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三支模糊集及其应用(I)
张小红;胡青青;王敬前;李小南
【期刊名称】《西北大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】2022(52)4
【摘要】在借鉴三支决策、粗糙集、多种广义模糊集(包括格值模糊集、直觉模糊集、部分模糊集、中智集等)基本思想的基础上,该文首次提出三支模糊集的概念,讨论了几类特殊三支模糊集(包括普通三支模糊集、依赖三支模糊集、三支集等)与各种广义模糊集、三划分概念之间的联系;系统研究了三支模糊集的各种基本运算,分析了这些运算的性质及相关格结构。
进而,提出三支模糊关系的概念,讨论了它与集对分析中联系数概念之间的关系,给出三支模糊关系的合成运算,在此基础上提出三支模糊推理的TCRI方法。
最后,讨论了三支模糊集的实际应用:基于三支集及其运算给出不完备信息系统数据约简的一种新算法;基于三支模糊推理给出水箱水位的一种新的控制方法,通过与传统模糊控制方法的比较分析,说明了新方法的优势。
【总页数】13页(P539-551)
【作者】张小红;胡青青;王敬前;李小南
【作者单位】陕西科技大学数学与数据科学学院;陕西科技大学电气与控制工程学院;西安电子科技大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O159
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4.基于直觉犹豫模糊集的三支决策模型及其应用
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第七章 模糊推理一、判断句 1．句型：“x a是”，a ：表示概念的一个词（组），简记为()a2．普通判断句及其集合表示若a 表示确切概念，则称()a 为普通判断句。
例如：a ：“大学生”，“研究生”，“河北人”…()a :“张三是研究生”，“李四是研究生”，“张三是河北人”…()a 可真，可假，使()a 为真的x 构成一个集合。
定义1设()a 是一个判断句，则称集合{|()}A x a x X=⊆对真为()a 的集合表示或真域。
3．模糊判断句及其集合表示若a 是模糊概念，则()a 为模糊判断句。
例如：a ：“老人”，“阴天”，“年轻”等。
x ：“张三”，“李四”，此时只能取[0，1]中的数表示()a 对x 的真值程度，记为：[()]T a 张三，一般记[()]T a x定义2()[()]A x T a x ∆=称为()a 的集合表示或真域。
{}X =全体教职工，()a ：“x 是老人”()a 的真域为：210, 50()50[1()], 5xA x x x x --⎧⎪=⎨-+⎪⎩的年龄小于表示的年龄 4．F 真、假取1/2为界区分F 真假 若1()()2a x >，则称()a 对x 为F 真；若1()()2a x <，则称()a 对x 为F 假；若1, ()()2x X a x ∀∈>，则称()a 为F 真； 若1, ()()2x X a x ∀∈<，则称()a 为F 假。
5．判断句的逻辑运算()()a b ∨：“x 是a 或x 是b ” ()()a b ∧：“x 是a 且x 是b ”()a ：“x 不是a ”例1()a 表示“明天是晴天”；()b 表示“明天是多云”； ()a 表示“明天不是晴天”。
6．逻辑运算的集合表示（或，与，非）()()a b ∨：A B ⋃ ()b ∧(a)：A B ⋂()a ：cA二、推理句（同一论域X上）1．句型：“若x 是a ，则x 是b ”，称为推理句，简记为“()()a b →”。
模糊推理公式模糊推理是一种非常有趣但也有点让人挠头的概念。
咱们先来说说啥是模糊推理。
比如说，你觉得“天气热”这个概念。
到底多少度算热呢？30 度？35 度？每个人的感受可能都不太一样。
这就是一种模糊性。
而模糊推理呢，就是在这种不那么清晰明确的情况下，尝试做出合理的判断和推测。
咱就拿个实际的例子来说吧。
