第二十一章二次根式

第二十一章二次根式本章小结小结1 本章概述在本章中，通过对二次根式的概念、性质、化简及运算等内容的学习，使我们掌握二次根式的化简与运算，明确二次根式中字母取值范围的确定方法，会对二次根式进行化简．本章内容是数学中的基础内容，在勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的边角关系等内容的学习过程中，都会用到本章的相关内容．熟练掌握前面我们学习的平方根、算术平方根的概念和利用平方运算求非负数的平方根、算术平方根的方法等知识，有利于本章内容的学习与深化．小结2 本章学习重难点【本章重点】利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【本章难点】(a≥0)是一个非负数的理解，对等式)2＝a(a≥0)a(a ≥0)的理解及应用，对二次根式乘、除法公式的条件的正确理解．小结3 学法指导1．注意观察、分析、归纳、探究等能力的培养，在本章知识的呈现方式上，重视体现“问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展”的模式．2．注重数学知识与现实生活的联系．无论是学习二次根式的概念，还是学习二次根式的性质和运算，都尽可能把所学的知识与现实生活联系，重视运用所学知识解决实际问题能力的培养．3．充分利用图形，使代数和几何有机结合．对于数与代数的内容，应重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助理解、解决有关代数问题是对数学的一种导向．4．运用类比思想．学习时注意回顾与类比，充分运用类比思想学习、理解算理和算法，提高运算能力．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.例1 当x 3的值最小？最小值是多少？分析 00，因为3是常数，3的最小值为3.0， 33≥，a b （a ≥0（a ≥0，b ≥∴当9x+1=0，即19x=-3有最小值，最小值为3.≥0（a≥0）.专题2 二次根式的化简及混合运算【专题解读】对于二次根式的化简问题，可根据定义，||a=这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.例2 下列计算正确的是（）1=====分析根据具体选项，应先进行化简，再计算. A== B选若可化为3333-=，C选项逆用平方差公式可求得2+（=4-5=-1，而D选项应将分子、得22=.故选A.例3计算200620071)1)的结果是（）1分析本题可逆用公式（ab）m=a m b m及平方差公式，将原式化为20061)]1) 1.=故选D.例4书知282x xyx++=+，求.分析本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义.解：由二次根式的定义及分式性质，得2240,4,2,20,xx xx⎧-⎪-∴=⎨⎪+⎩≥≥0≠22287,222y ++∴==+∴===【解题策略】 本题中所求字母x 的取值必须使原代数式有意义. 例53522a （≤≤）.353252-302-5022|23||25|(23)(25)48.a a a a a a a a a ∴∴∴==---=-+-=-解：≤≤，≤≤，≥，≤,原式【解题策略】 (0)||-(0).a a a a a ⎧==⎨⎩≥，＜例 6 已知实数，a ，b ，c 在数轴上的位置如图21-8所示，化简||a解：由a ，b ，c 在数轴上的位置可知：0,00,0,||||||||()().c a b a c c a a a c c a b a a c c a ba a c ca b a b ∴+-∴=-++--=-++---=-++-+-=-＜＜＞＜＜原式【解题策略】 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简.专题2 二次根式的化简及混合运算127 |1||1||1||2|.10,201,2,-112,2x x x x x x x x x x x +=+=+--+=-==-=-例化简解：原式令，得于是实数集被分为＜，≤＜≥三部分，-110,-20,-(1)(-2)-3.-1210,-20(1)(2)2 1.x x x x x x x x x x x +∴=++=+∴=++-=-①当＜时，＜＜原式②当≤＜时，≥＜.原式210,20,x x x +-③当≥时，＞≥1)(2) 3.3(1)21(12)3(2).x x x x x x ∴=+--=--⎧⎪∴=--⎨⎪⎩原式（＜，原式≤＜，≥ 规律·方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.例8已知3,12,.a b ab +=-=求 分析 这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a ，b 的符号，本题中没明确告诉，a ，b 的符号，但可从a +b =-3，ab =12中分析得到.解：∵a +b =-3，ab =12，∴a ＜0，b ＜0.··b a b a∴=+=-=-=--- 【解题策略】 本题最容易出现的错误就是不考虑a ，b 的符号，把所求的式子化简，直接代入.