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工科数学分析上机作业说明：以下两道题均是使用Matlab 语言，且在Matlab 7.0中运行通过。
1.（两个重要极限）计算下列函数的函数值并画出图形，观察两个重要极限值。
(1)y=f(x)=; (2)y=f(x)=.sin x x (1+x)1x 解：（1）求解过程如下：>> syms x>> y=limit(sin(x)/x)y =1>> ezplot(sin(x)/x,[-10*pi,10*pi])>> ezplot(sin(x)/x,[-1*pi,1*pi])其图形如下：（2）求解过程如下：>> syms x>> y=(1+x)^(1/x)y =(1+x)^(1/x)>> y=limit((1+x)^(1/x))y =exp(1)>> ezplot((1+x)^(1/x),[-1000,1000]) >> ezplot((1+x)^(1/x),[-10,10]) >> ezplot((1+x)^(1/x),[-1,1])其图像如下：分析如下：（1）当x 取值为[-30,30]时，由该题的第一个图像可以看到，函数值在不断震荡，一会为正数，一会为负数。
而当x 取值为[-3，3]时，函数值始终大于0。
当x 趋近于0时，由该题的第二个图像可以得到函数值为1。
另外，该结论也可以由夹逼法则证明，结果不变，当x 趋近于0时，函数值仍为1。
（2）由该题的三个图像可以知道，该函数在定义域内为单调递减函数。
且由该题的第一和二个图像知道，当x 在[0,10]区间内，函数递减趋势非常迅速。
由该题的第三个图像知道，当x 趋于0 时，函数值为自然对数的底数 e ,即约为2.71828.3.计算f(x)=,12+1√2π∫x 0e ‒t 2/2dt 1≪x ≪3的函数值{f （0.1k ）;k=1,2,…,30}.计算结果取7位有效数字。
第一章复习X.1函数的极限及其连续性概念：省略 注意事项1. 无界变量与无穷大的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量，例如，y = f(x) = xsinx 是无界变量，但不是无穷大量。
因为取TT JTx = x lt = 2n7r + ^-时，/(兀)= 2/r +彳，当斤充分大时，/(£)可以大于一预2 2先给定的正数M ；取x = x n = 2/?TF 时，兀)=02. 记住常用的等价形式当X —> 0时，sinx 〜兀， arcsinx 〜匕 tanx 〜兀， arctan x 〜九1 ? 丄 1ln(l + x)〜兀， "一1 ~ x, 1 — cos x ~ — ， (1 + x)n~1 — x2 n例1当XT0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小(A) x 2o (2) 1 -cosxo (3) sinx- tanx (4) ln(l + x 2) o ()解：因为1—COSX 〜丄皿1 +兀2)〜兀2,所以选择CX 2Hr V e -COSX练习hrn -------------XT °lncosx3. 若函数的表达式中包含有a + 4b (或奶+丽)，则在运算前通常要在分子分母乘以其共轨根式a-4b (或丽-丽)，反之亦然，然后再做有关分析运算解lim e -cosxIn cosx " —1 + 1 —cosx=lim -------------------- go ln[l + (cosx-l)]lim ——— go ln[l +(cosx-l)] + limXT O1 - cos%ln[l + (cosx-l)]lim 9JTXT() COS X — 1 + lim 1-cosxXT° cos 无一 1例2 求lim sin( Jn匚Flzr)。
