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【最新】北师大版九年级数学下册第一章《三角函数的应用》精品课件

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数学九年级下北师大版第一章三角函数的应用课件(39张)

数学九年级下北师大版第一章三角函数的应用课件(39张)

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最新九年级数学下册(北师大版)课件：1.5 三角函数的应用 (共23张PPT)

最新九年级数学下册(北师大版)课件：1.5 三角函数的应用 (共23张PPT)

课 堂 精 讲
【分析】首先根据题意得∠ABC=30°，AC⊥BC， AC=100m，然后利用正切函数的定义求解即可求得 答案. 【解答】解：根据题意得∠ABC=30°，AC⊥BC， AC=100m， 在Rt△ABC中，BC= = =100 （m ）.
课 堂 精 讲
考点3 锐角三角函数的实际应用 【例2】（2015云南）为解决江北学校学生上学 过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过 程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB与MN之间 的距离）.在测量时，选定河对岸MN上的点C处为 桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB=30°，沿河 岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA=60° ，请你根据以上测量数据求出河的宽度.（参考数 据： ≈1.41， ≈1.73，结果保留整数）
走 进 中 考
12.(2016连云港)如图，在△ABC中，∠C=150°， AC=4，tanB= ． （1）求BC的长； （2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参 考数据： )
走 进 中 考
谢 谢!
课 后 作 业
4. 如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的 长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（D ）
A. 米 B. 米
C.6cos50° 米 D. 米 5. 如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长 为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°， 则铁塔AB的高为（ B ） A.3米
课 前 小 测
知识小测
3.（2014肥西县期末）如图，为了测量河岸A，B两点 的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a， ∠ABC=α ，那么AB等于（ D ） A. a•sin α B. a•cosα
C. a•tan α D. 4.（2015衢州）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯 子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的 正中间处有一条60 cm长的绑绳EF， tan α = ，则“人字梯”的顶端离 地面的高度AD是（ B ） A.144 cm B.180 cm C.240 cm D.360 cm

北师大版九年级数学下册1.5三角函数的应用课件

北师大版九年级数学下册1.5三角函数的应用课件
AD的长，再比较AD的长是否大
于10km的一个数学问题了.
A
B
C
D
教学过程
新
知
新
授
做一做
问题解答：
解：设AD=x，根据题意，∠DAB=55°,∠CAD=25°

在Rt△ABD中，tan∠BAD= ，

A
∴BD=AD∙tan∠BAD=1.43x.

在Rt△ACD中，tan∠CAD= ，

B
∴CD=AD∙tan∠CAD=0.47x.


∵cos∠BAE= ，

∴AE=AB∙cos∠BAE=10×cos30°=
5
∵BC=BE+CE，∴CE=BC-BE=6.55=1.5
E
教学过程
新
知
新
授
做一做
在Rt△DAE中，∠DAE=42°，
AE=5

∵tan∠DAE= ，

∴DE=AE∙tan∠DAE=5 ×tan42°≈7.79
北师大版数学九年级（下）
第一章 直角三角形的边角关系
5.三角函数的应用
教学目标
重
点
难
点
1.利用三角函数解决与方向角、仰角、
俯角、坡度及坡角相关的问题.（重点）
2.通过做辅助线构造直角三角形，再利
用三角函数解决实际问题.（难点）
教学过程
温
故
知
新
答一答
三角函数的概念：
锐角的正弦、余弦和正切叫做的三角函数
（北）多少度”的情势.
（2）观测点不同，同一目标所得
的方向角不同.
教学过程
新
知
新
授

