2020-2021学年四川省凉山州高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
- 格式：doc
- 大小：1.07 MB
- 文档页数：15
2020-2021学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．在平行四边形ABCD中，＝（ ）
A． B． C． D．
2．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an﹣1﹣1（n≥2，n∈N*），则a8＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．7 D．8
3．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，且a＝，b＝，B＝45°，则角A＝（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．135°
4．已知向量＝（﹣3，4），＝（﹣1，0），则在方向上的投影为（ ）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
5．若a＜b＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．ab＞a2 C．|a|＜|b| D．＞2
6．若{an}为等比数列，且a2a7+a3a6＝4，则a1a2a3…a8＝（ ）
A．8 B．16 C．64 D．256
7．在△ABC中，角A，B，C满足sinA：sinB：sinC＝2：3：，则角C＝（ ）
A． B． C． D．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．1+ B．1+ C．2+ D．2+
9．若锐角△ABC的边长分别为1，2，a，则a的取值范围是（ ） A．（1，3） B．（，） C．（1，） D．（2，）
10．数列{an}的a1＝1，，，且，则a2021＝（ ）
A．1 B．2020 C．2021 D．2022
11．在△ABC中，＝9，AB＝3，，则＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．三棱锥P﹣ABC中，二面角B﹣PA﹣C大小为120°，且∠PAB＝∠PAC＝90°，AB＝AC＝1，PA＝2．若点P，A，B，C都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．4π B．5π C．6π D．8π
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．{an}是等比数列，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝
．
14．已知x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值为 ．
15．若x＞1，则的最小值为 ．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，a＝2，⊙O为△ABC的外接圆，＝m+n．给出下列四个结论：
①若m＝n＝1，则||＝2；
②若P在⊙O上，则m2+n2+mn＝1；
③若P在⊙O上，则m+n的最大值为2；
④若m，n∈[0，1]，则点P的轨迹所对应图形的面积为2．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．设，是两个相互垂直的单位向量，且＝+2，＝3+．
（1）若∥，求λ的值；
（2）若⊥，求λ的值．
18．关于x的不等式：x2﹣ax﹣2a＞0．
（1）当a＝1时，求不等式的解集；
（2）若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围．
19．等比数列{an}的各项均为正数，且a1+6a2＝1，a3＝a1•a2． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log3an，求数列{bn}前n项和．
20．设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2asinB＝b．
（1）求A；
（2）若a＝3，sin（A+C）＝，求c的值．
21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为PA，BC的中点．
（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）已知PA＝AB＝2，G为棱CD上的点，EF⊥BG，求三棱锥E﹣FCG的体积．
22．数列{an}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，数列{bn}满足b1＝1，bn•bn+1＝an2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：≥2n﹣1．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．在平行四边形ABCD中，＝（ ）
A． B． C． D．
解：平行四边形ABCD中，＝++＝+＝，
故选：A．
2．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an﹣1﹣1（n≥2，n∈N*），则a8＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．7 D．8
解：根据题意，由a1＝1，得a2＝2a1﹣1＝1，a3＝2a2﹣1＝1，a4＝2a3﹣1，…，an＝1，
所以{an}是常数列且an＝1，故a8＝1．
故选：B．
3．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，且a＝，b＝，B＝45°，则角A＝（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．135°
