《误差理论与数据处理》
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误差理论与数据处理
物理学与电子工程学院 第4章 测量不确定度
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
4.1 测量不确定度的基本概念
测量都有误差 测量结果具有不确定性
寻找最佳评定方式
科学评价测量质量
测量不确定度
测量不确定度小
测量质量高 使用价值大 测量水平高
物理学与电子工程学院
第4章 测量不确定度
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
物理学与电子工程学院 第4章 测量不确定度
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
4.1.3 测量不确定度与误差
联系： 测量结果的精度评定 不确定度分量都用标准差表征，由随机误差或系统误差引起
误差是不确定度的基础
测量不确定度的内容不能包含更不能取代误差理论所有内容 测量不确定度是对经典误差理论的补充
4.3.1 合成标准不确定度
1.uc 的确定步骤 （1）明确影响测量结果的多个不确定度分量 给出各直接量的不确定度 （2）确定各分量与测量结果的传递关系及相关系数 （3）给出各分量标准不确定度 （4）按方和根法合成 给出间接量的标准不确定度
物理学与电子工程学院 第4章 测量不确定度
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
4.1.1 概述
1927年
1970年
海森堡测不准原理（ p, r ）
开始使用，但缺乏统一的理解和表示方法
1980年
1986年
BIPM提出《实验不确定度建议书INC-1》
ISO制定《测量不确定度表示指南》
1993年
1999年
物理学与电子工程学院
ISO颁布《测量不确定度表示指南》并实施
我国颁布《测量不确定度评定与表示》
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
4.1 测量不确定度的基本概念
测量都有误差 测量结果具有不确定性
寻找最佳评定方式
科学评价测量质量
测量不确定度
测量不确定度小
测量质量高 使用价值大 测量水平高
物理学与电子工程学院
第4章 测量不确定度
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
物理学与电子工程学院 第4章 测量不确定度
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
4.1.3 测量不确定度与误差
联系： 测量结果的精度评定 不确定度分量都用标准差表征，由随机误差或系统误差引起
误差是不确定度的基础
测量不确定度的内容不能包含更不能取代误差理论所有内容 测量不确定度是对经典误差理论的补充
4.3.1 合成标准不确定度
1.uc 的确定步骤 （1）明确影响测量结果的多个不确定度分量 给出各直接量的不确定度 （2）确定各分量与测量结果的传递关系及相关系数 （3）给出各分量标准不确定度 （4）按方和根法合成 给出间接量的标准不确定度
物理学与电子工程学院 第4章 测量不确定度
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
4.1.1 概述
1927年
1970年
海森堡测不准原理（ p, r ）
开始使用，但缺乏统一的理解和表示方法
1980年
1986年
BIPM提出《实验不确定度建议书INC-1》
ISO制定《测量不确定度表示指南》
1993年
1999年
物理学与电子工程学院
ISO颁布《测量不确定度表示指南》并实施
我国颁布《测量不确定度评定与表示》
误差理论与数据处理
③ 差动法 被测量对传感器起差动作用 干扰因素起相同作用 --- 被测量的作用相加 --- 干扰的作用相减 作用：抑制干扰 提高灵敏度和线性度 ④ 比值补偿法 利用比值补偿原理 --- 影响因素在输出计算式的分子、分母上同时出现 --- 约消 例：比色高温计 --- 消除辐射率变化的影响 ⑤ 半周期偶数观测法 --- 系统误差随某因素成周期性变化 测量 --- ½变化周期 两次测量所得的周期系统误差 --- 数值相等、正负相反 --- 取平均值 自动检测 --- 检测的时间间隔为½周期（克服随时间周期变化因素的影响） 综合：传感器信号转换 --- 选频放大器、滤波器、滤色片 --- 截断/删除无用 频带（只让有用信号频带通过） --- 减轻校正、补偿难度 有影响的因素 --- 定值/较窄范围 --- 系差稳定 --- 修正值 措施 --- 恒温、稳压或稳频
如：米 --- 公制长度基准
光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485 1m = 1650763.73
--- 氪-86的2p10-5d5能级间跃迁在真空中的辐射波长
② 理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值 ③ 相对真值：标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准器的值
⑧ 检测方法误差 检测方法、采样方法、测量重复次数、取样时间
⑨ 检测人员造成的误差 人员视觉、读数误差、经验、熟练程度、精神方面原因（疲劳）
4 、误差分类
按误差来源：装置误差、环境误差、方法误差、人员误差
按掌握程度：已知误差、未知误差 按变化速度：静态误差、动态误差 按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差
h
1 2
-K K
总体期望：无限次测量（不可能实现） --- 有限次测量代替 估计（Estimation ) --- 有限次样本推测总体参数 --- 估计值（^） 同一被测量 n 次测量 算术平均（Mean value） x 估计 真值x0
误差理论与数据处理-浙江大学-绪论
重点与难点
误差定义及表达形式 测量误差来源的分析 测量误差按误差性质的分类处理 有效数字定义及选取
第一节 研究误差的意义
门捷列夫 (1834-1907)
科学始于测量 ， 没有测量，便没有精 密的科学。
门捷列夫
第一节 研究误差的意义
开尔文（1824-1907）
我常说的一句话是： 当你能够测量你所关注的事物， 而且能够用数量来描述他的时候， 你就对其有所认识；当你不能测 量他，也不能将其量化的时候， 你对他的了解就是贫乏和不深入 的。 开尔文
