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6误差理论与数据处理2

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《误差理论与数据处理(第6版)》费业泰_习题及答案解读

《误差理论与数据处理(第6版)》费业泰_习题及答案解读

《误差理论与数据处理》(第六版)习题及参考答案第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。

%108.66 %1002.311020 100%maxmax 4-6-⨯=⨯⨯=⨯=测得值绝对误差相对误差1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？%5.22%100%1002100%<=⨯=⨯=测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。

测得值各为50.004mm ，80.006mm 。

试评定两种方法测量精度的高低。

相对误差L 1:50mm 0.008%100%5050004.501=⨯-=IL 2:80mm 0.0075%100%8080006.802=⨯-=I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。

1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o击精度高? 解：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。

1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。

误差理论试卷及答案

误差理论试卷及答案
上述四次测量的测量精度相同，确定x、y的最佳估计值及其精度。本题18分）
四、
对一温度测量仪进行标定，被测温度x由标准场提供，其误差可忽略不
计。通过试验得到的被测温度x与测温仪的输出电压y的数值如下：
确定y对x的线性回归方程表达式，并进行方差分析与回归方程的显著性检验；
（附：F0。10(1，4)=4.54，F0。05(1，4)=7.71，F0。01(1，4)=21.2）（本题20分）
五、
在光学计上用量块组作为标准件，重复测量圆柱体直径9次，已知单次
测量的标准差为0.3微米，用算术平均值作为直径测量结果。量块组由三块
量块组成，各量块的标准不确定度分别为0.15微米、0.10微米、0.08微米，
201.0
200.7
200.6
200.8
200.8
200.8
已知功率计的系统误差为0.2mW，除此以外不再含有其它的系统误差。求当置信
概率为99.73%时激光器的输出功率及其极限误差。（本题20分）
三、
对x和y两个量进行组合测量，测量方程如下：
⎧xy50.04
⎪2xy70.02
⎨
⎪⎩2x2y100.05
量的估计方法有何不同？分别写出它们的特征量均值与方差的估计公式。
《误差理论与数据处理》试卷二
一
用电压表和电流表来测量某一纯电阻性电子器件的功耗时，已知用电压表
测得器件上的直流电压降是12.00V，其测量极限误差是0.04V，用电流表测
得通过器件的电流是2.00A，其测量极限误差是0.02A。另外，电压表和电
上述测得值求得被测角度的测量结果，问该测量结果的标准差为多少？
（本题10分）
三．测某一温度值15次，测得值如下：（单位：℃）

误差理论与数据处理

误差理论与数据处理

③ 差动法 被测量对传感器起差动作用 干扰因素起相同作用 --- 被测量的作用相加 --- 干扰的作用相减 作用：抑制干扰 提高灵敏度和线性度 ④ 比值补偿法 利用比值补偿原理 --- 影响因素在输出计算式的分子、分母上同时出现 --- 约消 例：比色高温计 --- 消除辐射率变化的影响 ⑤ 半周期偶数观测法 --- 系统误差随某因素成周期性变化 测量 --- ½变化周期 两次测量所得的周期系统误差 --- 数值相等、正负相反 --- 取平均值 自动检测 --- 检测的时间间隔为½周期（克服随时间周期变化因素的影响） 综合：传感器信号转换 --- 选频放大器、滤波器、滤色片 --- 截断/删除无用 频带（只让有用信号频带通过） --- 减轻校正、补偿难度 有影响的因素 --- 定值/较窄范围 --- 系差稳定 --- 修正值 措施 --- 恒温、稳压或稳频
如：米 --- 公制长度基准
光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485 1m = 1650763.73
--- 氪-86的2p10-5d5能级间跃迁在真空中的辐射波长
② 理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值 ③ 相对真值：标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准器的值
⑧ 检测方法误差 检测方法、采样方法、测量重复次数、取样时间
⑨ 检测人员造成的误差 人员视觉、读数误差、经验、熟练程度、精神方面原因（疲劳）
4 、误差分类
按误差来源：装置误差、环境误差、方法误差、人员误差
按掌握程度：已知误差、未知误差 按变化速度：静态误差、动态误差 按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差
h
1 2
-K K
总体期望：无限次测量（不可能实现） --- 有限次测量代替 估计（Estimation ) --- 有限次样本推测总体参数 --- 估计值（^） 同一被测量 n 次测量 算术平均（Mean value） x 估计 真值x0