专题3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简例9的运算结果应在 （ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间D. 9到10之间分析 本题应计算出所给算式的结果，原式4==+，由于2 2.5849+，所以＜. 故选C.例10 已知mnm nm n-+的值. 解：∵9＜13＜16，343，即m =3，3，即，∴m n m n -===+ 二、规律方法专题 专题4 配方法【专题解读】a |化简. 例11|=====规律·方法一般地，对于a ±型的根式，可采用观察法进行配方，即找出x ，y (x ＞y ＞0)，使得xy =b ，x +y =a ，则2a ±，==.例12 若a ，b 为实数，且b15的值.分析 本题中根据b15可以求出a ，b. 解：由二次根式的性质得3503350..5305a a a a -⎧∴-=∴=⎨-⎩≥，≥，150,0.b a b a b ∴=∴+-，＞＜a b b a ab ab ==+-⎛=- ⎝=当3215.55a b ====，时，原式 【解题策略】 对于形如22b a b aa b a b++-+或形式的代数式都要变为2()a b ab +或2()a b ab-的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意.a b a b ab +-和以及的符号 专题5 换元法【专题解读】 通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题. 例13解：令x22x =，∴x 2=（3）（30x x ∴==＞，专题6 代入法【专题解读】 通过代入求代数式的值.例14已知222400,5760,.a b ab ==222332400,5760 2.42400, 2.42400,1000,10, 2.41024, 26.a b ab b a a b a a a b ====∴=∴=∴=∴=⨯====解：由，两式相除得，专题7 约分法【专题解读】 通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.例15======例16).x y ≠====解：原式三、思想方法专题 专题8 类比思想 【专题解读】 类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.例17 计算.12（（解：（1）原式=（1+2（2）原式【解题策略】 对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.专题9 转化思想【专题解读】 当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决.例18 函数y中，自变量x 的取值范围是 .分析 本题比较容易，主要考查函数自变量的取值范围的求法，是二次根式，所以被开方数2x -4≥0,所以x ≥2.故填x ≥2.例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x数值为.图21-9 分析 本题比较容易，根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题，易知图中所表示的代数式为21x -2-1=2.故填2.专题10 分类讨论思想【专题解读】 当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.本意在运用公||a =进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论.例20若化简|1|x -25x -，则x 的取值范围是 （ ） A. x 为任意实数 B. 1≤x ≤4 C. x ≥1 D. x ≤4分析 由题意可知|1||4|25x x x ---=-，由此可知|1|1x x -=-，且|4|4x x -=-，由绝对值的意义可知10x -≥，且40x -≥，所以14x x ≤≤，即的取值范围是14x ≤≤.故选B.【解题策略】|a |形式的式子的化简都应分类讨论.例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm ，5cm 和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面爬到和顶点A 相对的顶点B 处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？分析 这是一个求最短路径的问题，一个长方体有六个面，蚂蚁有三种不同的爬行方法，计算时要分类讨论各种方法，进而确定最佳方案.==(cm).=(cm).规律·方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去，共有三个爬行路线，每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长.2011中考真题精选，是最简二次根式；故此选项正确；点评：此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. （2011•江苏徐州，5，2x 的取值范围是（ ）A 、x≥1B 、x ＞1C 、x ＜1D 、x≤1 考点：二次根式有意义的条件。

