九年级数学上册第21章二次根式21.1二次根式作业课件华东师大版

归纳小结
（1）乘法法则：
a b ab;(a 0,b0)
（2）乘法法则的逆用：
ab a b;(a 0,b0)
二次根式的除法
4= 9
49 = 100
25
=
64
4 9 49 100 25 64
一般地, 有
a

a
____b____, (a
0, b
0)
b
二次根式的除法法则: 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除的商，
计算： ( 10 )2 (3 3)2
解： ( 10)2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2
10 27 17
一般地，根据算术平方根的意义
a2

a
a（a 0）， a（a 0）.
化简：
(1) 8
(2) (5)2
解：(1) 8 22 2 2 2 (2) (5)2 52 5
平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
本课学习目标：
• （1）二次根式的概念 • （2）根号内字母的取值范围 • （3）二次根式的性质
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1. 表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 . 4. a≥0, a ≥0 . ( 双重非负性) 5.既可表示开方运算,又可表示运算的结果.
1 3

27=

1 3

27=
9=3
积的算术平方根
试一试：请根据算术平方根填空：

B．14
C．19
D．以上都不对
11．若 （a－2）2＋a－2＝0，则 a 的取值范围是____a_≤__2____．
12．若|a＋b＋1|与 a＋2b＋4互为相反数，则(a＋b)2018＝__1____．
13．若 x、y 是实数，且 y＝ x2－9＋x－93－x2＋7，则 5x＋6y＝_－___2_2___．
A. （－3）2＝－3 B．－ 32＝－3 C. （±3）2＝±3 D. 32＝±3
6. （2a－1）2＝1－2a，则(
7．当 m＜0 时，化简 mm2的结果是__－__1____．
8．化简： (1) （－412）2；
解：412
(2) （3.14－π）2.
解：π－3.14
9．(绍兴期中)若实数 x 满足|x－3|＋ x2＋8x＋16＝7，化简 2|x＋4|
－ （2x－6）2的结果是( A )
A．4x＋2
B．－4x－2
C．－2
D．2
10．已知实数 x，y 满足|x－3|＋x y－8＝0，则以 x，y 的值为两边长
的等腰三角形的周长是( C )
A．14 或 19
18．已知非零实数 a，b 满足 a2－8a＋16＋|b－3|＋ （a－5）（b2＋1） ＋4＝a，求 ab－1 的值
解：由题意得：(a－5)(b2＋1)≥0，∴a≥5， ∴ a2－8a＋16＝ （a－4）2＝|a－4|＝a－4， ∴ a2－8a＋16＋|b－3|＋ （a－5）（b2＋1）＋4＝a－4＋|b－3|＋ （a－5）（b2＋1）＋4 ＝a，∴|b－3|＋ （a－5）（b2＋1）＝0. 又∵|b－3|≥0， （a－5）（b2＋1）≥0， ∴|b－3|＝ （a－5）（b2＋2）＝0，∴b＝3，a＝5， ∴ab－1＝52＝25.

a 2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a≤0)
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
3
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2
2a+2b+2c
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
例
当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围内有意义？
1
1
2
2
2 1
2 x 12 (x 0) x 1
3 x2 2xy y2 (x y) x y2
yx
思考
( a )2与 a2 有区别吗?
1:从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2
a 2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
课后反思：我的收获，我的困惑
• 努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过 章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启 意人生。第二名就意味着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在 果每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你 藏着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家教的问题，和未成年没关系。总 那为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一 了全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界 钱带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受 没有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不 总会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说 抛一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么 20岁和即将20岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平， 情，它会让你更努力……成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊 只会独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努 。不要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风 自律，就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高 。一生不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。 你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律 的成功。越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净 赏自己，就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去 少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比 是谎言像多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你 淡风轻的机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。 有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前， 在后面。不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说球太滑，你只需做好基本功。就算 他小动作多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚 当别人开始说你是疯子的时候，你离成功就不远了……当你感到悲哀痛苦时，最好是去 学习会使你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是 业向前推动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热 播种的人一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施 公司员工的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是

?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 情势上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
说一说: 下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
? 在实数范围内,负数没有平方根
例1： 当x取何值时，下列各式有意义？
(1) x 5 (2) x2 2
(3) x 1 x3
(4) x 2 2 x 1
( 4)2 4 ( 0)2 0
1
(Hale Waihona Puke 0.01)2 0.01 (
3 1 )2
3
2 a a (a≥0)
42 4
02 0
0.012 0.01
一路下来，我们结识了很多新知识， 你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大 家一起来分享。
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a＜0)
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为____________.
b-3
如图示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是 b 3
s
a2 2500
b3
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
a叫被开方数
凭着你已有的知识, 说说对二次根式 a 的认识,好吗?

