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平面向量基本定理音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si ，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此．在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 1．平面向量基本定理定理条件e 1，e 2是同一平面内的两个__不共线__向量结论对于这一平面内的__任意__向量a ，__有且只有__一对实数λ1，λ2，使a ＝__λ1e 1＋λ2e 2__基底 把__不共线__的向量e 1，e 2叫做表这一平面内所有向量的一组__基底__[知识点拨](1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e 1＋λ2e 2，且λ1＝λ2＝0．(2)对于固定的e 1，e 2(向量e 1与e 2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．2．两向量的夹角与垂直 定义已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则__∠AOB __叫做向量a 与b 的夹角图示特殊情况θ＝0° a 与b __同向__ θ＝180° a 与b __反向__ θ＝90° a 与b __垂直__，记作 a ⊥b[知识点拨](1)向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与任何向量都共线． (2)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，直线夹角的取值范围是[0°，90°]，而向量夹角的取值范围是[0°，180°]．(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时，所对应的角才是两向量的夹角，如图，在△ABC 中，∠BAC 不是CA →与AB →的夹角，∠BAD 才是CA →与AB →的夹角．1．若a ，b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( B ) A ．a ＝b ，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0D ．a ＝0，μ＝02．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( D ) A ．45° B ．90° C ．120°D ．135°3．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是( B )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④[解析] ②中DA →与BC →和④中OD →与OB →为共线向量，不能做为基底． 4．如图所示，矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( A )A ．12(5e 1＋3e 2)B ．12(5e －3e 2)C ．12(2e 2＋5e 1)D ．12(5e 2＋3e 1)[解析] OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(BC →＋AB →)＝12(5e 1＋3e 2)．命题方向1 ⇨对基底概念的理解典例1 如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确．．．的是( B ) ①a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1λ2＝μ1μ2．④若实数λ、μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②[思路分析] 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e 1与e 2不共线和平面内向量a 用基底e 1、e 2表示的唯一性求解．[解析] 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B ．『规律总结』 根据平面向量基底的定义知此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题．若不共线，则它们可作为一组基底；若共线，则它们不可能作为一组基底．〔跟踪练习1〕设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中不．能作为平面内所有向量的一组基底的是__③__.(写出所有满足条件的序号)[解析] ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2可作为一组基底；②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1可作为一组基底；③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不可作为一组基底；④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解， ∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2可作为一组基底． 命题方向2 ⇨求两向量的夹角典例2 在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，D 是AC 的中点．求： (1)AD →与BD →的夹角大小； (2)DC →与BD →的夹角大小．[思路分析] 由勾股定理可知题中三角形为直角三角形，然后结合直角三角形相关知识和向量夹角知识解答本题．[解析] (1)如图所示，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，∴AB 2＋BC 2＝(3)2＋12＝22＝AC 2， ∴△ABC 为直角三角形．∵tan A ＝BC AB ＝13＝33，∴A ＝30°．∵D 为AC 的中点，∴∠ABD ＝∠A ＝30°，AD →＝DC →．在△ABD 中，∠BDA ＝180°－∠A －∠ABD ＝180°－30°－30°＝120°． ∴AD →与BD →的夹角为120°． (2)∵AD →＝DC →，∴DC →与BD →的夹角也为120°．『规律总结』 求两向量夹角时，一定要让两向量共起点，否则会出现错误． 〔跟踪练习2〕如图，已知△ABC 是等边三角形．(1)求向量AB →与向量BC →的夹角；(2)若E 为BC 的中点，求向量AE →与EC →的夹角． [解析] (1)∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°． 如下图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则AB →＝BD →，∴∠DBC 为向量AB →与BC →的夹角．∵∠DBC ＝120°，∴向量AB →与BC →的夹角为120°． (2)∵E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ， ∴AE →与EC →的夹角为90°． 用基底表示平面向量用基底表示平面内任意向量的关键是，在进行运算时，一定要把所要表示的向量放在某一个三角形或平行四边形中，通过向量的加法或数乘运算将所求向量用基底表示出来．典例3 已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试以a 、b 为基底表示DC →、BC →、EF →．[思路分析] 把要表示的向量放在三角形或平行四边形中，运用向量的加、减法及数乘向量求解．[解析] 如图，连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， ∴DC 綊FB ，∴四边形DCBF 为平行四边形． ∴DC →＝FB →＝12AB →＝12b ，BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－(a －12b )－12×12b ＝14b －a ．〔跟踪练习3〕如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝x OA →＋y OB →，且BP →＝2P A →，则( A )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14[解析] OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB ．∴x ＝23，y ＝13．忽略两个向量作为基底的条件典例4 已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件为( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2 D ．e 1∥e 2或λ＝0[错解] A[错因分析] 在应用平面向量基本定理时，要注意a ＝λ1e 1＋λ2e 2中，e 1，e 2不共线这个条件．若没有指明，则应对e 1，e 2共线的情况加以考虑．[思路分析] 当e 1∥e 2时，a ∥e 1，又因为b ＝2e 1，所以b ∥e 1.又e 1≠0，故a 与b 共线；当λ＝0时，则a ∥e 1.又因为b ＝2e 1，所以b ∥e 1.又因为e 1≠0，故a 与b 共线．