几何《原本》简介.
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[文件] sxjdzz0006.doc[科目] 数学[关键词] 欧几里得/公理/几何[标题] 《几何原本》[内容]《几何原本》﹝Elements﹞由希腊数学家欧几里得﹝Euclid,公元前300年前后﹞所着,是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。
是至今流传最广、影响最大的一部世界数学名著。
《几何原本》共13卷。
每卷﹝或几卷一起﹞都以定义开头。
第I卷首先给23个定义,如「点是没有部分的」,「线只有长度没有宽度」等,还有平面、直角、锐角、钝角、并行线等定义。
之后是5个公设。
欧几里得先假定下列作图是可能的:(1)从某一点向另一点画直线;(2)将一有限直线连续延长;(3)以任意中心和半径作圆。
即他假定了点、直线和圆的存在性作为其几何学的基本元素,如此他就可以证明其它图形的存在性。
第4个公设假定所有的直角都相等。
第5公设即所谓平行公设:「若一直线与两直线相交,使同旁内角小于两直角,则两直线若延长,一定在小于两直角的两内角的一侧相交。
」﹝自此以后,有许多学者认为这一公设可以证明,并试图寻求证明,未能成功。
直到19世纪,高斯、罗巴切夫斯基和波尔约分别独立地由此发展出非欧几何学。
﹞公设之后有5个公理,它们一起构成了整部著作的基础。
当时认为公理是对所有学科都适用的。
如第1个公理「与同一事物相等的事物,彼此相等」。
由这些基本定义、公设、公理出发,欧几里得运用严格的逻辑工具在第I卷中共推出48个命题,这也是整部著作的特点。
《几何原本》前6卷是平面几何内容。
第I卷内容有关点、直线、三角形、正方形和平行四边形。
第I卷命题47是著名的毕达哥拉斯定理:「直角三角形斜边上的正方形等于直边上的两个正方形之和。
」第II卷在定义了磬折形之后,给出了14个命题,是第I卷命题44、45有关面积变换问题的继续。
若将几何变换翻译成代数语言,即从所谓几何代数的观点来看,命题4「将一线段任意分为两部份,则在整个线段上的正方形等于在部份线段上的两个正方形加上以这两部份线段为边的矩形的二倍」相当于等式( a + b )2 = a2 + 2ab + b2。
《几何原本》的基本内容
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一本几何学的经典著作。
它是西方几何学的基础以及数学文化的重要组成部分之一,成为了几乎所有几何学教材的模板。
它总共包含13个
书卷,内容涵盖了各个方面的几何学知识,包括直线和平面的性质、点、线、面的关系、角的性质、比例和相似性等。
《几何原本》的核心思想是由最基本的定义、公理和命题出发,通过逻辑推理建立起一个几何学体系。
在书中,欧几里得首先介绍了一些基本概念和性质,然后依次推导出更加复杂的结论。
他使用了严谨的证明方法,通过假设、推论、推理和构造等手段来证明各个命题,并以此建立几何学的基本理论。
《几何原本》被广泛认为是几何学史上的里程碑之作,对后世的几何学研究产生了深远的影响。
它不仅对古代希腊的数学家和科学家产生了重要影响,还对欧洲文艺复兴时期的数学和科学发展起到了推动作用,直至今天仍然是几何学的必读之作。
利玛窦几何原本一、介绍在中国传教士利玛窦的身上,不仅留下了丰富的教育和文化贡献,还有他对几何学的研究与推广。
利玛窦几何原本是他的重要著作之一,今天我们来探讨一下他在几何学领域的贡献以及《几何原本》的内容。
二、利玛窦的几何学研究背景与动机利玛窦是意大利耶稣会传教士,于16世纪中期来到中国。
当时中国的数学和几何学已经相对发达,但欧洲的几何学理论在中国却鲜为人知。
利玛窦意识到几何学对于科学研究和实际应用的重要性,决定将欧洲的几何学理论引进中国,从而推动数学和科学的发展。
三、《几何原本》的内容及贡献1. 《几何原本》的编写目的利玛窦编写《几何原本》的目的是为了将欧洲的几何学理论系统地介绍给中国学者和读者,让他们能够掌握和应用几何学的基本原理。
2. 《几何原本》的结构和组织《几何原本》主要包括几何学的基本概念、定理和证明方法等内容。
利玛窦以系统的方式组织了这些内容,从而使读者能够逐步学习和理解几何学的基本原理。
3. 《几何原本》对中国几何学的影响《几何原本》的问世使得中国的学者们首次接触到欧洲的几何学理论。
这对于中国的数学和科学发展起到了积极的推动作用。
利玛窦的几何学研究和他对《几何原本》的撰写,为中国的几何学研究开辟了新的方向。
四、利玛窦几何原本的现代意义1. 文化交流的重要性利玛窦的几何学研究和《几何原本》的问世,体现了文化交流的重要性。
通过不同文化之间的交流,我们可以汲取其他文明的优点与经验,从而促进各自的发展和进步。
2. 几何学在现代科学中的应用几何学作为数学的一个重要分支,在现代科学中有广泛的应用。
通过对几何学的研究和应用,我们可以推动科学的发展,解决实际问题,并改善人类的生活质量。
3. 利玛窦的精神与学术追求利玛窦对于几何学的深入研究、编写《几何原本》的努力以及对中国科学发展的贡献,展示了他的学术追求和精神。
这种学术精神值得我们学习和传承,促进科学的发展和人类文明的进步。
