平面向量问题的解题策略

解决平面向量问题“五技巧”平而向量具有“数"和“形”的“双重身份S是数形结合的典范.准确把握平面向量的概念与运算，正确理解向量的几何意义，充分发挥图形的宜观作用，挖掘“式”和“形” 中隐含的几何关系和数虽关系，这样才能较好地解决平面向量问题.在熟练掌握解决平面向量问题的通性通法的基础上，还要体味如何巧解平面向量问题，下而的“五巧"要尽量掌握.一、巧用向量中点公式在平而内，设点C为线段的中点，O为任意一点，则0C = -（OA + OB）,2例1 （20H年高考上海卷•文18）设是平面上给立的4个不同点，则使顽 + 观+ 可+呪无=0成立的点M的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 4分析：由条件得巫+宓=一（亟+M£）,联想向量中点公式进行简化得MC = -MD（其中C为线段A%的中点，D为线段人人的中点），进而得到M为CD的中点，问题即可获解.解：设C为线段AA2的中点，D为线段£人的中点，由条件得EPA7C =-A7D,所以向量就与雨万是相反向量，且共用起点M,所以M为CD的中点，所以点M的个数是唯一的，选B.点评：利用向量中点公式对条件向量等式进行简化，化归为熟知的问题，简捷获解.【牛刀小试】（赣州市2011届高三摸底考试）在长方形ABCD中，AB = 芈，JT 一一_______AD =苧。

必B的中点，若P是线段"卜•动点，则（吩叭加的最小值是(解：由题意得I OD\=yJ\OA\-+\ADe =1 .因为。

为AB的中点，所以卫i + p§ = 2 P6,设I ra 1= A (0<x<l),贝|J1TOI=1-X, (PA + PB) PD=2PdPD=21POI・IPDIcosl80 =_2x(l-x) = 2(x--r-- >--，故所求最小值为一丄•)2 2 2 2二、巧用“丄b ^ab = 0例2（2011年高考上海卷•理11）在正三角形ABC中，D是SC上的一点・AB = 3. BD = \,则丽丽= ______________________ .分析：欲求而•而，而\AD\. cosZBAD虽然可以利用条件求出，但是显得幣琐：注意到ZABC = 60 . BD = 1, AB = 3,作DE丄佔垂足为E,则可将刁^•/!万转化为帀•入E,可快速获解.解：如图，过点D作DE丄AB垂足为E ,则丽习万=丽•（盘+丽）=75•盘+乔丽=丽•莊=31正I= 3（3—丄IBD1）= —.2 2点评：利用“丄bOad = 0结合问题的特征（数量、图形），数形结合，目将要求解的标进行转化，利于沟通条件而快捷获解•【牛刀小试】（2011年高考湖南卷•理14）在边长为1的正三ABC中，设貳=2丽，刃=3京，则丽•免= ____________________________________________ .（解：依题意D为BC的中点，AD丄BC，所以丽•短=而（荒+£Z）= 而祝+而・£^ = 而迂=I^MC^ICOSI50 =—x-!-x(-^) = -i.)2 3 24三、巧用平而内三点共线的充要条件 平而内A,P.B 三点共线O 丽=久而(AeR ) O 对平而内任意一点0,使得 OP = aOA + /3OB (其中a*0€R, a +目= 1).例3 (2011屈北京市东直门学校第二次月考)已知A,B,C 是平面上不共线的三点，0 为AABC 的外心，D 为AB 的中点，动点P 满定丽= *[(2-2/1)0万+ (1 +2A )龙](AeR),则点P 的轨迹一宦过△ABC 的()A •内心 B.外心 C-重心 D.垂心分析：审视条件向量等式，有一(2-2/1) +丄(1 + 22) = 1・问题即可获解.解：因为 OP = -(2-2A)Ob + -(i + 2A}OC , -(2-2Z) + -(l + 2A) = l -所以 PCD 三点共线.又D 为AB 的中点，所以点P 的轨迹一崔过AABC 的重心，选C.点评：利用平而内三点共线的充要条件快捷揭去条件向量等式的“包装”露出PCD 三点共线这个“内核J 问题迎刃而解•【牛刀小试】(哈尔滨市20H 届高三第二次月考试题〉如图，在A4BC 中，AH±BC ? H . M 为AH 的中点，若 AM =AAB + ^/AC > 则 2 + //= _________ ・(解：因为M 为AH 的中点，B 、H 、C 三点共线，所以2AM =AH=a~^ + pAC, a + p = \.所以 AM = —AB + —,所以.兄+ "=丄(0 + 0)=丄)2 2 2 2四、巧用常用结论(1)三角形四心的向量表示：在△ABC 中，角A 乩C 所对的边分别为ubc ,①0为 外心O 0^ =OB~ =oc\ ②G 为重心OGA + CB + ^ = 0：③丹为垂心OHA'HB = HB HC = 7IC HA,④/ 为内心 O “•M + A 丽+ c ・7S = 0 . (2) Af3 AC • W +上二(简化为AD)所在的宜线一定通过AABC 的内心(即AD 为ZBAC 的角平 \AB\ \AC\一 一 AS 分线)：(3) AB + AC 所在的直线一Ji 通过AABC 的重心：(4) = ---------- + 一I AB I cos B I AC\ cos C(简化为丽，可证得丽•茕=0)所在直线一定通过AABC 的垂心.例4 (上海市浦东新区2011届高三质量抽测)点O 在AAbC 所在平而内，给出下列关 系式：(1)丙+ 0歹+况=0；(2)刃-0鸟=西-况=况刃：(3)丙(4£--4£-) IACI \AB\_ _■D / . __ _ . .=丽・( —— ) = 0： (4) (^ + dB) AB = (o5 + OC) BC = 0.则点o 依次ISCI \BA\为AABC 的{ ) A-内心、外心、重心、垂心B.重心、外心、内心、垂心 C,重心、垂心、内心、外心 D.外心、内心、垂心、重心分析：根据熟知的结论可排除选项A 、B 、D,选C ・ACA S W7c ___解：（1）显然0为AABC 的重心：（2）显然。