[正解] D[点评] 当条件不明确时要分类讨论．〔跟踪练习4〕已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于__3__．[解析] ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝62x －3y ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝3， ∴x －y ＝3．1．向量的夹角θ的范围是( B ) A ．0°≤θ<180° B ．0°≤θ≤180° C ．0°<θ<180°D ．0°<θ≤180°2．设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( D ) A ．e 1、e 2一定平行 B ．e 1、e 2的模相等C ．同一平面内的任一向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )D ．若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ) [解析] 由平面向量基本定理可知，选项D 正确．对于任意向量e 1，e 2，选项A 、B 不正确，而只有当e 1与e 2为不共线向量时，选项C 才正确．3．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量基底的是( B )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④[解析] AD →与AB →不共线，DA →∥BC →，CA →与DC →不共线，OD →∥OB →，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．4．在锐角△ABC 中，关于向量夹角的说法，正确的是( B ) A ．AB →与BC →的夹角是锐角 B ．AC →与AB →的夹角是锐角 C ．AC →与BC →的夹角是钝角D ．AC →与CB →的夹角是锐角[解析] 由向量夹角的定义可知，AB →与AC →的夹角为∠A ，为锐角． 5．在▱ABCD 中，设AC →＝a ，BD →＝b ，试用基底{a 、b }表示AB →、BC →． [解析] 如图，设AC 、BD 相交于点O ，则有AO →＝OC →＝12a ，BO →＝12BD →＝12b ，∴AB →＝AO →＋OB →＝AO →－BO →＝12a －12b ，BC →＝BO →＋OC →＝12a ＋12b ．A 级 基础巩固一、选择题1．e 1、e 2是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是( B )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 1＋e 2[解析] 3e 1－2e 2与4e 2－6e 1是共线向量，不能作为一组基底．2．若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0，那么下列对a 、b 的判断正确的是( B ) A ．a 与b 一定共线 B ．a 与b 一定不共线 C ．a 与b 一定垂直D ．a 与b 中至少一个为0[解析] 由平面向量基本定理知，当a ，b 不共线时，k 1＝k 2＝0.故选B ．3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若2AD →＝DB →，CD →＝23CA →＋λCB →，则λ等于( A )A ．13B ．－13C ．23D ．－23[解析] 方法一 由平面向量的三角形法则可知CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋13AB →＝CA →＋13(CB→－CA →)＝23CA →＋13CB →，所以λ＝13．方法二 因为A ，B ，D 三点共线，CD →＝23CA →＋λCB →，所以23＋λ＝1，所以λ＝13．4．(2018·湖南长沙市中学期末)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →( A )A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →[解析] EB →＝AE →＋AB →＝－12AD →＋AB →＝－12×12(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →．5．已知|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角大小为( D ) A ．π6B ．56πC ．π3D ．23π[解析] 如图，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ，∴a 、b 、c 的模构成一个直角三角形，且θ＝π6，所以可推知a 与b 的夹角为2π3.故选D ．6．如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( C ) A ．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内B ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2可以不唯一C ．若有实数λ1、λ2使λ1e 1＝λ2e 2，则λ1＝λ2＝0D ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2不一定存在[解析] 选项A 中，由平面向量基本定理知λ1e 1＋λ2e 2与e 1、e 2共面，所以A 项不正确；选项B 中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B 项不正确；选项D 中，实数λ1、λ2一定存在，所以D 项不正确；很明显C 项正确．二、填空题7．如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，M 是DC 的中点，以a 、b 为基底表示向量AM →＝ b ＋12a ．[解析] AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a ．8．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x ＋y )e 1＋(3x ＋2y )e 2＝0，则x ＋y ＝__0__．[解析] ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝03x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0，∴x ＋y ＝0． 三、解答题9．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →、AC →表示AD →．[解析] ∵D 是BC 边的四等分点， ∴BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)，∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →．10．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点．若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a 、b 为基底表示DE →、BF →．[解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，CD →＝BA →＝2CF →， ∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →＝－12a ．∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE → ＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a ．B 级 素养提升一、选择题1．如果e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，那么( A ) A ．若实数m 、n 使得m e 1＋n e 2＝0，则m ＝n ＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2为实数C ．对于实数m 、n ，m e 1＋n e 2不一定在此平面上D ．对于平面内的某一向量a ，存在两对以上的实数，m ，n ，使a ＝m e 1＋n e 2[解析] 选项B 中应为“平面内任一向量”，C 中m e 1＋n e 2一定在此平面上，选项D 中，m ，n 应是唯一的，只有A 正确．2．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角为( B ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°[解析] ∵|a |＝|b |＝|c |≠0，且a ＋b ＝c ，∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB 是菱形，△OBC 和△OAC 都是等边三角形．∴a 与b 的夹角为120°．3．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( A )A ．AD →＝－13AB →＋43AC →B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC →D ．