01静定结构位移计算

【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C

2.计算公式
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N

刚体位移变形力状态满足平衡条件位移状态满足约束条件第二节变形体虚功原理按外力虚功和内力虚功计算微段虚功总和微段内力虚功所以由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt按刚体虚功和变形虚功计算微段虚功总和微段变形虚功所以基于平衡状态的刚体虚功原理第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt对于直杆体系由于变形互不耦连有
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：

二、 单位荷载法 1、定义：在所求点所在位移方向加上单位 力，将实际状态的真实位移视作虚拟平衡状态的 虚位移。应用虚功原理，通过加单位荷载求实际 位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
F K+ FRiCi= M d + FNdu + FQdv
式中， F =1 则
六．线弹性体系的特征 1）结构的变形与其作用力成正比
若单位力P1=1作用下产生
的位移δ ，则力P作用下在 K处产生的位移为Pδ
2）结构的变形或位移服从叠加原理
P1
P2
Pi
K Δ
Pn
δ K i 表示Pi=1时 在K处产生的位移。
Δ= P1 K 1 P2 K 2 Pn Kn
P
i i 1
n
Ki
6.2 变形体系的虚功原理 一、变形体的虚功原理 功：力对物体作用的累计效果的度量。 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功 静力荷载：荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加 到最终值。结构在静力加载过程中，荷载及内力始 终保持平衡。
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功 其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变 梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新 的弯曲。位移△12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移△12 上作了功，为虚功， 大小为 W12=FP1△12，此时力不随位移而变化，是 常力。
单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
力的虚设方法
Fp=1 C Fp=1 B C