，且PA=8.1cm。

求PA的垂线与OP的夹角。

2.已知圆的直径是20cm，D,E,F,G均在圆上。

若DE⊥FG，DE=12cm，FG=9cm，求DG的长。

3.已知圆心角ACB的弧度是20度，线段AB上一点D是圆上的一点，求角ADC的角度。

五、课堂小结1.切线的定义和性质。

2.切线判定方法和定理。

3.切线性质的应用。

4.练习题的解答。

六、作业1.完成课堂练习题。

2.独立思考，将切线定理、判定定理、弦割定理、弦长定理和弧上点角定理的证明写出来。