几何原本解析

解析几何发展史解析几何是几何学的一个分支，主要研究几何图形的性质和结构，通过运用代数方法和分析方法来分析和解答几何问题。

解析几何的发展历史可以追溯到古希腊时期，但其真正的发展始于17世纪。

在古希腊几何学中，欧几里德的《几何原本》被视为几何学的基石，其中包含了许多几何定理和证明。

然而，欧几里德几何主要基于直观和直觉，缺乏严格的数学证明。

这一局限性在17世纪得到了克服，解析几何因此得以诞生。

法国数学家笛卡尔是解析几何的奠基人之一。

他在1637年出版的《几何学》一书中，首次将代数和几何相结合，建立了坐标系和坐标表示方法。

笛卡尔利用代数的符号和方程式，将几何问题转化为代数问题，从而实现了几何的解析化。

笛卡尔的贡献不仅在于引入了坐标系，而且还发展了直角坐标系下的几何分析方法。

他将几何问题转化为代数方程，通过对方程进行分析和求解，得出了许多几何图形的性质和结论。

这种代数方法的引入，不仅使几何学变得更加严谨和精确，还为后来的数学家提供了重要的工具和思路。

在笛卡尔之后，解析几何得到了进一步的发展和完善。

牛顿和莱布尼兹的微积分理论为解析几何提供了新的思想和方法。

微积分的引入，使得解析几何成为了研究曲线、曲面和其他复杂几何图形的有力工具。

通过微积分的运算和分析，数学家们能够更加深入地研究几何图形的性质和变化规律。

19世纪的数学家高斯和黎曼等人进一步推动了解析几何的发展。

高斯提出了非欧几何学的概念，打破了欧几里德几何的限制，开创了新的几何学分支。

黎曼则在复变函数理论中引入了黎曼曲面的概念，为解析几何和复变函数的研究提供了重要的理论基础。

20世纪以后，随着计算机的发展和数值计算方法的成熟，解析几何得到了更广泛的应用和发展。

计算机辅助几何设计（CAGD）成为了解析几何的一个重要分支，广泛应用于计算机图形学、工程设计和制造等领域。

通过计算机的高速运算和精确计算，解析几何得以更加深入地研究和应用。

解析几何作为几何学的一个重要分支，通过代数和分析的方法，实现了几何问题的解析化。

名人对几何原本评价的句子一、玛丽居里玛丽居里是20世纪最伟大的科学家之一，她曾评价几何原本是“研究空间形状和大小的一门学科”。

玛丽居里的评价强调了几何原本对于研究空间结构的重要性。

在科学研究中，几何原本是不可或缺的工具，它帮助科学家们理解和描述物体的形状、大小和关系。

二、艾萨克·牛顿艾萨克·牛顿是著名的物理学家和数学家，他曾评价几何原本是“研究空间和形体的一门学问”。

牛顿的评价突出了几何原本对于研究空间和形体的重要性。

在牛顿的研究中，几何原本是他研究力学和天文学的基础，它帮助他理解和描述物体的运动和天体的轨迹。

三、阿基米德阿基米德是古希腊著名的数学家和物理学家，他曾评价几何原本是“研究形状和尺寸的一门学问”。

阿基米德的评价强调了几何原本对于研究形状和尺寸的重要性。

在阿基米德的研究中，几何原本是他研究浮力、杠杆和几何形体的工具，它帮助他解决了许多实际问题。

四、欧几里得欧几里得是古希腊著名的数学家，他是几何原本的创始人之一。

几何原本是欧几里得的杰作《几何原本》的主题，他将几何学分为公理、定义、命题和证明四个部分，建立了几何学的基本原理和方法。

欧几里得的贡献使几何学成为了一门独立的学科，并对后世的数学研究产生了深远影响。

五、爱因斯坦爱因斯坦是20世纪最伟大的科学家之一，他曾评价几何原本是“描述空间和时间的一门学科”。

爱因斯坦的评价突出了几何原本对于描述空间和时间的重要性。

在爱因斯坦的相对论理论中，几何原本是描述时空结构的工具，它帮助他解释了引力和相对运动的现象。

六、柯西柯西是19世纪著名的数学家，他曾评价几何原本是“研究空间形状和变换的一门学科”。

柯西的评价强调了几何原本对于研究空间形状和变换的重要性。

在柯西的研究中，几何原本是他研究变换和对称性的基础，它帮助他理解和描述物体的变化和对称性。

七、高斯高斯是19世纪著名的数学家，他曾评价几何原本是“研究空间和形体的一门科学”。

高斯的评价突出了几何原本对于研究空间和形体的重要性。

欧几里得几何学的公理体系.欧几里得几何（Euclid geometry）起源于古埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要进行丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是“丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个《原本》中包含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为《几何原本》. （“几何”来自“geo”的音译）几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家把萌芽中的代数学也包括在几何学中.“数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、分析学等独立的数学分支，数学家R.Descartes首先建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何问题.于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学的进一步发展，就是射影几何学.十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否定了欧几里得几何中的平行线公理.在n维向量空间建立后，几何体系就综合成了n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何.把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也就是“埃尔兰根纲领（Erlangen program, 1872）”，德国数学家F.Klein的一篇不朽论文）：每种几何学视为由一个点集组成的“空间”S，以及“由S到S的变换群G”所确定的，研究S的子集（图形）性质中对于G来说不变的性质，这就是几何学.在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世瞩目.欧几里得几何学：以平行公理为基础的几何学，其公理体系的核心是：“第五共设”两条直线与第三条直线相交，在第三条直线一侧的两个角（同旁内角）之和小于两直角时，此两条直线必在此侧相交.它等价于过不在直线L上的点P且平行于L的直线有且仅有一条.最初，几何学的研究对象是图形，首先要用到空间的直观性. 但是，直观性有时缺乏客观性，必须明确规定公理、定义，排出直观，建立纯粹的、合乎逻辑的几何学思想.《几何原本》已经从事建立公理、定义的工作，但毕竟距今太远，缺陷很多，公理也不完备. 19世纪后半叶，D.Hilbert（就是在1900年世界数学家大会上提出著名的Hilbert的23问题的著名数学家，这23个问题推动了20世纪数学的快速发展）公理体系形成了，它是包含了欧几里得几何公理的、更加完善的几何公理体系.欧几里得《几何原本》的简单介绍——全书共13卷，除第5、7、8、9、10中讲述比例和算术理论外，其余各卷都是关于几何内容的.第1卷：平行线、三角形、平行四边形的有关定理；第2卷：毕达哥拉斯定理及其应用；第3卷：关于圆的定理；第4卷：圆的内接与外切多边形定理；第6卷：相似理论；第11、12、13卷：立体几何.《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系，结构是由定义、共设、公理、定理组成的演绎推论系统.开始给出了23个定义. 前6个定义是：（1）点没有大小；（2）线有长度没有宽度；（3）线的界是点；（4）直线上的点是同样放置的；（5）面只有长度没有宽度；（6）面的界是线.其次是5个共设：（1）从任一点到另一点可以引一直线；（2）有限直线可以无限延长；（3）以任意点为圆心，可用任意半径作圆；（4）所有直角都相等；（5）若两条直线与另一条直线相交，所成的同旁内角之和小于二直角，则此两直线必在这一侧相交.然后是5个公理：（1）等于同量的量相等；（2）等量加等量其和相等；（3）等量减等量其差相等；（4）可重合的图形全等；（5）全体大于部分.公理之后是一些重要的命题.要强调两点——1、“第五共设”等价于“平行公理”：2、欧几里得的《几何原本》有许多缺点，例如几何逻辑结构还很不严谨；对一些定义叙述不够清晰、甚至含混不清；共设、公理还很不够，以至于很多定理的证明要靠几何直观，等等. 然而，从辩证唯物主义的观点来看，它仍然是一部不朽的著作.19世纪末，德国数学家D.Hilbert于1899年发表了著名的《几何基础》，成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系，称为著名的Hilbert公理体系.希尔伯特的五组公理包含：结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理. 由此五组公理，可以推出欧几里得几何中的所有定理，与欧几里得几何的全部内容，因而使得欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系.