误差理论与数据处理作业答案 第二章

误差理论与数据处理作业答案 第二章

第二章2-171因此无法说明测量数据中是否存在系统误差。

2通过马利科夫准则进行校核：△=0.4—（—0.4）=0.8因此，有马利科夫准则，当△显著不为零时，则有理由认为测量列存在线性系统误差。

3通过阿卑—赫梅特准则进行校核：u=0.3056因此，由u<= 0.789936可知，本次测量不一定存在周期性的系统误差。

2-19则t=1.404由ν=10+10—2=18及取α=0.05，查t分布表（书中附录表3），得tα=2.1因∣t∣=1.404< tα=2.1故无根据怀疑两组间有系统误差。

2-22解：(1) 3σ准则（莱以特准则）x̅=28.57067σ=0.2646153σ= 0.793844根据3σ准则（莱以特准则）第四测得值的残余误差∣v4∣=0.9493> 0.793844即它含有粗大误差，故将此测得值剔除。

再根据剩下的14个测得值重新计算，得x̅′=28.50286σ==0.0336113σ′= 0.100832由上表知，第十四测得值的残余误差∣v14∣=0.1029> 0.1008即它含有粗大误差，故将此测得值剔除。

再根据剩下的14个测得值重新计算，得x̅′′=28.51σ′′=0.016583σ′′=0.04975剩下的13个测得值的残余误差满足∣vi′′∣<3σ′′故可认为这些测量值不再含有粗大误差。

(2) 罗曼诺夫斯基准则首先怀疑第四测得值含有粗大误差，将其剔除。

然后根据剩下的14个测量值计算平均值和标准差，得x̅=28.50286σ=0.033611选取显著度α=0.05，已知n=15，查表得K(15,0.05)=2.24Kσ=2.240.033611=0.07528774因∣x4—x̅∣=0.90117>0.0752877故第四测量值含有粗大误差，应予剔除。

(3) 格罗布准则由3σ准则计算过程中表格知x̅=28.57067σ=0.264615按测得值的大小，顺序排列的x（1）=28.4，x（15）= 29.52进有两测得值x（1）、x（15）可怀疑，但由于x̅—x（1）=28.57067-28.4=-0.1707x̅—x（15）=28.57067-29.52=0.9493 故先怀疑x（15）是否含有粗大误差计算g(11)=x̅−x（15）σ=3.587查表得g(0)(15，0.05)=2.41则g(11)>g(0)故将第四测得值予以剔除，然后将剩下14个值再一次进行检验分析。

误差理论及数据处理

误差理论及数据处理
205.30
204.94 205.63
205.71
204.7 204.86
1.修正值不要考虑了 2.算术平均值 3.计算残差
205.24
206.65 204.97 205.36 205.16
205.35
205.21 205.19 205.21 205.32
x 205.30V
vi xi x
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
i 1 n
i 1
i
i
i 1 2
i
n
B
n xi yi xi yi
i 1 i 1 i 1
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
n
n
2
A 2, B 1
第二章 测量误差理论与数据处理
2、 曲线拟合
y 2.66 0.422 x
第二章 测量误差理论与数据处理
曲线拟合例题2
[例] 已知
x y xj yj 0 100 1 223 2 497 3 1104 4 2460 5 5490
1）绘y_x曲线（a） 2)初步估计：y=ax2+b 3) 变换： y’=ax’+b (y’=y, x’=x2)
i 1 i 1 i 1 i 1 n
n
n
n
第二章 测量误差理论与数据处理
直线拟合（续）
求极值（求偏导数） n A, B [2( yi A Bxi )] 0 A i 1 n A, B [2 xi ( yi A Bxi )] 0 B i 1 求解方程
2000
1000
0
0
5
10
15
20

