南京邮电大学《高等数学》同步练习册(下)答案修改版.

高等数学下课后习题及答案高等数学下课后习题及答案高等数学作为一门重要的学科，是大多数理工科学生必修的一门课程。

在学习高等数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

本文将为大家介绍一些高等数学下的典型习题及其答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 极限与连续1.1 求极限题目：求极限lim(x→0) [sin(x)/x]答案：由极限的定义可知，lim(x→0) sin(x)/x = 11.2 连续性题目：证明函数f(x) = x^2在区间[-1,1]上连续。

答案：对于任意给定的ε > 0，我们需要找到一个δ > 0，使得当|x - x0| < δ时，有|f(x) - f(x0)| < ε成立。

取δ = ε，当|x - x0| < δ时，有|f(x) - f(x0)| = |x^2 - x0^2| = |x + x0||x - x0| < (|x| + |x0|)|x - x0| < 2|x - x0| < 2δ= 2ε，故函数f(x) = x^2在区间[-1,1]上连续。

2. 导数与微分2.1 求导数题目：求函数f(x) = sin(x) + cos(x)的导数。

答案：f'(x) = cos(x) - sin(x)2.2 微分题目：求函数f(x) = x^2在点x = 2处的微分。

答案：微分df = f'(x)dx = 2xdx，代入x = 2得到df = 4dx。

3. 积分与曲线积分3.1 求不定积分题目：求不定积分∫(x^2 + 3x + 2)dx。

答案：∫(x^2 + 3x + 2)dx = (1/3)x^3 + (3/2)x^2 + 2x + C，其中C为常数。

3.2 求定积分题目：求定积分∫[0,1] (x^2 + 3x + 2)dx。

答案：∫[0,1] (x^2 + 3x + 2)dx = [(1/3)x^3 + (3/2)x^2 + 2x]0^1 = (1/3) + (3/2) + 2 = 11/6。

参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤> (2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续3、(1) 0 (2) 0 7.2 偏导数与全微分 1、(1))sin(xy y - (2)y x xyy x x +++)ln((3))cos()sin(xy yexy(4) 223y x x + (5))2(2x y x exy--(6) dy xe dx xey y----2)232((7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xy y xy z yx++=1)1(2]1)1[l n ()1(xyxyxy xy z yy ++++=3、023=∂∂∂y x z2231y y x z -=∂∂∂7.3 多元复合函数求导法1、(1) z x yxyf 2)(2或 (2)122xyyf xe f ''- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+(5) x x e x x e 221)1(++(6)dy xy x dx y xy )2()2(22-+- 2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'=32f xz f x u y '+'=3f xy u z '=(2) 223221111f yxf y f xy f ''-'-''+' (3)f x f ''+'242 f xy ''4 (4) 212333133sin (cos )(cos )x y x y x y y xf e f e f xf f e +++''''-+'''''+++ 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy --2、z x2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n - 3、3232)1(22---z x z z z4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+''5、(1) )31(2)61(z y z x ++-z x 31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'')21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-' 7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x(2) 422+=++πz y x(3) 223(4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x3、46281272-=-=+z y x4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1) 32(2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab+ 3、34、}1,4,2{211-217.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ， 最小值64)2,4(-=z 。