希尔伯特《几何基础》的简单介绍——希尔伯特公理体系：一、结合公理 （incidence axioms ）——结合性叙述了点、线、面位置关系，叙述为 “在上”或“通过”. （1） 对于两点A 、B ，存在通过A 、B 的直线L ； （2） 当两点A 、B 不相同时，通过此两点的直线L 是唯一的；（3） 每条直线上至少有两个点；至少存在三个点不在同一条直线上；（4） 对于不在同一条直线上的三点A 、B 、C ，存在通过这三点的唯一的一个平面π； （5） 每个平面上至少有一个点；（6） 若直线L 上有两点在平面π上，则直线L 上的每一点都在平面π上； （7） 若两平面1π、2π通过一点A ，则它们必通过 另一点B ；（8） 至少存在4个点不在同一个平面上.二、顺序公理（order axioms ）顺序性确定了几何元素的顺序关系，叙述为 “在之间”. （1） 若A 、B 、C 在同一直线L 上，且“点B 在A 与C 之间”，则“B 在C 与A 之间”； （2） 对于不同的两点A 、C ，在通过它们的直线L上至少存在一点B L ∈，使得C 在A 与B 之间；（3） 对于在一条直线上L 的三点A 、B 、C 中，至多有一点在另两点之间；（亦即，若B 在A 、C 之间，则A 不可能在B 、C 之间；由以上三条，由此得到： ① 在直线L 上的点可以赋予线性的序；② 在直线L 上，可以定义线段，以A 、B 为端点的线段记为AB 或BA ；定义线段AB的内部，外部） （4） 设A 、B 、C 是不在同一直线上的三点， π是 通过三点的平面，也记为ABC ，L 是平面ABC 上的直线，但不通过A 、B 、C 中的任何一点. 若直线L 通过线段AB 上的点，则L 或通过线 段AB 上的一点，或通过线段BC 上的一点；（Pasch ，帕施公理）.B ∙ LC ∙A ∙ L三、合同公理（congruence axioms ）合同性确定了线段或角的合同关系，叙述为“合同于”或“等于”. （1） 如果两点A 、B 在直线L 上，点'A 在同一条或另一条直线'L 上，则直线'L 上的点'A 的一 侧存在点'B ，使得线段''A B “合同”于AB ， 记为''A B AB ≡；A ∙B ∙'L L（2） 线段的合同关系是一个等价关系；AB BA ≡；''A B AB ≡ ⇒ ''AB A B ≡；''A B AB ≡、''''A B AB ≡ ⇒ ''''''A B A B ≡；（3） 设AB 、BC 是直线L 上的两线段，没有公共内点，又设''A B 、''B C 是直线'L （'L 与L 可同， 或不同）上的两线段，也没有公共内点. 若''AB A B ≡、''BC B C ≡，则''AC A C ≡；（4） 设平面π上有一个角(),h k ∠，又在平面'π（'π 与π可同，或不同）上有一条直线''L π⊂，并且指定了平面'π被直线'L 分为两侧. 取直线'L 上的一点''O L ∈，并从'O 出发、在直线'L 上引射线'h ，则在平面'π的该侧上，有且仅有一 条射线'k ，使得角()','h k ∠合同与角(),h k ∠， 记为 ()()',',h k h k ∠≡∠；（5） 角的合同关系也是等价关系. 【注】 角的定义：设平面π上通过同一点O 的 两不同直线为1L 、2L . 由点O 出发，分别在1L 与2L 上引两条射线，记为k 、h .B ∙’ A ∙’A ∙h 1L (),h k ∠O k2L将这一对射线的所决定的集合称为平面π上的角，记 为(),h k ∠或(),k h ∠；若A 、B 分别为射线h 与射线k 上的点，也记此角为AOB ∠. O 称为角(),h k ∠的顶点；射线h 、k 称 为角(),h k ∠的边.角的合同关系用几何语言叙述为： ① 设(),h k ∠是平面π上的角，1L 是平面1π上的直线（π与1π可同、可不同）；过1L 上的一点1O ， 作1L 上一射线1h . 则在1π上必存在过1O 的唯一一条射线1k ，使得 ()()',',h k h k ∠≡∠.1O ∙ 1k(),h k ∠ ()','h k ∠1h1L② 角的合同关系是一个等价关系；③ 设A 、B 、C 与1A 、1B 、1C 分别为不在一直线上的三点，如果有B ∙11AB A B ≡、11AC A C ≡、111BAC B AC ∠=∠，则必有111ABC A B C ∠=∠.四、平行公理（parallel axioms ）平行公理确定了直线的平行关系，叙述为 “平行于”. 对于任意直线L 与不在L 上的一点A ，则在L 与A 确定的平面π上，有且仅有一条直线'L 通过点A 且不与直线L 相交.五、连续公理（continuity axioms ）（1） 对于任意两线段AB 、CD ，在通过线段AB 的直线L 上，存在有限多个点1A 、2A 、、 n A ，使得1AA 、12A A 、、1n n A A -都合同于线段DC ， 1121n n CD AA A A A A -====， 并且使得“B 在A 与n A 之间”（阿基米德公理（Archimedes ）；或称直线的连续性公理）；（2） 一直线L 上的点的集合，在保持结合公理的（2），顺序公理的（2），合同公理的（1）-（5）与连续公理的（1）的条件下，不可能再扩充 ；（直线的完备性公理）.由Hilbert 建立的五个公理体系可以推得欧几里得几何的全部内容.平行公理是欧几里得几何的“灵魂”，若将其余4个公理保留，将平行公理改为罗巴切夫斯基公理，就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容.数学科学中，允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立的体系具有同样的真理性.仿射几何 ——（一） n 维仿射空间：设X 是一个n 维线性空间，A 是一个集合，A 中的元素称为“点”，如果A 中的两点P 、Q 对应于X 中的唯一的向量PQ ，满足：（1） PP 等于X 中的零向量；（2） 任给A 中一点P ，任给X 中的向量a ，则在A 中存在唯一的点Q ，使得PQ a =；（3） 对于A 中的三点P 、Q 、R ，有等式PR PQ QR =+；则称A 为一个n 维仿射空间；特别地，1n =时，称A 为仿射直线；2n =时，称A 为仿射平面；3n =时，称A 为仿射空间. 也把仿射空间中的元称为向量.仿射直线、仿射平面、仿射空间的实际例子：对于一维、二维、三维欧氏空间，若不使用欧氏距离，仅仅视为集合，则它们分别是一维仿射直线、二维仿射平面、三维仿射空间.（二） 仿射几何学： 主要研究仿射空间中的图形在仿射变换下不变的几何性质. 如共线性、平行性、单比，等.三维仿射空间中A 的仿射坐标系： 设1e 、2e 、3e 是三维仿射空间A 中三个不共面的向量，称它们为A 中的一组基. 可以证明，空间A 中的任意向量m A ∈，可用基1e 、2e 、3e 表示123m x e y e z e =++，把有序实数(),,x y z 称为向量m 的仿射坐标. 空间A 中的一个点O 与一组基{}123,,e e e ，合在一起{}123;,,O e e e 称为空间的一个仿射坐标系 （也称为仿射标架）. 也常用记号123OM m x e y e z e ==++.仿射坐标系中的1e 、2e 、3e 只需不共面，不必相互垂直. 若两两互相垂直，则仿射坐标系就是直角坐标系.仿射变换： 设仿射空间A 中有两组仿射坐标系{}123:;,,I O e e e 、{}123:';',','II O e e e ，点'O 在仿射坐标系{}123:;,,I O e e e 中的坐标为()000,,x y z ，'j e 在{}123:;,,I O e e e 中的坐标为 ()123,,,1,2,3j j j a a a j =， ① {}123:;,,I O e e e 到{}123:';',','II O e e e 的点的仿射坐标变换公式： 设点P A ∈在I 、II 中的坐标分别为(),,x y z 、()',','x y z ， 则111213021222303132330'''x a a a x x y a a a y y z a a a z z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ② {}123:;,,I O e e e 到{}123:';',','II O e e e 的向量的仿射坐标变换公式： 设向量OM 在I 、II 中的坐标分别为()123,,u u u 、 ()123',','u u u ，则111121312212223233132333'''u a a a u u a a a u u a a a u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.射影几何 ——（一） 射影平面、射影空间在仿射平面、仿射空间中，引进无穷远点，则称它们为扩大了的仿射平面、扩大了的仿射空间.在扩大了的射影平面、射影空间中，若将原有的点与引进的无穷远点不加区别，得到的平面、空间就称为射影平面、射影空间.在射影空间中，任意两条直线必定相交（平行直线相交于无穷远点）、任意两个平面必定相交（平行平面相交于无穷远直线）、任意直线与平面必定相交（平行于平面的直线与平面相交于一个无穷远点）.（二）射影几何学在定义齐次坐标、射影坐标、射影变换之后，就可以讨论射影空间中图形在射影变换下不变的性质了.平行公理是欧几里得几何的“灵魂”，若将其余4个公理保留，将“欧几里得平行公理”改为“罗巴切夫斯基公理”，就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容.数学科学中，允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立的体系具有同样的真理性.11。