一、误差的定义及表示法
引用误差（Fiducial Error of a Measuring Instrument）
定义
xm rm xm
仪器某标称范围（或量程） 内的最大绝对误差
出版社，第2版，2014
2. 费业泰。《误差理论与数据处理》。机械工业出
版社，第6版，2013
3. 秦岚。《误差理论与数据处理习题集与典型题
解》。机械工业出版社，第1版，2013
课外参考书
董大均。《误差分析与数据处理》。清华大学出版社，第1版，2013 杨旭武。《实验误差原理与数据处理》。科学出版社，第1版，2009 马宏，王金波。《仪器精度理论》。北京航空航天大学出版社，第1版，2014 毛英泰。《误差理论与精度分析》。国防工业出版社，第1版，1982 熊有伦。《精密测量中的数学方法》。中国计量出版社，第1板，1989 谭久彬。《精密测量中的误差补偿方法》。哈尔滨工业大学出版社，第1版，1995 宋俊峰。《怎样减少测量误差》。机械工业出版社，1984 罗马诺夫著，李青岳等译。《误差理论与最小二乘法》。高等教育出版社，第1版，1955 赵长胜。《测量数据处理研究》。测绘出版社，第1版，2013 邓勃。《分析测量数据的统计处理方法》。清华大学出版社，第1版，1995 石振东，刘国庆。《实验数据处理与曲线拟合技术》。哈尔滨船舶工程学院出版社，第1 版，1991 12. Philip R.Bevington，D.Keith Robinson著，夏元复，何云译。《物理科学中的数据处理 和误差分析》。广西师范大学出版社。第1版，2006 13. 沈云中，陶本藻。《实用测量数据处理方法》。测绘出版社，第2版，2012 14. 李建章等。《测量数据处理程序设计》。国防工业出版社，第1版，2012 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
误差理论及数据处理
205.30
204.94 205.63
205.71
204.7 204.86
1.修正值不要考虑了 2.算术平均值 3.计算残差
205.24
206.65 204.97 205.36 205.16
205.35
205.21 205.19 205.21 205.32
x 205.30V
vi xi x
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
i 1 n
i 1
i
i
i 1 2
i
n
B
n xi yi xi yi
i 1 i 1 i 1
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
n
n
2
A 2, B 1
第二章 测量误差理论与数据处理
2、 曲线拟合
y 2.66 0.422 x
第二章 测量误差理论与数据处理
曲线拟合例题2
[例] 已知
x y xj yj 0 100 1 223 2 497 3 1104 4 2460 5 5490
1）绘y_x曲线（a） 2)初步估计：y=ax2+b 3) 变换： y’=ax’+b (y’=y, x’=x2)
i 1 i 1 i 1 i 1 n
n
n
n
第二章 测量误差理论与数据处理
直线拟合（续）
求极值（求偏导数） n A, B [2( yi A Bxi )] 0 A i 1 n A, B [2 xi ( yi A Bxi )] 0 B i 1 求解方程
2000
1000
0
0
5
10
15
20
204.94 205.63
205.71
204.7 204.86
1.修正值不要考虑了 2.算术平均值 3.计算残差
205.24
206.65 204.97 205.36 205.16
205.35
205.21 205.19 205.21 205.32
x 205.30V
vi xi x
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
i 1 n
i 1
i
i
i 1 2
i
n
B
n xi yi xi yi
i 1 i 1 i 1
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
n
n
2
A 2, B 1
第二章 测量误差理论与数据处理
2、 曲线拟合
y 2.66 0.422 x
第二章 测量误差理论与数据处理
曲线拟合例题2
[例] 已知
x y xj yj 0 100 1 223 2 497 3 1104 4 2460 5 5490
1）绘y_x曲线（a） 2)初步估计：y=ax2+b 3) 变换： y’=ax’+b (y’=y, x’=x2)
i 1 i 1 i 1 i 1 n
n
n
n
第二章 测量误差理论与数据处理
直线拟合（续）
求极值（求偏导数） n A, B [2( yi A Bxi )] 0 A i 1 n A, B [2 xi ( yi A Bxi )] 0 B i 1 求解方程
2000
1000
0
0
5
10
15
20
误差理论与数据处理
nx
×100%
◆ （4）方差（Variance） 方差（ 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。
σ2 =
就是和中心偏离的程度。 就是和中心偏离的程度。在样本容 量相同的情况下，方差越大， 量相同的情况下，方差越大，说明 数据的波动越大， 数据的波动越大，越不稳定
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） ）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 ◆加（减）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。
a. 30.4 + 4.325 = 34.725 → 34.7 b. 26.65 -3.905 = 22.745 → 22.74
106.25=1778279.41→1.8×106； pH=10.28→[H+]=5.2×10-11
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） 对数： ◆对数： lgx的有效数字位数由 的位数决定。 的有效数字位数由x的位数决定 的有效数字位数由 的位数决定。
1 误差理论
1.2 分类
1.2.2 系统误差、随机误差、过失误差