解：在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，且a＝，b＝，B＝45°， 利用正弦定理：，整理得，
由于a＜b，
所以A＝30°．
故选：A．
4．已知向量＝（﹣3，4），＝（﹣1，0），则在方向上的投影为（ ）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3 解：∵＝（﹣3，4），＝（﹣1，0）， ∴•＝3， ∴在方向上的投影为||cos＜，＞＝||•＝＝．
故选：B．
5．若a＜b＜0，则下列不等式正确的是（ ） A． B．ab＞a2 C．|a|＜|b| D．＞2
解：A：∵a＜b＜0，∴﹣＝＞0，故A不正确；
B：∵a＜b＜0，∴a＜0，∴a2＞ab，故B不正确；
C：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|，故C不正确；
D：∵a＜b＜0，∴＞0，＞0，则≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号，
∵a≠b，故则＞2，故D正确．
故选：D．
6．若{an}为等比数列，且a2a7+a3a6＝4，则a1a2a3…a8＝（ ）
A．8 B．16 C．64 D．256
解：{an}为等比数列，且a2a7+a3a6＝4，
∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，
∴a1a2a3…a8＝24＝16．
故选：B．
7．在△ABC中，角A，B，C满足sinA：sinB：sinC＝2：3：，则角C＝（ ）
A． B． C． D．
解：在△ABC中，角A，B，C满足sinA：sinB：sinC＝2：3：，
利用正弦定理：a：b：c＝2：3：，
设a＝2k，b＝3k，c＝k， 所以，
由于：0＜C＜π，
故C＝．
故选：C．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．1+ B．1+ C．2+ D．2+
解：由三视图还原原几何体如图：
该几何体为四棱锥，底面ABCD为边长是1的正方形，
侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝1．
由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BC，又BC⊥AB，
得BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，即PBC为直角三角形，
同理可得PDC为直角三角形． ∴该几何体的表面积为．
故选：C．
9．若锐角△ABC的边长分别为1，2，a，则a的取值范围是（ ）
A．（1，3） B．（，） C．（1，） D．（2，）
解：由于锐角△ABC的边长分别为1，2，a，
利用余弦定理cosA＞0，cosB＞0，cosC＞0．
所以12+22＞a2，12+a2＞22， 解得．即a．
故选：B．
10．数列{an}的a1＝1，，，且，则a2021＝（ ）
A．1 B．2020 C．2021 D．2022 解：根据题意，，， 若，则有•＝nan+1﹣（n+1）an＝0，变形可得＝，
又由a1＝1，则a2021＝××……××a1＝××……××1＝2021；
故选：C．
11．在△ABC中，＝9，AB＝3，，则＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 解：＝（）•＝+•＝﹣＝9﹣×9＝3，
故选：C．
12．三棱锥P﹣ABC中，二面角B﹣PA﹣C大小为120°，且∠PAB＝∠PAC＝90°，AB＝AC＝1，PA＝2．若点P，A，B，C都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．4π B．5π C．6π D．8π
解：如图，
∵∠PAB＝∠PAC＝90°，∴∠BAC为二面角B﹣PA﹣C的平面角，大小为120°，
∵AB＝AC＝1，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
设△ABC的外接圆的半径为r，则r＝，
设底面三角形ABC的外心为D，三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，连接OD，则OD⊥平面ABC，
且OD＝PA＝1，
连接OA，则OA为三棱锥P﹣ABC外接球的半径，
可得OA2＝12+12＝2．
∴该球的表面积为4π×2＝8π．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．{an}是等比数列，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝ 2n﹣1 ．
解：{an}是等比数列，a1＝1，a2＝2，
∴q＝＝2，
∴数列{an}的前n项和Sn＝＝2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
14．已知x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值为 1 ．
解：作出约束条件 对应的平面区域如图阴影部分所示：
令z＝2x﹣y得y＝2x﹣z，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y＝2x﹣z，
由图象可知当直线y＝2x﹣z经过点B时，直线y＝2x﹣z的截距最小，
此时z最大， 由，得B（1，1）．
代入目标函数z＝2x﹣y，
得z＝2×1﹣1＝1，
故答案为：1．
15．若x＞1，则的最小值为 7 ． 解：由于x＞1，所以x﹣1＞0，
故＝（x﹣1）++1＝7，当且仅当x＝4时，等号成立，
故答案为：7．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，a＝2，⊙O为△ABC的外接圆，＝m+n．给出下列四个结论：
①若m＝n＝1，则||＝2；
②若P在⊙O上，则m2+n2+mn＝1；
③若P在⊙O上，则m+n的最大值为2；
④若m，n∈[0，1]，则点P的轨迹所对应图形的面积为2．
