高中数学必修二《异面直线所成的角》专题复习优秀教学设计

“异面直线所成的角”（第二课时）教学设计双流中学数学组 邱国界教材分析：异面直线及异面直线的夹角这一节设置为两课时，这是第二课时的教学设计．异面直线的夹角是由两条相交直线的夹角扩充而生成的，由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们的夹角的大小也就随之确定了．这对于初学立体几何的学生来说，是较难理解的，对“异面直线还有夹角”这一概念感到陌生和新鲜，是学习的一个难关．教学中应通过现实生活中的例子，说明如何抽象出异面直线的夹角概念．强调异面直线的夹角的存在性和学习的必要性．异面直线的夹角的范围是000~90，不含00．最后，通过教科书中正方体的练习，逐步深入理解异面直线及其夹角，使学生较好地掌握这一内容．要计算异面直线a b 、的夹角的大小，必须通过平移转化为相交直线''a b 、的夹角．如何实现“转化”是学习中的一个难关．根据异面直线夹角的定义，在空间任取一点O 实现转化固然可以，而在实际操作中，可将点O 取在a 或b 上．两条异面直线互相垂直，即它们的夹角是直角，这是两条直线是异面直线时的一种特殊位置情况．应向学生指出：今后如果说两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能异面．对于本节的学习，仍然应注意概念的形成过程，让学生去完成意义建构，而决不单纯以记忆结论为目的，要注重空间想象能力的形成过程，并有意识地加以引导、培养.教学目标：1、知识目标：（1）掌握异面直线所成角的概念；（2）能求出一些较特殊的异面直线所成的角； （3）了解异面直线垂直． 2、能力目标：（1）空间能力的进一步形成； （2）平面向空间的推广能力； （3）空间向平面的转化能力．3、情感目标：通过理论与实际的结合，培养学生实事求是的态度；同时在实际生活中不断发现问题，解决问题，培养学生的创新精神，为自己的人生垫定扎实的基础．学情分析：学生已有知识：空间四大公理、等角定理、异面直线的概念与判断；已有能力：立体空间的想象、抽象思维能力（但这种能力欠缺）；情感定位：初步接触立体几何，有较强的兴趣，对一门新的数学分支充满了激情．教学重点：异面直线所成的角概念的形成及应用教学难点：异面直线所成的角的发现与概念形成，将异面直线所成角转化为平面角 授课类型：新授课授课方式：探索法、引导法、讨论法教法设计：创设问题的现实情境，通过启发、引导学生发现异面直线所成的角的存在性，通过由特殊到一般、从具体到抽象，培养学生观察、分析、归纳、抽象、概括等逻辑思维能力与空间想象课时安排：1课时教 具：FLASH多媒体课件、实物投影仪、实物教具 教学过程： 一、创设情境：多媒体课件给出嫦娥奔月的轨迹图，通过动画说明空间中异面直线的方向存在差异，也即空间异面直线的“角度”的存在性，即本节课的课题：异面直线所成的角（异面直线的夹角）．（设计意图：建构主义教学模式在高中数学中的力能否吸引到教学内容上的关键所在．嫦娥奔月刚刚成功，中国人所拍摄的第一幅月球照片也刚刚公布，这是中国人的骄傲，也是每个中国人所熟知的事情，也是这段时间人们谈论最多的话题，因此，以此为情境引入，能一下抓住学生的注意力，激发学生的学习热情，引导学生积极主动地参与学习、思考．）二、新知形成过程：1、质疑一：平移会改变这两条异面直线原有的方向吗？2、质疑二：怎样度量异面直线的方向的差异呢？3、质疑三：相交直线中，选取哪个角作为度量结果呢？4、质疑四：两直线交点的位置会影响这个度量值吗？5、提问：你可以怎样定义异面直线夹角呢？（设计意图：这一版块属于建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教性学习是一种以问题为载体、以主动探究为特征的学习活动，是学生在教师的指导下在学习和社会生活中自主地发现问题、探究问题、获得结论的过程．在这个环节中，既让学生独立思考与学习，同时也采用协作学习的方式来解决所提出的问题，最后形成异面直线夹角的概念．问题5的提出就目的是培养学生的归纳总结能力，并体会到学习的乐趣．）三、形成新知：1、形成异面直线所成角的定义．异面直线所成的角：已知两条异面直线a b 、，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，''a b 、所成的角的大小与点O 的选择无关，我们把''a b 、所成的锐角（或直角）叫异面直线a b 、所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在两条异面直线中的一条上．2、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a b 、 垂直，记作a b ⊥．两直线垂直含异面垂直与共面垂直．