2020年新高考数学考前必练：开放性试题专练三(含多选)

第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A 【解析】{}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A.2．设z =i(2+i)，则z =( ) A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D 【解析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12z i =--，选D ．3．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A 6πB ．2πC ．6πD ．24π【答案】C【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P ﹣ABCD ．底面ABCD 为矩形， 其中PD ⊥底面ABCD ． AB ＝1，AD ＝2，PD ＝1．则该阳马的外接球的直径为PB 1146=++=．∴该阳马的外接球的表面积：264()6ππ⨯=． 故选C ．4．若3sin()25πα-=，则cos2α=（ ） A ．725 B ．2425C ．725-D ．2425-【答案】C 【解析】 由条件得3sin cos 25παα⎛⎫-==⎪⎝⎭，∴2237cos22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭．故选C ．5．已知A 箱子里装有2个白球、3个黑球，B 箱子里装有1个白球、2个黑球，从这两个箱子里分别随机摸出1个球，则恰有一个黑球的概率为( ) A ．415B ．13C ．25D ．715【答案】D 【解析】恰有一个黑球分为两类：A 中一黑球B 中一白球，A 中一白球B 中一黑球.A 中一黑球B 中一白球的概率为311535⨯=， A中一白球B 中一黑球的概率为2245315⨯=， 则所求概率为715P =. 故选：D6．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如图所示，则函数()()log a g x x b =-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】法一：结合二次函数的图象可知，1a >，10b -<<，所以函数()()log a g x x b =-单调递增，排除C ，D ；把函数log a y x =的图象向左平移b 个单位，得到函数()()log a g x x b =-的图象，排除A ，选B. 法二：结合二次函数的图象可知，1a >，10b -<<，所以1a >，01b <-<，在()()log a g x x b =-中，取0x =，得()()0log 0a g b =-<，只有选项B 符合， 故选B.7．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若22()6c a b =-+，且,,A C B 成等差数列，则ABC V 的面积是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．【答案】A 【解析】,,A C B Q 成等差数列，2C A B ∴=+，又A B C π++=，3C π∴=，222222cos c a b ab C a b ab ∴=+-=+-，①又2222()626c a b a b ab =-+=+-+，② 由①②得6ab =，11sin 622ABC S ab C ∆∴==⨯=故选A.8．已知圆O ：221x y +=，直线l 过点（-2，0），若直线l 上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，则直线l 的斜率为（ ）A ．B ．3±C ．D ．±1【答案】A 【解析】由题意知所求直线的斜率存在，设为k ，直线l 方程为y=k （x ﹣2），即kx ﹣y ﹣2k=0， ∵直线l 上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径， ∴圆心到直线l 的距离=1，解得：k= 故答案为：A9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线截圆22:40C x y y +-=为弧长之比为1：2的两部分，则此双曲线的离心率等于（ ） A ．2 B ．2 C ．3D ．3【答案】A 【解析】圆的标准方程为22(2)4x y +-=，所以圆心坐标为（0,2），半径为2，且过原点.因为双曲线的一条渐近线经过坐标原点，截圆22:40C x y y +-=为弧长之比为1：2的两部分， 所以双曲线的一条渐近线y kx =的倾斜角为3π， 所以22222223,3,3,3,4,bb a b ac a a c a a =∴=∴=∴-=∴= 所以22()4,4, 2.c e e a=∴=∴=故答案为：A10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即10CD =尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设BAC θ=∠，现有下述四个结论： ①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③2tan 23θ=；④17tan 47πθ⎛⎫+=-⎪⎝⎭. 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①③B ．①③④C ．①④D ．②③④【答案】B 【解析】设BC x =，则1AC x =+，∵5AB =，∴2225(1)x x +=+，∴12x =. 即水深为12尺，芦苇长为12尺；∴12tan 5BC AB θ==，由2θ2tan2tan θθ1tan 2=-，解得2tan 23θ=（负根舍去）. ∵12tan 5θ=，∴1tan 17tan 41tan 7πθθθ+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭. 故正确结论的编号为①③④. 故选：B.11．设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()0g x ≠，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''->，且()30f -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．()()3,03,-⋃+∞B ．()()3,00,3-⋃C ．()(),33,-∞-⋃+∞D ．()(),30,3-∞-⋃【答案】D 【解析】依题意有()()()()()()()'20f x f x g x f x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=>⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎦⎣⎦'⎣',()()f x g x 在(),0-?上单调递增,因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,故()()f xg x 为奇函数,所以()()f xg x 在区间()0,+?上单调递增,且()()33033f f --==,结合()()f xg x 图象可知,小于零位于()()303,,-∞-U ．点晴:构造函数法是导数题目中一个常用的方法,()cos ()sin f x x f x x +',构造的函数是()()cos f x F x x=,常见的构造方法还还有:()()f x x f x +'构造为()()F x xf x =；()()f x x f x -'构造为()()f x F x x=；()()x f x e f x '-构造为()()xf x F x e=；()()()()f x g x f x g x -''构造为()()f xg x .12．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC V 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为( ) A ．123 B ．183C ．243D ．543【答案】B 【解析】 如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点， 当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大 此时，OD OB R 4===2393ABC S AB ==V Q AB 6∴=,Q 点M 为三角形ABC 的中心2BM 233BE ∴==Rt OMB ∴V 中，有22OM 2OB BM =-=DM OD OM 426∴=+=+=()max 19361833D ABC V -∴=⨯=故选B.第II 卷 非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若向量()1,2a =r ，()2,b m =r ，且(2)a b a -⊥r r r，则m =______________.【答案】14【解析】2(3,22)a b m -=--r r，∵(2)a b a -⊥r r r ，∴(2)3440a b a m -⋅=-+-=r rr ，14m =．故答案为：14．14．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动 员在这五场比赛中得分的方差为【答案】6.8 【解析】得分的平均分为89101315115x ++++==,方差()()()()()2222221811911101113111511 6.85s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦. 15．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是__________.【答案】[]05，【解析】首先画出不等式组表示的可行域，如图OAB ∆，令0z =，画出初始目标函数20x y +=，然后平移到点B 取得最大值2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得：1,2x y ==， max 1225z ∴=+⨯=.当目标函数过点()0,0时，取得最小值，min 0200z =+⨯=，2z x y ∴=+的取值范围是[]0,5.故答案为：[]0,516．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=-，且当(?1,0)x ∈)时1()25xf x =+，则()220f log =________.【答案】1- 【解析】因为()y f x =是定义在R 上的函数，且()()2f x f x -=-， 所以()()()24f x f x f x =-+=+， 所以两数()f x 是周期为4的函数. 又由22241620325log log log =<<=，得()()()2222252020420164f log f log f log log f log ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭又因为函数()f x 是奇函数，所以2255log log .44f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又当()1,0x ∈-时，()12,5xf x =+所以25log 4251log 2145f -⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭所以()22255log 20log log 144f f f ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：1-.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，364,27a S ==. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .【答案】（1）1n a n =+；（2）5m =； 【解析】（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知得112461527a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩. 所以()111n a a n d n =+-=+.（2）因为2n an b =，由（1）可得12n n b +=，∴{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则()()41242112n n nT -==--.由124m T =，得()421124m-=，解得5m =.18．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）得频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ”，估计A 的概率；（2）填写下面22⨯列联表，并根据联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量50kg < 箱产量50kg ≥ 旧养殖法 新养殖法附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）【答案】（1）0.4092（2）填表见解析，有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关（3）()52.35kg 【解析】（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”，由题意知()()()()P A P BC P B P C ==，旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为()0.0120.0140.0240.0340.04050.62++++⨯=，故()P B 的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为()0.0680.0460.0100.00850.66+++⨯=， 故()P C 的估计值为0.66.因此事件A 的概率估计值为0.620.660.4092⨯=. （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量50kg < 箱产量50kg ≥ 旧养殖法 62 38 新养殖法3466()222006266343815.70510010096104K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.由于15.705 6.635>，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<，箱产量低于55kg 的直方图面积为()0.0040.0200.0440.06850.680.5+++⨯=>，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为()0.50.345052.35kg 0.068-+≈.19．如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，12AB AD BC CD a ====，E 为CD 中点．若沿AE将三角形DAE 折起，并连接DB ，DC ，得到如图所示的几何体D-ABCE ，在图中解答以下问题：（1）设G 为AD 中点，求证：//DC 平面GBE ；（2）若平面DAE ⊥平面ABCE ，且F 为AB 中点，求证：DF AC ⊥． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）连接AC 交BE 于点O ，连接OG .因为//AB CD ，12AB AD BC CD a ====， E 为CD 中点 所以AB CE =，即四边形ABCE 为平行四边形 所以O 为AC 的中点 因为G 分别为AD 的中点， 所以//OG DC ，又因为OG ⊂平面GBE ，DC ⊄平面GBE ， 所以//DC 平面GBE ；（2）取AE 中点H ，连接,DH FH .因为,F H 分别为,AB AE 中点，所以//FH BE ， 易知，四边形ABCE 为菱形，所以AC BE ⊥， 所以AC FH ⊥，又因为DA DE =，H 为AE 中点， 所以DHAE ⊥，又平面DAE ⊥平面ABCE ， 所以DH ⊥平面ABCE ， 所以DH AC ⊥， 又因为DH FH H ⋂=，所以AC ⊥平面DFH ，则DF AC ⊥.20．已知点P 在圆O ：226x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M满足(1OQ OP →→→=．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过点()2,0的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问：在x 轴上是否存在定点D 使得2DA AB DA →→→⋅+的值为定值？若存在，求出定点D 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22162x y +=；（2）存在定点7,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得2DA AB DA →→→⋅+的值为定值59-． 【解析】（1）由(1OQ OP =u u u r u u u r u u u r，得PQ =u u u r u u u r，设(),M x y ，()00,P x y ，()0,0Q x ， 则())000,,y x x y -=--， ∴0x x =，0y =，代入圆O ：226x y +=，可得2236x y +=，即22162x y +=．