AD →＝43AB →－13AC →[解析] 由题意得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝13AB →＋43AC →，故选A ．4．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→，则OP →＝( D ) A ．a ＋λb B ．λa ＋b C ．λa ＋(1＋λ)b D ．a ＋λb 1＋λ[解析] ∵P 1P →＝λPP 2→， ∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)，(1＋λ)OP →＝λOP 2→＋OP 1→，∴OP →＝λb ＋a 1＋λ．二、填空题5．向量a 与b 的夹角为25°，则2a 与－32b 的夹角θ＝__155°__． [解析] 作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝25°，如图所示．延长OA 到C ，使OA ＝AC ，则OC →＝2a ．延长BO 到D ，使OD ＝32BO ，则OD →＝－32b ． 则θ＝∠DOA ，又∠DOA ＋∠AOB ＝180°，则∠DOA ＝180°－25°＝155°，则θ＝155°．6．已知e 1、e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，则实数k ＝__－2__．[解析] ∵a ∥b ，则2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)．又∵e 1、e 2不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λk ，－1＝λ.解得：⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－2. 三、解答题7．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝2e 1－3e 2，，试用a ，b 表示c ．[解析] 设c ＝x a ＋y b ，则2e 1－3e 2＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)，即(3x －2y )e 1＋(y －2x )e 2＝2e 1－3e 2．又e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝2，y －2x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，所以c ＝4a ＋5b ．8．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是DA →、BC →的中点，且DC AB＝k (k ≠1)．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出下列向量在此基底下的分解式DC →、BC →、MN →．[解析] 如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2，又AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝－e 2＋k e 2＋e 1＝e 1＋(k －1)e 2．而MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM → ＝12BC →＋e 2－12AD → ＝12[e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12e 1＝k ＋12e 2． C 级 能力拔高 如图，点L 、M 、M 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且BL BC ＝l ，CM CA ＝m ，AN AB＝n ，若AL →＋BM →＋CN →＝0．求证：l ＝m ＝n ．[证明] 令AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则由BL BC＝l 得，BL →＝lb ； 由CM CA ＝m 得CM →＝m c ； 由AN AB＝n 得AN →＝n a ． ∵AL →＋BM →＋CN →＝0，∴(AB →＋BL →)＋(BC →＋CM →)＋(CA →＋AN →)＝0．即(a ＋l b )＋(b ＋m c )＋(c ＋n a )＝0，∴(1＋n )a ＋(1＋l )b ＋(1＋m )c ＝0．又∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－b －c ，∴(1＋n )(－b －c )＋(1＋l )b ＋(1＋m )c ＝0，即(l －n )b ＋(m －n )c ＝0．∵b 与c 不共线，∴l －n ＝0且m －n ＝0，∴l ＝n 且m ＝n ，即l＝m＝n．。
2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理[问题1：在物理中,我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想：平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？提示：可以．问题2：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？根据是什么?提示：可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．问题3：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1,e2表示？为什么？提示：不一定．当a与e1共线时可以表示,否则不能表示．[导入新知］平面向量基本定理条件e1,e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2,使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底［化解疑难］理解平面向量基本定理应关注的三点(1)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底,所以基底的选取不唯一．（2）零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底．（3)λ1，λ2是唯一的。
两向量的夹角[提出问题］问题1:平面中的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？提示：存在．问题2：若上题中的结论为存在夹角，向量的夹角与直线的夹角一样吗？提示：不一样．[导入新知］向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a,OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围[0，π]特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥b θ＝180°a与b反向[正确理解向量的夹角（1）向量夹角的几何表示：依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角．如图①②③④⑤，已知两向量a，b，作OA＝a,OB＝b,则∠AOB为a与b的夹角．(2)注意事项:①向量的夹角是针对非零向量定义的．②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是［0，π］和错误!.用基底表示向量[例1] 如图,梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC，AB的中点，若AB＝a，AD＝b，试用a,b表示DC，BC，MN。
[A 基础达标]1．若e 1，e 2 是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1－e 2，e 1－12e 2C ．2e 2－3e 1，6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2解析：选D.e 1＋e 2 与e 1－e 2 不共线，可以作为平面向量的基底，另外三组向量都共线，不能作为基底．2．已知数轴上两点M ，N ，且|MN |＝4.若x M ＝－3，则x N 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－7D ．1或－7解析：选D.|MN |＝|x N －(－3)|＝4， 所以x N －(－3)＝±4，即x N ＝1或－7. 3．如图，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解析：选C.不妨令a ＝CA →，b ＝CB →，则a －b ＝CA →－CB →＝BA →， 由平行四边形法则可知 BA →＝e 1－3e 2.4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD →解析：选A.因为在△ABC 中，D 为边BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OD →，所以2(OA →＋OD →)＝0，即OA →＋OD →＝0，从而AO →＝OD →.5．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，又AP →＝tAB →，则t 的值为( )A.13B.23C.12D.53解析：选A.