高等数学（下）习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）s=(2) s==(3) s=(4) s==.5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.s==故s==xs==ys==.5z6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.解：设此点为M（0，0，z），则222222-++-=++--(4)1(7)35(2)z z解得149z=即所求点为M（0，0，149）.7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故△ABC为等腰直角三角形.8. 验证：()()++=++a b c a b c.证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19. 设2,3.u v=-+=-+-a b c a b c 试用a, b, c表示23.u v-解：232(2)3(3)2243935117u v-=-+--+-=-++-+=-+a b c a b ca b c a b ca b c10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A 连接，试以AB=c，BC=a表示向量1D A,2D A,3D A和4D A.解：1115D A BA BD=-=--c a2225D A BA BD=-=--c a3335D A BA BD=-=--c a444.5D A BA BD=-=--c a11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.解：设M的投影为M'，则1Pr j cos604 2.2uOM OM=︒=⨯=12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.解：设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0).13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：（1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模；（3） 12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量.解：（1）12Pr j 3,x x a PP ==12Pr j 1,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-(2) 12(7PP == (3) 12cos 14xa PP α== 12cos 14ya PP β==12cos 14za PP γ==(4) 12012{14PPPP ===-e j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）||==Rcos coscos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c .解：||==a||==b||3==c, , 3. a b c ==a b c e16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .17. 向量r 与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量e r .解：因αβγ==,故23cos 1 α=,cos αα==则{cos ,cos ,cos })r αβγ===++e i j k . 18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.解：设向径OM ={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为，123M M MM = 所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}. 19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标. 解：设P 的坐标为（x , y , z ）,2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+126570cos 6, 749z z γ==⇒==又122190cos 2, 749x x α==⇒==123285cos 3, 749y y β==⇒== 故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 20. 已知a , b 的夹角2π3ϕ=，且3,4a b ==，计算： (1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ). 解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算：（1）a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b )； （3）2||-a b解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b(2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b 222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b 36238499=-⨯+=22. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB 在向量CD 上的投影.解：AB ={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}Pr j CD AB CD AB CD ⋅=4.7==- 23. 设重量为100kg 的物体从点M 1(3, 1, 8)沿直线移动到点M 2（1，4，2），计算重力所作的功（长度单位为m ）.解：取重力方向为z 轴负方向，依题意有f ={0,0, -100×9.8}s = 12M M ={-2, 3,-6}故W = f ·s ={0,0,-980}·{-2,3,-6}=5880 (J)24. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角. 解: (a +3b )·(7a -5b )=227||1615||0+⋅-=a a b b ①(a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-⋅+=a a b b ② 由①及②可得：222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b 又21||02⋅=>a b b ，所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos 23θ==. 25. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M (x , y , z )0{1,1,1}M M x y z =---因0M M n ⊥,故00M M n ⋅=.即2(x -1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x +3y-4z-1=0即为动点M 的轨迹方程.26. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直.证明：以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a －b ,且a +b ={2,4, -2}a-b ={-6,10,14}又(a +b )·(a-b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a +b )⊥(a-b ).27. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求：(1) a ×b ;(2) 2a ×7b ;(3) 7b ×2a ; (4) a ×a .解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k(4) 0⨯=a a .28. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算：(1) |(a ＋b )×(a －b )|；(2) |(3a ＋b )×(a －2b )|.（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a bπ2||||sin 242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin 842=⨯⨯⨯= 29. 求垂直于向量3i-4j-k 和2i-j +k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b平行的单位向量)||⨯==--+⨯a b e i j k a b||sin ||||θ⨯===⨯a b a b . 30. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b =(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦. 解：两对角线向量为13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k因为12|||2610|⨯=++l l i j k12||||==l l 所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l . 即为所求对角线间夹角的正弦.31. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为31(1,1,), (1,3,), (0,1,3)22M N P -- {2,2,2}MN =--3{1,0,}2MP =- {4,4,4}AC =--{2,0,3}BC =- 22222235233100122MN MP ----⨯=++=++--i j k i j k 44444412208033220AC BC ---⨯=++=++--i j k i j k 故 1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 32. 求同时垂直于向量a =(2,3,4)和横轴的单位向量.解：设横轴向量为b =(x ,0,0)则同时垂直于a ，b 的向量为3442230000x x ⨯=++a b i j k =4x j －3x k故同时垂直于a ，b 的单位向量为1(43)||5⨯=±=±-⨯a b e j k a b . 33. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积. 解：设四顶点依次取为A , B , C , D .{0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为111|||542|222S AB AD =⨯=+-=i j k .同理可求其他三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积122S =+. 34. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9)，证：此三点共线.证明：{1,3,4}AB =,{2,6,8}AC =显然2AC AB =则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯=故A ，B ，C 三点共线.35. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程.解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0即3x -2y +6z +2=0.36. 求过点M 0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0即x +7y -3z -59=037. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有121122b b b-++= 得b =2. 故所求平面方程为1424x y z ++= 38. 求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程.解：由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1112121*********x y z --+----+=---+ 化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.39. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形：(1) y =0; (2) 3x -1=0;(3) 2x -3y -6=0; (4) x –y =0;(5) 2x -3y +4z =0.解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图7-2）(2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图7-3)图7-2 图7-3(3) 2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4)(4) x–y=0表示过z轴的平面（如图7-5）(5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.图7-4 图7-5 图7-6 40. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面. 解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0则其法向量为n={A,B,C}已知平面法向量为n1={1,1,-1}过已知两点的向量l={1,1,1}由题知n·n1=0, n·l=0即0,.A B CC A BA B C+-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.41. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）；（2）与平面2x-3y+z=0成π4的角. 解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有 5-4k-2×6=9得k=-4.（2）两平面的法向量分别为n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}且122123π2cos cos||||42514kkθ⋅-====+⋅n nn n解得2k =±42. 确定下列方程中的l 和m :(1) 平面2x +ly +3z -5=0和平面mx -6y -z +2=0平行; (2) 平面3x -5y +lz -3=0和平面x +3y +2z +5=0垂直. 解：（1）n 1={2,l ,3}, n 2={m ,-6,-1}12232,18613l m l m ⇒==⇒=-=--n n (2) n 1={3, -5, l }, n 2={1,3,2}12315320 6.l l ⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n43. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x -y +z -1=0和2x +y +z +1=0的平面.解：设所求平面方程为Ax +By +Cz +D =0 其法向量n ={A ,B ,C }n 1={1,-1,1}, n 2={2,1,1}12203203A C A B C A B C CB ⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n n n n 又（1，－1，1）在所求平面上，故A －B +C +D =0，得D =0故所求平面方程为2033CCx y Cz -++= 即2x -y -3z =044. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n =+-e i j k 45. 求通过下列两已知点的直线方程： （1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）. 解：（1）两点所确立的一个向量为s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 46. 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数方程.解：所给直线的方向向量为12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为：771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩47. 求下列直线与平面的交点：(1)11126x y z-+==-, 2x +3y +z -1=0; (2) 213232x y z +--==, x +2y -2z +6=0. 解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.（2） 直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角：（1）533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和 2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩；（2）2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩解：（1）两直线的方向向量分别为：s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是1212cos 0.2064785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 49. 求满足下列各组条件的直线方程：（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x -y +2z -4=0垂直； （2）过点（0，2，4），且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行； （3）过点（-1，2，1），且与直线31213x y z --==-平行. 解：（1）可取直线的方向向量为s ={3，-1，2}故过点（2，-3，4）的直线方程为234312x y z -+-==- （2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n 1与n 2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量12102{2,3,1}013=⨯==--i j ks n n故过点（0，2，4）的直线方程为24231x y z --==- （3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s ={2，-1，3}故过点（-1，2，1）的直线方程为121213x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）34273x y z++==--和4x -2y -2z =3; （2）327x y z ==-和3x -2y +7z =8;（3）223314x y z -+-==-和x +y +z =3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2，-7，3}平面的法向量n ={4，-2，-2}，所以(2)4(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n于是直线与平面平行.又因为直线上的点M 0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上，因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线23030x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 的平面方程.解：直线的方向向量为12123111-=++-i j ki j k , 取平面法向量为{1，2，3}，故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x +2y +3z =0.52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++= 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3） 故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+= 解得λ=-4.故所求平面方程为2x +15y +7z +7=053. 求点（-1，2，0）在平面x +2y -z +1=0上的投影.解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即s =n ={1，2，-1}所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0 得23t =-于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333- 54. 求点（1，2，1）到平面x +2y +2z -10=0距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =. 故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为1d == 即为点到平面的距离. 55. 求点（3，-1，2）到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量即11133211==-=---ij kn s j k 故过已知点的平面方程为y +z =1.联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-= 即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为2d ==56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为22213(2)14.R =++-=设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.解：设该动点为M (x ,y ,z )，由题意知222222(2)(0)(3) 3.(4)(6)(6)x y z x y z -+-++=-+++-化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：（1）22()()22a a x y -+=; （2）22149x y -+=; （3）22194x z +=; （4）20y z -=; （5）220x y -=; （6）220x y +=. 解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7 图7-8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图7-10.图7-9 图7-10（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11. （6）z 轴，如图7-12.图7-11 图7-12 59. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）222149y z x ++=; （2）22369436x y z +-=; （3）222149y z x --=; （4）2221149y z x +-=; （5）22220x y z -+=; （6）22209z x y +-=. 解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图7-16.图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的椭圆锥面，其中心轴是y 轴，如图7-17. (6) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-18.图7-17 图7-1860. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a(a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0; (3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1. 解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-19，7-20，7-21，7-22所示.图7-19 图7-20图7-21 图7-22 61. 求下列曲面和直线的交点：(1) 222181369x y z ++=与342364x y z --+==-; (2) 22211694x y z +-=与2434x y z +==-. 解：（1）直线的参数方程为334624x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1. 得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1, 得交点坐标为（4，-3，2）.62. 设有一圆，它的中心在z 轴上，半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩ 即为所求圆的方程.63. 建立曲线x 2+y 2=z , z =x +1在xOy 平面上的投影方程. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=. 故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩64. 求曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=z 2在xOy 面上的投影曲线.解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程. (1) 平面x =2; (2) 平面y =0; (3) 平面y =5; (4) 平面z =2.解：（1）截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ⎧==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.66. 求单叶双曲面22211645x y z +-=与平面x -2z +3=0的交线在xOy 平面，yOz 平面及xOz 平面上的投影曲线. 解：以32x z +=代入曲面方程得 x 2+20y 2-24x -116=0.故交线在xOy 平面上的投影为2220241160x y x z ⎧+--=⎨=⎩ 以x =2z -3代入曲面方程，得 20y 2+4z 2-60z -35=0.故交线在yOz 平面上的投影为2220460350y z z x ⎧+--=⎨=⎩ 交线在xOz 平面上的投影为230,0.x z y -+=⎧⎨=⎩习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：(1) {(x ,y )|x ≠0};(2) {(x ,y )|1≤x 2+y 2<4};(3) {(x ,y )|y <x 2};(4) {(x ,y )|(x -1)2+y 2≤1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2≤1}.解：(1)开集、无界集，聚点集：R 2，边界：{(x ,y )|x =0}. (2)既非开集又非闭集，有界集,聚点集：{(x ,y )|1≤x 2+y 2≤4}，边界：{(x ,y )|x 2+y 2=1}∪{(x ,y )| x 2+y 2=4}. (3)开集、区域、无界集，聚点集：{(x ,y )|y ≤x 2}，边界：{(x ,y )| y =x 2}.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，边界：{(x ,y )|(x -1)2+y 2=1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2=1}. 2. 已知f (x ,y )=x 2+y 2-xy tanxy,试求(,)f tx ty . 解：222(,)()()tan(,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty=+-⋅= 3. 已知(,,)w u vf u v w u w+=+,试求(,,).f x y x y xy +-解：f (x +y , x -y , xy ) =(x +y )xy+(xy )x +y +x -y=(x +y )xy +(xy )2x.4. 求下列各函数的定义域：2(1)ln(21);z y x =-+(2)z=+(3)z =(4)u =+(5)z =(6)ln()z y x =-+(7)u =解：2(1){(,)|210}.D x y y x =-+>(2){(,)|0,0}.D x y x y x y =+>->22222(3){(,)|40,10,0}.D x y x y x y x y =-≥-->+≠(4){(,,)|0,0,0}.D x y z x y z =>>> 2(5){(,)|0,0,}.D x y x y x y =≥≥≥ 22(6){(,)|0,0,1}.D x y y x x x y =->≥+< 22222(7){(,,)|0,0}.D x y z x y x y z =+≠+-≥5. 求下列各极限：10y x y →→22001(2)lim;x y x y →→+00x y →→0x y →→00sin (5)lim ;x y xyx →→222222001cos()(6)lim .()e x y x y x y x y +→→-++ 解：(1)原式0ln 2.=(2)原式=+∞. (3)原式=001.4x y →→=-(4)原式=002.x y →→=(5)原式=00sin lim100.x y xyy xy →→⋅=⨯=(6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+6. 判断下列函数在原点O (0，0)处是否连续：33222222sin(),0,(1)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩33333333sin(),0,(2)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩(3) 222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解：(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=，且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O (0,0)处连续. (2)000sin lim lim1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O (0,0)是z 的间断点.(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0，0)点，则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0，0)点，则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0，0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断：(1) f (x ,y )=233x y x y -+;(2) f (x ,y )=2222y xy x +-;(3) f (x ,y )=ln(1－x 2－y 2);(4)f (x ,y )=222e ,0,0,0.x y x y yy -⎧⎪≠⎨⎪=⎩解：(1)因为当y =-x 时，函数无定义，所以函数在直线y =-x 上的所有点处间断，而在其余点处均连续.(2)因为当y 2=2x 时，函数无定义，所以函数在抛物线y 2=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x 2+y 2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x 2+y 2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.(4)因为点P (x ,y )沿直线y =x 趋于O (0,0)时.1200lim (,)lime x x y x xf x y x-→→=→==∞. 故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续. 8. 求下列函数的偏导数：(1)z =x 2y +2xy;(2)s =22u v uv+;(3)z =x(4)z =lntan x y; (5)z =(1+xy )y; (6)u =z xy;(7)u =arctan(x -y )z; (8)y zu x =.解：(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂ (2)u v s v u =+2211,.s v s u u v u v v u∂∂=-=-+∂∂(3)2222212ln(),2z x x x x y x x y ∂==++∂+222.z xy x y y x y ∂==∂+ (4)21122sec csc ,tan z x x x x y y y yy∂=⋅⋅=∂ 222122sec ()csc .tan z x x x x x y y y y yy∂=⋅⋅-=-∂ (5)两边取对数得ln ln(1)z y xy =+故[]221(1)(1)(1).ln(1)1y y y x z y xy xy y xy y xy x xy-∂'=+⋅=+⋅=++∂+[]ln(1)(1)(1)ln(1)1ln(1)(1).1y y y y x z xy yxy xy y xy xy y xy xy xy xy ∂⎡⎤'++=+⋅=++⎢⎥+∂⎣⎦⎡⎤++=+⎢⎥+⎣⎦(6)1ln ln xy xy xy u u uz z y z z x xy z x y z-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂ (7)11221()().1[()]1()z z z z u z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+- 112222()(1)().1[()]1()()ln()()ln().1[()]1()z z z z z zz z u z x y z x y y x y x y u x y x y x y x y z x y x y --∂-⋅--==-∂+-+-∂----==∂+-+-(8)1.yzu y x x z-∂=∂ 2211ln ln .ln ln .y yzzyy z zu x x x x y z zu y y x x x x z z z ∂=⋅=∂∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂⎝⎭9.已知22x y u x y=+，求证：3u u x y u x y ∂∂+=∂∂. 证明： 222223222()2()()u xy x y x y x y xy x x y x y ∂+-+==∂++. 由对称性知 22322()u x y yx y x y ∂+=∂+. 于是 2223()3()u u x y x y x y u x y x y ∂∂++==∂∂+. 10.设11ex y z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，求证：222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 证明： 11112211e e x y x y z x xx ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x ,y 的对称性得1121ex y z y y⎛⎫+- ⎪⎝⎭∂=∂ 故 11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂11.设f (x ,y )=x +(yf x (x ,1) .解：1(,)1(x f x y y y =+- 则(,1)101x f x =+=.12.求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）处的切线与正向x 轴所成的倾角.解：(2,4,5)1,1,2z z x x x ∂∂==∂∂ 设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tan α=1. 故α=π4. 13.求下列函数的二阶偏导数： (1)z =x 4+ y 4-4x 2y 2; (2)z=arctan y x; (3)z =y x ;(4)z =2ex y+.解：(1)2322224812816z z z x xy x y xy x x x y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂ ，， 由x ,y 的对称性知22222128.16.z z y x xy y y x∂∂=-=-∂∂∂ (2)222211zy y xx y x y x ∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2222222222222222222222222222222222222222()022,()()11,12,()()2,()()2.()()z x y y x xyx x y x y z x y x x y y x z xyy x y z x y y y y x x y x y x y z x y x x y x y x x y x y ∂+⋅-⋅=-=∂++∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∂=-∂+∂+-⋅-=-=∂∂++∂+-⋅-=-=∂∂++ (3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂ 21222112111,(1),1ln (1ln ),ln (1ln ).x x x x x x x x z z xy x x y y y z y xy y y x y x y y zy x y y y x y y x-------∂∂==-∂∂∂=⋅+=+∂∂∂=+⋅⋅=+∂∂ (4)22e 2,e ,x y x y z zx x y++∂∂=⋅=∂∂ 222222222e 22e 22e (21),e ,2e ,2e .x y x y x y x y x y x y z x x x xz z z x x y x y y x++++++∂=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂===∂∂∂∂∂14.设f (x ,y ,z )=xy 2+yz 2+zx 2,求(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1).xx yz zzx f f f -解：2(,,)2x f x y z y zx =+22(,,)2,(0,0,1)2,(,,)2(,,)2,(0,1,0)0,(,,)2(,,)2(,,)0,(2,0,1)0.xx xx y yz yz z zz zzx zzx f x y z z f f x y z xy z f x y z z f f x y z yz x f x y z yf x y z f ===+=-==+===15.设z =x ln(xy )，求32z x y ∂∂∂及32zx y ∂∂∂.解：ln()1ln(),z yx xy xy x xy∂=⋅+=+∂ 232223221,0,11,.z y zx xy x x y z x z x y xy y x y y∂∂===∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂16.求下列函数的全微分： (1)22ex y z +=;(2)z =(3)zy u x =; (4)yzu x =.解：(1)∵2222e 2,e 2x y x y z zx y x y++∂∂=⋅=⋅∂∂ ∴222222d 2e d 2e d 2e (d d )x y xy xy z x x y y x x y y +++=+=+(2)∵22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭2223/2()z x yx y ∂==∂+ ∴223/2d (d d ).()xz y x x y x y =--+(3)∵11,ln z z z y y z u u y x x x zy x y--∂∂==⋅⋅∂∂ 2ln ln y z ux x y y z∂=⋅⋅⋅∂ ∴211d d ln d ln ln d .z z zy y z y z u y x x x x zy y x x y y z --=+⋅+⋅⋅⋅(4)∵1yz u y x x z-∂=∂ 1ln yz u x x y z∂=⋅⋅∂ln yz u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭∴121d d ln d ln d .y y yz z z y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分： (1)222,2,1,0.2,0.1;z x xy y x y x y =-+==-∆=∆=- (2)e ,1,1,0.15,0.1.xy z x y x y ===∆=∆=解：(1)22()()()2()9.688 1.68z x x x x y y y y z ∆=+∆-+∆+∆++∆-=-=d (2)(4) 1.6z x y x x y y =-∆+-+∆=(2)()()0.265ee e(e 1)0.30e.x x y y xy z +∆+∆∆=-=-=d e e e ()0.25e xy xy xy z y x x y y x x y =∆+∆=∆+∆=18.利用全微分代替全增量，近似计算： (1) (1.02)3·(0.97)2;(3)(1.97)1.05.解：(1)设f (x ,y )=x 3·y 2，则223(,)3,(,)2,x y f x y x y f x y x y ==故d f (x ,y )=3x 2y 2d x +2x 3y d y =xy (3xy d x +2x 2d y ) 取x =1,y =1,d x =0.02,d y =-0.03，则(1.02)3·(0.97)2=f (1.02,0.97)≈f (1,1)+d f (1,1)d 0.02d 0.03x y ==-=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)设f (x ,y,则(,)(,)x y f x y f x y ===故d (,)d d )f x y x x y y =+取4,3,d 0.05,d 0.07x y x y ====-,则d0.05d0.07(4.05,2.93)(4,3)d(4,3)0.053(0.07)]15(0.01)54.998xyf f f==-=≈+=⨯+⨯-=+⨯-=(3)设f(x,y)=x y,则d f(x,y)=yx y-1d x+x y ln x d y，取x=2,y=1,d x=-0.03,d y=0.05,则1.05d0.03d0.05(1.97)(1.97,1.05)(2,1)d(2,1)20.0393 2.0393.xyf f f=-==≈+=+=19.矩型一边长a=10cm，另一边长b=24cm,当a边增加4mm，而b边缩小1mm时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l，则d d).l l x x y y==+当x=10,y=24,d x=0.4,d y=-0.1时，d0.4240.1)0.062l=⨯-⨯=(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.20. 1mol理想气体在温度0℃和1个大气压的标准状态下，体积是22.4L，从这标准状态下将温度升高3℃，压强升高0.015个大气压，问体积大约改变多少？解：由PV=RT得V=RTP，且在标准状态下，R=8.20568×10-2,ΔV≈d v=-2d dRT Rp TP P+=d dV RP TP P-+222.48.20568100.01530.0911-⨯=-⨯+⨯≈-故体积改变量大约为0.09.21. 测得一物体的体积V=4.45cm3,其绝对误差限是0.01cm3，质量m=30.80g，其绝对误差限是0.01g，求由公式mvρ=算出密度ρ的绝对误差与相对误差.解：当V=4.45，m=30.80,d v=0.01,d m=0.01时,22130.801d d d0.010.014.45 4.450.01330.0133mv mv vρ==-+-⨯+⨯≈=-当v=4.45, m=30.80时30.806.92134.45ρ=≈d 0.00192160.19216%ρρ≈=.22. 求下列复合函数的偏导数或全导数：(1)22,cos ,sin ,z x y xy x u v y u v =-==求z u ∂∂,z v∂∂； （2） z ＝arc tanx y ,x ＝u ＋v ,y ＝u －v ,求z u ∂∂,z v∂∂； （3） ln(e e )xyu =+,y ＝x 3,求d d ux; （4） u ＝x 2＋y 2＋z 2,x ＝e cos tt ,y ＝e sin tt ,z ＝e t,求d d ut. 解：（1）222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z y xy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=-223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z yxy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++ (2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uyx yu v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222111(1)11.x z z x z y y v x v y vyx x y y y x ux y u v -∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y x x x y x y x y x yx x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.23. 设f 具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数： (1)22(,e );xyu f x y =-(2),;x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)().,,u f x xy xyz = 解：(1)12122e 2e .xy xy uf x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂ 1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂ (2)1111u f f x y y∂''=⋅=∂ 121222222211..x u x f f f f y y z y z u y y f f z z z ∂⎛⎫''''-=⋅+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫''=⋅=-- ⎪∂⎝⎭(3)1231231,uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂ 12323330,.uf f x f xz xf xzf yuf xy xyf z∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂∂''=⋅=∂24.设(),,()yz xy xF u u F u x=+=为可导函数，证明： .z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂ 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xyz xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+ 25. 设22()yz f x y =-，其中f (u )为可导函数，验证：211z z zx x y y y∂∂+=∂∂. 证明：∵2222z yf x xyf x f f ''∂⋅=-=-∂, 222(2)2z f y f y f y f y f f ''∂-⋅⋅-+==∂, ∴22222112211z z yf f y f y zx x y y f yf yf f y y ''∂∂++=-+==⋅=∂∂⋅ 26. 22()z f x y =+,其中f 具有二阶导数，求22222,,.z z zx x y y ∂∂∂∂∂∂∂ 解：2,2,z zxf yf x y∂∂''==∂∂ 222222224,224,z f x xf f x f xzxf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂由对称性知，22224.z f y f y∂'''=+∂27. 设f 是c 2类函数，求下列函数的二阶偏导数： (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解：(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂ 2212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,。