五、结语利玛窦几何原本的问世,对中国的几何学研究和科学发展起到了积极的推动作用。
《几何原本》利玛窦徐光启(合译)展开全文中国最早的译本是1607年意大利传教士利玛窦(Matteo Ricci,1552-1610)和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》(15卷)合译的,定名为《几何原本》,几何的中文名称就是由此而得来的。
该译本第一次把欧几里德几何学及其严密的逻辑体系和推理方法引入中国,同时确定了许多我们如今耳熟能详的几何学名词,如点、直线、平面、相似、外似等。
他们只翻译了前6卷,后9卷由英国人伟烈亚力和中国科学家李善兰在1857年译出。
徐光启翻译中的重要贡献徐光启译《几何原本》徐光启和利玛窦《几何原本》中译本的一个伟大贡献在于确定了研究图形的这一学科中文名称为“几何”,并确定了几何学中一些基本术语的译名。
“几何”的原文是“geometria”,徐光启和利玛窦在翻译时,取“geo”的音为“几何”,而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。
用“几何”译“geometria”,音义兼顾,确是神来之笔。
几何学中最基本的一些术语,如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名,都是这个译本定下来的。
这些译名一直流传到今天,且东渡日本等国,影响深远。
前六卷的翻译工作《几何原本》传入中国,首先应归功于明末科学家徐光启。
徐光启(1562~1633),字子先,上海吴淞人。
他在加强国防、发展农业、兴修水利、修改历法等方面都有相当的贡献,对引进西方数学和历法更是不遗余力。
他认识意大利传教士利玛窦之后,决定一起翻译西方科学著作。
利玛窦主张先译天文历法书籍,以求得天子的赏识。
但徐光启坚持按逻辑顺序,先译《几何原本》。
对徐光启而言,《几何原本》有严整的逻辑体系,其叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同。
这种区别于中国传统数学的特点,徐光启有着比较清楚的认识。
他还充分认识到几何学的重要意义,他说“窃百年之后,必人人习之”。
他们于1606年完成前6卷的翻译,1607年在北京印刷发行。
《几何原本》介绍《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,大约成书于公元前300年左右,是一部划时代的著作,是最早用公理法建立起演绎数学体系的典范。
它从少数几个原始假定出发,通过严密的逻辑推理,得到一系列的命题,从而保证了结论的准确可靠。
《几何原本》的原著有13卷,共包含有23个定义、5个公设、5个公理、286个命题。
是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶,其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。
自它问世之日起,在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。
它历经多次翻译和修订,自1482年第一个印刷本出版后,至今已有一千多种不同的版本。
除了《圣经》之外,没有任何其他著作,其研究、使用和传播之广泛,能够与《几何原本》相比。
但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响,却是《圣经》所无法比拟的。
《几何原本》的希腊原始抄本已经流失了,它的所有现代版本都是以希腊评注家泰奥恩(Theon,约比欧几里得晚七百年)编写的修订本为依据的。
《几何原本》的泰奥恩修订本分13卷,总共有465个命题,其内容是阐述平面几何、立体几何及算术理论的系统化知识。
第一卷首先给出了一些必要的基本定义、解释、公设和公理,还包括一些关于全等形、平行线和直线形的熟知的定理。
该卷的最后两个命题是毕达哥拉斯定理及其逆定理。
这里我们想到了关于英国哲学家T.霍布斯的一个小故事:有一天,霍布斯在偶然翻阅欧几里得的《几何原本》,看到毕达哥拉斯定理,感到十分惊讶,他说:“上帝啊!这是不可能的。
”他由后向前仔细阅读第一章的每个命题的证明,直到公理和公设,他终于完全信服了。
第二卷篇幅不大,主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数学。
第三卷包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理。
这些定理大多都能在现在的中学数学课本中找到。
第四卷则讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。
第五卷对欧多克斯的比例理论作了精彩的解释,被认为是最重要的数学杰作之一。
《几何原本》——流芳百世最有影响的数学教育教材作者,欧几里德(Euclid)(约公元前330-约公元前275),由少数原始概念和少量公理(公设)出发,按一定的逻辑规则,定义出该体系中所有的其它概念,推演出所有其它的命题。
