重庆市九年级数学上册 第21章 二次根式 21.1 二次根式教案 (新版)华东师大版

第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）．（3（a≥0，b≥0）；=a≥0，b>0）a≥0，b>0）．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1a≥0（a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0）；（a≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点1（a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21．1 二次根式 3课时21．2 二次根式的乘法 3课时21．3 二次根式的加减 3课时教学活动、习题课、小结 2课时21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．AC问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y ，所以x 2=3．因为点在第一象限，所以）．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得S 2=64， 即 二、探索新知a ≥0）•的式子叫做二次根式，（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0老师点评:（略）例11x x>0）、、、1x y+（x ≥0，y•≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．x>0）、x ≥0，y ≥0）；不是二次1x 、1x y +．例2．当x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13在实数范围内有意义． 三、巩固练习教材P 练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x +11x +在实数范围内有意义？分析+11x +中的≥0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩ 由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例4(1)已知，求x y的值．(答案:2)(2)，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1（a ≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材P 8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．BCD ．x2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）A B ．．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5B ．15D ．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4，求a、b的值．第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B二、1（a≥0） 23．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，x＋x2在实数范围内没有意义．3.134．B 5．a=5，b=-4课后教学反思：_______________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________。

二次根式第一课时一、教学目标1.核心素养：通过学习二次根式的概念，培养学生数感和符号意识．2.学习目标（1）根据算术平方根的意义了解二次根式的概念,能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系.（2）知道被开方数必须是非负数的理由,会求二次根式有意义的条件.3.学习重点从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念.4.学习难点二次根式有意义的条件.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1 回顾：什么叫算术平方根？任务2 阅读教程P2，思考：什么叫二次根式？二次根式有意义的条件是什么？2.预习自测1．面积为3的正方形的边长为（）A.3B.3±C. 3-D. 92. 面积为S 的正方形的边长为（ ） A.s B.s ± C. s -D. 2s 3. 当x 为何值时，x 有意义（ ）A.0>xB.0<xC. 0≥xD. 0≤x预习自测1.A2.A3.C（二）课堂设计1.知识回顾（1）平方根：25的平方根是±5,3的平方根是3±，0的平方根是0，-5没有平方根.（2）算术平方根：25的算术平方根是5,3的算术平方根是3，0的算术平方根是0，-5没有算术平方根.2.问题探究问题探究一 什么样的式子是二次根式？★活动一 回顾旧知，整体感受用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？（1）面积为2的正方形的边长为，面积为S 的正方形边长为 ；（2）一个长方形硬纸板，长是宽的2倍，面积为130cm2,则它的宽为 cm ；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用时间t （单位：秒）与开始落下时与地面高度h （单位：米）满足关系h=5t2．如果用含h 的式子表示t ，那么t= .活动二 总结反思，得出概念上面结果都是一些正数的算术平方根，我们知道一个正数有两个平方根；0的平方根是0；在实数范围里内负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 二次根式的概念：一般地，我们把形如a (a ≧0)的式子叫做二次根式.二次根式具备哪些特点？（1）有二次根号；（2）被开方数不能小于0.活动三 牛刀小试 初步运用例1.式子：2，x 1，2x ，5-，32，5a 中，二次根式的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【知识点：二次根式的定义】 详解：2，2x ，5-是二次根式，因此有3个，选C.点拨：二次根式是一种表示方法，既要看形式是否带有二次根号，又要看被开方数是否为非负数.问题探究二 二次根式有意义的条件是怎样的？▲活动一 回顾旧知 开启新知（1）式子：2，0，3-有意义吗？（2）对于任意实数a ，a 一定有意义吗？（3）实数x 满足什么条件，二次根式2-x 有意义？点拨：二次根式是否有意义的关键是看被开方数是否为非负数，因此，三个问题的结果显而易见.（1）式子：2，0有意义，3-没有意义；（2）对于任意实数a ，a 不一定有意义，因为a 有可能为负数；（3）二次根式2-x 要有意义，只需02≥-x 即可，即2≥x .活动二 牛刀小试 初步运用例2.当a 取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？【知识点：二次根式有意义的条件】（1）2a （2）12+a （3）11-a详解：（1）2a 中，无论a 取何值，2a 都有意义；（2）12+a 中，无论a 取何值，12+a 都是一个正数，所以，无论a 取何值，12+a 都有意义；（3）11-a 中，01>-a ，即1>a .点拨：二次根式是否有意义的关键是看被开方数是否为非负数，如果式子中，除了二次根式外，还有其它形式的式子，如（3），还得综合考虑，既要考虑二次根式有意义，还要考虑整个式子有意义.3.课堂小结【知识梳理】 形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式.二次根式有意义的条件：被开方数为非负数.【重难点突破】二次根式有意义的条件探究．①当给定的代数式只是二次根式形式时，只需要满足被开方数为 即可；②当给定的代数式不只含有二次根式时，则要全面综合考虑，如：代数式21-x 有意义的条件就应同时满足：2-x ≠0和2-x ≥0，即2-x >0. 4.随堂检测1.下列各式不是二次根式的是（ ） A. 9 B. )0(≥a a C. 3- D. 0【知识点：二次根式的定义】【参考答案】C【思路点拨】判定一个式子是否是二次根式，首先看是否带有有二次根号；然后看被开方数是否为非负数.2.下列式子中，二次根式的个数是（ ）（1）31；（2）5-；（3）22+x ；（4）3x ；（5）35A. 1B.2C.3D. 4【知识点：二次根式的定义】【参考答案】B【思路点拨】判定一个式子是否是二次根式，首先看是否带有二次根号；然后看被开方数是否为非负数.因此，（1）（3）是二次根式.3.若式子5-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A. 5≥xB. 5>xC. 5<xD. 5≤x【知识点：二次根式有意义的条件】【参考答案】A【思路点拨】二次根式有意义的条件就是被开方数要为非负数。