南京邮电大学-高数书上的习题答案(下册)南京邮电大学 《高等数学》(下册) 习题参考答案第七章 习题7.12.(1);)()(32⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ (2);)()(23⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ (3);1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ>xyzdv xyzdv (4);)()(2222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++≤++dv z y x dv z y x3. (1);02π≤≤I (2);10036ππ≤≤I(3);33323323ππ≤≤-I 习题7.2 1.(1) ;),(),(4420402⎰⎰⎰⎰-yy x dx y x f dy dy y x f dx 或 (2);),(),(2222220⎰⎰⎰⎰-----y r y r rx r r rdx y x f dy dyy x f dx 或(3) ;),(),(),(22121121121⎰⎰⎰⎰⎰⎰+yyxxdx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx 或(4)222222221411142411142414(,)(,)(,)(,)x x x x x x x x dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy------------+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰或.),(),(),(),(2222222241.11141144124421⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----------------+++y y y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy 2.(1) ;),(110⎰⎰xdy y x f dx (2) ;),(240⎰⎰xx dy y x f dx (3) ;),(21011⎰⎰--x dy y x f dx (4);),(212111⎰⎰+--y y dx y x f dy(5);),(1⎰⎰eey dx y x f dy(6).),(),(arcsin arcsin 10arcsin 201⎰⎰⎰⎰---+yyydx y x f dy dx y x f dy ππ3.(1);320 (2);23π-(3);556 (4);1--e e (5);49(6).12-π 4..3π 5..27 6..6179.(1);)sin ,cos (20⎰⎰bad f d ρρθρθρθπ(2);)sin ,cos (cos 2022⎰⎰-θππρρθρθρθd f d(3) .)sin ,cos (1)sin (cos 0210⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d10.(1);)sin ,cos ()sin ,cos (csc 024sec 040⎰⎰⎰⎰+θππθπρρθρθρθρρθρθρθd f d d f d (2);)(sec 2034⎰⎰θππρρρθd f d(3);)sin ,cos (1)sin (cos 201⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d(4) .)sin ,cos (sec tan sec 40⎰⎰θθθπρρθρθρθd f d 11.(1) ;434a π(2) ;12- (3) ;)1(4-e π (4).6432π12.(1) ;222π+(2);)2(8-ππ(3) ;144a (4)).(3233a b -π 13..42a π14.(1);6π (2) .32π15. (1);2ln 37 (2);21-e (3).21ab π16.(1)提示：作变换;⎩⎨⎧-=+=xy v yx u (2)提示：作变换.⎩⎨⎧+==yx v x u 习题7.3 1.(1) ;),,(111112222⎰⎰⎰+----y x x xdz z y x f dy dx (2);),,(22222221111⎰⎰⎰-+----x y x x x dz z y x f dy dx(3);),,(222111⎰⎰⎰+-y x x dz z y x f dy dx (4).),,(01010⎰⎰⎰-xy xdz z y x f dy dx2. (1);3641 (2));852(ln 21- (3);0 (4);422R h π(5).2π-4. (1) ;81 (2) ;127π (3).316π5. (1) ;54π (2);674a π (3)).(15455a A -π6.直角坐标系 ;),,(22222221111⎰⎰⎰--+----y x y x x x dz z y x f dy dx柱面坐标系 ;),sin ,cos (22120⎰⎰⎰-ρρπρθρθρρθdz z f d d 球面坐标系.sin )cos ,sin sin ,cos sin (2024020⎰⎰⎰dr r r r r f d d ϕϕθϕθϕϕθππ7.(1) ;332π(2) ;233a π (3);6π (4)).455(32-π8. .)(422t f t π 9..4R k π习题7.41..)612655(2a π-+ 2..2π 3..162R5.(1);34,0πb y x ==(2);0,)(222=+++=y b a a ab b x(3);)(8)(3,0,03344⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a A a A (4).43,0,0⎪⎭⎫ ⎝⎛6..796,572==y xI I7. (1) ;384a (2);157,0,02a z y x ===(3) .451126ρa8..])([2,02222h R a R a h G F F F z y x ++-+--===ρπ总习题71.(1) (C); (2) (A); (3) (B); (4) (D); (5) (B),(D).2. (1) ;32π(2) ;0 (3);2π (4);4μ(5) .344R π3.(1);94124R R ππ+ (2).π4. (1) ;3250π (2).328163a π-5..)]0(3[3hf h +π第八章 习题8.11.(1);),(,),(22⎰⎰==Ly Lxds y x x I ds y x y I μμ(2).),(),(,),(),(⎰⎰⎰⎰==LL L L dsy x ds y x y y dsy x ds y x x x μμμμ2. (1);212+n a π (2);)12655(121-+ (3);2)42(-+a e a π(4);)1(232--e (5) ;9 (6).152563a3.质心在扇形的对称轴上且与圆心的距离为ϕϕsina 处. 4..6πk6. (1) ;23a π-(2) ;2π- (3);1514- (4);3233ππa k -(5) ;13 (6) .21 7. (1) ;334 (2) ;11 (3) ;14 (4) .3328.;)(12z z mg - 9..23a π10. (1) ;2),(),(ds y x Q y x P L⎰+ (2);41),(2),(2ds xy x xQ y x P L⎰++(3).)],()1(),(2[2ds y x Q x y x P x x L⎰-+-11. .941),,(3),,(2),,(22ds yx z y x yR z y x xQ z y x P L⎰++++习题8.21. (1) ;8 (2) .3012. (1) ;12 (2) ;0 (3);24a π(4) ;42π (2).6742sin -3. (1) ;25 (2) ;236 (3) ;5 (4) .23-4. (1);2122122y xy x ++ (2);cos cos 22y x x y + (3).12124223y y ye e y x y x +-+习题8.3 1.⎰⎰∑+=.),,()(22dS z y x z y I x μ3. (1) ;313π (2) ;30149π (3).10111π4. (1);614 (2) ;427- (3) ;)(22h aa -π (4).215644a 5.).136(152+π6. (1);10527R π (2);23π (3);21 (4) .81 7.(1) ⎰⎰∑++;)5325253(dS R Q P (2) .4412222⎰⎰∑++++dS yx R yQ xP 8..8π习题8.41. (1) ;23 (2) ;5125a π (3);81π (4);525a π(5).4π2. (1) ;0 (2) ;)62(23a a - (3) .108π3. (1);222z y x ++ (2);)sin(2)sin(2xz xz xy x ye xy -- (3).2x 习题8.5 1. (1);32a π- (2));(2b a a +-π (3);20π-(4) .29- 2. (1);642k j i ++ (2);j i +(3) )]cos()sin(cos [2xz xyz x -i )sin(cos z y -j ]cos )cos([22y x xz z y -+k3. (1) ;0 (2).4-4. (1) ;2π (2) ;12π6. .0总习题8 1. (1) ;12a (2) ;4a π (3) ;4 (4);6π-(5);)(22223γβαπ++R (6);23R π (7) );(C(8) ).(B2.(1);2arctan222222ln )41(3ln 2+--+++ππ(2) ;18π (3) ;0 (4) ;2a π (5).162π3. (1) ;arctan2RH π (2);414h π- (3);2π4. .85. .21 6. .2 7..93,3,3,3max abc W c b a ====ςηξ8. .23 习题9. 1 1. (1)2(1)ln(1)=++n n u n n ; (2)11(1)-+=-n n n u n;(3)1(1)!-=-n n x u n ; (4)1sin (1)-=-n n nx u n.2. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 收敛; (4) 发散.3. (1) 发散; (2) 发散; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 发散.4. 提示：利用数列收敛与其子列收敛之间的关系.5. 提示：21221++=+n n n ss u .习题9. 21. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 收敛.2. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 收敛；(7) 收敛; (8)<b a 时收敛，>b a 时发散，=b a不能确定.3. (1) 收敛; (2) 收敛; (3) 收敛; (4) 发散; (5) 收敛; (6) 收敛.4. (1) 绝对收敛; (2) 条件收敛; (3) 条件收敛; (4) 发散; (5) 条件收敛; (6) 条件收敛.6. 提示：11≤nn ab ab . 7. 211()2≤+n n u u n. 8. 提示：0≤-≤-nnn nc ab a . 9. 提示：≤⋅n nn na ba b .10. 当1<a 时绝对收敛，当1>a 时发散，1=a 时条件收敛，1=-a 时发散. 习题 9. 31. (1) 1,[1,1]=-R ; (2)111,[,]222=-R ; (3)1,[1,1]=-R ; (4) ,(,)=+∞-∞+∞R ; (5)3,[0,6)=R ; (6)1,[1,0)2=-R .2. (1) 11ln (11)21+-<<-x x x; (2)3424(11)(1)-<<-x x x ; (3)32(11)(1)-<<-x x ; (4)ln(1)(11)1---<<-xx x x.3.2()arctan ,[1,1];2=-s x x .4. (1) 4π; (2) 4; (3) ln 22π-; (4)2(1)ππ-+.习题9. 4 1.20cos (1),(,)(2)!∞==-∈-∞+∞∑nnn x x x n .2. (1)210,(,)(21)!+∞=∈-∞+∞+∑n n x x n ; (2)11ln 2(1),(2,2]∞-=+-∈-∑nn nn x x na ; (3)(ln ),(,)!∞=∈-∞+∞∑n nn a x x n ;(4)2121(1)21,(,)(2)!-∞=-+∈-∞+∞∑n n nn x x n ；(5)111(1),(1,1](1)+∞+=-+∈-+∑n n n x x x n n ; (6) 21211(1)211arctan 2,[,]2122-∞-=-+∈--∑n n n n x x n .3. (1)11011()(1),(3,1)23∞++=-+∈-∑n n n n x x ;(2)111(1)(1),(0,2]ln10∞-=--∈∑nn n x x n;(3) 0(1),(,)!∞=-∈-∞+∞∑n n ex x n ;(4) 2211113(1)[())],(,)2(2)!33ππ∞+=-++∈-∞+∞∑n n n n x x x n . 4.(1)1110(1)[1],(1,1)2+∞++=--+∈-∑n n n n x x ;(2)2101(1)(1)(2),(1,3)2∞+=-+-∈∑n n n n x x .5. 21212(2)!(),[1,1]2(21)(!)∞+=+∈-+∑n n n x x x n n ，()2220,2,(0)[(2)!],2 1.2(!)=⎧⎪=⎨=+⎪⎩n k n k f k n k k6.11(),(,)(1)!-∞==∈-∞+∞+∑n n nx f x x n . 7. (1)0.9848; (2)0.9461.习题9. 5 2. (1)11cos(43)cos(41)()[],(21),0,1,2,4341ππ∞=--=-≠+=±±--∑n n x n xf x x k k n n ;(2)121[1(1)]()(1)()(){cos sin },(21),0,1,4πππ-∞=-----+=++≠+=±∑n n n b a a b a b f x nx nx x k k n n2,±; (3) 21212(1)()4cos ,3π+∞=-=+-∞<<+∞∑n n f x nx x n ;(4)33211(1)()[(3cos sin )],(21),0,1,2,69ππππ-∞=--=+-≠+=±±+∑nn e e f x nx n nx x k k n .3. (1) 12124(1)()cos ,[,]41ππππ-∞=-=+∈--∑n n f x nx x n ;(2)221111(1)(1)1(1)(){cos []sin },211ππππππ--∞=+----+---=+++++∑n n nn e e n ne f x nx nx n n n(,)ππ∈-x . 4. 123121(1)6(){(31)[1(1)]}sin ,ππ-∞=-=++---∑n n n f x nx n nn(0,)π∈x .5.211(1)()cos ,[0,]4πππ∞=--=+∈∑nn f x nx x n . 6.121cos ()sin ,(0,)(,)ππ∞=-=∈⋃∑n nhf x nx x h h n ; 12sin ()cos ,[0,)(,)πππ∞==+∈⋃∑n hnhf x nx x h h n .习题9. 61. (1)221(1)12()cos ,(,)4ππ∞=--=+∈-∞+∞∑n n l l n xf x x l n ; (2)112()sin ,,0,1,2,2ππ∞==-≠=±±∑n E E n xf x x kT k n T; (3) 1221111(1)()cos 2,(,)12ππ+∞=-=+∈-∞+∞∑n n f x n x x n .2. (1) 2212(1)()sin sin sin ,[0,)(,]22221ππππ∞=-=+∈⋃-∑n x n n n x l lf x x l l l n ;2211211()cos(cos 1)cos ,[0,)(,]2221ππππππ∞=-=++-∈⋃-∑n xn n x l lf x n x l ll n;(2) 33141(1)()sin ,[0,1]ππ∞=--=∈∑nn f x n x x n ; 221121(1)()cos ,[0,1]6ππ∞=+-=-∈∑nn f x n x x n .3.2222015411()cos(21),[1,1],26(21)πππ∞∞===-+∈-=+∑∑n n f x n x x n n.4. (1)1sin ()12,(0,2)ππ∞==--∈∑n nxf x x n ;(2) 12(1)(1)1()sin ,(0,)πππ∞=---=∈∑n n f x nx x n; (3) 12sin 2(),(0,)2ππ∞=-=-∈∑n nxf x x n ; (4) 112(1)()1sin ,(1,1)ππ+∞=-=-+∈-∑n n f x n x x n.5. 112(1)51sin ,(3,5)ππ+∞=--=-+∈∑n n x n x x n.6. 0(1)51,(3,5)ππ+∞=-∞≠--=-+∈∑n in xn n i x e x n ;7.121()sin cos ,2,0,1,2,τπτπτπ∞==+≠±+=±±∑n E E n n tf t t kl k l n l l.总习题 91. (1) C ; (2) C ; (3) B ; (4) A ; (5) A .2. (1) 8; (2)1,01,0><≤≤p p p ; (3)2=R ;(4)2ln(1),[2,0)(0,2),[2,2),()210;⎧--∈-⋃⎪-=⎨⎪=⎩x x s x x x (5)14-. 3. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 发散; (4) 发散; (5)1>a 时收敛, 01<≤a 时发散;(6)01<<a 时收敛, 1>a 时发散,1=a 且1>k 时收敛, 1=a 且01<≤k 时发散.4. (1) 绝对收敛; (2) 绝对收敛; (3) 条件收敛; (4) 条件收敛.5. 12>k 时收敛, 12≤k 时发散. 6. (1) 11[,)33-; (2) 11(,)-e e; (3) (2,0)-; (4)(1,1)-. 7. (1)111ln arctan (11)412++--<<-x x x x x ;(2)11(1)ln(1),(1,0)(0,1],()0,0,1,1;⎧-++∈-⋃⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩x x x s x x x(3)21(02)(2)-<<-x x x ; (4)2222(22)(2)+-<-x x x .8. (1)1ln 34; (2)2227. 