几何原本-第一卷几何基础

关于几何原本的知识几何，作为数学的重要分支之一，是研究空间形体以及其属性的学科。

在我们日常生活中，很多几何知识都是我们必须掌握的基础知识。

那么，在几何原本的知识中，有哪些是我们必须要掌握的呢？下面，就让我来一步步阐述。

第一步：认识图形图形是几何的重要基础，而人们离不开的最基本图形便是点、线、面。

其中，点是没有大小和形状的，只有位置，可以表示为用字母标记的点。

线是由两个点确定，没有宽度和高度，可以用直线标记。

面是由多个线构成，有面积和形状，可以用有限的线段组成。

当然，除了这些基本图形外，我们还可以看到诸如正方形、长方形、圆形、三角形等图形，这些图形都有自己特定的性质和用途，在学习几何时也应该对它们有深刻了解。

第二步：识别几何性质在学习几何时，我们还需要了解各种图形的性质。

如线段上的三点共线，三角形中的内角和为180度，正方形的四边相等，相邻两边相等等等。

掌握了这些性质，我们就能够更好地判定并理解各种图形。

第三步：运用空间几何知识在空间几何中，我们不仅需要学习图形的性质，还需要掌握如何在三维空间中描述图形。

比如，平面图形是在二维空间内讨论的，而将这些平面图形放在三维空间内，则成为了立体图形。

立方体、圆柱体、球体、锥体等图形，都是我们日常生活中常见的，而掌握它们的性质和运用方法，则会让我们在需要进行立体计算时事半功倍。

第四步：应用几何知识最后，了解几何知识后，我们还需要将它们应用到实际问题中。

在日常生活中，我们经常遇到需要运用几何知识的问题，比如测量周长、面积、体积等。

而且在工程、建筑、城市规划等方面，几何知识更是不可或缺，如何将具体问题转化为几何问题，将几何知识与实际应用结合，使我们的生活变得更加便捷和高效。

以上，便是围绕“关于几何原本的知识”所提及的几个步骤，通过这些知识的系统学习和掌握，不仅可以帮助我们更好地认识图形和掌握几何性质，而且能够运用几何知识解决实际问题，实现我们的实践能力的提高。

几何原本的公设和公理几何学是一门研究空间中图形、大小、位置关系和性质的学科，它的基础在于公设和公理。

公设和公理是几何学中最基本的概念，它们构成了几何学体系的基础。

本文将详细介绍几何原本的公设和公理。

一、公设1.点线面公设点是没有长度、宽度和高度的，只有位置的概念。

线是由无数个点连成的，具有长度但没有宽度和高度。

面是由无数条线围成的，具有长度和宽度但没有高度。

2.尺规作图公设尺规作图是指用直尺和圆规来画出一些特定形状的图形。

尺规作图公设认为可以用直尺和圆规画出能够被分解为直线段与圆弧相交所得到的长度为1的线段。

3.平行公设平行公设认为如果一条直线上有两个点与另一条直线上两个点相对应且这两条直线不重合，则这两条直线必定平行。

二、公理1.欧几里德几何五大公理欧几里德几何是古希腊数学家欧几里德所创立的几何学体系。

欧几里德几何的五大公理包括：（1）任意两点之间都可以画一条直线。

（2）有限直线段可以无限延长。

（3）以一个点为圆心、以一个确定的长度为半径可以画出一个唯一确定的圆。

（4）所有直角相等。

（5）如果一条直线上有两点与另一条直线上两点相对应，则这两条直线不会相交，或者在相交处形成同侧的两个直角。

2.非欧几里德几何公理与欧几里德几何不同，非欧几里德几何并不认为第五公理是正确的。

非欧几里德几何有多种公理体系，其中最著名的是黎曼几何和洛巴奇夫斯基空间。

黎曼几何公理认为平面上不存在平行线，而洛巴奇夫斯基空间则认为平面上存在无穷多个平行线。

三、总结公设和公理是构成了现代数学中各个分支学科体系中最基本概念和规则，它们构成了各个分支学科体系的基础和框架。

在学习数学时，我们需要深入掌握这些基本概念和规则，以便更好地理解和应用数学知识。

《几何原本》利玛窦徐光启（合译）展开全文中国最早的译本是1607年意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci，1552－1610）和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》（15卷）合译的，定名为《几何原本》，几何的中文名称就是由此而得来的。