误差理论与数据处理

误差理论与数据处理

nx
×100%
◆ （4）方差（Variance） 方差（ 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。
σ2 =
就是和中心偏离的程度。 就是和中心偏离的程度。在样本容 量相同的情况下，方差越大， 量相同的情况下，方差越大，说明 数据的波动越大， 数据的波动越大，越不稳定
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） ）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 ◆加（减）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。
a. 30.4 + 4.325 = 34.725 → 34.7 b. 26.65 -3.905 = 22.745 → 22.74
106.25=1778279.41→1.8×106； pH=10.28→[H+]=5.2×10-11
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） 对数： ◆对数： lgx的有效数字位数由 的位数决定。 的有效数字位数由x的位数决定 的有效数字位数由 的位数决定。
1 误差理论
1.2 分类
1.2.2 系统误差、随机误差、过失误差
◆（3）过失误差 又称粗大误差和疏忽误差。 又称粗大误差和疏忽误差。是由过程中 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、设备故障等引发的 测量数据严重失真现象， 测量数据严重失真现象，致使测量数据的真实值与测量值之间 出现显著差异的误差。 出现显著差异的误差。
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.1 定义
在一个近似数中，从左边第一个不是 的数字起 的数字起， 在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。

误差理论实验报告2


；
ｎ（ｍ＋１）
Ｘ Ｙ
Ｔ
F F=
U/ｍ ｓ
２
显著性 0.01 0.05 0.1 或其他
２． 实验内容和结果
1、 程序及流程 用ＭＡＴＬＡＢ编写程序解答下面各题 １．材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。某种材料实验数据 如下表：
正应力ｘ （Ｐａ） 抗剪强度ｙ （Ｐａ） ２６．８ ２６．５ ２５．４ ２７．３ ２８．９ ２４．２ ２３．６ ２７．１ ２７．７ ２３．６ ２３．９ ２５．９ ２４．７ ２６．３ ２８．１ ２２．５ ２６．９ ２１．７ ２７．４ ２１．４ ２２．６ ２５．８ ２５．６ ２４．９
ｂ
Z14=log(y4); Z15=log(y5); Z1pz=(Z11+Z12+Z13+Z14+Z15)/5; x1=1.585; x2=2.512; x3=3.979; x4=6.310; x5=9.988; x6=15.85; Z21=log(x1); Z22=log(x2); Z23=log(x3); Z24=log(x4); Z25=log(x5); Z2pz=(Z21+Z22+Z23+Z24+Z25)/5; A1=(Z11)*(Z21); A2=(Z12)*(Z22); A3=(Z13)*(Z23); A4=(Z14)*(Z24); A5=(Z15)*(Z25); Apz=5*(Z1pz)*(Z2pz); B1=(Z11)*(Z11); B2=(Z12)*(Z12); B3=(Z13)*(Z13); B4=(Z14)*(Z14); B5=(Z15)*(Z15); Bpz=5*(Z1pz)*(Z1pz); b=((A1+A2+A3+A4+A5)-Apz)/((B1+B2+B3+B4+B5)-Bpz) a=10^((Z1pz)/b-Z2pz) y=(y1 y2 y3 y4 y5); x=(x1 x2 x3 x4 x5); y=a*x^b;

《误差理论与数据处理》习题2及解答

试写出测量结果。③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中 10 次重复测量的 测量值，写出上述①、②的测量结果。 【解】① 单次测量的极限误差以 3σ计算，δlimx=3σ=3×0.5=1.5(μm)=0.0015 (mm) 所以测量结果可表示为：26.2025±0.0015
(mm)
② 重复测量 10 次，计算其算术平均值为： x = 26.2025(mm). 取与①相同的置信度，则测量结果为：26.2025±3σ= 26.2025±0.0015 (mm). ③ 若无该仪器测量的标准差资料，则依 10 次重复测量数据计算标准差和表示测量结 果。选参考值 x0 = 26.202，计算差值 ∆x i = x i − 26.202 、 ∆ x 0 和残差ν i 等列于表中。 序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号
∑ν
i =1
i
n( n − 1)
= 1.253
0.0008 5× 4
= 0.000224 （mm）
σx =
σ
n
=
0.000255 5
= 0.000114 ； σ x =
'
σ'
n
=
0.000224 5
= 0.0001
⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 因假设测量值服从正态分布，并且置信概率 P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录
∆ x0 = 1 10 ∑ ∆xi = 0.0005 10 i =1
νi
0 +0.0003 +0.0003 0 +0.0001 -0.0003 -0.0002 0 +0.0001 -0.0003
ν i2
0 9×10 9×10 0 1×10

