2022届四川省成都市第七中学高三上学期1月阶段性考试数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}23A x x =-≤<，{}2,0xB y y x ==≥，则A B =（ ）A ．{}20x x -≤<B ．{}13x x ≤<C ．{}20x x -≤≤D ．{}03x x ≤<【答案】B求出{}1B y y =≥，进而求解A B解：因为2x y =单调递增，当0x ≥时，[)1,2xy ∈=+∞，故{}1B y y =≥，故A B ={}13x x ≤<故选：B2．已知复数(12)z i i =-，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-【答案】C由已知复数等式求复数z ，进而写出共轭复数z ，即可确定虚部. 解：由题设，2(12)22z i i i i i =-=-=+，即2z i =-，其虚部为1-. 故选：C3．已知0b a <<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11b a<B ．44bc ac <C ．b c ba c a+<+ D ．11b a a b+<+【答案】D利用不等式及不等式的性质逐项判断即可.解：解：对A ，由0b a <<，令1b =-，12a =-，则11b =-，12a =-，12->-，故A 错误；对B ，当0c 时，44bc ac =，故B 错误；对C ，当0c 时，b c ba c a+=+，故C 错误； 对D ，()111111b a b a b a b a b a a b a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0b a <<，所以0ab >，0b a -< 所以()110b a ab ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭即110b a a b ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭所以11b a a b+<+，故D 正确.故选：D.4． “22530x x --<”的一个必要不充分条件是（ ） A ．132x -<<B ．16x -<<C ．132x -<<D ．102x -<<【答案】B由集合的包含关系直接判断即可.解：212530(3)(21)032x x x x x --<⇔-+<⇔-<<，因为1{|3}{|16}2x x x x -<<-<<，所以142x -<<是22530x x --<的必要不充分条件.故选：B.5．已知不重合的直线m 、n 、l 和平面α，下列命题中真命题是（ ） A ．如果l 不平行于α，则α内的所有直线均与l 异面 B ．如果m α⊂，n α⊄，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交 C ．如果m α⊂，n α∥，m 、n 共面，那么m n ∥D ．如果l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l α∥ 【答案】C根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案.解：对于A ，当l 与α相交时，在平面α内且过交点的直线与l 都是共面的，故A 错； 对于B ，如图1，可能是n α∥，故B 错；对于C ，这是线面平行的性质定理的等价说法，故C 正确； 对于D ，如图2，由于直线l 与α相交时，也可以有两点到α的距离相等，故D 错． 故选：C.6．元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走.遇店添一倍，逢友饮一斗.”基于此情景，设计了如图所示的程序框图，若输入的54x =，输出的9x =，则判断框中可以填（ ）A ．k 6<B ．5k <C ．4k >D ．5k >【答案】D根据程序框图的算法功能，模拟程序运行即可推理判断作答.解：由程序框图知，直到型循环结构，先执行循环体，条件不满足，继续执行循环体，条件满足跳出循环体，则有：当第一次执行循环体时，532142x =⨯-=，2k =，条件不满足，继续执行循环体；当第二次执行循环体时，32122x =⨯-=，3k =，条件不满足，继续执行循环体；当第三次执行循环体时，2213x =⨯-=，4k =，条件不满足，继续执行循环体； 当第四次执行循环体时，2315x =⨯-=，5k =，条件不满足，继续执行循环体； 当第五次执行循环体时，2519x =⨯-=，6k =，条件满足，跳出循环体，输出9x =， 于是得判断框中的条件为：5k >， 所以判断框中可以填：5k >. 故选：D7．如图，在△ABC 中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅=（ ）A ．23B．74-C．52D．83-【答案】D用AB与AC表达出AD，BC，进而利用向量的数量级运算公式进行计算.解：由2DC BD=可得，13BD BC=∴1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC=+=+=+-=+BC AC AB=-∴2221211()()33333AD BC AB AC AC AB AB AC AB AC⋅=+⋅-=-++⋅211184112()33323=-⨯+⨯+⨯⨯⨯-=-故选：D．