假设学校要组织一次户外活动，老师需要根据天气情况来决定是否照常进行。
如果只是简单地规定温度超过 30 度就取消活动，这好像有点太绝对了。
因为可能 30 度的时候，有些同学觉得还能忍受，有些同学已经热得不行了。
这时候模糊推理就派上用场啦！老师可能会综合考虑多个因素，比如温度、湿度、风速，甚至同学们的身体状况。
温度高一点，但是湿度低、风速大，也许活动还能继续；要是温度高、湿度也大、风速又小，那可能就得慎重考虑了。
在模糊推理中，有一些常用的公式和方法。
比如说扎德推理法，它通过一系列的运算和规则，来处理那些模糊的信息。
咱再回到前面说的户外活动的例子。
老师可能会给温度、湿度、风速等等因素设定一个模糊的范围和权重。
比如说，温度在 25 到 30 度之间算“有点热”，30 到 35 度之间算“热”，超过 35 度算“非常热”。
湿度在 40%到 60%之间算“舒适”，低于 40%算“干燥”，高于 60%算“潮湿”。
然后根据这些模糊的定义和权重，来计算出一个综合的评估值，从而决定活动是否进行。
还有一种叫 Mamdani 推理法，也是处理模糊推理的一把好手。
它的原理和扎德推理法有点类似，但在具体的运算和规则上可能会有所不同。
想象一下，如果老师用了模糊推理的公式来做决定，同学们可能会觉得老师的决定更加贴心和合理。
不会因为一刀切的规定而感到不满或者失望。
其实啊，模糊推理不仅在学校里的这种小事上能发挥作用，在很多大的领域，比如工程控制、医疗诊断、经济预测等等，都有着广泛的应用。
比如说在医疗诊断中，医生判断一个病人的病情，可不只是看单一的指标。
几种典型的模糊推理方法根据模糊推理的定义可知，模糊推理的结论主要取决于模糊蕴含关系),(~Y X R 及模糊关系与模糊集合之间的合成运算法则。
对于确定的模糊推理系统，模糊蕴含关系),(~Y X R 一般是确定的，而合成运算法则并不唯一。
根据合成运算法则的不同，模糊推理方法又可分为Mamdani 推理法、Larsen 推理法、Zadeh 推理法等等。
一、Mamdani 模糊推理法Mamdani 模糊推理法是最常用的一种推理方法，其模糊蕴涵关系),(~Y X R M 定义简单，可以通过模糊集合A ~和B ~的笛卡尔积(取小)求得，即)()(),(~~~y x y x B A RMμμμΛ= (3.2.1) 例 3.2.1 已知模糊集合3211.04.01~x x x A ++=，33211.03.05.08.0~y y y y B +++=。
求模糊集合A ~和B ~之间的模糊蕴含关系),(~Y X R M 。
解：根据Mamdani 模糊蕴含关系的定义可知：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⨯=1.01.01.01.01.03.04.04.01.03.05.08.0]1.03.05.08.0[1.04.01~~),(~οB A Y X R MMamdani 将经典的极大—极小合成运算方法作为模糊关系与模糊集合的合成运算法则。
在此定义下，Mamdani 模糊推理过程易于进行图形解释。
下面通过几种具体情况来分析Mamdani 模糊推理过程。
(i) 具有单个前件的单一规则设*~A 和A ~论域X 上的模糊集合，B ~是论域Y 上的模糊集合，A ~和B ~间的模糊关系是),(~Y X R M ，有大前提(规则)： if x is A ~ then y is B ~小前提(事实)： x is *~A结论： y is ),(~~~**Y X R A B M ο=当)()(),(~~~y x y x B A RMμμμΛ=时，有 )()}()]()({[V )]}()([)({V )(~~~~Xx ~~~Xx ~***y y x x y x x y BB A AB A AB μωμμμμμμμΛ=ΛΛ=ΛΛ=∈∈ (3.2.2)其中)]()([V ~~Xx *x x AA μμωΛ=∈，称为A ~和*~A 的适配度。
第三章：模糊推理系统随着科学技术的不断发展，人们对计算机的要求愈来愈高，不仅要求它具有更高的运算速度、更大的信息存贮和数据处理能力，而且还需要计算机具有一定的“智能”。