探索探索与与研研究究图1B (-1,0)，C (1,0)，设x ,3-y )，PB =(-1-+PC )=2x 2-23y +2直线BC 为x 轴、.求得若∠AOB =150°，OA +n OB ，则3m -n 33θ)，其中0°≤θ≤150°.设A （1,0），则θ=2sin æèöøθ+π3，2.故选C ．以圆心为原点，两.设将问题我们无法快速求将目将问题转化为函数求得平面向量的最θ，向量c =æèöøcos 2θ2⋅，cos θ=2x -1，图2探索探索与与研研究究可得|c |2=[xa +(1-x )b]2=x 2+2x (1-x )(2x -1)+(1-x )2=-4x 3+8x 2-4x +1．令f (x )=-4x 3+8x 2-4x +1,x ∈[0,1]，则f ′(x )=-4(3x -1)(x -1)，由f ′(x )=0，得x =13或1．当0≤x ＜13时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减；当13＜x ＜1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增.所以f (x )min =f æèöø13=1127，故|c |min=．通过换元，将|c |2的表达式转化为关于x 的一元三次函数式.再对函数求导，根据导函数与单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得|c |min .三、利用向量的几何意义向量兼有数与形的“双重身份”，是联系代数与几何的纽带.在求解平面向量最值问题时，可根据平面向量的几何意义，如加法的三角形法则、平行四边形法则，向量的模即为向量所在线段的长，两个向量的数量积即为一个向量的模与其在另一个向量所在方向上的投影的乘积，来构造几何图形，进而根据图形的几何特征与性质求最值．例4.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则 AP ∙AB 的取值范围是（）.A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)图3解:过C 作CC ′⊥AB ，设垂足为C ′，过F 作FF ′⊥AB ，设垂足为F ′，如图3所示．因为|| AB =2，则 AP 在 AB 方向上的投影为||AP cos ∠PAB ，当P 与C 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最大值为|||| AC ′=3，当P 与F 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最小值为-||||F ′A =-1，故-1＜|| AP cos ∠PAB ＜3，由向量数量积的几何意义可知， AP ⋅ AB 即为AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，即 AP ⋅AB =|| AB ⋅||AP cos ∠PAB ，所以 AP ∙AB 的取值范围是(-2,6).故选A.解答本题，需灵活运用向量数量积的几何意义：AP ∙ AB 即为 AB 的模与 AP 在AB 方向上的投影的乘积，即 AP ∙ AB =|| AB ⋅|| AP cos ∠PAB .再添加辅助线，根据正六边形的结构特征，求得||AP cos ∠PAB 的取值范围，即可解题.四、利用等和线的性质等和线有如下性质：①当P 0在直线AB 上，且OP 垂直于等和线时，若 OP =k OP 0=x OA +yOB (k ,x ,y ∈R)，则x +y =k .根据相似三角形的性质可知等和线之间的距离之比为|k |=|| OP|| OP 0（如图4）．②当等和线恰为直线AB 时，k =1；③当等和线在点O 与直线AB 之间时，k ∈(0,1)；④当直线AB 在点O 与等和线之间时，k ∈(1,+∞)；⑤当等和线经过点O 时，k =0；⑥当两等和线关于点O 对称时，对应的两个定值k 互为相反数.利用等和线的性质求解最值问题的一般步骤为：（1）找到等和线为1的情形；（2）平移等和线到可行域内；（3）利用平面几何知识求出最值．例5.在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上.若 AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）.A.3B.2C.2D.25图5解：如图5，设BD 与圆的相切点为P 1，则点A 到BD 的距离等于|P 1C |．当P 在P 1处时，λ+μ=1；当P 在P 1关于点C 对称的点P 2处时，λ+μ最大，此时(λ+μ)max =|P 1P 2|+|P 1C ||P 1C |=3．故选A ．平面向量OP 满足： OP =λ OA +μ OB (λ,μ∈R)，则点P 在直线AB上或在平行于AB 的直线上，可知图449一一一一一一一一一一一一一一一一一一λ+μ=k （定值），此时直线AB 及平行于AB 的直线为等和线，即可根据等和线的性质求得最值.五、利用极化恒等式极化恒等式：a ⋅b =14[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时，可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则，将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题，利用极化恒等式求解.例6.如图6，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ，AD ∙ AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ∙DN 的最小值为．图6解：由 AD ∙ AB =-32，得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B=λ×6×3æèöø-12=-32，解得λ=16．分别过D ，A 作BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，由极化恒等式得，DM ∙ DN =||DQ 2-||QM 2=|| DQ 2-æèöø122≥|| DE 2-æèöø122=|| AF 2-æèöø122=132．一般地，若在三角形ABC 中，M 为BD 的中点，由极化恒等式可得： AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2；在平行四边形ABCD 中， AB ∙ AD =14(| AC |2-| BD |2)，这样就将向量的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解答本题，需先找到定点，再根据动点的变化情况求最值可见，求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求，建立合适的平面直角坐标系和关系式，灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.（作者单位：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学）探索探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有：特殊值法、放缩法、中间值法、基本不等式法等.在解题时，若能选用恰当的方法，就能达到事半功倍的效果.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.一、利用重要不等式在比较函数式的大小时，可根据已有的经验和不等式结论来进行比较，这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有：（1）基本不等式及其变形式：若ab >0,a 、b >0，则a +b ≥2ab 、21a +1b≤ab ≤a +b 2≤，当且仅当a =b 时等号成立；（2）切线不等式：e x +1、ln x ≤x -1；（3）柯西不等式：a ,b ,x ,y ∈R ，()a2+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2，(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2；等等.例1.设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln 0.9，请比较a ，b ，c的大小.解：由于b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109,令x =-0.1,由切线不等式：e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，可得e -0.1>-0.1+1=0.9,则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a <b ，令x =109,由切线不等式：e x≥x +1，得：ln 109<109-1=19,即c <b ，而e 0.1>0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,由重要不等式：当x >1时，恒有ln x <12(x -1x )成立，可知-ln 0.9=ln 109<12(109-910)=19180<0.11，50。