因为AP →＝tAB →，所以CP →－CA →＝t (CB →－CA →)， CP →＝(1－t )CA →＋tCB →.又CP →＝23CA →＋13CB →且CA →与CB →不共线，所以t ＝13.6．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 为AC 的中点，点N 为OB 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，若用a ，b 表示向量AN →，则AN →＝________．解析：以AB →＝a ，AD →＝b 作为以A 点为公共起点的一组基底，则AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋34DB →＝AD →＋34(AB →－AD →)＝14AD →＋34AB →＝34a ＋14b . 答案：34a ＋14b7．若向量a ＝4e 1＋2e 2 与b ＝k e 1＋e 2 共线，其中e 1，e 2 是同一平面内两个不共线的向量，则k 的值为________．解析：因为向量a 与b 共线， 所以存在实数λ，使得b ＝λa ， 即k e 1＋e 2＝λ(4e 1＋2e 2)＝4λe 1＋2λe 2.因为e 1，e 2 是同一平面内两个不共线的向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4λ，1＝2λ，所以k ＝2.答案：28．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2 为实数)，则λ1＋λ2 的值为________．解析：如图，由题意知，D 为AB 的中点，BE →＝23BC →，所以DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC → ＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23， 所以λ1＋λ2＝－16＋23＝12.答案：129．如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，以a ，b 为基底表示向量AM →与HF →.解：在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，所以AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a ，HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－12AD →＝a ＋13b －12b ＝a －16b .10．如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 上的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →，其中λ，μ∈R ，求λ，μ的值．解：在矩形OACB 中，OC →＝OA →＋OB →， 又OC →＝λOE →＋μOF → ＝λ(OA →＋AE →)＋μ(OB →＋BF →)＝λ⎝⎛⎭⎫OA →＋13OB →＋μ⎝⎛⎭⎫OB →＋13OA → ＝3λ＋μ3OA →＋3μ＋λ3OB →，所以3λ＋μ3＝1，3μ＋λ3＝1，所以λ＝μ＝34.[B 能力提升]11．如果e 1，e 2是同一平面α内的两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ，μ有无穷多对；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④{e 1，e 1＋e 2}可以作为该平面的一组基底． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B.由平面向量基本定理可知①是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定，那么平面内任意一个向量在此基底下的分解式是唯一的，故②不正确．对于③，当λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，符合题意的λ有无数个，故③不正确．对于④，假设e 1＋e 2＝λe 1，则e 2＝(λ－1)e 1.又e 1，e 2不共线，故假设不成立，即e 1＋e 2与e 1不共线，即{e 1，e 1＋e 2}可以作为该平面的一组基底，④正确．12．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心解析：选B.AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，所以λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同． 而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， 所以点P 在AD →上移动，所以点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．13.如图，在平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，|OA →|＝|OB →|＝1，直线OA 与OB 所成钝角为120°，直线OC 与OA 的夹角为30°，|OC →|＝53，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________．解析：作以OC 为一条对角线的平行四边形OPCQ ，如图， 则∠COQ ＝∠OCP ＝90°，在Rt △QOC 中，2OQ ＝QC ，|OC →|＝5 3.则|OQ →|＝5，|QC →|＝10，所以|OP →|＝10，又|OA →|＝|OB →|＝1，所以OP →＝10OA →，OQ →＝5OB →，所以OC →＝OP →＋OQ →＝10OA →＋5OB →，所以m ＋n ＝10＋5＝15.答案：1514．设e 1，e 2 是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2 的分解式．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2 不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23，所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底．(2)设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )， 则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，所以c ＝2a ＋b .[C 拓展探究]15．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 相交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 解：(1)如图，由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，令BM →＝λBC → ⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)· AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即△ABM 与△ABC 的面积之比为1∶4.(2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧x ＋y 2＝1，x 4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝47，y ＝67.。
高中数学人教B版选修2－1第三章《3.1.2 空间向量的基本定理》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.知识与技能
通过本节学习理解向量共线的条件,共面向量定理和空间向量基本定理.
能够判定空间向量是否共面.
了解基向量、基底的概念、空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
2.过程与方法
通过对空间向量基本定理的学习,让学生体验数学定理的产生、形成过程,体验定理所蕴含的数学思想.
3.情感态度与价值观
事物之间可以相互转化,渗透由特殊到一般的思想,通过对空间向量基本定理的运用,增强学生的应用意识.
2学情分析
立体几何的学习主要在于培养空间抽象能力的基础上,发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
立体几何是中学数学的一个难点,学生普遍反映“几何比代数难学”。
但很多学好这部分的同学,又觉得这部分很简单。
立体几何中抓住向量这个重要工具
如点到直线的距离,抓住直线的方向向量;找二面角的平面角而不是二面角,二面角的平面角等于二面角的大小.具体你可以,比如先求平面的法向量,那么两个平面的法向量的夹角的大小就是二面角的大小。
求角先定平面角、三角形去解决,正余弦定理、三角定义常用,若是余弦值为负值,异面、线面取锐角。
对距离可归纳为:距离多是垂线段,放到三角形中去计算,经常用正余弦定理、勾股定理,若是垂线难做出,用等积等高来转换。
不断总结,才能不断高。
3重点难点
重点:共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理.
