第24讲 尺规作图-2020年中考数学考点必过精品专题(解析版)
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第24讲 尺规作图
1．尺规作图的作图工具
圆规和没有刻度的直尺
2．基本尺规作图
类型一：作一条线段等于已知线段
步骤：①作射线OP；
②以O为圆心，a为半径作弧，交OP于A，OA即为所求线段．
图示：
类型三：作线段的垂直平分线
步骤：①分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径，在AB两侧作弧，两弧交于M，N点；
②连接MN，直线MN即为所求垂直平分线． 图示：
类型四：作一个角等于已知角：
步骤：①以O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；
②作射线O′A；
③以O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A于点M；
④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N；
⑤过点N作射线O′B，∠AO′B即为所求角．
图示：
类型五：过一点作已知直线的垂线
步骤：点在直线上：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交直线于A，B两点；
②分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径在直线两侧作弧，交点分别为M，N；
③连接MN，MN即为所求垂线． 点在直线外：①在直线另一侧取点M；
②以PM为半径画弧，交直线于A，B两点；
③分别以A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，交M同侧于点N；
④连接PN，则直线PN即为所求的垂线．
图示：
3．常见几种基本尺规作图作三角形
①已知三边作三角形；
②已知两边及其夹角作三角形；
③已知两角及其夹边作三角形；
④已知底边及底边上的高作等腰三角形；
⑤已知一直角边和斜边作直角三角形．
4．作图的一般步骤
(1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明；
(6)讨论．
步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
考点1：简单尺规作图
【例题1】尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形．
已知：如图，∠α，线段a. 求作：△ABC，使AB＝AC，∠BAC＝α，AD⊥BC于D，且AD＝a.
【解析】：作图如图，(1)作∠EAF＝∠α；(2)作AG平分∠EAF，并在AG上截取AD＝a；(3)过D作MN⊥AG，MN与AE，AF分别交于B，C.则△ABC即为所求作的等腰三角形
归纳：1．熟悉五个基本的作图步骤及作图痕迹．
2．平时多体会和理解一些复杂作图的依据及作图过程．
3．会在常见的作图语言与对应的几何语言之间进行转化．
4．提倡在平时画图时，采用尺规作图，强化自己的作图意识和规范性．
考点2： 复杂尺规作图
【例题2】如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°.
(1)请在BC上找一点P，作⊙P与AC，AB都相切，与AC的切点为Q；(尺规作图，保留作图痕迹) (2)连接BQ，若AB＝3，(1)中所作圆的半径为32，求sin∠CBQ.
【分析】 (1)要求作⊙P与AB、AC相切，根据切线的性质，即点P到AB、AC的距离相等，且点P在边BC上，想到角平分线上的点到角两边的距离相等，即作∠BAC的平分线交BC于P点，以点P为圆心，PB为半径作圆即可；(2)由切线长定理得AB＝AQ，又PB＝PQ，则判定AP为BQ的垂直平分线，利用等角的余角相等得到∠CBQ＝∠BAP，然后在Rt△ABP中利用正弦函数求出sin∠BAP，从而可得到sin∠CBQ的值．
解：(1)如图所示，⊙P即为所求：
(2)∵AB、AQ为⊙P的切线，∴AB＝AQ，∵PB＝PQ，∴AP为BQ的垂直平分线，∴∠BAP＋∠ABQ＝90°，∵∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∴∠CBQ＝∠BAP，在Rt△ABP中，AP＝AB2＋PB2＝32＋（32）2＝352，∴sin∠BAP＝BPAP＝32352＝55，∴sin∠CBQ＝55
考点3：
关于尺规作图的应用
【例题3】（2019▪广西池河▪8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E；
（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD＝12∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD＝12∠BOD，则∠BOD＝∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE＝12AC．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）OE∥AC，OE＝12AC．
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝12∠BAC，
∵∠BAD＝12∠BOD，
∴∠BOD＝∠BAC，
∴OE∥AC， ∵OA＝OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC，OE＝12AC．
一、选择题：
1. （2018年湖北省宜昌市3分）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
【答案】B
【解答】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选：B．
2. （2018•襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【答案】B
【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选：B．
3. （2019•河北•3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选：C．
4. （2019•贵阳•3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解答】解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE＝＝．
故选：D．
5. （2018•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
【答案】A
【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），
∴AH=1，HO=2，
∴Rt△AOH中，AO=，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO=，
∴HG=﹣1，
∴G（﹣1，2），
故选：A．
二、填空题：
6. （2018•南京）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE=
cm．
【答案】5
【解答】解：∵用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，
∴D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=5cm．
故答案为：5．
7. （2019•河南•3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为 .
【答案】22．
【解答】解：如图，连接FC，则AF＝FC． ∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO．
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝3，
∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
∴CD2+12＝32，
∴CD＝22．
8. （2018•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 ．
【答案】 【解答】解：连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+（5﹣x）2，
解得x=，
∴CD=BC﹣DB=5﹣=，
故答案为．
三、解答题：
9. 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．(保留作图痕迹，不写作法)
①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D;
②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E.
(2)在(1)所作的图形中，解答下列问题.
①点B与⊙O的位置关系是_____________；(直接写出答案)
②若DE＝2，AC＝8，求⊙O的半径．