9. (1) 881()(11)∞+=--<<∑nn n xxx ; (2)210(1)(11)421π∞+=-+-≤<+∑n n n x x n .10.3318sin(21)()(0);32(21)πππ∞=-=≤≤-∑n n x f x x n .习题10.11.(1) 1 ； （2）2 ； （3）1 ； （4）2，2.（1）不是； （2）不是； （3）不是； （4）是，4.（1）22(1)4y y '+= ； （2）2220x y xy y '''-+=，5.（1）222xy y+= ； （2）2xy xe =，6.20x yy '+= ， 习题10.2 1.（1）22(1)x y C-+= ； （2）222(1)(1)x y Cx ++=（3）sin cos y x C = ； （4）1010xy C-+=（5）()(1)y C x a ay =+- ； （6）2(1)y x x C+=2.（1）212ln(1)2ln(1)xy e e -=+-+； （2）arctan 4xy eπ-= ；（3）(1)1x y += ； （4）ln tan 2xy =，3.()ln 1f x x =+4.（1）cxy xe =； （2）3()x yy Ce =； （3）tan()y x x C +=+（4）2sin()y x Cx=5.（1）33x y Ce -=； （2）()xy x C e -=+； （3）(ln ln )y x x C =+ （4）2sin 1x C y x +=-； （5）12(1)yx y Ce =+； （6）()x x C y e +=6.（1）x a e ab e y x+-=； （2）1cos xy xπ--=； （3）21y x x =- （4）sin 2sin 1xy e x -=+-7.（1）535(5)2y xCx +=； （2）822931(1)y x C x =-+-； （3）22212x yCe x x =---； （4）3243(12ln )xyx x C-=-+8.（1）21xy e=-； （2）2xy e =-9.（1）是，323x xy y C +-=； （2）是，cos cos y x x y C+=（3）是，2(1)e Cθρ+=10.（1）4242x xy y C+-=； （2）arctan()x x C y=+ （3221arctan xx y Cy++=； （4）2x y C y x=+11.约3.4秒， 13.（1）2321234ln 2x y x C x C x C x C =++++；（2）12()xy C x eC -=-+；（3）1211y C x C=-+； （4）221124(1)()C y C x C -=- 习题10.31.(1) 相关； （2）无关； （3）无关； （4）相关，2.212()x y C C x e =+，3.（1）212xy C x C e -=+ ； （2）212(21)xy C eC x =++5.2212()(1)1y C xx C x =-+-+，6.（1）2211210(21)!!(2)!!(1(1))((1))(2)!!(21)!!kk k k k k k k y C x C x k k +∞+∞+==-=+-+-+∑∑；（2）211(21)!!kk x y k +∞==+-∑，7.（1）2312xxy C eC e -=+； （2）412xy C C e =+（2）(12)(12)12xxy C eC e =+； （4）21233(cossin )22x y e C x C x -=+(5)当0a <时，12ax axy C e C e --=+；当0a =时，12y C C x =+；当0a >时，12y C ax C ax=-+-；(6）当1λ>时，22(1)(1)12x xy C eC e λλλλ-+----=+；当1λ=时，12x xy C e C xe λλ--=+；当1λ<时，2212(11)xy eC x C x λλλ-=-+-；（7）1234cos sin xx y C eC e C x C x-=+++；21xλ- （8）123cos sin y C x C x C =++； （9）1234()cos ()sin y C C x x C C x x=+++；（10）y =21234()()xxC C x eC C x e -+++；（11）2123()axy eC C x C x =++； （12）1234()cos sin x y C C x e C x C x=+++；8.（1）342xxy ee=+； （2）2(2)xy x e -=+； （3）2(42)x y x e -=-；（4）(cos3sin3)xy ex x -=+； （5）1cos sin 2x t t t =+ 9.1cos3sin 33y x x =- ， 10.（1）3122xx y C eC e =++； （2）2121()(1)4x y C C x e x =+++；（3）3212123xy CC e x x x =+---； （4）121cos sin cos 2y C x C x x x =+-；（5）61275cos sin 7474xx y C eC e x x =+++；（6）21233231()sin 2cos 226262xy eC x C x x -=+-++，11.（1）()cos ()sin xy Ae B Cx x D Ex x=++++； （2）4[()cos2()sin 2]xy xeB Cx x D Ex x =+++； （3）2[()(cos2sin 2)]xy e x B Cx D x E x =+++； （4）32[()(cos2sin 2)]xy ex Ax Bx C D x E x =++++；（5）[()cos ()sin ]y x B Cx x D Ex x =+++； （6）2xy A =，12.（1）21122xx y e e x -=---； （2）11cos3cos 248y x x =+； （3）(sin )xy ex x -=-； （4）2sin xy xex=，13.（1）121(ln )y C x C x=+； （2）12ln y C C x ax=++；（3）212(ln )ln y x C x C x x=++； （4）2123(ln )y x C x C C x -=++，14.g x a t a= ； 15.约1.9秒 ，总习题10 1.（3）23222(ln )33x x x C y=-++； （4）2212x y C y-= ；（5）1()C xy x c x C C x -=--； （6）11y x=- ， 2.()1f x x =- 3.()cos sin x x x ϕ=+4.nx Cy = 或ny Cx = 5.22x y Cx+= ，6.（1）21213()164x x y C C x e e -=+++； （2）12cos3cos sin sin 416x xy C x C x x =+--；(3)1211cos 2210x x y C e C e x -=+-+；（4）12cos(3)sin(3)sin(ln )2xy C x C x x =++ ，7.()x ϕ=22121(1)22xx x xC eC e x e ++-，8.1sin 2xx y ee x-=-- 9. 约2.8秒.习题11. 11. (1) 32322Re ,Im ,,arctan 2()13131313313π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z ;(2)3131101Re ,Im ,,arctan 2()22223π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z ; ;(3)7752926Re ,Im 13,13,arctan 2()227ππ=-=-=-+==-+∈z z z i z Argz k k Z ; (4)Re 1,Im 3,13,10,arctan32()π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z .2. 1,11==x y .3. (1)2cos sin 22πππ=+=ii i e ; (2) 1cos sin πππ-=+=ii e ;(3) 6sincoscos()sin()3366πππππ--=-+-=ii i e;(4)422(cos sin )2144πππ---=+-+i i i e i .6. (1)8-i; (2)16316-i; (3)75666121242,2,2πππ-ii i eee;3131,22±i i i . 7. 1.9. (1) 以1为中心，半径为2的圆周； (2)直线3=-x ；(4) 中心在2-i ，半径为1的圆周及其外部区域；(4)不包含实轴的上半平面.10. (1) 直线=y x ；(2)双曲线1=xy ；(3)双曲线1=xy 在第一象限中的一支；(4)抛物线21=+y x .习题11. 21. (1)123,22,8=-=-+=w i w i w i ； (2)0arg π<<w .2. (1)圆周2211()24-+=u v ； (2) 圆周2214+=u v；(3)直线=-v u ； (4) 直线12=u . 3. (1)不存在； (2)0； (3)不存在. 4. (1)处处连续； (2)除=±z i 外处处连续. 习题11. 32. (1) 在直线12=y 上可导，在复平面上处处不解析；(2) 230=x y 上可导，在复平面上处处不解析；(3) 在0=z 点可导，在复平面上处处不解析；(4) 在复平面上处处可导、处处解析. 3. (1) 除=±z i外在复平面上处处解析,222()(1)'=-+z f z z ;(2) 当0≠c 时除=-d z c外在复平面上处处解析, 2()()-'=+ad bc f z cz d ．4.3,1,==-=l n m3()=f z iz ,2()3'=f z iz .习题11. 41. (1) -ei ; 42(1)2e i +; (3)1ch ; (4)sin12cos12ch i sh +.2. (1) 1ln 2(2),24i k k Z ππ++∈; (2)4ln5arctan (21),3i k i k Zπ-++∈; (3)2,k ek Zπ-∈; (4)1(2)4ln 2ln 2(cossin ),22k ei k Z π-+∈.3. (1)k π; (2)2k ππ+; (3) (21)k iπ+; (4)4k ππ-, 这里0,1,2,k =±±. 4. (1) k i π; (2)212k i π+; (3) 1(2)2k iπ+, 这里0,1,2,k =±±.5. ln z 与Lnz 在除原点与负实轴外处处解析，且1()()Lnz lnz z ''==. 6. Lnzw ze αα==对每个单值分支在除原点与负实轴外处处解析，且1()z z ααα-'=.总习题 111. (1) 333333Re ,Im ,2,,222422z z z argz z i π=-====--;(2)充分，必要； (3)C ； (4)2,3,2a b c ==-=；(4) sin 1i ish =, 22()k ii e k Z ππ+-=∈, 1ln(1)ln 224i i π-=-. 2. (1)2(13i ; (2)2222cossin,0,1,2,344k k i k ππππ-+-++=.3. (1)2(22)i±; (2)2468tan ,0,,,,45555i i eααππππα-=.6. ()f z 处处不可导、处处不解析. 8. (1) ln 2(2),3i k k Z ππ++∈; (2) 2e -. 习题12. 12. (1)31(3)3i +；(2)31(3)3i +；(3)31(3)3i +. 3. (1)1566i -+；(2) 1566i -+. 4. (1)i ； (2) 2i .5. (1)4i π； (2) 8iπ. 6. (1)0； (2) 0.习题12. 21. (1) 0； (2) 0； (3) 0； (4) 0.2. 相等；不能利用闭路变形原理.3. 0.4. (1) 0； (2) π.5. i π.6. (1) 0； (2) 1(2)2sh i ππ-； (3) sin1cos1-； (4)2211(tan1tan 11)122th ith -+++.习题12. 32. (1)22e i π；(2)i a π；(3) e π；(4)0；(5) 0；(6) 0；(7)；(8) 12iπ.3. (1) 0；(2) 0,当1α>时；i ie απ-,当1α<时.4. 当α与α-都不在C 的内部时，积分值为0；当α与α-中有一个在C 的内部时，积分值为i π；当α与α-都在C 的内部时，积分值为2i π.习题12. 4 4.2222,()(1)v x xy y C f z i z iC=+-+=++(C 为实数).5. (1)2(1)i z --；(2)2(1)i z iC-+ (C 为实数)；(3)21iz +；(4)ln z C +. 6. 当1p =±时，v 为调和函数；当1p =时,()()z f z e C C R =+∈；当1p =-时,()()z f z e C C R -=-+∈.总习题 121. (1)D ； (2)D ； (3)C ； (4)D ；(5)B .2. (1)0； (2)π； (3)i π； (4)2i π；(5)12i π；(6)64i π.3. (1)0； (2)2i π； (3)ei π-； (4)(2)e i π-. 5.2iπ. 9.12()u C ax by C =++.习题13. 14. (1) 收敛，极限为1-；(2) 收敛，极限为0；；(3) 收敛，极限为0；(4)发散.5. (1) 发散；(2) 发散； (3)绝对收敛； (4)条件收敛.6. (1)2； 2； (3)1； (4)1.习题13. 2 1. (1) i ； (2) 11(1)n n n z ∞-=+∑.2. (1)30(1),1nnn z R ∞=-=∑； (2)11,1n n nzR ∞-==∑； (3)40(1),(2)!nnn z R n ∞=-=∞∑；(4)212121(1),(2)!n nnn z R n -∞=+-=∞∑；(5)210,(21)!n n z R n +∞==∞+∑；(6)20,!nn z R n ∞==∞∑.3. (1)11(1)(1),22n n nn z R -∞=--=∑； (2)211011(1)()(2),323nn n n n z R ∞++=---=∑；(3)10310[(1)],(13)n nn n z i R i ∞+=-+-∑； (4)11(1)(1),1n n n z R n -∞=--=∑.习题13. 3 2. (1)1(1)nn z ∞=---∑,201(1)(2)nn n z ∞+=--∑；(2)1(2)nn n z∞=-+∑,2(1)(1)nnn z ∞=---∑;(3) 23432121211()524816z z z z z z z++-------；(4)11200()(2),(2)()n nn n n n z i i i z i -∞∞++==+-+∑∑； (5)2111()(1),01n n n n n z i z i i -∞-+=--<-<∑；30(1)(1),1()nnn n n i z i z i ∞+=+-<-<+∞-∑； (6) 234111112!3!4!z zz z ---++.习题13. 41. (1)0z =,一级极点；z i =±,二级极点； (2)1z =-,一级极点；1z =,二级极点；(3)0z =,可去奇点； (4)0z =,三级极点；2(1,2,)k z k i k π==±±,一级极点；(5)z i =±,二级极点；(21)(1,2,)kzk i k =+=±,一级极点；(6)0z =,二级极点；,(1,2,)k i k k ππ±±=均为一级极点. 2. (1)z a =,m n+级极点；(2)z a=,当m n >时为m n -级极点，当m n <时为n m -级 极点，当m n =时为可去奇点； (3)z a=为极点，级数为m 、n 中较大者；当m n =时z a =为极点, 级数小于或等于m , 也可能是可去奇点.7. (1)1Re [(),0]2s f z =-，3Re [(),2]2s f z =；(2)4Re [(),0]3s f z =-；(3)1Re [(),0]6s f z =-；(4)Re [(),0]0s f z =，1Re [(),](1),1,2,ks f z k k k ππ=-=±±.8. (1) 0；(2) 24e iπ；(3)2iπ-；(4)2iπ.总习题 131. (1)D ； (2)C ； (3)A ； (4)D ；(5)B .2. (1)0； (2)1,1R z i =-≤；(3)31a -=-；(4)Re [()(),0](0)s f z g z f =；(5)一级极点, 4sin 1Re [,0]6z z s z-=. 3. (1)1e ； (2)1； (3)2； (4)2；2； 24. (1)1111,()ln arctan 412z R s z z z z +==+--； (2) 231,()(4)z R s z z -==-.5. (1)101(1),33n n n z R ∞+=-+=∑； (2)11(1),1n n n z R ∞-=+=∑；(3)210(1)(),(21)!nn n z R n π∞+=---=+∞+∑； (4)21(1),121n n n z R n ∞+=-=+∑.6. (1) 在014z <-<内，11(1)54nn n z z ∞+=-=--∑； 在41z <-<+∞内，10145(1)nn n z z ∞+==--∑；(2) 在12z <<内，1221001()2(1)2nn n n n n z f z z ∞∞+++===--∑∑；在025z <-<内，11101(2)(2)()(1)(2)25n n n nn n i i f z i z z ++∞+=+--=+---∑；(3) 2101(1)sin (1),011(21)!nn n z z z n ∞--=-=--<-<+∞-+∑；(4)1(1),011!z n n e z e z z n -∞=-=-<-<+∞-∑.8. (1)0z =为一级极点，z i =±为二级极点； (2)0z =为三级极点；(3)0z =为可去奇点，1z =为三级极点； (4)1z =为本性奇点，2()kzk i k Z π=∈为一级极点． 9. (1)1Re [,](1)(),cos 22k z s k k k Zz ππππ++=-+∈；(2)42313Re [,]8(1)z s i i z +=-+,42313Re [,]8(1)z s i i z +-=+； (3)1Re [cos,1]01s z=-；(4) 1Re [,0]0s zshz =,11(1)Re [,],1,2,k s k i i k zshz k ππ--==±±.10. m -.11. (1)2i π-； (2)当3m ≥且为奇数时，原式12(1)(2)!n i n π-=-；当3m <或为偶数时，原式0=；(3)12i -； (4)26i π-. 12.. (1)2π； 2(1)a a +.。