∴动点M 的轨迹E 的方程为22162x y +=；（2）设直线l 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，()223420m y my ++-=，12243my y m +=-+，12223y y m =+， 假设在x 轴上存在定点(),0D t 使得2DA AB DA ⋅+u u u r u u u r u u u r 的值为定值， 而()()1111,2,DA x t y my t y =-=+-u u u r ，()222,my B y D t =+-u u u r， ()2DA AB DA DA AB DA DA DB ⋅+=⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()121222my t my t y y =+-+-+()()()()221212122m y y m t y y t =++-++-()()()()()2222222214241022233m m t t m t t m m -+----=+-=-+++为定值， 则24103t -=-，解得73t =， 且此时27252339DA DB ⎛⎫⋅=--=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ．因此，在x 轴上存在定点7,03D ⎛⎫⎪⎝⎭，使得2DA AB DA ⋅+u u u r u u u r u u u r 的值为定值59-．21．已知函数()ln 1f x ax x ax =++.（1）函数()f x 在1x =处的切线l 过点()22-，，求l 的方程； （2）若*N a ∈且函数()f x 有两个零点，求a 的最小值. 【答案】（1）22y x =-+即220x y +-=；（2）8. 【解析】（1）因为()()ln 10f x ax x ax x =++>， 所以()1'ln ln 2f x a x ax a a x a x=+⋅+=+， 所以()'12f a =又()11f a =+，所以()f x 在1x =处切线l 方程为()()121y a a x -+=-， 即21y ax a =-+.又因为直线l 过点()22-，，所以得241a a -=-+即1a =-. 所以直线l 方程为22y x =-+即220x y +-=. （2）因为()()'ln 2ln 2f x a x a a x =+=+. 令()'0f x =得ln 2x =-即2x e -=， 因为*a N ∈所以0a >，所以当20x e -<<时，()'0f x <，当2x e ->时，()'0f x >，则()f x 在()20e-，上单调递减，在()2e-+∞，上单调递增，所以()()22min 1f x f eae--==-.因为()f x 有两个零点，所以()min 0f x <即210ae --<得2a e >， 又因为()110f a =+>，1111ln 1a a aa f a a e e ee ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2211a a a a a a e a a e e e-=++=-+.设()()21ag a e a a a =-+>则()'2ag a e a =-，因为()'g a 在()1+∞，上单调递增， 所以()'0g a >，所以()g a 在()1+∞，单调递增， 所以()()10g a g e >=>.又10a e >，所以10a f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 故()f x 在211a e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有一个零点，在211e ⎛⎫⎪⎝⎭，上有一个零点， 即()f x 在()0+∞，上有两个零点， 则2a e >又*a N ∈且2739e ≈．， 所以a 得最小值为8.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为2cos 32sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ是参数），以O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 和曲线2C 的普通方程；（2）曲线2C 与x 轴交点P ，与曲线C 交于点,A B 两点，求11PA PB+的值.【答案】（1）曲线1C 的普通方程()2234x y +-=，曲线2C 的普通方程4x y +=，（2【解析】（1）消去参数后可得曲线1C 的普通方程为()2234x y +-=；由sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos ρθθ= 即sin cos 4ρθρθ+=，由sin cos x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线2C 的曲线方程为4x y +=；（2）由题意可知点()4,0P ，则直线2C的参数方程可写为42x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入()2234x y +-=得2210t -+=，140∆=>，0A B t t +=>，210A B t t =>，所以111111213A B A B A B A B t t PA PB t t t t t t ++=+=+===23．已知()|21||1|f x x x =++-. （1）求不等式()9f x „的解集；（2）设()9|1||24|g x x x =-+--，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，并根据图象写出不等式()()f x g x „的解集.【答案】（1）{|33}x x -剟（2）作图见解析；不等式的解集为{|12}x x -剟 【解析】（1）3,11()2112,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪--⎪⎩„，当1x …时，39x ≤，得13x 剟；当11 2x-<<时，29x+≤，解得7x„，故112x-<<；当12x-„时，39x-≤，解得3x≥-，故132x--剟.综上，原不等式的解集为{|33}x x-剟.（2）36,1 ()91244,12312,2x xg x x x x xx x+-⎧⎪=-+--=+-<<⎨⎪-+≥⎩„，在同一坐标系内画出函数()f x和()g x的图象，由图可知，不等式()()f xg x„的解集为{|12}x x-剟.。

《2020年高考理科数学新课标必刷试卷三（含解析）》摘要：根据题由函数满足（﹣x）＝（x+）分析可得（﹣x）＝（x+）结合函数奇函数可得（x）＝（x+）则函数（x）周期周期函数又由（）、（）与（）及（0）值分析可得（）（5）……＝（07）＝（3）（7）…… （09）（）（）＝（6）＝（8）＝……＝（08）＝0 将其相加即可得答案．【详，根据题函数（x）满足（﹣x）＝（x+）则函数（x）图象关直线x ＝对称则有（﹣x）＝（x+）又由函数（x）奇函数则（﹣x）＝（x）则有（x）＝（x+）则（x+）（x+）可得（x）（x+）则函数（x）周期周期函数又由（）＝则（）（5）……＝（07）＝（）（）则（3）（7）…… （09）又（）（）＝（）则（）0且（0）0所以（）（）＝（6）＝（8）＝……＝（08）＝0 则（）+（）+（3）+…+（09）＝505505+00，∵x′（x）﹣（x）＜0 ∴g′（x）＜0 ∴函数g（x）（0+∞）单调递减．∵函数（x）奇函数∴g（x）是偶函数∴g（﹣3）＝g（3）∵g（）bg（l）∴g（3）＜g（）＜g（l）∴＜＜b 故选．【睛00年高考必刷卷（新课标卷）03 数学（理）（试卷满分50分考试用0分钟）事项．答卷前考生必将己姓名、考生、考场和座位填写答题卡上用B铅笔将试卷类型（B）填涂答题卡相应位置上．作答选择题选出每题答案用B铅笔答题卡上对应题目选项答案信息涂黑；如改动用橡皮擦干净再选涂其它答案答案不能答试卷上3．非选择题必须用黑色迹钢笔或签笔作答答案必须写答题卡各题目指定区域相应位置上；如改动先划原答案然再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要作答无效．考生必须保证答题卡整洁考试结束将试卷和答题卡并交回Ⅰ卷（选择题) 、单选题题共题每题5分共60分每题给出四选项只有项是合题目要．已知全集则集合等． B．．．【答案】【析】【分析】出与B并集根据全集＝R出并集补集即可．【详】全集或则故选．【睛】题考了交、并、补集混合运算熟练掌握各定义是题关键．．若复数则下列结论错误是（）．是实数 B．是纯虚数．．【答案】【析】分析根据题所给条件将两复数进行相应运算对选项结对照从而选出满足条件项详是实数故正确是纯虚数故B正确故正确所以项不正确故选睛该题考是复数有关概念和运算做题候要对选项问题检验从而到正确结 3．已知则下列结论不正确是（）．＞＞ B．＞＞＞0 ．＞＞＞0 ．＞＞＞0 【答案】【析】【分析】先化简原不等式再对分四种情况讨论即得【详】由题得所以当所以,所以选项正确；当所以所以选项正确；当不等式显然成立所以选项B正确；当不等式显然不成立所以选项不正确故选【睛】题主要考对数运算和对数函数图像和性质考学生对这些知识理掌握水平．某单位年开支分布折线图如图所示这年水、电、交通开支（单位万元）如图所示则该单位年水费开支占总开支分比（）． B．．．【答案】【析】【分析】由折线图出水、电、交通开支占总开支比例再计算出水费开支占水、电、交通开支比例相乘即可出水费开支占总开支分比【详】水费开支占总开支分比故选【睛】题考折线图与柱形图属基础题 5．已知x是定义R上奇函数满足(+x)(x),若()则()+()+(3)++(09)（）． B．0 ．．09 【答案】B 【析】【分析】根据题由函数满足（﹣x）＝（x+）分析可得（﹣x）＝（x+）结合函数奇函数可得（x）＝（x+）则函数（x）周期周期函数又由（）、（）与（）及（0）值分析可得（）（5）……＝（07）＝（3）（7）…… （09）（）（）＝（6）＝（8）＝……＝（08）＝0 将其相加即可得答案．【详】根据题函数（x）满足（﹣x）＝（x+）则函数（x）图象关直线x＝对称则有（﹣x）＝（x+）又由函数（x）奇函数则（﹣x）＝（x）则有（x）＝（x+）则（x+）（x+）可得（x）（x+）则函数（x）周期周期函数又由（）＝则（）（5）……＝（07）＝（）（）则（3）（7）…… （09）又（）（）＝（）则（）0且（0）0所以（）（）＝（6）＝（8）＝……＝（08）＝0 则（）+（）+（3）+…+（09）＝505505+00；故选B．【睛】题考函数奇偶性以及函数周期性应用分析与利用函数周期属基础题． 6．若实数x满足x+则x+值是（）． B．．．【答案】B 【析】【分析】利用基不等式x+值得【详】由题得x+≥x⋅x+,(当且仅当x取等) 所以≥x+∴≥x+,∴≥x+ 所以x+≤ 所以x+值故选B 【睛】题主要考基不等式考学生对这些知识理掌握水平和分析推理能力 7．等差数列则（）．8B．6 ．．3 【答案】【析】【分析】设等差数列公差根据题进而可得即可得到答案【详】由题设等差数列公差则即又由故选【睛】题主要考了等差数列通项公式应用其答设等差数列公差利用等差数列通项公式化简是答关键着重考了推理与运算能力属基础题 8．已知函数部分图象如图所示则下列判断正确是（）．函数图象关对称 B．函数图象关直线对称．函数正周期．当函数图象与直线围成封闭图形面积【答案】【析】【分析】由函数图象顶坐标出由周期出ω由五法作图出φ值可得（x）析式再根据余弦函数图象和性质判断各选项是否正确从而得出结论．【详】函数部分图象可得＝•∴ω＝．再根据五法作图可得•φ∴φ（x）＝（x）．令x得（x）＝﹣函数值故错误；令x得（x）＝﹣不是函数值故B错误；函数（x）＝（x）正周期故错误；当x函数（x）图象与直线＝围成封闭图形x、x、＝、＝﹣构成矩形面积半矩形面积π•（+）＝π故函数（x）图象与直线＝围成封闭图形面积π故正确故选．【睛】题主要考由函数（ωx+φ）部分图象析式由函数图象顶坐标出由周期出ω由五法作图出φ值余弦函数图象和性质属档题． 9．角所对应边分别表示三角形面积且满足则（）． B．．或．【答案】B 【析】△B∵BB．代入原式子得到B∵B∈（0π）∴B ．故答案B． 0．如图共顶椭圆①②与双曲线③④离心率分别3其关系() ．3 B．3 ．3 ．3 【答案】【析】试题分析先根据椭圆越扁离心率越判断、再由双曲线开口越离心率越判断3、根据椭圆离心率0并且抛物线离心率可得到答案．根据椭圆越扁离心率越可得到0＜＜＜根据双曲线开口越离心率越得到＜3＜∴可得到＜＜3＜故选．考圆锥曲线共特征．．《九算术》将底面长方形且有条侧棱与底面垂直四棱锥称阳马将四面都直角三角形四面体称鳌臑鳌臑平面鳌臑四顶都球上则该球表面积是（）． B．．．【答案】【析】【分析】四面都是直角三角形由得然证明这样就是外接球球心易得其半径得面积．【详】四棱锥四面都是直角三角形∵∴又平面∴B是B平面B上射影∴取则是外接球球心．由得又则所以球表面积．故选．【睛】题考球表面积题关键是寻外接球球心三棱锥外接球球心定各面外心且与面垂直直线上．．已知定义域奇函数导函数当若则关系正确是（）． B．．．【答案】【析】【分析】构造函数g（x）由g′（x）可得函数g（x）单调递减再根据函数奇偶性得到g（x）偶函数即可判断．【详】构造函数g（x）∴g′（x）∵x′（x）﹣（x）＜0 ∴g′（x）＜0 ∴函数g（x）（0+∞）单调递减．∵函数（x）奇函数∴g （x）是偶函数∴g（﹣3）＝g（3）∵g（）bg（l）∴g（3）＜g（）＜g（l）∴＜＜b 故选．【睛】题考了构造函数并利用导数研究函数单调性进行比较考了推理能力属档题．Ⅱ卷（非选择题) 二、填空题题共题每题5分共0分把答案填题横线上3．已知向量满足夹角则__________．【答案】【析】【分析】先计算再由展开计算即可得【详】由夹角得所以故答案【睛】题主要考了利用向量数量积计算向量模长属基础题．已知程序框图如图所示其功能是数列前0项和则数列通项公式【答案】【析】试题分析程序执行程数据变化如下不成立输出是数列和因数列通项公式考．程序框图；．数列通项公式5．已知函数导函数且则集_______．【答案】【析】【分析】先构造函数设再分析得到上是减函数,且再不等式得【详】设因所以所以上是减函数,且所以集即是集所以故答案【睛】（）题主要考利用导数研究函数单调性考单调性应用考学生对这些知识掌握水平和分析推理能力()答题关键是构造函数设再分析得到上是减函数,且 6．已知是椭圆（）和双曲线（）交是椭圆和双曲线公共焦分别椭圆和双曲线离心率若则值________．【答案】【析】【分析】根据题不妨设象限那么根据椭圆与双曲线定义得到根据余弦定理整理得到化根据基不等式即可出结【详】根据椭圆与双曲线对称性不妨设象限那么因椭圆与双曲线有公共焦设椭圆与双曲线半焦距根据椭圆与双曲线定义有得由余弦定理可得即整理得所以又所以故答案【睛】题主要考椭圆与双曲线离心率相关计算熟记椭圆与双曲线定义与简单性质结合基不等式即可属常考题型三、答题题共6题共70分答应写出必要说明、证明程或演算步骤7题必做题,每考生都必须作答3题选考题考生根据要作答（）必考题共60分 7．记数列前项和且满足．（）数列通项公式；（）记满足等式正整数值．【答案】（）；（）【析】【分析】（）首先利用数列递推关系式出数列通项公式；（）先出再利用裂项相消法出数列和出即可．【详】（）由数列前项和且满足．当得．当得所以数列是以首项以公比等比数列则数列通项公式．（）由得由得．【睛】题考了等比数列通项公式法裂项相消法数列和属基础题． 8．如图B是圆直径垂直圆所平面是圆上． ()证平面⊥平面B； ()若B＝＝＝二面角－B－余弦值．【答案】（）见析（）6 【析】()由B是圆直径得⊥B 由⊥平面BB⊂平面B 得⊥B 又∩＝⊂平面⊂平面所以B⊥平面因B⊂平面B 所以平面B⊥平面 ()作∥则⊥平面B 如图以坐标原分别以直线B、、x轴轴z轴建立空直角坐标系．R△B因B＝＝所以B＝3 因＝所以(0,,0)B(30,0)(0,,)．故B＝(30,0)＝(0,,)．设平面B法向量＝(xz)则⋅B0,⋅0所以+z＝03x＝0不妨令＝则＝(0,－)．因＝(0,0,)B＝(3－,0) 设平面B法向量＝(xz)则⋅0,⋅B0所以不妨令x＝则＝(30)．是〈〉＝3＝6 由题图可判断二面角锐角所以二面角－B－余弦值6 9．从某市高学生随机抽取00名学体重进行统计得到如图所示频率分布直方图 ()估计从该市高学生随机抽取人体重超60kg概率； ()假设该市高学生体重X从正态分布(57σ) ①利用()结论估计该高某学生体重介5～57kg概率；②从该市高学生随机抽取3人记体重介5～57kg人数利用()结论分布列【答案】（）（）①②见析【析】【分析】（）根据频率分布直方图长方形面积等对应区概率得体重超频率两矩形面积；（）①；②因根据二项分布概率并列分布列【详】 () 这00名学生体重超频率由估计从该市高学生随机抽取人体重超概率()①∵∴ ∴∴ 即高某学生体重介5～57 kg概率②因该市高学生总体很所以从该市高学生随机抽取3人可以视独立重复实验其体重介人数所以分布列【睛】题考正态分布二项分布考分析问题和问题能力对类考题要认真审题从数学与实际生活两角理问题实质,将问题成功化古概型独立事件、斥事件等概率模型因对概率型应用性问题理是基础化是关键 0．已知动圆且和直线相切．（）动轨迹方程；（）已知若直线与轨迹交两证直线斜率和定值．【答案】（）；（）详见析【析】【分析】（）由抛物线定义知轨迹抛物线由能出动圆圆心轨迹方程；（）设直线方程立直线与抛物线利用韦达定理、斜率公式即可证明结论．【详】由题得圆心到距离等它到直线距离圆心轨迹是以焦直线准线抛物线设圆心轨迹方程（）∵ ∴．∴圆心轨迹方程；（）证明设直线方程立直线与抛物线可得∴ ∴ 即直线斜率和定值．【睛】题考轨迹方程法以及直线与圆锥曲线位置关系轨迹方程常用方法有直接法、相关法等直线与圆锥曲线位置关系常用代数法属常考题．已知函数(x)x+(x3x)lx （）函数(x)x处切线方程（）对任x)都存正实数使得方程(x)至少有实根, 值【答案】（）(56)x3+30（）【析】分析（）出,由值可得切坐标由值可得切线斜率利用斜式可得曲线处切线方程；（）首先可得是方程根只方程另外至少根即可利用导数研究函数单调性结合函数图象可得函数极值与值从而可得值详()(x)3x3+(x3)lx k()56切(,3) 切线方程 +3(56)(x) (56)x3+30 （）令(x)0 即3x3+(x3)lx0 显然x是方程根而(x)lx 易知(x)（0）上递增容易验证()33 (), 存x使得(x)0 所以当x)(x) (x)递减当x(x) (x)递增且(x)()0又()故存xx)使得(x) 0列出下表 x (0,x) x (x,) (,) (x) + 0 0 + (x) 增极值减极值增所以(x)xx处取极值；处取得极值因()；x0(x) 作出(x)示图可知值睛题主要考利用导数曲线切线方程以及利用导数研究函数单调性与极值属难题曲线切线方程般步骤是（）出处导数即出切线斜率（当曲线处切线与轴平行处导数不存切线方程）；（）由斜式得切线方程（二）选考题共0分请考生,3题任选题作答如多做,则按所做题计分．选修坐标系与参数方程以坐标原极以x轴非半轴极轴建立极坐标系已知曲线参数方程 (参数)． ()若曲线(,)处切线ll极坐标方程； ()若极坐标且当参数∈[0π]直线与曲线有两不交试直线斜率取值围．