《正多边形与圆》PPT课件湘教版(2020年最新)

总结词
丰富多样的设计元素
详细描述
正多边形和圆的几何特性使得它们在视觉上具有独特的冲 击力。通过巧妙地运用正多边形和圆，可以创造出引人注 目的视觉效果，吸引人们的注意力。
详细描述
正多边形和圆作为基本的几何图形，在几何图形设计中有 着广泛的应用。它们可以单独使用或组合使用，创造出丰 富多样的设计元素，如标志设计、图案设计、图标设计等 。
。
圆的基本性质
01
02
03
圆心角与弧的关系
在同一个圆或等圆中，相 等的圆心角所对的弧相等 ，相等的弧所对的圆心角 相等。
弦与直径的关系
在同一个圆或等圆中，弦 的垂直平分线必经过圆心 ，经过圆心的弦是直径。
直径与半径的关系
在同一个圆或等圆中，直 径是半径的两倍，半径是 直径的一半。
圆的分类
按照半径的大小分类
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
《正多边形和圆》ppt课件
• 正多边形的定义和性质 • 圆的定义和性质 • 正多边形和圆的关系 • 正多边形和圆的实际应用
目录
CONTENTS
01
正多边形的定义和性质
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
正多边形和圆在日常生活中的应用
总结词
日常用品的设计
详细描述
交通工具的设计中也会经常运用到正多边形和圆。例如， 汽车、火车、飞机等交通工具的外形、轮毂、仪表盘等部 位都会涉及到正多边形和圆的应用。
详细描述
正多边形和圆在日常生活中有着广泛的应用。例如，一些 日常用品的形状、图案或纹理中会运用到正多边形和圆， 如餐具、服饰、家居用品等。
详细描述

如果是,那么对称轴有几条?这些对 称轴的散布有什么特点?
当n为奇数时,
操作并视察:
n=3时, 有三条对称轴
n=5时, 有五条对称轴
n=7时, 有七条对称轴
一个正n边形,当n为奇数时,它有n条对称轴, 各边的垂直平分线都是它们的对称轴.
当n为偶数时,
操作并视察:
n=4时, 有四条对称轴
n=6时, 有六条对称轴
基本概念
E
D
中心角 360
n AOG BOG 180
n
边心距r R2（ a）2 ， 2
中心角
F
.O
.
C
R
a
r
a
2
AGB
面积S
1 2
L
•
边sin心18距0 （r） n
1 2
ncao•s边18心0 距 （r） n
tan 180 n
cot 180 n
如果正n边形的边数给定，已知它的边长、半径、边心距 中的任意一项，都可以求出其它各项.最终，转化成解直 角三角形的问题.
P
HB
O
H
O
G
C
E
Hale Waihona Puke BON M
E Q
CM D
C ND
作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角 三角形，这些直角三角形也是全等的．
视察：正三角形绕着它的中心每旋转多少度可以与它自身 重合？正方形呢？正六边形呢？他们具有怎样的旋转对称 性？
正三角形绕着它的中心每旋转120度可以与它自身重合.正方形 绕着它的中心每旋转90度可以与它自身重合.正六边形绕着它的 中心每旋转60度可以与它自身重合.

·O
D
是 O （用图中线段表示）
G
正多边G形的边心距就是内切圆半径。 F
E
中心０既是外接圆的圆心也是内切圆的圆心。
回答：
1.正n边形的内角和是 (n 2) 1800 一个内角的度数是 （n 2）1800
n
3600
2.正n边形的一个中心角是 n
正多边形的
中心角与外角 度数相等
3600
3.正n边形的一个外角是 n
F
O C
A GB
学以致用：有一个亭子,它的地基半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(精确到 0.1m2).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等 于360 60 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长
7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 中心 角， 它的度数是 72度
D
E
C
.O
A
FB
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是∠（AOB） 它的度数是（60度）
9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？
E
D
解答：正六边形的半径与边
长数量关系是相等
因为：正六边形的中心角 F
是60度和半径组成的三角
F
.半径R
O
中心角
C
正多边形的半径:
边心距r
外接圆的半径
A
B
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
正多边形的边心距： 中心到正多边形的 一边的距离.
新课讲解
A
B
O
E
CF D 正多边形中的有关概念：
中心 半径 中心角 边心距
既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心