数学同步练习册及答案下册苏教版# 数学同步练习册及答案（下册）苏教版## 第一章：数的认识与运算### 1.1 数的基本概念- 知识点梳理：理解自然数、整数、分数、小数等基本数的概念。

- 例题精讲：如何区分奇数与偶数，以及如何进行基本的四则运算。

### 1.2 四则运算- 知识点梳理：掌握加、减、乘、除的运算规则。

- 例题精讲：通过具体例子展示如何进行整数和小数的四则运算。

### 1.3 运算定律- 知识点梳理：介绍加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律。

- 例题精讲：利用运算定律简化计算过程。

## 第二章：代数基础### 2.1 代数式- 知识点梳理：理解代数式的概念，包括单项式和多项式。

- 例题精讲：如何进行代数式的加减法和乘法。

### 2.2 一元一次方程- 知识点梳理：学习解一元一次方程的方法，如移项、合并同类项。

- 例题精讲：通过实例演示解一元一次方程的步骤。

### 2.3 代数式的值- 知识点梳理：理解代数式求值的概念。

- 例题精讲：如何将数值代入代数式并计算结果。

## 第三章：几何初步### 3.1 线段、射线和直线- 知识点梳理：区分线段、射线和直线的特点。

- 例题精讲：如何计算线段的长度。

### 3.2 角的分类- 知识点梳理：介绍锐角、直角、钝角和平角。

- 例题精讲：通过图形展示不同类型角的特点。

### 3.3 三角形的分类- 知识点梳理：学习等边三角形、等腰三角形和一般三角形的特点。

- 例题精讲：如何识别不同类型的三角形。

## 第四章：数据的收集与处理### 4.1 数据的收集- 知识点梳理：了解数据收集的方法，如问卷调查、观察法等。

- 例题精讲：如何设计简单的数据收集问卷。

### 4.2 数据的整理- 知识点梳理：学习数据整理的方法，如制作表格、绘制条形图。

- 例题精讲：通过实例演示数据整理的过程。

### 4.3 数据的分析- 知识点梳理：介绍数据分析的基本方法，如计算平均数、中位数等。

高等数学同步练习册下课后练习题含答案前言高等数学同步练习册下课后练习题含答案是一本旨在帮助学生巩固和提高高等数学知识的练习册。

该练习册包含了大量的练习题和答案，可以帮助学生练习和理解高等数学的概念和技能，提高其高等数学水平。

本文对该练习册进行详细介绍，包括练习册的特点、使用方法以及注意事项等。

练习册特点高等数学同步练习册下课后练习题含答案有以下几个特点：1.练习题内容全面：该练习册覆盖了高等数学中的各个知识点，包括微积分、线性代数、概率论等。

2.练习题数量丰富：该练习册包含了大量的练习题，可以满足不同层次和不同需求的学生的练习需要。

3.练习题难度适中：该练习册的练习题难度从易到难，可以帮助学生逐步掌握和提高高等数学知识。

4.答案详细准确：该练习册的答案详细准确，可以帮助学生自行检查和纠正练习中的错误。

使用方法学生可以根据自身的学习进度和需要，选择适合自己的章节和练习题进行练习。

使用时，可以先独立完成练习题，在完成后再对答案进行比对和纠正错误。

如果有不理解的地方，可以查看相关的高等数学教材或参考相关的网上资料。

建议学生在完成练习后，将所犯的错误及时记录，并加以纠正和改进，以达到持续提高的目的。

注意事项1.在使用该练习册时，建议学生先掌握高等数学基础知识，以免对练习造成过大的困难。

2.学生在完成练习时，应注重时间控制，控制练习用时，以查漏补缺和提高练习效果。

3.学生在使用该练习册时，应注重答案的纠正和思考，以查漏补缺和提高练习效果。

结语高等数学同步练习册下课后练习题含答案是一本帮助学生巩固和提高高等数学知识的练习册。

该练习册内容全面、数量丰富、难度适中，并附有详细准确的答案，是学习高等数学的一份好材料。

希望学生可以认真使用该练习册，提高自己的高等数学水平。

参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y ----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2 ]1)1[l n()1(xy xy xy xy z yy ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx ex x e 221)1(++ (6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223(4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 21 7.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。