数学中最古老的一门分科。

据说是起源于古埃及尼罗河泛滥后为整修土地而产生的测量法，它的外国语名称geometry就是由geo（土地）与metry（测量）组成的。

泰勒斯曾经利用两三角形的等同性质，做了间接的测量工作；毕达哥拉斯学派则以勾股定理等著名。

在中国古代早有勾股测量，汉朝人撰写的《周髀算经》的第一章叙述了西周开国时期（约公元前1000）周公姬旦同商高的问答，讨论用矩测量的方法，得出了著名的勾股定律，并举出了“勾三、股四、弦五”的例子。

在埃及产生的几何学传到希腊，然后逐步发展起来而变为理论的数学。

哲学家柏拉图（公元前429～前348）对几何学作了深奥的探讨，确立起今天几何学中的定义、公设、公理、定理等概念，而且树立了哲学与数学中的分析法与综合法的概念。

此外，梅内克缪斯（约公元前340）已经有了圆锥曲线的概念。

希腊文化以柏拉图学派的时代为顶峰，以后逐渐衰落，而埃及的亚历山大学派则渐渐繁荣起来，它长时间成了文化的中心。

欧几里得把至希腊时代为止所得到的数学知识集其大成，编成十三卷的《几何原本》，这就是直到今天仍广泛地作为几何学的教科书使用下来的欧几里得几何学(简称欧氏几何)。

于1606年翻译了《几何原本》前六卷，至1847年才把其余七卷译完。

“几何”与其说是geo的音译，毋宁解释为“大小”较为妥当。

诚然，现代几何学是有关图形的一门数学分科，但是在希腊时代则代表了数学的全部。

欧几里得在《几何原本》中首先叙述了一些定义，然后提出五个公设和五个公理。

其中第五公设尤为著名：如果两直线和第三直线相交而且在同一侧所构成的两个同侧内角之和小于二直角，那么这两直线向这一侧适当延长后一定相交。

《几何原本》中的公理系统虽然不能说是那么完备，但它恰恰成了现代几何学基础论的先驱。

直到19世纪末，才建立了严密的欧氏几何公理体系。

第五公设和其余公设相比较，内容显得复杂，于是引起后来人们的注意，但用其余公设来推导它的企图，都失败了。

浅谈解析几何的发展 --毕业论文解析几何是数学中的一个分支，旨在研究几何图形的性质和变换。

本论文旨在探讨解析几何的发展，从其起源到现代发展的阶段进行阐述。

首先，解析几何起源于古希腊数学家欧几里得的《几何原本》。

在欧几里得的几何体系中，基于点、线和面的概念，利用简单的几何推理和直观的几何图形进行证明。

然而，欧几里得几何缺乏精确的数学表达，限制了其进一步发展。

随着数学的发展，数学家开始研究几何图形的代数表达。

17世纪初，法国数学家笛卡尔提出了坐标几何学的概念，将几何问题转化为代数方程的解析问题。

笛卡尔的贡献在于将几何和代数紧密地结合在一起，为解析几何的发展奠定了基础。

在18世纪，解析几何经历了重要的发展阶段。

数学家拉格朗日和欧拉等人对解析几何进行了深入研究，并发展出了许多解析几何的基本概念和方法。

他们的工作推动了解析几何的发展，为后来的数学家提供了研究的基础。

19世纪，法国数学家伽罗华进一步推动了解析几何的发展。

他提出了复数表示法，将点的坐标扩展为复数，从而将几何问题转化为代数方程的解析问题。

伽罗华的贡献为解析几何的发展提供了重要的思想基础，也为后来的数学家提供了启示。

20世纪，解析几何经历了更加深入和广泛的发展。

随着数学的进一步发展，解析几何与其他数学分支相互渗透，形成了代数几何、微分几何、拓扑几何等许多分支。

现代解析几何的研究内容更加广泛和深入，为数学研究和应用提供了强有力的工具和方法。

解析几何是数学中的一个重要分支，通过代数表达的方式研究几何问题。

从欧几里得的几何原本到现代解析几何的发展，经历了多个阶段的演变和发展。

解析几何的发展不仅拓宽了几何研究的范畴，也为其他数学分支的发展提供了重要的支撑。

未来，解析几何的发展仍将继续，为数学研究和应用带来更多的突破和创新。

论文：数学的发展简史作者：学号：班级：指导教师：日期：几何学发展简史几何，英文为Geometry ，是由希腊文演变而来，其原意是土地测量。

“依据很多的实证，几何是埃及人创造的，并且产生于土地测量。

由于尼罗河泛滥，经常冲毁界限，这样测量变成了必要的工作。

无可置疑的，这类科学和其它科学一样，都发生于人类的需要。

”（引自[1]）。

明代徐光启（1562~1633）和天主教耶酥会传教士利玛窦（Matteo Ricci，1552~1610）翻译欧几里得的《几何原本》时将Geometry一词译为几何学。

几何学是研究形的科学，以视觉思维为主导，培养人的观察能力、空间想象能力与空间洞察力。

几何学最先发展起来的是欧几里得几何。

到17世纪的文艺复兴时期，几何学上第一个重要成果是法国数学家笛卡儿(R..descartes，1596~1650）和费马（P.de Fermat，1601~1665）的解析几何。

他们把代数方法应用于几何学，实现了数与形的相互结合与沟通。

随着透视画的出现，又诞生了一门全新的几何学——射影几何学。

到19世纪上半叶，非欧几何诞生了。

人们的思想得到很大的解放，各种非欧几何、微分几何、拓扑学都相继诞生，几何学进入一个空前繁荣的时期。

1 从欧几里得几何到非欧几何欧几里得（Euclid，约公元前330~275）的《几何原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的典范。