8．过抛物线21:4C x y=的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若点A到抛物线的准线的距离为3，则||AB=（）A．92B．3 C．72D．4【答案】A求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，根据给定条件求出点A的横坐标，设出直线l的方程并与抛物线方程联立，求出B的横坐标即可计算作答.解：抛物线2:4C y x=的焦点(1,0)F，准线为：1x=-，设点1122(,),(,)A x yB x y，依题意，1(1)3x--=，解得12x=，显然，直线l的斜率存在且不为0，设其方程为(1)y k x=-，由2(1)4y k xy x=-⎧⎨=⎩消去y并整理得：22222(2)0k x k x k-++=，则有121=x x，于是得21112xx==，因此，129||||||(1)(1)2AB AF BFx x =+=--+--=， 所以9||2AB =. 故选：A9．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，7BC =，2SA AC ==，1AB =，则该四面体外接球的表面积为（ ） A ．7π B ．11πC ．283π D ．403π 【答案】D在ABC 中由余弦定理求出120BAC ∠=︒，再利用正弦定理可求出ABC 外接圆的半径，设球心为O ，平面ABC 的外接圆圆心为1O ，从而可求出四面体外接球的半径，进而可求得答案解：在ABC 中，7BC =，2AC =，1AB =， 所以由余弦定理得1471cos 2122BAC +-∠==-⨯⨯，因为0180BAC ︒<∠<︒ 所以120BAC ∠=︒， 设ABC 外接圆的半径为r ，则2sin BC r BAC=∠，所以723r=，则73r =， 又因为SA ⊥平面ABC ，2SA =，设球心为O ，平面ABC 的外接圆圆心为1O ， 所以四面体外接球的半径2211710133R OO O B =+=+=， 所以四面体S ABC -外接球的表面积四面体24043S R ππ==球.故选：D10．已知函数2()2sin(2)2sin ()136f x x x ππ=+-++，把函数()f x 的图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，若1x 、2x 是()g x m =在[0,]2π内的两根，则12sin()x x +的值为（ ）A B C ．D ． 【答案】A化简()f x 解析式，通过三角函数图象变换求得()g x 解析式，求得()g x 在[0,]2π内的对称轴，根据对称性求得122x x πϕ+=-，进而求得12sin()x x +的值.解：()2sin(2)cos(2))333f x x x x πππϕ=+++=++，1sin tan 2ϕϕϕ===，不妨设ϕ为锐角，则04πϕ<<.则0,0,28828424ϕππϕππϕπ<<-<-<<-<，所以())])63g x x x ππϕϕ-++=+，由2,2x k k Z πϕπ+=+∈，可得422k x ππϕ=+-，取0k =， 可得()g x 在[0,]2π内的对称轴方程为42x πϕ=-，因为12x x 、是()0g x m -=在[0,]2π内的两根， 所以122x x πϕ+=-，所以12sin()cos x x ϕ+== 故选：A11．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与y 轴交于点A 、与双曲线右支交于点B ，若2ABF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2 D 【答案】B由双曲线的定义知，122BF BF a -=，又2ABF 为等边三角形，所以11122AF BF BA BF BF a =-=-=，由对称性有212AF AF a ==，所以124,2BF a BF a ==，在直角三角形1AOF 中，求出1cos AFO ∠，在三角形12BF F 中，由余弦定理求出1cos AFO ∠，从而即可求解.解：解：由双曲线的定义知，122BF BF a -=，又2ABF 为等边三角形， 所以11122AF BF BA BF BF a =-=-=，由对称性有212AF AF a ==，所以124,2BF a BF a ==，在直角三角形1AOF 中，111cos 2F O c AF O AF a∠==， 在三角形12BF F 中，由余弦定理有()()()22222222121211212423cos 22424F F F B F Bc a a a c AF O F F F Ba cac+-+-+∠===⨯⨯，所以22324c a c a ac +=，解得223c a=，所以双曲线C 的离心率3==c e a ，故选：B.12．已知函数222ln()()(0),()3x m x f x m g x x x --=<=，设方程1(())0f g x m+=的3个实根分别为123,,x x x ，且123x x x <<，则()()()12323g x g x g x ++的值可能为（ ）A ．