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高等数学分析教材答案混用格式的高等数学分析教材答案第一章微分学1.1 函数与极限1.1.1 极限的定义设函数$f(x)$在$x_0$的某个领域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，就有$|f(x) - A| < \varepsilon$，则称函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限为$A$，记作$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。
【例题1】求极限$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$。
解：由题意，当$x \neq 2$时，可以将分式$\frac{x^2 - 4}{x - 2}$化简为$x + 2$。
因此，$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$。
1.1.2 极限的性质与运算法则性质1：唯一性如果函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限存在，那么极限必定唯一。
性质2：有界性如果函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限存在且有界，那么函数$f(x)$在$x = x_0$处连续。
性质3：保号性如果函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限存在且大于（或小于）零，那么函数$f(x)$在$x = x_0$处大于（或小于）零。
运算法则1：四则运算法则如果$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，$\lim_{x \to x_0} g(x) = B$，那么：（1）$\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = A + B$；（2）$\lim_{x \to x_0} [f(x) - g(x)] = A - B$；（3）$\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$；（4）$\lim_{x \to x_0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] =\frac{A}{B}$（其中$B \neq 0$）。
工科数学分析题集一、选择题1. 下列关于函数极限的定义，正确的是（）A. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LB. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LC. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| ≤ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LD. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| ≤ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 L 答案：A解析：函数极限的精确定义为：对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 L。
2. 关于无穷小量的描述，正确的是（）A. 以零为极限的变量称为无穷小量B. 绝对值无限趋近于零的变量称为无穷小量C. 函数值无限趋近于零的变量称为无穷小量D. 当自变量趋于某个值时，函数值无限趋近于零的变量称为无穷小量答案：A解析：以零为极限的变量称为无穷小量。
3. 下列关于无穷大量的说法，错误的是（）A. 绝对值无限增大的变量称为无穷大量B. 当自变量趋于某个值时，函数值的绝对值无限增大的变量称为无穷大量C. 无穷大量一定是无界变量D. 无界变量一定是无穷大量答案：D解析：无界变量不一定是无穷大量，但无穷大量一定是无界变量。
4. 对于函数极限的性质，下列说法不正确的是（）A. 函数极限具有唯一性B. 函数极限具有局部有界性C. 函数极限具有局部保号性D. 函数极限具有可加性，即若 lim(x→x₀) f(x) 和 lim(x→x₀) g(x) 存在，则 lim(x→x₀) (f(x) + g(x)) = lim(x→x₀) f(x) + lim(x →x₀) g(x) 一定成立答案：D解析：函数极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性。
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目录-----------------------------------------------------------------第一章.....................3第七章 (106)1.1......................37.1. (106)1.2......................47.2. (114)1.3......................67.3. (124)1.4......................10第八章 (128)1.5......................148.1. (128)1.6......................168.2. (131)第二章.....................19第九章.. (133)2.1......................199.1 (133)2.2......................229.2 (135)2.3......................32第十章.. (138)2.4 (35)2.5 (39)2.6 (43)第三章 (49)3.1 (49)3.2 (52)3.3 (57)3.4 (61)第四章 (65)4.1 (65)4.2 (69)4.3 (71)4.4 (73)4.5 (78)4.6 (81)第五章 (84)5.1 (84)5.2 (86)5.3 (93)第六章 (98)6.2 (98)6.3 (100)6.4 (101)6.5 (103)第一章§1.11、（1）实数和数轴是一一对应的关系。
（2）是无限不循环小数，是无理数。
（3）两个无理数之和还是无理数，一个有理数与一个无理数之和是无理数，当有理数不为零时，一个有理数与一个无理数的乘积是无理数。
4.6 练习答案1、 证明：因为p(x)[0.1]上连续，在（0.1）内可导，且p(0)=p(1)=0 从而1(0.1)ξ∃∈使1()0p ξ'=。
即1ξ是()p x '的根 同理23(1.2),(2.3)ξξ∃∈∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1,)n n n ξ∈-使2n ξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是()p x '子根。
