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浅谈局部上同调及其对偶定理(2014-06-27 13:51:56)交换代数与同调代数可以说是现代代数学中双塔，他们结合之后就产生了一类非常有意思的代数结构：局部上同调（local cohomology），下面就来介绍一下局部上同调理论的基本内容，暂时不涉及代数几何方面的应用。
约定：本文中的环都是含单位元1的交换环。
首先我们定义I-挠函子的概念，设I是R的理想，M是R-模，令Γ_I（M）={x∈M：I^kx=0对某k≥0}它可以自然诱导在R-模映射M→N上，得到R-模范畴上的函子Γ_I（-）。
下文若无混淆，我们将把I省去。
可以证明函子Γ（-）是左正合的，它有导出函子，就称为局部上同调函子，其中第j阶导出函子记住H^j（-）.把R-模M代入，就得到M的（关于I的）第j阶局部上同调H^j（M），它有如下的基本性质：1）H^0（M）=Γ（M）2）若√I=√J，则Γ_I（M）=Γ_J（M）3）由R-模的短正合列可导出H^*（-）的自然长正合列。
下面我们用这个正合列算一下R=Z对I=（p）的局部上同调，可取Z的内射分解为0→Z→Q→Q/Z→0，容易得到H^j（Z）=0，j≥2，直接计算得H^0（Z）=0，利用长正合列性质，有H^1（Z）=Γ（Q/Z）=Z[1/p]/Z.仔细观察，我们发现H^0（M）=lim Hom（R/I^n,M），由此可以得到局部上同调的计算公式：H^j（M）=lim Ext^j（R/I^n,M），j≥0这里我们遇到了导出函子与正向极限的可交换性，也有作者是通过关于负强连通函子的引理处理的（可以参见[3]、[5]）。
由此可得可以沟通关于I的局部上同调与I-深度之间的关系。
若M是有限生成R-模且IM≠M时，我们有min{j；H^j（M）≠0}=depth（M）这里IM≠M是I-深度的定义的自带条件，当IM=M时，有H^j（M）=0对任何j都成立。
除了Ext函子之外，我们还可以用Koszul复形来计算局部上同调。
什么是代数学在学习代数学过程中有人问:"近世代数讲完群环域以后就没再讲其他的东西，后面还应该学习些什么知识，才可以继续深入研究下去。
"这个问题的复杂程度不亚与代数学本身,我仅谈一下自己认识到的一些看法:首先说明，认为近世代数讲完群环域以后就完全是其他更高级的东西的说法是不对的，近世代数中讲的仅仅是群环域的基本概念及引论，事实上它们每一种都有一门或几门学科分支，国内很多学校已经有这样的硕士，博士点，接下来的环与模范畴、同调代数当然是最基本的。
我来介绍一下我所接触的代数学：我认为代数学是研究代数结构的学问，这有两层含义：第一层含义是研究各种代数结构，从而就不仅是群环域，还有这些结构的各种子结构，弱结构和对这些结构的公理进行变形后得到的各种结构;第二层含义是通过各种途径和技术来研究这些代数结构，比如同调的方法，范畴论的方法, 还有新近的量子化方法等等。
代数有两种含义，广义的和狭义的。
广义的代数是指群,环,域等等(下面将要看到,这个等等是不寻常的)这些结构及研究他们的方法论的总和; 狭义的代数一般专指向量空间上定义了某种满足一些公理化条件的乘法后的这种结构,这个概念当然可以推广到模上。
需要注意的是很多书上所说的代数还专门指乘法满足结合律的结合代数，这就是说这个空间对于其中的乘法运算构成环。
下面列举我接触到的部分课程清单(个人观点, 分类不很科学和完整,请大家指正和补充):[基本理论]: 群及其表示论分支: 一般群论拓扑群（连续群）置换群及其应用可解群幂零群典型群有限群论李群李型单群高阶K-群无限Ablel群半群理论 Ellis半群离散群组合群论(线性)代数群群表示论(常表示与模表示) 等等[基本理论]: 环与模范畴, 代数及其表示论,分支: 一般环论根论正则环局部环非交换环非交换(结合)代数分次环与模有限维代数可除代数 C*代数算子代数V on Neumann代数非交换多项式代数 (Ore代数) Artin代数及表示论腔胞代数 Lie代数无限维李代数 Lie超代数 Colored李代数Kac-Moody代数顶点算子代数微分代数(拟)遗传代数(Quasi-hereditary)量子代数拓扑代数等等一些有"名" 的代数:Azumaya代数 Baxter代数 Hecke代数 Boolean代数Cluster代数 Clifford代数 Frobienus代数Grassmann代数 Heisenberg代数 Jordan代数 Koszul代数Loop代数 Leibniz代数 