该译本第一次把欧几里德几何学及其严密的逻辑体系和推理方法引入中国，同时确定了许多我们如今耳熟能详的几何学名词，如点、直线、平面、相似、外似等。

他们只翻译了前6卷，后9卷由英国人伟烈亚力和中国科学家李善兰在1857年译出。

徐光启翻译中的重要贡献徐光启译《几何原本》徐光启和利玛窦《几何原本》中译本的一个伟大贡献在于确定了研究图形的这一学科中文名称为“几何”，并确定了几何学中一些基本术语的译名。

“几何”的原文是“geometria”，徐光启和利玛窦在翻译时，取“geo”的音为“几何”，而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。

用“几何”译“geometria”，音义兼顾，确是神来之笔。

几何学中最基本的一些术语，如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名，都是这个译本定下来的。

这些译名一直流传到今天，且东渡日本等国，影响深远。

前六卷的翻译工作《几何原本》传入中国，首先应归功于明末科学家徐光启。

徐光启(1562～1633)，字子先，上海吴淞人。

他在加强国防、发展农业、兴修水利、修改历法等方面都有相当的贡献，对引进西方数学和历法更是不遗余力。

他认识意大利传教士利玛窦之后，决定一起翻译西方科学著作。

利玛窦主张先译天文历法书籍，以求得天子的赏识。

但徐光启坚持按逻辑顺序，先译《几何原本》。

对徐光启而言，《几何原本》有严整的逻辑体系，其叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同。

这种区别于中国传统数学的特点，徐光启有着比较清楚的认识。

他还充分认识到几何学的重要意义，他说“窃百年之后，必人人习之”。

他们于1606年完成前6卷的翻译，1607年在北京印刷发行。

《几何本来》与《九章算术》的异同《几何本来》和《九章算术》都是经典的数学著作，一部是西方的著作，一部是中国的古代著作，这两部著作都对此后的数学发展做出了很大的贡献，并对人类文明产生深远的影响。

《几何本来》和《九章算术》自己是对于纯数学的专著，但高度抽象化的数学是必然是需要和其余的学科相联合的。

下边，我就《几何本来》和《九章算术》的异同做一些论述，第一，《几何本来》和《九章算术》产生的背景不一样：《几何本来》产生的背景：欧几里得的平生，此刻知道的甚少，欧几里得在公元前 300 年左右，到达亚历山大里亚教课．人们夸赞欧几里得治学精神谨慎、谦逊，是一个温良敦朴的数学教育家．欧几里得在从事数学教育中，老是谆谆教导地启迪学生，倡导勤苦研究，弄懂弄通，反对谋利钻营、急于求成的狭小思想．欧几里得在从事数学教育中，擅长累积数学知识，并进行了拓宽与创新．他的巨著《几何本来》是一世中最重要的工作，这部著作的形成拥有无以伦比的历史意义．他精僻地总结了人类长期间累积的数学成就，成立了数学的科学系统，为后代持续学习和研究数学供给了课题和资料，使几何学的发展充满了活的活力．这部著作长期间被人崇敬、崇奉，素来没有一本教科书，像《几何本来》那样长久广为歌颂．从 1482年到 19 世纪末，欧几里得《几何本来》的印刷本竟用各样文字印刷 1000 版以上，在此从前，它的手手本统御几何学也已达近 1800 年之久．欧几里得继承和发展了古人的数学知识，《几何本来》所用到的资料大多半是希腊先期各学派创立的成就．欧几里得是柏拉图的门徒，他的著作基本沿续了柏拉图的传统思想，承继了《共和国》中所论及的科学方法．欧几里得在《几何本来》中，发展了柏拉图的以哲学为基础，“数论、几何、音乐、天文”4 科为内容的科学思想．此外，欧几里得还采纳了欧多克索斯等学者的一些定理，并加以完善．《几何本来》所采纳的公义、定理都是经过仔细商酌、挑选而成，并按谨慎的科学系统进行编排，使之系统化、理论化，超出了从前的所有著作，所以，当《几何本来》问世以后，其余诸类渐渐偃旗息鼓了．《九章算术》的背景：中国数学经过长久累积，到西汉期间已有了相当丰富的内容．除《周髀算经》外，西汉早期出现了第一部数学专著 ---《算术书》，用竹简写成．全书共60多个标题，如“相乘”、“增减”、“少广”、“税田”、“金价”、“合分”等，标题以下有各样问题．《九章算术》的体例便遇到《算术书》的影响．此外，当时西汉已有初步的负数及比率观点，面积和体积计算的知识也增加了．这些都为我国初等数学系统的形成准备了条件．现传本《九章算术》约成书于西汉末年，作者不详，可能经多人之手而成．它是一部承上启下的著作，一方面总结了西汉及西汉从前的数学成就，集当时初等数学之大成；另一方面又对后代数学发展产生了深远的影响．其次，《几何本来》和《九章算术》的内容的异同：<<几何本来本 >>各卷简介 :第一卷：几何基础。