最新北师大版九年级下册数学精品课件-第1课时 三角函数的应用

最新北师大版九年级下册数学精品课件-第1课时 三角函数的应用

最新北师大版初中数学精品
8．(2015·遂宁)一数学兴趣小组为了测量河对岸树 AB 的高，在河岸边选 择一点 C，从 C 处测得树梢的仰角为 45°，沿 BC 方向后退 10 米到点 D，再 次测得 A 的仰角为 30°，求树高．(结果精确到 0.1 米，参考数据： 2≈1.414，
3≈1.732)
第一章 直角三角形的边角关系
1.5 三角函数的应用 第1课时 三角函数的应用
最新北师大版初中数学精品
1．王英同学从 A 地沿北偏西 60°方向走 100 m 到 B 地，再从 B 地向正
南方向走 200 m 到 C 地，此时王英同学离 A 地( )
A．50 3 m B．100 m
D
C．150 m D．100 3 m
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6．(2015·通州期末)如图，为了测楼房 BC 的高，在距离楼房 10 米的 A
处，测得楼顶 B 的仰角为 α，那么楼房 BC 的高为( A )
A．10tanα 米
10 B.tanα
米
C．10sinα 米
D.si1n0α 米
7．如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并 测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝___1_0米0 ．
(1)分别求出 A 与 C，A 与 D 间的距离 AC 和 AD.(如果运算结果有根号， 请保留根号)
(2)已知距观测点 D 处 100 海里范围内有暗礁，若巡逻船 A 沿直线 AC 去 营救船 C，在去营救的途中有无触礁危险？(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
最新北师大版初中数学精品
解：(1)AC＝200 海里 AD＝200( 3－1)海里 (2)过点 D 作 DF⊥AC 于点 F.在 Rt△ADF 中， ∠DAF＝60°，∴DF＝AD·sin60°＝ 200( 3－1)× 23＝100(3－ 3)≈127＞100， ∴船 A 沿直线 AC 航行，前往营救船 C 的途中无触礁危险

北师大版九年级数学下册--第一单元 《1.5 三角函数的应用》 课件

北师大版九年级数学下册--第一单元 《1.5 三角函数的应用》 课件
ADtan55°-ADtan25°＝20， AD(tan55°-tan25°)＝20， AD= ≈20.79(海里)． 这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险．
活动2
如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角 为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.
CD CD
得：tan30 - tan60 =50
解得CD≈43(m)，
即塔CD的高度约为43 m.
活动3
某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至 35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多 占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)
活动3 解：由条件可知，在 Rt△ABC 中,sin40°＝ AB ， AC
.
（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAห้องสมุดไป่ตู้=30°，AC=80海里，
∴ CD= 1 AC=40 海里．
2
在 Rt△CBD 中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，
.
∴ BC= CD 40 =50（海里），
sinCBD 0.8
钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘 海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分
别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时 接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东 59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC， BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时． 你能计算出哪艘船先赶到C处吗？
3. 如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁．海 伦以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在 北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北 偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有 没有触礁的危险？

北师大版九年级下册数学《三角函数的应用》直角三角形的边角关系教学说课复习课件

北师大版九年级下册数学《三角函数的应用》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎 样想的？与同伴进行交流.
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿

北师大版九年级数学下册第一章5三角函数的应用课件


【拓展训练】 10. 如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热 管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB＝ 154 cm，∠A＝30°，另一根辅助支架DE＝78 cm，∠E＝60°. (1)求CD的长度；(结果保留根号) (2)求OD的长度．(结果保留一位小数．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
8. 如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁．一 艘海轮以18海里/时的速度由西向东航行，行驶至点A处测得 灯塔P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分后，到 达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上．如果海轮不改 变方向继续前进，有没有触礁的危险？
9. 如 图 ， 防 洪 大 堤 的 横 截 面 是 梯 形 ABCD ， 其 中 AD∥BC，坡角α＝60°，汛期来临前对其进行了加固，改 造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长AB＝20 m，求改造后 的坡长AE.(结果保留根号)
A A
3. 如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔 60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯 塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船到小岛A的距离是( D )
4. 如图，一大楼高30 m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得 塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D处测得塔顶的仰角为30°，则塔BC的 高度为 45 m.
4. 如图，要测量一条河两岸相对的两点A，B之间的距离， 我们可以在一岸边取点C和D，使点B，C，D共线且直线BD与AB 垂直，测得∠ACB＝56.3°，∠ADB＝45°，CD＝10 m，则AB 的长约为( B )
(参考数据：sin 56.3°≈0.8，cos 56.3°≈0.6，tan 56.3°≈1.5，sin 45°≈0.7，cos 45°≈0.7)