二次根式一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念及其二次根式的性质.2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 教材例题讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节教材是在学生学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质．本节课的教学重点是：了解二次根式的概念及理解二次根式的性质．二、目标和目标解析1.教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要．（2）了解二次根式的概念．（3）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；（4）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简.2. 教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．（3）学生能根据具体数字分析和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根式的性质，会用符号表述这一性质；（4）学生能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简.三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础．学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题．由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一定的困难，突破这一难点需要教师精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力.本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性及二次根式性质的灵活运用.四、教学过程设计（一）1．创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，则t= _____．师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．2．抽象概括，形成概念问题3 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．3．辨析概念，应用巩固例1 当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．（二）探究性质1问题1 你能解释下列式子的含义吗？，，，.师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方.问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.；；；.师生活动: 学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质1作铺垫．问题 3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）.【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质1，培养学生抽象概括的能力.例2 计算（1）；（2）.师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】巩固二次根式的性质1，学会灵活运用.2．探究性质2问题4 你能解释下列式子的含义吗？，，，.师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个数的平方的算术平方根.问题5 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.= ，= ，= ，= .师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质2作铺垫．问题 6 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质2，培养学生抽象概括的能力.例3 计算（1）；（2）.师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】巩固二次根式的性质2，学会灵活运用.五、目标检测设计1. 下列各式中，一定是二次根式的是（）A. B. C.D.【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．2. 当时，二次根式无意义．3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．【设计意图】考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑．。

21.1 二次根式(3)教学内容＝a（a≥0）教学目标理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1．重点：＝a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0时，＝a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；2．（a≥0）是一个非负数；3．()2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______；；=________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=2=0.01110=23；=0=37．例1 化简（1） （2（3） （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用=a （a ≥0）•去化简．解：（1）==3 （2（3）==5 （4 三、巩固练习教材P 7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0时，=_____；当a<0时，=_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1）若=a ，则a 可以是什么数？（2）若=-a ，则a 可以是什么数？（3）>a ，则a 可以是什么数？分析：∵=a （a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1）因为=a，所以a≥0；（2）因为=-a，所以a≤0；（3）因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，＝－a的应用拓展．六、布置作业1．教材P5习题16．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．。

华东师范大学出版社九年级上册第21章第一节
21.1.1二次根式（第1课时）教学设计
一、教材分析
1、地位作用：本章主要内容是初中代数运算的基础内容，在整个中学代数中起承上启下的重要作用，内容有两部分，它们是二次根式的有关概念、性质和二次根式的四则运算。

本章的第一部分是二次根式的有关概念、性质。

它是把前面学习的实数写成式子进行运算，体现了由特殊到一般的数学思想，同时二次根式的概念和性质又是今后学习根式运算、函数的知识储备.
2．对象分析
（1）学生是乡镇普通初中九年级的学生，班级学生学习方面存在一定的差异；但学生对数学抱有浓厚的兴趣。

（2）学生在前面已学习了平方根，基本上掌握了平方根。

3．环境分析
（1）教师自制多媒体课件。

（2）上课环境为多媒体教室。

二、教学目标：
知识技能：积极参与构建二次根式的概念、探究二次根式的特征与性质的活动，在活动中体验成功的喜悦．
过程与方法：(1)了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

(2) 掌握二次根式有意义的条件。

(3) 掌握二次根式的基本性质：)0
a
≥a
(0≥
情感、态度、价值观：通过计算、观察、类比、归纳、猜想，探索二次根式的概念、
性质的发生过程；发展学生合情推理能力和演绎推理能力.
三、教学重点、难点
教学重点：掌握二次根式的有关概念、性质；能熟练地运用二次根式的有关概念、
性质进行计算，并能利用它解决简单的实际问题.
教学难点：能熟练地运用二次根式的有关概念、性质进行计算，并能利用它解决简单的实际问题.
教学重点、难点突破方法：通过类比平方根和算术平方根的有关概念、性质突破难点
四、教学过程。