掌握初中数学中的平面向量解题技巧平面向量是初中数学中的一个重要内容，解题技巧的掌握对于学生来说显得尤为关键。

在本文中，我们将分享一些帮助学生掌握初中数学中平面向量解题技巧的方法。

一、平面向量的定义和基本性质平面向量是一个有大小和方向的有序数对，通常表示为箭头。

在平面向量的研究中，我们需要关注以下几个关键概念：1. 向量的表示方法：向量可以使用坐标表示法、分解表示法或单位向量表示法进行表示。

每种表示方法都有其特定的应用场景和计算思路。

2. 向量的加法与减法：向量的加法与减法规律是平面向量的基本性质。

通过理解与运用这些规律，可以简化题目的计算过程。

3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法包括正数乘法和零向量的乘法。

这些操作能够对向量的大小和方向产生影响，需要注意运算法则。

二、平面向量的应用领域平面向量解题技巧在初中数学中广泛应用于以下几个领域：1. 向量的平行与垂直关系：通过向量的点积和叉积，可以判断两个向量之间的平行关系或垂直关系。

这种技巧在解决几何问题时尤为常见。

2. 向量的共线与共面关系：通过向量的线性运算和共面性质，可以判断多个向量之间的共线关系或共面关系。

这种技巧在解决多个向量同时出现的问题时非常有效。

3. 向量的位移与坐标计算：通过向量的位移计算和坐标运算，可以求解物体在平面上的运动问题。

这种技巧在解决位移、速度和加速度等物理问题时被广泛应用。

三、平面向量解题技巧的实例分析为了更好地理解和应用平面向量解题技巧，以下是几个实际问题的解析：1. 平面向量的加法与减法：已知向量A和向量B的坐标分别为(A1,A2)和(B1,B2)，则向量A加向量B的结果为(A1+B1, A2+B2)。

