第21章 二次根式乘法

九年级上册数学21章22章知识点一、二次根式（第 21 章）（一）二次根式的概念形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。

其中\（a\）叫做被开方数。

要理解二次根式，需要注意以下几点：1、二次根式必须含有二次根号“＼（＼sqrt{｝＼）”。

2、被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。

例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{20}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（＼（x\）为任意实数）都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。

（二）二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。

例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。

2、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））times\sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）3、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼sqrt{9} ＝ 3\）（三）二次根式的运算1、二次根式的加减法先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并。

例如，＼（＼sqrt{8} ＋＼sqrt{18} ＝ 2\sqrt{2} ＋ 3\sqrt{2} ＝5\sqrt{2}＼）2、二次根式的乘除法乘法：＼（＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq 0\））除法：＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））（四）二次根式的化简化简二次根式就是把被开方数中的完全平方数因子开出来。

二次根式的乘除授课年级九年级学科数学主题二次根式乘除（1）任课教师李国柱课型问题解决课课时 1 授课日期2008、8、教材分析本节内容“二次根式乘除”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。

本节主要学习二次根式乘除运算，它是二次根式相关内容的发展，又是后面运算的基础，本节起到承上启下的作用。

学生分析本节内容让学生先复习二次根式的有关知识，学生通过自学，与实际问题联系，教师作为引路人，学生自主、合作、交流，练习操作，掌握解方程的方法。

计算个别学生需进行个性化指导。

设计理念新课程有效课堂教学明确倡导，学生是学习的主人，在学生自学文本的基础上动手实践、自主探究、合作交流，来倡导新的学习观，让他们完成二次根式乘除知识研究。

教师从过去知识的传授者转变为学生的自主性、探究性、合作性学习活动的设计者和组织者，与学生零距离接触共同探究。

在教学过程中教师设置开放的、面向实际的、富有挑战性的问题情境，使学生在尝试、探索、思考、交流与合作中培养分析、归纳、总结的能力，把“要我学”变成“我要学”，通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，养成良好的学习习惯，掌握学习策略，并根据活动中示范和指导培养学生大胆阐述并讨论观点，说明所获讨论的有效性，并对推论进行评价。

从而营造一个接纳的、支持的、宽容的良好氛围进行学习。

教学目标知识目标：1、会做简单的二次根式乘、除法运算，并在此基础上会比较两个二次根式的大小。

2、充分进行讨论、交流，得到二次根式的乘法法则，进而归纳出除法法则。

能力目标：能够深刻理解应用二次根式乘除运算并能熟练应用。

情感目标：要注意培养自己的自学探索能力及运算能力。

重点、难点教学重点：能够深刻理解应用二次根式乘除运算并能熟练应用。

教学难点：二次根式乘除法则的推导。

关键问题二次根式乘除法则的应用。

教学方法1、问题发现法：在教师的启发引导下，鼓励学生积极参与，采用“问题—探索—发现”的研究模式，让学生自主探索，合作学习，归纳结论，掌握规律。

课题第21章第2节二次根式乘除（1）日期教师学习目标知识与技能理解和应用：1、a·b＝ab（a≥0，b≥0）2、ab=a·b（a≥0，b≥0）过程与方法（1）先由具体数据，发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；（2）再利用逆向思维，得出ab=a·b（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．（3）最后综合运用以上两个规律进行解题．情感、态度、价值观学生通过探究a·b＝ab（a≥0，b≥0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导ab=a·b（a≥0，b≥0）以训练逆向思维重难点及处理方法重点：a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及它们的运用．难点：发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）．通过严谨解题，增强学生准确解题的能力．教学过程教学程序学生活动教师活动一、创设情景，确定目标（3-5分钟）（1）4×9=_______，49⨯=______；（2）16×25=___，1625⨯=_____．（3）100×36=__，10036⨯=__．（4）参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．4×9_49⨯16×25_1625⨯，100×36___10036⨯答案：6，6；答案：20，20；答案：60，60；答案：=，=，=；纠正学生练习中的错误二、自主探究，合作交流，建构知识（20-25分钟）让3、4个同学上台总结上述规律．例1．计算：（1）5×7（2）9×27（3）12×6分析：直接利用a·b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可．例2 化简（1）916⨯（2）1681⨯（3）81100⨯（4）229x y（5）54分析：利用ab=a·b（a≥0，b≥0）直接化简即可．（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为a·b＝ab（a≥0，b≥0）反过来:ab=a·b（a≥0，b≥0）三、拓展运用（10-15分钟）基础训练，变式训练，自我诊断，反思归纳1、计算①16×8②36×2102、化简:24; 54; 2212a b3、教材P11练习全部4、判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）(4)(9)49-⨯-=-⨯-（2）12425×25=4×1225×25=41225×25=412=835、本节课应掌握：（1）a·b＝ab=（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及其运用．学生练习，老师点评（1）不正确．改正：(4)(9)-⨯-=49⨯＝4×9=2×3=6（2）不正确．改正：1122525⨯=112=167⨯＝47教师引导学生完成教学反思。