(公理化体系)全书共分13卷,5条公理、119个定义、465条命题,构成了人类文明史上第一个演绎数学的公理化体系。
封闭的演绎体系;抽象化的内容;公理化的方法古希腊最主要的数学著作,古代西方数学的经典著作,西方理性思维的典范,被誉为西方科学的“圣经”,数学史上的第一座理论丰碑,成为影响人类文明进程的里程碑。
在近2000年里用世界各种文字出了1000多版,成为最主要的数学教科书,对数学教育意义重大,除《圣经》以外最有影响的著作。
五条公理1.等于同量的量彼此相等;2.等量加等量,其和相等;3.等量减等量,其差相等;4.彼此能重合的物体是全等的;5.整体大于部分。
五条公设1.过两点能作且只能作一直线;2.线段(有限直线)可以无限地延长;3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆;4.凡是直角都相等;5.同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在直线同侧的两个内角之和小于180°,则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
各卷简介:第一卷:几何基础。
重点内容有三角形全等的条件,三角形边和角的大小关系,平行线理论,三角形和多角形等积(面积相等)的条件,第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理;第二卷:几何与代数。
讲如何把三角形变成等积的正方形;其中12、13命题相当于余弦定理。
第三卷:本卷阐述圆,弦,切线,割线,圆心角,圆周角的一些定理。
第四卷:讨论圆内接和外切多边形的做法和性质;第五卷:讨论比例理论,多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是"最重要的数学杰作之一"第六卷:讲相似多边形理论,并以此阐述了比例的性质。
第五、第七、第八、第九、第十卷:讲述比例和算术的理论;第十卷是篇幅最大的一卷,主要讨论无理量(与给定的量不可通约的量),其中第一命题是极限思想的雏形。
《几何原本》和公理化思想《几何原本》欧几里得将公元前七世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理收集起来,并且加以系统化,他从少数已被经验证明的公理出发,运用逻辑推理和数学运算的方法演绎出许多定理,写成了十三卷的《几何原本》,使几何学成为一门独立的、演绎的科学。
《几何原本》是古希腊科学的骄傲,它的基本原理和定理直到现在仍是科学教科书的一部分。
欧几里得在这本原著中用公理法对当时的数学知识作了系统化,理论化的总结。
全书共分13卷,包括5条公理,5条公设,119个定义和465个命题,构成了历史上第一个数学公理体系,以下简要介绍《原本》的内容:第一卷作为全书之首,给出了一些最基本的定义,如“点是没有部分的”,“线是没有宽度的长”;“面是只有长度和宽度的”,“圆是由一条曲线包围的平面图形,从其内一点出发落在曲线上,所有线段彼此相等”;以及5条公设和5条公理,它们是:公设一:任两点必可用直线连接;公设二:直线可以任意延长;公设三:可以任一点为圆心,任意长为半径画圆公设四:所有的直角皆相同;公设五:过线外一点,恰有一直线与已知直线平行。
•欧几里得几何学公理:•点是没有部分的;线是平面上只有长度,没有宽度的;直线是可以向两边无限延伸的;过两点有且只有一条直线;平面内过一点可以以任意半径画圆;两直线平行,同位角相等;等量+等量和相等;等量—等量差相等;能重合的图形全等;整体大于部分。
如上所列举的定义和公理都是往后严格论证每一定理所必不可少的依据。
欧几里得是第一个提出几何根据问题的人。
•欧几里得《几何原本》的功绩在于:精选了公理,安排了定理的顺序,自己给出了一些定理的证明以及较严谨的推敲了一些证明。
《原本》的作用《原本》中将逻辑的公理演绎方法应用于几何学的研究,而且用严格的逻辑演绎系统陈述了这一学科的内容以至在《原本》问世后就几乎淹没了在此以前的任何其他有关几何学的著作。
它的贡献不在于发现了几条新定理而主要在于把几何学知识按公理系统的方式,使得反应各项几何事实的公理和定理都能用论证串联起来,组成一个井井有条的有机整体。
《几何原本》简介《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶,其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。
自它问世之日起,在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。
它历经多次翻译和修订,自1482年第一个印刷本出版后,至今已有一千多种不同的版本。
除了《圣经》之外,没有任何其他著作,其研究、使用和传播之广泛,能够与《几何原本》相比。
但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响,却是《圣经》所无法比拟的。
公元前7世纪之后,希腊几何学迅猛地发展,积累了丰富的材料。
希腊学者们开始对当时的数学知识作有计划的整理,并试图将其组成一个严密的知识系统。