又因为()p x '是n 次的多项式，至多有n 个根。
所以()p x '有n 个实根且分布在()p x 的根所界的个区测内。
2、证明：令F则在[a.b]上连续(a.b)内可导且从而(.)a b θ∃∈ 使即 2()()0xf x f x x xθ'-== 从而。
3,4,略5、证明：令 则在[a.b]上连续（a,b ）内可导，且从而(.)a b ξ∃∈使即 ()()(()())0g x g x f x e f x e x ξ'+==即()()()0f g f ξξξ''+=即ξ是()()()0f x g x f x ''+=的根。
6、证明：令11()1n n o a a q x x x anx n n+=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++，则()q x 在[0.1]上连续，（0，1）内可导且(0)0(1)q q ==， 从而(0,1)ξ∃∈使()0q ξ'=，即()0p ξ=。
从而ξ是()p x 子根。
7.证明：因为()f x 不是线性函数，所以曲线F 上必有在弦AB 上方的点。
或有在AB 下方的点。
不妨设()()()()()f b f a f x f a c a b a->+--. 用K 表示斜率设弦AB 方程为()y g x = ()()()()()()ac f c f a g c g a f b f a k c a c a b a---=>=--- ()()()()()()bc f b f c g b g c f b f a k b c b c b a---=<=--- 从[a.c],[c.b]上由拉氏定理知2(,)a c θ∃∈， 使2()f kac θ'=1(,)q c b ∃∈， 使2()f kbc θ'= 所以12()()()()f b f a f f b aθθ-''<<-. 8、证明：因0(0.1)x ∈。
习题6.11．（1）（a ）23()()()d ()d ,x y x y σσσσ+>+⎰⎰⎰⎰ （b ）23()()()d ()d ,x y x y σσσσ+<+⎰⎰⎰⎰（2）(a)2()()e d e d xyxy σσσσ<⎰⎰⎰⎰， （d ）2()()e d e d xy xy σσσσ>⎰⎰⎰⎰2．（1）02I ≤≤； （2）0I ≤≤ （3）e I ππ≤≤ （4）3075I ππ≤≤习题6.21．（1）221； （2）3221； （3）4(3115-； （4）62e 9e 4--；（5）54ln 22-； （6）425-； （7）21)15； （8）3cos1sin1sin 42+-2．（1）2 44 04d (,)d d (,)d yy xI x f x y y y f x y x ==⎰⎰⎰⎰；（2） sin 1 arcsin 0 0 0 arcsin d (,)d d (,)d ;xyyI x f x y y y f x y x ππ-==⎰⎰⎰⎰（3）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==21212121211d ,d d ,d d ,d yyxxx y x f y x y x f y y y x f x I（4）21 01 01 21d (,)d d (,)d I x f x y y y f x y x ---==⎰⎰⎰⎰.3．（1）2 10 d (,)d xx x f x y y ⎰⎰； （2） 1 0d (,)d y f x y x ⎰⎰； （3） 1eed (,)d y y f x y x ⎰⎰；（4）1220 0 1d (,)d d (,)d xxx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰； （5） 132 0d (,)d yy f x y x -⎰；（6）22 2 2 00 22d (,)d d (,)d d (,)d aa aa aay y a aaay f x y x y f x y x x f x y x +++⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（7）214d (,)d yy f x y x -⎰⎰； （8） 12 01d (,)d yy f x y x -⎰⎰。
第3章 习 题31、 证明 （1）若)2()(x a f x f -=，则函数)(x f 的图形对称于直线a x =； （2）若)(x f 的图形同时对称于直线a x =和b x =，)(b a ≠，则)(x f 为周期函数。
证明:（1）平移坐标轴：以a x =为y 轴，那么a x x +'=，这样函数)(x f y =变换为)(a x f y +'=，要证明)(x f y =图形关于直线a x =对称，只要证明)(a x f y +'=关于y轴对称，即要证明)(a x f y +'=为偶函数。
)2()()()(x a f a x a f a x f x y -=+-=+'-='-,)()()(x f a x f x y =+'='. 由条件可知)()(x y x y '='-故命题成立。
（2）由（1）可得)2()(x a f x f -=及)2()(x b f x f -=,)()2())2(2()22(x f x a f x a b f a b x f =-=--=-+,∴函数)(x f 以a b 22-为周期。
2、设221)1(xx x x f +=+, 求)(x f ，)1(x x f -.解: 2)1(212)1(222-+=-++=+x x x x x x f ,∴2)(2-=x x f ,∴4121(1(222-+=--=-xx x x x x f .3、设|)|(21)(x x x f +=，⎩⎨⎧≥<=0)(2x xx x x g 求))((x g f ，))((x f g . 解: ⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=000)(21)(x x x x x f ⎩⎨⎧<≥=000x x x , ∴2()()00(())0()00g x g x x x f g x g x x ≥⎧≥⎧==⎨⎨<<⎩⎩, 22()()00(())[()]()00f x f x xg f x f x f x xx <<⎧⎧==⎨⎨≥≥⎩⎩, ∴))(())((x f g x g f =.4、设)(x f 定义域在),(+∞-∞上，且R x x ∈∀21,，满足)()()(y yf x xf xy f +=.证明0)(≡x f .证明: 0)0(0)0(0)00()0(=+=⋅=f f f f∴ 当0≠x ,)()0(0)0(x xf f x f +=⋅ ,0)(=x xf , 0)(=x f .故0)(≡x f .5、已知xx f +=11)(求)]([x f f 定义域. 解: 1(())111f f x x=++ ∴)]([x f f 的定义域为1-≠x ，2-≠x .6、试证方程b x a x +=sin 0>a ，0>b ，至少有一个正根并且它不超过b a +.证明: 设b x a x x f --=sin )(，显然它在],0[b a +上连续,)(b a f +0)]sin(1[)sin(≥+-=-+-+=b a a b b a a b a .若0)(=+b a f ，b a +即为方程满足条件的根。