误差理论与数据处理-第二章.part2


第15页 页
算术平均值的实验标准差
算术平均值的实验标准差与测量次数n的平方根成反比，因此要减小随机 因素的影响，可适当增加测量次数；但是，当n大于10以后，其减小已很 缓慢；此外，由于测量次数越大，恒定的测量条件越难以保证，以致引起 新的误差。因此一般情况下，取10≤n≤ 15的测量次数为宜。
第16页 页
n
n
（2－8）
n
而 δx =
∑δ
i =1
i
n
∑δi 2 ，nδ x＝n i =1 n
n
∑ δ i2 + 21∑j δ iδ j ≤i< = i =1 n
n
2
第7页 页
单次测量的实验标准[ 单次测量的实验标准[偏]差
当n适当大时，可认为
n
1≤ i < j
需进一步研究的问题： 需进一步研究的问题： 我们已可求出单次测量的实验标准偏差σs，那么，多个 测值的算术平均值的实验标准差又怎样计算？
第13页 页
算术平均值的实验标准差
算术平均值：
l1 + l2 + ⋯ + ln ∑ x= = i =1 n n
δ x = x − l0
n
li
算术平均值的误差：
---算 ( δ x ---算术平均值的真误差） ( l0 ---真值 ---真 ）
第9页 页
实例
用游标卡尺测某一尺寸10次 数据见表（ 用游标卡尺测某一尺寸10次，数据见表（设无系统和粗大 10 误差），求算术平均值及单次测值的实验标准差。 ），求算术平均值及单次测值的实验标准差 误差），求算术平均值及单次测值的实验标准差。
测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 序 li/mm 75.01 75.04 75.07 75.00 75.03 75.09 75.06 75.02 75.05 75.08 vi/mm -0.035 -0.005 +0.025 -0.045 -0.015 +0.045 +0.015 -0.025 +0.005 +0.035 vi2/mm2 0.001225 0.000025 0.000625 0.002025 0.000225 0.002025 0.000225 0.000625 0.000025 0.001225

误差理论与数据处理第六版答案

第1章绪论1-1 研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。

答：研究误差的意义（1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。

（2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。

（3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济的条件下，得到理想的结果。

误差理论的主要内容：（1）讨论形成误差的原因；（2）各类误差的特征及处理方法；（3）对测量结果进行评定。

1-2 试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答1：测量误差的定义：误差＝测得值－真值。

测量误差的分类：随机误差、系统误差和粗大误差。

各类误差的特点：（1）随机误差：服从统计规律，具有对称性、单峰性、有界性和抵偿性；（2）系统误差：不服从统计规律，表现为固定大小和符号，或者按一定规律变化；（3）粗大误差：误差值较大，明显地歪曲测量结果。

答2：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。

系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。

1-3 试述误差的绝对值与绝对误差有何异同，并举例说明。

答1：相同点：都是测量值与真值之差。

不同点：误差的绝对值都是正值，而绝对误差有正、有负，反映了测得值与真值的差异。

例：某长度的绝对误差为－0.05mm，而该误差的绝对值为|－0.05|mm＝0.05mm。

答2：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。

+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。

(2)就测量而言，前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定。

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不确定度合成规则的应用
按置信概率 p99%，自由度v 1 40 查 t 分布表
得临界值：
t 2.70
取包含因子k1 t 2.70，则标准不确定度应为
u1
U1 k1
0.6 0.22 2.70
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不确定度合成规则的应用
• 量块中心长度偏差 三块量块的偏差分别为h10.0002mm，h20.0003mm，
h30.0001m m。量块组合尺寸偏差为： h h 1 h 2 h 3 0 . 0 0 0 2 m m 0 . 0 0 0 3 m m 0 . 0 0 0 1 m m 0 . 0 0 0 4 m m
不确定度各分量估计方法及数值
对于重要测量应给出

相应的自由度v i 相关各项间的相关系数
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不确定度合成规则的应用
包含因子 对于合成扩展不确定度U 应给出 置信系数
u14
u4 u24
u34
v1 v2 v3
(7.34104 / s)4
(7.6103 / s)4 (6.34103 / s)4
(4.1103 / s)4
196
40
112
112
按P99%，v 196查 t 分布表得t 2.576 ，取
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不确定度合成规则的应用
故传递系数为：
a1h0.01mm1
则 h 折合为锥角误差应为：
1 a 1 h 0 . 0 1 0 . 4 1 0 3 r a d 4 1 0 6 r a d 0 . 8
UU1 0.2
由式 v