难点:空间向量分解定理.。
6.3.1平面向量的基本定理导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．【自主学习】知识点1 平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ， 实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把 的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内 向量的一组基底．知识点2 两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个 向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB →＝b ， 则 ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a 与b ．③当θ＝180°时，a与b．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.【合作探究】探究一 基底的概念【例1】下面说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的． A ．②④ B ．②③④ C ．①③ D ．①③④归纳总结：【练习1】设{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2探究二 用基底表示向量【例2】如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且OM→＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →交于点P ，用向量a 、b 表示OP →.归纳总结：【练习2】如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以{a ，b }为基底表示DE →、BF →.探究三 平面向量基本定理的应用【例3】如图所示，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ的值为( )A.53B.－12C.12D.23归纳总结：【练习3】如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP : PM 与BP : PN 的值．课后作业A 组 基础题一、选择题1．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 23．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③4．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝05.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <06．下列说法中，正确说法的个数是( ) ①在△ABC 中，{AB →，AC →}可以作为基底； ②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的； ③零向量不能作为基底． A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组： ①AD →与AB →； ②DA →与BC →； ③CA →与DC →； ④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④8．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( )A ．6ME →B ．－6MF →C ．0D ．6MD →二、填空题9.设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)10.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.11．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________.12．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.(用b 、c 表示)13．已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝3.14.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．15．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．三、解答题16.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN ＝12NC ，BN 与CM 相交于点E ，设AB→＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.17.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.18．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →.B 组 能力提升一、选择题1.如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 是BC 的中点，F 是AE 上一点，AF =2FE ，则BF =（ ）A ．1123AB AD -B ．1132AB AD -C ．1123AB AD -+ D ．1132AB AD -+2.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC a =，BD b =，则AF =（ ）A ．1142a b + B ．2133a b + C ．1124a b + D ．1233a b +3.ABC 中，M 、N 分别是BC 、AC 上的点，且2BM MC =，2AN NC =，AM 与BN 交于点P ，则下列式子正确的是（ ）A ．3142AP AB AC =+ B ．1324AP AB AC =+ C ．1124AP AB AC =+ D ．1142AP AB AC =+ 4.如图，在直角梯形ABCD 中，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3 EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AE 的中点，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗5.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43B ．53C ．158D ．26.如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则λμ-的值为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．17.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若34AF xAB AD =+，则x ( )A．34B．23C．12D．14二、填空题8.如图，在ABC 中，13B BCD →→=，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE AB AC λμ→→→=+，则12λμ+的取值范围是_____．9.在ABC 中，D 为线段AB 上一点，且3BD AD =，若CD CA CB λμ→→→=+，则λμ= .10.在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 .三、解答题11.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE 的值．。