【答案】()； () 【析】试题分析（）根据极坐标与普通方程直角坐标化公式即可出切线极坐标方程；（）画出图象根据数形结合可以看出切线与割线斜率分别是和值利用斜率坐标公式即可出．试题析()∵∴圆上故切线方程∴ l极坐标方程； ()直角坐标设与半圆 ()相切∴∴或 (舍)．设B则故直线斜率取值围． 3．选修5不等式选讲已知函数（）证明；（）不等式集【答案】（）见析；（）【析】【分析】（）利用绝对值不等式三角不等式可证明出结论成立；（）分、、三种情况分别出不等式集再取并集即可得出答案【详】（）由绝对值三角不等式可知即；（）当由得该不等式集空集；当由得得；当由得得综上所述不等式集【睛】题考绝对值不等式证明、绝对值不等式法考利用绝对值三角不等式证明不等式利用零分段法绝对值不等式考分类讨论思想属等题以下容“高数学该怎么有效学习？” 、先把教材上知识、理论看明白买参考做些练习如没问题了就可以做些对应节试卷做练习要对答案把己错题记下平学习也是看到有比较题方法或者己做错题目做标记或者记错题上考前那出复习复习、首先从课概念开始要能举出例子说明概念要能举出反例要能用己话释概念（理概念）然由概念开始进行独立推理活动要能把课公式、定理己推导遍（搞清龙脉）课例题要己先试做尽量己能做出（依靠己才是可靠力量）主动挑战问题（兴趣是老师）要常攻关些问题（白天攻晚上钻梦还惦着它）先看笔记做作业有高学生感到老师讲己已听得明明白白了但是什么己做题就困难重重了呢？其原因学生对教师所讲容理还没能达到教师所要层次因每天做作业前定要把课有关容和当天课堂笔记先看看能否坚持如常常是学生与差学生区别尤其练习题不太配套作业往往没有老师刚刚讲题目类型因不能对比消化如己又不对落实天长日久就会造成极损失做题加强反思学生定要明确现正坐着题定不是考试题目而是要运用现正做着题目题思路与方法因要把己做每道题加以反思总结下己收获要总结出这是道什么容题用是什么方法做到知识成片问题成串日久天长构建起容与方法科学络系统主动复习总结提高进行节总结是非常重要初是教师替学生做总结做得细致深刻完整高是己给己做总结老师不但不给做而且是讲到哪考到哪不留复习也没有明确指出做总结积累随整理要积累复习把课堂笔记练习单元测试各种试卷都分门别类按顺序整理每次就上面标记出己下次重容这样复习才能越越精目了然精挑慎选课外物初学生学数学如不看课外物般地说不会有什么影响高则不相高数学考是学生新题能力作名高生如只是围着己老师不论老师水平有多高必然都会存着很局限性因要想学数学必须打开扇门看看外面世界当然也不要立门户另起炉灶旦脱离校教学和己老师教学体系也必将事半功倍配合老师主动学习高学生学习主动性要强学生常常是完成作业就尽情欢乐初生基也是如听话孩子就能学习高则不然作业虽多但是只知道做作业就绝对不够；老师话也不少但是谁该干些什么了老师并不具体指明因高学生必须提高己学习主动性准备向将学生学习方法渡合理规划步步营高学习是非常紧张每学生都要投入己几乎全部精力要想能迅速进步就要给己制定较长远切实可行学习目标和计划详细安排己零星事项我们学习高数学候除了上课认真听老师讲外学习方法学习习惯也很重要只要学生认真努力数学成绩提高是很容易数学学习程千万不要有心理包袱和顾虑任何学科也是样是慢慢学习和积累程但要记住这程我们是否能真正学初三数学课程（或者其他课程）除了以上方法我们终目是要养成良学习习惯要培养出己优质学习兴趣要掌握和形成套己学习方法。

2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-理数3第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={x |y =√1-2x },B ={x |log 2x <-2},则A ∪B =A.(0,14)B.(-∞,14)C.(14,12]D.(-∞,12]2．已知复数z 的共轭复数为z ¯,且z ¯-2=3+4i z,则|z |=A.√13B.√5C.5D.√23．已知α,β是两个不同的平面,a ,b 是两条不同的直线,且a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,给出下列命题:①若a ∥b ,则α∥β;②若a ⊥b ,则α⊥β;③若α⊥β,则a ⊥b .其中错误命题的序号是A.①②B.②③C.①③D.①②③4．某省普通高校招生考试方案规定:每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中随机选3门参加选考科目的考试,假设每位考生选考任何3门科目的可能性相同,那么从该省的所有考生中,随机选取4人,他们的选考科目中都含有物理的概率为A.164B.364C.116D.145．若a =(√3)43,b =915,c =8710,则有A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.a >c >b6．若(ax−√x )6展开式中的常数项为60,则展开式中含x -3项的系数为 A.240B.120C.-240D.157．将函数f (x )=√3sin(2x +π4)的图象先向右平移π6个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12,得到函数g (x )的图象,则g (x )在[-π8,π3]上的最小值为A.0B.-12C.-√32D.-√38．运行如图所示的程序框图,则输出的S 的值为A.-115B.-35C.-37D.-99．已知经过坐标原点O 的直线与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)相交于M ,N 两点(M 在第二象限),A ,F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点,若直线MF 平分线段AN ,且|AF |=4,则该椭圆的方程为A.x 29+y 25=1B.x 236+y 24=1C.x 236+y 232=1D.x 225+y 224=110．在一个半球内挖去一个圆锥,所得几何体的三视图如图所示,已知该几何体的正视图与侧视图完全相同,且图中的三角形为正三角形,三角形的底边在图中半圆的直径上,上顶点在半圆弧的中点.若该几何体的表面积为10π,则该几何体的体积为A.3√3πB.11√33π C.√3π D.5√33π11．已知函数f (x )=13x 3+12bx 2+cx +d (b ,c ,d 为实数),若f (x )在区间(0,2)内有两个不同的极值点x 1,x 2(x 1<x 2),则f '(0),f '(2)满足A.两个都小于1B.只有一个小于1C.两个都不小于1D.至少有一个小于112．在△ABC 中,A =120°,AC =2AB =6,点D 满足AD⃗⃗⃗⃗⃗ =2x x+y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y2x+2y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为A.3√217B.3√7C.6√217D.3√2114第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知向量a =(1,2),b =(k ,-6),若a ⊥(b -a ),则k = . 14．已知α是第三象限角,且sin(α-π4)=-√55,则tan(α+π4)= .15．某图书出版公司到某中学开展奉献爱心图书捐赠活动,某班级获得了某品牌的图书共4本,其中数学、英语、物理、化学各一本.现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁4个人,每人一本,并请这4个人在看自己得到的赠书之前进行预测,结果如下.甲说:乙或丙得到物理书;乙说:甲或丙得到英语书;丙说:数学书被甲得到;丁说:甲得到物理书.最终结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测均不正确,那么甲、乙、丙、丁4个人得到的书分别是 .16．已知双曲线C 经过点(2,3),且该双曲线的其中一条渐近线的方程为y =√3x ,F 1,F 2分别为该双曲线的左、右焦点,P 为该双曲线右支上一点,点A (6,8),则当|PA |+|PF 2|取最小值时,点P 的坐标为 .三、解答题(共7题，每题12分，共84分)17．已知数列{a n }为正项数列,且n a n+12-4(n +1)a n 2=0,令b n =n√n.(1)求证:{b n }为等比数列;(2)若a 1=1,求数列{a n 2}的前n 项和S n .18．如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是梯形,AD ∥BC 且AD ⊥AB ,AB =BC =2AD =4,△PAB 是等边三角形,且平面PAB ⊥平面ABCD ,E 是PB 的中点,点M 在棱PC 上.(1)求证:AE ⊥BM ;(2)若M 为PC 的中点,求平面DME 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值.19．NBA 球员的比赛得分是反映球员能力和水平的重要数据之一,在2017-2018赛季NBA 常规赛中,球员J 和H 在某15场常规赛中的每场比赛得分如图所示.(1)试以此样本估计球员J 在本赛季的场均得分以及球员H 在本赛季参加的75场常规赛中,得分超过32分的场数.(2)对以上样本数据,从两个球员得分都超过35分的场次中各随机抽取2场,进一步研究两名球员的得分情况,求在恰有一名球员的2场比赛得分都超过37分的条件下,该球员是H 的概率.(3)效率值是更能反映球员能力和水平的一项指标,现统计了球员J 在上述15场比赛中部分场次的得分与效率值,如表所示:若球员J 每场比赛的效率值y 与得分x 具有线性相关关系,试用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程(结果精确到0.001),并由此估计在上述15场比赛中,效率值超过31的场数.参考公式:b^=∑i=1n(x i −x-)(y i −y -)∑i=1nx i 2−nx-2=∑i=1nx i y i −nx -y -∑i=1nx i 2−nx-2,a ^=y -−b ^x -.参考数据:∑i=15x i y i =3 288.2,∑i=15x i 2=3 355.20．已知抛物线C 1:y 2=2px (p >0),圆C 2:(x -1)2+y 2=r 2(r >0),抛物线C 1上的点(1,y 0)到其焦点的距离为54.(1)求抛物线C 1的方程.(2)如图,已知点P 为抛物线C 1在第一象限内一点,且横坐标为2,过点P 作圆C 2的两条切线分别交抛物线C 1于点A ,B (A ,B 异于点P ),问是否存在圆C 2使得AB 恰为其切线?若存在,求出r ;若不存在,请说明理由.21．已知函数f (x )=e x (ax 2+x )+1,其中e 为自然对数的底数,a ∈R .(1)若函数f (x )在[1,2]上单调递减,求实数a 的取值范围; (2)若函数g (x )=f(x)xe x-1在(-∞,0)上有两个不同的零点x 1,x 2,求证:x 1+x 2+4<0.22．已知平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =1-35t,y =1+15t(t 为参数),椭圆C 的标准方程是x 29+y 2=1.(1)求直线l 的普通方程以及椭圆C 的参数方程;(2)若点M (2,2),点N 在椭圆C 上,求线段MN 的中点P 到直线l 的距离的最大值.23．已知函数f (x )=|1-4x |-|1+2x |.(1)解不等式f (x )≤4;(2)若不等式f (x )≤k -f (-x2)有解,求实数k 的取值范围.参考答案1.D【解析】本题考查集合的并运算以及函数的定义域等,考查的核心素养是数学运算. 先求出集合A ,B ,再结合数轴求并集.因为A ={x |y =√1-2x }={x |x ≤12},B ={x |log 2x <-2}={x |0<x <14},所以A ∪B =(-∞,12].【备注】无 2.B【解析】本题考查复数的模、共轭复数、复数的四则运算以及复数相等的充要条件,考查的核心素养是数学运算.设出复数z 的代数形式,然后利用复数相等的充要条件求出复数z ,最后求得|z |. 由z ¯-2=3+4i z可得z (z ¯-2)=3+4i.设z =x +y i(x ,y ∈R ),则(x +y i)(x -y i-2)=3+4i,整理得x 2+y 2-2x -2y i=3+4i,所以{x 2+y 2-2x =3,-2y =4,得{x =1,y =-2,则z =1-2i,|z |=√5.【备注】无 3.D【解析】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系,考查的核心素养是直观想象、逻辑推理.画出空间图形,考虑各种可能的情形,进行分析、判断.如图(1),虽然a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,且a ∥b ,但是α与β相交,①错误;如图(2),虽然a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,且a ⊥b ,但是α不垂直于β,②错误;如图(3),虽然a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,且α⊥β,但是a ∥b ,③错误.故错误命题的序号为①②③.【备注】无 4.C【解析】本题考查古典概型、独立重复试验及其应用,考查的核心素养是逻辑推理、数据分析.首先求出任意一位考生的选考科目中含有物理的概率都为12,再利用独立重复试验的概率计算公式计算所求概率.依题意知,该省的任意一位考生的选考科目中含有物理的概率都为C 52C 63=12,故随机选取4人,他们的选考科目中都含有物理的概率为C 44·(12)4=116.【备注】无 5.B【解析】本题考查指数函数的性质及其应用,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理. 先利用指数函数的性质比较a ,b 的大小,并确定它们的大致范围,再确定c 的大致范围,最后确定三者的大小关系. 因为a =(√3)43=323,b =915=325,且1>23>25,所以3>323>325,即3>a >b .又c =8710=22110>4,所以c >a >b . 【备注】无 6.A【解析】本题考查二项式定理的应用,考查的核心素养是数学运算.先根据二项展开式的通项公式及展开式中的常数项为60求得实数a 的值,再求出含x -3项的系数. (ax −√x )6的展开式的通项T r +1=C 6r (a x )6-r (-√x)r=(-1)r C 6r a 6-r ·x 32r-6,令32r -6=0,解得r =4,于是(-1)4C 64a 2=60,解得a =±2.再令32r -6=-3,解得r =2,故展开式中含x -3项的系数为(-1)2C 62a 4=240.【备注】无 7.D【解析】本题考查三角函数图象的变换以及三角函数的性质,考查的核心素养是直观想象、逻辑推理以及数学运算.首先求出g (x )的解析式,然后求g (x )在[-π8,π3]上的最小值.将函数f (x )=√3sin(2x +π4)的图象先向右平移π6个单位长度,得y =√3sin[2(x -π6)+π4]=√3sin(2x -π12)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12,得g (x )=√3sin(4x -π12)的图象.当x ∈[-π8,π3]时,4x -π12∈[-7π12,5π4],因此当4x -π12=-π2,即x =-5π48时,g (x )在[-π8,π3]上取得最小值-√3.【备注】无 8.B【解析】本题考查“当型”循环结构的程序框图及其应用,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.运行该程序框图,k =1,S =1;S =3×1-2×1=1,k =2;S =3×1-2×2=-1,k =3;S =3×(-1)-2×3=-9,k =4;S =3×(-9)-2×4=-35,k =5.不满足k <5,故输出S =-35. 【备注】无 9.C【解析】本题考查椭圆的方程与几何性质,考查三角形的相似及其应用,考查逻辑推理能力和运算求解能力.试题的命制立足于基础知识,考生可以根据几何直观与椭圆的几何性质解题,突出对数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养的考查.取AN 的中点P ,连接MA ,OP ,可证△OFP ∽△AFM ,从而可求得c 的值,进而求得a ,b 2的值,得到椭圆的方程.解法一 由|AF |=4得a -c =4,设线段AN 的中点为P ,M (m ,n ),则N (-m ,-n ),又A (a ,0),所以P (a-m 2,-n 2),F (a -4,0).因为点M ,F ,P 在一条直线上,所以k MF =k FP ,即n-0m-(a-4)=-n 2-0a-m2-(a-4),化简得a =6,所以c =2,b 2=62-22=32,故该椭圆的方程为x 236+y 232=1.解法二 如图,取AN 的中点P ,连接MA ,OP ,因为O 是MN 的中点,P 是AN 的中点,所以OP ∥MA ,且|OP |=12|MA |,因此△OFP ∽△AFM ,所以|OF||AF|=|OP||AM|=12,即c 4=12,因此c =2,从而a =c +|AF |=2+4=6,故b 2=62-22=32,故该椭圆的方程为x 236+y 232=1.【备注】无 10.D【解析】本题考查几何体的三视图,几何体表面积、体积的求法,球的体积、表面积公式等,考查空间想象能力和运算求解能力.试题通过三视图重点考查考生对空间几何体及“切割”问题的掌握情况,考查直观想象、数学运算等核心素养.利用三视图的性质及几何体的表面积求出半球的半径以及圆锥的底面半径、高和母线长,从而计算几何体的体积.设半球的半径为R ,圆锥的底面半径为r ,则圆锥的高为R ,母线长为2r ,因此2r ·√32=R ,即R =√3r .因为该几何体的表面积由圆锥的侧面积以及半球的表面积减去圆锥的底面积构成,所以12·4π·(√3r )2+π·(√3r )2-πr 2+π·r ·2r =10π,得r =1.因此该几何体的体积V =12×43π×(√3)3-13π×12×√3=5√33π. 【备注】对一个几何体进行挖切后,所得几何体与原几何体相比,所得几何体在减少一些面的同时,又会增加另外的一些面,在求解所得几何体的表面积时,不能忽视这一点. 11.D【解析】本题主要考查导数、函数的极值点、基本不等式的应用等,考查逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.试题结合函数与导数知识命制发散性试题,对考生的创新意识要求较高,将要解决的问题转化为比较f '(0)·f '(2)与1的大小关系,体现了逻辑推理、数学运算等核心素养. 