控制论的创始人维纳曾经说过，由于“人具有运用模糊概念的能力”，所以人胜过任何最完善的机器。
对模糊事物进行识别和判决是人脑的重要特点之一，那么如何使计算机能够模拟人脑思维的模糊性，如何使模糊语言作为算法语言直接进入计算机程序，让计算机完成模糊推理，这是模糊信息处理首先要解决的问题。
§3.1 语言变量与模糊规则为了使计算机能够利用模糊概念，模拟人的思维进行模糊推理，首先需要深入研究模糊推理的一些基础知识。
如模糊语言变量、模糊命题及模糊推理方法等等。
3.1.1 模糊语言语言是一种符号系统，通常包括自然语言和人工语言两种。
自然语言是指人类交流信息时使用的语言，它可以表示主、客观世界的各种事物、观念、行为、情感等。
自然语言具有相当的不确定性，其主要特征就是模糊性，这种模糊性主要是由于自然语言中经常用到大量的模糊词(如黎明、模范、优美、拥护等)。
人工语言主要是指程序设计语言，如我们熟悉的C语言、汇编语言等。
人工语言的格式是非常严密、且概念十分清晰。
一、模糊语言的概念从广义角度来讲，一切具有模糊性的语言都称为模糊语言。
显然，模糊语言主要是指自然语言。
由于模糊语言可以对模糊性进行分析和处理，因此，在现实生活中，人们常常用模糊语言来描述事物或现象的模糊性。
另外，需要说明的是模糊语言又具有很大的灵活性，在不同的场合，同一全模糊概念可以表达出不同的含义。
如“高个子”，在中国，大约在1.75—1.85 m之间的人就认为是“高个子”，而在欧洲，大约在1.80—1.90 m之间的人才能算作“高个子”。
模糊语言是一种广泛使用的自然语言。
如何将模糊语言表达出来，使计算机能够模拟人的思维去推理和判断，这就引出了语言变量这一概念。
二、语言变量经常用到的语言变量“偏差”、“偏差变化率”等。
第三章：模糊推理系统随着科学技术的不断发展，人们对计算机的要求愈来愈高，不仅要求它具有更高的运算速度、更大的信息存贮和数据处理能力，而且还需要计算机具有一定的“智能”。
控制论的创始人维纳曾经说过，由于“人具有运用模糊概念的能力”，所以人胜过任何最完善的机器。
对模糊事物进行识别和判决是人脑的重要特点之一，那么如何使计算机能够模拟人脑思维的模糊性，如何使模糊语言作为算法语言直接进入计算机程序，让计算机完成模糊推理，这是模糊信息处理首先要解决的问题。
§ 3.1语言变量与模糊规则为了使计算机能够利用模糊概念，模拟人的思维进行模糊推理，首先需要深入研究模糊推理的一些基础知识。
如模糊语言变量、模糊命题及模糊推理方法等等。
3.1.1模糊语言语言是一种符号系统，通常包括自然语言和人工语言两种。
自然语言是指人类交流信息时使用的语言，它可以表示主、客观世界的各种事物、观念、行为、情感等。
自然语言具有相当的不确定性，其主要特征就是模糊性，这种模糊性主要是由于自然语言中经常用到大量的模糊词(如黎明、模范、优美、拥护等)。
人工语言主要是指程序设计语言，如我们熟悉的C语言、汇编语言等。
人工语言的格式是非常严密、且概念十分清晰。
一、模糊语言的概念从广义角度来讲，一切具有模糊性的语言都称为模糊语言。
显然，模糊语言主要是指自然语言。
由于模糊语言可以对模糊性进行分析和处理，因此，在现实生活中，人们常常用模糊语言来描述事物或现象的模糊性。
另外，需要说明的是模糊语言又具有很大的灵活性，在不同的场合，同一全模糊概念可以表达出不同的含义。
如“高个子”，在中国，大约在1.75—1.85 m之间的人就认为是“高个子”，而在欧洲，大约在1.80-1.90 m之间的人才能算作“高个子”。
模糊语言是一种广泛使用的自然语言。
如何将模糊语言表达出来，使计算机能够模拟人的思维去推理和判断，这就引出了语言变量这一概念。
二、语言变量语言变量是以自然语言中的词、词组或句子作为变量，而不是以数值作为变量。
如模糊控制中经常用到的语言变量“偏差”、“偏差变化率”等。
语言变量的概念最早由Zedeh提出。
语言变量的值称为语言值，一般也是由自然语言中的词、词组或句子构成。
如语言变量“偏差”、“偏差变化率”的语言值可以由“大”、“中”、“小”等词来描述。