第五章 平面向量第二节 平面向量基本定理及坐标表示A 级·基础过关 |固根基|1.如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1λ2＝μ1μ2；④若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B ．2．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1，1)C ．(－4，6)D ．(4，－6)解析：选D 4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由题意得，4a ＋(3b －2a)＋c ＝0，所以c ＝(4，－6)，故选D ．3．设a ＝(x ，－4)，b ＝(1，－x)．若a 与b 同向，则x 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．±2D ．0解析：选B 由题意得－x 2＝－4， 所以x ＝±2.又因为a 与b 同向，若x ＝－2，则a ＝(－2，－4)，b ＝(1，2)，a 与b 反向，故舍去，所以x ＝2.故选B ．4．在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1，2)，a －12b ＝(3，1)，c ＝(x ，3)，若(2a ＋b)∥c，则x等于( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D 因为a －12b ＝(3，1)，a ＝(1，2)，所以b ＝(－4，2)．所以2a ＋b ＝2(1，2)＋(－4，2)＝(－2，6)． 又(2a ＋b)∥c，所以－6＝6x ，解得x ＝－1.故选D ．5．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则EM →等于( ) A ．12AC →＋13AB → B ．12AC →＋16AB →C ．16AC →＋12AB → D ．16AC →＋32AB → 解析：选C 如图，因为EC →＝2AE →，点M 是BC 的中点， 所以EC →＝23AC →，CM →＝12CB →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB → ＝23AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →＋16AC →.故选C ． 6．(2019届河南洛阳模拟)在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )A ．85B ．58C ．1D ．－1解析：选A 设正方形的边长为2，以点A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，M(2，1)，N(1，2)，所以AC →＝(2，2)，AM →＝(2，1)，BN →＝(－1，2)．因为AC →＝λAM →＋μBN →，即(2，2)＝λ(2，1)＋μ(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85，故选A ．7．已知向量AB →与向量a ＝(1，－2)反向共线，|AB →|＝25，点A 的坐标为(3，－4)，则点B 的坐标为( )A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(5，－8)D ．(－8，5)解析：选A 依题意，设AB →＝λa，其中λ<0，则有|AB →|＝|λa|＝－λ|a|，即25＝－5λ，∴λ＝－2，∴AB →＝－2a ＝(－2，4)．又点A 的坐标为(3，－4)，∴点B 的坐标是(－2，4)＋(3，－4)＝(1，0)．故选A ．8．(2019届南昌二模)已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3，1)，P 2(－1，3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→(λ∈R)，则λ等于( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：选D 设OP 3→＝(x ，y)，则由OP 3→∥a ，得x ＋y ＝0，于是OP 3→＝(x ，－x)．若OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，则有(x ，－x)＝λ(3，1)＋(1－λ)(－1，3)＝(4λ－1，3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0， 解得λ＝－1，故选D ．9．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线． 因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， 所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1. 答案：k≠110．(2019届河北联盟二模)已知点A(1，0)，B(1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →，则λ＝________．解析：因为点A(1，0)，B(1，3)，OC →＝－4OA →＋λOB →，所以C(λ－4，3λ)． 因为点C 在第二象限，∠AOC＝150°， 所以tan 150°＝3λλ－4＝－33，解得λ＝1.答案：111．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b.(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)＝a ＝(5，－5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ， 所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以M(0，20)． 又CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N(9，2)．所以MN →＝(9，－18).B 级·素养提升 |练能力|12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(1，0)，B(0，1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，且|OC|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( ) A ．2 2 B ． 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC|＝2，∠AOC＝π4，所以C(2，2)．又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝2，μ＝2，所以λ＋μ＝2 2.13．(2019届枣庄模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，且满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．25解析：选B 由已知得，3OC →＝2OA →＋OB →，即OC →－OB →＝2(OA →－OC →)，即BC →＝2CA →，如图所示，故C 为BA 的靠近A 点的三等分点， 因而|AC →||AB →|＝13.故选B ．14．(2019届石家庄模拟)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D(点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1， 2 ]D ．(－1，0)解析：选B 由题意可设OC →＝mOD →，则m>1.因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA→＋μm OB →.又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1，故选B ． 15．(2019届长沙一模)在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，P 为矩形内部一点，且AP ＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的取值范围是________．解析：设点P 在AB 上的射影为Q ，∠PAQ＝θ， 则AP →＝AQ →＋QP →，且|AQ →|＝cos θ，|QP →|＝sin θ. 又AQ →与AB →共线，QP →与AD →共线， 故AQ →＝cos θ3AB →，QP →＝sin θ2AD →，从而AP →＝cos θ3AB →＋sin θ2AD →.又AP →＝xAB →＋yAD →，故x ＝cos θ3，y ＝sin θ2，因此3x ＋2y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，故3x ＋2y 的取值范围是(1，2]．答案：(1，2]16．在△OAB 中，OA →＝3OC →，OB →＝2OD →，AD 与BC 的交点为M ，过M 作动直线l 交线段AC ，BD 于E ，F 两点，若OE →＝λOA →，OF →＝μOB →(λ，μ>0)，则λ＋μ的最小值为________．解析：由A ，M ，D 三点共线，可得存在实数t ，使得OM →＝tOA →＋(1－t)OD →＝tOA →＋12(1－t)OB →.同理，由C ，M ，B 三点共线，可得存在实数m ，使得OM →＝mOB →＋(1－m)OC →＝mOB →＋13(1－m)OA →.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝13（1－m ），12（1－t ）＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝25，t ＝15，∴OM →＝25OB →＋15OA →.由E ，M ，F 三点共线，可设OM →＝xOE →＋(1－x)OF →.又OE →＝λOA →，OF ＝μOB →，∴OM →＝xλOA →＋(1－x)μOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x λ＝15，（1－x ）μ＝25，可得1λ＋2μ＝5.∴λ＋μ＝15(λ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋2μ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2＋μλ＋2λμ≥3＋225，当且仅当μλ＝2λμ时取等号，∴λ＋μ的最小值为3＋225.答案：3＋225。
