第21章 二次根式知识结构图

归纳小结
（1）乘法法则：
a b ab;(a 0,b0)
（2）乘法法则的逆用：
ab a b;(a 0,b0)
二次根式的除法
4= 9
49 = 100
25
=
64
4 9 49 100 25 64
一般地, 有
a

a
____b____, (a
0, b
0)
b
二次根式的除法法则: 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除的商，
计算： ( 10 )2 (3 3)2
解： ( 10)2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2
10 27 17
一般地，根据算术平方根的意义
a2

a
a（a 0）， a（a 0）.
化简：
(1) 8
(2) (5)2
解：(1) 8 22 2 2 2 (2) (5)2 52 5
平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
本课学习目标：
• （1）二次根式的概念 • （2）根号内字母的取值范围 • （3）二次根式的性质
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1. 表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 . 4. a≥0, a ≥0 . ( 双重非负性) 5.既可表示开方运算,又可表示运算的结果.
1 3

27=

1 3

27=
9=3
积的算术平方根
试一试：请根据算术平方根填空：

[解析] 先化简，再合并．
ppt课件
8
21.3 二次根式的加减
解：(1) 5＋ 20－ 45＝ 5＋2 5－3 5＝0.
(2)3 8＋2 18－ 50＝6 2＋6 2－5 2＝7 2.
(3)原式＝21 42×2－2 52×3＋ 12－3
32×1 3＝2 2－10 3＋21 2
－13 3＝(2＋12) 2＋(－10－31) 3＝52 2－331 3.
3．通过回顾整式的混合运算，理解二次根式混合运算中加、
减、乘、除、乘方、开方等运算的运算顺序，能正确进行二次根
式的混合运算．
ppt课件
3
21.3 二次根式的加减
目标突破
目标一 会识别同类二次根式
例 1 教材补充例题下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是
( B)
A. 24 B. 12 C.
3 2
D. 0.3
第21章 二次根式
ppt课件
1
第21章 二次根式
21.3 二次根式的加减
知识目标
目标突破 总结反思
ppt课件
2
21.3 二次根式的加减
知识目标பைடு நூலகம்
1．通过回忆同类项的概念，类比理解同类二次根式的概念，
并能准确识别出同类二次根式．
2．通过自学阅读，类比整式加减运算的方法，讨论归纳出二
次根式加减的法则，并用该法则进行二次根式的加减运算．
12
21.3 二次根式的加减
总结反思
知识点一 同类二次根式的概念
几个二次根式化为最简二次根式后，如___被__开_方__数__相_同_____， 那么这几个根式叫做同类二次根式．
ppt课件
13
21.3 二次根式的加减

在第11章我们学习了平方根和算术平方根的意义， 引进了一个记号
a
a 表示什么？
a应满足什么 条件？
知1－导
知识点
1
二次根式的定义
回 顾
当a是正数时， a 表示a的算术平方根，即正 数a的正的平方根． 当a是零时， a 等于0，它表示零的平方根，
也叫做零的算术平方根．
当a是负数时， a 没有意义．
方根是 一个非负数；
2. 性质2： a ＝a(a≥0)，即一个非负数的算术平
2
方根的平方等于它本身； 3. 性质3： （1）思考： a 2 等于什么？
知3－讲
我们不妨取a的一些值，如2、－2、3、－3等，分 别计算对应的的
a 2 值，看看有什么规律：
22 4 2;
( 2)2 4 2;
当a≠4时，－(a－4)2＜0，∴ (a 4)2 不是二次根式． ∴
(a 4)2 不一定是二次根式．
知1－讲
(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，
∴
x2 2 x 2 是二次根式．
x 是二次根式．
(8)∵|x|≥0，∴
知1－讲
总
二次根式的识别方法：
结
知1－讲
1 1 (5)当x＝－3时，( x 3)2 无意义， ∴ ( x 3)2也无意义； 1 1 0 当x≠－3时， ，∴ 是二次根式． 2 ( x 3)2 ( x 3) 1 ∴ ( x 3)2 不一定是二次根式．
2 (6)当a＝4，即a－4＝0时， (a 4) 是二次根式；
6. 它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数 都必须是非负数；
知2－讲
(2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么 它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负 数；分式的分母不等于0； (3)如果一个式子中含有零指数或负整数指数，那么它 有意义的条件是：底数不为0.

