2019-2020学年四川省凉山州高二下学期期末数学试卷(理科) (解析版)

2019-2020学年四川省凉山州高二第二学期期末数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题）.

1．已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{x|1＜3x＜81}，C＝{x|x＝2n，n∈N}，则（A∪B）∩C＝（ ）

A．{0，2，4} B．{2，4} C．{0，2} D．{2}

2．若复数z的虚部小于0，|z|＝，且z+＝4，则iz＝（ ）

A．1+3i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i

3．函数f（x）＝x2+的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

4．如图所示的四个正方体中，A，B是正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号为（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①②③

5．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）

A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5

6．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A． B． C． D．

7．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，则下列判断正确的是（ ）

A．要得到函数f（x）的图象，只需将y＝cos2x的图象向右平移个单位

B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称

C．x∈[]时，函数f（x）的最小值为﹣

D．函数f（x）在[]上单调递增

8．袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（ ）

A． B． C． D．

9．若（x+）n的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）

A．252 B．70 C．56x2 D．56x﹣2

10．执行如图所示的程序框图，若输出的S为154，则输入的n为（ ）

A．18 B．19 C．20 D．21

11．与直线x﹣y﹣4＝0和圆x2+y2+2x﹣2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是（ ）

A．（x+1）2+（y+1）2＝2 B．（x+1）2+（y+1）2＝4

C．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y+1）＝4

12．已知函数f（x）＝（x2﹣x）（x﹣a），若对∀x∈R，均有f（1﹣x）+f（1+x）＝0，且在其定义域内的子区间[0，m]上不单调，则实数m的取值范围为（ ）

A．（0，） B．（，）

C．（，+∞） D．（，+∞）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分把正确答案填写在题中的横线上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

13．过原点作曲线y＝lnx的切线，则切点为

．

14．已知f（x）＝，则f（log23）＝ ．

15．设，为单位向量．且、的夹角为，若＝+3，＝2，则向量在方向上的射影为 ．

16．设F1，F2分别为椭圆C：+＝1（a＞1）的左、右焦点，P（1，1）为C内一点，Q为C上任意一点．若|PQ|+|QF1|的最小值为3，则C的方程为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共计70分解答应写出文字说明，证明过程或演算过程） 17．已知数列{an}满足a1＝l，an+1＝．

（1）证明：数列{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝，求数列{bn}前n项和Sn．

18．已知＝（2cosx+2sinx，1），＝（cosx，﹣y），且⊥．

（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；

（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）＝3，且a＝2，b+c＝4，求△ABC的面积．

19．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为9：11，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有10名表示对线上教学不满意

（1）完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；

态度性别 满意 不满意 合计

男生

女生

合计 100

（2）把频率视作为概率，若从该地区线上教学学生中随机抽取4人，记对线上教学满意的学生人数为X，求X的分布列及数学期望．

附：

P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AB＝1，AD＝DC＝AP＝2，点E为PC中点．

（1）证明：BE⊥DC； （2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（3）若F为棱PC上的一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

21．O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且，直线l过点P且垂直于OQ，求证：直线过定点．

22．已知函数f（x）＝alnx．

（Ⅰ）讨论函数g（x）＝x﹣1﹣f（x）的单调性与极值；

（Ⅱ）证明：当a＝1且x∈[1，+∞）时，不等式（x+1）f（x）≥2（x﹣1）恒成立．

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）

1．已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{x|1＜3x＜81}，C＝{x|x＝2n，n∈N}，则（A∪B）∩C＝（ ）

A．{0，2，4} B．{2，4} C．{0，2} D．{2}

【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集和交集的运算即可．

解：∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜4}，C＝{x|x＝2n，n∈N}，

∴A∪B＝{x|0≤x＜4}，（A∪B）∩C＝{0，2}．

故选：C．

2．若复数z的虚部小于0，|z|＝，且z+＝4，则iz＝（ ）

A．1+3i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i

【分析】设z＝a+bi（a，b∈R，b＜0），由已知列式求得a，b的值，则答案可求．

解：设z＝a+bi（a，b∈R，b＜0），

由已知可得，解得，

∴iz＝i（2﹣i）＝1+2i．

故选：C．

3．函数f（x）＝x2+的图象大致为（ ）

A． B． C． D．

【分析】判定函数为偶函数排除C，D；然后分别求出f（1）与f（）的值排除A，则答案可求．

解：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，

∵f（﹣x）＝，∴f（x）是定义域内的偶函数，排除C，D；

又f（1）＝1＞0，f（）＝＜0，排除A．

故选：B．

4．如图所示的四个正方体中，A，B是正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号为（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①②③

【分析】首先由线面平行的判定可知①正确，由此排除选项BC，再根据面面平行的性质，由此排除A，即可得到正确答案．

解：对①，连接BD交NP于点O，则OM∥AB，易知AB∥平面MNP，即①正确，故排除BC；

对③，由正方体的性质可知，平面MNP∥平面ABC，又AB在平面ABC内，故AB∥平面MNP，即③正确，故排除A．

故选：D．

5．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）

A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5

【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．

解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，a≥x2，恒成立

即只需a≥（x2）max＝4，即“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，

而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．

故选：C．

6．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A． B． C． D．

【分析】设边长AB＝2，求出△BCI和平行四边形EFGH的面积，计算对应的面积比即可．

解：设AB＝2，则BC＝CD＝DE＝EF＝1，

∴S△BCI＝××＝， S平行四边形EFGH＝2S△BCI＝2×＝，

∴所求的概率为

P＝＝＝．

故选：A．

7．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，则下列判断正确的是（ ）

A．要得到函数f（x）的图象，只需将y＝cos2x的图象向右平移个单位

B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称

C．x∈[]时，函数f（x）的最小值为﹣

D．函数f（x）在[]上单调递增

【分析】根据条件求出函数的解析式，分别利用对称性，单调性和最值性的性质进行判断即可．

解：由题意知A＝，＝，得T＝π，即＝π得ω＝2，

则f（x）＝sin（2x+φ），

∵f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，

∴﹣×2+φ＝kπ，得φ＝kπ+，k∈Z，

∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝﹣，即f（x）＝sin（2x+）＝cos[﹣（2x+）]＝cos（﹣2x+）＝cos（2x﹣），

y＝cos2x的图象向右平移个单位，得到y＝cos[2（x﹣）]＝cos（2x﹣），故A正确，

由2x+＝kπ+得x＝+，

则当k＝0时，x＝，k＝1时，x＝，k＝2时，x＝，即x＝时，不是对称轴，故B错误，