公元7世纪以前的所谓几何学，都只限于一些具体问题的解答，并且是十分粗糙的、零碎的、片段的和单凭经验的。

当积累起来的几何知识相当丰富时，把这一领域的材料系统地整理，并阐明它们的关系，就显得十分必要了。

由于几何学本来的对象是图形，研究它必然要借助与空间的直观性。

但是直观性也有不可靠的时候，因而在明确地规定了定义和公理的基础上，排除直观性，建立合乎逻辑的几何学体系的思想在古希腊时代就已经开始。

欧几里得就是在这种思想的基础上，编著完成了他的《几何原本》。

欧几里得(以欧几里得为背景的高中数学考题题组训练)一、单选题1.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线.则方程(x-4)2+y225-4x=15表示的圆锥曲线的离心率e等于( )A.15B.45C.54D.5【答案】B【解析】根据题意得到点x,y到定点4,0的距离与到定直线x=254的距离比为45，即可得到e=45.【详解】因为(x-4)2+y225-4x=(x-4)2+y24x-254=15，所以(x-4)2+y2x-254=45，表示点x,y到定点4,0的距离与到定直线x=254的距离比为45，所以e=4 5.故选：B2.大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数(每个比1大的正整数)要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数N(N不为素数)能唯一地写成N=p a11⋅p a22⋅⋯⋅p a k k(其中p i是素数，a i是正整数，1≤i≤k，p1<p2<⋯<p k)，将上式称为自然数N的标准分解式，且N的标准分解式中有a1+a2+⋯+a k个素数．从120的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为( )A.6B.13C.19D.60【答案】B【解析】首先根据N的标准分解式得到120=23×3×5，然后根据这5个素数的特点进行分类讨论，最后利用分类加法计数原理即可得解．【详解】解 根据N的标准分解式可得120=23×3×5，故从2，2，2，3，5这5个素数中任取3个组成三位数，有下列三种情况：①选取3个2，可以组成1个三位数；②选取2个2后，再从3或5中选一个，可以组成C12×C23=6个不同的三位数；③选取2，3，5，可以组成A33=6个不同的三位数．所以从120的标准分解式中任取3个素数，一共可以组成1+6+6=13个不同的三位数.故选：B．3.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若AB ,CD 都是直角圆锥SO 底面圆的直径，且∠AOD =π3，则异面直线SA 与BD 所成角的余弦值为( )A.13 B.24C.64D.63【答案】C【解析】根据已知条件证明DB ⎳AC ，得到∠SAC 或其补角为异面直线SA 与BD 所成的角.在△SAC 中利用余弦定理计算可得结果.【详解】如图，连接AD ,BC ,AC ,SC .因为O 为AB ,CD 中点，且AB =CD ，所以四边形ADBC 为矩形，所以DB ⎳AC ，所以∠SAC 或其补角为异面直线SA 与BD 所成的角.设圆O 的半径为1，则SA =SC =2.因为∠AOD =π3，所以∠ADO =π3.在直角△DAC 中，CD =2，得AC =3.所以cos ∠SAC =(2)2+(3)2-(2)22×2×3=64，所以异面直线SA 与BD 所成角的余弦值为64.故选：C .4.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的体积为3π，则该圆锥的侧面积为( )A.62π B.42πC.32πD.3π【答案】C【解析】设底面圆的半径为r ，根据△PAB 为等腰直角三角形可得圆锥高和母线长，根据体积列方程可得r ，然后可得.【详解】由题意设圆锥的底面圆的半径为r ，因为△PAB 为等腰直角三角形，则高为r ，母线长为2r ，因为圆锥的体积为3π，所以13πr 2⋅r =3π，解得r=3，所以该圆锥的侧面积为πr ⋅2r =32π．故选：C5.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年.该书前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章，几乎包含现今平面几何的所有内容．某高校要求数学专业的学生从这7章里任选4章进行选修，则学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为( )A.37B.47C.57D.67【答案】B试卷第1页，共3页【解析】先求出从这7章里任选4章进行选修的选法总数，再求出学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的选法总数，由古典概型的概率公式即可得出答案.【详解】数学专业的学生从这7章里任选4章进行选修共有：C47=35种选法；学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章共有：C36=20种选法，故学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为：P=2035=47.故选：B.6.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球(圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上)，求此圆锥侧面积和球表面积之比( )A.24B.22C.2D.24π【答案】A【解析】设直角圆锥底面半径为r，则其侧棱为2r，再求出顶点到底面的距离，分析出球心，进而得到外接球半径，再利用公式求解即可【详解】设直角圆锥底面半径为r，则其侧棱为2r，所以顶点到底面圆圆心的距离为：2r2-r2=r，所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为r，所以S圆锥侧S球=πrl4πr2=2πr24πr2=24.故选：A.7.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积(V)与它的直径(D)的立方成正比”，此即V=kD3，欧几里得未给出k的值．17世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)，正方体也可利用公式V=kD3求体积(在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长)．假设运用此体积公式求得球(直径为a)，等边圆柱(底面圆的直径为a)，正方体(棱长为a)的“玉积率”分别为k1、k2、k3，那么k1:k2:k3=( )A.π3:π2:2B.π6:π4:2C.π3:π2:1D.π6:π4:1【答案】D【解析】根据题意可得V1=π6a3，V2=π4a3，V3=a3，从而得到k1:k2:k3．【详解】由题意得球的体积为V1=43πR3=43πa23=π6a3⇒k1=π6；等边圆柱的体积为V2=πR2a=πa22a=π4a3⇒k2=π4；正方体的体积V3=a3⇒k3=1，所以k1:k2:k3=π6:π4:1，故选：D．8.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P-ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PA与BC所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】利用三角形的中位线，可得∠EDO 为异面直线PA 与BC 所成的角，再由题条件可得△DOE 是正三角形，即求.【详解】如图，设底面的圆心为O ，分别取AC ，PC 的中点D ，E ，连接PO ，CO ，OD ，OE ，DE ，因为△APB 是等腰直角三角形，∠APB =90°，设圆锥的底面圆半径OA =1，则PA =2，PC =2，则DE =12PA =22且DE ⎳PA ，又∠ACB =90°且AC =BC =2，而OD =12BC =22且OD ⎳BC ，所以∠EDO 为异面直线PA 与BC 所成的角，在Rt △PCO 中，因为E 为PC 的中点，所以OE =12PC =22，所以△DOE 是正三角形，即异面直线PA 与BC 所成的角为60°.故选：C .9.欧几里得的《几何原本》，形如x 2+ax =b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB =90°,AC =b ,BC =a 2，在斜边AB 上截取BD =a 2，则该方程的一个正根是( )A.AC 的长 B.AD 的长C.BC 的长D.CD 的长【答案】B由已知可得AB =AD +DB =AD +a2，然后在Rt △ABC 中利用勾股定理得AD +a 2 2=b 2+a 22，化简可得AD 2+a ⋅AD =b 2，从而可得答案【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =b ,BC =a 2，BD =a2，所以AB =AD +DB =AD +a2，由勾股定理得，AB 2=AC 2+BC 2，所以AD +a 2 2=b 2+a 22，所以AD 2+2AD ⋅a 2+a 24=b 2+a 24，所以AD 2+a ⋅AD =b 2，所以方程x 2+ax =b 2的一个正根为AD 的长，故选：B试卷第1页，共3页10.大约在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年，已知O为原点，OP=1，若M14,-34，则线段PM长的最小值为( )A.12B.54C.34D.32【答案】A【解析】根据OP=1，得到点P的轨迹为圆x2+y2=1，再由又M14,-34，OM =12<r，得到点M在圆内，然后由PM≥r-OM求解.【详解】已知O为原点，OP=1，所以点P的轨迹为圆x2+y2=1，又M14,-34 ，所以OM2=14-02+34-02=14，即OM =12，所以点M在圆内，则有PM≥r-OM=12， 线段PM长的最小值为12故选：A【点睛】本题主要考查点的轨迹，点与圆的位置关系以及两点间的距离公式的应用，属于基础题.11.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线．现有方程m x2+y2-4y+4=x-3y+12表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为( )A.10,+∞B.0,10C.0,5D.5,+∞【答案】B【解析】原方程两边开平方，结合两点的距离公式和点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的统一定义，可得m的不等式，从而可求得其范围【详解】由m x2+y2-4y+4=x-3y+12，m>0，得m[x2+(y-2)2]=(x-3y+1)2，所以m⋅x2+(y-2)2=x-3y+1，所以x2+(y-2)2x-3y+112+32=12+32m=10m，可得动点P(x,y)到这点(0,2)和定直线x-3y+1=0的距离比为常数10 m，由双曲线的定义可知10m>1，解得0<m<10，故选：B12.《几何原本》又称《原本》，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年，该书据克拉维斯的拉丁文本《欧几里得原本十五卷》译出．前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章内容，几乎包含现今平面几何的所有内容．某高校要求数学专业的学生从这7章里面任选3章进行选修并计人学分．则数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率为( )A.37B.47C.57D.67【答案】C【解析】先求出从这7章里面任选3章共有的选法数，再求出张某在三角形和四边形这两章中至少选一章 的选法数，根据古典概型的概率计算公式可求答案.【详解】数学专业的学生从这7章里面任选3章共有C37=35 种选法；数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章共有选法C12C25+C22C15=25种，故张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率为P=2535=57 ,故选：C.13.黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为5-12，把5-12称为黄金分割数.