例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面 积(精确到0.1平方米).
F A
B
E
.. O
D
rR
PC
由 于A B CDE F是 正 六 边 形 ， 所 以
它的中心角等于360 60，
6
F
OB C是 等 边 三 角 形 ， 从 而 正
六边形的边长等于它的半径. A
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
.
4．已知圆内接正方形的边长为2，则该圆 的内接正六边形边长为
__________．
5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正六边形的半径为________；
边心距为________．
6．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四边形各边中点， 则所得的四边形是菱形；②等边三角形是轴对称图形，但不是中 心对称图形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相同的正多 边形都相似，其中正确的有（ ）
三. 正多边形有关的计算
正多边形的内角:
内角(n2)180 n
正多边形的半径:外接圆的半径
E
D

半径R
F 中心角 O
.
边心距r
C
正多边形的中心角:
A
B
中心角 360 n
正多边形的边心距： r
R
2
（
a
2
）
正多边形的面积：S
n(1ar) 2
1Lr 2
2
练习
完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：
学习目标：
• 1.了解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念，会判定正多边形。 • 2.理解正多边形的中心、半径、边长、边心距、中心角之间的关系，并

E
课堂小结
正多边形的定义与对称性
正多边形
正多边形的有
关概念及性质
正多边形的
有关计算
①正多边形的内角和= (n 2) 180
②中心角=
360
n
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
n
.

（2）正n边形的每个中心角
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
60
①它的中心角等于
度 ；
F
=
② OC BC (填＞、＜或＝）；
A
③△OBC是 等边 三角形；
B
都等于
E
（3）正n边形的每个外角都
O
D
360°
等于
.
C
P

④圆内接正六边形的面积是
△OBC面积的
6
倍.
1
周长 边心距
2
A
A
F
D
E
B
E
O
O
O
·
90°
72°
·
A
D
·
60°
C
B
C
D
B
C
3.你能尺规作出正方形、正八边形吗？
只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即
得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂
线与⊙O相交，或作各中心角的角平分
线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，
照此方法依次可作正十六边形、正三十
二边形、正六十四边形……
D
A
O
·
心对称图形吗？
新知讲解
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称
图形吗？
正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是

.在 Rt△OAG 中，OA＝4，AG＝BG＝2，∴OG＝ 42－22＝2 3，∴S6＝21 ×4×2 3×6＝24 3.答：这个正六边形的边长是 4，周长为 24，面积为 24 3.
14．如图所示，正五边形 ABCDE 的对角线 AC 和 BE 相交于点 M，求证：
(1)AC∥DE； 证明：∵五边形 ABCDE 为正五边形，∴AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA.∵∠ BAC＋∠BCA＋∠ABC＝180°，∠ABC＝108°，∴∠BAC＝36°.∵∠EAC＋ ∠BAC＝∠EAB＝108°，∴∠EAC＝72°.∵∠AED＝108°，∴∠EAC＋∠AED ＝180°，∴AC∥DE.
(1)证明：延长 BP 至 E，使 PE＝PC，连接 CE.∵A、B、P、C 四点共圆， ∴∠BAC＋∠BPC＝180°，∵∠BPC＋∠EPC＝180°，∴∠BAC＝∠CPE＝ 60°，PE＝PC，∴△PCE 是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝60°.又∵∠BCE ＝60°＋∠BCP，∠ACP＝60°＋∠BCP，∴∠BCE＝∠ACP.∵△ABC、△ECP 为等边三角形，∴CE＝PC，AC＝BC，∴△BEC≌△APC(SAS)，∴PA＝ BE＝PB＋PC； (2)解：PA＝PC＋ 2PB，证明：过点 B 作 BE⊥PB 交 PA 于 E，∵∠1＋∠2 ＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.又∵∠APB＝45°，∴BP＝BE，∴PE＝ 2PB. 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC＝AE.∴PA＝AE＋PE＝PC＋ 2PB；
__2_4___cm. 12．(毕节中考)正六边形的边长为 8cm，则它的面积是 96 3cm2 .
13．已知正六边形的半径为 4，如图，求这个正六边形的边长 a6，周长 P6， 面积 S6.
解：过 O 作 OG⊥AB 于 G，连接 OA、OB，∴∠AOB＝3660°＝60°.∵OA＝ OB，∴△OAB 是等边三角形，∴a6＝4.P6＝4×6＝24