根据这个规律，我们可以解决诸如平行四边形对角线相等问题等。

2. 平面向量垂直关系的判断：已知向量A的坐标为(A1, A2)，如果A1×A2=0，则向量A与坐标轴正方向垂直。

这个技巧常在解决两条线段是否垂直或平行的问题时使用。

高考中平面向量的问题与求解策略一、平面向量数量积性质及应用平量向量的数量积是平面向量的核心内容，同时也是高考考查的热点．现例举其应用． 1．求解两向量垂直的问题判断两向量垂直的依据：①若a 与b 为非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=；②设非零向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔⋅+⋅=．例1：已知(cos , sin )a αα=，(cos , sin )b ββ=，求证：a b +与a b -互相垂直． 解析：∵22222222()()(cos sin )(cos sin )110a b a b a b a b ααββ+⋅-=-=-=+-+=-=； ∴a b +与a b -互相垂直．■2．求解向量长度问题求向量的长度的依据：①22a a =； ②设(, )a x y =，则2a x =+例2：已知向量(2, 2)a =-，(5, )b k =，若a b +不超过5，则k 的取值范围是____________． 解析：∵2222228252(102)413a b a b a b k k k k +=++⋅=+++-+=++；∴由题意可得：2241325412062k k k k k ++≤⇒+-≤⇒-≤≤； ∴k 的取值范围是[6, 2]-．■3．求解两向量的夹角问题求两非零向量a 与b 的夹角θ的依据：①cos a b a bθ⋅=⋅； ②设非零向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，则11cos (x y θ=+例3：已知两个单位向量a 与b 的夹角为120︒，若2c a b =-，3d b a =-，试求c 与d 的夹角的余弦值．解析：由题意可得：1a b ==，且a 与b 的夹角为120︒；∴1cos1202a b a b ⋅=⋅︒=-；∵22222(2)447c c a b a a b b ==-=-⋅+=，∴7c =；同理可得：13d =； 而2217(2)(3)7322c d a b b a a b b a ⋅=-⋅-=⋅--=-；设θ是c 与d 的夹角，则cosθ==故c 与d 的夹角的余弦值是 4．求解函数的最值问题由两向量数量积的定义可得不等式：a b a b ⋅≤⋅．运用它可以求一些函数的最值．例4：求函数3y x =-+解析：原函数可变为：1333y x =-+⨯；设1()33f x x =⨯∵22(3)10x +=，∴构造向量：1(, 1)3a =，(3, 10b x =；由a b a b ⋅≤⋅，可得：110333x ⨯≤=；从而 101333y ≤-+=133x x =⇒=时，max 13y =．■（注意：两个向量方向相同时取等号）引申题：引到空间向量，威力亦惊人！例5 设a b c x y z 、、、、、均是正数且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++____________．解析：设(, , )OA a b c =，(, , )OB x y z =；∵OA OB OA OB ⋅≥⋅，∴ax by cz ++；20≥，从而有：左边＝右边；即两个向量方向相同；∴OA 与OB 同向，即有：a b c a b cx y z x y z ++===++；又∵222222201402a b c ax by cz ax by cz x y z x y z x y z ++========++，∴12a b c x y z ++=++．■例6 设x y z R ∈、、，且满足2221x y z ++=，23x y z ++=x y z ++=____________． 解析：设(1, 2, 3)OA =，(, , )OB x y z =；∵OA OB OA OB ⋅≥⋅，∴12323x y z x y z ⨯+⨯+⨯=++；，左右相等，可知：OA 与OB 同向，即有：123x y z==；于是，设123x y zk ===，可得：, 2, 3x k y k z k ===，代入可得：49k k k k ++==；故236x y z k k k k ++=++==例7 已知a b c R ∈、、，236a b c ++=，则22249a b c ++的最小值是____________． 解析：设(1, 1, 1)OA =，(, 2, 3)OB a b c =；∵OA OB OA OB ⋅≥⋅，∴1121323a b c a b c ⨯+⨯+⨯=++；3=，从而有：2224912a b c ++≥；当且仅当OA 与OB 同向时，取最小值12．■二、处理向量问题的常规策略由于向量集形数于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，故解决向量问题时应具有多种意识． 1．意识一：利用定义求解定义法．．．是解决相关问题的最基本的方法．对向量来说，知道了“模．”和“夹角．．”，内积．．就知道了． 例8 已知平面上三点A B C 、、满足3AB =，4BC =，5CA =，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=______． 解析：由题意可知：A B C 、、三点构成直角三角形．于是，根据内积定义可得：cos , 34cos900AB BC AB BC AB BC ⋅=⋅<>=⨯⨯︒=；4cos , 45()165BC CA BC CA BC CA ⋅=⋅<>=⨯⨯-=-；3cos , 35()95CA AB CA AB CA AB ⋅=⋅<>=⨯⨯-=-；∴25AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=-．