第21章
二次根式
21.1 二次根式
学习目标
1.理解二次根式的概念. 2.理解二次根式有意义的条件. (重点)
3.探索并掌握二次根式的性质. (难点) 4.运用二次根式的性质进行化简计算. (难点)
问题导入 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
★2.根号内字母的取值范围 抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. ★3.二次根式的值 将未知数的值代入二次根式，计算出二次根式的值.
课堂总结
定义 二 次 根 式
a（a≥0）
性质
（即
a 表示一个非负数）

a

2
a a 0 ;
a2 （ a a 0）
第21章
二次根式
21.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法与积的算术平方根
学习目标
1.理解二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质.(重点)
2.会进行简单的二次根式的乘法运算. (重点、难点)
3.运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算. (重点)
问题导入
问题1 什么叫二次根式？
形如 a( a 0 )的式子叫做二次根式.
一般地，有
性质1： ( a )2 a a 0 .
文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方等于这个 数. 由二次根式的定义我们还可以进一步知道:二次根式具 有双重非负性.到目前为止，非负数的三种表现形式 a2、 ︱a︱、 a .
新课讲解 练一练： 计算：
1 2 (1)( ) 2
2 (2)( 5) 2 3
2
0.52 0.5
02 0 又如

解：40
(2)(－13 3 )2＋ （－53）2 － （ 3－2）2 .
解： 3
20．(10 分)已知 x，y 为实数，且满足 1＋x －(y－1) 1－y ＝0， 试求 x2 019－y2 019 的值． 解：由已知式子可变形为： 1＋x ＋(1－y) 1－y ＝0， 由于被开方数为非负数，且算术平方根的结果也为非负数， 则只有都为 0 时，此式才成立，即 1＋x＝0，1－y＝0， 解得 x＝－1，y＝1.代入 x2 019－y2 019 得，x2 019－y2 019＝－1－1＝－2
(1) －x ；
解：(1)x≤0
(2) 3－2x ；
解：(2)x≤32
(3)
1 x－1
；
解：(3)x＞1
(4) x2＋2 .
解：(4)x取任意实数
6．(2 分)下列等式正确的是( A )
A．( 3 )2＝3 B． （－3）2 ＝－3
C． 33 ＝3
D．(－ 3 )2＝－3
7．(2 分)(南阳期中)如果 （1－x）2 ＝1－x，则( D ) A．x>1 B．x<1 C．x≥1 D．x≤1
解：原式＝|a－2|＋|a－4|. 在数轴上看，应分三种情况讨论： ①当a<2时，原式＝2－a＋4－a＝6－2a； ②当2≤a≤4时，原式＝a－2＋4－a＝2； ③当a>4时，原式＝a－2＋a－4＝2a－6. 通过分析可得a的取值范围应是2≤a≤4.
(1)此例题的解答过程中用了哪些数学思想？请列举；
【综合运用】 21．(14 分)阅读材料，解答问题． 例：若代数式 （2－a）2 ＋ （a－4）2 的值是常数 2，求 a 的取值范围． 分析：原式＝|a－2|＋|a－4|，因为|a－2|表示数 a 在数轴上的点 到数 2 在数轴上的点的距离，|a－4|表示数 a 在数轴上的点 到数 4 在数轴上的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．

拓展练习 深化新知
1 1.当 x 是多少时， 2 x 3 在实数范 x +1 围内有意义？ x 3 且x 1 2 x 2.已知 y 2 x x 2 5 ，求 的 y 2
值.
5
3.若 a 1 b 1 0 ，求 a 值.
0
2009
b
2009
2
2
2
-5 3
2
16
.
-30
做一做
填空：
0.01 ； 2 22 = _______ ；0.012 = _______ 1 2 2 2 1 2 10 ； = _______; 3 10 = _______ 3 3 2 3 2 0 ； = _______. 0 = _______ 7 7
解：二次根式有：
2， x x 0 , 0, 2, x y x 0, y 0 ；
不是二次根式的有：
3
1 4 1 3， , , 2, . x x y
交流归纳
从形式上看，一个代数式是二次根式必
须具备以下两个条件： （1）必须有二次根号； （2）被开方数不能小于0.
例2：x 取何值时，下列二次根式有意义？
a +1 是不是二次根式？
的式子叫做
不是
a +1 呢?
是
议一议
二次根式 a 1 表示什么意义？ 此算术平方根的被开方数是什么？ a 1 被开方数必须满足什么条件时二次根式才 有意义？ 被开方数大于或等于零.
其中字母 a 需满足什么条件？为什么？
a -1
总结
二次根式根号内字母的取值范围必须满 足被开方数大于或等于零.
a0 . 2. a 2 a成立的条件是_______