HT8.2 2 r sin - 因为limsin 土上= lim 「^ = l,所以原极限=—JVT8 X 2-V —>oo Z解 lim sin(7^2 + l^r) = lim sin[(V^2 +1 一 町兀 + n7r]=lim(-l)" sin(V^2+ 1”—»87t+1 +当 n t oo 时，sin-------- / c ----------- > 0,(料 Too) 又 |(_1)” =1,故limsinCVn^+l^^O” T8练习 求lim[Jl + 2 + ・・・ + 〃—Jl + 2 + ・・・ + (/? — l)]解原式=lim"T8n(n +1) n(n-l)""2 V ~2-r 1 2n V2 —■— • —「 --------- ------ 「 -——"T8 ^2 Jn(n + T) + J M (/?_1)24.大—>8该极限的特点:l （i ）r 型未定式1（2）括号屮1后的变量（包括符号）与幕互为倒数解题方法（1） 若极限呈广型，但第二个特点不具备，则通常凑指数墓使（2）成立（2） 凡是广型未定式，其结果：底必定是幺，幕可这样确定: 设 limw （x ） = 0 , limv （x ） = oo ,则lim(l ± u(x))v(x)= lime v(x),n(,±w(x)) = e limv(x),n(1±M<x)) limv(^)(±w(x)J _ ±Iim V (X )H (X )e — c这是因为 ln(l ± u{xy)〜±%(x) o例3求lim XT8 1 . 1Ycos —+ sin —X X丿 解原式=lim X —>81 . 1}cos —+ sin —x x(2卡 =lim 1 + sin — XT8lim 夕=0XT一 8x.2单调有界原理单调有界数列必有极限此类问题的解题程序：（1）直接对通项进行分析或用数学归纳法验证数列｛暫｝单调有 界；（2）设｛兀｝的极限存在，记为\xmx n =l 代入给定的兀的表达式中，则该式变为/的代 数方程，解之即得该数列的极限。
2023考研大连理工大学602数学分析考研真题笔记初试复习资料一、大连理工大学602数学分析考研真题汇编及考研大纲1．大连理工大学602数学分析2000-2023、2023-2023、2023-2023、2023年考研真题；其中2005、2023-2023有答案。
说明：分析历年考研真题可以把握出题脉络，了解考题难度、风格，侧重点等，为考研复习指明方向。
2．大连理工大学602数学分析考研大纲①2023年大连理工大学602数学分析考研大纲。
②2023年大连理工大学602数学分析考研大纲。
说明：考研大纲给出了考试范围及考试内容，是考研出题的重要依据，同时也是分清重难点进行针对性复习的首选资料，本项为免费提供。
二、2023年大连理工大学602数学分析考研资料3．常庚哲《数学分析教程》考研相关资料（1）常庚哲《数学分析教程》[笔记+提纲]①大连理工大学602数学分析之常庚哲《数学分析教程》考研复习笔记。
说明：本书重点复习笔记，条理清晰，重难点突出，提高复习效率，基础强化阶段首选资料。
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4．李成章《数学分析》考研相关资料（1）李成章《数学分析》[笔记+提纲]①大连理工大学602数学分析之李成章《数学分析》考研复习笔记。
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5．大连理工大学602数学分析考研核心题库（含答案）①2023年大连理工大学602数学分析考研核心题库精编。
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6．大连理工大学602数学分析考研题库[仿真+强化+冲刺]①2023年大连理工大学602数学分析考研专业课五套仿真模拟题。
大连理工大学《工科数学分析基础》微分方程一、
微分方程
一阶方程 1。
可分离变量
2(一阶线形方程的通解公式
二阶方程
1( 二阶常系数的齐次方程通解 2( 二阶常系数的非齐次方程的特解形
式
全微分方程
结合积分与路径无关出题
解析几何
1( 向量的数量积与向量积
2( 直线方程与平面方程(结合微分法) 多元函数微分学及其应用
1( 连续性(左右连续求常数) 2( 偏导数定义
3( 微分定义公式
4( 多元复合函数微分法
5( 曲线的切向量与平面的法向量计算 6( 拉格朗日乘数法
7( 方向导数的计算公式与梯度定义及其
意义
多元函数积分学
1( 二重积分与三重积分计算 2( 第一型曲线积分与曲面积分 3( 引力(可能性比较小) 向量值函数的积分
1( 第二型曲线积分与曲面积分的计算
2( 格林公式与高斯公式
3( 散度公式
级数
1( 幂级数的求和(重点) 2( 函数展开成幂级数(重点)
1xe,重点，再次 ln(1，x)1,x
3( 傅立叶级数的计算公式及狄利克a,bnn
雷定理(填空题)
4( 常数项级数
1) 填空题(绝对收敛与条件收敛) 2) 结合幂级数求和求与之相关的常数项级数的和
书后习题做一遍