已知焦点在x轴上的椭圆x2m+y25-12=1的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为( )A.25-2B.5+1C.2D.25【答案】A【解析】根据题意确定a2=m,b2=(5-1)2以及c2=m-(5-1)2，再根据焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数列出等式，化简即可得答案.【详解】焦点在x轴上的椭圆x2m+y25-12=1中，a2=m,b2=(5-1)2 ，所以c2=m-(5-1)2，由题意得2c2a=5-12 ，即c2a2=5-122 ，即m-(5-1)2m=5-122，解得m=25-2 ，故选:A.14.欧几里得在《几何原本》中，以基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点．其中第Ⅰ命题47是著名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，书中给出了一种证明思路:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90∘，四边形ABHL、ACFG、BCDE都是正方形，AN⊥DE于点N，交BC于点M．先证明△ABE与△HBC全等，继而得到矩形BENM与正方形ABHL面积相等；同理可得到矩形CDNM与正方形ACFG面积相等；进一步定理得证.在该图中，若tan∠BAE=12，则sin∠BEA=( )试卷第1页，共3页A.210B.31010C.55D.1010【答案】D【解析】根据平面几何知识，在△ABE 中应用正弦定理求解答案.【详解】解：设AB =k ,AC =m ,BC =n ,可得k 2+m 2=n 2，∵BH ⎳CL ∴∠BHC =∠HCL 又△ABE ≅△HBC ，可得∠BHC =∠BAE ,∴∠HCL =∠BAE ，又tan ∠BAE =12∴tan ∠HCL =12，即k k +m=12，∴m =k ，n =2k在△ABE 中，tan ∠BAE =12，得sin ∠BAE =15，在△ABE 中，AB sin ∠BEA =BEsin ∠BAE ，即k sin ∠BEA=n 15，可得sin ∠BEA =1010所以选项D 正确，选项ABC 错误故选：D .15.古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积(V )与它的直径(D )的立方成正比”，此即V =kD 3，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V =kD 3中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”，类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式V =kD 3求体积(在正四面体中，D 表示正四面体的棱长；在正方体中，D 表示棱长)，假设运用此体积公式求得球(直径为a )、正四面体(正四面体棱长为a )、正方体(棱长为a )的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么k 1:k 2:k 3的值为( )A.π:2:12B.2π:2:12C.π:2:6D.π:22:12【答案】B 【解析】分别求出球，正四面体，正方体的体积公式，类比推理即可得到.【详解】∵V 1=43πR 3=43πa 2 3=π6a 3，∴k 1=π6如图所示，设正四面体P -ABCD 的棱长为a ，PO 为正四面体的高，可知正四面体底面高CD =32a ，则CO =23CD =23×32a =33a由勾股定理可得正四面体的高PO =a 2-33a 2=63a所以正四面体的体积V 2=13Sh =13×12a 2×32×63a =212a 3，∴k 2=212∵V 3=a 3，∴k 3=1k 1:k 2:k 3=π6:212:1=2π:2:12故选：B .【点睛】关键点睛：本题考查类比推理，解题的关键是要熟悉球，正四面体，正方体的体积公式的求法，再利用类比推理思想分别求出k 1，k 2，k 3，再求出比值，考查学生的运算能力，属于一般题.16.如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体.古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》的卷13中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球.若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为( )A.2:1:3B.2:2:3C.2:2:1D.2:2:3【答案】B 【解析】分别求出正四面体、正方体、正八面体的棱长与外接球半径关系，再求比值得结果.【详解】设正四面体、正方体、正八面体的棱长以及外接球半径分别为a ,b ,c ,R则2R =3×22a ,2R =3b ,R =22c ,即a =22R 3,b =2R3,c =2R ∴a :b :c =2:2:3故选：B 【点睛】本题考查多面体外接球，考查基本分析求解能力，属基础题.17.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为42π，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为( )A.83π B.323π C.16πD.32π【答案】B【解析】设球半径为R ，圆锥的底面半径为r ，母线为l ，由直角圆锥的侧面积为42π可求出r =2，l =2r =22，再求出圆锥的高即可知r 2+2-R2=R 2，解得R =2，即可求出球的体积.【详解】设球半径为R ，圆锥的底面半径为r ，若一个直角圆锥的侧面积为42π，设母线为l ，则l 2+l 2=4r 2⇒l =2r ，所以直角圆锥的侧面积为：12×2πr ⋅l =12×2πr ⋅2r =42π，可得：r =2，l =2r =22，圆锥的高BO 1=l 2-r 2=8-4=2，试卷第1页，共3页由r 2+2-R 2=R 2，解得：R =2，所以球O 的体积等于43πR 3=43π×8=32π3，故选：B 二、多选题(共0分)18.“出租车几何”或“曼哈顿距离”(Manhat tan Dis tan ce )是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系xOy 内，对于任意两点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，定义它们之间的“欧几里得距离”AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2，“曼哈顿距离”为AB =x 1-x 2 +y 1-y 2 ，则下列说法正确的是( )A.若点P 为线段x +y =3x ,y ≥0 上任意一点，则OP 为定值B.对于平面上任意一点P ，若OP =2，则动点P 的轨迹长度为4πC.对于平面上任意三点A 、B 、C ，都有AB ≤AC +BC D.若A 、B 为椭圆x 2+4y 2=4上的两个动点，则AB 最大值为23【答案】AC【解析】利用题中定理可判断A 选项；作出点P 的轨迹图形，求其周长可判断B 选项；利用绝对值三角不等式可判断C 选项；设点A 2cos α,sin α 、B 2cos β,sin β ，不妨设cos α>cos β，sin α>sin β，利用辅助角公式结合正弦型函数的有界性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，设点P x ,y 为线段x +y =3x ,y ≥0 上任意一点，则OP =x +y =x +y =3，A 对；对于B 选项，设点P x ,y ，则OP =x +y =2，当x ≥0，y ≥0时，则x +y =2；当x ≤0，y ≥0时，则-x +y =2；当x ≤0，y ≤0时，则-x -y =2；当x ≥0，y ≤0时，则x -y =2.作出点P 的轨迹如下图所示：由图可知，点P 的轨迹是边长为22的正方形，故动点P 的轨迹长度为82，B 错；对于C 选项，设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 、C x 3,y 3 ，由绝对值三角不等式可得x 1-x 2 =x 1-x 3 -x 2-x 3 ≤x 1-x 3 +x 2-x 3 ，同理可得y 1-y 2 ≤y 1-y 3 +y 2-y 3 ，所以，x 1-x 2 +y 1-y 2 ≤x 1-x 3 +x 2-x 3 +y 1-y 3 +y 2-y 3 ，即AB ≤AC +BC ，C 对；对于D 选项，设点A 2cos α,sin α 、B 2cos β,sin β ，不妨设cos α>cos β，sin α>sin β，则AB =2cos α-2cos β +sin α-sin β =2cos α-2cos β+sin α-sin β=5sin α+φ -5sin β+φ ≤25，其中φ为锐角，且tan φ=2，取α=π2-φ，β=3π2-φ，等号成立，D 错.故选：AC .19.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，B 4,0 .点P 满足PA PB =12，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是( )A.C 的方程为x +4 2+y 2=16B.在C 上存在点D ，使得D 到点(1，1)的距离为10C.在C 上存在点M ，使得MO =2MAD.C 上的点到直线3x -4y -13=0的最大距离为9【答案】AD【解析】由题意可设点P x ,y ，由两点的距离公式代入化简可判断A 选项；由两点的距离公式和圆的圆心得出点(1，1)到圆上的点的最大距离，由此可判断B 选项.设M (x 0,y 0)，由已知得x 20+y 20=2x 0+2 2+y 20，联立方程求解可判断C 选项；由点到直线的距离公式求得C 上的点到直线3x -4y -13=0的最大距离，由此可判断D 选项.【详解】解：由题意可设点P x ,y ，由A -2,0 ，B 4,0 ，PA PB =12，得x +2 2+y 2x -42+y 2=12，化简得x 2+y 2+8x =0，即x +4 2+y 2=16，故A 正确；点(1，1)到圆上的点的最大距离-4-12+1-0 2+4<10，故不存在点D 符合题意，故B 错误.设M (x 0,y 0)，由MO =2MA ，得x 20+y 20=2x 0+2 2+y 20，又x 0+4 2+y 20=16，联立方程消去y 0得x 0=2，解得y 0无解，故C 错误；C 的圆心(-4，0)到直线3x -4y -13=0的距离为d =3×-4 -135=5，且曲线C 的半径为4，则C上的点到直线3x -4y -13=0的最大距离d +r =5+4=9，故D 正确；故选：AD .20.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λλ≠1 的点的轨迹是圆”．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，A -1,0 ，B 2,0 ，点P 满足PA PB =22．点P 的轨迹为曲线C ，下列结论正确的是( )A.曲线C 的方程为x +4 2+y 2=18B.曲线C 被y 轴截得的弦长为22C.直线x +y -4=0与曲线C 相切D.P 是曲线C 上任意一点，当△ABP 的面积最大时点P 的坐标为-2,±32 【答案】AB【解析】设P x ,y ，根据A -1,0 ，B 2,0 ，点P 满足PA PB=22．求得点P 的轨迹方程，再逐项判断.【详解】对于选项A ，设P x ,y ，由A -1,0 ，B 2,0 ，PA PB=22可得2PA =PB ，所以2⋅x +12+y 2=x -22+y 2，整理可得x 2+y 2+8x -2=0，即x +4 2+y 2=18，故选项A 正确；对于选项B ，因为x +4 2+y 2=18，令x =0得y =±2，曲线C 被y 轴截得的弦长为22，故选项B 正确；对于选项C ，因为x +4 2+y 2=18，所以圆心C -4,0 ，半径r =32，所以圆心C -4,0 到直线x +y -4=0的距离d =-4-4 2=42>32，所以直线x +y -4=0与曲线C 相离，故选项C 错误；对于选项D ，因为P 是曲线C 上任意一点，要使△ABP 的面积最大，则曲线C 上的点到x 轴的距离最大，即△ABP 的边AB 上的高等于圆的半径32时，△ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为-4,±32 ，故选项D 错误．