再读《几何原本》第一卷（一）本阅读将第一册的48个命题平均分为三部分。

每部分有16个命题。

第一部分研究相等关系，包括三边相等的三角形、两个全等的三角形、等线段、两边相等的三角形、两个角相等的部分、相交成等邻角的直线等等。

第二部分研究不等关系和平行关系，≠ ，不等号是这样的，研究平行线时，也是这样的，用一条斜线交两线。

第三部分研究等面积变换。

先从第三部分开始讨论，然后第一部分，最后第二部分。

因为第三部分，相对容易理解。

这部分的目标：化任意多边形为等面积的正方形。

内容：从第三十三命题到第四十八命题。

因为这些命题，大部分是夹在平行线之间的平行四边形以及三角形，只要预先假定两平行线之间，距离处处相等。

距离由于欧氏几何独特的性质，如图，从S点向直线TV引垂线ST，这垂线必然也垂直于直线SU。

因此，可以定义平行线之间的距离。

这些距离，图中ST,UV,WZ,等，都相等。

有了这个假设，则大部分命题比较容易理解。

其实，这个命题也可以作为公设，代替传说中的第五公设。

这个命题与第五公设是等价的。

有了第五公设，就有了平行线的性质，这个假设也就不是假设，而是可以证明的定理。

但书中似乎没有出现“距离”这样的字样。

一直用线段度量线段，就是考虑线段与线段的比值。

这一点，同《九章算术》明显不同。

《九章》中，（刘徽）在计算圆周率的时候，就使用了各种长度单位；在《海岛算经》中，各种长度单位的转化更是繁复。

在单位中，实际上定义了一个固定的线段。

其他的与它成比例。

只有利用阿基米德公理才能完成测量。

用比例，就避免了单位的转化。

相同单位的两个量一比，单位就消失了。

更重要的原因是，继承了毕达哥拉斯学派的传统，一定要找到线段和线段之间的“最大公约数”，就是“可公度量”。

让线段之间可以产生比。

当时比的是除法，就是分数还不知道。

这与无理数不能精确地用比例表示有关。

无理数的危机怎么解决？我要看完那一章才知道。

因为现在倒着看这一章书，所以先假定有“距离”这概念。

《九章算术》与《几何原本》异同一、《九章算术》与《几何原本》的内容相似有以下几个方面：1、《九章算法》的第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。

包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法；而《几何原本》第一卷：几何基础。

重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理；第二卷：几何与代数。

讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。

第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。

第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；它们都是在平面上来研究几何图形的面积及性质。

2、《九章算术》第四章“少广”：已知面积，体积，反求其一边长和径长等；第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；而《几何原本》第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容.它们研究都涉及立体几何的内容。

3、《九章算术》第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；第三章“衰分”：比例分配问题；而《几何原本》第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是“最重要的数学杰作之一”。

第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。

第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论。

它们都涉及到比例的算法。

4、《九章算术》第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题，提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，《几何原本》中的命题1.47，证明了是欧几里德最先发现的勾股定理。

在它们研究的范围内都用到勾股定理。

二、《九章算术》与《几何原本》的思维方面有很大的区别：1、《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年〔公元前一世纪〕。