2e- B ．2eC ．3e -D ．3e【答案】B利用导数研究()g x 的单调性、极值及区间值域，由题设可知22320x mx m +-=在(,0)(0,)-∞+∞上必有两个不等的实根12,t t (假设12t t >)且122,3mt m t =-=，结合()g x 的性质有220e 3m -<<且212()()t g x g x ==，13()t g x =，进而求目标式的值，即可确定答案.解：由题设，2ln()()x g x x -=的定义域为(,0)-∞，且22[1ln()]()x g x x --'=， ∴当(,e)x ∈-∞-时，()0g x '<，即()g x 递减；当(e,0)x ∈-时，()0g x '>，即()g x 递增. ∴2()(e)eg x g ≥-=-，又x 在(,e)-∞-上逐渐变小时()g x 逐渐趋近于0，当10x -<<时()(1)0g x g >-=且随x 趋向于0，()g x 趋向无穷大.∴()g x 的图象如下：∵()f x 的定义域为{|0}x x ≠，由1()0f x m+=可得：22320x mx m +-=在(,0)(0,)-∞+∞上必有两个不等的实根12,t t (假设12t t >)且122,3mt m t =-=(0)m <， ∴令()t g x =，要使1()0f t m +=的3个实根，则1[0,)t ∈+∞、22(,0)et ∈-，即220e 3m -<<，可得30em -<<. ∴由123x x x <<知：212()()t g x g x ==，13()t g x =，∴()()()123123233()(0,)e g x g x g x t t m ++=+=-∈.故选：B.【点睛】关键点点睛：首先应用导数研究()g x 的性质，根据1(())0f g x m+=有3个实根，则22320x mx m +-=在(,0)(0,)-∞+∞上必有两个不等的实根122,3mt m t =-=，结合()g x 的值域求m 的范围且212()()t g x g x ==、13()t g x =，即可求目标式的范围. 二、填空题13．若()6221(0)a x x a x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭的展开式中含7x 项的系数为90，则=a ___________.3根据二项展开式的通项公式，结合第一个括号分类求含7x 项，合并同类项即可求解.解：对于二项式62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式而言，其通项12316C r r rr T a x -+=，于是62(21)a x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式会出现两类，一类是13362C r r ra x -，一类是1236C r r r a x -，只有当2r =时，才会出现7x 项，此时系数是22262C 3090a a ==，解得 3.a = 314．已知x，y满足约束条件1031030x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则点(),P x y与点()2,0A-连线的斜率的取值范围为___________.【答案】119k≤<1,19⎡⎫⎪⎢⎣⎭.画出可行域，再数形结合分析得解.解：解：画出可行域（如图阴影部分），可行域为以直线10x y-+=，30x y+-=和直线310--=x y为边界的开放型区域.设P A的斜率为k，联立31030x yx y--=⎧⎨+-=⎩得51,22B⎛⎫⎪⎝⎭，所以AB的斜率1012=5922ABk-=+，所以119k≤<.故答案为：119k≤<15．已知函数()()()1log20,1af x x a a=+->≠的图象经过定点(,)A m n，若正数x，y满足1m nx y+=，则2xx yy++的最小值是__________【答案】13先求出()f x经过的定点A，再由基本不等式即可求解解：函数()()()1log20,1af x x a a=+->≠令21x-=，可得3x=，代入函数可得1y=，∴定点A的坐标(3,1)，代入1m nx y+=可得311x y+=，那么3xxy=-，且0,0x y>>，则31333333(3)372767132y x y xx y x yx y x y x yxx yy⎛⎫=+-=++-=++≥⋅=+=⎪⎝⎭++当且仅当33y xx y=，即4x y==时，取等号，∴2xx yy++的最小值为13.故答案为：1316．