清水中学九年级数学人教版 第二十一章 二次根式 复习提纲一、知识结构二、知识点归纳(一)二次根式的概念：（1）二次根式：式子a (a ≥0)叫做二次根式．（2）最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，如果被开方数相同。

，这几个二次根式就叫做同类二次根式．(4)分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

(5)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积为有理式，我们说这两个代数式互为有理化因式．（6）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式。

（二）二次根式的性质．20)(0);,(0)0,(0),(0)0,0)____(0,0);a a a a a a a a a a b a b ≥=≥>⎧⎪===⎨⎪-<⎩=≥≥=≥>是一个非负数；（*）（三）二次根式的运算：（1）二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。

（20,0,0)a b a b =≥≥=≥>注意：做乘法时要灵活运用乘法分式；做除法时，有时要写为分数形式，然后分母有理化； 化简时要注意a 的正负性，尤其是隐含的正负性．三、典型习题（一）二次根式的概念1．（06泸州）要使二次根式1-x 有意义，字母x 的取值必须满足的条件是( ) (A)x≥1(B)x≤1(C)x>1(D)x<12．(06眉山) 若 2-x 有意义，则X 的取值范围（ ） A 、x > 2 B 、x ≥ 2 C、x < 2 D 、x ≤ 23．（05x 的取值范围是（ ） A 、2x ≠ B 、2x ≥ C 、2x > D 、2x ≤ 4．（05福州）如果代数式1-x x有意义，那么x 的取值范围是（ ） A 、0≥x B 、1≠x C 、0>x D 、10≠≥x x 且5．（05 Ａ、a<1 Ｂ、a ≤1 Ｃ、a ≥1 Ｄ、a>16．（04x 必须满足的条件是 A ．x ≥1 B ．x ＞－1 C ．x ≥－1 D ．x ＞1 7．（05荆门）如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 8．（02哈尔滨）如果式子x341-在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是 。

第二十一章 二次根式知识点归纳1．定义：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。

2．二次根式a 有意的条件：3．性质：（1）双重非负性：即a ≥0且a ≥0（2）⎩⎨⎧<-≥==0,0,2a a a a a a（3）2)(a =a (a ≥0)4．同类二次根：被开方数相同的二次根式最简同类二次根式：⎩⎨⎧尽的因数或因式被开方数不含开方开得或分母不含根号被开方数不含分母）（5．把根号外面的因数或因式移到根号内：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=--=≥≥=0,00,0222b a b a b a b a b a b a b a 6．二次根式的大小比较：先把根号外的因数或因式全部移到根号内，再进行大小比较。

7．分母有理化： （1）()01>=∙=a a aa a a a（2）()()()0,0,01≠-≥≥-+=+-+=-b a b a ba ba ba ba ba b a（3）()()()0,0,01≠-≥≥--=-+-=+b a b a ba ba ba ba b a ba8．运算法则：（1）加减法则：将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式（2）乘除法则：()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=≥≥=∙0,00,0b a b ab a b a ab b a （3）混合运算法则。

复习题1．已知a, b, c 满足04122212=+-+++-c c c b b a ，求)(c b a +-的值。

2．已知y=32552--+-x x ，求2xy 的值。

3．已知a （a －3）≤0，若b=2－a ，求b 的取值范围。

4．已知点P （x,y ）在函数x xy -+=21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的哪个像限？ 5．若()a a 21122-=-，求a 的取值范围。

6．已知实数a, b, c 满足32388++-+--=--+-+c b a c b a b a b a 请问：长度分别为a, b, c 的三条线段能否构成一个三角形？若能，求出该三角形的面积。