大学《高等数学》同步练习册(上)新答案第1章极限与连续1.1 函数1、(1) «Skip Record If...» (2) «Skip Record If...»(3) «Skip Record If...» «Skip Record If...»，«Skip Record If...»(4) 奇函数 (5)«Skip Record If...» (6) «Skip Record If...»(7) «Skip Record If...» (8)«Skip Record If...» «Skip Record If...» (9) «Skip Record If...» (10) «Skip Record If...»2、«Skip Record If...»3、«Skip Record If...» «Skip Record If...»1.2 数列的极限1、(1) D (2) C (3) D1.3 函数的极限1、(1) 充分 (2) 充要3、 11.4 无穷小与无穷大1、(1) D (2) D (3) C (4) C1.5 极限运算法则1、(1) «Skip Record If...» (2) «Skip Record If...» (3) «Skip Record If...» (4) «Skip Record If...» (5) 02、（1）B（2）D3、(1) 0 (2)«Skip Record If...»(3)«Skip Record If...»(4) «Skip Record If...» (5) 1 (6) «Skip Record If...»4、a = 1 b = -11.6 极限存在准则两个重要极限1、(1) 充分 (2) «Skip Record If...»，3 (3) 2 ，«Skip Record If...»(4) 0，«Skip Record If...» (5) «Skip Record If...»，«Skip Record If...»2、(1) «Skip Record If...» (2) «Skip Record If...» (3) «Skip Record If...» (4) 1 (5) «Skip Record If...» (6) «Skip Record If...»1.7 无穷小的比较1、(1) D (2) A (3) B (4) C2、(1) 1 (2) 2 (3) «Skip Record If...» (4) «Skip Record If...» (5) «Skip Record If...» (6) «Skip Record If...»3、e1.8 函数的连续性与间断点1、(1) 充要 (2) «Skip Record If...» (3) 0，«Skip Record If...» (4) 跳跃，无穷，可去2、(1) B (2) B (3) B (4) D3、(1) «Skip Record If...»(2)«Skip Record If...»4、a =1 ，b = 25、 (1)«Skip Record If...»是可去间断点，«Skip Record If...»是无穷间断；(2) «Skip Record If...»是跳跃间断点，«Skip Record If...»是无穷间断点6、«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢1051.10 总习题1、(1) 2 (2) «Skip Record If...» (3) «Skip Record If...» (4)2 (5) 2 «Skip Record If...»(6) 2 (7) «Skip Record If...» (8) 0 «Skip Record If...»(9) 跳跃可去 (10) 22、(1) D (2) D (3) D (4) C (5) D(6) B (7) D (8) D (9) B (10) B (11) B3、（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（元）。

南京邮电大学高数书上的习题答案下册南京邮电大学 《高等数学》(下册) 习题参考答案第七章 习题7.12.(1);)()(32⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ (2);)()(23⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ (3);1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ>xyzdv xyzdv (4);)()(2222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++≤++dv z y x dv z y x3. (1);02π≤≤I (2);10036ππ≤≤I(3);33323323ππ≤≤-I习题7.2 1.(1) ;),(),(4420402⎰⎰⎰⎰-yy x dx y x f dy dy y x f dx 或(2);),(),(2222220⎰⎰⎰⎰-----y r y r rx r r rdx y x f dy dy y x f dx 或(3) ;),(),(),(22121121121⎰⎰⎰⎰⎰⎰+yyxxdx y x f dy dx y x f dy dyy x f dx 或(4)222222221411142411142414(,)(,)(,)(,)x x x x x x x x dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy----------------+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰或.),(),(),(),(2222222241.11141144124421⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----------------+++y y y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy 2.(1) ;),(110⎰⎰xdy y x f dx (2) ;),(240⎰⎰xx dy y x f dx (3) ;),(21011⎰⎰--x dy y x f dx (4);),(212111⎰⎰+--y y dx y x f dy(5);),(1⎰⎰ee ydx y x f dy (6).),(),(arcsin arcsin 1arcsin 201⎰⎰⎰⎰---+yyydx y x f dy dx y x f dy ππ3.(1);320 (2);23π-(3);556 (4);1--e e (5);49(6).12-π 4..3π 5..27 6..6179.(1);)sin ,cos (20⎰⎰bad f d ρρθρθρθπ(2);)sin ,cos (cos 2022⎰⎰-θππρρθρθρθd f d(3) .)sin ,cos (1)sin (cos 021⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d10.(1);)sin ,cos ()sin ,cos (csc 024sec 040⎰⎰⎰⎰+θππθπρρθρθρθρρθρθρθd f d d f d (2);)(sec 2034⎰⎰θππρρρθd f d(3);)sin ,cos (1)sin (cos 201⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d(4) .)sin ,cos (sec tan sec 4⎰⎰θθθπρρθρθρθd f d11.(1) ;434a π(2) ;12- (3);)1(4-e π (4).6432π12.(1) ;222π+(2);)2(8-ππ(3) ;144a (4)).(3233a b -π13..42a π14.(1);6π (2) .32π15. (1);2ln 37 (2);21-e (3).21ab π16.(1)提示：作变换;⎩⎨⎧-=+=xy v yx u (2)提示：作变换.⎩⎨⎧+==yx v x u 习题7.3 1.(1) ;),,(111112222⎰⎰⎰+----y x x xdz z y x f dy dx (2);),,(22222221111⎰⎰⎰-+----x y x x x dz z y x f dy dx(3);),,(222111⎰⎰⎰+-y x x dz z y x f dy dx (4).),,(01010⎰⎰⎰-xy xdz z y x f dy dx2. (1);3641(2));852(ln 21- (3);0 (4);422R h π (5).2π-4. (1) ;81 (2) ;127π (3).316π5. (1);54π (2);674a π (3)).(15455a A -π6.直角坐标系 ;),,(22222221111⎰⎰⎰--+----y x y x x x dz z y x f dy dx柱面坐标系 ;),sin ,cos (22120⎰⎰⎰-ρρπρθρθρρθdz z f d d 球面坐标系.sin )cos ,sin sin ,cos sin (2024020⎰⎰⎰dr r r r r f d d ϕϕθϕθϕϕθππ7.(1) ;332π(2) ;233a π (3);6π (4)).455(32-π8. .)(422t f t π 9..4R k π习题7.41..)612655(2a π-+ 2..2π 3..162R5.(1);34,0πb y x ==(2);0,)(222=+++=y b a a ab b x(3);)(8)(3,0,03344⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a A a A (4).43,0,0⎪⎭⎫ ⎝⎛6..796,572==y xI I7. (1) ;384a (2);157,0,02a z y x ===(3) .451126ρa8..])([2,02222h R a R a h G F F F z y x ++-+--===ρπ总习题71.(1) (C); (2) (A); (3) (B); (4) (D); (5) (B),(D).2. (1) ;32π(2) ;0 (3);2π (4);4μ(5) .344R π3.(1);94124R R ππ+ (2).π4. (1) ;3250π (2).328163a π-5..)]0(3[3hf h +π第八章 习题8.11.(1);),(,),(22⎰⎰==Ly Lxds y x x I ds y x y I μμ(2).),(),(,),(),(⎰⎰⎰⎰==LL L L dsy x ds y x y y dsy x ds y x x x μμμμ。

第7章 微分方程§7.5 可降阶的高阶微分方程一、填空题答：1. 2121ln arctan C x C x x x y +++-= 2.22121C x x e C y x +--= 3．121C xy C e =+二、求微分方程xy ''+y '=0的通解;y =C 1ln x +C 2 .三、求微分方程y 3 y ''+1=0满足初始条件y |x =1=1, y '|x =1=0的特解: 22x x y -=.§7.6 高阶线性微分方程一、判断题1．设y 1(x)，y 2(x)，y 3(x)是某个二阶齐次线性微分方程的三个解，且y 1(x)，y 2(x)，y 3(x).线性无关， 则微分方程的通解为：)()1()()(3212211x y c c x y c x y c y --++= （ √ ） 2．设y 1(x)，y 2(x) 是某个二阶齐次线性微分方程的二个特解，则1122()()y c y x c y x =+ (c 1 ，c 2是任意常数)是该方程的通解。

（ ╳ ） 3．y=c 1x 2+c 2x 2lnx (c 1 ，c 2是任意常数)是方程2340x y xy y '''-+=的通解。

（ √ ） 二、选择题答：1.C 2.C 3.C 4.B§7.7 常系数齐次线性微分方程一、判断题 1．方程y y ''-=的解12,x xy e y e -==线性无关。