另解：由于0AB BC CA ++=，平方可得：22()(0)0AB BC CA ++==；左边展开得：2222()0AB BC CA AB BC BC CA CA AB +++⋅+⋅+⋅=；∴2222222()()(345)50AB BC BC CA CA AB AB BC CA ⋅+⋅+⋅=-++=-++=-； ∴25AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=-．■2．意识二：利用基底求解 所谓基底法．．．就是指利用平面向量基本定理，将所求的两个向量．．．．．．．转化到题中已知的两个不共线向量．．．．．．．．．．来求解．例9 如图，矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值是________． 解析：这两个向量的起点不共点，不能直接得用定义；∴选垂直的两个向量AB 与AD 做基底． 设DF xAB =，则(1)CF x AB =-；∴2()()2AB AFAB AD DF AB AD xABAB AD xAB x ⋅=⋅+=⋅+=⋅+=； 从而，由题意可得：2x x =⇒； ∴2()()()[(1)]AE BF AB BE BC CF AB BE BC AB ⋅=+⋅+=+⋅+- 22122121()[(1)](1)(1)24222AB BC BC AB AB BC =+⋅+-=-+=⨯+⨯=例10 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是________．解析：这两个向量共起点，模知但夹角未知，亦不能直接求值；考虑图形特点，选它们为基底，利用已知的内积来求值． 由题意可得：221331()()()()()()44162AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB AD AB AB AD ⋅=+⋅+=+⋅-=--⋅1251222AB AD =--⋅=；∴22AB AD ⋅=．■例11 已知点G 是斜ABC ∆的重心，且0AG BG ⋅=，11tan tan tan A B Cλ+=，则实数λ的值为________． 解析：因为是填空题的压轴题，所以比较综合，先进行变式．设ABC ∆中，A B C 、、所对的边分别为a b c 、、；则tan tan sin cos cos sin sin()()tan tan cos sin sin cos sin sin C C C A B C A B A B C A B C A B λ+=+=+=； 在ABC ∆中，由sin()sin A B C +=以及正、余弦定理得：222222cos c c ab C a b c λ==⋅+-，（*）． 选三角形的边向量为基底；再利用重心的性质；则有：23AG AD =，23BG BE =，由0AG BG ⋅=，知0AD BE ⋅=；即有：11()()022AB AC BA BC +⋅+=，整理得：20AB AB BC AC BA AC BC -+⋅+⋅+⋅=；即有：2()0AB AB BC CA AC BC -+⋅++⋅=，即有：220AB AC BC -+⋅=，即22cos 0c ba C -+=； 由余弦定理得：2225a b c +=；代入（*）式中可得：12λ=．■例12 如图，在ABC ∆中，已知3BAC π∠=，2AB =，3AC =，2DC BD =，3AE ED =，则BE =________．解析：显然，已知AB AC 、的长，选 AB AC 、为基底比较恰当． 34BE BA AE AB AD =+=-+，而13AD AB BD AB BC =+=+，BC AC AB =-；从而2222111111113()2424416416BE AB AC BE AB AC AB AC AB AC =-+⇒=-+=+-⋅=；Fy BB∴13BE =．■ 例13 在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB AD 、的长分别为2、1；若M N 、分别是边BC CD 、上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是________．（2012年上海市高考数学理科第12题）解析：选取基底，如图，设AB a =，AD b =，则21cos13a b π⋅=⨯⨯=；24a =，21b =；再由题意可知：存在λ(01)λ≤≤，使得：BM b λ=，CN a λ=-，于是有：()()()()AM AN a BM a b CN a b a b a λλ⋅=+⋅++=+⋅+-22222(1)(1)25(1)6a b a b λλλλλλλ=-+++-⋅=--+=-++；而01λ≤≤；故AM AN ⋅的取值范围是[2, 5]．■3．意识三：利用坐标求解所谓坐标法就是建立适当的直角坐标系，将向量用坐标的形式表示出来，用函数与方程的思想求解． 事实上，基底法的几道例题都可以用坐标法处理，坐标法有时更能解决较为复杂的问题．例14 在直角ABC ∆中，点D是斜边AB 的中点，点P 是线段CD 222PA PB PC +=解析：题设中有直角，可置于直角坐标系中，如右图所示：设(, 0)A a 、(0, )B b ，0a >、0b >，则(, )22a b D 、(, )44a bP ；∴22222()()441616a b a b PC =+=+；222229()()441616a b a b PB b =+-=+； 222229()()441616a b a b PA a =-+=+；∴2222222229910()10161616161616a b a b a bPA PB PC +=+++=+=；∴22210PA PB PC+=．■例15 如图，在等腰ABC ∆中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是AB AC 、上的点，且AE mAB =，AF nAC =，其中(0, 1)m n ∈、， 若EF BC 、的中点分别为M N 、，并且41m n +=，则MN 的最小值 是________． 