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2 【答案】①③④①当N 为CD 的中点时，过M 作MM BC '⊥于M '，证AC MM N '⊥平面即可； ②根据正方体棱的特征和线面平行的判定方法可知没有满足条件的棱；③通过线线平行和线面平行的性质，作出平面1A MN 与正方体各个面的交线即可判断； ④过M 作MM BC '⊥于M '，tan MM MNM M N''∠='，M N '长度的最大值为对角线BD ； ⑤三棱锥1D －1A MN 体积为定值，要使点1D 到平面1A MN 的距离最大，则使△1A MN 的面积最小，据此即可求解﹒解：①如图，当N 为CD 的中点时，过M 作MM BC '⊥于M '，∴MM ABCD '⊥平面，∴MM AC '⊥，又M NAC ，M N '与MM '相交于M '，∴AC MM N '⊥平面，又MN MM N '⊂平面，∴MNAC ⊥，故①正确；②在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是与1DA DC DD ，，平行的棱，又1DA DC DD ，，不与平面1A MN 平行，∴在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面1A MN 平行，故②错误； ③如图，取BC 中点M '，连接AM '，∴1AM A M '∥，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，∴1EN A M ∥，即EN 为过1A M N ，，三点的平面与平面ABCD 的交线；连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，∴11A E B F ∥，再过点M 作1B F 的平行线交1CC 于点G ，此时113CG CC =，∴1A E MG ∥，即MG 为过1A M N ，，三点的平面与平面11BCC B 的交线；连接NG ，则可得五边形1A MGNE 即为正方体中过1A M N ，，三点的截面，故③正确；④设正方体棱长为2，如图，过M 作MM BC '⊥于M '，∴MM ABCD '⊥平面，∴MN 与平面ABCD 所成角即为MNM '∠，∴2tan MM MNM M N M N''∠==''；又M N '长度的最大值为22，∴MN 与平面ABCD 所成角的正切值的最小值为22，故④正确；⑤M ，N 在棱11B C ，CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，∴1111114222323D A MN N A MD V V --==⨯⨯⨯⨯=恒为定值．要使1D 到平面1A MN 的距离最大，则三角形1A MN 的面积应为最小．当M N ，分别运动到1C C ，时，1A MN S =△，此时1D 到平面1A MNM ，N 分别运动到棱11B C ，CD 中点时，1A M MN =，13A N =，∴1cos A MN ∠则11111···sin 22A MNSA M MN A MN =∠=⨯；又<∴当M ，N 为11B C ，CD 中点时，1D 到平面1A MN ∴⑤错误． 故答案为：①③④．【点睛】本题较难，需要判断的选项较多，综合考察了空间里面点线面的位置关系，需要结合图形自行作出辅助线求解，在求解时还要结合平面几何的解三角形的相关方法进行长度或面积的计算，属于几何的综合性难题. 三、解答题17．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，3a 是2a 和22S 的等差中项，且3322S a =-. (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足221log n n b a -=，且{}n b 的前n 项和为n T ，求使得2022n n S T >-成立的n 的最小值. 【答案】(1)2n n a =，n N +∈ (2)min 10n =(1)由条件转化为首相和公比的等式，求得首项和公比，再求通项公式； （2）由等差和等比数列的前n 项和，转化不等式为12220240n n ++->， (1)22322S a a +=，3322S a =-∵0n a >，∴2322q q +=，()21112a q a q +=-∴2q ，12a =.∴2n n a =，n N +∈(2)221log 21n n b a n -==-()21212n n n T n +-==()12122212n n n S +⨯-==--.20220n n S T +->，12220240n n ++->，数列{}122n n ++为单调递增，当9n =时，12211052024n n ++=<. 当10n =时，12221482024n n ++=>. ∴min 10n =.18．如图，ABC 的外接圆O 的直径2AB =，CE 垂直于圆O 所在的平面，//BD CE ，2CE =，1BC BD ==.（1）求证：平面AEC ⊥平面BCED .（2）若13DM DE =，求二面角C AM D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（26（1）通过证明,AC BC EC BC ⊥⊥，证得BC ⊥平面ACE ，由此证得平面AEC ⊥平面BCED . （2）建立空间直角坐标系，利用平面CAM 的法向量和平面AMD 的法向量计算出二面角C AMD --的余弦值.解：（1）证明：ABC 的外接圆O 的直径AB AC BC ∴⊥.又因为EC ⊥平面ABC ，所以EC BC ⊥ 又AC EC C =∴BC ⊥平面ACE ，又BC ⊂平面BCDE ， ∴平面AEC ⊥平面BCED .（2）以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CE 为z 轴建立空间直角坐标系，则(3,0,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,2)A B D E .