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1．圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体，旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线．2．圆柱、圆锥、圆台、球等几何体，都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体，这类几何体叫做旋转体，这条直线叫做旋转体的轴．【例】若边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是()A．10 cm B．5 2 cmC．5π2＋1 cm D．52π2＋4 cm【答案】D【规律总结】解决旋转体中的距离最值问题，用侧面展开图，将问题平面化．要点阐述典型例题小试牛刀1．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】设圆锥底面半径为r，母线长为l，则有2πr＝12·2πl．∴2r＝l，即△ABC为等边三角形，故顶角为60°．2．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【秒杀技】处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．学科&网3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A ．10B ．12C ．20D ．15【答案】B【解析】圆锥的轴截面是等腰三角形，两腰为圆锥的母线，底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B ．4．下列说法不正确的是（ ）A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形B ．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C ．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D ．圆台平行于底面的截面是圆面 【答案】C【解析】由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直角旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C 错．5．给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行；⑤圆柱的侧面沿母线展开的图形是矩形；⑥圆柱的母线有且只有一条．其中正确的为 ．（只填序号） 【答案】②④⑤【规律方法】圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．6．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别为2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．【解析】如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm．设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12l ＝25，所以l＝20 cm，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm．1．如上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为() A．4 B．3 2C．2 3 D．2 6【答案】D2．圆台轴截面的两条对角线互相垂直，且上下底面半径的比为3:4，又其高为142，则圆台的母线长是__________．考题速递【答案】20【解析】如图所示，由已知有rR＝34＝O1OOO2，因为OB⊥OC，所以△AOB，△DOC均为等腰直角三角形．又O1O2＝142，所以O1O＝r＝62，OO2＝R＝82，在Rt△BOC中，OB2＋OC2＝l2，所以r2＋OO21＋R2＋OO22＝l2，代入数据得l＝20．3．已一个等边圆柱(底面直径等于高)的轴截面面积是S，则它的底面面积是________．【答案】π4S【解析】设底面半径为r，则4r2＝S，故底面面积为πr2＝π·S4＝π4S．4．如圆台的上底周长是下底周长的13，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径．【答案】R＝21，r＝7，h＝14，l＝142．数学文化圜丘坛圜丘坛是我国明朝建立的一个地点，在天坛南部，为皇帝冬至日祭天大典的场所，又称祭天坛．坛面为艾叶青石，汉白玉栏板、栏柱雕成，两道外方里圆的围墙象征着“天圆地方”．由于是祭天坛，圜丘的整个结构是对数学的巧妙运用，坛面、台阶、栏杆的石制构件，都取九或九的倍数，即阳数，用以象征天．坛中心的圆形石板，叫天心石，站在上面高喊或发出敲击声，周围即起回音，自己听起来声音很大，好似一呼百应．。