3、两条异面直线所成角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦． （设计意图：异面直线概念的得出在前面三步的进行下也就成了顺理成章的事了，只有用严格的数学语言来对一个知识下了定义才能方便我们对该知识的使用，也正是将一个数学概念顺理成章的学生自己构建在了自己的已有的知识体系中，这正是建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概四、新知应用：正方体ABCD A B C D ''''-中： （1）求直线AB 与B C ''夹角的度数；（2）求直线BA '与CC '夹角的度数； （3）求直线BA '与'AD 夹角的度数． 学生活动：讨论、思考、求解；教师活动：参与讨论共同解决；强调解题的思维与书写步骤的完整．解：（1）由//B C BC ''，可知ABC ∠等于异面直线AB 与B C ''的夹角，易知ABC ∠=090，所以异面直线AB 与B C ''的夹角为90；（2）由//BB CC ''，可知B BA ''∠等于异面直线BA '与CC '的夹角，所以异面直线BA '与CC '的夹角为45；（3）连结',''BC A C ，则'//'AD B C ，则''C BA ∠等于异面直线BA '与'AD 的夹角，易知''A BC ∆为正三角形，所以异面直线BA '与'AD 的夹角为60． 形成能力：1、点O 通常取为两条异面直线中的一条线段的端点或中点；2、求异面直线所成的角的方法： （1）平移直线相交——作； （2）确定角——证； （3）求解角——求．D'C'B'A'DCBA（了能解题，能用，在解题中体会概念的精妙之处，在用中反思概念的合理性．独立思考与合作学习，既发挥了个人的能力也共享了集体的智慧，让每个学生在学习过程中都学有所长，愉快地学习；在建构主义理论下，以任何一种学习模式组织教学，都有一个学习效果的评价，其中包括是否完成对所学知识的意义建构，即是说学以致用，异面直线的夹角来源于生活，形成了数学概念，同时还要回到生活中去，能解决实际问题．故设计的这组练习题是检查学生对异面直线的夹角的掌握情况的，同时也是对异面直线夹角概念的巩固．）六、巩固提高：1、教材16P 练习题第4题：如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中：（1）哪些棱所在直线与直线'AA 成异面直线且互相垂直？ （2）已知'1AB AA ==，求异面直线'BA 与'CC 所成角的度数．2、空间四边形ABCD 中，AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，6EF =，求异面直线AD 与BC 所成的角．注：此题所给的解法是利用余弦定理求解，这是常用也是通用方法，称为解三角形，而此题数据特殊，EGF ∆为等腰三角形，故也可在直角三角形中求解EGF ∠的大小．解：取AC 中点G ，连结,,EG FG EF ，∵,E F 分别是,AB CD 的中点，∴//,//,EG BC FGAD 且1122EG BC FG AD ==== ∴异面直线,AD BC 所成的角即为,EG FG 所成的角，在EGF ∆中，2221cos 22EG FG EF EGF EG FG +-∠==-⋅， ∴120EGF ∠=，异面直线,AD BC 所成的角为60． 形成能力：(1)异面直线所成的角是锐角或直角，当EGF ∆内角EGF ∠是钝角时，则异面直线AD BC 、所成的角是它的补角．(2)此题在平移时用到的是“双移”，手段是利用三角形中位线与底边平行，从而达到平移直线的目的．（3）在平移直线时，合理选择平移点→确定平面→找、移或连．（设计意图：对一个概念的真正撑握必然是经过反复再反复的过程，在实践中把握本质，故在此GFED CBAD'C'B'A'DC B A设计了这个环节．概念不变，但题目千变万化，在这个问题上，采用随机进入式教学；由于事物的复杂性和问题的多面性，要做到对事物内在性质和事物之间相互联系的全面了解和掌握、即真正达到对所学知识的全面而深刻的意义建构是很困难的．往往从不同的角度考虑可以得出不同的理解．为克服这方面的弊病，在教学中就要注意对同一教学内容，要在不同的时间、不同的情境下、为不同的教学目的、用不同的方式加以呈现．换句话说，学习者可以随意通过不同途径、不同方式进入同样教学内容的学习，从而获得对同一事物或同一问题的多方面的认识与理解．让学生思考、探索、讨论，获得多种解题思路，再展现出来，教师引导完成解法，并比较各种做法的差异与优缺点，从而提升学生的题解能力．）七、小结升华：本节课你有什么收获？异面直线夹角的概念及用平移的方法求异面直线所成的角，步骤是：作、证、算；异面直线夹角是二维到三维的推广，而求解异面直线夹角是三维向二维的转化．（设计意图：识升华，最终完成知识建构的重要环节，课后延伸可帮助学生建立自己的知识网络，对本节课起到辅助与延伸的作用，在建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教学模式中必不可少．）八、课后巩固：1、教材16P 习题第6、7题．2、（选做）在长方体D C B A ABCD '''-中，4AB =，2BC =，'2AA =，求异面直线B D '与AC 所成的角的余弦值．九、板书设计十、教学反思 （见前面网页处）D'C'B'A'DCBA。