首先做出这方面尝试的是公元前5世纪的希波克拉底(Hippocrates),其后经过了众多数学家的修改和补充。
到了公元前4世纪时,希腊学者们已经为建构数学的理论大厦打下了坚实的基础。
欧几里得在前人工作的基础之上,对希腊丰富的数学成果进行了收集、整理,用命题的形式重新表述,对一些结论作了严格的证明。
他最大的贡献就是选择了一系列具有重大意义的、最原始的定义和公理,并将它们严格地按逻辑的顺序进行排列,然后在此基础上进行演绎和证明,形成了具有公理化结构的,具有严密逻辑体系的《几何原本》。
《几何原本》的希腊原始抄本已经流失了,它的所有现代版本都是以希腊评注家泰奥恩(Theon,约比欧几里得晚七百年)编写的修订本为依据的。
《几何原本》的泰奥恩修订本分13卷,总共有465个命题,其内容是阐述平面几何、立体几何及算术理论的系统化知识。
第一卷首先给出了一些必要的基本定义、解释、公设和公理,还包括一些关于全等形、平行线和直线形的熟知的定理。
该卷的最后两个命题是毕达哥拉斯定理及其逆定理。
这里我们想到了关于英国哲学家T.霍布斯的一个小故事:有一天,霍布斯在偶然翻阅欧几里得的《几何原本》,看到毕达哥拉斯定理,感到十分惊讶,他说:“上帝啊!这是不可能的。
《几何原本》欧几里得的《几何原本》共有十三卷,其中第一卷讲三角形全等的条件,三角形边和角的大小关系,平行线理论,三角形和多角形等积(面积相等)的条件;第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形;第三卷讲圆;第四卷讨论内接和外切多边形;第六卷讲相似多边形理论;第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里论;最后讲述立体几何的内容。
从这些内容可以看出,目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。
因此长期以来,人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。
属于《几何原本》内容的几何学,人们把它叫做欧几里得几何学,或简称为欧式几何。
《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系,在这个体系中有四方面主要内容,定义、公理、公设、命题(包括作图和定理)。
《几何原本》第一卷列有23个定义,5条公理,5条公设。
(其中最后一条公设就是著名的平行公设,或者叫做第五公设。
它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论,并最终诞生了非欧几何。
)这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。
全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的。
比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证。
都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。
关于几何论证的方法,欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。
所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了,分析这时候成立的条件,由此达到证明的步骤;综合法是从以前证明过的事实开始,逐步的导出要证明的事项;归谬法是在保留命题的假设下,否定结论,从结论的反面出发,由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果,从而证实原来命题的结论是正确的,也称作反证法。
欧几里得《几何原本》的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。
它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
从欧几里得发表《几何原本》到现在,已经过去了两千多年,尽管科学技术日新月异,但是欧几里得几何学仍旧是中学生学习数学基础知识的好教材。
数学史是研究数学发展和演变的历史学科,它涵盖了人类对数学的认识和应用的整个历史过程。
以下是对数学史资料的简要介绍:
1. 《《几何原本》》:希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》被认为是古代几何学的基石。
它系统地阐述了平面和立体几何的基本概念、公理和证明方法,并以其逻辑严谨性和清晰的结构而闻名。
2. 《高数术》:中国古代数学经典之一,《高数术》是刘徽所撰写的一本数学著作,记录了中国古代数学家在算术、代数、几何和三角学等领域的贡献。
它对于中国古代数学史有着重要的影响。
3. 《数学原理》:西方数学史上的重要著作,《数学原理》是英国数学家牛顿所著,被认为是现代数学的奠基之作。
该书系统地阐述了微积分的基本原理和方法,对数学分析和物理学的发展产生了深远影响。