21.1 ， 5a b 2 ，4 等是 整式，
像 2x ，1 ， 2
y z a
x 6
等是分式 ，
那么 x ， 2x 3y ， 1 等既不是
6
整式也不是分式，那么它们是什么呢？
教学目标：
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子 是不是二次根式；
2、掌握二次根式有意义的条件； 3、掌握二次根式的基本性质； 4、通过计算、观察、类比、归纳、猜想，经
练习2、下列各式是二次根式吗?
(1) 32,
(4) 12
(2) 6,
(3) 1,
2
(5) 3
(6) - m
m 0
(8) x y x,y异号 ,
21.1 二次根式
新知梳理
知识点2:二次根式有意义的条件
在 a中，a 的取值必须满足 a≥0，即 二次根式的被开方数必须是非负数．
课堂练习3
归纳：当 a >0 时， a2＝________．
4
(2)计算： （－4）2＝____4____， －452＝___5_____.
归纳：当 a <0 时， a2＝________．
(3)计算： 02＝ ____0____． 归纳：当 a＝0 时， a2＝____0____．
综上，试概括你发现的结论．
x取何值时,下列二次根式有意义?
x0
(3) 4 x 2 x 为 全 体 实 数 (4) 1 x
(5) x3 x 0
1 (6) x2
你有什么收获？
①被开方数不小于零；
x0
x0
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2合1.1作二探次究根一式
知识点三.计算与归纳: a2＝|a|
4

(2)∵3.14＜π，∴3.14-π＜0，
∴ (3.14-π)2 = |3.14-π |=π-3.14.
评析：在计算时，为确保计算的正确性，计算
形如 a2 的二次根式时,先要写成 a2 =|a|的形式, 再看底数a的符号，防止出现当a<0时， a2 =a
这样的错误。
巩固认识
1、化简下列各式: (1) ( 3 2 )2 + ( 2 3 )2
小结
本节课要掌握：
1、 a b ab (a≥0,b≥0)
2、 ab a b (a≥0,b≥0)
对于二次根式的乘法及积的算 术平方根的化简要灵活运用
课后练习
认真完成导学案的“课后练习题案”.
华东师大版九年级上学期 第21章 《二次根式》
2.2二次根式的乘除法
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
3、设a、b、c为△ABC的三边，化简：
(a+b+c)2 + (a-b-c)2 + (c-b+a)2
华东师大版九年级上学期 第21章 《二次根式》
2.1二次根式的乘除法
学而不疑则怠，疑而不探则空
知识回顾
1、二次根式 a(a≥0)是非负数，
a
2
a
.当a≥0时， a2
=
a
；
当a＜0时， a2 = -a .
1 x
※拓展应用
已知 2 a，3 b， 用含a、b的代数式表示 96.
2 a, 3 b, 96 16 6 4 6 4 2 3 4ab.
比一比，看谁更快！
一、计算：
(1) 8 27 ; 6 6 (2) (3) 1 54 1 6 3
125
1 20
5 2

第21章
21.1 二次根式
1. 16的平方根是 ±4; 2. 9的算术平方根是 3 ; 3. 25 的平方根是 ± 5 ;
1. a表示什么?
2.a需要满足什么条件?为什么?
当a是正数时， 表a 示a的算术平方根，即正数a的
正的平方根；
当a是零时， a等于0，也叫零的算术平方根； 当a是负数时， 没a 有意义.
a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零.
a a 0是一个非负数，即 a 0a 0
a 2 a 0等于什么？
2
a aa 0
性质1：
1 a 0a 0
2
2 a aa 0
练习:
( 13)2 13
( 16)2 16
(
1 )2 3
1 3
( 7)2 7
二次根式概念
形如 （a a 0）的式子叫二次根式.
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5, a (a 0),3 8, a (a 0)
Ø例 要使式子 x 1 有意义，字母x的取值必
须满足什么条件？
分析：要使式子 x 有1意义，必须x -1≥0，
即x ≥1。
解: ∵被开方数 x-1≥0, ∴x≥1
x是怎样的数时,下列各式在实数范 围内有意义?
(1) x 3; (2) 2 4x ; (3) 5x ; (4) 2
x 1
计算：
(1) 9 3 (2) 64 8
(3) 4 2 93
(4) (6)20).
课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你 有哪些新的认识和体会？
获得哪些解决二次根式问题的方法？ 你还有哪些问题？请与同伴交流。