《异面直线及其所成的角》教案及说明教案：异面直线及其所成的角一、教学目标1.知识目标：了解异面直线的概念，掌握两异面直线所成角的性质；2.能力目标：能够根据异面直线的性质解决相关问题；3.情感目标：培养学生的数学思维和解决问题的能力。

二、教学重点和难点1.重点：异面直线的概念，两异面直线所成角的性质；2.难点：理解和掌握异面直线所成角的性质。

三、教学过程1.导入新知识（5分钟）教师引导学生回顾在平面几何中所学过的直线和角的知识，导入本节课的主题：异面直线及其所成的角。

2.学习新知识（15分钟）-异面直线的概念：两条不在同一个平面上的直线称为异面直线；-两异面直线所成角的性质：两异面直线所成的角是锐角、直角、钝角中的一个，且度数等于这两直线所成平面的倾斜度。

3.练习与训练（20分钟）-学生进行练习，通过图形判断异面直线之间所成的角是锐角、直角还是钝角，并计算其度数；-学生分组讨论，解决相关问题，并向全班汇报自己的解决方法。

4.拓展应用（20分钟）-学生在小组内讨论生活中异面直线及其所成的角的例子，并进行展示；-学生尝试寻找更多与异面直线相关的问题，并尝试解决。

5.总结与反思（10分钟）学生和老师共同总结本节课所学内容，回顾异面直线及其所成的角的性质，并对解题方法进行讨论和总结。

四、教学反馈1.作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识；2.学生评价：鼓励学生积极参与讨论和思考，提高学生的解决问题的能力；3.教师评价：对学生的表现进行评价，提出改进建议。