第二十一章“二次根式”简介第二十一章“二次根式”简介二次根式是数学中的一个重要概念，它是指形如√a（a≥0）的式子，其中“√”称为二次根号。

二次根式是一种表达数量关系的方式，它可以用来表示长度、面积、体积等几何量和代数式的平方根、算术平方根等。

一、二次根式的定义二次根式是一种特殊的代数式，它由一个被开方数（也称为“被开方数”）和一个根号（也称为“二次根号”）组成。

被开方数可以是任何非负数，可以是实数，也可以是代数式。

根号是一个表示数量关系的符号，它表示对被开方数求平方根。

例如，√4、√9、√a、√(ab)等都是二次根式，其中4、9、a、ab等被开方数可以是任何非负数或代数式。

二、二次根式的性质1.非负性：任何一个非负数的平方根都是非负的，即√a≥0（a≥0）。

2.唯一性：当a>0时，√a是唯一的正数平方根；当a=0时，√0也是唯一的平方根，但它是0而不是正数。

3.无限性：当a<0时，√a没有实数平方根，但是可以表示为复数形式。

4.互逆性：对于任何实数a，都有两个平方根，它们互为相反数，即√a和-√a。

5.性质的变化：当二次根式的被开方数或指数发生变化时，其性质也会发生变化。

例如，当√a^2=|a|时，需要考虑a的符号；当√(a^2)=|a|时，需要考虑a的符号和绝对值。

三、二次根式的运算1.加减法：同类二次根式可以合并或相减。

例如，√2+√2=2√2，√2-√2=0。

2.乘除法：同类二次根式可以相乘或相除。

例如，√2×√2=2，√2÷√2=1。

3.开方运算：对一个非负数进行开方运算时，可以得到它的平方根。

例如，（√2）²=2，（√a）²=a（a≥0）。

4.与实数的运算：二次根式可以与实数进行加、减、乘、除等运算。

例如，（2+√3）+（4-√3）=6，（2+√3）×（4-√3）=5+2√3。

5.与复数的运算：二次根式也可以与复数进行运算。

21.2二次根式的乘除(3)教学目的：（1）理解b a ba=()0,0>≥b a ； （2）运用b aba =()0,0>≥b a 进行二次根式的有关运算。

教学重点：运用b a ba=()0,0>≥b a 进行二次根式的有关运算。

教学难点：运用b ab a =()0,0>≥b a 进行二次根式的有关运算。

教学过程：一、复习1、分别用式子表示二次根式积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则。

二者的关系是什么？ 答：二次根式积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

即()0,0≥≥⋅=b a b a ab二次根式的乘法法则是： ()0,0≥≥=⋅b a ab b a 这两个式子是互逆的关系。

2、二次根式商的算术平方根的性质是什么？并用式子表示。

答：二次根式商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以式的算术平方根，即b a b a =()0,0>≥b a 。

二、新课 把式子b a ba =()0,0>≥b a 反过来，得到b a b a =()0,0>≥b a 这是二次根式的除法法则。

运用这个法则可以进行二次根式的除法运算。

例1 计算 （1）672； （2）61211÷。

解：(1) 672=3232321267222=⨯=⨯== (2) 61211÷=6123÷=6123÷=623⨯=9=3练习1：计算（1）354- （2）531513÷例2 计算：（1）4540（2）345653n m n m ÷ 解：（1）4540=32298984540=== （3）345653n m n m ÷=mn n m n m n m n m n m n m 5353535353222234563456====指出：在（2）中把两个二次根式中的根号外面的数与被除数开方数分别相除，然后取其积。

练习2：（1）188146÷ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷233212y x xy （3）y x y x x -÷-224 例3 计算 （1）21223222330÷⨯; (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷b a a b b a ab b 3252362 分析：二次根式乘除的混合运算与有理数的乘除混合运算一样，按先后顺序进行。

第二十一章二次根式【知识概念图表】【易混易错剖析】1. 对于最简二次根式和同类二次根式概念的理解不到位而出现错误。

尤其是最简二次根式的概念，学生往往未深入理解，把握不准。

典型示例：①下列根式是最简二次根式的是（ ） A 、a 8 B 、22b a + C 、x 1.0 D 、5a②下列根式是同类二次根式的是（ ）A 、a 8和a 9B 、22b a +和2)(b a + C 、80和45 D 、5b 和5a常见错误： ① 选C 的多； ② 选A 和B 的多； 解析点评：①本题主要考查最简二次根式的概念。

最简二次根式有两个特点：ⅰ被开方数不含分母；ⅱ被开方数不含能开得尽方的因数或者因式。

满足以上两个条件的二次根式叫做最简二次根式。

其实通俗地讲，其一就是被开方数的因式中，不能有分数和小数，不能有分式，也就是根号下不能含有分母，其实，根号下含有分母不是最简的，并且分母中含有根号也同样不是最简的；其二就是当我们把被开方数分解之后，质因数或因式的指数不得大于或等于了2。

本题中A.a 8由于被开方数的因数8是等于32的，本式可化简a a 228=，所以A 选项不是最简的；B.选项22b a +虽然被开方数的字母中有指数等于了2，但是那不是因式的指数，并且22b a +的被开方数22b a +是不能分解的，只能看成（22b a +）×1，因式（22b a +）的次数是1，因而22b a +是最简二次根式；C.选项x 1.0的被开方数中含有因数0.1，即101，所以也不是最简二次根式；D.选项5a 的被开方数的因式的指数是5，大于或等于了2，因而也不是最简二次根式。

所以正确的答案应当是：B 。

本题启示：要判断一个根式是不是最简二次根式，要注意两点：其一就是被开方数不能含有分母；其二就是被开方数的质因数或因式的指数不得大于或等于了2。

②本题主要考查同类二次根式的概念。

同类二次根式，就是往往要先化简后才能识别，根指数是“2”是前提，另外，化简后被开方数必须是相同的，至于它前面的倍数是多少与它是不是同类二次根式无关。