二次函数系数a、b、c与图像的关系

二次函数图象与系数的关系

二次函数的图象与二次函数的系数a、b、c有内在联系。由系数可以得出二次函数的大致图象，由图象可以得出二次函数系数的取值范围，以下是二次函数的系数和图象之间联系的一些归纳和总结！

一、知识点1 二次函数的图像与系数的关系

(1)a的符号由

决定： ①开口向  a 0；①开口向  a 0.

(2)b的符号由 决定：

① 在y轴的 ba、 ；

① 在y轴的 ba、 ；

① 是 b 0.

(3)c的符号由 决定：

①点（0，c）在y轴正半轴 c 0；

①点（0，c）在原点 c 0；

①点（0，c）在y轴负半轴 c 0.

知识点2 二次函数与一元二次方程的关系

[归纳概括]如果抛物线)0(2acbxaxy与x轴有公共点，公共点的横坐标是0x，那么当x= 时，函数的值是0，因此x= 就是方程02cbxax的一个根.

[归纳概括]函数)0(2acbxaxy的图像与x轴交点的个数

(1)当042acb时，有 交点；

(2)当042acb时，有 交点；

(3)当042acb时，没有交点；

二、例题讲解：例1 已知二次函数)0(2acbxaxy的图像如图所示，试确定代数式①a；②b；③c；④b2-4ac；⑤2a+b；⑥a+b+c；⑦a-b+c；⑧4a+2b+c的符号.

练习1：根据图象填空：

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人教版函数系数a、b、c与图像的关系优质教案共两篇

二次函数系数a、b、c与图像的关系

一、首先就y=ax+bx+c（a≠0）中的a，b，c对图像的作用归纳如下：

1、a的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a 决定张口的大小：∣a∣越大，抛物线的张口越小．

2、b的作用：b和a与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．

b与a同号，说明，则对称轴在y轴的左边；

b与a异号，说明，则对称轴在y轴的右边；

特别的，b = 0，对称轴为y轴．

3、c的作用：c决定了抛物线与y轴的交点纵坐标．抛物线与y轴的交点（0，c）

c > 0 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴；

c 特别的，c = 0，抛物线过原点．

4、a，b，c共同决定判别式的符号进而决定图象与x轴的交点

5、几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；

x= -1时，y=a - b + c ．

当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y 当x

= -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y 扩展：x=2，

y=4a+2b+c ；x= -2，y=4a-2b+c ；

第 2 页 共 9 页 x=3， y=9a+3b+c ；x= -3，y=9a-3b+c 。

反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴; 判别式……等等）的符号

二、经典例题讲解

例1 已知二次函数的图像如图，则a、b、c满足（ ）

A．a 0 ；B．a C． a 0，c > 0 ；D．a > 0，b 0 ；

例2如图，四个二次函数的图像中分别对应的是：

①②③④，则a， b， c， d的大小关系是

．

A．a > b > c > d B．a > b > d > c

.

精选文本 二次函数系数a、b、c与图象的关系

知识归纳：

1.a的作用：决定开口方向和开口大小

2.a与b的作用：左同右异（对称轴的位置）

3.c的作用：与y轴交点的位置。

4.b2-4ac的作用：与x轴交点的个数。

5.几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点，（1，a+b+c),

(-1,a-b+c) （2，4a+2b+c), （-2，4a-2b+c)。

针对训练：

1. 判断下列各图中的a、b、c及△的符号。

(1)a___0； b___0； c___0； △__0.

(2)a___0； b___0； c___0； △__0.

(3)a___0； b___0； c___0； △__0.

(4)a___0； b___0； c___0； △__0.

(5)a___0； b___0； c___0； △__0.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，

用（＞，＜，=）填空：

a___0； b___0； c___0； a+b+c__0； a-b+c__0. .

精选文本 3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（ ）

A.ab<0 B.bc<0 C.a+b+c>0 D.a－b+c<0

4.二次函数y=ax2+bx+c图象如图，则点 A（b2-4ac，-ba）在第 象限．

5．已知 a＜0，b＞0，c＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，判断下列各式的符号：

(1)a； (2)b； (3)c； (4)a+b+c； (5)a-b+c；(6)b2-4ac；

(7)4ac-b2； (8)2a+b； (9)2a-b

7.练习：填空

（1）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值恒为正的条件： ，恒为负的条件： .

专题03 二次函数系数问题

【知识点梳理】

1、二次函数图象的特征与a，b，c的关系

字母的符号 图象的特征

a a>0 开口向上

a<0 开口向下

b b=0 对称轴为y轴

ab>0（a与b同号） 对称轴在y轴左侧

ab<0（a与b异号） 对称轴在y轴右侧

c c=0 经过原点

c>0 与y轴正半轴相交

c<0 与y轴负半轴相交

b2–4ac b2–4ac=0 与x轴有唯一交点（顶点）

b2–4ac>0 与x轴有两个交点

b2–4ac<0 与x轴没有交点

2、常用公式及方法：

（1）二次函数三种表达式：

表达式 顶点坐标 对称轴

一般式 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 (−𝑏2𝑎,4𝑎𝑐−𝑏24𝑎) 𝑥=−𝑏2𝑎

顶点式 𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘 (ℎ,𝑘) 𝑥=ℎ

交点式 𝑦=𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2) (𝑥1+𝑥22,−𝑎(𝑥1−𝑥2)24) 𝑥=𝑥1+𝑥22

（2）韦达定理：若二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐图象与x轴有两个交点且交点坐标为（𝑥1，0）和（𝑥2，0），则𝑥1+𝑥2=−𝑏𝑎，𝑥1⋅𝑥2=𝑐𝑎。

（3）赋值法：在二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐中，令𝑥=1，则𝑦=𝑎+𝑏+𝑐；令𝑥=−1，则𝑦=𝑎−𝑏+𝑐；令𝑥=2，则𝑦=4𝑎+2𝑏+𝑐；令𝑥=−2，则𝑦=4𝑎−2𝑏+𝑐；利用图象上对应点的位置来判断含有𝑎、𝑏、𝑐的关系式的正确性。

【典例分析】 【例1】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3；③a+b+c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；⑤2a-b=0；⑥b2-4ac＞0．下列结论一定成立的是

【答案】①②③⑥

【解析】解：①由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，