1.5 三角函数的应用 第1课时 方位角问题 仰角与俯角问题 课件 初中数学北师大版九年级下册

∴∠PAB=∠CAB-∠CAP=20°.∵∠APC=∠PAB+∠B,
∴∠B=∠APC-∠PAB=40°-20°=20°.∴AP=PB.∴AH=BH.
∵AP=40 n mile,∴AH=AP·cos 20°≈40×0.94=37.6(n mile).
∴AB=2AH=75.2(n mile).∴轮船的航行速度为
5
三角函数的应用
第1课时
方位角问题
与方位角有关的两地间距离的计算
[例1] (2022安徽)如图所示,为了测量河对岸A,B两点间的距离,某
数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东37°
方向上,沿正东方向行走90 m至观测点D,测得A在D的正北方向,B在D
的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离(参考数据:sin 37°≈
角分别是60°和30°.则该电线杆PQ的高度是 (6+2 ) m(结果可
保留根号).
3.如图所示,小石同学在A,B两点分别测得某建筑物上条幅两端C,D两
点的仰角均为60°,若点O,A,B在同一条直线上,A,B两点间的距离为
3 m,则条幅的高CD为 3 m.
4.(2023凉山)超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内

)
2.如图所示,一架飞机在点 A 处测得水平地面上一个标志物 P 的俯角

为α,tan α= ,水平飞行 900 m 后,到达点 B 处,又测得标志物 P 的


俯角为β,tan β= ,飞机离地面的高度为 1 200 m.

与仰角、俯角有关的宽度计算
[例2] (2022广元)如图所示,计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开
∴隧道 EF 的长度为(80 +70)m.

北师大版九年级数学下册课件 1.5 三角函数的应用

在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，至少知道其中的 两 个
元素(至少有一个是 边 )后，就可求出其余的元素．
北
30° A
2.指南或指北的方向线与目标方向线构成小于90°
的角叫做方位角。
如图:点A在O的北偏东
西 45 °(西南方向).
30 °，点B在点O的南偏
3.当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所
探究一：应用三角函数解决与方位角有关的实际问题
北
如图，海中有一个小岛A，该岛四周10n mile内有
如何求AD
暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西
的长呢？
55°的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏
西25°的C处。之后，货轮继续向东航行.
B
20n mile
A
东
55°
25°
C
D
问题：你认为货轮继续向东航行会有触礁的危险吗？你是怎样想的？
在Rt△ABC中，tanA=
∴AC=


=

,

°
，
°
°
∴AD=AC-CD=
°
− ° ≈0.61(m).
∴楼梯多占约0.61m长的一段地面.
4m
A
35° 40°
D
┌
C
二、自主合作，探究新知
知识要点
利用三角函数解决实际问题的步骤：
BD和CD，由BC＝20n mile建立关于AD的方程，从而求得AD.
二、自主合作，探究新知
北
解：根据题意可知，∠BAD=55º，∠CAD=25º，BC= 20n mile.
过点A作AD⊥BC于点D,设AD= x ,