语言变量与相应的语言值之间必须遵守语法规则和语义规则。
语言变量的语言值通常用模糊集合来描述，该模糊集合对应的数值变量称作基础变量。
其中X――语言变量的名称;T(X) ——语言变量的语言值;U——论域;G 一一语法规则； M ——语义规则。
F 面以“年龄”作为语言变量 X ，该语言变量的论域U 取［0,)。
根据语法规则可知，描述语言变量“年龄”的语言值有“年青”、“中年”、“年老”几种，那么T(X)可表示为T(X)=年青+中年+年老语义规则主要是用来反映实际论域中的岁数与模糊集合 “年青”、“中年”、“年老”之间的关系。
模糊语言变量的完整描述见图三、模糊语气算子模糊语气算子是指一类加强或削弱模糊语言表达程度的词，如“特别”、“很”、“相当”等等，可以对模糊语言值进行修饰。
比如对语言值“年轻”、“年老”等进行修饰，变为“很年青”、“特别 老”等。
设模糊集A 的隶属函数为 A (x)，那么模糊语气算子的数学描述可以表示为 A (x)，其中加强语气的词称为集中算子，取n 1 ;减弱语气的词称为散漫化算子，取 n 1。
例3.1.1设模糊集合A 表示“年青”这一模糊概念,可以算出28岁和30岁的人对“年青”的隶属度为A (28) 0.74 ;青”的隶属函数为其隶属函数为A (x)1 [(X 25)/5]2(15 x 25)(x 25)A (30)0.5现在给“年青”加上集中算子“很”，用模糊集合B 表示“很年青”，若取n 2，贝冋得“很年3.1.1语言变量X 语法规则G 语言值T(X )语义规则M论域(岁)U图3.1.1 “年龄”语言变量的五元体代入上式可以算出28岁和30岁的人对“很年青”的隶属度分别为可以算出28岁和30岁的人对“较年青”的隶属度分别为可见，同样的年龄对于不同的模糊集其隶属度是不同的，反映出模糊语气算子的作用。
3.1.2模糊规则一、模糊逻辑数理逻辑是建立在经典集合论上的研究概念、判断和推理形式的一门学科，又称为经典逻辑。
经典逻辑最大的特点是所反映的内容非真即假，在客观世界中这样的命题不胜枚举。
比如：♦北京是中华人民共和国的首都 ♦石头可以当饭吃但是，还有一类命题很难做出这样明确的判断。
比如： ♦机动车比自行车的速度更快 ♦南方的天气很热对于这样的模糊性命题，经典逻辑往往不能给出符合实际情况的结果。
正如英国著名的逻辑学 家B. Russell 在1923年所言：“经典逻辑都习惯于假定使用的是精确的符号。
因此，它不适合于尘 世生活，而仅仅适用于想象的天体存在物……。
逻辑学较别的学科使我们更接近于天堂。
” Russell认为世界上不存在绝对的精确性，二值逻辑描述的是理想世界，而不是现实世界。
最早跨出二值逻辑限制的是波兰的逻辑学家Jan Lukasiewicz ，他于1920年创立了多值逻辑。
直到1965年，Lotfi Asker Zadeh 创立了模糊集合论，使经典逻辑值由｛0,1｝两值扩展到可以在闭区间［0,1］任意取值，于是产生 模糊逻辑。
模糊逻辑是二值逻辑的推广，可以在［0,1］区间上任意取值。
模糊逻辑运算规则也是以经典逻辑 运算规则为基础，经过话当的扩展而形成的。
经典逻辑对应于经典集合论， 其运算规则称为布尔代(1)幕等律aV（15 X 25）2B （x ）1 [（X 25）/5]2（X 25）B （28） 0.54;B（30） 0.25若给“年青”加上散漫化算子“较” ，用模糊集合C 表示“较年青”，取n 0.5，则可得“较年青”的隶属函数为（15 X 25）J 1 [（X 25）/5]2（X 25）C （28） O.88 ；C （30） O.71数。
若｛0,1｝，布尔代数具有如下的运算性质:二、模糊命题模糊命题是指带有模糊性的陈述句。
模糊命题的真值不是绝对的“真”或“假”属于“真”的程度。
模糊逻辑是表征模糊命题的工具，是研究模糊推理最基本的数学手段。
模糊命 题可以分为性质命题和关系命题两种，通常用大写字母P ，Q ，R ……表示，如:P :金属物体的导电性能好; Q : 100比1大得多。
显然，P 是模糊性质命题，Q 是模糊关系命题。
