圆柱圆锥圆台的概念和性质

(完整版)六年级下册圆柱和圆台知识点六年级下册圆柱和圆台知识点圆柱定义圆柱是一个由两个平行的圆面和夹在两个圆面之间的侧面组成的几何体。

基本属性- 圆柱有两个底面，底面之间的距离称为高度。

- 圆柱的侧面是一个矩形，长宽分别等于底边的周长和高度。

- 圆柱的体积等于底面的面积乘以高度，公式为V = π * r^2 * h，其中 r 表示圆的半径，h 表示高度。

- 圆柱的表面积等于两个底面的面积和侧面的面积，公式为 S = 2π * r^2 + 2π * r * h。

圆台定义圆台是一个由一个圆锥和一个底面为平行圆的圆锥体。

基本属性- 圆台有一个底面和一个顶面，底面和顶面之间的距离称为高度。

- 圆台的侧面是一个梯形，上底和下底分别等于顶底和底面的周长，梯形的高度等于圆台的高度。

- 圆台的体积等于上底面积加下底面积和底面积的和乘以高度的三分之一，公式为V = π * (R^2 + r^2 + R * r) * h / 3，其中 R 表示上底圆的半径，r 表示下底圆的半径，h 表示高度。

- 圆台的表面积等于底面的面积加上上底面积和下底面积的和，公式为S = π * (R^2 + r^2 + R * r) + π * R^2 + π * r^2。

以上是六年级下册圆柱和圆台的基本知识点，希望能帮助到你。

Note: The above content is a simple explanation of the knowledge points related to cylinders and cones in the fourth grade textbook. Please consult the textbook or seek further clarification from a teacher for a detailed understanding.。

【新人教版】数学必修二第八单元第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.3.了解简单组合体的概念及结构特征.知识点一圆柱的结构特征圆柱图形及表示定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱图中圆柱表示为圆柱O′O 相关概念：圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边思考圆柱的轴截面有________个，它们________(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有________条，它们与圆柱的高________.答案无穷多全等无穷多相等知识点二圆锥的结构特征圆锥图形及表示定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图中圆锥表示为圆锥SO相关概念： 圆锥的轴：旋转轴圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边思考 圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？答案 圆锥的轴截面有无穷多个，母线有无穷多条，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线. 知识点三 圆台的结构特征圆台图形及表示定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台图中圆台表示为圆台O ′O相关概念： 圆台的轴：旋转轴圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边知识点四球的结构特征球图形及表示定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图中的球表示为球O 相关概念：球心：半圆的圆心半径：连接球心和球面上任意一点的线段直径：连接球面上两点并经过球心的线段知识点五简单组合体的结构特征1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.1.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(×)2.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.(√)3.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.(×)4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(×)一、旋转体的结构特征例1下列说法正确的是________.(填序号)①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.答案③④解析①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④正确.反思感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成.②明确旋转轴是哪条直线.(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.跟踪训练1下列说法，正确的是()①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.A.①②B.②③C.①③D.②④答案 D解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.二、简单组合体的结构特征例2(1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.解①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.(2)如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD 绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.解如下图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.反思感悟(1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力.(2)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.跟踪训练2(1)如图所示的简单组合体的组成是()A.棱柱、棱台B.棱柱、棱锥C.棱锥、棱台D.棱柱、棱柱答案 B(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆柱、一个圆锥C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥答案 D解析图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥.三、旋转体的有关计算例3一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.解 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示). 由已知可得O 1A ＝2 cm ，OB ＝5 cm. 又由题意知腰长AB ＝12 cm ， 所以高AM ＝122－(5－2)2 ＝315(cm).(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l ， 则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25， 解得l ＝20.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.反思感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解.跟踪训练3 如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长.解 设圆台的母线长为l cm ，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO 作截面，如图所示.则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm. 所以SA ′SA ＝O ′A ′OA . 所以33＋l＝r 4r ＝14.解得l ＝9，即圆台的母线长为9 cm.1.下列说法中正确的是( ) A.将正方形旋转不可能形成圆柱B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线 答案 C解析 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A 错误；B 中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B 错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D 错误. 2.(多选)下列命题中正确的是( )A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形答案ACD3.下列几何体是台体的是()答案 D解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.4.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.球体D.棱台答案 D解析圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)或等腰梯形(圆台)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形.5.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为________ cm2.答案16π或9π解析当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2；当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2.1.知识清单：(1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征.(2)球的结构特征.(3)简单组合体的结构特征.2.方法归纳：分类讨论.3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.1.下列几何体中不是旋转体的是()答案 D2.如图所示的简单组合体的结构特征是()A.由两个四棱锥组合成的B.由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的答案 A3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个长方体答案 B解析圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B.4.若圆柱的母线长为10，则其高等于()A.5B.10C.20D.不确定答案 B解析圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.5.如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的()答案 D解析图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故所求平面图形的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成.6.观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________.(填序号)答案①④解析①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成.7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________.(用Q表示)答案Q 2解析设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.∴4r2＝Q，解得r＝Q 2，∴此圆柱的底面半径为Q 2.8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.答案 3解析由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径为r＝1，所以该圆锥的高为h＝l2－r2＝22－12＝ 3.9.一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.解如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.在Rt△SOA中，AO＝SO·tan 30°＝233(cm).SA＝SOcos 30°＝232＝433(cm).所以S△ASB＝12SO·2AO＝433(cm2).所以圆锥的母线长为433cm，圆锥的轴截面的面积为433cm2. 10.如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离.∵AA′为底面圆的周长，∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.11.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为()A.4B.3 2C.2 3D.2 6答案 D解析圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，由题意知l＝5，R＝7，r＝6，求得h＝26，即两底面之间的距离为2 6.12.已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是______cm.答案8解析如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由示意图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可.由题意知，R＝10 cm，由πr2＝36π，得r＝6，所以d＝R2－r2＝100－36＝8(cm).13.边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________.答案52π2＋4解析如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的，由题意可知GH ＝5，GF 1＝5π2，GE 1＝254π2＋25＝52π2＋4.所以从点E 沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是52π2＋4. 14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________.(填序号)答案 ①⑤解析 由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴，故只能是①⑤.15.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( ) A.4 B.3 C.2 D.0.5 答案 B解析 如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π和8π，∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5， r 2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21，d 2＝R 2－r 22，∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1，∴R 2＝9，∴R ＝3.16.圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.解(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM 的长度，设OB＝l，则θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，解得θ＝π2，l＝20 cm.∴OA＝40 cm，OM＝30 cm.∴AM＝OA2＋OM2＝50 cm.即绳子最短长度为50 cm.(2)作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，则PQ为所求的最短距离.∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24 cm.故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.。