◆（3）过失误差 又称粗大误差和疏忽误差。 又称粗大误差和疏忽误差。是由过程中 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、设备故障等引发的 测量数据严重失真现象， 测量数据严重失真现象，致使测量数据的真实值与测量值之间 出现显著差异的误差。 出现显著差异的误差。
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.1 定义
在一个近似数中，从左边第一个不是 的数字起 的数字起， 在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。
误差理论与数据处理课件(很实用)
报告审核与修改
对报告进行同行评审或专家审核，根据反馈 进行必要的修改和完善。
06
案例分析与实践
案例一：医学数据处理
总结词
医学数据处理是误差理论应用的重要领域，涉及临床 试验、诊断、治疗等多个方面。
详细描述
医学数据处理中，误差的来源包括测量误差、随机误 差和系统误差等。这些误差可能导致数据失真，影响 医学研究的准确性和可靠性。因此，医学数据处理需 要遵循严格的标准和规范，如临床试验数据管理规范 、医疗器械检测标准等。同时，医学数据处理也需要 采用各种误差处理技术，如数据清洗、数据变换、数 据筛选等，以减小误差对数据的影响。
数据预处理包括数据的排序、筛选、分组和编码等操作，为后续的数据分析提供 准确和一致的数据集。
03
误差的识别与控制
系统误差的识别与控制
系统误差的识别
系统误差通常表现为数据呈现一定的 规律性偏差，可以通过对比实验数据 与理论值、检查实验装置和环境条件 等方式进行识别。
系统误差的控制
控制系统误差的方法包括改进实验装 置、优化实验环境、采用标准仪器和 设备、定期校准和检测等措施，以减 小系统误差对数据的影响。
先滞后关系。
时间序列平稳性
检验时间序列数据的平 稳性，以确定是否适合
进行时间序列分析。
05
实验设计与数据分析
实验设计原则
01
02
03
04
科学性原则
实验设计应基于科学理论和实 践经验，确保实验的合理性和
可行性。
随机性原则
实验对象的分配应随机化，以 减少系统误稳定性和可靠性
案例二：金融数据分析
总结词
金融数据分析中，误差的来源包括数据采集、数据处 理和数据分析等多个环节。
误差理论与数据处理
误差理论与数据处理1. 绪论1.1 数据测量的基本概念1.1.1 基本概念（1）物理量物理量是反映物理现象的状态及其过程特征的数值量。
一般物理量都是有因次的量，即它们都有相应的单位，数值为1的物理量称为单位物理量，或称为单位；同一物理量可以用不同的物理单位来描述，如能量可以用焦耳、千瓦小时等不同单位来表述。
（2）量值一般由一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小。
无量纲的SI单位是“1”。
（3）测量以确定量值为目的的一组操作，操作的结果可以得到真值，即得到数据，这组操作称为测量。
例如：用米尺测得桌子的长度为1.2米。
（4）测量结果测量结果就是根据已有的信息和条件对被测物理量进行的最佳估计，即是物理量真值的最佳估计。
在测量结果的完整表述中，应包括测量误差，必要时还应给出自由度及置信概率。
测量结果还具有重复性和重现性。
重复性是指在相同的测量条件下，对同一被测物理量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。
相同的测量条件即称之为“重复性条件”，主要包括：相同的测量程序、相同的测量仪器、相同的观测者、相同的地点、在短期内的重复测量、相同的测量环境。
若每次的测量条件都相同，则在一定的误差范围内，每一次测量结果的可靠性是相同的，这些测量服从同一分布。
重现性是指在改变测量条件下，对被测物理量进行多次测量时，每一次测量结果之间的一致性，即在一定的误差范围内，每一次测量结果的可靠性是相同的，这些测量值服从同一分布。
（4）测量方法测量方法是指根据给定的测量原理，在测量中所用的并按类别描述的一组操作逻辑次序和划分方法，常见的有替代法、微差法、零位法、异号法等。
总之，数据测量就是用单位物理量去描述或表示某一未知的同类物理量的大小。
1.1.2 数据测量的分类数据测量的方法很多，下面介绍常见的三种分类方法，即按计量的性质、测量的目的和测量值的获得方法分类。
（1）按计量的性质分可分为：检定、检测和校准。
检定：由法定计量部门（或其他法定授权组织），为确定和证实计量器是否完全满足检定规程的要求而进行的全部工作。
误差理论与数据处理第七版
误差理论与数据处理第七版简介《误差理论与数据处理第七版》是由Taylor J.R.所著，是一本针对误差理论和数据处理方法的经典教材。
本书的内容主要围绕了测量和数据处理中的误差分析、不确定度评定以及数据处理方法。
通过本书的学习，读者可以掌握正确的实验设计与数据处理方法，从而提高测量数据的精度和可靠性。
目录1.误差分析基本概念2.误差传播3.误差偏差4.误差控制方法5.不确定度评定6.数据处理方法7.统计处理方法8.随机误差处理9.系统误差处理10.实验设计与方差分析11.实例与案例分析1. 误差分析基本概念本章介绍了误差分析的基本概念，包括误差的定义、分类以及误差的来源和影响因素。
误差分析是任何测量或实验的基础，通过对误差的分析，可以了解测量结果的可靠性和精度。
2. 误差传播本章讨论了误差传播的原理和方法。
误差传播是指在多个测量量进行组合时，误差如何传递到最终结果中。
通过了解误差传播的方法，可以更准确地评估多个测量结果的不确定度，并进行合理的处理。
3. 误差偏差本章主要介绍了误差偏差的概念和处理方法。
误差偏差是指测量结果相对于真实值的系统性偏离，它可以由各种因素引起，如仪器误差、环境条件等。
了解误差偏差的影响和处理方法对于提高测量结果的准确性至关重要。
4. 误差控制方法本章介绍了误差控制的方法和技巧。
误差控制是通过合理的设计和操作，减小和控制各种误差来源，从而提高测量结果的可靠性和精度。
通过本章的学习，读者可以了解到一些常用的误差控制方法和实践经验。
5. 不确定度评定本章主要介绍了不确定度评定的理论和方法。
不确定度是对测量结果的范围进行估计，用于描述测量结果的可信度。
本章重点介绍了不确定度的计算方法和评定准则，使读者能够正确评估测量结果的不确定度，并进行合理的处理和判断。
6. 数据处理方法本章介绍了常用的数据处理方法，包括数据平滑、拟合和插值等。
通过对数据的处理，可以使数据更加平滑、易于分析和解释。
《误差理论与数据处理》答案解读