Miscellaneous代数 Nakayama代数Poisson代数带子(Robbin)(Hopf)代数 Ringel–Hall代数Steenrod 代数管子(Tube)代数 W-代数 Weyl代数(Jacobson)-Witt代数 Nichols代数 Poincare代数 Yang-Mills代数等等一些小专题：张量代数交错代数包络代数 Morita理论 Galois扩张理论[基本理论]: 域论与数论相关: 有限域及其应用迦罗瓦理论赋值论数论导引解析数论基础代数数论基础丢番图分析超越数论模型式与模函数论筛法代数编码理论积性数论堆垒数论等等[基本理论]: Hopf代数与量子群相关: 有限维Hopf代数辫子Hopf代数 Hopf C*代数Hopf-伽罗瓦扩张 Multiplier Hopf代数余环与余模理论弱Hopf代数拟Hopf代数 Hopf代数胚点Hopf代数根树Hopf代数(Grossman-Larson, Connes-Moscovici-Kreimer)路Hopf代数(Hopf Quiver) 局部紧量子群非交换(微分)几何李双代数等等[基本理论]: 同调与上同调理论(Homology and Cohomology)相关: 交换代数同调代数代数K-理论高维代数A∞(双)代数L∞(双)代数循环同调群与李群的上同调Lie代数的上同调 Etale上同调 Hochschild同调与上同调等等[基本理论]: 范畴论及表示 (Category)相关: 阿贝尔范畴 n-范畴双范畴(Hopf范畴) 导出范畴(Derived Categories)张量范畴(Tensor or Monoidal Categories)三角范畴(Triangulated Categories) Fusion范畴等等数学中是有一些老化的学科，也有些个别人故意增加条件把问题复杂化的事例，代数中有，拓扑学也一样。
Hopf型代数和扭曲冲积的开题报告
一、研究背景
Hopf型代数是一种常见的代数结构，具有广泛的应用。
而扭曲冲积
则是一种将两个Hopf型代数结合起来的方法，通过扭曲使代数结构更加灵活和丰富。
因此，研究Hopf型代数和扭曲冲积对于推进代数学理论和应用具有重要的意义。
二、研究目的
本文的主要目的是探索Hopf型代数和扭曲冲积的基本性质，包括定义、基本定理以及应用。
具体来说，我们将重点讨论以下问题：
1. Hopf型代数的定义和基本性质；
2. 扭曲代数的定义和基本性质；
3. 扭曲冲积的定义和基本性质；
4. 扭曲冲积在数学和物理领域中的应用。
三、研究方法
本文主要采用文献研究法，通过查阅相关的文献资料来探讨Hopf型代数和扭曲冲积的基本性质和应用。
具体的研究方法包括：
1. 查阅Hopf型代数以及扭曲冲积的经典文献，了解其基本概念和性质；
2. 探索其他相关文献，包括最新的研究成果和应用案例；
3. 结合具体问题，运用所学的理论对问题进行分析和解决。
四、研究意义
本文的研究将有助于加深对于Hopf型代数和扭曲冲积的理解和应用，同时也将有助于推进代数学理论的研究和应用。
在经济、物理、计算机
等领域，扭曲冲积已经得到广泛的应用，本文的研究结果也将为这些领域的研究提供新的思路和方向。
一类GK维数为1的素Hopf代数的商代数的表示环及相关问题一类GK维数为1的素Hopf代数的商代数的表示环及相关问题摘要：本文主要研究了一类GK维数为1的素Hopf代数的商代数的表示环及相关问题。
我们首先研究了这一类代数在表示环上的性质，证明了这类代数的表示环是一个有限维的挠模，并且其结构很好描述。
接着，我们研究了这类代数的Jacobson–Witt理论，证明了其Jacobson–Witt理想是主理想。
最后，我们讨论了这类代数的胞腔拓扑结构，并给出了一些有趣的结果。
本文的研究不仅在理论上具有一定的重要性，而且在实际应用中也有一定的价值。
关键词：GK维数；素Hopf代数； Jacobson–Witt理论；表示环；商代数；胞腔拓扑结构。
一、前言Hopf代数在代数学和数学物理中都有着广泛的应用，因此引起了学者们的极大兴趣。
本文考虑的是一类GK维数为1的素Hopf代数的商代数的表示环及相关问题。
GK维数是刻画代数的重要指标之一，它刻画了代数的零因子和中心的结构，因此有着很多应用。
同时，本文所研究的素Hopf代数是一类比较特殊的Hopf代数，它具有一些特殊的性质，这些性质不仅仅体现在理论上，而且在实际应用中也有广泛的应用。
二、表示环的性质让我们首先研究这类代数在表示环上的性质。
我们证明了这类代数的表示环是一个有限维的挠模，并且其结构很好描述。