解析：本题可用基底法．．．解，考虑到有等腰三角形，宜用坐标法．．．． 以N 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立如图所示坐标系； 由题意可知：1(0, )2A ，( 0)B ， 0)C ；∵AE mAB =，∴NE NA mAB -=；∴11(0, )( )22NE m -=-，可得：11(, )22NE m =--+同理可得：311(, )22NF n =-+；而M 是EF 的中点，∴111()), ()242NM NE NF m n m n ⎛⎫=+=--++ ⎪ ⎪⎝⎭，结合41, (0, 1)m n m n +=∈、； 可得：1NM =，故当17n =时，MN取最小值．■例16 如图，ABC ∆P 是以C 为圆心、1为半径的圆上的任意一点，则AP BP ⋅的取值范围是________．解析：以点C 为坐标原点，以过点C 且平行于直线AB 的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系；由题意可知：三点坐标3( )2A -、3 )2B -、(0, 0)C ；圆的方程为：221x y +=；设点P 的坐标为(, )x y，则3( )2AP x y =+、3( )2BP x y =+；∴22239(()324AP BP x x y x y y ⋅=++=+++，而221x y +=；∴532AP BP y ⋅=+，又∵[1, 1]y ∈-，∴15113222y -≤+≤；故AP BP ⋅的取值范围是111[, ]22-．■ 注意：本题还可以设点P 的坐标为(cos , sin )θθ．例17 已知向量a 、b 、c 满足2a b a b ==⋅=，且()(2)0a c b c -⋅-=，求b c-的最值． 解析：本题有点难，考虑可操作性，故采用坐标法来解决．由题意可设：(2, 0)OA a ==，(1,OB b ==，(, )OC c x y ==；则(2, )a c x y -=-，2(12,2)b c x y -=-；由()(2)0a c b c -⋅-=，得：(2)(12)(2)0x x y y --+-=；即2253()(44x y -+=；换元，用圆的参数方程；令54x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（*）；则2225(1)))b c x y θϕ-=-+=+； 故min10b c-=；max 10b c -==另解：如图，构造OA a =、OB b =、OC c =；由2a b a b ==⋅=，得60AOB ∠=︒；由()(2)0a c b c -⋅-=，得1()()02a cbc -⋅-=；取OB 中点D ，则有0CA CD ⋅=，得CA CD ⊥； 点C 在以AD 为直径的圆上；又AD 的中点为K ，即圆心为K ；BK 交圆K 与MN 、两点； 当C在M 处最小，当C 在N 处最大；而BK ==，圆的半径12MK AD ==； 故7[b c CB -=∈．■4．意识四：利用代数化求解所谓代数化就是利用代数语言翻译已知条件和所求结论，借助代数运算解决问题．体现等价转化的思想．例18 已知向量a 、b 满足2a =，1b =，且对一切实数x ，a xb a b +≥+恒成立，则a 与b 的夹角的 大小是________．解析：本题运用数量积．．．进行转化． 设向量a 与b 的夹角为θ，由222222222a xb a b a xa b x b a a bb +≥+⇒+⋅+≥+⋅+； 又有：222a a =⇒=，211b b =⇒=，2cos a b θ⋅=；代入并整理得：2cos 10x θθ+--≥对一切实数x 恒成立； ∴2)1)0θθ∆=++≤，即21)0θ+≤，即cos θ= 而[0, ]θπ∈，故34πθ=．■例19 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120︒，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动；若OC xOA yOB =+， 其中x y R ∈、，则x y +的最大值是________．解析：本题运用“自乘．．”向量法进行转化． 设AOC α∠=，将向量式OC xOA yOB =+进行数量化，有：1cos 21cos(120)2x y OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB y αα⎧=-⎪⎧⋅=⋅+⋅⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⋅+⋅⎪⎪⎩︒-=-+⎪⎩；将两式相加： 可得：2[cos cos(120)]2sin(30)2x y ααα+=+︒-=+︒≤；当且仅当60α=︒时，取到最大值2．■另解：将OC xOA yOB =+两边平方得：22()OC xOA yOB =+；不妨设扇形的半径为1，则有2212cos120x y xy =++︒，即221x y xy =+-；∴22()()1334x y x y xy ++-=≤⨯，从而有2x y +≤，当且仅当x y =时，取到最大值2．■5．意识五：利用平面几何性质求解所谓几何法就是把向量问题利用平面几何的思想和方法，转化为几何问题，再用几何方法解决．几何法中有几个基本的问题必须十分清楚，共线问题、共点问题、构造三角形、解三角形等等．例20 AB 是单位圆上的弦，P 为单位圆上的动点，设()f BP BA λλ=-的最小值为M ，若M 的最大值 为32，则AB 的值等于________． 