《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1 •研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义为：(1) 正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2) 正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3) 正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2 •试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化(大小和符号都按一定规律变化) ；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3 •试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言，前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1-5测得某三角块的三个角度之和为180°00' 02” ,试求测量的绝对误差和相对误差解:绝对误差等于：180°00 02 -180°=2相对误差等于：二- = - 0.00000308641 ： 0.000031%180o 180 60 60 6480001-6 •在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm已知其最大绝对误差为1卩m,试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差=测得值—真值，即：△ L = L- L o 已知：L= 50,^ L= 1卩m= 0.001mm,测件的真实长度L 0= L—A L= 50 - 0.001 = 49.999 ( mm1-7 •用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa , 问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
误差理论与数据处理课后习题及答案
第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？%5.22%100%1002100%<=⨯=⨯=测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。
其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。
相对误差0.01%110111±=±=mm mI μ0.0082%11092±=±=mm mI μ%008.0150123±=±=mmm I μ123I I I <<第三种方法的测量精度最高2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm ）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。
若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。
20.001520.001620.001820.001520.00115x ++++=20.0015()mm =0.00025σ==正态分布 p=99%时，t 2.58=lim t δσ=±21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o2.58=± 0.0003()mm =±测量结果：lim (20.00150.0003)x X x mm δ=+=±2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa ）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。
误差理论与数据处理
误差理论与数据处理
1误差理论
误差(error)理论是科学测量中一项重要的理论，它描述了测量结
果与理论结果之间的差异，以及这种差异的大小和方向。
当一项测量
结果与理论相符时，这种差异就会减少到一定的程度，从而减少测量
不确定性，使测量结果更精确和准确。
误差分析也是一种重要的测量方法，它主要是根据实际测量结果
来估算实际测量数据与理论测量数据之间的差异，从而决定测量后的
数据处理方式[1]。
通过分析误差，可以有效估算测量数据的有效位数，进而使测量结果更加准确。
2数据处理
数据处理是控制实验测量的一个重要步骤，它可以改善实验测量
的精确程度。
通过数据处理，可以提供准确可靠的实验结果，这对于
建立精确的模型以及验证理论，都有着重要的意义。
数据处理有很多种方法，但最重要的一点是要确定准确的误差结果。
通常可以采用统计方法，如均值、标准差和变异系数，对实验数
据进行精确的数据分析，从而估算实验数据的有效位数和有效位数之
间的差值。
一旦变值较大，就可以采取一定的措施进行纠偏，使实验
数据趋于稳定，从而提高实验数据的准确性。
数据处理本身也可以用于处理和优化测量误差，从而提高测量精度。
这一过程通常包括：编辑测量误差数据，对某些超出预想范围的测量数据进行排除处理，将误差分布情况用图表展示出来，并从中分析出结论性结果。
综上所述，误差理论和数据处理在科学测量中起着非常重要的作用，准确的误差分析可以令实验结果更加有效可靠，而精确的数据处理也可以改善测量精度，可以提供准确的实验数据，为理论的验证和模型的建立提供有力支撑。
误差理论与数据处理
第2章 误差的基本性质与处理
第一节 随机误差
一、随机误差产生的原因
当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一 系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有 误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出 现后，不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体 而言，却明显具有某种统计规律。 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因 素构成，主要有以下几方面： ① 测量装置方面的因素 零部件变形及其不稳定 ② 环境方面的因素 ③ 人为方面的因素
测量环 境误差