kU 2
U

U
U
2
可得 U

1的自由度为
v1k2 U2U U U 1123220 0..6 2240
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不确定度合成规则的应用
• 合成标准不确定度 标准不确定度的各分量分别为：
u 1T 1u 13 0 1 0 s 0 .2 2 7 .3 4 1 0 4/s u 2T 1u 23 0 1 0 s 1 .9 6 .3 4 1 0 3/s
u 3 T 2u T 6 .( 4 3 8 0 0 s 1 )2 0 7 5 .7 1 0 6 s 4 .1 1 0 3/s
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不确定度合成规则的应用
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不确定度合成规则的应用
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测量总不确定度的计算 测量方法中的不确定度 提高测量结果精度的途径 测量不确定度计算的现状
求 h 的传递系数a 1 ，由正弦关系
arcsin h
l
两边对 h 求导：
h h a r c s in h l l2 1 h 21 0 0 1 2 5 2 m m 1 0 .0 1 m m 1
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不确定度合成规则的应用
测量结果及其修正 若测微表在 B 、A 两点的读数差 p7.5m，则：
p7.5103rad16.3
被测锥角应为： t 95
c025847.3
为修正测量结果，应找出已知的系统误差，主要有
三项：
• 量块中心长度偏差 • 所选量块名义尺寸与计算名义尺寸之差 • 工件安置歪斜造成的误差
置信概率
对于通常测量结果的扩展不确定度，也应给出 包含因子的值。
下面给出几个实例，说明测量数据处理和不确定 度的估计与合成计算。
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不确定度合成规则的应用
例 为分析转台速率精度，测量时段 T 内的转角
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不确定度合成规则的应用
例 利用正弦尺测量锥体角度 ，原理图如下图示
已知l100mm，t95mm，锥角公称值0 25831 ， 若测得数据 p7.5m，试求出锥角的测量结果及其 不确定度。
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测量总不确定度的计算
被测量数值

完整的测量结果报告包括两部分

不确定度
标准不确定度 最终结果的合成的不确定度的形式 扩展不确定度
相对不确定度
u u12u22u33
1 u 2 T u2

u3 T 2 uT
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• 光栅刻线不确定度
光栅刻线不确定度由其刻划工艺决定，为U1 0.6， 该值的可靠性估计为 0 .2 ，即
7.6103/s
• 总扩展不确定度
由式(5 64) 可计算得有效自由度
v
u c4 n u i4
v i 1 i
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有效自由度为：
v

t 2.63
则标准不确定度为
•
基准源不确定u度2U k22
U2 t
5 1.9 2.63
用作时段计量的基准相对误差T 5108，该值可
T
变动范围可估计为1108，相应的扩展不确定度
为
U T T 5 1 0 8 3 0 0 s 5 1 0 8 1 . 5 1 0 5 s

kU 2
U

U
U
2
可得，U
2
的自由度为：
v2k2 U2U UU 2223121 52112
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按 p99%，U2 112 ，查 t 分布表，得
按P99%，vT 112 ，查 t 分布表得：
t 2.63
则标准不确定度为
u TU kT TU t T1.52 .1 60 35s5.7106s
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kt 2.58，则总扩展不确定度为：
U k u 2 . 5 8 7 . 6 1 0 3 / s 1 . 9 6 1 0 2 / s
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按舍入规则，取 h5.191m m 。使用五等量块。组 合如下表：
h1
h2
h3
公称尺寸1.001 1.190 3.000
偏 差 +0.2 +0.3 -0.1
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沿平板移动表架，使测微表分别测量工件上母线两
端 A 、B 两点，设两点距离为 t ,两点的读数差为 p ，
则被测锥角 与 之差 可按该式求得： p t
测 量 原 理 图
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则可得角速度 T ，设测得T300s，6.48107
分析其相对扩展不确定度。
解 由测量方程
T
可得其误差表达式
T1T2 T
式中，转角测量误差 包括两部分：测量仪器光
栅盘刻线误差 1 ，角度伺服系统的跟踪误差 2 。
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则该项局部误差为： 2 a 2 h 0 . 0 1 0 . 5 1 0 3 r a d 5 1 0 6 r a d 1
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由式v

kU 2

U UU
2
其自由度为：
vTkU 2 T2U U U T T23 2213 .5 11 00 6 52112