（ √ ） 2．二阶常系数齐次线性微分方程任意两个解都线性无关。

（ ╳ ） 3．二阶常系数齐次线性微分方程50y y y '''++=无解。

（ ╳ ） 二、填空题1、y =C 1e x+C 2e-2x2、 t t e C e C x 252251t +=, 3、 y =e -3x (C 1cos2x +C 2sin2x ).4、 y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x5、y =e 2x sin3x三、选择题答：1.B 2.B 3.A 4.C 5.B四、求下列微分方程(1)求微分方程y ''-4y '=0的通解; y =C 1+C 2e 4x .(2)求微分方程y ''-4y '+5y =0的通解; y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x ). (3)求微分方程y (4)-2y '''+y ''=0的通解; y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x .(4)求微分方程4y ''+4y '+y =0, 满足所给初始条件y |x =0=2, y '|x =0=0的特解; )2(21x e y x+=-.§7.8 常系数非齐次线性微分方程一、填空题 答：1、x x xe e C e C y ++=-2211，2、x xe x C x C e y x x 2cos 41)2sin 2cos (21-+=.3、x x x y 2sin 31sin 31cos +-+-= 4、x xx y cos 2sin 21+=二、选择题答：1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D三、求微分方程y ''+3y '+2y =3xe -x 的通解; 原方程的通解为)323(2221x x e e C e C y x x x -++=---四、 求微分方程y ''-3y '+2y =5,满足已给初始条件 y |x =0=1, y '|x =0=2的特解; 原方程的通解为25221++=x x e C e C y . 特解为2527521++-=x x e e y .第12章 无穷级数§12.1 常数项级数的概念与性质一、判断题答：1. √2. √ 3. ×4. ×5. √ 6. √二、填空题答：1. 1/2、3/8 、5/16 2. [（-1）^(n-1)]*[(n+1)/n] 3. [x^(n/2)]*(1/2*n!) 4. 0三、选择题答：1.C 2.A 3.C 4.C四、判定下列级数的收敛性(1) )12)(12(1 751531311⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n ;级数收敛.(2) 6sin 63sin 62sin 6sin ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ππππn .该级数发散.(3) 31 3131313⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n ; 级数发散.§12.2 常数项级数的审敛法一、判断题答：1. √ 2. × 3. √4.√ 5√6. ×7. √8. √9.√二、填空题答：1.P>1 2. {}n s 有界 3. 绝对收敛 4. 收敛5.1lim 0n n n u u u +=⎧⎨>⎩三、选择题答：1. D 2.C 3.D 4.A 5.C四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性: (1) )12(1 51311⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++n ; 级数发散. (4) 2sin 2sin 2sin 2sin32⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nππππ;级数收敛.五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性:(1) 23 2332232133322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n nn ; 级数发散.(2)∑∞=⋅1!2n n nnn ; 级数收敛.六、用根值审敛法判定下列级数的收敛性: (1)∑∞=+1)12(n n n n ; 级数收敛 (2)∑∞=1)(n n na b , 其中a n →a (n →∞), a n, b , a 均为正数.当b <a 时级数收敛, 当b >a 时级数发散.七、判定下列级数是否收敛？如果是收敛的, 是绝对收敛还是 条件收敛？ (1) 4131211⋅⋅⋅+-+-; 此级数是收敛的.条件收敛的. (2)∑∞=---1113)1(n n n n ;解∑∑∞=-∞=--=-111113|3)1(|n n n n n n n .级数收敛, 并且绝对收敛.§12.3 幂级数一、判断题答：1. √ 2. √ 3. √ 4. √ 5. ×二、填空题答：1.[-1/2、1/2] 2. [-1，5) 3. (-1,1) , 11ln 21xx+- 4. 绝对收敛 三、选择题 答：1.D 2.B3D四、求下列幂级数的收敛域: (1)x +2x 2+3x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +nx n + ⋅ ⋅ ⋅; 收敛域为(-1, 1).（2）∑∞=++-11212)1(n n nn x ; 收敛域为[-1, 1].五、利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数: (1)∑∞=-11n n nx ;()S x 21(11)(1)x x =-<<- .(2)⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++- 12 531253n x x x x n . ()S x 11ln (11)21xx x+=-<<-.提示: 由)0()()(0S x S dx x S x-='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.§12.4 函数展开成幂级数一、判断题答：1. √2. × 3. ×二、填空题 1. 答：1.11ln 2(1)2nn nn x n ∞-=+-∑ ，（-2，2 ] 2. 1111()(4)23n n n n x ∞++=-+∑ ，（-6，-2） 3.)( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-+∞=∑x x n x n n n n n ππ 三、选择题答：1.B 2.C 3.C四、将下列函数展开成x 的幂级数, 并求展开式成立的区间:(1)2sh x x e e x --=; 210sh (21)!n n x x n -∞==-∑, x ∈(-∞, +∞).(2)sin 2x ; 212212s i n (1)(2)!n n nn x x n -∞=⋅=-∑x ∈(-∞, +∞).五、将函数xx f 1)(=展开成(x -3)的幂级数. ∑=<<--=nn n n x x x 0)60( )33()1(311.§12.5 函数的幂级数展开式的应用一、填空题1．利用x arctan 的麦克劳林展开式计算dx xxI ⎰=5.00arctan 时要使误差不超过0.001，则计算I 的近似值时，应取级数的前 项和作为近似值。