测量方 法误差
测量人 员误差
测量设备误差
以固定形式复现标准量值的器具， 如标准电阻、标准量块、标准砝 码等等，他们本身体现的量值， 不可避免地存在误差。一般要求 标准器件的误差占总误差的 1/3～1/10。 测量装置在制造过程中由于设计、制 造、装配、检定等的不完善，以及在 使用过程中，由于元器件的老化、机 械部件磨损和疲劳等因素而使设备所 产生的误差。 测量仪器所 带附件和附 属工具所带 来的误差。
−∞ +∞
(2-4) (2-5)
其平均误差为： ρ 此外由 ∫− ρ f ( δ ) d δ
θ =
∫
+∞
−∞
| δ | f (δ ) d δ ≈
=
1 2
4 σ 5
(2-6)
2 σ 3
可解得或然误差为 ：
ρ = 0 . 6745 σ ≈
(2-7)
由式（2-2）可以推导出： ① 有 f ( ± δ ) > 0 , f (+δ ) = f (−δ ) 可推知分布具有对称性，即绝对值相 等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性； ② 当δ=0时有 f max (δ ) = f (0) ，即 f (±δ ) < f (0) ，可推知单峰性，即绝对值 小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性； ③ 虽然函数 f (δ ) 的存在区间是[-∞,+∞]，但实际上，随机误差δ只 是出现在一个有限的区间内，即[-kσ,+kσ],称为误差的有界性； n ④ 随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零： → ∞ lim n 这称为误差的补偿性。
误差理论与数据处理
ห้องสมุดไป่ตู้d1 d2
L2 L L1
第4节 最佳测量方案的确定
【解】测量中心距L有下列三种方法：
方法一 ：测量两轴直径 d1、d2 和外尺寸 L1，其函数式及误差为
d d L=L − 1 − 2 1 2 2
1 1 σL = 0.8 + 0.52 + 0.72 = 0.91µm 2 2
第4节 最佳测量方案的确定
当测量结果与多个测量因素有关时，采用 什么方法确定各个因素，才能使测量结果的 误差最小？
随机误差 考虑因素 系统误差 已定系统误差
采用修正消除
未定系统误差
第4节 最佳测量方案的确定
函数的标准差：
∂f ∂f ∂f 2 2 σy = σx1 + σx2 +L+ σxn2 ∂x1 ∂x2 ∂xn
第3节 误差分配
【解】计算体积V0 π D2 0
3.1416×202 ×50 =15708m 3 V0 = h0 = m 4 4
体积的绝对误差:
δV =V0 ×1%=15708mm3 ×1%=157.08mm3
一、按等影响分配原则分配误差 得到测量直径 D 与高度 h 的极限误差:
δD =
δV 1
第4节 最佳测量方案的确定
选择最佳函数误差公式原则： 选择最佳函数误差公式原则：
间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则 包含直接测量值最少的函数公式。 应选取包含直接测量值最少 包含直接测量值最少 不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同， 误差较小的直接测量值的函数公式。 则应选取误差较小的直接测量值 误差较小的直接测量值
三、验算调整后的测量极限误差
L2 L L1
第4节 最佳测量方案的确定
【解】测量中心距L有下列三种方法：
方法一 ：测量两轴直径 d1、d2 和外尺寸 L1，其函数式及误差为
d d L=L − 1 − 2 1 2 2
1 1 σL = 0.8 + 0.52 + 0.72 = 0.91µm 2 2
第4节 最佳测量方案的确定
当测量结果与多个测量因素有关时，采用 什么方法确定各个因素，才能使测量结果的 误差最小？
随机误差 考虑因素 系统误差 已定系统误差
采用修正消除
未定系统误差
第4节 最佳测量方案的确定
函数的标准差：
∂f ∂f ∂f 2 2 σy = σx1 + σx2 +L+ σxn2 ∂x1 ∂x2 ∂xn
第3节 误差分配
【解】计算体积V0 π D2 0
3.1416×202 ×50 =15708m 3 V0 = h0 = m 4 4
体积的绝对误差:
δV =V0 ×1%=15708mm3 ×1%=157.08mm3
一、按等影响分配原则分配误差 得到测量直径 D 与高度 h 的极限误差:
δD =
δV 1
第4节 最佳测量方案的确定
选择最佳函数误差公式原则： 选择最佳函数误差公式原则：
间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则 包含直接测量值最少的函数公式。 应选取包含直接测量值最少 包含直接测量值最少 不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同， 误差较小的直接测量值的函数公式。 则应选取误差较小的直接测量值 误差较小的直接测量值
三、验算调整后的测量极限误差
误差理论与数据处理课件(全)
个数K 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
+△ 频率K/n 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
（四）复杂规律变化的系统误差
（一）实验对比法 （二）残余误差观测法
（五）计算数据比较法
（一）从产生误差根源上消除系统误差 （二）用修正方法消除系统误差 （三）不变系统误差消除法 1。替代法 2。抵消发 3。交换法
一、粗大误差产生的原因 （1）测量人员的主观原因 （2）客观外界条件的原因
第一节：研究误差的意义 1、始终存在着误差 意义：
1）正确认识误差的性质，分析误差产生 的原因，以消除和减少误差。
2）正确处理测量和实验数据 3）正确组织实验过程
由于误差的存在，使测量数据之间产生矛 盾。
( )实际 180
( )理论 180
测量仪器：i角误差、2c误差 观测者：人的分辨力限制 外界条件：温度、气压、大气折光等
……
2.40~2.60 >2.60
和
个数K 40 34 31 25 20 16 …… 1 0 210
—△ 频率K/n 0.095 0.081 0.074 0.059 0.048 0.038
(4)( AT )1 ( A1)T
(5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。