易得f '(x )=x 2+bx +c ,由f (x )在区间(0,2)内有两个不同的极值点x 1,x 2(x 1<x 2),可知方程x 2+bx +c =0有两个不同的实数根x 1,x 2,且0<x 1<x 2<2,则f '(x )=(x -x 1)(x -x 2),则f '(0)·f '(2)=(0-x 1)(0-x 2)(2-x 1)(2-x 2) =[(x 1-0)(2-x 1)]·[(x 2-0)(2-x 2)] ≤[(x 1-0)+(2-x 1)2]2·[(x 2-0)+(2-x 2)2]2=1, 当且仅当{x 1-0=2-x 1,x 2-0=2-x 2时取等号,但由x 1<x 2知,等号不成立,所以f '(0)·f '(2)<1,则f'(0), f '(2)中至少有一个小于1.【备注】无 12.A【解析】本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用以及平面向量的相关知识,考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算求解能力.试题用向量的几何性质创设解三角形的情境,注重通性通法,全面考查逻辑推理和数学运算等核心素养,为考生灵活运用数学知识、思想方法解决问题提供了空间.延长AB 至点M ,使得AB =BM ,取AC 的中点N ,连接MN ,M C.首先将已知向量表达式变形,据此推出点D 在直线MN 上,从而将问题转化为求A 点到直线MN 的距离问题,然后由余弦定理以及三角形面积公式通过等面积法求出|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值.解法一 延长AB 至点M ,使得AB =BM ,取AC 的中点N ,连接MN ,M C.则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx+y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y 2x+2y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x x+y AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yx+y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为xx+y+yx+y =1,所以D ,M ,N 三点共线,即D 点在直线MN 上.因此|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值即A 点到直线MN 的距离,作AH ⊥MN ,垂足为H ,则AH 的长即|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值.易知△AMN ≌△ACB ,则S △AMN =S △ABC =12·AB ·AC ·sin A =12×3×6×sin 120°=9√32. 由余弦定理可得MN =BC =√32+62-2×3×6×cos120°=3√7, 因此有12×3√7×AH =9√32,解得AH =3√217.故|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为3√217. 解法二 由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx+y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y2x+2yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(2x x+y )2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+(y 2x+2y )2|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2·2x x+y ·y 2x+2y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =36x 2(x+y)2+36y 2(2x+2y)2−18xy (x+y)2=9·4x 2-2xy+y 2x 2+2xy+y2.令4x 2-2xy+y 2x 2+2xy+y2=t ,则(4-t )x 2-(2+2t )xy +(1-t )y 2=0.易知|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时,y ≠0,所以当y ≠0时,令xy=m ,则(4-t )m 2-(2+2t )m +(1-t )=0,依题意有Δ=[-(2+2t )]2-4(4-t )(1-t )≥0,解得t ≥37,因此|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2≥277,所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥3√217,故|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为3√217. 【备注】【解后反思】本题给出了两种解法,其中解法二解题过程复杂繁琐,部分考生很难做出正确结果;解法一的解题过程相对简单,需要考生认真分析题目中给出的向量表达式,在原三角形的基础上,通过延长边AB 以及取边AC 的中点,结合三点共线的条件,确定D 点所在的直线,再利用余弦定理、三角形面积公式即可求得结果. 13.17【解析】本题考查向量的坐标表示、向量垂直等,考查考生对基础知识的掌握情况. 利用向量垂直得到相关等式,解出k 即可.由题意知,b -a =(k -1,-8),a ·(b -a )=0,即k -1+2×(-8)=0,解得k =17. 【备注】无 14.-2【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式,考查考生的化归与转化能力和运算求解能力.因为α是第三象限角,所以π+2k π<α<3π2+2k π,k ∈Z,所以3π4+2k π<α-π4<5π4+2k π,k ∈Z,所以cos(α-π4)<0,所以sin(α+π4)=sin[(α-π4)+π2]=cos(α-π4)=-√1-sin 2(α-π4)=-2√55,cos(α+π4)=cos[(α-π4)+π2]=-sin(α-π4)=√55, 所以tan(α+π4)=sin(α+π4)cos(α+π4)=-2. 【备注】无15.化学、英语、数学、物理【解析】本题考查推理的相关知识,考查的核心素养是逻辑推理.从4个人的预测结果均不正确入手,逐一分析,推断出甲、乙、丙、丁4个人得到的书. 由甲、丁的预测均不正确可知,丁得到的是物理书,结合乙的预测不正确可知,乙得到的是英语书,结合丙的预测不正确可知,甲得到的是化学书,故丙得到的是数学书. 【备注】无 16.(1+3√22,3+3√22) 【解析】本题主要考查双曲线的定义、几何性质,考查数形结合思想、化归与转化思想.由题意,可设双曲线C 的方程为y 2-3x 2=k ,将(2,3)代入,得32-3×22=k ,得k =-3,故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1,作出双曲线C 如图所示,连接PF 1,AF 1.由双曲线的定义,得|PF 1|-|PF 2|=2,所以|PF 2|=|PF 1|-2,则|PA |+|PF 2|=|PA |+|PF 1|-2≥|AF 1|-2,当且仅当A ,P ,F 1三点共线时,等号成立.由A (6,8),F 1(-2,0),得直线AF 1的方程为y =x +2,由{y =x +2,x 2-y 23=1,得2x 2-4x -7=0,解得x =1±3√22,因为点P 在双曲线的右支上,所以点P 的坐标为(1+3√22,3+3√22). 【备注】无 17.解:(1)由n a n+12-4(n +1)a n 2=0,得a n+12n+1=4·a n 2n,因为a n >0,所以n+1√n+1=2·n√n.又b n =n√n,所以b n +1=2b n ,因此b n+1b n=2.故数列{b n }是公比为2的等比数列. (2)b 1=1√1=1,所以结合(1)得b n =2n -1,即n√n=2n -1,所以a n =√n ·2n -1,因此a n 2=n ·4n -1.于是S n =1+2×4+3×42+…+n ×4n -1,所以4S n =1×4+2×42+3×43+…+(n -1)×4n -1+n ×4n , 以上两式相减得,-3S n =1+4+42+…+4n -1-n ·4n=1-4n 1-4-n ·4n=(1-3n)·4n -13.故S n =(3n-1)·4n +19.【解析】本题考查等比数列的定义以及通项公式,考查用错位相减法求数列的前n 项和. 试题主要考查等比数列的概念和通项公式、错位相减法,引导考生培养提取有效信息的能力,用数学思想方法分析问题、解决问题的能力,较好地体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.(1)将已知条件进行变形,可得到b n +1,b n 的关系,然后根据等比数列的定义即可证得结论;(2)结合(1)先求出数列{b n }的通项公式,再得到数列{a n 2}的通项公式,最后用错位相减法求前n项和. 【备注】无18.解:(1)因为AD ∥BC 且AD ⊥AB ,所以BC ⊥A B.又平面PAB ⊥平面ABCD ,且平面PAB ∩平面ABCD =AB ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面PAB , 因此BC ⊥A E.因为△PAB 是等边三角形,E 是PB 的中点,所以AE ⊥P B. 又BC ∩PB =B ,所以AE ⊥平面PBC , 又BM ⊂平面PBC ,故AE ⊥BM .(2)解法一 如图,以AB 的中点O 为坐标原点,OB ,OP 所在直线分别为x 轴、z 轴,过点O 且平行于BC 的直线为y 轴,建立空间直角坐标系,则O (0,0,0),D (-2,2,0),P (0,0,2√3),C (2,4,0),所以PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,-2√3),PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4,-2√3). 设平面PDC 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则由{n 1·PD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{-2x 1+2y 1-2√3z 1=0,2x 1+4y 1-2√3z 1=0,取x 1=1,则y 1=-2,z 1=-√3,所以n 1=(1,-2,-√3)是平面PDC 的一个法向量. 因为B (2,0,0),E 是PB 的中点,所以E (1,0,√3). 因为M 为PC 的中点,所以M (1,2,√3), 于是DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-2,√3),DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,√3). 设平面DME 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则由{n 2·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{3x 2-2y 2+√3z 2=0,3x 2+√3z 2=0,取x 2=1,则y 2=0,z 2=-√3,所以n 2=(1,0,-√3)是平面DME 的一个法向量. 所以|cos<n 1,n 2>|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=2√2×2=√22. 故平面DME 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为√22. 解法二 因为M 为PC 的中点,E 是PB 的中点, 所以EM ∥BC ,EM =12BC =2,由题意易得AD ⊥AP ,所以PD =2+AP 2=√22+42=2√5, 因为PB ⊥BC ,所以PC =√PB 2+BC 2=√42+42=4√2, 又DC =√AB 2+(BC-AD)2=2√5,所以PD =DC ,又M 为PC 的中点,所以DM ⊥P C. 易知DM =AE =2√3,AD ⊥AE ,所以DE =√AD 2+AE 2=√22+(2√3)2=4, 所以DM 2+EM 2=DE 2,因此DM ⊥EM ,因此∠PME 就是平面DME 与平面PDC 所成锐二面角的平面角. 又EM ∥BC ,所以∠PME =∠PCB =45°,所以cos∠PME =√22.故平面DME 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为√22.【解析】本题考查空间中线线垂直的证明以及二面角余弦值的求解,考查逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力.试题在全面考查考生立体几何基础知识的同时,通过问题的分层设计,使不同层次考生的水平都得以发挥,体现了《课程标准》对立体几何教学的知识要求和能力要求,使直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养得到了有效考查.(1)要证AE ⊥BM ,只需证明AE ⊥平面PBC ,而易知AE ⊥PB ,再通过BC ⊥平面PAB 证得BC ⊥AE ,即可使问题得证;(2)可建立空间直角坐标系利用空间向量法求解,也可利用几何法在图形中找到所求锐二面角的平面角,然后在三角形中求解. 【备注】无19.解:(1)由样本数据可得球员J 在15场比赛中的场均得分为115(15+18+21+22+22+24+27+30+32+33+36+37+38+39+41)=29(分),故球员J 在本赛季的场均得分约为29分.由样本数据可得球员H 在15场比赛中,得分超过32分的有6场,故球员H 在本赛季参加的75场常规赛中,得分超过32分的场数约为615×75=30.(2)设事件A :“恰有一名球员的2场比赛得分都超过37分”. 事件B :“2场比赛得分都超过37分的球员是H”.依题图知,球员J 得分超过35分的场数是5,球员H 得分超过35分的场数是4. 球员J 得分超过37分的场数是3,球员H 得分超过37分的场数是3. 所以P (A )=C 32·3+C 32·(C 21C 31+1)C 52C 42=12,P (AB )=C 32·(C 21C 31+1)C 52C 42=720,故P (B |A )=P(AB)P(A)=72012=710.故在恰有一名球员的2场比赛得分都超过37分的条件下,该球员是H 的概率为710.(3)由已知数据可得x ¯=18+21+27+30+315=25.4,y ¯=19+20.5+26.5+28.8+30.25=25,因为∑i=15x i y i =3 288.2,∑i=15x i 2=3 355,所以b ^=∑i=15x i y i -5x ¯ y¯∑i=15x i2-5x ¯2=3 288.2-5×25.4×253 355-5×25.42≈0.876于是a ^=y ¯−b ^x ¯≈25-0.876×25.4≈2.750,故回归直线方程为y =0.876x +2.750.由于y 与x 正相关,且当x =32时,y =0.876×32+2.750=30.782<31, 当x =33时,y =0.876×33+2.750=31.658>31,因此估计在15场比赛中,当球员J 的得分为33,36,37,38,39,41时,效率值超过31,共6场.【解析】本题考查茎叶图、样本的数字特征及其应用,考查条件概率的求解以及回归直线方程,考查的核心素养是数据分析、数学运算.(1)利用样本的数字特征估计总体的数字特征,运用相关公式计算即可;(2)设出相关事件,利用条件概率的计算公式进行计算;(3)代入相关数据,求出回归直线方程,并将样本数据代入进行判断.【备注】【解后反思】本题第(2)问是条件概率的计算问题,解决这类问题时,首先要用字母表示相关事件,然后利用条件概率的计算公式求解,其中要特别注意P (AB )是指事件A 和B 同时发生的概率.20.解:(1)由题意得,抛物线的焦点为(p2,0),1+p2=54,解得p =12,所以抛物线C 1的方程为y 2=x . (2)由(1)知,P (2,√2).假设存在圆C 2使得AB 恰为其切线,设A (y 12,y 1),B (y 22,y 2),则直线PA 的方程为y -√2=y 1-√2y 12-2·(x -2),即x -(y 1+√2)y +√2y 1=0.由点C 2(1,0)到PA 的距离为r ,得√2y 1√1+(y 1+√2)2=r ,化简,得(2-r 2)y 12+2√2(1-r 2)y 1+1-3r 2=0,同理,得(2-r 2)y 22+2√2(1-r 2)y 2+1-3r 2=0.所以y 1,y 2是方程(2-r 2)y 2+2√2(1-r 2)y +1-3r 2=0的两个不等实根, 故y 1+y 2=-2√2(1-r 2)2-r ,y 1y 2=1-3r 22-r. 易得直线AB 的方程为x -(y 1+y 2)y +y 1y 2=0, 由点C 2(1,0)到直线AB 的距离为r ,得12√1+(y 1+y 2)2=r ,所以(1+1-3r 22-r 2)2=r 2+r2[-2√2(1-r 2)2-r 2]2, 于是,(3-4r 2)2=r 2(2-r 2)2+8r 2(1-r 2)2,化简,得r 6-4r 4+4r 2-1=0,即(r 2-1)(r 4-3r 2+1)=0. 经分析知,0<r <1,因此r =√5-12, 所以存在圆C 2使得AB 恰为其切线,且r =√5-12. 【解析】本题主要考查抛物线的定义和几何性质,直线与圆、抛物线的位置关系等,考查运算求解能力、数形结合思想.试题以抛物线和圆为载体设题,求解时利用直线与圆、抛物线的位置关系列方程,彰显了直观想象、逻辑推理及数学运算等核心素养,考查考生思维的灵活性和综合应用知识解决问题的能力.(1)由抛物线的定义和几何性质列出方程,求出p 的值,进而可求出抛物线的方程;(2)设出A ,B 两点的坐标,得到直线PA ,PB ,AB 的方程,利用圆心到PA ,PB ,AB 的距离均为r 列出方程,结合题意,求出r 的值.【备注】【易错警示】本题在利用直线与圆相切得到关于r 的方程(r 2-1)(r 4-3r 2+1)=0后,可以求得6个r 的值,根据r >0可排除3个值,但很多考生不能分析出0<r <1,从而在另外3个值的取舍上出错21.