21．2.1 二次根式的乘法【知识与技能】理解a·b＝ab(a≥b，b≥0)，并利用它进行计算和化简．【过程与方法】由具体数据发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)，并运用它进行计算．【情感态度】通过探究a·b＝ab(a≥0，b≥0)，培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣．【教学重点】a·b＝ab(a≥0，b≥0)及其运用．【教学难点】发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)．一、创设情境，导入新知1．填空：(1)4×9＝______，4×9＝______；(2)16×25＝______，16×25＝______；(3)100×36＝______，100×36＝______.参照上面的结果，用“＞”“＜”或“＝”填空．4×9______4×9，16×25______16×25，100×36______100×36.2．利用计算器计算填空．2×3______6；2×5______10；5×6______30；4×5______20.【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)．二、合作探究，理解新知(学生活动)让3、4个同学上台总结规律．教师点评：(1)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积．一般地，对二次根式的乘法规定为a·b＝ab(a≥0，b≥0)．例题讲解例1：计算：(1)5×7；(2)13×9；(3)9×27；(4)12×6.解：(1)5×7＝35；(2)13×9＝13×9＝3；(3)9×27＝9×27＝92×3＝9 3；(4)12×6＝12×6＝3.【教学说明】引导学生应用公式a·b＝ab(a≥0，b≥0)．三、尝试学习，掌握新知1．直角三角形两条直角边的长分别为15 cm和12 cm，那么此直角三角形斜边长是( B )A．3 2 cm B．3 3 cmC．9 cm D．27 cm2．化简a－1a的结果是( C )A.－aB.aC．－－a D．－a3．等式x－1·x＋1＝x2－1成立的条件是( A )A．x≥1 B．x≥－1C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－14．下列各等式成立的是( D )A．4 5×2 5＝8 5 B．5 3×4 2＝20 5C．4 3×3 2＝7 5 D．5 3×4 2＝20 6【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳．5．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．四、课堂小结，梳理新知1．由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．2．教师总结归纳二次根式的乘法规律a·b＝ab(a≥0，b≥0)．【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳．五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．教材习题21.2第2题第(1)小题．这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)，并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣．21．2.2 积的算术平方根【知识与技能】1．理解ab＝a·b(a≥0，b≥0)；2．运用ab＝a·b(a≥0，b≥0)．【过程与方法】利用逆向思维，得出ab＝a·b(a≥0，b≥0)，并运用它解题和化简．【情感态度】让学生推导ab＝a·b(a≥0，b≥0)，以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力．【教学重点】ab＝a·b(a≥0，b≥0)及其运用．【教学难点】ab＝a·b(a≥0，b≥0)的理解与应用．一、创设情境，导入新知一般地，对二次根式的乘法规定为a·b＝ab(a≥0，b≥0)．反过来，ab＝a·b(a≥0，b≥0)．【教学说明】引导学生通过复习上节课学习的二次根式的规定，利用逆向思维，得出ab＝a·b(a≥0，b≥0)．二、合作探究，理解新知例题讲解例1：化简：(1)9×16；(2)16×81；(3)81×100；(4)54.解：(1)9×16＝9×16＝3×4＝12；(2)16×81＝16×81＝4×9＝36；(3)81×100＝81×100＝9×10＝90；(4)54＝9×6＝32×6＝3 6.【教学说明】引导学生利用ab＝a·b(a≥0，b≥0)直接化简即可．例2：判断下列各式是否正确，不正确的请改正．(1)（－4）×（－9）＝－4×－9；(2)41225×25＝4×1225×25＝41225×25＝412＝8 3.【教学说明】注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a≥0，b≥0.三、尝试练习，掌握新知1．化简：(1)20；(2)18；(3)24；(4)54.(答案：(1)2 5；(2)3 2；(3)2 6；(4)3 6.)2．自由落体的公式为s＝12gt2(g为重力加速度，它的值为10 m/s2)，若物体下落的高度为120 m，则下落的时间是__2_6__s.3．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．【教学说明】可由学生自主完成分组讨论，小组代表汇报，再由老师总结归纳．四、课堂小结，梳理新知1．通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．2．教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即ab＝a·b(a≥0，b≥0)．【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳．五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．1．教材习题21.2第1题第(1)(2)题．2．教材习题21.2第3题．本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力．。