设1124(,,),(,1,1)(0,1,1)(0,,)3333M x y z DM DE x y z M =⇒--=-⇒ 设平面CAM 的法向量为111(,,)m x y z =，24(3,0,0),(0,,)33CA CM ==则111300240033x m CA m CM y z ⎧=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎩⎪⎩取，(0,2,1)m =-设平面AMD 的法向量为222(,,)n x y z =，24(3,,),(3,1,1)33AM AD =-=-00n AM n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩取(23,3,3)n =则6cos 10m n m n m n⋅<⋅>==-，因为二面角C AM D --的平面角为锐角∴二面角C AM D --的余弦值610.【点睛】向量法计算二面角，关键是计算出两个半平面的法向量.19．5G 的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第1月份至6月份的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如表： 时间（月份）12 3 4 5 6 收入（百万元） 6.68.616.121.633.041.0根据以上数据绘制散点图，如图.(1)根据散点图判断，y ax b =+与dx y ce =（a ，b ，c ，d 均为常数）哪一个适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程，并预测该公司8月份的5G 经济收入；(3)从前6个月的收入中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为X ，求X 的分布列和数学期望. 参考数据：其中设ln u y =，()ln 1,2,3,4,5,6i i u y i ==参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据()(),1,2,3,,i i x v i n =，其回归直线v x βα=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121n iii nii x x v v x x β==--=-∑∑，a v x β=-， 4.5695.58e≈，4.5897.51e ≈. 【答案】(1)dx y ce =(2)回归方程为 1.520.38e +=x y ，8月份的5G 经济收入95.58百万元. (3)答案见解析（1）根据散点图判断可得答案；（2）根据（1）的结果ln ln y c dx =+，然后根据参考数据求出方程，进而求得y 关于x 的回归方程，再将8x =代入方程可得答案；（3）求出X 的可能取值及概率，可得分布列和数学期望. (1)dx y ce =，散点图中点的分布不是一条直线，相邻两点在y 轴上差距是增大的趋势，故用dx y ce =表示更合适. (2)由dx y ce =得ln ln e ln ==+dx y c c dx ，设ln u y =，所以ln u c dx =+， 因为 3.50=x ，()62117.50=-=∑i i x x，()()616.73=--=∑i i i x x u u ， 2.85=u ，所以()()()1216.730.3817.50==--==≈-∑∑niii nii x x v v d x x ， 2.850.38 3.50 1.52β=-=-⨯=a v x ， ln 0.38 2.580.38 3.50 1.52=-=-⨯=c u x ，所以ln 1.520.38y x =+，即 1.520.38e +=x y ，则回归方程为 1.520.38e +=x y ，预测该公司8月份的5G 经济收入 1.520.388 4.56e e e 95.58⨯==≈y 百万元. (3)月收入超过16百万的个数为X 的可能取值为1，2，3，则()212436411205====C C P X C ， ()1224361232205====C C P X C ，()032436413205====C C P X C ， 则X 的分布列为所以()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=.20．已知动点P 到两点()，)的距离之和为4，点P 在x 轴上的射影是C ，2CQ CP =.（1）求动点Q 的轨迹方程；（2）过点()的直线交点P 的轨迹于点,A B ，交点Q 的轨迹于点,M N ，求214MN AB -的最大值.【答案】（1）224x y +=.（2）1（1）根据椭圆的定义和题设条件，求得点P 的轨迹方程是2214x y +=，设点Q 坐标为(),x y ，由2CQ CP =所以点P 的坐标为,2y x ⎛⎫⎪⎝⎭，代入即可求解.（2）若AB x ⊥轴，求得2104MN AB -=；若直线AB 不与x 轴垂直，设直线AB 的方程为y kx =，根据圆的弦长公式，求得()222441k MN k +=+，再联立方程组，结合根与系数的关系，求得AB 的表达式，代入化简，即可求解. 