说明：本节课以异面直线及其所成的角为主题，旨在引导学生了解异面直线的概念，并掌握两异面直线所成角的性质。

通过学习和讨论，培养学生的数学思维和解决问题的能力，丰富学生的数学知识储备。

在教学过程中，通过导入新知识、学习新知识、练习与训练、拓展应用、总结与反思等环节，引导学生掌握所学内容，并能够灵活运用于实际问题的解决中。

同时，通过学生之间的讨论和交流，促进学生之间的合作和学习氛围，培养学生团队合作的意识。

"湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：两条异面直线所成的角 "教学目标1．记忆并理解余弦定理；2．应用余弦定理来求异面直线所成的角．教学重点和难点这节课的重点是以异面直线所成的角的概念为指导作出相应的角，然后用余弦定理解这个角所在的三角形求出这个角的余弦．这节课的难点是使学生初步理解当cosθ＞0时，0°＜θ＜90°，当cosθ=0时，θ=90°，当cosθ＜0时，90°＜θ＜180°．教学设计过程一、余弦定理师：余弦定理有哪两种表述的形式？它们各有什么用途？生：余弦定理有两种表述的形式，即：a2=b2＋c2-2bccos Ab2=c2+a2-2cacos Bc2=a2＋b2-2abcos C第一种形式是已知两边夹角用来求第三边，第二种形式是已知三边用来求角．师：在立体几何中我们主要用余弦定理的第二种形式，即已知三角形的三边来求角．在余弦定理的第二个形式中，我们知道b2＋c2可以等于a2；也可以小于a2；也可以大于a2．那么，我们想当b2+c2=a2时，∠A等于多少度？为什么？生：当b 2＋c 2=a 2时，由勾股定理的逆定理可知∠A=90°． 师：当b 2＋c 2＞a 2时，∠A 应该是什么样的角呢？ 生：因为cosA ＞0，所以∠A 应该是锐角． 师：当b 2＋c 2＜a 2时，∠A 应该是什么样的角呢？ 生：因为这时cosA ＜0，所以∠A 应该是钝角．师：对，关于这个问题，我们只要求同学们有初步的理解即可．初步理解后应该记住、会用．现在明确提出当cos θ=0时，θ=90°，θ是直角；当cos θ＞0时，0°＜θ＜90°，θ是锐角当cos θ＜0时，90°＜θ＜180°，θ是钝角．下面请同学们回答下列问题：生：θ等于60°， 等于120°．师：这时θ和 是什么关系？ 生：θ和 是互为补角． 师：再回答下列问题：生：θ1等于45°， 1等于135°，θ1+1=180°；θ2等于30°，2=150°，θ2+2=180°．师：一般说来，当cos θ=-cos 时，角θ与角 是什么关系？生：角θ与角 是互补的两个角．即一个为锐角，一个为钝角，且θ＋=180°．（关于钝角的三角函数还没有定义，所以这里采用从特殊到一般的方法使学生有所理解即可）二、余弦定理的应用例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦．（如图1）师：首先我们要以概念为指导作出这个角，A1B和AD1所成的角是哪一个角？生：因为CD1∥A1B，所以∠AD1C即为A1B与AD1所成的角．师：∠AD1C在△AD1C中，求出△AD1C的三边，然后再用余弦定理求出∠AD1C的余弦．师：我们要再一次明确求异面直线所成的角的三个步骤：第一是以概念为指导作出所成的角；第二是找出这个角所在的三角形；第三是解这个三角形．现在我们再来看例2．例2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠C1BC=45°，∠B1AB=60°．求AB1与BC1所成角的余弦．（如图2）师：在这例中，我们除了首先要以概念为指导作出异面直线所成的角以外，还要注意把所给的特殊角的条件转化为长方体各棱之间的关系，以便于我们用余弦定理．生：因为BC1∥AD1，所以AB1与BC1所成的角即为∠D1AB1．根师：现在我们来看例3．例3 已知正方体的棱长为a，M为AB的中点，N为B1B的中点．求A1M与C1N所成的角的余弦．（如图3）（1992年高考题）师：我们要求A1M与C1N所成的角，关键还是以概念为指导作出这个角，当一次平移不行时，可用两次平移的方法．在直观图中，根据条件我们如何把A1M用两次平移的方法作出与C1N所成的角？生：取A1B1的中点E，连BE，由平面几何可知BE∥A1M1，再取EB1的中点F，连FN由平面几何可知FN∥BE，所以NF∥A1M．所以∠C1NF即为A1M与C1N所成的角．师：还可以用什么方法作出A1M与C1N所成的角？生：当BE∥A1M后，可取C1C中点G，连BG，则BG∥C1N，师：这两种解法都要用两次平移来作出异面直线所成的角，现在我们来看例4．例4 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．（如图4）师：根据异面直线所成的角的概念，再根据长方体的基本性质，如何作出AC1与BD所成的角。