二、期末考试集锦做一遍
三、每次复习的内容理解。
第二章复习X.l 各类导数的求法复合函数微分法 包=空更dx du dx=arcsin 3 兀-2丫 3x + 2 丿 12 (3兀+ 2尸d 3y _ d (d 2y\ _ dtydx 1) _ /^(r) dx It 隐函数微分法1对方程两边求导，要记住y 是兀的函数，则y 的函数是兀的复合函数。
2利用微分形式不变性，在方程两边求微分，然后解出芈dx例 3 设方程 xy 2+ e y= cos(x + y 2),求 y'解法一：y 2+ 2xyy + e yy = -sin(% + >,2)(1 + 2y/),‘3兀-2、<3x + 2 >,/\x) = arcsin x 2,求空dx A=()于是dy dx3=(arcsin 1)・ 3 =—龙 x=o 2参数方程微分法fdx dy d y - dt _ /(O d ~y _ x ，(0/(0 一 y\t)x (r) dx _/(/) dx 1dt[V(0]3,英屮f ⑴的三阶导数存在，且f”⑴H 0 ,求乞，ax dx~ dx解 dy 二血）二厂⑴+（T （/） -广⑴二£ dxx\t ） f\t ） d(dyd 2y d■■Idx~ dxdt\dx) _1dtdx‘ dxIdx 1]r （t ）r 3（oy 2 +sin(x+ b) 〉2xy 4- e y + 2j ,sin(x+ y 2)解法二：d (xy 2+ e y) = d (cos(x + y~))y 2dx + 2xydy + e ydy = -sin(x + y 2)(clx^2ydy)[(2xy + e y+2ysin(x+ y 2)]dy = -[y 2+sin(x+ y 2)]dx,_y 2+sin (兀 + y 2)2xy + R + 2ysin(x+)，)幕指函数的微分法 设 y = w(x)v(x) (w(x) > O,w(x) H1) => y = e v(x,,nM(J)y 二 /讪“(彳/(x)lnw(%) + y (x)也 |_心)」=u(x)v(x)v\x) In u(x) + 咻)""_ U(x)」例 4 设 y = x a' + a x+ x v ,求 y‘解尸/皿+口严+/呎Xy = e(,x ,n\a xln^zlnx + —) +”夕,nx (1 + In x)In a + /,n”(心心 i n% + 齐)X=x°x a x(In d In 兀 + —) + a e(1 + In x)x x• In a + x x°+</_, (alnx +1)函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法：采用对数微分法（即先对式子的两边取口然对数，然后在等式的两端再对x 求导）解先将表达式写成分式指数幕的形式2 4 £y =(兀 一 2尸(兀 + 3)^(3 - 2 兀$ )*1 + x 2 )刁(5 一 3x 3)'5 In y 二 2 ln(x-2) + | ln(x + 3) + 彳 ln(3-2x 2)-|ln(l + x 2)-| ln(5 一 3x 3)上式两边对x 求导，得2L = _2_ + _? -------- -- --------- - -- +—y x-23(兀 + 3) 3(3-2x 2)3(1+ 〒)5-3x 3(X + 3)2(3-2X 2)4(1 + X 2)(5-3X 3)2 (兀+ 3)2(3-2 兀2 )4例5设尸（“后EU-2)2s2216x 2x 3x 2 + — — +兀一 2 3(x + 3) 3(3-2x 2) 3(1+ x 2) 5-3x 3_分段函数微分法：各区间内的导数求法与一般所讲的导数求法无界，要特別注意的是分界点处的导数一定要用导数的定义求°例如使用公式/©)=lim "兀)_/(和 及左右 XTXo X- X (} 导数来求是否可导。
使用Dirichlet 判别法和Abel 判别法判断数项级数的收敛性，进而判断绝对收敛性 1. 判断下面级数是否收敛.五、（本题15分）OO 1寸 COS — l 、n讨论级数工 ——（1 + -）的收敛性，如果收敛，要分析是绝对收敛还是条件收敛。
77=1 nP n8 1 1四研究级数y （-ir 丄（i+丄）"的绝对收敛或条件收敛性。
（io 分） 負 3n n四、（本题10分）p • 2判断级数z （-l ）w ^-^{5-arctann}是绝对收敛还是条件收敛?n=l 兀使用Dirichlet 判别法和Abel 判别法判断函数项级数的一致收敛性三、 （本题满分10分）a 1确定函数/（x ）=y （-i ）w 丄的定义域及其在定义域上的连续性和可微性。