(6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且：
A1 (diag (a11, a22,ann ))1 diag( 1 , 1 1 )
a11 a22 ann
（1）伴随矩阵法：
设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式，则由 n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵 的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。
误差理论及数据处理方法
误差理论及数据处理方法
随机误差是随机变动引起的测量值的波动性，它是由于测量仪器的精
度限制、环境的扰动和测量过程中人为的不确定性等因素导致的。
随机误
差可以通过多次重复测量来进行评估和控制。
数据处理方法是指对测量结果和数据进行分析和处理的一系列数学和
统计方法。
在数据处理中，常用的方法包括均值、标准差、标准误差、回
归分析、方差分析等。
均值是对一组测量结果进行描述和统计的一种方法，它可以表示这组
测量结果的中心位置。
均值的计算公式是将所有测量值相加并除以总个数。
标准差是对一组测量结果的离散程度进行评估的一种方法，它可以表
示这组测量结果的分散程度。
标准差的计算公式是对每个测量值与均值之
差的平方进行加总后再除以总个数，再开方。
标准误差是对均值的不确定性进行估计的一种方法，它可以表示对同
一组测量结果重复测量所得均值的波动程度。
标准误差的计算公式是将标
准差除以该组测量结果的总个数再开方。
回归分析是一种用于研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
通过
分析自变量（独立变量）和因变量（依赖变量）之间的关系，可以建立一
个回归方程，从而预测未知因变量的值。
方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的统计方法。
方差分析可以通过计算组间变异与组内变异比例的F值，来判断不同样本
均值之间是否存在显著性差异。
误差理论和数据处理方法在科学研究和实验中具有重要意义。
通过对误差进行合理评估，并使用合适的数据处理方法，可以提高测量结果和数据的准确性和可靠性，进而确保科学研究的可信度和可重复性。
第三章误差理论与数据处理测量误差的传递
第三章测量误差的传递在间接测量中，待求量通过间接测量的方程式y = f （x 1,x 2^ , x n ）获得。
通过测量获得量X i ,X 2，…,X n 的数值后，即可由上面的函数关系计算出待求量y 的数值。
那么测量数据的误差怎样作用于间接量y ，即给定测量数据X i ,X 2，…，X n 的测量误差，怎样求出所得间接量y 的误差值？对于更一般的情形，测量结果的误差是测量方法各环节的诸误差因素共同作用的结 果。
这些误差因素通过一定的关系作用于测量结果。
现研究怎样确定这一传递关系，即怎样由诸误差因素分量计算出测量的总误差。
研究测量误差的传递规律有重要意义，它不仅可直接用于已知系统误差的传递计算， 并且是建立不确定度合成规则的依据，因而是精度分析的基础①。
3.1 按定义计算测量误差现在按测量误差的定义给出测量结果的误差，这是研究误差传递关系的基本出发点。
若对量Y 用某种方法测得结果 y ,则按测量误差的定义，该数据的测量误差应为、y =y -Y （3-1） 设有如下测量方程y = f （X 1，X 2，X n ）式中y ――间接测量结果;X i ,X 2, , X n ——分别为各直接测得值。
直接量的测量数据 X 1,X 2/ ,X n 的测量误差分别为式中，X 1 , %,•••, X n 分别为相应量的实际值（真值）。
则间接测量结果的误差可写为y 二 y -丫 二 f X 1,X 2,,召 一 f X 1,X 2, ,X .二 f X 1X 1,X 2 %, ,X n X n - f X"?, X (3-2)上式给出了由测量数据的误差计算间接量 y 的误差的传递关系式，这一误差关系是 准确无误的。
直接按定义计算测量结果误差的方法在误差传递计算中经常使用，特别是在单独分 析某项误差因素对测量结果的影响时，若这一影响关系不便或不能化成简单的线性关系， 则这一方法更常使用。
因此直接按定义作误差传递计算的方法不能完全用下面所述的线二 X n - X nV =性化的误差传递方法代替。
误差理论与数据处理期末报告范文
误差理论与数据处理期末报告范文一、引言在科学实验和数据处理中，误差是一个不可避免的因素。
误差的存在会影响到数据的准确性和可靠性，因此正确理解误差是非常重要的。
误差理论作为一门独立的学科，主要研究在实验测量和数据处理中各种类型误差的产生、传递和处理的方法。
在本次报告中，我们将对误差理论的基本概念和数据处理方法进行介绍和分析。
二、误差理论的基本概念1. 误差的分类在实验测量和数据处理中，误差可以分为系统误差和随机误差两种基本类型。
系统误差是由某种固定原因引起的，通常具有一定的方向性和大小；而随机误差是由众多偶然因素造成的，其大小和方向是随机的，无法准确预测。
另外，在实际应用中还会遇到仪器误差、人为误差等其他类型的误差。
2. 误差的传递在实验测量过程中，误差会随着测量数据的传递而累积。
例如，测量仪器的精度、环境条件、操作者技术等因素都会对最终结果产生影响。
因此，在数据处理过程中需要考虑到误差的传递规律，采取相应的措施来减小误差的影响。
3. 误差的表示与估计误差通常通过误差限、标准差、置信度等指标来表示和估计。
误差限表示了测量结果的准确性，标准差表示了数据的离散程度，置信度则表示了对测量结果的信赖程度。
这些指标可以帮助我们更准确地评估测量数据的质量，从而做出科学合理的判断。
三、数据处理方法1. 数据整理在实验测量过程中，可能会出现各种原始数据，需要对其进行整理和筛选。
通常可以采用平均值、中值、众数等方法来处理数据，消除异常值和噪声。
2. 数据分析数据分析是对收集到的数据进行统计和推断的过程。
通过统计方法，可以得出数据的分布特征、相关性和趋势等信息，从而进行科学分析和判断。
3. 数据模型数据模型是描述数据之间关系和规律的数学模型。
通过建立数据模型，可以预测未来趋势、探索潜在规律、优化决策等。
常见的数据模型包括线性回归、非线性回归、时间序列分析等。
四、实例分析为了更好地理解误差理论与数据处理的原理和方法，我们通过一个实例来进行分析。
误差理论与数据处理第七章动态测试数据处理基本方法