解:(1)f '(x )=e x [ax 2+(2a +1)x +1],因为f (x )在[1,2]上单调递减,所以e x (ax 2+2ax +x +1)≤0在[1,2]上恒成立, 即ax 2+2ax +x +1≤0在[1,2]上恒成立,所以a ≤-x+1x 2+2x在[1,2]上恒成立.令p (x )=-x+1x 2+2x,则p'(x )=x 2+2x+2(x 2+2x)2>0,所以p (x )在[1,2]上单调递增,所以当x ∈[1,2]时,p (x )min =p (1)=-23,故实数a 的取值范围为(-∞,-23]. (2)g (x )=f(x)xex -1=ax +1xex =x (a +1x 2e x),令h (x )=a +1x 2ex ,则h'(x )=-(x+2)x 3e x.当x <-2时,h'(x )<0,h (x )单调递减; 当-2<x <0时,h'(x )>0,h (x )单调递增. 所以h (x )在x =-2处取得极小值a +e 24.依题意知h (x )在(-∞,0)上有两个不同的零点x 1,x 2,不妨设x 1<x 2, 则x 1<-2<x 2<0.令F (x )=h (-2+x )-h (-2-x ),-2<x <0, 则F (x )=a +1(x-2)e -a -1(x+2)e =e 2-x (x-2)−e 2+x(x+2),-2<x <0,F'(x )=xe 2-x (2-x)3−xe 2+x(x+2)3=x [e 2-x(2-x)3−e 2+x(x+2)3]. 令P (x )=e xx3,则P'(x )=e x (x-3)x 4,显然当0<x <3时,P'(x )<0,P (x )在(0,3)上单调递减,当x >3时,P'(x )>0,P (x )在(3,+∞)上单调递增.当-2<x <0时,2<2-x <4,0<2+x <2,因为P (2)-P (4)=e 28−e 464=e 2(8-e 2)64>0,所以P (2)>P (4),所以当-2<x <0时,P (2-x )<P (2+x ),即当-2<x <0时,e 2-x(2-x)−e 2+x(x+2)<0,于是F'(x )>0,所以F (x )在(-2,0)上单调递增,于是F (x )<F (0)=0,所以当-2<x <0时,h (-2+x )<h (-2-x ).又-2-x 2∈(-2,0),所以h [-2+(-2-x 2)]<h [-2-(-2-x 2)],即h (-4-x 2)<h (x 2)=h (x 1).因为-4-x 2<-2,x 1<-2,且h (x )在(-∞,-2)上单调递减,所以-4-x 2>x 1,故x 1+x 2+4<0.【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及函数的零点问题,考查考生分析问题、解决问题的能力.试题通过利用导数研究函数的单调性、极值等,体现对逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的考查.【备注】无22.解:(1)由{x =1-35t,y =1+15t 消去参数得,x -1=-3(y -1),整理得直线l 的普通方程为x +3y -4=0. 因为椭圆C 的标准方程是x 29+y 2=1,所以椭圆C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ(θ为参数). (2)设N (3cos θ,sin θ),又M (2,2),所以点P 的坐标为(3cosθ+22,sinθ+22), 于是点P 到直线l 的距离d =|3cosθ+22+3·sinθ+22-4|√10=3√510|sin(θ+π4)|, 因此当|sin(θ+π4)|=1时,d max =3√510.故线段MN 的中点P 到直线l 的距离的最大值为3√510. 【解析】【考查目标】本题考查直线、椭圆的参数方程与普通方程的互化,考查的核心素养是数学抽象、数学运算.(1)消去参数t 即得直线l 的普通方程,引进参数θ即得椭圆C 的参数方程;(2)利用椭圆C 的参数方程设出N 点的坐标,然后根据中点坐标公式得到P 点坐标,利用点到直线的距离公式得到点P 到直线l 的距离关于θ的表达式,最后结合三角函数知识求得最大值.【备注】无23.解:(1)不等式f (x )≤4可化为不等式组:①{x ≥14,4x-1-(2x +1)≤4或②{-12<x <14,1-4x-(2x +1)≤4或③{x ≤-12,1-4x +(2x +1)≤4.解①得14≤x ≤3,解②得-12<x <14,解③得-1≤x ≤-12, 所以-1≤x ≤3,故不等式f (x )≤4的解集为{x |-1≤x ≤3}.(2)由f (x )≤k -f (-x 2)可得|1-4x |-|1+2x |≤k -(|1+2x |-|1-x |),整理得k ≥|1-4x |-|1-x |. 令g (x )=|1-4x |-|1-x |,则g (x )={3x,x ≥1,5x-2,14<x <1,-3x,x ≤14,因此当x =14时,g (x )取得最小值-34. 故当不等式f (x )≤k -f (-x 2)有解时,实数k 的取值范围是[-34,+∞). 【解析】本题考查绝对值不等式的解法、不等式有解,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.(1)利用零点分段法求解;(2)将原不等式整理成k ≥|1-4x |-|1-x |的形式,令g (x )=|1-4x |-|1-x |,将g (x )=|1-4x |-|1-x |化为分段函数,并求得其最小值,即得实数k 的取值范围.【备注】无。

2020年高考押题预测卷01【新课标Ⅲ卷】理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．己知集合{|1}A x x =≤-，{|0}B x x =>，则()A B =R ðA ．(1,)-+∞B ．(,0]-∞C ．[1,0)-D ．(1,0]-2．已知i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，若复数1i1iz +=-，则z z ⋅= A ．1-B ．iC ．1D ．43．已知tan 3α=，则cos(2)2απ+= A ．45-B ．35-C ．35D ．454．已知双曲线221y x m-=m 的取值范围为A ．1(,)2+∞B ．[1,)+∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞5．若2(2nx的展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式中的常数项为 A ．10-B ．5-C ．5D ．106．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为 A ．23岁B ．32岁C ．35岁D ．38岁7．已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积为AB ．13CD8．函数ln ||()x f x x=的大致图象为A B C D9．若x ，y 满足约束条件212x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则12x y +的最小值为A ．12-B ．1C ．74D ．410．已知直线l 与圆22:4O x y +=相切于点(，点P 在圆22:40M x x y -+=上，则点P到直线l 的距离的最小值为 A ．1BCD ．211．在三棱锥D ABC -中，AC BC BD AD ====，且线段AB 的中点O 恰好是三棱锥D ABC -的外接球的球心．若三棱锥D ABC -，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为 A ．64πB ．16πC ．8πD ．4π12．已知对任意的[1,e]x ∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln e 0yx y a +-=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为 A ．[1,e]B ．1(1,e 1)e++C ．1(,1e]e+D ． 1(1,e]e+第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(1,2)=a ，(3,)t =b ，若()+⊥a b a ，则t =________________．14．已知函数()(1)e xf x ax =+在点(0,(0))f 处的切线经过点(1,)1-，则实数a =________________．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 外一点P 满足212PF F F ⊥，且212||||P F FF =，线段1PF ，2PF 分别交椭圆C 于点A ，B ，若1||||P A A F =，则22||||BF PF =________________． 16．已知数列{}n a 满足11a =，*1()2nn n a a n a +=∈+N ，数列{}n b 是单调递增数列，且1b λ=-，1n b +=*(2)(1)()n nn a n a λ+-∈N ，则实数λ的取值范围为________________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin sin sin b c a C Abc B+--=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC △ABC △周长的最小值． 18．（本小题满分12分）为响应低碳绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车每次租车收费的标准由以下两部分组成：①根据行驶里程按1元/公里计费；②当租车时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；当租车时间超过40分钟时，超出的部分按0.20元/分钟计费（租车时间不足1分钟按1分钟计算）．已知张先生从家到公司的距离为15公里，每天租用该款汽车上下班各一次，且每次租车时间20[],60t ∈（单位：分钟）．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上租车时间t 是一个变量，现统计了张先生50次路上租车的时间，整理后得到下表：（Ⅰ）求张先生一次租车费用y （元）与租车时间t （分钟）的函数关系式；（Ⅱ）公司规定员工上下班可以免费乘坐公司班车，若不乘坐公司班车的每月（按22天计算）给800元车补．从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司班车还是选择新能源分时租赁汽车？（Ⅲ）若张先生一次租车时间不超过40分钟为“路段畅通”，将频率视为概率，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列与数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD CDA ∠=∠=︒，PA ⊥平面A B C D，1PA AD DC ===，2AB =．（Ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若(21)PQ PB =-，求二面角P AC Q --的大小． 20．（本小题满分12分）已知点M ，N 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，线段MN 的中点的纵坐标为4，直线MN 的斜率为12． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）已知点(1,2)P ，A ，B 为抛物线C （原点除外）上不同的两点，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且12112k k -=，记抛物线C 在点A ，B 处的切线交于点S ，若线段AB 的中点的纵坐标为8，求点S 的坐标． 21．（本小题满分12分）已知函数()e ()xfx ax a =-∈R 的图象与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线的斜率为2-．（Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设2()31g x x x =-+，证明：当0x >时，()()f x g x >恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为sin()04ρθπ-+=．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点，求点M 到直线l 的距离的最大值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|||f x x x m =++-．（Ⅰ）若不等式()3f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若关于x 的不等式2()2f m m x x -≥-的解集非空，求实数m 的取值范围．2020年高考等值试卷★预测卷理科数学（全国Ⅲ卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0} 2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣114．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣16808．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．189．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+] 11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．412．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0}【解答】解：解一元二次不等式x2+2x﹣3≤0得：﹣3≤x≤1，即A＝{x|﹣3≤x≤1}，解根式不等式＜2得：0≤x＜4，即B＝{x|0≤x＜4}，即A∩B＝，故选：B．2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．【解答】解：z＝＝＝＝﹣﹣i，则|z|＝＝＝＝，故选：D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣11【解答】解：数列{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a3＝5，S4＝24，∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，联立解得a1＝9，d＝﹣2，则a9＝9﹣2×8＝﹣7．故选：B．4．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），∴3α＝5，∴α＝log35∈（1，2），∴0＜a＝（）α＜1，b＝＞1，c＝logα＜logα1＝0，∴c＜a＜b．故选：A．5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户【解答】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确；该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确；该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确；该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D．6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．【解答】解：延长OC到E，使得CE＝OC＝，连AE，BE，则四边形OAEB为平行四边形，∴BE＝1，∴cos∠OBE＝＝，∴∠OBE＝，∴∠AOB＝π﹣∠OBE＝π﹣＝．故选：C．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣1680【解答】解：（1+2x﹣）8的展表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，故其中有2个因式取2x，有2个因式取﹣，其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项．故展开式中x2y2项的系数是•22•••＝420，故选：A．8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．18【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2，该刍薨的体积为，故选：B．9．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除C，f（π）＝1﹣＜0，排除B，f（）＝6﹣≈6﹣＞4，排除D，故选：A．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+]【解答】解：如图，作直线x+2y＝0，当直线上移与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z＝x+2y 取最大值，此时，圆心（0，1）到直线z＝x+2y的距离等于1，即，解得z的最大值为：2+，当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+2y取最小值，同理，即z的最小值为：﹣2，所以z∈．故选：C．11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：f（x）＝|cos x|+cos|2x|＝|cos x|+2cos2|x|﹣1，由cos|x|＝cos x，可得f（x）＝|cos x|+2cos2x﹣1＝2|cos x|2+|cos x|﹣1，由f（﹣x）＝2|cos（﹣x）|2+|cos（﹣x）|﹣1＝f（x），则f（x）为偶函数，故①正确；可令t＝|cos x|，可得g（t）＝2t2+t﹣1，由y＝|cos x|的最小正周期π，可得f（x）的最小正周期为π，故②正确；由y＝cos x在[﹣，0]递增，在[0，]递减，可得f（x）在[，π]递增，在[π，]递减，故③错误；由t∈[0，1]，g（t）＝2（t+）2﹣，可得g（t）在[0，1]递增，则g（t）的值域为[﹣1，2]，故④错误．