试卷第1页，共3页故选：AB ．三、填空题(共0分)21.公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积V 与它的直径d 的立方成正比”，即V =kd 3，与此类似，我们可以得到：(1)正四面体(所有棱长都相等的四面体)的体积V 与它的棱长a 的立方成正比，即V =ma 3；(2)正方体的体积V 与它的棱长a 的立方成正比，即V =na 3；(3)正八面体(所有棱长都相等的八面体)的体积V 与它的棱长a 的立方成正比，即V =ta 3．那么m :n :t =________．【答案】1:62:4【解析】分别求得正四面体，正方体，正八面体的体积后可得．【详解】由题意得，正四面体的体积V =13×34a 2×63a =212a 3；正方体的体积V =a 3；正八面体的体积V =2×13×a 2×22a =23a 3，所以m :n :t =1:62:4．故答案为：1:62:4．22.《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著.其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.已知直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥BC ，AB =3，BC =4，AA 1=53，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖臑，则鳖臑的体积与其外接球的体积之比为______ .【答案】33:50π【解析】根据题意，先确定阳马，鳖膈几何体的结构特征，再分别求得鳖膈的体积与其外接球的体积即可.【详解】如图所示：阳马为四棱锥 C 1A 1B 1AB ，鳖膈为三棱锥C 1-ABC ，因为AB ⊥BC ，AB =3，BC =4，AA 1=53，所以鳖膈的体积为V =13×12×AB ×BC ×CC 1=13×12×3×4×53=103，其外接球的半径为：R =12AC 1=1252+53 2=5，体积为：43π×53=500π3，鳖膈的体积与其外接球的体积之比为：103:500π3=33:50π，故答案为：33:50π【点睛】本题主要考查棱柱的结构特征以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.23.古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图，O 为线段AB 中点，C 为AB 上异于O 的一点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线，交半圆于D ，连结OD ,AD ,BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E .设AC =a ,CB =b ，则图中线段OD =a +b 2=x ，线段CD =ab =y ，线段_______=2ab a +b=z ；由该图形可以得出x ,y ,z 的大小关系为___________.【答案】 DE x >y >z【解析】利用射影定理求得z ，结合图象判断出x ,y ,z 的大小关系.【详解】在Rt △ABD 中，由射影定理得CD 2=AC ×CB ，即y 2=ab ,y =ab .在Rt △OCD 中，由射影定理得CD 2=DE ×OD ，即y 2=DE ×x ,DE =y 2x =ab a +b 2=2ab a +b =z .根据图象可知OD >CD >DE ，即x >y >z .故答案为：DE ；x >y >z24.欧几里得在《几何原本》中，以基本定义､公设和公理作为全书推理的出发点.其中第卷命题47是著名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，书中给出了一种证明思路：如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，四边形ABHL ､ACFG ､BCDE 都是正方形，AN ⊥DE 于点N ，交BC 于点M .先证△ABE 与△HBC 全等，继而得到矩形BENM 与正方形ABHL 面积相等；同理可得到矩形CDNM 与正方形ACFG 面积相等；进一步定理可得证.在该图中，若tan ∠BAE =13，则sin ∠BEA =________.【答案】210【解析】设AB =k ，AC =m ，BC =n ，由勾股定理可得k 2+m 2=n 2，由同角的基本关系式求得sin ∠BAE ，cos ∠BAE ，在△ABE 中，求得AE ，分别运用余弦定理和正弦定理，计算可得所求值.【详解】设AB =k ，AC =m ，BC =n ，可得k 2+m 2=n 2，又△ABE ≌△HBC ，可得AE =CH =HL 2+CL 2=k 2+m +k 2，在△ABE 中，tan ∠BAE =sin ∠BAE cos ∠BAE =13，又sin 2∠BAE +cos 2∠BAE =1，解得sin ∠BAE =110，cos ∠BAE =310，由cos ∠BAE =AB 2+AE 2-BE 22AB ⋅AE =k 2+k +m 2+k 2-n 22k k 2+k +m 2=2k 2+2km 2k 2k 2+2km +m 2=k +m 2k 2+m 2+2km=310，化为8k 2-2km -m 2=0，解得m =2k ，又k 2+m 2=n 2，可得n =5k ，在△ABE 中， AB sin ∠BEA =BE sin ∠BAE ，即 k sin ∠BEA=n 110，可得sin ∠BEA =210，故答案为：210.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式试卷第1页，共3页的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．四、解答题(共0分)25.设在二维平面上有两个点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，它们之间的距离有一个新的定义为D A ,B =x 1-x 2 +y 1-y 2 ，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离；在初中时我们学过的两点之间的距离公式是AB =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2，这样的距离称为是欧几里得距离(简称欧式距离)或直线距离.(1)已知A ，B 两个点的坐标为A 2x ,1 ，B 3,2 ，如果它们之间的曼哈顿距离不大于3，那么x 的取值范围是多少？(2)已知A ，B 两个点的坐标为A x ,a ，B 3,x ，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么a 的取值范围是多少？(3)已知三个点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 ，在平面几何的知识中，很容易的能够证明A 与B ，A 与C 的欧氏距离之和不小于B 和C 的欧氏距离，那么这三个点之间的曼哈顿距离是否有类似的共同的结论？如果有，请给出证明；若果没有，请说明理由.【答案】(1)12≤x ≤52；(2)a <1或a >5；(3)见解析.【解析】(1)由曼哈顿距离不大于3可得2x -3 +1≤3，利用公式法可求其解.(2) 利用绝对值不等式可求x -3 +a -x min =a -3 ，再由题设条件可得关于a 的不等式，从而可求其解.(3)对于曼哈顿距离，有类似的结论，可用绝对值不等式来证明.【详解】(1)因为A 2x ,1 ，B 3,2 ，故D A ,B =2x -3 +1-2 =2x -3 +1，由曼哈顿距离不大于3可得2x -3 +1≤3，故2x -3 ≤2，故12≤x ≤52.(2)因为A x ,a ，B 3,x ，故D A ,B =x -3 +a -x ，因为曼哈顿距离要恒大于2，可得x -3 +a -x >2，故x -3 +a -x min >2，由x -3 +a -x ≥x -3+a -x =a -3 ，当且仅当x -3 a -x ≥0时等号成立，故x -3 +a -x min =a -3 ，所以a -3 >2，故a <1或a >5.(3)有类似的结论：A 与B ，A 与C 曼哈顿距离之和不小于B 和C 的曼哈顿距离.证明： 设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,C x 3,y 3 ，则D A ,B =x 1-x 2 +y 1-y 2 ，D A ,C =x 1-x 3 +y 1-y 3 ，D B ,C =x 2-x 3 +y 2-y 3 .由绝对值不等式可得x 1-x 2 +x 1-x 3 ≥x 1-x 2 -x 1-x 3 =x 2-x 3 ，y 1-y 2 +y 1-y 3 ≥y 1-y 2 -y 1-y 3 =y 2-y 3 ，故D A ,B +D A ,C ≥D B ,C .故A 与B ，A 与C 曼哈顿距离之和不小于B 和C 的曼哈顿距离.【点睛】方法点睛：含绝对值符号的不等式的证明问题或函数的最值问题，一般可利用绝对值不等式进行放缩求解.26.欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点.现有一椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，长轴长为4，从一个焦点F 发出的一条光线经椭圆内壁上一点P 反射之后恰好与x 轴垂直，且PF =72．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A 为该椭圆的左顶点，若斜率为k 且不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，记直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，且满足k k 1+k 2 =2．①证明：直线l 过定点；②若OM |2+ ON |2=5，求k 的值．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)①-52,0 ；②k =±3417或k =±12.【解析】(1)利用椭圆的定义得出PF 1=12，再利用垂直关系和b 2a =12进行求解；(2)①设直线l 的方程为y =kx +m ，联立直线与椭圆的方程，得到关于x 的一元二次方程，写出两根之和与积，利用斜率公式及k k 1+k 2 =2得到关于k 、m 的关系式，再利用直线方程的点斜式证明直线过定点；②借助上问中k 、m 的关系式，化简两根之和与积，利用OM |2+ ON |2=5及点在椭圆上得到x 12+x 22=4，再进一步化简求解.(1)解：不妨设F 、F 1是椭圆的左焦点、右焦点，则PF 1⊥x 轴，又因为PF =72，2a =4，所以PF 1=2a -PF =12，即b 2a =12，所以b 2=1，则椭圆的标准方程为：x 24+y 2=1.(2)①证明：设直线l 的方程为y =kx +m ，M (x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立y =kx +m x 24+y 2=1，得：(1+4k 2)x 2+8km x +4(m 2-1)=0，则x 1+x 2=-8km 1+4k 2，x 1x 2=4(m 2-1)1+4k 2，因为k k 1+k 2 =2，所以y 1x 1+2+y 2x 2+2=2k，即kx 1+m x 1+2+kx 2+m x 2+2=(kx 1+m )(x 2+2)+(kx 2+m )(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2)=2k ，即2kx 1x 2+(2k +m )(x 1+x 2)+4m x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=2k ，即(2k 2-2)x 1x 2+(2k 2+km -4)(x 1+x 2)+4mk -8=0，则4(m 2-1)(2k 2-2)1+4k 2-8km (2k 2+km -4)1+4k 2+4mk -8=0，即10k 2-9km +2m 2=0，即(2k -m )(5k -2m )=0，则m =2k 或m =52k ，当m =2k 时，直线l :y =kx +m 可化为l :y =k (x +2)，试卷第1页，共3页。