圆锥与圆台的性质知识点总结圆锥是指一个顶点和一个底面为圆的几何体，底面上的点到顶点的距离都相等。

圆台是指一个顶点和一个底面为圆的几何体，两个底面都平行，并且底面上的点到顶点的距离都相等。

下面将对圆锥和圆台的性质进行总结。

一、圆锥的性质：1. 圆锥的侧面是由顶点和底面上的点连接而成的直线段组成的，侧面的一半称为母线。

所有母线交于圆锥的顶点。

2. 圆锥的底面是一个平面圆。

3. 圆锥的高是从顶点到底面上的点的垂直距离。

4. 圆锥的侧面积是指侧面的全部面积，包括侧面和底面的交界处。

5. 圆锥的体积是指圆锥所占的空间大小。

6. 如果两个圆锥的底面半径相等，而高不相等，则体积也不相等。

7. 如果两个圆锥的底面半径相等，而高相等，则体积相等。

二、圆台的性质：1. 圆台的侧面是由顶点和两个底面上的点连接而成的直线段组成的，侧面的一半称为母线。

所有母线交于圆台的顶点。

2. 圆台的底面是一个平面圆。

3. 圆台的高是从顶点到两个底面上的点的垂直距离。

4. 圆台的侧面积是指侧面的全部面积，包括侧面和底面的交界处。

5. 圆台的体积是指圆台所占的空间大小。

6. 圆台的体积可以通过圆台的底面半径、顶面半径和高来计算，公式为V = 1/3πh(R^2 + r^2 + Rr)。

三、圆锥和圆台的比较：1. 圆锥的底面只有一个圆，而圆台的底面有两个平行的圆。

2. 圆台可以看作是一个圆锥去掉了一部分，圆台的顶面和底面都是圆锥的底面。

3. 圆台的体积比圆锥的体积大，因为圆台有两个底面，而圆锥只有一个底面。

4. 如果底面半径和高均相等，圆锥和圆台的体积相等。

综上所述，圆锥和圆台是几何体中常见的形状。

了解它们的性质可以帮助我们更好地理解和应用几何学的知识。

通过对圆锥和圆台的性质进行总结，我们可以更加清晰地认识它们的特点和应用。

平面几何中的圆锥与圆台在平面几何中，圆锥和圆台是两种常见的几何形体。

它们在日常生活和工程建设中都有广泛的应用。

本文将介绍圆锥和圆台的定义、性质及应用。

一、圆锥的定义和性质圆锥是由一个圆和连接圆心与圆上一点的直线段（称作母线）所构成的几何体。

根据母线与圆的位置关系，圆锥可以分为以下几类。

1. 直圆锥：母线与圆在同一平面内，且母线垂直于圆的平面。

2. 斜圆锥：母线与圆在同一平面内，且母线不垂直于圆的平面。

3. 正圆锥：母线与圆在同一平面内，圆锥的顶点位于圆的上方。

4. 斜正圆锥：母线与圆在同一平面内，圆锥的顶点位于圆的外部。

圆锥的性质如下：1. 圆锥的底面是一个圆。

2. 圆锥的两个侧面从顶点到底面的连线形成一个锥体。

3. 圆锥的顶角是顶点的两个相邻侧面间的夹角。

4. 圆锥的侧面是弧面，它们都是由母线和底面边所形成的曲面。

圆锥的应用广泛，例如在建筑工程中，它可以用来设计像塔楼、喷泉等具有圆锥形状的结构。

此外，在日常生活中，圆锥还被广泛应用于制作冰淇淋蛋筒、礼品包装盒等。