故选：B．12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101【解答】解：依题意，因为N满足条件①N＞80②N是2的整数次幂，所以S n＝N＝2k，（k∈N*，且k≥7）如图：第m行各项的和为2m﹣1，前m行之和＝（21﹣1）+（22﹣1）+……+（2m﹣1）＝（2+22+23+……+2m）﹣m＝2m+1﹣m﹣2，设满足条件的n在第m+1行，则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1，故N＝2m+1，则m+2＝1+2+4+……+2s，则满足条件的m的最小值为13，且N为第14行的第4项．所以n＝+4＝95．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，a＝2，b＝，∴c＝＝1∴e＝＝．故答案为：．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为06．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行【解答】解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，舍去）06；所以选出来的第6个个体编号为06．故答案为：06．15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．【解答】解：抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，可得直线AF的方程为y＝1﹣x，设M（x1，y1），N（﹣，y2），可得y2＝1﹣•（﹣）＝2，由|FM|：|MN|＝1：2，可得＝，可得y1＝，代入直线方程可得x1＝，代入抛物线方程可得＝a•，可得a＝．故答案为：．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．【解答】解：设BE＝x，EC＝y，则BC＝AD＝x+y，∵SA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，∴SA⊥ED，∵AE⊥ED，SA∩AE＝A，∴ED⊥平面SAE，∴ED⊥SE，由题意得AE＝，ED＝，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴x2+3+y2+3＝（x+y）2，化简，得xy＝3，在Rt△SED中，SE＝，ED＝＝，∴S△SED＝＝，∵3x2+≥2＝36，当且仅当x＝，时，等号成立，∴＝．∴△SED面积的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．【解答】（1）由（a﹣b）2＝c2﹣ab，得a2+b2﹣c2＝ab，所以由余弦定理，得，又因为C∈（0，π），所以；（2）由，得，得﹣4c sin A+b sin C＝0，由正弦定理，得4ca＝bc．因为c≠0，所以4a＝b，又因a＝1，所以b＝4，所以△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵AC＝BC，AB＝2BC，∴，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠CAB＝30°，设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC cos30°＝3，∴CD＝，∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，∵PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB，又CD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．（2）解：∵PD⊥平面ABC，∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），＝（0，﹣3，﹣3），＝（），则＝＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，﹣1，1），设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，可得，①由题意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直线MN的斜率k＝＝﹣，所以直线MN的方程y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，所以直线MN的方程x+2y﹣2＝0；（2）由题意可知设直线MN的方程y＝k（x﹣p），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，则x1+x2＝，，x1x2＝，由k QM+k QN＝0，则+＝0，即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）＝0，∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，化简得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq ＝0，∴﹣﹣+2pq＝0，化简得：2pq﹣8＝0，∴pq＝4．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．【解答】解：（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为x A，x B，x C，x D为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序x A，x B，x C，x D为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，再研究y A y B y C y D的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820 P（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，这个结果发生的可能性很小，∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．【解答】解：（1）①当a＞0时，则f（x）的定义域为（﹣，+∞），＝，由f′（x）＝0，得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减，②当a＜0时，则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣），由f′（x）＝0得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减，（也可由符合函数单调性得出）．（2）由（1）知：当a＜0时，取x0＜且x0＜0时，f（x0）＞ln（a×+b）﹣x0＞0，与题意不合，当a＞0时，f（x）max＝f（1﹣）＝lna﹣1+≤0，即b﹣1≤a﹣alna﹣1，所以e a（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）e a，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）e x，则h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）e x，令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则u′（x）＝﹣lnx﹣，则u″（x）＝，u′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．则u′（x）max＝u′（1）＜0，从而u（x）在（0，+∞）单调递减，又因为u（1）＝0．所以当x∈（0，1）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝0．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到m，进一步转换为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，转换为直角坐标方程为．（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【解答】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，∴．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．。

2020年高考必刷卷（新课标卷）03数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，则集合()U A B ⋃ð等于( ) A ．{}x x 1 B ．{x |x 2}≤ C ．{x |1x 2}<≤ D ．{x |1x 2}≤<【答案】D 【解析】 【分析】求出A 与B 的并集，根据全集U ＝R ，求出并集的补集即可． 【详解】Q 全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，A B {x |x 1∴⋃=<或x 2}≥，则()U A B {x |1x 2}⋃=≤<ð，故选：D ． 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2．若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（ ）A ．12z z ⋅是实数B ．12z z 是纯虚数 C ．24122z z =D ．22124z z i +=【答案】D 【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进行相应的运算，对选项中的结果一一对照，从而选出满足条件的项.详解：212(1)(1)12z z i i i ⋅=+-=-=，是实数，故A 正确，21211212z i i i i z i +++===-，是纯虚数，故B 正确， 442221(1)[(1)](2)4z i i i =+=+==，22222(1)224z i i =-=-=，故C 正确，222212(1)(1)220z z i i i i +=++-=-=，所以D 项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题一一检验，从而找到正确的结果.3．已知55log log n m >，则下列结论中不正确的是（ ）A ．m ＞n ＞1B ．n ＞1＞m ＞0C ．1＞n ＞m ＞0D ．1＞m ＞n ＞0【答案】C 【解析】 【分析】 先化简原不等式为11lg lg n m>，再对,m n 分四种情况讨论即得解. 【详解】 由题得lg5lg5lg lg n m>， 所以11lg lg n m>， 当1,1m n >>时，lg lg ,m n >所以,1m n m n >∴>>,所以选项A 正确；当01,01m n <<<<时，lg lg ,m n > 所以10m n >>>，所以选项D 正确；当1,01n m ><<时，不等式55log log n m >显然成立，所以选项B 正确； 当01,1n m <<>时，不等式55log log n m >显然不成立.所以选项C 不正确.故选：C 【点睛】本题主要考查对数的运算和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f(1+x)=f(1−x),若f(1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2019)=（ ）A．1B．0C．1D．2019【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数满足f（1﹣x）＝f（x+1），分析可得f（﹣x）＝f（x+2），结合函数为奇函数可得f（x）＝f（x+2），则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）、f（-1）与f（2）及f（0）的值分析可得f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，将其相加即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f （﹣x）＝f（x+2），又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝-f（x），则有f（x）＝-f（x+2），则f（x+2）=- f（x+4），可得f（x）= f（x+4）则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）＝1，则f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（-1）=- f（1）=-1，则f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，又f（-2）=f（2）＝-f（2），则f（2）=0，且f（0）=0，所以f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝505-505+0=0；故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数周期性的应用，注意分析与利用函数的周期，属于基础题．6．若实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是（）A．-4B．-2C．2D．4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求x+y的最大值得解.【详解】由题得2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y ,(当且仅当x=y=-1时取等) 所以1≥2√2x+y ，∴14≥2x+y ,∴2−2≥2x+y ， 所以x+y≤-2.所以x+y 的最大值为-2. 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．等差数列{}n a 中2912142078a a a a a a ++-+-=，则9314a a -=（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据题意，求解1104a d +=，进而可求得93113(10)44a a a d -=+，即可得到答案. 【详解】由题意，设等差数列的公差为d ，则291214207112202(10)8a a a a a a a d a d ++-+-=+=+=，即1104a d +=， 又由931111138(2)(10)3444a a a d a d a d -=+-+=+=，故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．已知函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．函数的图象关于点,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数的图象关于直线6x π=-对称C ．函数()2f x 的最小正周期为πD ．当766x ππ≤≤时，函数()f x 的图象与直线2y =围成的封闭图形面积为2π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象，可得A ＝2，14•25126πππω=-，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•6π+φ2π=，∴φ6π=，f （x ）＝2sin （2x 6π+）． 令x 3π=-，求得f （x ）＝﹣2，为函数的最小值，故A 错误； 令x 6π=-，求得f （x ）＝﹣1，不是函数的最值，故B 错误；函数f （2x ）＝2sin （4x 6π+）的最小正周期为242ππ=，故C 错误； 当766x ππ≤≤时，2π≤2x 562ππ+≤，函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形为x 6π=、x 76π=、y ＝2、y ＝﹣2构成的矩形的面积的一半，矩形的面积为π•（2+2）＝4π，故函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形面积为2π， 故D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，余弦函数的图象和性质，属于中档题．9．ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，S 表示三角形ABC ∆的面积，且满足222)S a c b =+-，则B ∠=（ ） A ．6π B ．3π C ．3π或23π D ．23π【答案】B 【解析】在△ABC 中，∵)222a cb +-=12acsinB ，cosB=2222a c b ac +-．代入原式子得到12cos sin 2ac B ac B =，B ∈（0，π）， ∴B=3π． 故答案为B ．10．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A ．e 1<e 2<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 3<e 4C ．e 1<e 2<e 4<e 3D ．e 2<e 1<e 4<e 3 【答案】C 【解析】试题分析：先根据椭圆越扁离心率越大判断a 1、a 2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a 3、a 4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案．解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜a 1＜a 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜a 3＜a 4 ∴可得到a 1＜a 2＜a 3＜a 4故选A ． 考点：圆锥曲线的共同特征．11．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳌臑P ABC -的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．64π【答案】C 【解析】 【分析】四个面都是直角三角形，由AB BC =得AB BC ⊥，然后证明BC PB ⊥，这样PC 中点O ，就是P ABC -外接球球心，易求得其半径，得面积．【详解】四棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形，∵2AB BC ==，∴AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，PA CA ⊥，∴BC PB ⊥，取PC 中点O ，则O 是P ABC -外接球球心．由2AB BC ==得AC =4PA =，则PC ==OP =所以球表面积为224()424S OP πππ==⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．12．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x >时， ()()'0xf x f x -<，若()()()ln23,,ln23f e f f a b c e-===-，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数g （x ）()f x x=，由g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，可得函数g （x ）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g （x ）为偶函数，即可判断． 【详解】 构造函数g （x ）()f x x=，∴g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，∵xf ′（x ）﹣f （x ）＜0， ∴g ′（x ）＜0，∴函数g （x ）在（0，+∞）单调递减． ∵函数f （x ）为奇函数， ∴g （x ）()f x x=是偶函数，∴c ()33f -==-g （﹣3）＝g （3）， ∵a ()f e e==g （e ），b ()22f ln ln ==g （ln 2）， ∴g （3）＜g （e ）＜g （ln 2）， ∴c ＜a ＜b ， 故选D ．【点睛】本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