绪论“解析几何”又名“坐标几何”,是几何学的一个分支。

解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题，基本方法是坐标法。

就是通过坐标把几何问题表示成代数形式，然后通过代数方程来表示和研究曲线。

它包括“平面解析几何”和“空间解析几何”两部分。

前一部分除研究直线的有关性质外，主要研究圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。

后一部分除研究平面、直线的有关性质外，主要研究二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面等）的有关性质。

1.解析几何产生的实际背景和数学条件解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。

解析几何产生数学自身的条件：几何学已出现解决问题的乏力状态；代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度.解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。

从16世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代。

生产实践积累了大量的新经验，并提出了大量的新问题。

可是，对于机械、建筑、水利、航海、造船、显微镜和火器制造等领域的许多数学问题，已有的常量数学已无能为力，人们迫切地寻求解决变量问题的新数学方法。

解析几何产生前的几何学平面几何，立体几何（欧几里得的《几何原本》），圆锥曲线论（阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》），特点：静态的几何,既不把曲线看成是一种动点的轨迹，更没有给它以一般的表示方法.几何学出现解决问题的乏力状态16世纪以后,哥白尼提出日心说，伽利略得出惯性定律和自由落体定律，这些都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题．几何．学必须从观点到方法来一个变革，创立起一种建立在运动观点上的几何学．16世纪代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件．1591年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统地使用了字母，他不仅用字母表示未知数,而且用以表示已知数，包括方程中的系数和常数．这样，代数就从一门以分别解决各种特殊问题的侧重于计算的数学分支，成为一门以研究一般类型的形式和方程的学问．这就为几何曲线建立代数方程铺平了道路．代数的符号化，使坐标概念的引进成为可能，从而可建立一般的曲线方程，发挥其具有普遍性的方法的作用．2.解析几何的创立17世纪前半叶，解析几何创立，其中法国数学家笛卡尔（Descartes，1596-1650)和费尔玛（fermat，1601-1665）作出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。