教案：异面直线所成的角求异面直线所成角的手段：空间问题平面化，经过平移把空间角转变为平面角学习目标1娴熟掌握异面直线所成角的定义2掌握求异面直线所成角的方法如何依据定义作出异面直线所成的角是本课的难点教课过程1.知识回首 :异面直线定义： 122.异面直线所成的角：知识研究：异面直线所成的角因为两条订交直线所成的角大小能够胸怀问题：能否能够将异面直线所成的角转变为订交直线所成的角如何转变1复习回首在平面内 , 两条直线订交成四个角 , 此中不大于 90 度的角称为它们的夹角 , 用以刻画两直线的错开程度 , 如图2问题提出在空间 , 如下图 ,正方体ABCD－EFGH中,异面直线AB与HF的错开程度能够如何来刻画呢经过平移把空间角转变为平面角3解决问题思想方法 :平移转变成订交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题1 异面直线所成角的定义:已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O 作直线a′∥ a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的叫做异面直线 a 与 b 所成的角或夹角．思虑 : 这个角的大小与O 点的地点相关吗即O点地点不一样时,这一角的大小能否改变2异面直线所成的角的范围：3异面直线垂直：假如两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 a,b 垂直，记作a b．在正方体 ABCD－EFGH中, 有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线例题剖析1 如图，正方体 ABCD-EFGH 中 ,O 为侧面 ADHE 的中心求 1BE 与 CG 所成的角2FO 与 BD 所成的角总结求异面直线所成的角的步骤是:练习1 如图 , 已知长方体 ABCD-EFGH中, AB =23 , AD = 2 3 , AE = 21求 BC 和 EG 所成的角是多少度2求 AE 和 BG 所成的角是多少度2 如图，在四周体 ABCD 中， E，F 分别是棱 AD ， BC 上的点 ,且AEBF1 ED FC2已知 AB=CD=3 ，EF 3 ,求异面直线AB和CD所成的角3空间四边形 ABCD，已知 AD =1，BD =，且 AD⊥BC，对角线 BD = 13，AC = 3，求 AC 和 BD 所成的角．22。

异面直线复习教案目的：．1．掌握异面直线所成角的概念及求异面直线所成角的常用方法。

２．掌握求角计算题的步骤：“一作，二证，三计算”，思想方法是将空间问题转化为平面问题即“降维”的思想方法３.了解异面直线的公垂线、公垂线段的定义；４．掌握异面直线的距离的概念，并会解决距离的问题过程：一、知识点：1．异面直线所成角：１）定义：设a 、b 是异面直线，过空间任一点O 引，则所成的锐角(或直角)，叫做异面直线a 、b 所成的角.(2)范围： ２、异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线。

３、公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。

４、两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；５、公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；６、两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度。

说明：两条异面直线的距离AB 即为直线a 到平面α的距离。

即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离。

三、相关知识：１、点到平面的距离：２、直线到与它平行平面的距离：b b a ////'，a 'b a ''，ab⎛⎤⎥⎝⎦02π3、两个平行平面的公垂线、公垂线段：4、两个平行平面的距离： ５．正弦定理：a=2RsinA a=2RsinA ；1sin 2ABCS ab C∆=６．余弦定理：222cos 2b c a A bc +-=四、典型例题(一)两异面直线夹角求法例1、在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中， 求异面直线A1B 和B1C 所成的角；和A1B 成角为60例2、在三棱锥A-BCD 中E ，F 分别是AB ，CD 的中点求AD 和BC 所成的角 ∠EMF=120º切记:别忘了角的范围!! 例3：已知正方体ABCD- A1B1C1D1中，棱长为a. 求异面直线AB1与BD1所成角；D A C ADBBDC C1A1例4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.O 为底面中心，F 为DD1中点E 在A1B1上,求AF 与OE 所成的角例5、如图，在三棱锥D －ABC 中， DA ⊥平面ABC ，∠ACB = 90°，∠ABD = 30°，AC = BC ，求异面直线AB 与CD 所成的角的余弦值。

异面直线所成角教案设计●所用教材说明：“异面直线所成角”是人教版高中数学必修2中第二章“点，直线，平面之间的位置关系”2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系中最后一小节内容（46页至47页部分）。