向量基本定理证明一、向量基本定理内容1. 平面向量基本定理- 如果e_1，e_2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ_1，λ_2，使a = λ_1e_1+λ_2e_2。
其中{e_1,e_2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
2. 空间向量基本定理- 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使p = xa+yb + zc。
{a,b,c}叫做空间的一个基底。
二、平面向量基本定理的证明1. 存在性证明- 设e_1，e_2是同一平面内的两个不共线向量，a是这一平面内的任一向量。
- 过向量a的起点O作平行于e_1，e_2的直线，与e_1，e_2所在的直线分别交于A，B两点。
- 因为e_1≠0，设→OA=λ_1e_1，同理设→OB=λ_2e_2。
- 根据向量加法的平行四边形法则，a=→OA+→OB=λ_1e_1+λ_2e_2。
2. 唯一性证明- 假设a=λ_1e_1+λ_2e_2=μ_1e_1+μ_2e_2，其中λ_1,λ_2,μ_1,μ_2∈ R。
- 则(λ_1 - μ_1)e_1+(λ_2-μ_2)e_2 = 0。
- 因为e_1，e_2不共线，所以λ_1-μ_1 = 0且λ_2-μ_2 = 0，即λ_1=μ_1，λ_2=μ_2。
三、空间向量基本定理的证明1. 存在性证明- 设a，b，c是不共面的三个向量，p是空间任一向量。
- 把向量a，b，c，p的起点都移到同一点O。
- 过点P作直线PP_1平行于c，且与平面OAB交于点P_1。
- 在平面OAB内，过点P_1作直线P_1P_2平行于b，交OA于点P_2。
- 过点P_2作直线P_2P_3平行于a，交OB于点P_3。
- 设→OP_3=x a，→P_3P_2=y b，→P_2P_1=z c。
- 由向量加法的三角形法则可得p=→OP=→OP_3+→P_3P_2+→P_2P_1=xa + yb+zc。
向量的坐标表示2．3.1平面向量基本定理[对应学生用书P42]预习课本P74～76，思考并完成下列问题1．平面向量基本定理的内容是什么？2．平面向量基本定理与向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？3．如何定义平面向量的基底？[新知初探]1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是惟一的；③基底不惟一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．3．正交分解一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．[小试身手]1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝________. ★答案★：12(e 1＋e 2)2．已知ABCDEF 是正六边形，且AB ＝a ，AE ＝b ，则BC ＝________. 解析：AD ＝AE ＋ED ＝AE ＋AB ＝b ＋a ， 又AD ＝2BC ，∴BC ＝12(a ＋b )．★答案★：12(a ＋b )3．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________． ①e 1－e 2，e 2－e 1；②2e 1＋e 2，e 1＋2e 2；③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2；④e 1＋e 2，e 1－e 2. ★答案★：②④4．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量a ＝2e 1－e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R)共线，则λ＝________.★答案★：－12对基底概念的理解[典例] 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．①a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1μ2＝λ2μ1； ④若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.[解析] 由平面向量基本定理可知，①③④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的.[★答案★] ②基底具备两个主要特征： (1)基底是两个不共线向量；(2)基底的选择是不惟一的．e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是________．①e 1＋e 2，e 1－e 2；②3e 1－2e 2,4e 2－6e 1；③e 1＋2e 2，e 2＋2e 1；④e 2，e 1＋e 2；⑤2e 1－15e 2，e 1－110e 2.解析：由题意，知e 1，e 2不共线，易知②中，4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，即3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，∴②不能作基底．⑤中，2e 1－15e 2＝2⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2， ∴2e 1－15e 2与e 1－110e 2共线不能作基底．★答案★：②⑤向量的分解[典例] 如图，已知▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，设AB ＝l 1，AD ＝l 2，OA ＝l 3，OB ＝l 4.(1)试以l 1，l 2为基底表示AC ，BD ，DC ，BC ； (2)试以l 1，l 3为基底表示BC ，DA ； (3)试以l 3，l 4为基底表示AB ，BC .[解] (1)AC ＝l 1＋l 2，BD ＝l 2－l 1，DC ＝l 1，BC ＝l 2. (2)BC ＝AC －AB ＝－2OA －AB ＝－l 1－2l 3，DA ＝CB ＝－BC ＝l 1＋2l 3.(3)AB ＝l 4－l 3，BC ＝OC －OB ＝－OA －OB ＝－l 3－l 4.向量分解的方法(1)将两个不共线的向量作为基底，运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的惟一性求解． 如图，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 点使DG ＝13DC ，试以a ，b 为基底表示向量AF 与EG .解：AF ＝AB ＋BF ＝AB ＋12BC＝AB ＋12AD ＝a ＋12b .EG ＝EA ＋AD ＋DG ＝－12AB ＋AD ＋13DC＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .平面向量基本定理的应用[若AB ＝λAM ＋μAN ，则λ＋μ＝________.[解析] [法一 基向量法] 由AB ＝λAM ＋μAN ，得AB ＝λ·12(AD ＋AC )＋μ·12(AC ＋AB )，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC ＝0， 得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD ＋12 AB ＝0， 得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ＝0. 又因为AB ，AD 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.[法二 待定系数法]连接MN 并延长交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以，45AT ＝AB ＝λAM ＋μAN ，即AT ＝54λAM ＋54μAN ，因为T ，M ，N 三点共线． 所以54λ＋54μ＝1.所以λ＋μ＝45.[★答案★] 45当直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．已知向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，且a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－2e 2，c ＝2e 1＋3e 2，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，试求λ，μ的值．解：将a ＝e 1＋e 2与b ＝3e 1－2e 2代入c ＝λa ＋μb 得 c ＝λ(e 1＋e 2)＋μ(3e 1－2e 2)＝(λ＋3μ)e 1＋(λ－2μ)e 2.