心 n xy" ° ◎ + x ）arctan /LY 在［0,+x ）上的一致收敛性例.讨论 “2 1"（1 + *） 通过内闭一致收敛性验证和函数的连续性和可微性1. 证明函数项级数/（x ） = Y^-e~x2n2在（0,oo ）不一致收敛，但是和函数/'（兀）在（0,oo ）连n=i n续.2. 证明和函数= 1在（-oo,+oo ）上连续。
H =3 k >n In 7?丿3.证明：（1）函数项级数工叱⑷在（o,+oo ）上不一致收敛；⑵ 函数项级数 n=lnxe~,lx 在（0,+oo ）上连续，且可逐项求导.n=l 8n=沖（1+丄几 IT n幕级数的收敛域幕级数的求法1)讨论下面幕级数收敛区间，在此基础上求和函数・OOZ /:=! 2 n 2 2. 求幕级数的收敛域与和函数，并求级数£牛的和。
n=l n=0 2二、(本题满分10分)求幕级数$(-1)"」一的收敛域，并求级数在收敛区“=2 咻一1)间内的和函数.3. 己知S(x) =》^i£,求S(x) + S(l-x)o求Fourier 级数1. 假设f(x) = -一 ,XG 10,2K ),求f(x)的Fourier 级数.22. 将函数/W = |sinx|在［-龙，龙］展开为傅立叶级。
-03cos 2lnlim 0=+=®xx （10分）四、解：(1)0)cos )((lim 00sin )(lim 00=-¢=÷øöçèæ-=®®x x g x x x g a x x （4分）(2)200sin )(lim )0()(lim )0(x xx g x f x f f x x-=-=¢®® =12)0(2sin )(lim 2cos )(lim 00=¢¢=+¢¢=-¢®®g x x g x x x g x x∴ ïîïíì=¹---¢=¢时时010,)sin )(()cos )(()(2x x x x x g x x g x x f （8分） （3）200)sin )(()cos )((lim )(lim x x x g x x g x x f x x ---¢=¢®® =xx x g x x g x x x g x 2)cos )(()sin )((cos )(lim 0-¢-+¢¢+-¢® =)0(12)0(f g ¢==¢¢，因此)(x f ¢在(-∞，+∞+∞))连续。
连续。
（10分）五、解五、解:: 设x x x f ln)(=，由2ln 1)('xxx f -=，可知,当e x >时)(x f 单调减少单调减少 （5分）若e a b >>，则有b b a a ln ln >，推出a b b a ln ln >，即有a b b a > 2011201220122011> （10分）分）所以六、解：2)()()(x x f x f x x x f -¢=¢÷øöçèæ（4分）分） 令)()()(x f x f x x g -¢=，)()(x f x x g ¢¢=¢，令0)(=¢x g ，得0=x （唯一驻点），当0<x 时，0)(<¢x g ，当0>x 时，0)(>¢x g ，故)0(g 为最小值，故0)0()0()(>-=³f g x g ，∴0)(>¢÷øöçèæx x f ，即x x f )(单调增加。
2023考研大连理工大学602数学分析考研真题笔记初试复习资料一、大连理工大学602数学分析考研真题汇编及考研大纲1．大连理工大学602数学分析2000-2023、2023-2023、2023-2023、2023年考研真题；其中2005、2023-2023有答案。
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高等数学第一章函数、极限与连续一、函数1. 函数分类隐函数F(x, y) = 0; Vx + 77 = 4ci 参数方程表示的函数=类型分类｛[y = y (O积分上限函数 y = [/a )力y = J ：：/(/)d/ 抽象函数y = /(兀) 歹=/(0(劝)研究函数的主要问题：初等性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性。