几何原本的主要内容几何原本是欧几里得所著的一本关于几何学的著作，它被认为是几何学中最具有影响力的书籍之一。

该书共分为13卷，讲述了平面和立体几何学中的基本概念、定理和证明方法。

以下是关于几何原本的主要内容。

第一卷：基础概念第一卷主要介绍了几何学中的基础概念，包括点、线、面等。

欧几里得通过定义这些基础概念来建立整个几何体系，并提出了公设法作为证明方法。

第二卷：平面几何第二卷介绍了平面几何中的基本定理和证明方法，包括点、线、角、三角形等概念。

其中最著名的是勾股定理，即直角三角形斜边上的平方等于两直角边上平方之和。

第三卷：圆形第三卷主要讲述了圆形和圆锥曲线等相关知识。

欧几里得提出了圆周角定理和切割圆法等重要定理和方法。

第四卷：比例论第四卷主要介绍了比例论，包括比例、相似和比例的应用等。

欧几里得提出了重要的黄金分割定理，即长与短的比例等于整体与长的比例。

第五卷：平面几何进阶第五卷进一步深入了解平面几何中的各种定理和证明方法，包括相似三角形、平行线、多边形等。

其中最著名的是欧几里得算法，即求最大公约数的一种方法。

第六卷：立体几何第六卷讲述了立体几何中的基本概念和定理，包括球体、棱锥、棱柱等。

欧几里得提出了球面角定理和平行截面定理等重要定理。

第七卷：数学物理学第七卷主要涉及到数学物理学中的知识，包括音乐比例、光学和天文学等。

欧几里得通过这些应用领域来展示他所建立的几何体系在实际中的应用价值。

第八卷：类似论第八卷主要介绍了相似三角形和类比问题。

欧几里得提出了相似三角形面积比例定理和类比问题解法等重要定理和方法。

第九卷：测量论第九卷讲述了测量论中的知识，包括长度、角度和面积等的测量方法。

欧几里得提出了重要的三角形面积公式和圆周率的近似值等定理。

第十卷：几何代数学第十卷主要介绍了几何代数学中的知识，包括线性方程组、二次曲线等。

欧几里得通过这些应用领域来展示他所建立的几何体系在实际中的应用价值。

第十一卷：不变性第十一卷讲述了不变性原理和对称性等相关知识。

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论《九章算术》与《几何原本》的特点
作者：陈家欣
来源：《文理导航》2017年第32期
【摘要】《九章算术》是中国古代数学著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系；《几何原本》是古希腊时期乃至整个人类历史上最重要的数学著作，是数学史上一个伟大的里程碑，它不仅是几何学建立的标志，同时也是公理体系在具体学科中应用成功的标志。

【关键词】九章算术；几何原本；代数；几何
引言
《九章算术》与《几何原本》是数学史上东西辉映的两大巨著，是数学思想方法的两个源头。

《九章算术》强调辩证思维，特别注重实事求是，理论联系实际。

全书的246道题，都建立在与生活和生产相关的应用上，形成了以计算为中心的数学体系，对中国古算影响深远；而《几何原本》则相反，与生活和社会的实际问题无关，全书没有一道应用题，全部是纯粹的数学问题。

两书同为古代数学的巨著，对近代数学的发展影响深远，那两书到底有着怎样不同的风格特点，本文将从以下三个方面来论述。

1.体系
《九章算术》开放的归纳体系，全书共246个与生产生活相关的算术题目，同一类型的计算问题化归为一章，共九章。

现将各章内容简介如下：
第一章“方田”：田亩面积计算；（“方”面积单位）
第二章“粟米”：谷物粮食之间互相兑换；（“粟”谷物）
第三章“衰分”：比例分配；（“衰”按比例）
第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边宽广等；（“少”多少，“广”宽广）
第五章“商功”：土木工程、体积计算；（“商”度量，“功”工程）
第六章“均输”：合理摊派赋税；（“均”匀，“输”财物）
第七章“盈不足”：解应用；。

《几何原本》第一卷《几何基础》23条定义1、点是没有部分的2、线只有长度而没有宽度3、一线的两端是点4、直线是它上面的点一样地平放着的线5、面只有长度和宽度6、面的边缘是线7、平面是它上面的线一样地平放着的面8、平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度. 9、当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角. 10、当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。

11、大于直角的角叫钝角。

12、小于直角的角叫锐角13、边界是物体的边缘14、图形是一个边界或者几个边界所围成的15、圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。

16、这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。

17、圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分。

18、半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。

（暂无注释，可能是接着17的）19、直线形是由线段围成的，三边形是由三条线段围成的，四边形是由四条线围成的，多边形是由四条以上线段围成的。

20、在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形. 21、此外，在三边形中，有一角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形；有三个角是锐角的，叫做锐角三角形。

22、在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形. 23、平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线. 五条公理1、等于同量的量彼此相等；2、等量加等量，其和相等；3、等量减等量，其差相等；4、彼此能重合的物体是全等的；5、整体大于部分。

《几何原本》欧几里得的《几何原本》共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立体几何的内容。

从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。

因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。

属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何。

《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）。

《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设。

（其中最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。

它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。

）这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。

全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的。

比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证。

都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。

关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。

所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。

欧几里得《几何原本》的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。

它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。

从欧几里得发表《几何原本》到现在，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，但是欧几里得几何学仍旧是中学生学习数学基础知识的好教材。