意义？
分析：要使二次根式有意义，被开方数必须 是非负数.
解: 被开方数 x-1≥0,即x≥1.
所以，当x≥1时，二次根式 x 1
有意义.
x是怎样的数时,下列各式在实数范围 内有意义?
(1) x 3; (2) 2 4 x ; (3) 5x ; (4) 2
x 1
计算： (1) 9 3 (2) 64 8
(3) 4 2 93
(4) (6)2 6
性质2：
a2
| a |
a(a 0), a(a 0).
课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你 有哪些新的认识和体会？
获得哪些解决二次根式问题的方法？ 你还有哪些问题？请与同伴交流.
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
21.2 二次根式 的乘除
能猜想出 a b 的结论是什么？说
说你的理由。
a b a b(a 0,b 0)
积的算术平方根:
积的算术平方根，等于各因式算术 平方根的积.
利用这个性质 可以进行二次
根式的化简
➢例2 化简 12，使被开方数不含完全平方的
因数.
解： 12= 22 3
= 22 3
=2 3
这里，被开方数12=22×3，含有完全平方 的因数22，通常可以根据积的算术平方根的
练一 1.下列计算正确的是（ B ） 练
演练
2.计算：
练一 练
(2)( 2 1)2 ( 2)2 2 2 1
（3)
22 21 32 2
回顾反思
回忆一下这节课我们学了哪些内容？
1.什么是同类二次根式； 2.二次根式的加减法的关键就是合 并同类二次根式； 3. 以前学过的运算律和运算公式在 二次根式的四则运算中依然适用．

解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
Байду номын сангаас
D.-1
题型3:利用二次根式的性质化简 (3)实数a,b在数轴上对应点的位置，如图所示， 化简 ：
(4)(3 2 4 5)2
(5)(2 3 5)2 (2 3 5)2
(6)(3 10 )2005 (3 10 )2005
探索性练习：
（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里 打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
2 2 2 2, 3 3 3 3
33
88
4 4 4 4 , 5 5 5 5
叫做二次根式
２．二次根式的识别：（１）．被开方数 a 0
（２）．根指数是２
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
① 15
② 3a
③ x 100
④ a2 b2 ⑤ a2 1 ⑥ 144
⑦ a2 2a 1 ⑧ 3 5
二次根式的性质
（1）． a 0 （ａ 0）
（2）． ( a )2 a
练习：把下列二次根式化为最简二次根式。
(1) 12 (2) 48
(3) 125 (4) 800
(5) 3 2
(6) 1 8
(7) 3 3 5
(8) 0.4
(9) 3 24
1 ( 10) 4 1
2
(12)：x 1 ______. x
( 11) x 2

(2)∵3.14＜π，∴3.14-π＜0，
∴ (3.14-π)2 = |3.14-π |=π-3.14.
评析：在计算时，为确保计算的正确性，计算
形如 a2 的二次根式时,先要写成 a2 =|a|的形式, 再看底数a的符号，防止出现当a<0时， a2 =a
这样的错误。
巩固认识
1、化简下列各式: (1) ( 3 2 )2 + ( 2 3 )2
小结
本节课要掌握：
1、 a b ab (a≥0,b≥0)
2、 ab a b (a≥0,b≥0)
对于二次根式的乘法及积的算 术平方根的化简要灵活运用
课后练习
认真完成导学案的“课后练习题案”.
华东师大版九年级上学期 第21章 《二次根式》
2.2二次根式的乘除法
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
3、设a、b、c为△ABC的三边，化简：
(a+b+c)2 + (a-b-c)2 + (c-b+a)2
华东师大版九年级上学期 第21章 《二次根式》
2.1二次根式的乘除法
学而不疑则怠，疑而不探则空
知识回顾
1、二次根式 a(a≥0)是非负数，
a
2
a
.当a≥0时， a2
=
a
；
当a＜0时， a2 = -a .
1 x
※拓展应用
已知 2 a，3 b， 用含a、b的代数式表示 96.
2 a, 3 b, 96 16 6 4 6 4 2 3 4ab.
比一比，看谁更快！
一、计算：
(1) 8 27 ; 6 6 (2) (3) 1 54 1 6 3
125
1 20
5 2