解：（1）设()1F ，)2F因为点P到两点()),的距离之和为4，即124PF PF +=可得点P的轨迹是以()),为焦点，长轴长为4的椭圆，所以24a =，即2a =，且c =1b ， 所以点P 的轨迹方程是2214x y +=.设点Q 坐标为(),x y ，因2CQ CP =所以点P 的坐标为,2y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得22142x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，化简得点Q 的轨迹方程为224x y +=.（2）若AB x ⊥轴，则12AB MN ==，，2104MN AB ∴-=. 若直线AB 不与x 轴垂直，设直线AB的方程为y kx =，即0kx y -=，则坐标原点到直线AB的距离d =()()222244441k MN d k +∴=-=+.设()()1122,,,A x y B x y .将y kx =代入2214x y +=，并化简得，()2222141240k xx k +++-=.12x x ∴+=212212414k x x k -=+.12AB x ∴=-224414k k +==+22422219911445145k MN AB k k k k ∴-==≤=++++， 当且仅当2214kk =即k =. 综上所述，214MN AB -最大值为1. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，圆的性质，及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21．已知函数()(1)f x a x =-，()e (1)x g x bx =-，R a ∈．(1)当2b =时，函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围； (2)当b a =时，不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求a 的取值范围． 【答案】(1)32(0,1)(4e ,)a ∞∈⋃+； (2)22e [2e 1a ∈-,1).（1）令()()0y f x g x =-=，可得e (21)(1)1x x a x x -=≠-，将问题转化为e (21)()(1)1x x F x x x -=≠-与y a=有两个交点，应用导数研究()F x 的单调性、极值，进而确定区间值域，即可得a 的取值范围； （2）由题设可得1()1e x x a x --<，构造1()e xx h x x -=-，应用导数研究()h x 的单调性且极小值为02001()0ex x h x +>>，进而讨论a 判断()1ah x <的整数解个数求a 的取值范围．(1)当2b =时，()e (21)x g x x =-，由()()0y f x g x =-=得：()()f x g x =，即e (21)(1)1x x a x x -=≠-， 令e (21)()(1)1x x F x x x -=≠-，则2e (23)()(1)x x x F x x --'=，∴0x <时()0F x '>，()F x 在(,0)-∞内递增， 01x <<时()0F x '<，()F x 在(0,1)内递减，312x <<时()0F x '<，()F x 在3(1,)2内递减， 32x >时()0F x '>，()F x 在3(,)2+∞内递增， ∴极大值()01F =，极小值3234e 2F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴在(,0)-∞上值域为(0,1)，在(0,1)上值域为(,1)-∞，在3(1,)2上值域为32[4e ,)∞+，在3(,)2+∞上值域为32[4e ,)∞+，∴要使函数()()y f x g x =-有两个零点，则32(0,1)(4e ,)a ∞∈⋃+； (2)当b a =时，由()()f x g x >得：1()1e xx a x --<． 令1()e x x h x x -=-，则e 2()e x xx h x +-'=．令()e 2x x x ω=+-，则()e 10x x ω'=+>，即()x ω在R 上单调递增，又(0)10ω=-<，(1)ωe 10=->，∴()x ω在R 上有唯一零点0(0,1)x ∈，此时()h x 在0(,)x -∞上递减，在0(x ,)∞+上递增． 0000min0e 1()()e x x x x h x h x -+∴==，令()e 1x k x x =--，则()e 1x k x '=-，故(,0)-∞上()0k x '<，在(0,)+∞上()0k x '>， ∴()k x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增，则()(0)0k x k ≥=，即e 1x x >+， ∴00020000e 11()0e ex x x x x x h x -++=>>．当0x ≤时，()(0)10h x h ≥=>；当1≥x 时，()(1)h x h ≥1=．