它是立体几何教学的起始阶段，引导学生去积极探索，逐步建构立几的知识体系，异面直线所成角的大小是一种重要的定量计算。

本节内容运用类比的方法，平行变换思想，化归的思想，这些是高考中所要重点考察的内容和数学思想。

本课是在学生初步了解空间两条直线的三种位置关系的基础上进一步研究两异面直线的相关性质。

●教学要求：掌握异面直线所成角的定义和求法学会用平移法求异面直线所成角●教学目标：▲知识掌握目标：认识两条异面直线所成角的概念；并通过讨论使学生掌握求两条异面直线所成角的方法▲能力培养目标：培养学生观察，分析，抽象，概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决问题的能力▲创新培养目标:培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识▲德育目标:通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对空间立体美的感受，激发学生对美好事物的追求●教学重难点：重点是异面直线所成角的定义难点是异面直线所成角的求法●教学方法：师生共同讨论法教学中联系平面图形的知识，联想两相交直线的度量关系——角，利用类比方法引入异面直线所成的角，利用化归思想，通过平移，化空间问题为平面问题。

●教学过程：本节课以“课程引入—建构数学—数学运用—总结提高”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索，讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好的理解数学知识的意义。

而且按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序引导学生从生活实例入手，从分析定义开始，循序渐进地进行探究，有利于学生进行思考。

对学生来说，空间角转化成平面角有一定难度，因此教学中对此进行了重点引导，点拨。

●教师讲解：在平面几何中我们知道，对于两条相交直线，可以用它们交角大小来确定其相互的位置关系；对于两条平行线，可以用它们之间的距离来确定它们之间位置关系。

异面直线所成的角教案教学目标异面直线所成角的概念、范围及应用重难点：异面直线所成角的计算一、 复习.概念判别练习题:1)若a 、b 是异面直线, b 、c 也是异面直线, 则a 、c 位置关系是( )A. 相交、平行或异面B. 平行C. 异面D. 平行或异面2)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。

( )3)空间两条不相交的直线一定是异面直线。

( )4)垂直于同一条直线的两条直线必平行。

( )5)过一点能引且只能引一条直线和已知直线垂直。

( )6)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直。

二、新知探究.异面直线所成的角已知两条异面直线a 、b , 经过空间任一点O, 分别作直线a ' ∥a ，b ' ∥b ，把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 、b 所成的角(或夹角).强调：1)范围 2)与0的位置无关 ；3)为了方便点O 选取应有利于解决问题，可取特殊点(如a 或 b 上）；4）找两条异面直线所成的角，要作平行移动（平行线），把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的角；三、例 1.如图,在正方体A C'中 (1)哪些棱所在直线与直线AA'垂直?(2)求直线BA' 分别和CC' 、 DC' 、AD' 的夹角的度数. (0,]2πθ∈小结：①异面直线所成角的范围②求异面直线所成角的步骤：先作角，再求角。

四、课堂练习如图，在三棱锥A －BCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点， 且EF ＝5，AC ＝6，BD ＝8，则异面直线AC 与BD 的夹角为多少？C'D'A'CA BA B C DE F。