则六边形ABCDEF就是所求作的⊙O的内接 正六边形.
A
F
r
B
E
O
C
D
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在生产设计中，人们经常会遇到等分圆的问题。 例如设计剪纸、齿轮、汽车轮毂等就是通过等分圆 而得到的（如下图所示）。
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三、课堂总结
作正n多边形
将圆n等分
关键： 将圆心角n等分 再利用图形的相关性质解决
Page 11
(第一课时)
二、思考
将一个圆n（n≥3）等分，依次 连接各等分点所得的多边形叫 作这个圆的内接正多边形，这 个圆是这个正多边形的外接圆， 正多边形的外接圆的圆心叫作 正多边形的中心.n等分的圆心 角称为中心角。
正n边形的中心角：360 n
如何作一个正多边形呢？
由于在同圆中，相等的 圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等，因此 可以将圆心角n等分， 从而使圆n等分，一次 连接各等分点，可得到 一个正这些多边形有什么共同的特点？
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每个多边形的各边都相等，各内角也相等.
我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫 作正多边形.
Page 4
小明生日，有4位同学一 起过生日，小明想把如图 所示蛋糕平均分成4份， 你能帮他做到吗？
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2.7 正多边形与圆
约翰·卡尔·弗里德里希·高斯
Page 12
课后思考： 如何作已知圆的内接正三角形 ？
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作业：
许多图案设计都与圆有关，请利用等分圆的方法设 计一幅图案。
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我思 我进步 通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。
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播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！ 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个门：一个是家门，成长的地方； 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！ 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺利的就忏悔，然后放下。“雁 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾；受得起打击；丢得起面 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲原则，坚持守底气；淡 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若一心想要事事求顺意， 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝。我们的梦想在哪里？ 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的宽道上！珍惜每一分 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要感叹你失去或未得到； 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境之人，不做苟且之事， 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态，得失了无忧，来去都 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才是永恒的美。意逐白云 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可；累时，闲是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限制我们的，不是周遭 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多少委屈，一笑而泯之。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴米之忧烦；世外桃源祥 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为虚名所累；做事要头 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求，多一点警醒。傲不可 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华洗礼，在自观中走向 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面上看是人脉的差距， 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定命运。知恩感恩，是 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致， 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩感恩，是很重要的一 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不平常事，则事事平常。 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为成功而努力，更要为做 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。只有在我们不需 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。和对自己有恶意的人绝 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要试图给自己找任何借口， 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放下。活得轻松，任何事都 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦尽量充实自己。不要停止 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了你生命，同时也是爱你 爱的最无私的人。

D．60°或120°
随堂练习
2. 如图，点O是正五边形ABCDE的中心，求∠BAO的度数．
解：连接OB，则OB=OA，
∴∠BAO=∠ABO，
∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴∠AOB=360°÷5=72°，

∴∠BAO= （180°﹣72°）=54°.

随堂练习
3. 如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
知识讲解
知识点1 正多边形及有关概念
【例1】矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
解析：矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相
等；菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等.
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
知识讲解
知识点3 正多边形的画法
②正六、三、十二边形的作法.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….
知识讲解
知识点3 正多边形的画法
【例 4】如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内
接正三角形．
点拨：【度量法】用量角器量出圆心角是120度
而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧就可作出正八边形、正十六
边形等，边数逐次倍增的正多边形.
知识讲解
知识点3 正多边形的画法
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，
任画一条直径AB， 分别以A、 B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O
相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.

B
O
O
B
CB
C
O C
A
F
E
B
E
O
D
C
D
每个正多边形的半径，分别将它们分割成什么 样的三角形？它们有什么规律？
正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等 腰三角形．
A
A
EO D
F
B
F
CB
E
D
A
G
F
A GF
H
PHBOHOGC
E
B
O
N M
E Q
CM D
C ND
作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角 三角形，这些直角三角形也是全等的．
F
O C
A GB
学以致用：有一个亭子,它的地基半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(精确到 0.1m2).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等 于360 60 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长
6
等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OBC2C=424, 2P，C= F
正多边形的中心角等于 360 。 正多边形的中心角与外角度数相等
３.正三角形的内切圆与外接圆的半径之比 1:2
４.已知正方形的内切圆半径r＝1，则这个正方形
的外接圆面积S= 2
.
５.有一边长为4的正n边形，它的一个内角为1200，其
内切圆半径为 2 3 .
1.如图：圆内接正五边形ABCD中，对角线AC与BD相
正多边形的性质及对称性
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。