但无论是性质命题 P ，还是关系命题Q ，都无法做出“真”、“假”这样明确判断，其真实程度(即模糊命题的真值)只有通过模糊逻辑值来反映。
模糊命题从构成上划分，又可分为简单模糊命题和复合模糊命题两种。
简单模糊命题的一般形式 为：P :“ x 是 A ” ( x is A )其中元素x X ，X 是论域；A 是某个模糊概念所对应的模糊集合。
(2)交换律 aV V (3)结合律 (aV )V ( (4)吸收律 (aV ) (5)分配律 (aV ) ((6)复原律 (C )C(7)补余律 aV C1 (8)aV 1 1模糊逻辑对应于模糊集合论,)V(a v 0)V)V ( aV0 (模糊逻辑运算不符合)模糊逻辑运算除了不满足布尔代数里的补余律外,布尔代数的其 它运算性质它都适用。
除此之外，模糊逻辑运算满足德？摩根(De-Morgan)代数，即(aV )CC C(3.1.1) (3.1.2)对于补余运算，De-Morgan 代数中是这样定义的:V C 1，而 V C max( , 1)(3.1.3) C 0，而 V Cmi n( ,1)(3.1.4)，而反映其隶aaV(模糊命题的真值，由元素X 对模糊集合A 的隶属程度A (X)表示。
在模糊命题中，“is A ”称作模糊谓词。
简单模糊命题通过连接词“且”、“或”、“非”等连接起来, 复合模糊命题一般形式为由于模糊命题间的“且”、“或”、“非”实质上可以通过模糊逻辑“交”、“并”、“补”实现。
因 此，对于复合模糊命题的真值，需要通过模糊合成运算来求取。
下面给出模糊命题之间的“并” 、“交”、“补”基本运算的定义：补P C(3.1.7)可见，复合模糊命题的真值实质上就是各简单模糊命题之间合成运算的结果 。
当然，上面给出 的只是在“并”、“交”、“补”基本运算定义下的结果。
其实，复合模糊命题的真值也满足其它“ S 范数”、“T 范数”及“补”运算规则。
三、模糊规则模糊规则是模糊推理的基础，由若干个模糊命题组成。
模糊规则也称为模糊条件语句，其表达 形式如下：if X is A , then y is B其中A 和B 分别是论域X 和Y 上的模糊集合定义的语言值。
在模糊规则中，通常将“仝is __A ”称为前件或前提,“ y is _亘”称作后件或结论。
模糊规则广泛地存在于实际生活中，例如：♦如果你的朋友很多，那么你是个值得信赖的人; ♦如果天气暖和，那么少穿些衣服。
就构成了复合模糊命题 0 〜Q i : “X 是A ”且 “ y 是 B ” ( X is A and y is B ) Q 2:“ y 是 B ” ( X is A or yis B )其中元素X X 、y Y ，X 、Y 是论域;A 、B 是相应的模糊集合。
设有模糊命题 ~ : X is A ; Q : y is经过“并”、“交”、“补”运算后，其真值为:(1)A (x)V(3.1.5)A (x)B (y)(3.1.6)A (X)(3.1.8)在模糊推理过程中，有些模糊规则不仅仅是由两条模糊命题构成，它的前提条件可能由若干条模糊命题组成。
一般将这种模糊规则称为多维模糊规则，表达如下：if x1is A1 and x2is A and …and x n is A n, then y is B (3.1.9)〜〜〜〜if X1 is A1 or x2 is A? or …or X n is A n, then y is B (3.1.10) 现实生活中，由若干条模糊命题组成的模糊规则也较常见。
比如：♦如果款式新颖且面料优良且价格便宜，那么是一件好衣服；♦如果跳远超过8 m或跳高超过2.3 m或百米进入10 s,那么是一名优秀的运动员。
§ 3.2模糊推理推理是根据一定的规则，从一个或几个已知判断引伸出一个新判断的思维过程。
一般说来，推理都包含两个部分的判断，一部分是已知的判断，作为推理的出发点，叫做前提（或前件）。
由前提所推出的新判断，叫做结论（或后件）03.2.1推理的基本形式人类在认识世界的过程中不断地在使用推理，推理的形式主要有直接推理和间接推理。
只有一个前提的推理称为直接推理，由两个或两个以上前提的推理称为间接推理。