异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角专题复习与提高SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#空间角专题复习●知识梳理一、异面直线所成的角及求法(1)定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角．(2)取值范围：若θ是异面直线a 和b 所成的角，则其取值范围是θ∈(0，π2]，当θ＝π2时，称异面直线a 和b 垂直，记为a ⊥b . (3)求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角形，通过解该三角形而求其大小；二、直线与平面所成的角及求法(1)定义：设l 和α分别表示直线与平面．①若l ∥α或l ?α，则称直线l 和平面α所成的角为0；②若l ⊥α，则称l 与α所成的角为2π；③若l 与α相交，则l 与l 在α内的射影所成的锐角为直线l 与平面α所成的角． (2)取值范围：设θ是直线l 与平面α所成的角，则θ的取值范围是[0,]2π．(3)求法：定义法：探寻直线l 在平面α内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直线l 与平面α所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角．三、二面角及求法(1)定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大小．(2)取值范围：规定二面角的取值范围为[0，π]．(3)求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角●练习提升1．如图，E 、F 分别是三棱锥P －ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案：C2. 已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成的角的正弦值为( )答案：C3.如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B －AC －D 的余弦值为 ( )答案：A4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C 与对角面DD 1B 1B 所成角的大小是 ( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°答案：B5．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，AA 1＝a ，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，则AB 与A 1C 1所成的角为________，AA 1与B 1C 所成的角为________．答案：030，0456. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________； (2)直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角是________； (3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角是________． 答案 (1)45° (2)30° (3)90°7．设直线与平面所成角的大小范围为集合P ，二面角的平面角大小范围为集合Q ，异面直线所成角的大小范围为集合R ，则P 、Q 、R 的关系为( )A ．R ＝P ?QB ．R ?P ?QC ．P ?R ?QD ．R ?P ＝Q 答案：B8．设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝a，∠CBA＝∠CBD＝120°，则AD与平面BCD所成角的大小为( )A．30° B．45°C．60° D．75°解析：作AO⊥CB交CB的延长线于O，连接OD，则OD即为AD在平面BCD内的射影，∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵AO＝OD＝32a，∴∠ADO＝45°.答案：B9. 如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P—BC—A的大小为( )A．60°B．30°C．45°D．15°答案C10．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD，则平面PAB 与平面PCD所成的二面角的度数为( )A．90° B．60°C．45° D．30°解析：∵AB∥CD，∴面PAB与平面PCD的交线l必为过P点与AB平行的直线．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥CD，又CD⊥AD，∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥PD，∴PA⊥l，PD⊥l，即∠APD为所求二面角的平面角，∠APD＝45°.答案：C11．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：①AC ⊥BD ；②△ADC 是正三角形；③AB 与CD 成60°角；④AB 与平面BCD 成60°角．则其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：取BD 的中点O ，则BD ⊥OC ，BD ⊥OA ，得BD ⊥平面AOC ，∴BD ⊥AC ，①正确；cos ADC ＝cos45°·cos45°＝12，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，△ADC 是正三角形，②正确；AB 与CD 成60°角，③正确；AB 与平面BCD 成角∠ABO ＝45°，④错误．答案：C12．如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过顶点B 、D 、C 1作截面，则二面角B －DC 1－C 的平面角的余弦值是________．解析：取C 1D 的中点O ，连接BO 、CO ，则BO ⊥C 1D ，CO ⊥C 1D ， ∴∠BOC 是二面角B －DC 1－C 的平面角．设正方体的棱长为1，则CO ＝22， ∵△BDC 1为正三角形， ∴OB ＝62，且BC ＝1， ∴cos ∠BOC ＝OB 2＋OC 2－BC 22OB ·OC ＝33.答案：3313．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点．则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：取B 1C 1的中点G ，A 1B 1的中点H ，连结FG 、BG 、HG 、EH ，则FG ∥BC 1，且∠EFG 或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得cos ∠EFG ＝－12，故所求角为60°.答案：B14．如图，将Rt △ABC 沿斜边上的高AD 折成120°的二面角C －AD －C ′，若直角边AB ＝43，AC ＝46，则二面角A －BC ′－D 的正切值为( )D ．