①若0a ≤，则()01ah x ≤<，此时()1ah x <有无穷多个整数解，不合题意； ②若1a ≥，即11a≤，因为()h x 在(-∞,0]上单调递减，在[1,)∞+上单调递增， 所以x ∈Z 时，()min{(0)h x h ≥，()h 11}1a=≥，所以1()h x a <无整数解，不合题意；③若01a <<，即11a>，此时(0)(1)h h =11a =<，故0，1是1()h x a <的两个整数解，又1()h x a <只有两个整数解，因此()h 11a ≥且(2)h 1a ≥，解得22e2e 1a ≥-．∴22e [2e 1a ∈-,1)．【点睛】关键点点睛：第二问，通过构造中间函数研究其单调性、极值，进而讨论参数判断()1ah x <的整数解个数是否符合题设.22．已知曲线1C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若过点(10)F ，的直线l 与1C 交于A ，B 两点，与2C 交于M ，N 两点，求FA FB FM FN的取值范围.【答案】(1)见解析;(2)108⎛⎤⎥⎝⎦，.【解析】解：试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到1C 的普通方程，两边同乘以ρ利用cos ,sin x y ρθρθ== 即可得2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），代入2212x y +=，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）曲线1C 的普通方程为2212x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为 24y x =；（2）设直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）又直线l 与曲线2C ：24y x =存在两个交点，因此sin 0α≠.联立直线l 与曲线1C ：2212x y +=可得()221sin 2cos 10t t αα++-=则12211sin FA FB t t α⋅==+ 联立直线l 与曲线2C ：24y x =可得22sin 4cos 40t t αα--=，则1224sin FM FN t t α⋅==即2222211sin 1111sin 0,4141sin 481sin sin FA FB FM FN ααααα⋅⎛⎤+==⋅=⋅∈ ⎥⋅+⎝⎦+ 23．已知实数,,a b c ，满足1a b c ++=．（1）若,,0a b c +∈=R ，求证：2211252a b a b ⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）设222,1a b c a b c >>++=，求证：1a b +>． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（1）利用基本不等式可证得222111112a a b a b b ⎛⎫⎛⎫+++≥⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由基本不等式计算11a b +的最值，即可求证；（2）利用反证法证明，假设1a b +≤，将已知条件平方可得0ab bc ca ++=，由已知条件可知0a b c >>≥可得0ab bc ca ++>，得出矛盾即可得证.解：（1）0c 时，1a b +=，因为2211112a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以222211112112a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221111122a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭==， ,,1a b R a b +∈+=，∴1111()224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭ 114a b∴+≥从而22211(14)2522a b a b +⎛⎫⎛⎫+++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当111a b b a a ba b a b ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=+⎪⎩即12a b ==时等号成立， （2）假设1a b +≤，则由1a b c ++=，知0c ≥，故0a b c >>≥．又由2222()2221a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，得0ab bc ca ++=但由0a b c >>≥知0ab bc ca ++>矛盾，故1a b +≤不成立，所以1a b +>．【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值或证明不等式时，必须满足一正、二定、三相等，验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.。