欧几里得的五个定理欧几里得是古希腊的数学家，被誉为几何学之父。

他的著作《几何原本》是西方数学史上最重要的经典之一，对后世的数学发展产生了深远的影响。

在《几何原本》中，欧几里得提出了五个公设，也就是不需要证明的基本假设，作为几何学的基础。

这五个公设分别是：公设一：任意两点可以通过一条直线连接。

公设二：任意线段能无限延长成一条直线。

公设三：给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

公设四：所有直角都全等。

公设五：若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。

这五个公设看似简单明了，但实际上却蕴含了丰富的数学内容。

在本文中，我们将分别介绍这五个公设的含义、证明方法和应用领域，以及它们在数学史上的重要地位。

公设一：任意两点可以通过一条直线连接这个公设是最基本的几何概念之一，它表明了空间中点和直线的关系。

根据这个公设，我们可以定义什么是平面、角度、三角形等几何图形。

这个公设也是最容易被接受和理解的，因为它符合我们的直观感受和日常经验。

要证明这个公设，我们可以使用反证法。

假设存在两点A和B，不能通过一条直线连接。

那么，我们可以在A和B 之间取任意一点C，并作AC和BC两条线段。

由于AC和BC不是直线，那么它们必然有一个交点D（否则它们就是平行的）。

那么，我们就得到了一个四边形ABCD，其中AB和CD是对边。

根据四边形的性质，对边相等或平行时，四边形是平行四边形。

但是，由于A和B不能通过一条直线连接，所以AB和CD不可能相等或平行。

因此，我们得到了一个矛盾，说明假设不成立。

所以，任意两点可以通过一条直线连接。

这个公设的应用非常广泛，例如，在解析几何中，我们可以用直线方程来表示空间中的任意两点之间的关系；在代数几何中，我们可以用多项式来描述曲线或曲面上的任意两点之间的关系；在微积分中，我们可以用极限来定义函数在某一点处的导数或切线；在物理学中，我们可以用光线来描述光源和物体之间的反射或折射现象；在工程学中，我们可以用梁或桥梁来支撑结构或承受载荷；等等。

平面解析几何的发展过程平面解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是平面上点、线、圆等基本几何元素的性质和关系。

它的发展经历了漫长的历史过程，从古希腊的几何学到近代的解析几何，逐步形成了现代平面解析几何的体系。

古希腊几何学是平面解析几何的起源。

公元前6世纪，古希腊的数学家泰勒斯在求解几何问题时开始使用几何分析的思想，他将几何问题转化为代数方程的求解问题。

这种思想为后来的平面解析几何奠定了基础。

古希腊的数学家欧几里得在《几何原本》中系统地阐述了平面几何的基本概念和定理，这奠定了平面解析几何的基本框架。

在古希腊几何学的基础上，17世纪的笛卡尔开创了解析几何。

笛卡尔在《几何学》一书中首次提出了平面解析几何的基本思想。

他引入了坐标系的概念，将平面上的点用坐标表示，从而将几何问题转化为代数问题。

笛卡尔的解析几何为后来的数学发展奠定了坚实的基础。

18世纪，欧拉和拉格朗日等数学家进一步发展了平面解析几何的理论。

欧拉在《解析几何引论》中系统地总结了平面解析几何的基本理论，并提出了解析几何的一些重要定理，如欧拉定理和拉格朗日中值定理等。

这些定理深化了对平面解析几何的认识，推动了平面解析几何的发展。

随着数学的发展，19世纪初的高斯和拉普拉斯等数学家对平面解析几何进行了深入研究，并提出了一系列重要的理论。

高斯在《平面几何研究》中提出了高斯曲率的概念，这是平面解析几何中的重要内容。

他还研究了曲线的方程和曲面的性质，为平面解析几何的发展做出了杰出贡献。

20世纪初，爱尔兰数学家康托尔和法国数学家庞加莱等人对平面解析几何进行了进一步的发展。

康托尔在研究曲线的连续性时提出了康托尔集合的概念，这对后来的拓扑学和数学分析产生了重要影响。

庞加莱则在研究曲线的性质时提出了庞加莱猜想，这是20世纪数学史上的一个重要问题。

随着计算机的发展，平面解析几何又得到了新的发展。

计算机图形学的兴起使得平面解析几何的理论得到了更广泛的应用。

人们可以通过计算机模拟出各种几何形状，并进行相关的计算和分析。

几何原本证明题几何原本证明题是数学学科中的一个重要部分，它是关于图形形状和属性的证明问题。

几何原本证明题的解决需要运用到几何学的基本概念和定理，通过逻辑推理和严密的证明过程来解决。

本文将介绍几个经典的几何原本证明题，通过这些题目的分析，我们可以加深对几何学知识的理解和运用能力。

1. 平行线夹角问题给定两条平行线l和m，从线段AB上任取一点C，并连接AC、BC。

试证明∠CAB = ∠CDE。

解析：将问题转化为利用平行线的性质和角的相等问题。

根据线l和线m平行的定义，可以得到∠CAB和∠CDE是同位角，且两条平行线l和m的交叉线段CD与AB是割线，所以∠CDE是割线上的内角，即∠CDE = ∠CAB。

2. 三角形内角和问题对于任意一个三角形ABC，试证明∠A + ∠B + ∠C = 180度。

解析：通过平行、垂直和三角形内角和等于180度的性质来证明。

我们可以先从点A引一条与BC平行的直线l，它与线段AC和AB的交点分别为D和E。

然后，连接两条线段BD和CE。

根据平行线的性质，可以得到∠CBD和∠BAE是同位角，且∠ACE和∠BCD是同位角。

此外，根据直线和平行线分割内外角的性质，我们可以得到∠B和∠BCD是同位角，∠A和∠ACE是同位角。

再根据垂直角的性质，我们可以得到∠BCD和∠BAE是垂直角，它们的度数之和为180度。

因此，我们可以得到∠B + ∠A + ∠C = ∠BCD + ∠BAE + ∠ACE = 180度。

3. 直角三角形勾股定理问题已知三角形ABC中，∠C = 90度，AC = 5cm，BC = 12cm，试证明AB的长度。

解析：通过勾股定理来解决。

根据直角三角形的定义，三角形ABC中∠C =90度，边AC与边BC所对应的角为直角，即满足直角三角形的条件。

我们可以利用勾股定理来求解AB的长度。

勾股定理表述为：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。

根据已知的条件，可以得到AB的平方等于AC的平方加上BC的平方，即AB^2 = AC^2 + BC^2，带入具体数值后可以求得AB ≈13cm。

、《九章算术》和《几何原本》在思维方法上有很大的不同我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》。

其中的勾股章提出了勾股数问题的通解公式，在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。

勾股章还有些内容，在西方却还是近代的事。

《九章算术》及其刘徽注，以杰出的数学成就，独特的数学体系。

不仅对东方数学，而且对整个世界数学的发展产生了深远的影响，在科学史上占有极为重要的地位。

它的出现，标志着从公元前1世纪开始，中国取代古希腊成为世界数学的中心，为此后中国数学领先世界1500多年奠定了基础。

《几何原本》是欧几里德一生著有的多部数学著作其中最有价值的一部。

它系统的总结了古代劳动人民在实践中获得的几何知识，把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。

《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年〔公元前一世纪〕。

全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。

主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。

《九章算术》很强调辩证思维，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。

它的一些成就如十进制值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。

但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。

由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。