解析：几何意义法设BA BC λ=，则()f BP BA BP BC CP λλ=-=-=； ∵BA BC λ=，∴点C 在直线AB 上，∴()f λ的最小值M为点P 到AB 的距离； ∵max 32M =，∴21AB ==另解：定义法设BP a =，AP b =，AB p =；222222()()2f BP BA BP BA BA BA BP BP λλλλλ=-=-=-⋅+；∴2222222222244()cos 4BA BP BA BP BA BP BA BP BM BABA⋅-⋅⋅-⋅==2222222cos (1cos )sin BP BP B BP B BP B =-=-=；∴sin sin M BP B a B ==；而单位圆是ABC ∆的外接圆，∴由正弦定理得：22sin sin sin sin 2a b cbR B A B C ====⇒=； ∴222sin 244ab ab a b M a B +===≤，当且仅当a b =时取等号；即2max 2a M=，即2max 322a M =≥；∴a b =≥；从而有sin sin A B =≥，即3A B π=≥；∴03P π<≤；∴0sin P <02p <≤0p <≤即03AB <≤；故AB 的值等于．■ 点评：上述两种解法对比即可知：几何法比较简捷一些；只要能用得上几何法，那就大胆地用吧．例21 平面内两个非零向量α、β满足1β=，且α与βα-的夹角为135︒，则α的取值范围是_____． 解析：由向量的减法的三角形法则构造ABC ∆，其中45ACB ∠=︒，设ABC θ∠=，则3(0,)4πθ∈；（见下左图） 由正弦定理得：sin sin 45αβθ=︒；∴sin sin 45βαθθ=⋅=∈︒(0,．■另解：见上右图，易知点C 的轨迹是以AB 为弦圆角为45︒的圆的优弧，直接观察可知：当AC 过圆心时，α最大；当点C 趋近于点A 时，α趋近于0；故α∈(0,．■例22 在梯形ABCD 中，/AD CB ，3ABC π∠=，1AD =，2BC =，P 是腰AB 所在直线上的动点，则32PC PD +的最小值为________．解析：如图建立直角坐标系，点P 为定点（2，0），点P 直线AB ：3y x =上，设322PC PD PE PF PM +=+=，易知：点E 在直线：6)y x -上；由1AD =得点D 在直线：1)y x =-上； 则点F 在直线：2)y x -上；于是EF 的中点M 在直线：4)y x =-上； 显然，当PM EF ⊥时，有最小值；此时即为AB 即y =与M所在直线：4)y x=-间的距离；即min d ==，从而minmin322PC PDPM+==另解：坐标法加特殊值法根据题意不妨设(1,A、(, 3P t t 、则(0,0)B 、(2, 0)C 、(2,D ；于是(2, )PC t =-，(2,)PD t =-； ∴32(105,)PC PD t +=-，从而222232(105))4(254028)PC PD t t t +=-+=-+； 故当45t =时，32PC PD +取最小值作业中的向量重点题检测与评估 第31课时 第7题题目 若 a b c 、、均为单位向量，且0a b ⋅=，则a b c +-的最小值为__________． 解析：此类问题，一般画图可以速解．画出示意图：见右图；将3个单位向量平移到起点都是原点； 向量a b +即为OD ，向量a b c +-即为CD ；由0a b a b ⋅=⇒⊥⇒四边形AOBD 是正方形；∴2a b +=；∴当OC 与OD 方向相同时，a b c +-最小，相反时最大； 故a b c +-的最小值为1（最大值为1）．■课后作业41 第5题题目：已知圆O 的半径为1，PA PB 、为该圆的两条切线，A B 、分别为切点，求PA PB ⋅的最小值． 解析：向量内积问题，一般是找“回路”解决．本题亦然．设(0, )2POA POB πθ∠=∠=∈，易知1OA OB ==；()()PA PB PO OA PO OB ⋅=+⋅+2PO PO OA PO OB OA OB =+⋅+⋅+⋅2PO OP OA OP OB OA OB =-⋅-⋅+⋅212cos cos2cos OP θθθ=-+ 22221122cos 12cos 33cos cos θθθθ=-+-=+-≥； 当且仅当21cos 2θ=即cos θ=时，取最小值3．■综合练习（五） 第11题题目 已知平面向量a 、b 、c 满足4320a b c ++=，且a 与b 的夹角为135︒，b 与c 的夹角为120︒，2c =；B'BAC则a =___________．解析：（此类题目有两个做法：一是利用三角形的重心性质解决，通常是向量间的夹角未知时使用；二是利用平行四边形法则解决，通是向量间的夹角已知时使用．本时用第二种方法．） S1 构造平行四边形，弄清边的数量关系．以3b 的相反向量为对角线，构造右图所示的 平行四边形'OAB C ． S2 运用解三角形法求解．在'OB C ∆中，由正弦定理得：42'sin 45sin 60sin 60sin 45acB C OC=⇒=︒︒︒︒46a a ⇒=⇒=．■中档题1 第8题题目 已知1OA =，2OB =，120AOB ∠=︒，OC xOA yOB =+，且21x y +=，求OC 的最小值． 解析：利用结论：A B P 、、三点共线OP OA OB μλ⇔=+，其中1μλ+=．取线段OB 的中点M ，连结AM ；变式：12()2()2OC xOA yOB OC xOA y OB xOA y OM =+⇒=+=+；而21x y +=，∴A M C 、、三点共线；即点C 的轨迹是直线AM ；∴当OC AM ⊥时，OC 取最小值； 又∵120AOB ∠=︒，1OA OM ==；∴min1sin 301sin 302OCOA =⨯︒=⨯︒=．■小题训练28 第8题题目 设O 是ABC ∆外接圆的圆心，AO xAB y AC =+，且6AB =，8AC =，42x y +=，求AB AC ⋅的值． 解析：利用结论：M O N 、、三点共线AO AM AN μλ⇔=+，其中1μλ+=．取线段AC 的中点M ，连结OM ；延长线段AB 到N ，使得BN AB =；改写已知条件：142212x y x y +=⇔+=；112()(2)22AO x AB y AC x AB y AC =+=⋅+122x AM y AN =+∴M O N 、、三点共线，而OM AC ⊥，∴AMN ∆是直角三角形；∴3cos cos 16MAN BAC ∠=∠=；∴368916AB AC ⋅=⨯⨯=．■。