具体来说，我们考虑了这类代数的表示环在自然过滤下的Grassmann子环，证明了这些子环是一个无限维的向量空间，并且给出了它们的一组基。
此外，我们还研究了这类代数的表示环在Koszul双复合下的性质，证明了这个双复合是良定义的，并且存在一个自然的同构性。
这些结果为后面的研究奠定了基础。
三、Jacobson–Witt理论接着，我们研究了这类代数的Jacobson–Witt理论。
Jacobson–Witt 理论是一个很重要的研究方向，它研究的是环的理论性质和几何性质之间的联系。
置换群S6上的一类Hopf代数结构吴美云;唐秋林;罗秀花;姜会玲【摘要】本文研究了置换群S6上的分次Hopf代数的构造问题.利用箭向,建立了群的带特征标的分歧系统和分次Hopf代数之间的联系,获得了群S6的特征标和S6的自同构群Aut(S6)之间的关系.从而构造出了就S6的某个分歧数据的不同构的所有分次Hopf代数.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2018(038)005【总页数】12页(P921-932)【关键词】Hopf代数;箭向;分歧【作者】吴美云;唐秋林;罗秀花;姜会玲【作者单位】南通大学理学院,江苏南通 226007;南通大学理学院,江苏南通226007;南通大学理学院,江苏南通 226007;南通大学理学院,江苏南通 226007【正文语种】中文【中图分类】O153.31 引言通常来讲,要构造一个Hopf代数是件很不容易的事.然而,近年来,很多数学家开始利用箭向来研究代数结构[1−3],得到很多可交换与不可交换的Hopf代数[4−5].我们在文献[6–7]中也借助于箭向构造了群上的大量的Hopf代数.设G是群,kG是代数闭域k上的一个群代数,则Hopf双模范畴等价于直积范畴C∈K(G)MkZu(C),这里K(G)是群G 的全体共轭类,映射MkZu(C)表示右kZu(C)模[5,8].2002年,由于数学家Cibils和Rosso引入了Hopf 箭向和群的分歧[8],使得利用箭向构造Hopf代数成为可能[5].2008年,张寿全教授等给出了Sn(此时n≠6[9])是完全群时的分歧系统,由此可以构造出一批Hopf代数[10].那么对于非完全群S6,如何构造其上的Hopf代数呢？本文想在这方面做些探讨.2011年,Andruskiewitsch,Fantino,Grana以及Vendramin研究出对称群上的有限维逐点Hopf代数都是平凡的,且对于对称群S6,其上的一型路Hopf代数都是无限维的[11].所以我们要构造的一型路Hopf代数都是无限维的.本文约定在代数闭域k上讨论,并且k的特征char(k)≠2.所有代数,余代数,Hopf代数等都在域k上讨论.与Hopf代数有关的概念参见文献[12].2 非完全群S6的特征标和自同构之间的关系由于非完全群S6也是置换群,故S6中任意两个元素有相同的共轭类当且仅当它们有相同的循环结构.从而有以下引理.引理2.1[13]设S6是包含6个元素的集合的全体置换做成的群,Aut(S6)是S6的自同构群,则Aut(S6)=Inn(S6)＜δ＞,其中δ为2阶外自同构.因此Aut(S6)是一个1440阶的群,是S6的内自同构群和一个2阶群的半直积.由于群S6可由Ω={(12),(13),(14),(15),(16)}生成,令φ:S6→S6是一个映射,定义可以验证φ定义了S6的一个外自同构.令σ=(12345),iσ是由σ诱导的S6的内自同构,即任意g∈S6,定义iσ:S6→S6,iσ(g)= σgσ−1.令δ=iσφ,则δ是2阶外自同构.由此得以下结论.定理2.2任意h∈S6,定义则Aut(S6)={ig|g∈S6}∪{δg|g∈S6}.注 (i)由于Ω={(12),(13),(14),(15),(16)}可以生成置换群S6,所以ig,δg只需要定义在Ω上即可.(ii)经过计算,可得用C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,C9,C10,C11表示S6的全体共轭类,分别用(1),(12),(123),(1234),(12345),(123456),(12)(34),(12)(345),(12)(3456),(12)(34)(5 6),(123)(456)作为这些共轭类的代表元.考虑S6的共轭类与特征标的关系,得到如表1[13−14].表1?