误差理论与数据处理第七章动态测试数据处理基本方法第七章《动态测试数据处理基本方法》是《误差理论与数据处理》一书中的重要章节。
本章主要介绍了动态测试数据处理的基本方法，包括对动态测试数据进行平均处理、标准差处理、最小二乘法拟合以及误差传递等内容。
首先，动态测试数据处理一般需要进行数据平均处理，通过多次测试得到的数据进行求和并取平均值，以提高测试结果的准确度和可信度。
对于多次测试的数据，可以使用算术平均法、几何平均法或加权平均法等方法进行平均处理。
其次，动态测试数据的标准差处理是对数据的离散程度进行衡量的一种方法。
标准差可以反映数据的稳定性和可靠性，通过计算数据的标准差可以判断数据的散布范围。
标准差越小表示数据集中度越高，数据的可信度也越高。
进一步，最小二乘法拟合是一种常用的数据处理方法，可以通过对实际测量数据进行拟合，得到一条或多条曲线，以求解相关物理参数或者确定拟合曲线的函数表达式。
最小二乘法拟合可以将实际测量数据与拟合曲线之间的差异最小化，得到最优解。
最后，误差传递是动态测试数据处理中一个重要的概念。
在实际测试中，各种测量仪器的误差是不可避免的，这些误差会传递到最终的测试结果中。
误差传递原理可以通过误差传递公式来描述，同时也需要考虑误差的传递规律和误差的传递方式。
总之，动态测试数据处理是现代科学实验中必不可少的一个环节。
通过对动态测试数据进行平均处理、标准差处理、最小二乘法拟合以及误差
传递等基本方法的应用，可以提高数据的准确性和可信度，为科学实验的研究结果提供有力支撑。
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《误差理论与数据处理》一、填空题1. 测量误差按性质分为误差、误差和误差，相应的处理手段为、和。
2. 随机误差的统计特性为、、和。
3. 用测角仪测得某矩形的四个角内角和为360°00’04”，则测量的绝对误差为，相对误差为。
4. 在实际测量中通常以被测量的、、作为约定真值。
5. 测量结果的重复性条件包括、、、、。
6. 一个标称值为5g的砝码，经高一等标准砝码检定，知其误差为0.1mg，问该砝码的实际质量是。
7. 置信度是表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数，可用和来表示。
8. 指针式仪表的准确度等级是根据误差划分的。
9. 对某电阻进行无系差等精度重复测量，所得测量列的平均值为100.2Ω，标准偏差为0.2Ω，测量次数15次，则平均值的标准差为Ω，当置信因子k=3时，测量结果的置信区间为。
10. 在等精度重复测量中，测量列的最佳可信赖值是。
11. 替代法的作用是，特点是。
12. 对某电压做无系统误差等精度独立测量，测量值服从正态分布。
已知被测电压的真值U0=79.83V，标准差σ(U)=0.02V，按99%（置信因子k=2.58）可能性估计测量值出现的范围：。
13. R1=150Ω，∆R1=±0.75Ω；R2=100Ω，∆R2=±0.4Ω，则两个电阻并联后的绝对误差为。
14. 用两种方法测量长度为50mm的被测件，分别测得50.005mm，50.003mm。
则第种方法测量精度高。
15. 用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在220V 附近的误差为5V，则被测电压的修正值为，修正后的测量结果为。
16. 检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差均小于2V，问这只电压表是否合格？17. 电工仪表的准确度等级按分级，计算公式为。
18. 二等活塞压力计测量压力值为100.2Pa，该测量点用高一等级的额压力计测得值为100.5Pa，则此二等活塞压力计在该测量点的测量误差为。
19. 误差计算时，随机误差与标准差之比值称为，常用表示，当测量列测量次数较少时，该值按分布来计算。
20. 发现等精度测量列存在系统误差的常用方法有、、。
21. 不变系统误差的消除方法有、、。
22. 动态测量数据的处理方法包括、、。
二、是非题（）1. 由于误差是测量结果减去被测量的真值，所以误差是个准确值。
（）2. 测量不确定度是说明测量分散性的参数。
（）3. 标准不确定度是以测量误差来表示的。
（）4. 误差与不确定度是同一概念，两种说法。
（）5. 半周期法能消除周期性系统误差。
（）6. A类评定的不确定度对应于随机误差。
（）7. A类不确定度的评定方法为统计方法。
（）8. B类不确定度的评定方法为非统计方法。
（）9. 测量不确定度是客观存在，不以人的认识程度而改变。
（）10. 标准不确定度是以标准偏差来表示的测量不确定度。
（）11. 数学模型不是唯一的，如果采用不同的测量方法和不同的测量程序，就可能有不同的数学模型。
（）12. 在标准不确定度A类评定中，极差法与贝塞尔法计算相比较，得到不确定度的自由度提高了，可靠性也有所提高了。
（）13. 扩展不确定度U只需合成标准不确定度U C表示。
（）14. 扩展不确定度U与U P含义相同。
（）15. 方差的正平方根是标准偏差。
（）16. 极差法是一种简化了的以统计方法为基础，以正态分布为前提的一种评定方法。
（）17. 测量误差表明被测量值的分散性。
（）18. 不确定度的评定方法“A”类、“B”类是与过去的“随机误差”与“系统误差”的分类相对应的。
（）19. 以标准差表示的不确定度称为扩展不确定度。
（）20. A类不确定度的评定的可靠性程度依赖于观察次数n充分多。
（）21. 用代数法与未修正测量结果相加，以补偿系统误差的值称为修正值。
（）22. 实验标准偏差就是测量结果的算术平均值。
（）23. 以标准差的倍数表示的不确定度称为扩展不确定度。
（）24. 测量不确定度一般来源于随机性或模糊性，主要原因是条件不充分和事物本身概念不清。
（）25. 对多次测量的数据取算术平均值，就可以减小随机误差的影响。
（）26. 在间接测量中，只要直接测量的相对误差小，间接测量的误差就一定小。
（）27. 多次测量结果的权与测量次数成正比，与相应的标准差成反比。
（）28. 多次测量结果的权与测量次数成正比，与相应的标准差的平方成反比。
（）29. 已定系统误差指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差，按方和根法合成。
（）30. 标准差越小，测量精密度越高。
（）31. 2个等精度测量列，标准差相同。
（）32. 在判断含有系统误差时，违反“准则”时就可以直接判定。
（）33. 在判断含有系统误差时，遵守“准则”时，得出“不含系统误差”的结论。