平面向量做题技巧1. 嘿，平面向量做题的时候，要学会找关键信息呀！就像你在一堆玩具中找到你最喜欢的那个一样。

比如已知向量的模和夹角，那不是很明显要去用相关公式嘛！2. 哎呀，一定要记住向量的加减法法则哦，这可太重要啦！就好比搭积木，一块一块地往上加，或者把多余的拿走，不就清楚啦。

像那种给出几个向量让你合成的题，不就用这个嘛！3. 注意啦，向量的数量积可不能马虎！这就好像你和朋友之间的默契，要好好去感受和计算呀。

比如判断向量垂直，不就看数量积是不是零嘛！4. 嘿，在做题时别死脑筋呀，要灵活运用啊！就像跳舞要随着音乐节奏变换动作一样。

碰到复杂的向量问题，多想想有没有简便方法呀！5. 哇塞，对于那些和几何图形结合的题，要把图形看透呀！这就如同你了解一个人的性格一样重要。

比如在三角形里的向量问题，不就利用三角形的特点嘛！6. 记住哦，单位向量也有大用处呢！就好像一个小小的指南针能指引方向一样。

在一些问题里，利用单位向量来转化不就简单多啦！7. 千万别忘了向量共线的条件呀！这就好比走在同一条路上的伙伴。

看到相关条件，马上就想到共线的性质呀！8. 哎呀呀，平面向量做题技巧真的很关键呢！就像拥有一把万能钥匙能打开各种难题的门。

遇到困难别退缩，用对技巧呀！9. 注意那些隐含条件呀，别漏了它们！这就像宝藏藏在角落里，你得细心才能发现。

很多时候答案就在那些被忽略的地方呢！10. 真的，平面向量做题要多用心呀！就像对自己喜欢的事情一样充满热情。

用心去体会每一个技巧，你会发现做题越来越轻松啦！我的观点结论就是：掌握这些平面向量做题技巧，能让你在解题时更加得心应手，轻松应对各种难题，一定要好好运用哦！。

例析高考试题中平面向量的四大运算策略及教学反思高考数学试题中，平面向量是一个重要的考点。

平面向量的四大运算，包括加法、减法、数量乘法和点乘，是解决向量题目的基础。

本文将通过分析高考试题的形式与内容，探讨四大运算策略的应用，并对教学过程进行反思，以提升学生的理解与应用能力。

一、加法运算策略在高考试题中，平面向量的加法运算常常需要进行分解和合成等处理方式。

在解题过程中，可以遵循以下策略：1. 分析向量所在的直角坐标系，确定其坐标分量。

2. 利用三角函数关系，将向量转化为分解形式。

3. 根据分解的形式进行运算，确定最终的结果向量。

例如，某高考试题如下：已知向量a = (-3, 2)、向量b = (4, -1)，求向量a + b。

解答过程如下：1. 分析向量坐标分量：对向量a，横坐标为-3，纵坐标为2；对向量b，横坐标为4，纵坐标为-1。

2. 进行分解运算：向量a + b = (-3 + 4, 2 - 1) = (1, 1)。

3. 得出最终结果向量：向量a + 向量b = (1, 1)。

通过以上步骤，我们成功地完成了向量的加法运算。

二、减法运算策略平面向量的减法运算是解决向量题目中常见且重要的一种运算。

在减法运算中，我们可以采用以下策略：1. 利用加法的逆运算，将减法转化为加法运算。

2. 根据向量的坐标分量进行相减操作，得到最终结果。

例如，某高考试题如下：已知向量a = (2, 3)、向量b = (-1, 4)，求向量a - b。

解答过程如下：1. 利用加法的逆运算：向量a - 向量b = 向量a + (-1) ×向量b。

2. 进行相减操作：向量a + (-1) ×向量b = (2, 3) + (-1) × (-1, 4)。

= (2, 3) + (1, -4)。

= (3, -1)。

3. 得出最终结果向量：向量a - 向量b = (3, -1)。

通过以上步骤，我们成功地完成了向量的减法运算。

高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。

平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。

本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。

一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。

其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。

二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。

1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。

另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。

2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。

三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。

2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。

在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。

高三复习，贵在快捷有效，让所学的知识系统 化，网络化，让解题方法形成方法论.“平面向量” 这一部分内容作为高考的重要考点，经常出现在 选择填空的压轴题中，同学们在处理这一部分内 容时，经常感到迷茫，不知道从何处入手.数学是 模式化的学科，遇到问题能寻求到最快捷的解题 方法，是解题能力高低的关键.作为基础教育一线 的教师，笔者对最近几年各个省份的平面向量高 考题和模考题进行了系统的整理，归纳出处理平 面向量问题的六大方法，供同学们学习参考..—、坐标法坐标法应该是处鲤平面向量问题的主要方 法，只要能够建立直角坐标系，把点的坐标表示出 来，则向量的坐标就可以求得出来，从而平面向量 的四大常见问题:平行、垂直、夹角、模长都可以套 相应的公式解决.例1 (2011年天津理14)已知直角梯形 ABCD中，AD//BC ，ZADC =90°,AD = 2, BC =1,P是腰DC±的动点，则I P^ + 3PS I 的最 小值为.' 解 以D 为坐标原 点，DA 所在直线为，轴，所在直线为了轴，建立 如图1所示的直角坐标系. 由题设,A(2,0),设C(0, c) 9P(09y),则 B(1 ,c), PA =(2,~y),P$ = (1, c — y) »FX4-3 P S = (5,3c -4y), \PA + 3P5 I =丿 52 + (3c — 4了)2》5,当 且仅当y=~时，等号成立，于是，当V =苧时, I PX + 3 I 有最小值5.例2 (2013年湖南理8)在等腰直角三角形 ABC 中，AB = AC = 4,点 F 是边 AB ± 异于 的一点，光线从点P 出发，经BC,以1反射后又回 到点F(如图2).若光线QR 经过八业。

的重心， 则AP 等于(A)2.(C)亭 解 如图3,以A 为原点,AB 所在直线为工 轴,AC 所在直线为〉轴建立直角坐标系，•.•AB= AC =4,>A(0,0),B(4,0),C(0,4),设 P(t,0), 则点P 关于直线BC 的对称点点P 关 于直线AC 的对称点P z(-f,0),AABC 的重心为根据光学性质知P',G,M 三点共线，再=(* + £,号)，俱=(一4—罕一4), •J O .,. F3〃 故,.•.(§ +「(£ —4) 一§(一4-/)=o O 0,解得t = §，故AP =故选(D). 二、几何意义法'.除了代数的坐标法之外，几何意义法、数形结 合法也是处理平面向量的重要方法，向量的加法、 数乘及模长都具有明显的几何意义.例3 已知丨b | = 1,非零向量a 满足Va,b平面向量问题的六大处理方法一a〉= 120°,则| a |的取值范围是________ .解如图4,设苗= Bb,cS = a,则b — a = BA,在△ABC 中，AC = 1, / a/60°\\ ZABC = 60°.Z \ 根据圆的性质：同孤所y/ y 对的圆周角相等，汶作企仙。

平面向量基本定理解题思路
平面向量基本定理的解题思路主要基于该定理的实质，即利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。

具体来说，解题时可以按照以下步骤进行：
1. 选择一组基底：首先，根据题目条件和所求结论，选择一组合适的基底。

这组基底通常是两个不共线的向量，它们可以表示平面内的任意向量。

2. 将条件和结论表示成向量的形式：接下来，利用这组基底，将题目中的条件和结论都表示成向量的形式。

这通常涉及到向量的线性组合、数乘、点积等运算。

3. 通过向量的运算解决问题：最后，利用向量的运算性质，如向量的加法、减法、数乘、点积等，对表示成向量形式的条件和结论进行运算，从而求得问题的解。

在解题过程中，还可以结合图形进行辅助分析，特别是对于涉及动态变化的问题，数形结合法是非常有效的。

此外，如果题目中给出了向量之间的夹角，也可以考虑使用坐标法来处理向量问题，通过建立平面直角坐标系，将向量问题转化为向量坐标运算问题。

总的来说，平面向量基本定理的解题思路是灵活多样的，需要根据具体问题的特点和条件来选择合适的解题方法。

通过不断练习和总结，可以逐渐掌握平面向量问题的解题技巧和方法。

平面向量最值问题解题方法平面向量最值问题是高中数学中的重要知识点，涉及面广，难度较大。

下面介绍一些平面向量最值问题的解题方法。

一、向量模长的最值问题1、向量模长最大值设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最大值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。

求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最大值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最大值。

（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最大值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方和的平方根，即|a|=√((a_x+a_y))。

2、向量模长最小值同样设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最小值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。

求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最小值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最小值。

（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最小值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方差的平方根，即|a|=√((a_x-a_y))。

二、向量夹角的最值问题设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的夹角的最值为：1、夹角最大值当向量a和向量b的方向相反时，它们的夹角最大，此时θ=π。

2、夹角最小值当向量a和向量b的方向相同时，它们的夹角最小，此时θ=0。

三、向量和的模长的最值问题对于两个向量a和b，它们的和向量c=a+b。

则向量c的模长最值为：1、模长最大值当向量a和向量b的方向相同，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最大，此时|c|=2|a|。

2、模长最小值当向量a和向量b的方向相反，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最小，此时|c|=0。