第9天 模拟卷（三）一、单选题1．（2019·周口市中英文学校高二期末（理））在复平面内，复数(1)z i i =+对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】2(1)1z i i z i i i =+∴=+=-+，因此复数z 对应点的坐标为(1,1)-，在第二象限，故本题选B.2．（2019·内蒙古自治区高一期末（理））若集合A ={x ∈N||x −1|≤1 }, B ={x|y =√1−x 2}，则A ∩B 的真子集的个数为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】A【解析】A ={x ∈N||x −1|≤1 }={0,1,2}，B ={x|y =√1−x 2}=[−1,1]， A ∩B ={0,1}，所以A ∩B 的真子集的个数为22−1=3，故选A 。

3．（2020·福建省高一期末）设0.82a =，2log 0.6b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】D【解析】因为0.80221a =>=；22log 0.6log 10b =<=；4440log 1log 3log 41=<<=， 故a c b >>. 故选：D.4．（2019·重庆高二期末（理））如图是函数()y f x =的导函数()'y f x =的图象,则下列说法正确的是( )A ．x a =是函数()y f x =的极小值点B ．当x a =-或x b =时,函数()f x 的值为0C ．函数()y f x =关于点()0,c 对称D ．函数()y f x =在(),b +∞上是增函数 【答案】D【解析】由函数f (x )的导函数图象可知，当x ∈(−∞,−a ),(−a ，b )时,f ′(x )<0，原函数为减函数； 当x ∈(b ,+∞)时,f ′(x )＞0，原函数为增函数. 故x a =不是函数()y f x =的极值点，故A 错误；当x a =-或x b =时,导函数()f x '的值为0，函数()f x 的值未知，故B 错误； 由图可知，导函数()f x '关于点()0,c 对称，但函数()y f x =在(−∞,b )递减,在(b ,+∞)递增,显然不关于点()0,c 对称，故C 错误；函数()y f x =在(),b +∞上是增函数，故D 正确； 故答案为：D .5．（2020·广东省高一期末）若x 0＝cosx 0，则（ ） A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 【答案】C【解析】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，0.5230.8660.343066f ππ⎛⎫=≈-=-< ⎪⎝⎭，0.7850.7070.0780442f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C6．（2020·甘肃省会宁县第四中学高一期中）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点(2sin ,3)A α，则cos α=（ ） A ．12 B ．12-C ．D ． 【答案】A【解析】由三角函数定义得tan 3α2sin α=，即sin α3cos α2sin α=,得3cos ()22α2sin α21cos α,==-解得1cos α 2=或cos α2=-（舍去）故选A7．（2017·广东省高考模拟（文））已知幂函数()af x x =的图象过点13,3⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()()()21g x x f x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．2-D ．32【答案】B【解析】由题设1313aa =⇒=-，故()()11212g x x x x -=-=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则当12x =时取最小值12202g ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，应选答案B． 8．（2017·辽宁省高考模拟（理））已知在椭圆方程22221x y a b+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间(0,)t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在之内的概率为（ ） A ．12B ．13 C ．14D ．23【答案】A 【解析】当a b > 时2223142a b ab a -<<⇒< ，当a b < 时,同理可得2b a <,则由下图可得所求的概率21121222t tP t ⨯⨯== ，故选A.二、多选题9．（2020·江苏省高二期中）如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的为（ ）A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMN C ．AC BD =D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45︒ 【答案】ABD【解析】因为截面PQMN 是正方形 ，所以//,//PQ MN PN QM ， 又MN ⊂平面DAC 所以//PQ 平面DAC又PQ ⊂平面BAC ,平面BAC平面DAC AC =////,PQ AC MN//AC 截面PQMN ，故B 正确同理可证////,PN BD MQ因为PN NM ⊥，所以AC BD ⊥，故A 正确 又45PMQ ︒∠=所以异面直线PM 与BD 所成的角为45︒，故D 正确AC 和 BD 不一定相等，故C 错误故选：ABD10．（2020·福建省高一期末）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()2f x -都为偶函数，则（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()1f x +为偶函数C ．()2f x +为奇函数D ．()f x 为周期函数【答案】ABD【解析】因为()1f x -是偶函数，故可得()()11f x f x -=--，① 又()2f x -是偶函数，故可得()()22f x f x -=--，② 由①可得：()()2f x f x =--；由②可得()()4f x f x =--； 故可得()()24f x f x --=--，则()()2f x f x =-， 故可得()f x 是周期为2的周期函数，故D 正确； 又因为()()1,2f x f x --均为偶函数， 故可得()()1,f x f x +是偶函数，故AB 正确；故()2f x +也是偶函数. 综上所述，正确的选项有ABD . 故选：ABD.11．（2020·海南省高三其他）已知抛物线C ：()220y px p =>的准线经过点()1,1M -，过C 的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．2p =B ．AB DE +的最小值为16C ．四边形ADBE 的面积的最小值为64D ．若直线1l 的斜率为2，则90AMB ∠=︒【答案】ABD【解析】由题可知12p=，所以2p =，故A 正确. 设直线1l 的斜率为()0k k ≠，则直线2l 的斜率为1k-.设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，直线1l ：()1y k x =-，直线2l ：()11y x k=--.联立24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k ++=， 121=x x .所以2122224424k AB x x p k k+=++=+=+. 同理223421242441k DE x x p k k ⨯+=++=+=+， 从而2218416AB DE k k ⎛⎫+=++≥⎪⎝⎭，当且仅当1k =±时等号成立，故B 正确. 因为()22118112ADBES AB DE k k ⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭四边形3232≥=，当且仅当1k =±时等号成立，故C 错误.()()11221,11,1MA MB x y x y ⋅=+-⋅+-()1212121211x x x x y y y y =++++-++，将123x x +=，121=x x 与122y y +=，124y y =-代入上式，得0MA MB ⋅=，所以90AMB ∠=︒，故D 正确.故选：ABD ．12．（2019·山东省高三期中）已知向量()sin ,cos a a α＝，1)2(b =，，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b ，则1tan 2α=B ．若a b ⊥ ，则1tan 2α=C ．若f a b α=⋅（）取得最大值时，则1tan 2α=D ．a b -的最大值为1 【答案】ACD【解析】A 选项，若a b ，则2sin cos 0αα-=，即1tan 2α=，故A 正确． B 选项，若a b ⊥，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，故B 不正确．C 选项，()sin 2cos )f a b ααααϕ==++，其中tan 2ϕ=. 当()f α取得最大值时，sin()1αϕ+=，即22k παϕπ+=+，11tan tan(2)tan()22tan 2k ππαϕπϕϕ=-+=-==，故C 正确.D 选项，222()2152(sin 2cos )6)a b a b a b αααϕ-=+-=+-+=-+，当sin()1αϕ+=-时，2()a b -取得最大值为6+所以a b -的最大值为1，故D 正确. 故答案为：ACD第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．（2019·新疆维吾尔自治区高考模拟（文））某单位有360名职工，现采用系统抽样方法，抽取20人做问卷调查，将360人按1，2，…，360随机编号，则抽取的20人中，编号落入区间[181,288]的人数为__________． 【答案】6【解析】样本间隔为3602018÷=，在区间]181[288，内共有2881811108-+=人，108186÷=， 即在区间]181[288，内的抽取人数为6人，故答案为6. 14．（2020·江西省上高二中高二月考（理））函数2()ln f x x ax x =-在2(,2)e上不单调，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】4(2,)ln 21+【解析】()()'21ln 2ln f x x a x x a x a =-+=--，令'0f x 得2ln 0x a x a --=，由于222,ln ln ln 2,ln 2ln 1ln 2x x x e e e<<<<<+<， 分离常数a 得21ln xa x=+. 构造函数()21ln x h x x =+，()()'22ln 1ln x h x x =+，所以()h x 在2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在()1,2上递增，()()()424444,12,22ln 2ln 2ln 21ln 21ln eeh h h e e e e⎛⎫====== ⎪+⎝⎭+. 下证22e e >：构造函数()22xg x x =-，()'2ln 22xg x =-，当2x ≥时，22ln 222ln 22x -≥-①，而1ln 2ln 2e =<=<，即1ln 212<<，所以222ln 24<<，所以由①可得22ln 222ln 220x -≥->.所以当2x ≥时，()g x 单调递增.由于()20g =，所以当2x >时，()()20g x g >=，故()0g e >，也即22022e e e e ->⇒>. 由于()22ln 2ln 2eee e >⇒>，所以()22h h e ⎛⎫<⎪⎝⎭. 所以a 的取值范围是4(2,)ln 21+故答案为：4(2,)ln 21+15．（2020·四川省泸县第四中学高三月考（文））已知过点(10)，的直线与抛物线2x y = 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点(0)2，，F 为抛物线的焦点，则||||AF BF += __________．【答案】72【解析】设1122Ax y B x y （，），（，）， 则221122x y x y ==，， 两式作差得：121212121212y y x x x x y y x x x x --+=-∴=+-（）（）， ，即AB 的斜率为 12x x +．设AF BF m += ，则121211,,22y y m y y m ++=∴+=- ，AB ∴的中点坐标为121224x x m +-（，），AB 的垂直平分线的斜率为121x x -+，AB ∴的垂直平分线方程为121211242x x m y x x x +⎛⎫--=-- ⎪+⎝⎭（）， 线段AB 的垂直平分线经过点()02，，解得72m =．|AF|+|BF|的值为72． 故答案为72．四、双空题16．（2020·浙江省高三二模）在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4,45,a B ︒==若()()()sin sin sin ,a b A B c b C -+=-则A =________，b =________.【答案】3π【解析】由()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-以及正弦定理得，()()()a b a b c b c -+=-，所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，所以3A π=.由正弦定理得sin sin a b A B ==，解得3b =故答案为：3π. 五、解答题17．（2020·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知等比数列{}n a 的各项为正数，n S 为其前n 项的和，3=8a ，3=14S ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n b a -是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项的和n T ．【答案】（．）2n n a =（．）322n n b n =-+，1232222n n nT n +=+-- 【解析】（．）由题意知，等比数列{}n a 的公比1q ≠，且0q >，所以()23131381141a a q a q S q ⎧==⎪-⎨==⎪-⎩， 解得122a q =⎧⎨=⎩，或11823a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍去）， 则所求数列{}n a 的通项公式为2nn a =.（．）由题意得1(1)332n n b a n n -=+-⨯=-，故32322nn n b n a n =-+=-+()23123(14732)2222n n n T b b b b n =+++⋯+=+++⋯+-++++⋯+()212(132)212nn n -+-=+-1232222n nn +=+--18．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满cossin ,2B Ca B a +== （1）求角A 的大小；（2）若点M 为边AC 边上一点，且,2MC MB ABM π=∠=，求ABC 的面积．