4. 《算术大全》:阿拉伯数学家穆罕默德·本·穆萨·哈瓦里兹米尔所著的《算术大全》是一部包含了当时阿拉伯世界各种数学知识的百科全书。
它在代数和算术
领域有着重要的贡献,并对欧洲的数学发展起到了重要的桥梁作用。
5. 《数学原理证明》:法国数学家费马的《数学原理证明》是他在数论领域的重要著作,其中包含了著名的费马大定理。
该书为数论奠定了坚实的基础,并激发了许多后续数学家的研究兴趣。
除了这些经典著作外,还有许多关于数学史的研究文献、学术论文和专题资料可供参考。
通过研究数学史,人们可以了解不同时期和地区数学思想的发展与交流,深入理解数学的演变和应用的进步。
《几何原本》(希腊语:Στοιχεῖα)是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作,共13卷。
这本著作是现代数学的基础,在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍。
古希腊大数学家欧几里德是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。
这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作,也是欧几里德最有价值的一部著作。
在《原本》里,欧几里德系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识,欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理,以形式逻辑的方法,用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质,从而建立了一套从公理、定义出发,论证命题得到定理得几何学论证方法,形成了一个严密的逻辑体系——几何学。
而这本书,也就成了欧式几何的奠基之作。
两千多年来,《几何原本》一直是学习几何的主要教材。
哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》,从中吸取了丰富的营养,从而作出了许多伟大的成就。
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,集整个古希腊数学的成果和精神于一书。
即使数学巨著,又是哲学巨著,并且第一次完成了人类对空间的认识。
除《圣经》之外,没有任何其他著作,其研究、使用和传播之广泛,能够与《几何原本》相比。
几何《原本》简介
欧几里得(Euclid,希腊人,生于公元前300年前后),著名的数学家.
欧几里得以数学经典名著几何《原本(Elements)》闻名于世.但他的生平后世所知并不多,从一些典籍中知道他是托勒密一世时代的人(公元前323—公元前285在位),他对柏拉图(Plato,公元前427—前347)的学说颇有研究,曾给托勒密讲授几何学.当托勒密问他说,除了几何原本之外,还有没有什么学习几何的快捷方式时,他说出了“几何无王者之道!”(“There is no royal road to geometry.”)的千古名言.
几何原本前6卷讲几何,7至10卷是用几何方式来叙述数论,其余各卷也是几何,基本上一本几何书.它的内容和中国传统的算学书大异其趣,为了区别起见,所以应创新词来代表,由于“几何”二字既和geometric的字音相近,又反映了数量大小的意思,采用它可以音意兼顾.
第1卷,首先给出23个定义.如“点是没有部分的”,“线只有长度而没有宽度”等,以及平面、直角、垂直、锐角、钝角、平行线等定义.接着是5个公设,前4个是显而易见的,第5个就很复杂:“一直线与两直线相交,所构成的同侧内角和若小于两直角,则这两直线延长后一定会在这两个同侧内角的那一侧相交”,这就是后来引起许多纠纷的“欧几里得平行公设”或简称第5公设.公设之后有5个公理,之后给出48个命题.第47命题就是著名的勾股定理:“直角三角形斜边上的正方形等于两股上正方形的和”.第2卷,包括14个命题,用几何的语言叙述代数的恒等式.第11命题是分线段为中末比,也就是后来所称的黄金分割;第12、13命题相当于余弦定理.
第3卷,包含37个命题,讨论圆、弦、切线、圆周角、圆内接四边形及与圆有关的图形.
第4卷,有16个命题,包括圆内接与外切三角形、正方形的研究,及圆内接正多边形(5边、10边、15边)的作图.
第5卷,比例论,有25个命题.
第6卷,把第5卷中已建立的理论用到平面图形上,共33个命题.
第7、8、9卷,这三卷是数论,分别有39、27、36个命题,完全用几何的方法来叙述.第7卷,第1命题是欧几里得辗转相除法的出处.第9卷第20命题是数论中的欧几里得定理:“质数的个数有无限多.”
第10卷,包含115个命题,分量占全书的四分之一,主要讨论无理量.第1命题“给
定大小两个量,从大量中减去它的一大半,再从剩下的量中减去它的一大半,如此继续下去,可使所余的量小于所给的小量”相当重要,它是极限论的雏形,也是穷尽法的理论基础.第11卷,讨论空间的直线与平面的各种关系.
第12卷,利用穷尽法证明“圆面积的比等于直径平方的比”.此外还证明了“球体积的比等于直径立方的比”、“锥体体积等于同底等高的柱体的三分之一”.第13卷,着重研究五个正多面体.。