1解析：∠CDC ′＝120°，过D 作DE ⊥BC ′于E ，连结AE ，则∠AED 即为所求．又知AD ⊥平面BC ′D ，AD ＝42，在△BC ′D 中，由余弦定理求得BC ′＝43，再由面积公式S △BC ′D＝12BC ′·DE ＝12·BD ·C ′D ·sin60°知DE ＝4，∴tan ∠AED ＝ADDE ＝ 2. 答案：A点评：考查二面角的知识，余弦定理及三角形的边角计算．如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键．15．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A —BD —P 的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：如右图所示，过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，连结PE ， 则PE ⊥BD (三垂线定理)，故∠PEA 为二面角P —BD —A 的平面角． 在Rt △BAD 中，AE ＝AB ·AD BD ＝125. 在Rt △PAE 中，tan ∠PEA ＝PA AE ＝33，∴∠PEA ＝30°. 答案：A16．正四棱锥P —ABCD 的两个侧面PAB 与PCD 互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的平面角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析：如图，作BE ⊥PC ，连结DE . ∵△PDC ≌△PBC ，∴DE ⊥PC∴∠DEB 就是二面角D —PC —B 的平面角， ∵O 为DB 的中点，∴∠OEB＝12∠DEB，又∵面PAB⊥面PCD，∴PO＝12AB，在Rt△POC中，OC＝22AB，所以PC＝32AB.∴OE＝12AB·22AB32AB＝66AB.∴tan∠OEB＝22AB66AB＝3，∴∠OEB＝π3，∴∠DEB＝2π3.答案：C17. 如图，在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V—AB—C的度数是________．答案60°18．如图①，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝π2，点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC＝2，MB＝4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直(如图②)．(1)求证：AB∥平面DNC；(2)当DN＝32时，求二面角D－BC－N的大小．解：(1)证明：MB ∥NC ，MB ?平面DNC ，NC ?平面DNC ，∴MB ∥平面DNC . 同理MA ∥平面DNC ，又MA ∩MB ＝M ，且MA 、MB ?平面MAB .⎭⎪⎬⎪⎫∴平面MAB ∥平面NCD AB ?平面MAB ?AB ∥平面DNC . (2)过N 作NH ⊥BC 交BC 延长线于H ， ∵平面AMND ⊥平面MNCB ，DN ⊥MN ， ∴DN ⊥平面MBCN ，从而DH ⊥BC ， ∴∠DHN 为二面角D －BC －N 的平面角． 由MB ＝4，BC ＝2，∠MCB ＝90°知∠MBC ＝60°，CN ＝4－2cos60°＝3，∴NH ＝3sin60°＝332. 由条件知：tan NHD ＝DN NH ＝33，∴∠NHD ＝30°. 19.如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝1，AB ＝2，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．(1)求证：AF ∥平面PEC ；(2)求PC 与平面ABCD 所成的角的正切值； (3)求二面角P －EC －D 的正切值． 解：(1)证明：如图，取PC 的中点O ， 连接OF 、OE ，则FO ∥DC ， 且FO ＝12DC ，∴FO ∥AE ， 又E 是AB 的中点， 且AB ＝DC ， ∴FO ＝AE .∴四边形AEOF 是平行四边形， ∴AF ∥OE . 又OE ?平面PEC ，AF ?平面PEC ，∴AF ∥平面PEC . (2)如图，连接AC ， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PCA 是直线PC 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △PAC 中，tan ∠PCA ＝PA AC＝15＝55， 即直线PC 与平面ABCD 所成的角的正切值为55. (3)如图，作AM ⊥CE ， 交CE 的延长线于M .连接PM ，由三垂线定理得PM ⊥CE ， ∴∠PMA 是二面角P －EC －D 的平面角． 由△AME ∽△CBE 可得AM ＝22， ∴tan ∠PMA ＝PA AM＝ 2.∴二面角P －EC －D 的正切值为 2.20. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝ 3. (1)证明：平面PBE ⊥平面PAB ； (2)求二面角A —BE —P 的大小．(1)证明 如图所示,连接BD ,由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD . 又AB ∥CD ， 所以BE ⊥AB .又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ?平面ABCD ，所以PA ⊥BE . 而PA ∩AB ＝A ， 因此BE ⊥平面PAB . 又BE ?平面PBE ， 所以平面PBE ⊥平面PAB .(2)解 由(1)知，BE ⊥平面PAB ，PB ?平面PAB ， 所以PB ⊥BE .又AB ⊥BE ，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°.故二面角A—BE—P的大小是60°.21．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．解(1)如图(1)，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝ 3.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝2－13＝33.∴∠BAH＝30°.(2)如图(2)，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成角．∵△BCB1∽△ACA1，∴BB1AA1＝B1CCA1＝2，∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝3，∴B1C＝233.∴tan∠BCB1＝BB1B1C＝2233＝3，∴∠BCB1＝60°，∴AB与α所成角为60°.综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成角为30°或60°.22. 如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥ 平面PAC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角并说明理由(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．。