【答案】（1）3π （2【解析】（1cossin 2B C a B +=sin sin 2Aa B =sin sin sin 2AB A B =在ABC 中, sin 0B ≠,sin 2cos sin 222A A AA ==在ABC 中, 0A π<<,则022A π<<，所以sin 02A ≠,则有cos 2A =所以26，A π=即3A π=. （2）在MBC △中，,2MC MB BMC π=∠=,则4ACB π∠=则MBC △为等腰直角三角形， 又a =BC =,所以MB MC ==在直角MAB △中,3A π=,2MB =,2tan MB CAB AM AM∠===所以AM =所以AC AM MC =+==所以11322224△ABC S AC BM +=⨯⨯=⨯=19．（2020·四川省阆中中学高三一模（理））小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式；(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在1(,](1,2,3,4,5)55n nn -=时，日平均派送量为24x y +=单．若将频率视为概率，回答下列问题：①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；②根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X 的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由. 【答案】（1）100y n =+，140,05420940,54n y n n <≤⎧=⎨->⎩；（2）①0.44，②见解析【解析】．1）甲．100y n =+．乙：()140,054{1405420,54n y n n <≤=+-⨯>．故为100y n =+，140,05420940,54n y n n <≤⎧=⎨->⎩；（2）①读图可知,20个0.1,30个0.3,20个0.5,20个0.7,10个0.9，故平均数 200.1300.3200.5200.7100.90.44100x ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==②甲:EX=0.21520.31540.21560.21580.1160155.4⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 乙．EX=0.21400.31400.21800.22200.1260176⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 乙的期望更高，故选择乙方案．20．（2020·四川省岳池县第一中学高二月考（文））已知过圆1C ：221x y +=上一点12E ⎛ ⎝⎭的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B 恰好分别为椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.（1）求椭圆2C 的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q -，求证：PM PN ⊥.【答案】（1）221443x y +=；（2）见解析 【解析】（1）直线OE l的方程为y =，则直线AB l的斜率AB k = 所以AB l：33y x =-+，即0,3A ⎛ ⎝⎭，()2,0B ， 椭圆方程为：221443x y +=； （2）．当MN k 不存在时，()1,1M -，()1,1N --， 因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=，所以PM PN ⊥.．当MN k 存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN l ：()1y k x =+，联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得：()2222136340k x k x k +++-=. 所以2122613k x x k +=-+，21223413k x x k-=+， 又已知左顶点P 为()2,0-，()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+，又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =++=+++22313k k-=+， 所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++2222234124123013k k k k k--++-==+， 所以PM PN ⊥.综上PM PN ⊥得证.21．（2020·内蒙古自治区北重三中高三其他（理））已知函数()(0)xf x ae a =≠，21()2g x x =. （1）当2a =-时，求曲线()f x 与()g x 的公切线方程：（2）若()()y f x g x =-有两个极值点1x ，2x ，且213x x ≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）22y x =--；（2）3] 【解析】（1）2a =-时，()2x f x e =-，设曲线()f x 上的切点为11(,2)x x e -，则切线方程为11122()x xy e e x x +=--，设曲线()g x 上的切点为2221(,)2x x ，则切线方程为22221()2y x x x x -=- 由两条切线重合得112212212(1)2x x e x e x x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩，则1202x x =⎧⎨=-⎩ ， 所以，公切线方程为22y x =--； （2）21()()2xy f x g x ae x =-=-， x y ae x '=-，设其零点为1x ，2x ，1212x x ae x ae x -=-，1212x x x x a e e ∴==， 令21(3)x kx k =≥，可得1111x kx x kx e e =，则1ln 1k x k =- 令ln ()(3)1xh x x x =≥-，211ln ()(1)x x h x x --'=-， 又令1()1ln (3)t x x x x =--≥，21()0xt x x -'=<，则()t x 单调递减，2()(3)ln 303t x t ≤=-<，()0h x '∴<，()h x 单调递减，ln 3()2h x ≤ ，易知()0h x >，1ln 3(0,]2x ∴∈ ， 令()x x x e ϕ=，1()x xx e ϕ-'=，则()x ϕ在(,1]-∞上递增，113]x x a e ∴=∈ 22．（2019·北京市第二十二中学高三期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AD BC ∥，3AD =，22PA BC AB ===，PB =，，）求证：BC PB ⊥，，，）求二面角P CD A --的余弦值，（Ⅲ）若点E 在棱PA 上，且BE 平面PCD ，求线段BE 的长，【答案】．．．见解析． ．．．5 【解析】．．．证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ．且平面PAB ⋂平面ABCD AB =． 因为BC ．AB ，且BC ⊂平面ABCD 所以BC ．平面PAB ． 因为PB ⊂平面PAB ． 所以BC ．PB ．．．．解：在．PAB 中，因为2PA =．PB =1AB =．所以222PA AB PB =+，所以PB ．AB ．所以，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． 所以()1,0,0A -．()0,0,0B ．()0,2,0C ．()1,3,0D -．(P ．()1,1,0CD =-．(0,2,PC =．易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =． 设平面PCD 的一个法向量为(),,m x y z =．则00m CD m PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2x yy =⎧⎪⎨=⎪⎩． 令2z =．则)m =．设二面角P CD A --的平面角为α，可知α为锐角．则cos cos ,5n m n m n m α⋅====⋅． 即二面角P CD A --． （Ⅲ）解：因为点E 在棱PA ．所以AE AP λ=．[]0,1λ∈．因为=AP （．所以)AE λ=（．()1,0,3BE BA AE λ=+=-． 又因为//BE 平面PCD ．m 为平面PCD 的一个法向量． 所以0BE m ⋅=．)120λλ-+=，所以1=3λ．所以23BE ⎛=- ⎝⎭．所以7BEBE ==。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 2．()()1i 2i +-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4．若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．806．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣ 7．函数422y x x =-++的图像大致为8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p = A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.39．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π610．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为锥D ABC -体积的最大值为A ．B ．C ．D ．11．设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为AB ．2CD12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．14．曲线()1e x y ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 15．函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．16．已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若 90AMB =︒∠，则k =________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．学科.网 （一）必考题：共60分． 17．（12分）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 20．（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．21．（12分）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；学.科网 （2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值． 参考答案：13.1214.3- 15.3 16.2 17.(12分)解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21n n S =-.由63m S =得264m=，解得6m =.综上，6m=.18.（12分）解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知7981802m+==.列联表如下：（3）由于2240(151555)10 6.63520202020K⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19.（12分）解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .（2）以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz . 当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD 的中点.由题设得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)D A B C M ， 设(,,)x y z =n 是平面MAB 的法向量,则0,0.AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取(1,0,2)=n .DA 是平面MCD 的法向量,因此5cos ,5||||DA DA DA ⋅==n n n ， 2sin ,DA =n 所以面MAB 与面MCD . 20.（12分）解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x ym ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-.（2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<. 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =. 于是1||(22x FA x ===-.同理2||22x FB =-. 所以121||||4()32FA FB x x +=-+=. 故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列. 设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=② 将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||28d =.所以该数列的公差为28或28-. 21.(12分)解：（1）当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1xf x x x'=+-+. 设函数()()ln(1)1xg x f x x x'==+-+，则2()(1)x g x x '=+.当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>.故当1x >-时，()(0)0g x g ≥=，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=. 所以()f x 在(1,)-+∞单调递增.学#科网又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >.（2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.（ii ）若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax ==+-++++.由于当||min{x <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同. 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点.2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++.如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且||min{x <时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--.则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<.所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点综上，16a =-. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =-l 与O交于两点当且仅当1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈． 综上，α的取值范围是(,)44π3π．（2）l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以点P的轨迹的参数方程是2,2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．。

2020年高考数学条件开放型考前必做16题1．在△ABC 中，a =c =，________.（补充条件）（1）求△ABC 的面积；（2）求sin （A +B ）.从①b ＝4，②cosB =，③sinA =这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.2．在ABC ∆中，1c =，2π3A =，且ABC ∆的面积为2． （1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且 ，求sin ADB ∠的值．从①1AD =，②π6CAD ∠=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 3．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，1016a =.（1）判断2024是否是数列{}n a 中的项，并说明理由；（2）求n S 的最值.从 ①810a =；②88a =；③820a =中任选一个，补充在上面的问题中并作答.4．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为315n S S ⋅=，0n a >，1d >，且______.从“①等比数列{}n b 的公比12q =，12b a =，33b a =；②11a -，21a -，31a +为等比数列{}n b 的前3项”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：115n T ≥. 5．在①()222316 3c S b a =+-；②5cos 45b C c a +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设△ABC 的面积为S ，已。