二、圆台的定义和性质圆台是由两个平行的圆和连接两个圆心的直线段（称作母线）所构成的几何体。

根据圆台的性质，它可以分为以下几类。

1. 直圆台：母线与两个圆在同一平面内，且母线垂直于圆的平面。

2. 斜圆台：母线与两个圆在同一平面内，且母线不垂直于圆的平面。

3. 正圆台：母线与两个圆在同一平面内，圆台的顶点位于两个圆的上方。

圆台的性质如下：1. 圆台的底面是一个圆。

2. 圆台的两个侧面从顶点到底面的连线形成一个椎体。

3. 圆台的顶角是顶点的两个相邻侧面间的夹角。

4. 圆台的侧面是弧面，它们都是由母线和底面边所形成的曲面。

圆台的应用也十分广泛。

在建筑工程中，它可以用来设计像拱门、灯塔等具有圆台形状的结构。

此外，在制造工业中，圆台也常用于制作零件或构建机器。

总结：平面几何中的圆锥与圆台是重要的几何形体。

它们具有各自的定义、性质和应用范围。

掌握圆锥和圆台的概念和特点，对于理解和应用几何学知识至关重要。

圆台结构特征一、引言圆台结构是指由圆锥和圆柱组成的建筑形式，常见于古代希腊和罗马建筑中。

其独特的形态和美学价值备受人们的喜爱。

本文将详细介绍圆台结构的特征。

二、基本概念1. 圆锥：由一个平面图形（底面）和一条直线（母线）组成，母线两端在底面上，其余点在底面之上。

2. 圆柱：由一个平面图形（底面）和一条平行于底面的直线（轴线）组成，轴线两端在底面上，其余点在底面之上。

3. 圆台：由一个平面图形（下底）和一个比下底小的平面图形（上底），以及连接两个底部的曲线侧边界组成。

三、圆台结构特征1. 独特的外观：圆台结构具有独特的外观，通常是由多个不同大小、不同高度的圆锥或圆柱组成。

这种多层次、逐级升高的造型给人以强烈的视觉冲击力，增加了建筑物整体的美感。

2. 稳定的结构：圆台结构具有较好的稳定性，其中圆锥和圆柱可以相互支撑，使得整个建筑物更加牢固。

此外，由于圆台结构中每一层都是逐级升高的，因此重心也会逐渐上移，从而增加了整个建筑物的稳定性。

3. 多样化的用途：圆台结构可以应用于多种不同的建筑类型中，例如神庙、纪念碑、灯塔等。

这种多样性使得圆台结构在不同文化和历史背景下都有着广泛的应用价值。

4. 丰富的艺术表现力：圆台结构在设计和装饰方面都有着很高的艺术表现力。

例如，在古代希腊和罗马时期，人们常常在圆台上雕刻各种浮雕和图案，以展示其文化和宗教信仰。

四、应用实例1. 帕特农神庙：位于希腊雅典卫城上，是古代希腊最著名的神庙之一。

该建筑采用了典型的圆台结构，并在其外部装饰上雕刻了许多精美的浮雕和彩绘。

2. 比萨斜塔：位于意大利比萨市中心，是一座倾斜的钟楼。

该建筑采用了多个圆柱和圆锥组成的圆台结构，其独特的外观和稳定性备受人们赞誉。

3. 亚历山大灯塔：位于古埃及亚历山大港口，是古代世界七大奇迹之一。

该建筑采用了多层圆锥组成的圆台结构，并在其外部装饰上雕刻了各种浮雕和图案。

五、总结圆台结构作为一种独特的建筑形式，在历史上得到了广泛应用，并且在现代建筑中仍然具有重要价值。