因为c ＝2e 1＋3e 2，且向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的惟一性可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ＋3μ＝2，λ－2μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝135，μ＝－15.层级一 学业水平达标1．设e 1，e 2是平面的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b ，所以e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b . ★答案★：23 －132．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________．①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB .解析：寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，AD 与AB 不共线，CA 与DC 不共线；而DA ∥BC ，OD ∥OB ，故①③可作为基底．★答案★：①③3．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝________.解析：设AD 与BE 交点为F ，则FD ＝13a ，BF ＝23b .所以BD ＝BF ＋FD ＝23b ＋13a ，所以BC ＝2BD ＝23a ＋43b .★答案★：23a ＋43b4．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AM ＝4MC ，P 为AD 的中点，则MP ＝______. 解析：如图，MP ＝AP －AM ＝12AD －45AC ＝12AD －45(AB ＋BC )＝12b －45(a ＋b )＝－45a －310b . ★答案★：－45a －310b5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ＝23OA ＋13OB ，则|AC ||AB |＝________. 解析：因为OC ＝23OA ＋13OB ，所以OC －OA ＝－13OA ＋13OB ＝13(OB －OA )，所以AC ＝13AB ，所以|AC ||AB |＝13.★答案★：136．如图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB ＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝⎛⎭⎫14 AC －AB ＝(1－k )AB ＋k 4AC ，且AP ＝m AB ＋211AC ，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.★答案★：3117．下面三种说法中，正确的是________．①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量．解析：同一平面内两个不共线的向量都可以作为基底． ★答案★：②③8．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s ＝________.解析：如图，因为CD ＝AD －AC ，DB ＝AB －AD .所以CD ＝AB －DB －AC ＝AB －12CD －AC .所以32CD ＝AB －AC ，所以CD ＝23AB －23AC .又CD ＝r AB ＋s AC ，所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s ＝0.★答案★：09.已知▱ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB ＝a ，AD ＝b ，以a ，b 为基底表示MA ，MB ，MC 和MD .解：AC ＝AB ＋AD ＝a ＋b ，DB ＝AB －AD ＝a －b ，MA ＝－12AC ＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ， MB ＝12DB ＝12(a －b )＝12a －12b . MC ＝12AC ＝12a ＋12b ，MD ＝－12DB ＝－12a ＋12b .10．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.层级二 应试能力达标1．设e 1与e 2是两个不共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝－2e 1＋5e 2，若实数λ，μ满足λa ＋μb ＝5e 1－e 2，则λ，μ的值分别为_________________．解析：由题设λa ＋μb ＝(3λe 1＋4λe 2)＋(－2μe 1＋5μe 2)＝(3λ－2μ)e 1＋(4λ＋5μ)e 2.又λa ＋μb＝5e 1－e 2.由平面向量基本定理，知⎩⎪⎨⎪⎧3λ－2μ＝5，4λ＋5μ＝－1.解之，得λ＝1，μ＝－1.★答案★：1，－12．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：∵AD ＝2DB ，∴CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23AB ＝CA ＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB .又∵CD ＝13CA ＋λCB ，∴λ＝23.★答案★：233．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. ★答案★：34．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是________．解析：由PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )， 即OP ＝(1＋λ)OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. ★答案★：x ＋y －2＝05.如图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．解析：以a ，c 为基底时，将BD 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．★答案★：a ＋b 2a ＋c6.如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝2 3.若OC ＝λOA ＋μOB (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析：以OC 为对角线，OA ，OB 方向为边作平行四边形ODCE ，由已知∠COD ＝30°，∠COE ＝∠OCD ＝90°.在Rt △OCD 中，因为|OC |＝23，所以|OD |＝|OC |cos 30°＝4，在Rt △OCE 中，|OE |＝|OC |·tan 30°＝2，所以OD ＝4OA ，OE ＝2OB ，又OC ＝OD ＋OE＝4OA ＋2OB ，故λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.★答案★：67. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.证明：设AB ＝b ，AC ＝c ， 则AM ＝12b ＋12c ，AN ＝23AC ，BN ＝BA ＋AN ＝23c －b .因为AP ∥AM ，BP ∥BN ，所以存在λ，μ∈R ，使得AP ＝λAM ，BP ＝μBN ， 又因为AP ＋PB ＝AB ，所以λAM －μBN ＝AB ， 所以由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b . 又因为b 与c 不共线．所以⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP ＝45AM ，即AP ∶PM ＝4∶1.8．在△OAB 中，OC ＝14OA ，OD ＝12OB ，AD 与BC 交于点M ，设OA ＝a ，OB ＝b ，以a ，b 为基底表示OM .解：设OM ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)， 则AM ＝OM －OA ＝(m －1)a ＋nb ，AD ＝OD －OA ＝12b －a .因为A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1. 又CM ＝OM －OC ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋nb ，CB ＝OB －OC ＝－14a ＋b ，因为C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n 1， 即4m ＋n ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝17，n ＝37，所以OM ＝17a ＋37b .。