则在Rt△ABD中，tan∠BAD= ，

北师大版九年级数学下册1.5.2 三角函数的应用课件


则AE＝ AB2 BE2 2 3m.
∵tan ∠EAB＝ BE
3 ,
AB 3
∴∠EAB＝30°.
在Rt△AEF中，
∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＝30°＋30°＝60°，
∴EF＝AE×sin ∠EAF＝ 2 3 3 3 m .
2
答：木箱端点E距地面AC的高度EF为3 m.
知1－讲
(结果精确到0.1 m，
参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73， 6 ≈2.45)
知2－讲
导引：(1)过点C作CE⊥BP，交BP的延长线于点E，
易知AB＝EC.在Rt△CPE中，由sin ∠CPE＝ CE , PC
得出EC的长度，进而可求出答案．
(2)在Rt△ABP中，由tan ∠APB＝
AB ,
解:如图,(1)求坡角∠ABC的大小; 过点D作DE⊥BC于点E,过点A作 AF⊥BC于点F.
则EC DE DC tan 450 4 2, B
A 6m D
1350 8m
┌
┐
F 30m E C
有两个 直角三角 形
先做 辅助 线!
AF DE 4 2, BF 30 4 2. tan ABC AF 4 2 0.2324.
BP
得出BP的长，
在Rt△CPE中，由cos ∠CPE＝ PE , PC
得出PE的长，最后由AC＝BE＝BP＋PE得出答案．
知2－讲
解：(1)过点C作CE⊥BP，交BP的延长线于点E，如图，
易得AB＝CE.
在Rt△CPE中，PC＝30 m，∠CPE＝45°， ∵sin ∠CPE＝ CE ,
PC ∴CE＝PC·sin ∠CPE
第一章 直角三角形的边角关系
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4．(10 分)如图，一艘海监船以 30 海里/时的速度向正北 方向航行，海监船在 A 处时，测得海岛 C 在该船的北偏东 30°方向上，航行半小时后，该船到达点 B 处，发现此时海 岛 C 与该船距离最短． (1)请在图中作出该船在点 B 处的位置； (2)求海岛 C 到 B 处的距离(结果保留根号)．
3．(5 分)如图，某海监船向正西方向航行，在 A 处望见一艘正在作业的渔船 D 在南偏西 45°方向，海 监船航行到 B 处望见渔船 D 在南偏东 45°方向，又航 行半小时到 C 处，望见渔船 D 在南偏东 60°方向， 若海监船的速度为 50 海里/时，则 A，B 之间的距离为 __67.5__．(取 3≈1.7，保留 1 位小数)
解：(1)如图所示：
(2)AB＝30×0.5＝15(海里)． 在 Rt△ABC 中， tan∠BAC BC 3 ＝ ，所以 BC＝AB· tan∠BAC＝15· tan30°＝15× ＝5 3 AB 3 (海里)．即海岛 C 到 B 处的距离是 5 3海里．
解决与仰角、俯角有关的问题
5．(5 分)在高为 200 m 的山顶上测得正东方向两船的俯 角为 30°和 45°，则两船间的距离为__200 3－200__m. 6．(10 分)(2015· 天水)2015 年 4 月 25 日 14 时 11 分，尼 泊尔发生 8.1 级地震，震源深度 20 千米．中国救援队火速赶 往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹 象．在废墟一侧某面上选两控测点 A，B，AB 相距 2 米，探 测线与该面的夹角分别是 30°和 45°(如图)．试确定生命所 在点 C 与探测面的距离．(参考数据 2≈1.41， 3≈1.73)
A．(11－2 2)米 C．(11－2 3)米
B．(11 3－2 2)米 D．(11 3－4)米
8．(2015· 南充)如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 55°方向，距离灯塔 2 海里的点 A 处，如果海轮沿正南方向 航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离 AB 长是( C )
A．2 海里 C．2cos55°海里
解：过 C 作 CD⊥AB，设 CD＝x 米，∵∠ABE＝45°， ∴∠CBD＝45°， ∴DB＝CD＝x 米， ∵∠CAD＝30°， ∴AD ＝ 3CD＝ 3x 米，∵AB 相距 2 米，∴ 3x－x＝2，解得：x ＝ 3＋1≈2.73.答：生命所在点 C 与探测面的距离是 2.73 米．