分析性质：极限、连续性、可微性、 2. 例题(仅限于对应)引例 = 求 /(/(x))I +X解= 77771 = —^1 + /(力 i +丄1 + X解®)Ty (:鳥/(X)= <兀v0 x>0，求 /(/(x)) o初等函数概念分类＜分段函数/(-V )sin 血/(兀)=1m •x sin — x兀HO可积性例 2 f(x) = e x ~, /(^(x)) = 1 - x ,且(p{x) > 0 ,求卩(兀)，并写出定义域。
解 f((p(x)) =(v) = 1 -x,(p(x) = Jln(l-兀) l-x>l=>x<Oo例3设/(兀)满足妙(兀)+财(丄)=£ ,其中a,b,c 均为常数，且求/(x)的 表达式。
1 c妙(x) +妙(―)=—……(1) 解X X，消掉/(丄)得 /(X )= ^-y(--&X )oaf(~) + bf(x) = ex .............. (2) 兀aXx小结：上述四例均强调或说体现“对应”，即自变量在抽象函数中的位置与具体函数中的位 置相对应。
抓住“対应” 一点。
函数问题基本解决。
其他问题从略(本类题考率三年一次)。
3. 习题[1 |%|<11.设 /(x) = n '，则 /(/«)= _Lo0 \x>\3.设 =则 /(/(/«)) =(B)〔0|x|>l1 + x v 0x< 0l-x<0 2 + x x<-l x>0 2-x x> 1l+x>0— —x —15兀vO x<0 x 0<x<1 Jl-x>0 x>0l + (l + x) 1 + (1 —兀)1 — (1 +兀)l-(l-x)2.设〃) = ]：X~ 4-X则 /(-x) = (D)x > 0-x 2x<0 (A) f(-x) =°[-(x~ + x) % > 0 {x 2x<0(C )/(-x) = ][x -x x > 0(B) f(x)=(D) /(x) =—(f + x) -X 2 x 2 - X X 2x<0 x>0 x< 0兀no[1 |x|<l(A) 0 (B) 1 (C) <10 |x|>l 4./(x) =| xsinx| ^cos v (~oo < x < -H>o)是(D)（A ）有界函数（B ）单调函数 （C ）周期函数 （D ）偶函数5. 设/（兀）连续，则下列函数中为偶函数的是（D ）。
（A ）（B ） （C ） （D ） £r[/（r ） + /（-r ）Wr二、极限1. 内容总结°基本型.9型/约掉“零因子”,忙騷同除分母最高阶项宀0 、落必达法则 OO \落必达法则2）等价代换当兀TO 时x 〜sinx 〜tanx 〜arcsin x 〜arctanx 〜ln(l + x)〜e x -1, a x -1 〜xlna転-I 〜丄 Ina, l-cosx 〜 n2. （等价代换）..— 3. 5、 .. YT —3 5 匕 hm ------- ln(l +—) = lim ------------- = 5 川* n + 2 n "Ta 〃 + 2 n(sinx 〜xjn(l + x)〜兀)3) 重要极限lim"11" - i ( limnsin 丄=1 ) •YT () X "Too Hlim(l + x)； =£(lim(l +丄)”=幺)X XT ()入—>8ooci > 1 oo其他lim = 1 (d >0) (lim = 1) lima" =<!1NT8 〃一»8>coci = 10<a<\lim/I —>oo<7 =0 a<0\_（ \_ 极限不存在例：lime vlim e x XT O入TO=g ； lim e x — 0XT (T用泰勒公式求极限用夹逼定理和单调有界原理求极限（主要用于数列极限问题）例题基础题目4) 5) 2s1.(宀”型)|im V?f7-4 = 3；］讪「豎+3 =丄 0片-9 丘_3 4片TI 牙°_4兀2+3 2XT8:lim| -——— 兀叫兀 e x - \)x -\-x1町—1) 2(注对泰勒公式只需熟悉e x , sin x, cos x, ln(l + x\ (1 + x)a 展开式)5.夹逼定理与单调有界[1表示取整函数<-,x(--l)<x[-l<x-- = 2X X L%」 x<2 \「2lim x --1 =2, lim 2 = 2 , 故 lim xXTO*(兀)XT O' XT O*X.• In cos x - ln(l + cosx-l) lim ------- - = lim ---- ----- ； ---- 二 limXT O | — E XXT O __]) XT Ocosx-1 limXT O1£=丄x 2 2lim/?