（）34. 误差传播系数具有误差单位转换和放大缩小功能。
（）35. 回归平方和和反映总变差中由于x和y的线性关系而引起y变化的部分误差。
（）36. 残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残余误差，即其他因素对y变差的影响。
（）37. 正规方程指误差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组。
（）38. 误差绝对值与绝对误差相等。
（）39. 等精度测量列的标准差与任一单次测得值的随机误差相等。
（）40. 正规方程指测量误差方程。
三、选择题1. 正确的A类不确定度评定方法是（）A. 对观测列进行统计分析方法B. 测量误差分析法C. 修正值法D. 以上方法都不对2. 测量误差是（）A. 测量结果减去参考值B. 测量结果减去修正值C. 测量结果除以约定真值D. 测量结果减去被测量的真值3. 测量误差有以下特征（）A. 是无正负号的参数B. 有正号、负号的量值C. 是表明测量结果的偏离真值D. 是表明被测量值得分散性4. 自由度是表明了标准不确定度的可靠程度的一个量，所以（）A. 越大越可靠B. 越小越可靠C. 越稳定越可靠D. 以上说法均不成立5. A类不确定度的评定是用（）表征A. 估计的标准差B. 实验标准差C. 随机误差D. 测量误差6. 测量结果减去（）是测量误差A. 参考值B. 修正值C. 被测量的真值D. 约定值7. 测量不确定度有以下特征（）A. 是无正负号的参数B. 是有正负号的量值C. 是表明测量结果的偏离真值D. 是表明被测量值得分散性8. 测量不确定度是一个（）概念A. 定量B. 定值C. 定性D. 精密度9. 方差是来表示测量值的可信度或品质高低的特征量，即描述随机变量的（）A. 分散性B. 离散性C. 真实性D. 正确性10. 测量不确定度是表示测量结果的（）A. 误差B. 分散性C. 精度D. 分布区间的半宽11. 某次测量中，测量次数为7，求实验标准差时用贝塞尔公式计算，自由度为（）A. 6B. 3C. 5.3D. 4.512. 正态分布是重复条件或复现条件下多次测量的（）的分布A. 矩形B. t分布C. 投影D. 算术平均值13. 不确定度是恒为（）A. 正B. 负C. 常数D. 零14. 下列哪些是导致不确定度的来源的（）A. 被测量的定义不完整B. 测量人员不认真C. 测量方法和测量程序的近似和假设D. 测量效率不高15. B类评定是用（）表征A. 随机误差B. 置信概率C. 估计的标准差D. 实验标准差16. 输入量相关时不确定度的合成中，相关系数的求法有（）A. 统计法B. 物理（实验）判断法C. 公式法D. 估计法17. 扩展不确定度u由（）不确定度乘以包含因子K得到。
A. 仪器B. 相对C. 合成D. 合成标准18. B类不确定度的评定方法中，已知置信区间半宽a和对应于置信水平包含因子K，则B 类标准不确定度u(x)为（）A. a·kB. k/aC. a/kD. a+k19. 使用最小二乘法时，偏差的平方和最小意味着？？只限于整个实验数据的（）A. 不相关B. 偏离度大C. 偏离度小D. 以上3个都不对20. 下面那个参数可以反映测试系统的随机误差的大小（）A. 灵敏度B. 重复性C. 滞后量D. 线性度21. 数字式仪器在正负一个单位内不能分辨的误差属于（）A. 均匀分布的随机误差B. 均匀分布的系统误差C. 反正弦分布的随机误差D. 三角分布的随机误差22. 用代替法检定标准电阻时，测量误差属于（）A. 均匀分布的随机误差B. 均匀分布的系统误差C. 反正弦分布的随机误差D. 三角分布的随机误差23. 电子测量中谐振的振幅误差属于（）A. 均匀分布的随机误差B. 均匀分布的系统误差C. 反正弦分布的随机误差D. 三角分布的随机误差24. 阿卑-赫梅特准则能有效地发现（）误差A. 随机误差B. 系统误差C. 粗大误差D. 周期性的系统误差E. 线性系统误差25. 马利科夫准则能有效地发现（）误差A. 随机误差B. 系统误差C. 粗大误差D. 周期性的系统误差E. 线性系统误差26. 线性系统误差的消除方法（）A. 对称法B. 代替法C. 抵消法D. 交换法27. 周期性系统误差的消除方法（）A. 对称法B. 代替法C. 抵消法D. 交换法E. 半周期法28. 如果测量次数较少时，判别粗大误差应选用（）A. 莱以特准则B. 狄克松准则C. 罗曼若夫斯基准则D. 格罗布斯准则29. 如果测量次数较多时，判别粗大误差应选用（）A. 莱以特准则B. 狄克松准则C. 罗曼若夫斯基准则D. 格罗布斯准则30. 检定2.5级满量程100V的电压表，发现50V刻度点偏差最大，为2V，则该电压表（）A. 合格B. 不合格C. 需要继续调准或检查一、填空题1. 系统，粗大，随机，消除或减小，剔除，统计的手段2. 对称性，单峰性，有界性，抵偿性3. 04”，3.1×10-64. 高一等级精度的标准给出值，最佳估计值，参考值5. 测量人员，测量仪器，测量方法，测量材料，测量环境6. 5g-0.1mg7. 标准差，极限误差8. 引用9. σx̅=√n =√15，√1510. 平均值11. 消除恒定系统误差，不改变测量条件12. 79.83±0.02×2.5813. ðRðR1=R22(R1+R2)2=1002(150+100)2=0.16，ðRðR2=R12(R1+R2)2=1502(150+100)2=0.36R=R1×R2/(R1+R2)，∆R=ðRðR1∆R1+ðRðR2∆R2=0.16×0.75+0.36×0.4=±0.26414. 二15. -5V，226+（-5）=221V16. 合格17. 引用误差，引用误差=最大绝对误差/量程18. 100.2-100.5= -0.3Pa19. 置信系数，t，t分布或学生氏分布20. 实验对比法，残余误差观察法，残余误差校核法（阿卑-赫梅特准则，马利科夫准则），不同公式计算标准差比较法21. 代替法，抵消法，交换法22. 参数估计，相关分析，谱分析二、是非题1-5 × × × ×√；6-10 √ √ √ √ √；11-15 √ ×× √ √；16-20 √ × × × √；21-25 √ × √ × √；26-30 × × √ × √；31-35 × √ × √ √；36-40 √ √ × × ×三、选择题1-5 A D BC A B；6-10 C D A A B；11-15 A D C B C；16-20 C D C C B；21-25 A D C D E；26-30 A E C A A。