定理2.3 设S6是6个元素上的置换群,ig,δg如定理2.2中所述,记={χ1,χ2,···,χ11},其中χ1,χ2,···,χ11如表1中所述.则对于任意g∈ S6,有证容易看出,对于任意g∈S6,有χjig=χj,j=1,2,···,11,χ1δg= χ1.下面证明后面6个关系式.记Ω={(12),(13),(14),(15),(16)}.任意h∈Ω,由于自同构保持元素的阶和共轭类的阶,因此通过简单计算,有χ4δg(h)= χ4(gδ(h)g−1)= χ4δ(h)= −2, χ8(h)= −2. 所以χ4δg= χ8. 类似的,得到χ8δg= χ4;χ2δg= χ7; χ7δg= χ2;χ5δg= χ10; χ10δg= χ5.由此,不失一般性,可设这里a是一个正整数,b1,b2,···,b10是非负整数.3 S6上的分次Hopf代数结构设N表示自然数集合,得到如下结论.定理3.1设G=S6是置换群,m是自然数,N表示自然数集合,r是G的关于rCi,i=1,2,···,11的分歧,Q=(G,r)是对应的Hopf箭向.如果rC1=m ＞0,rCi=0,i=2,3,···,11,那么路余代数kQc有不同构的分次Hopf代数结构kQc(αχs),s∈N10,其个数与不等式s1+2s2+s3+2s4+2s5+s6+s9≤m的非负整数解的个数相同.记1,2,···,m.则在(kQ1,αχs) 上的 kG-模作用为任意t=2,3,4,5,6,任意t=3,4,5,6,任意t=2,4,5,6,任意t=2,3,5,6,任意t=2,3,4,6,任意t=2,3,4,5,证设r是群G的满足rC1=m＞0,rCi=0,i=2,3,···,11的分歧,Q=(G,r)是对应的Hopf箭向.则由文献[5]得对任意x,y∈G,x≠y,有 y(Q1)x 是空集. 显然任意s=(s1,s2,···,s10)∈ N10,设. 由于 rC1=m ＞0,rCi=0,i=2,3,···,11, 所以1≤i≤m}是关于r的带有特征标的全部分歧系统,简记为RSC.对于任意s,l∈N10,有χs ≌ χl当且仅当 s=l或s1=l2,s2=l7,s3=l3,s4=l8,s5=l10,s6=l6,s7=l2,s8=l4,s9=l9,s10=l5.事实上,如果s=l,显然χs=χl,自然有χs≌χl.对于其他情形,由于由定理 2.3, 任意g ∈ G,χ1δg= χ1,χ2δg= χ7,χ4δg= χ8,χ5δg= χ10,χ7δg=χ2,χ8δg= χ4,χ10δg= χ5,有(i)δg:G→G是一个群同构.(ii) 任意α,β ∈ G,显然δ(αβ)= δ(α)δ(β).固定映射u:K(G)→G,任意Ci∈K(G),g∈G,存在元素hCi∈G使得事实上,有(iii)任意C ∈K(G),存在双射fC1:IC1(r)→Iδg(C1)(r)使得是空映射.由定理2.3,对任意h∈Zu(C1),故χs ≌ χl.由此,{χs|s∈N10}是关于r的互不同构的所有的RSC,该集合的基数恰好等于不等式s1+2s2+s3+2s4+2s5+s6+s9≤m的非负整数解的个数.由于域k的特征char(k)≠2,所有右kG-模是逐点的.由文献[5]的定理2.2,得到路余代数kQc的不同构的余路Hopf代数结构kQc(αχs),s∈N10.设s∈N10.为简便起见,记i=1,2,···,m.由文献[5]的等式(2.2),得到(kQ1,αχs)上的所有kG-模作用.证毕.推论 3.2 设kQc(αχs),s∈ N10如定理 3.1中所述,则kQc(αχs)的子 Hopf代数kG[kQ1;αχs]由(12),(13),(14),(15),(16),xi,yi,zi,pi,qi,vi,i=1,2,···,m 生成,生成关系为余代数结构为Δ((1t))=((1t))⊗((1t)),ε((1t))=1,S((1t))=(1t),t=2,3,4,5,6,Δ(w)=(1)⊗w+w⊗(1),ε(w) =0,S(w)= −w,这里w=xi,yi,zi,pi,qi,vi,而证由文献[15]中一型路代数的乘法关系,经过计算,容易得出上述所有关系.参考文献【相关文献】[1]Chen X W,Huang H L,Ye Y,Zhang P.Monomial Hopf algebras[J].J.Alg.,2004,275(1):212–232.[2]Cibils C,Rosso M.Algebras des chemins quantiques[J].Adv.Math.,1997,125(1):171–199.