(V3-V2) = lim/7 (1 1、(I A(1、3" -1一2" +1 =lim n 3" -1 -n 2«-lHT8 n —>oonT8 k\ /1 1 3=lim/?- —In3- limn —In2 = In — 2"T8 YI -InaJe n 一1 —Ina)n3. 幕指lim(sinx)tanv = lime tanA,nsinx2 2lim ian.rln(l+sin.v-l) 2e2lim tanx(sin A*-l).YT_ e2..sinx-l . lim -- s in x』cosx，24・泰勒公式 limXT Olim XT O,・ COSX ・ Inn ---------- lim sinxd-sinu e2sinx-x =lim XT ()x 3cosx-(? 2X 4e°=lX -- + (兀3 ) — %3! 八lim兀TO%X 3+—-(1-—+ 2! 4! 2—)2务)+")1 、打皿）1 12解1当兀＞0时，--KX（注意”hT 的处理。
"一1〜x, 1 — C0SX 〜一。
）2当兀<0时，--1<X证：由归纳法易证，V/7 , x zl >0又耳J(汕+丄)注• 2」汕丄=1,即｛兀｝当〃>1时有下界2 — 2 V £_】| ] ]-r z同吋x w+1 -X M =1(x… + —)-< 0,即｛%｝单减，从而｛£｝收敛。
2 兀2石设lim= a ,对递推式取极限得d二丄(d +丄)，解得a- \, a--\ (舍)。
"T8 2 a 注：％严/(£)为两点递推式，写成y = /(x)连续型函数，若f\x) > 0,贝U｛£｝为单调数列，若f\x) < 0 ,贝|」氏｝不是单调的，据此可以调整证明目标。
3、专题训练类题目1).重要极限与幕指型极限. . X •，】im害,-L-—^ln(l+e'sin.t2) “ 丄严例1 lim(l + e x sin x2),_cos v = lim6,1_cos t= lim幺1_cosx = e 2 XT O XT O XT O12 o、—a x~ +/7r y/+b*71( c/W— In ---------- -- = lim(?v "WXT() MN s “)向丄(S fV->ox a1 +/?1— gZx a x^b xI)x(a x+b x)lim /--lXTCT2,解2 %-X」x-,()表示小数部分limx XT().(2lmx——J兀丿丿2)对于数列｛£｝,己知x°>0,尢”+l 12 X/, *X n),证明lim%z/”例2 lim(a > O.b > 0)22Alimx - = 2,故limXT(r X XT。
2丿从而limxXT Olim丄(a* +b x-a x-b x) \im—-lim(^ r 2x\na+b x ^ 2x\nb-a l \na-b K \nb)丄一丄In"gXTOxx-^a x ^h x— £尸02 = £22 11 - lim-ln(sin2/+cos/)例 3 lim(sin — + cos —)x — = t = lim(sin2z + cos^)z =严哄io x x x例 llim smS2 J 加心)=flim —-—— z ln(cos^) f专 i n(i_ z)例 2 lim (Vx 3 + 3x 2 - 7%2 -2x) = lim x(寸1+ —兀XT2XT+OOlim x- -- lim x 丄(—2) = 2 f 2x J_ _l\mn 2(a n -a n+}) = \mn 2a n+l (a n W+1 -1) 〃T8 "T8 a 1 1 lim n^a n+} ( ------------ ) In a = In an zi + 1 3)反问题例 2 lim(Vl-x 6 - ax 2 -b) = 0,求 a,/?。
XT81 ahsin 2/+cos/-l hm -----2) 等价代换lim(2cos 2/-sin/) 90亠 ==lim xG/l + --l-Jl-- + l)= lim XQ/1 + --1)- lim x(XT+8兀兀X —>-H»兀XT+oor 1 3… =JXT+83 X XT+8例3Hmn2丽-惻G〃T8(a > 0)例 1 lim x-a解原式=lim 〈XT8 (1/牙丿1+b兀丿2)X2 31---1)Xh0 ,由此，有a = -i X2解当兀TO时，d'—lT (),故ln(l + Z^)TO,则 sinxsinxln(i +ZW )从而 lim --------- =lim 彳止K = lim [(兀)=丄, 由此=丄Ina 。