一、选择题(每小题 6 分，共 12 分) 7．(2015· 绵阳)如图，要在宽为 22 米的九洲大道 AB 两 边安装路灯，路灯的灯臂 CD 长 2 米，且与灯柱 BC 成 120° 角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 DO 与灯臂 CD 垂直， 当灯罩的轴线 DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳， 此时，路灯的灯柱 BC 高度应该设计为( D )
解：作 CD⊥AB，交来自AB 的延长线于D， 则当渔政 310 船航行到 D 处时， 离渔政船 C 的距离最近， 设 CD 长为 x，在 Rt△ACD 中，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝ 60°，∴AD＝CD· tan60°＝ 3x，在 Rt△CBD 中，∵∠CBD ＝45°，∴BD＝x，∴AB＝( 3－1)x，设渔政船从 B 航行到 （ 3－1）x x 3＋1 AB BD D 需要 t 小时，则 ＝ ，即 ＝ ，∴t＝ 0.5 t 0.5 t 4 3＋1 (小时)，即渔政 310 船再按原航向航行 小时，离渔船最 4 近．
【综合运用】 12．(18 分)如图，小明想测山高和索道的长度．他在 B 处仰望山顶 A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向(水平方 向)前进 80 m 至索道口 C 处，沿索道方向仰望山顶，测得仰 角∠ACE＝39°. (1)求这座山的高度(小明的身高忽略不计)； (2)求索道 AC 的长(结果精确到 0.1 m)． 3 1 9 ( 参考数据： tan31 °≈ ， sin31 °≈ ， tan39 °≈ ， 5 2 11 7 sin39°≈ ) 11
解决与方向角有关的问题
1．(5 分)如图，一轮船由南向北航行到 O 处时，发现与 轮船相距 40 海里的 A 岛在北偏东 33°方向．已知 A 岛周围 20 海里水域内有暗礁，如果不改变航向，轮船__没有__(填 “有”或“没有”)触暗礁的危险．(可使用科学计算器)
2．(5 分)如图，C，D 是两个村庄，分别位于湖的南、北 两端 A 和 B 的正东方向上，且 D 位于 C 的北偏东 30°方向 上，CD＝6 km，则 AB＝__3 3__km.
三、解答题(共 36 分) 11．(18 分)如图，我渔政 310 船在南海海面上沿正东方 向匀速航行，在 A 点观测到我渔船 C 在北偏东 60°方向的 我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政 310 船航向不变，航行半 小时后到达 B 点，观测到我渔船 C 在东北方向上．问：渔 政 310 船再按原航向航行多长时间，离渔船 C 的距离最近？ (渔船 C 捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值)
九年级数学下册（北师版）
第一章 直角三角形的边角关系
第5课时 三角函数的应用
1．方向角：从正北方向或正南方向到目标方向所成的小于 90°的角叫做方 向角．如图所示，∠NOA，∠SOC 都为方向角．如图所示，目标方向 OA 表示的 方向角为__北偏东 35°__，目标方向 OB 表示的方向角为__南偏东 75°__，目 标方向 OC 表示的方向角为__南偏西 45°__，也称__西南方向__，目标方向 OD 表示的方向角为__北偏西 40°__． 2．用解直角三角形知识解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，找到 要解的__直角三角形__，选准__边角关系__．
B．2sin55°海里 D．2tan55°海里
二、填空题(每小题 6 分，共 12 分) 9．一艘船向东航行，上午 8： 00 到达一座灯塔的西南方 向 68 海里处，上午 10：00 到达这座灯塔的正南方向，这艘 船的航行速度是__17 2__海里/时．
10．如图，轮船在 A 处观测灯塔 C 位于北偏西 70° 方向上，轮船从 A 处以每小时 20 海里的速度沿南偏西 50°方向匀速航行，1 小时后到达码头 B 处，此时， 观测灯塔 C 位于北偏西 25°方向，则灯塔 C 与码头 B 的距离是__24__海里．(结果精确到个位，参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7， 6≈2.4)