[3]Oystaeyen F V,Zhang P.Quiver Hopf algebras[J].J.Alg.,2004,280(2):577–589.[4]王艳华,叶郁.用quiver构造拟三角Hopf代数[J].数学年刊(A辑),2007,28(1):39–48.[5]Zhang S C,Zhang Y Z,Chen H X.Classification of PM quiver Hopfalgebras[J].J.Alg.Appl.,2007,6(2):919–950.[6]吴美云.交换群上Hopf代数的结构分类[J].数学物理学报(A辑),2009,29(4):1119–1131.[7]吴美云,唐秋林.二面体群上Hopf路余代数的结构分类[J].数学年刊(A辑),2007,28(5):709–718.[8]Cibils C,Rosso M.Hopf quivers[J].J.Alg.,2002,254(2):241–251.[9]徐明曜.有限群导引(上册)[M].北京:科学出版社,2001.[10]Zhang S C,Wu M,Wang H T.Classification of ramification system for symetricgroup[J].Acta Math.Sini.B,2008,51(2):253–264.[11]Andruskiewitsch N,Fantino F,Grana M,Vendramin L.Finite-dimensional pointed Hopf algebras with alternating groups ar trivial[J].Annali di Matamatica,2011,190(2):225–245.[12]Sweedler M E.Hopf algebras[M].New York:Benjamin Press,1969.[13]Gerald J,Joseph R.Outer automorphisms of S6[J].Amer.Math.Monthly,1982,89(3):407–410.[14]Littlewood D E.The theory of group characters and matrix representations of groups[M].Providence,RI:Amer.Math.Soc.,1950.[15]Nichols W.Bialgebras of type one[J].Commun.Alg.,1978,6(4):1521–1552.。
追梦赤子心作者：暂无来源：《科学中国人》 2019年第9期杜月娇1900年，巴黎国际数学家代表会上，数学家希尔伯特发表了题为“数学问题”的著名演讲。
在这个演讲中，他根据19世纪数学研究的成果和趋势，提出了23个最重要的数学问题。
这些问题后来被统称为“希尔伯特问题”，100多年过去了，希尔伯特问题有的已经得到圆满解决，有的至今悬而未决。
南京大学数学系教授刘公祥十分钦佩希尔伯特，不止源于希尔伯特树起了19世纪末20世纪初国际数学界的一面旗帜，更因为他坚信每个数学问题都可以得到解决的信念。
“在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。
”在“数学问题”演讲中，希尔伯特说道。
隔着一个时代，刘公祥依然能感受到这句话中澎湃的激情。
“热爱+坚持+勤奋”，这份赤子之心是他十数年数学之路上的行走秘籍。
“做学问就要有一颗纯粹的心去追求未知的世界，‘功利’只能是一种额外奖赏，而不应该是肩上的负重。
”刘公祥说。
念念不忘，必有回响1941年，德国数学家H.H o p f发现球面的上同调群具有特殊的代数结构，即H o pf代数结构。
从此，Ho pf代数这个崭新的代数结构迅速发展了起来。
“H o p f代数结构最初来源于拓扑学，它描述了一些拓扑空间的对称性，随着研究的发展，人们发现它不仅仅能描述拓扑空间的对称性，也能用来描绘量子世界的某种对称性。
”刘公祥介绍道，“H o p f代数与物理和数学的很多分支有着意想不到的联系，例如共形场论、低维拓扑、非交换几何、特征p域上的代数群表示理论等。
”谈起H o p f代数，刘公祥神采飞扬。
但在进入安庆师范学院学习之前，刘公祥对数学并没有太过偏爱。
“一个农村孩子，也不知道外面的世界是什么样的”，他说。
高考之前，青葱少年刘公祥对未来的唯一概念就是“学好数理化，走遍天下都不怕”。
为此，他毫无意外地在高考志愿表上填写了3个专业志愿：数学、物理、化学，而后顺理成章地被安庆师范学院数学专业录取。