南京邮电大学 《高等数学》(下册) 习题参考答案第七章 习题7.1 2.(1);)()(32⎰⎰⎰⎰+≥+DD d y x d y x σσ (2);)()(23⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ(3);1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ>xyzdv xyzdv (4);)()(2222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++≤++dv z y x dv z y x3. (1);02π≤≤I (2);10036ππ≤≤I (3);33323323ππ≤≤-I习题7.21.(1);),(),(442042⎰⎰⎰⎰-yy xdx y x f dy dy y x f dx 或(2);),(),(22222200⎰⎰⎰⎰-----y r y r rx r r rdx y x f dy dyy x f dx 或(3);),(),(),(22121121121⎰⎰⎰⎰⎰⎰+yyxxdx y x f dy dx y x f dy dyy x f dx 或(4)11121121(,)(,)(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy ----+++⎰⎰⎰⎰⎰或.),(),(),(),(2222222241.11141144124421⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----------------+++y y y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy2.(1);),(11⎰⎰xdy y x f dx (2);),(24⎰⎰xx dy y x f dx(3);),(21011⎰⎰--x dy y x f dx (4);),(212111⎰⎰+--y y dx y x f dy(5) ;),(1⎰⎰ee y dx y xf dy (6).),(),(arcsin arcsin 1arcsin 201⎰⎰⎰⎰---+yyydx y x f dy dx y x f dy ππ3.(1);320 (2);23π- (3);556 (4);1--e e (5);49 (6).12-π 4. .3π 5. .27 6. .617 9.(1);)sin ,cos (20⎰⎰bad f d ρρθρθρθπ(2);)sin ,cos (cos 2022⎰⎰-θππρρθρθρθd f d(3) .)sin ,cos (1)sin (cos 021⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d10.(1);)sin ,cos ()sin ,cos (csc 024sec 040⎰⎰⎰⎰+θππθπρρθρθρθρρθρθρθd f d d f d(2);)(sec 2034⎰⎰θππρρρθd f d (3);)sin ,cos (1)sin (cos 201⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d(4).)sin ,cos (sec tan sec 40⎰⎰θθθπρρθρθρθd f d11.(1) ;434a π (2);12- (3) ;)1(4-e π (4) .6432π12.(1) ;222π+ (2);)2(8-ππ(3) ;144a (4)).(3233a b -π 13..42a π14.(1);6π (2) .32π 15. (1) ;2ln 37 (2) ;21-e (3) .21ab π16.(1)提示：作变换;⎩⎨⎧-=+=x y v y x u (2)提示：作变换.⎩⎨⎧+==y x v xu习题7.3 1.(1) ;),,(111112222⎰⎰⎰+----y x x x dz z y x f dy dx (2);),,(22222221111⎰⎰⎰-+----x y x x x dz z y x f dy dx(3);),,(222111⎰⎰⎰+-y x x dz z y x f dy dx (4).),,(01010⎰⎰⎰-xy xdz z y x f dy dx2. (1);3641 (2) );852(ln 21- (3) ;0 (4) ;422R h π(5) .2π- 4. (1) ;81 (2) ;127π (3) .316π5. (1) ;54π (2) ;674a π (3) ).(15455a A -π6.直角坐标系 ;),,(22222221111⎰⎰⎰--+----y x y x x x dz z y x f dy dx柱面坐标系 ;),sin ,cos (22120⎰⎰⎰-ρρπρθρθρρθdz z f d d球面坐标系 .sin )cos ,sin sin ,cos sin (224020⎰⎰⎰dr r r r r f d d ϕϕθϕθϕϕθππ7.(1);332π (2) ;233a π (3) ;6π (4) ).455(32-π 8. .)(422t f t π 9..4R k π 习题7.4 1. .)612655(2a π-+ 2. .2π 3. .162R5.(1);34,0πby x == (2);0,)(222=+++=y b a a ab b x (3);)(8)(3,0,03344⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a A a A (4) .43,0,0⎪⎭⎫⎝⎛6..796,572==y x I I 7. (1) ;384a (2) ;157,0,02a z y x === (3) .451126ρa8. .])([2,02222h R a R a h G F F F z y x ++-+--===ρπ 总习题71.(1) (C); (2) (A); (3) (B); (4) (D); (5) (B),(D).2. (1) ;32π (2) ;0 (3) ;2π (4) ;4μ (5) .344R π 3.(1) ;94124R R ππ+ (2).π4. (1);3250π (2).328163a π- 5..)]0(3[3hf h +π 第八章 习题8.1 1.(1);),(,),(22⎰⎰==Ly Lx ds y x x I ds y x y I μμ(2).),(),(,),(),(⎰⎰⎰⎰==LL LL dsy x ds y x y y dsy x ds y x x x μμμμ 2. (1) ;212+n aπ (2);)12655(121-+ (3) ;2)42(-+a e a π(4);)1(232--e (5) ;9 (6) .152563a 3.质心在扇形的对称轴上且与圆心的距离为ϕϕsin a 处. 4..6πk6. (1) ;23a π- (2) ;2π- (3) ;1514-(4) ;3233ππa k - (5) ;13 (6) .217. (1);334 (2) ;11 (3) ;14 (4) .3328. ;)(12z z mg - 9. .23a π10. (1) ;2),(),(ds y x Q y x P L⎰+ (2);41),(2),(2ds xy x xQ y x P L⎰++(3).)],()1(),(2[2ds y x Q x y x P x x L⎰-+-11..941),,(3),,(2),,(22ds yx z y x yR z y x xQ z y x P L⎰++++习题8.21. (1) ;8 (2).301 2. (1) ;12 (2) ;0 (3) ;24a π(4) ;42π (2) .6742sin - 3. (1) ;25 (2) ;236 (3) ;5 (4) .23- 4. (1) ;2122122y xy x ++ (2) ;cos cos 22y x x y + (3) .12124223yy ye e y x y x +-+习题8.3 1. ⎰⎰∑+=.),,()(22dS z y x z y I x μ 3. (1);313π (2) ;30149π (3) .10111π 4. (1) ;614 (2) ;427- (3) ;)(22h a a -π (4) .215644a5. ).136(152+π6. (1) ;10527R π (2) ;23π (3) ;21 (4) .817.(1)⎰⎰∑++;)5325253(dS R Q P (2) .4412222⎰⎰∑++++dS yx R yQ xP8. .8π习题8.4 1. (1);23(2) ;5125a π (3) ;81π (4) ;525a π (5) .4π2. (1) ;0 (2) ;)62(23a a - (3) .108π 3. (1) ;222z y x ++ (2) ;)sin(2)sin(2xz xz xy x ye xy-- (3) .2x习题8.51. (1) ;32a π- (2) );(2b a a +-π (3) ;20π- (4) .29-2. (1) ;642k j i ++ (2) ;j i +(3) )]cos()sin(cos [2xz xy z x -i )sin(cos z y -j ]cos )cos([22y x xz z y -+k 3. (1) ;0 (2) .4- 4. (1) ;2π (2) ;12π 6. .0 总习题81. (1) ;12a (2) ;4a π (3) ;4 (4) ;6π-(5) ;)(22223γβαπ++R (6) ;23R π (7) );(C (8) ).(B2.(1);2arctan 222222ln )41(3ln 2+--+++ππ(2) ;18π (3) ;0 (4) ;2a π (5).162π 3. (1) ;arctan 2RHπ (2) ;414h π- (3) ;2π4. .85. .216. .27..93,3,3,3max abc W c b a ====ςηξ 8..23 习题9. 11. (1) 2(1)ln(1)=++n n u n n ; (2) 11(1)-+=-n n n u n ;(3)1(1)!-=-n n x u n ; (4) 1sin (1)-=-n n nx u n .2. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 收敛; (4) 发散.3. (1) 发散; (2) 发散; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 发散.4. 提示：利用数列收敛与其子列收敛之间的关系.5. 提示：21221++=+n n n s s u .习题9. 21. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 收敛.2. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 收敛；(7) 收敛; (8)<b a 时收敛，>b a 时发散，=b a 不能确定.3. (1) 收敛; (2) 收敛; (3) 收敛; (4) 发散; (5) 收敛; (6) 收敛.4. (1) 绝对收敛; (2) 条件收敛; (3) 条件收敛; (4) 发散; (5) 条件收敛; (6) 条件收敛. 6. 提示：11≤n n a b a b . 7.211()2≤+n u n.8. 提示：0≤-≤-n n n n c a b a . 9. 提示：≤⋅n n n n a b a b .10. 当1<a 时绝对收敛，当1>a 时发散，1=a 时条件收敛，1=-a 时发散. 习题 9. 31. (1) 1,[1,1]=-R ; (2) 111,[,]222=-R ; (3) 1,[1,1]=-R ;(4) ,(,)=+∞-∞+∞R ; (5) 3,[0,6)=R ; (6) 1,[1,0)2=-R .2. (1) 11ln (11)21+-<<-xx x; (2)3424(11)(1)-<<-x x x ; (3)32(11)(1)-<<-x x ; (4) ln(1)(11)1---<<-xx x x.3. ()arctan ,[1,1];=-s x x .4. (1) 4π; (2) 4; (3) ln 22π-; (4) 2(1)ππ-+. 习题9. 41. 20cos (1),(,)(2)!∞==-∈-∞+∞∑nnn x x x n . 2. (1) 210,(,)(21)!+∞=∈-∞+∞+∑n n x x n ; (2) 11ln 2(1),(2,2]∞-=+-∈-∑n n n n x x na ;(3) 0(ln ),(,)!∞=∈-∞+∞∑n nn a x x n ; (4) 2121(1)21,(,)(2)!-∞=-+∈-∞+∞∑n n n n x x n ； (5) 111(1),(1,1](1)+∞+=-+∈-+∑n n n x x x n n ; (6) 21211(1)211arctan 2,[,]2122-∞-=-+∈--∑n n n n x x n .3. (1) 11011()(1),(3,1)23∞++=-+∈-∑nn n n x x ; (2) 111(1)(1),(0,2]ln10∞-=--∈∑nn n x x n ; (3)(1),(,)!∞=-∈-∞+∞∑nn ex x n ;(4) 221111(1)[())],(,)2(2)!33ππ∞+=-++∈-∞+∞∑n n n n x x x n .4. (1) 1110(1)[1],(1,1)2+∞++=--+∈-∑n n n n x x ; (2)211(1)(1)(2),(1,3)2∞+=-+-∈∑n n n n x x .5. 21212(2)!(),[1,1]2(21)(!)∞+=+∈-+∑n n n x x x n n ，()2220,2,(0)[(2)!],2 1.2(!)=⎧⎪=⎨=+⎪⎩n k n k f k n k k6. 11(),(,)(1)!-∞==∈-∞+∞+∑n n nx f x x n .7. (1) 0.9848; (2) 0.9461.习题9. 52. (1) 11cos(43)cos(41)()[],(21),0,1,2,4341ππ∞=--=-≠+=±±--∑n n x n xf x x k k n n ;(2)121[1(1)]()(1)()(){cos sin },(21),0,1,4πππ-∞=-----+=++≠+=±∑n n n b a a b a b f x nx nx x k k n n2,±;(3) 21212(1)()4cos ,3π+∞=-=+-∞<<+∞∑n n f x nx x n ; (4) 33211(1)()[(3cos sin )],(21),0,1,2,69ππππ-∞=--=+-≠+=±±+∑nn e e f x nx n nx x k k n .3. (1) 12124(1)()cos ,[,]41ππππ-∞=-=+∈--∑n n f x nx x n ;(2) 221111(1)(1)1(1)(){cos []sin },211ππππππ--∞=+----+---=+++++∑n n nn e e n ne f x nx nx n n n(,)ππ∈-x .4. 123121(1)6(){(31)[1(1)]}sin ,ππ-∞=-=++---∑n n n f x nx n n n(0,)π∈x .5. 211(1)()cos ,[0,]4πππ∞=--=+∈∑nn f x nx x n .6. 121cos ()sin ,(0,)(,)ππ∞=-=∈⋃∑n nhf x nx x h h n ; 12sin ()cos ,[0,)(,)πππ∞==+∈⋃∑n hnhf x nx x h h n. 习题9. 61. (1) 221(1)12()cos ,(,)4ππ∞=--=+∈-∞+∞∑n n l ln xf x x l n ; (2)112()sin ,,0,1,2,2ππ∞==-≠=±±∑n E E n xf x x kT k n T ;(3) 1221111(1)()cos 2,(,)12ππ+∞=-=+∈-∞+∞∑n n f x n x x n . 2. (1) 2212(1)()sin sin sin ,[0,)(,]22221ππππ∞=-=+∈⋃-∑n x n n n x l lf x x l l l n ;2211211()cos(cos 1)cos ,[0,)(,]2221ππππππ∞=-=++-∈⋃-∑n x n n x l lf x n x l ll n;(2) 33141(1)()sin ,[0,1]ππ∞=--=∈∑nn f x n x x n ;221121(1)()cos ,[0,1]6ππ∞=+-=-∈∑nn f x n x x n . 3. 2222015411()cos(21),[1,1],26(21)πππ∞∞===-+∈-=+∑∑n n f x n x x n n .4. (1) 1sin ()12,(0,2)ππ∞==--∈∑n nxf x x n ; (2) 12(1)(1)1()sin ,(0,)πππ∞=---=∈∑n n f x nx x n;(3) 12sin 2(),(0,)2ππ∞=-=-∈∑n nxf x x n ; (4) 112(1)()1sin ,(1,1)ππ+∞=-=-+∈-∑n n f x n x x n.5. 112(1)51sin ,(3,5)ππ+∞=--=-+∈∑n n x n x x n.6. 0(1)51,(3,5)ππ+∞=-∞≠--=-+∈∑n in xn n i x e x n ;7. 121()sin cos ,2,0,1,2,τπτπτπ∞==+≠±+=±±∑n E E n n t f t t kl k l n l l.总习题 91. (1) C ; (2) C ; (3) B ; (4) A ; (5) A .2. (1) 8; (2) 1,01,0><≤≤p p p ; (3)2=R ;(4) 2ln(1),[2,0)(0,2),[2,2),()210;⎧--∈-⋃⎪-=⎨⎪=⎩x x s x x x (5)14-. 3. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 发散; (4) 发散; (5) 1>a 时收敛, 01<≤a 时发散;(6) 01<<a 时收敛, 1>a 时发散, 1=a 且1>k 时收敛, 1=a 且01<≤k 时发散. 4. (1) 绝对收敛; (2) 绝对收敛; (3) 条件收敛; (4) 条件收敛. 5. 12>k 时收敛, 12≤k 时发散. 6. (1) 11[,)33-; (2) 11(,)-e e; (3) (2,0)-; (4) (1,1)-.7. (1)111ln arctan (11)412++--<<-x x x x x ; (2)11(1)ln(1),(1,0)(0,1],()0,0,1,1;⎧-++∈-⋃⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩x x x s x x x (3)21(02)(2)-<<-x x x ;(4)2222((2)+<-x x x . 8. (1)1ln 34; (2)2227. 9. (1)881()(11)∞+=--<<∑nn n xxx ; (2) 210(1)(11)421π∞+=-+-≤<+∑n n n x x n . 10. 3318sin(21)()(0);32(21)πππ∞=-=≤≤-∑n n x f x x n .习题10.11.(1) 1 ； （2）2 ； （3）1 ； （4） 2 ，2.（1）不是； （2）不是； （3）不是； （4）是，4.（1）22(1)4y y '+= ； （2）2220x y xy y '''-+=， 5.（1）222x y y += ； （2）2xy xe =， 6.20x yy '+= ， 习题10.21.（1）22(1)x y C -+= ； （2）222(1)(1)x y Cx ++= （3）sin cos y x C = ； （4）1010xyC -+=（5）()(1)y C x a ay =+- ；（6）(y x C =2.（1）212ln(1)2ln(1)xy e e -=+-+； （2）arctan 4xy e π-= ；（3）(1)1x y += ；（4）ln tan2xy =， 3.()ln 1f x x =+ 4.（1）cxy xe =；（2）3()x yy Ce=；（3）tan()y x x C +=+（4）2sin()y x C x=5.（1）33x y Ce-=；（2）()xy x C e -=+；（3）(ln ln )y x x C =+（4）2sin 1x C y x +=-； （5）12(1)yx y Ce =+； （6）()x x C y e +=6.（1）x ae ab e y x+-=；（2）1cos xy xπ--=；（3）y x = （4）sin 2sin 1xy ex -=+-7.（1）535(5)2y x Cx +=；（2）82291(1)x C x =-+-； （3）22212xy Cex x =---；（4）3243(12ln )xyx x C -=-+8.（1）21xy e =-；（2）2xy e =-9.（1）是，323x xy y C +-=；（2）是，cos cos y x x y C +=（3）是，2(1)e C θρ+=10.（1）4242x xy y C +-=；（2）arctan()xx C y=+（3arctan xC y=； （4）2x y C y x =+ 11.约3.4秒，13.（1）2321234ln 2x y x C x C x C x C =++++； （2）12()xy C x e C -=-+；（3）1211y C x C =-+；（4）221124(1)()C y C x C -=-习题10.3 1.(1) 相关；（2）无关；（3）无关； （4）相关，2.212()x y C C x e =+， 3.（1）212xy C x C e-=+ ； （2）212(21)xy C e C x =++5.2212()(1)1y C x x C x =-+-+，6.（1）2211210(21)!!(2)!!(1(1))((1))(2)!!(21)!!kk k k k k k k y C x C x k k +∞+∞+==-=+-+-+∑∑； （2）211(21)!!kk x y k +∞==+-∑ ，7.（1）2312x x y C e C e -=+； （2）412xy C C e =+（2）(1(112xxy C e C e =+；（4）212(cossin )22x y eC x C x -=+ (5)当0a <时，12y C C e =+；当0a =时，12y C C x =+；当0a >时，12y C C =+；(6）当1λ>时，((12xxy C e C e λλ--=+；当1λ=时，12x x y C e C xe λλ--=+；当1λ<时，12()x y e C C λ-=+；（7）1234cos sin x xy C e C e C x C x -=+++；（8）123cos sin y C x C x C =++； （9）1234()cos ()sin y C C x x C C x x =+++；（10）y =21234()()x xC C x e C C x e -+++； （11）2123()ax y e C C x C x =++；（12）1234()cos sin xy C C x e C x C x =+++；8.（1）342x xy e e =+；（2）2(2)x y x e-=+；（3）2(42)x y x e-=-；（4）(cos3sin 3)xy e x x -=+； （5）1cos sin 2x t t t =+ 9.1cos3sin 33y x x =- ，10.（1）3122x xy C e C e =++；（2）2121()(1)4xy C C x ex =+++； （3）3212123x y C C e x x x =+---； （4）121cos sin cos 2y C x C x x x =+-；（5）61275cos sin 7474x xy C e C e x x =+++；（6）212231(cossin )sin 2cos 22226262x y eC x C x x x -=+-++， 11.（1）()cos ()sin xy Ae B Cx x D Ex x =++++； （2）4[()cos 2()sin 2]xy xe B Cx x D Ex x =+++； （3）2[()(cos 2sin 2)]xy e x B Cx D x E x =+++； （4）32[()(cos 2sin 2)]xy e x Ax Bx C D x E x =++++； （5）[()cos ()sin ]y x B Cx x D Ex x =+++； （6）2x y A =， 12.（1）21122xx y e e x -=---； （2）11cos3cos 248y x x =+； （3）(sin )x y e x x -=-； （4）2sin xy xe x =，13.（1）121(ln )y C x C x=+；（2）12ln y C C x ax =++；（3）212(ln )ln y x C x C x x =++； （4）2123(ln )y x C x C C x -=++，14.x a = ； 15.约1.9秒 ，总习题101.（3）23222(ln )33x x x C y =-++； （4）2212x y C y-= ；（5）1y C C =； （6）11y x=- ，2.()1f x =- 3.()cos sin x x x ϕ=+4.nx Cy = 或ny Cx = 5.22x y Cx += ， 6.（1）21213()164xx y C C x ee -=+++； （2）12cos3cos sin sin 416x xy C x C x x =+--； (3)1211cos 2210x x y C e C e x -=+-+； （4）12))sin(ln )2x y C x C x x =++ ， 7.()x ϕ=22121(1)22xxx xC e C e x e ++-， 8.1sin 2xx y e e x -=-- 9. 约2.8秒. 习题11. 1 1. (1) 32322Re ,Im ,,arctan 2()131313133π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z ;(2) 31311Re ,Im ,,arctan 2()22223π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z ; ;(3) 7726Re ,Im 13,13,arctan 2()227ππ=-=-=-+==-+∈z z z i z Argz k k Z ;(4) Re 1,Im 3,13,arctan 32()π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z . 2. 1,11==x y . 3. (1)2cos sin22πππ=+=ii i e ; (2) 1cos sin πππ-=+=i i e ;(3) 6sincoscos()sin()3366πππππ--=-+-=ii i e; (4) 42sin )144πππ---=+-+i i i i .6. (1)8-i ; (2)16-i ; 7512124,πππ-ii i ee ; 11,22±i i i . 7. 1.9. (1) 以1为中心，半径为2的圆周； (2)直线3=-x ；(4) 中心在2-i ，半径为1的圆周及其外部区域；(4)不包含实轴的上半平面. 10. (1) 直线=y x ；(2)双曲线1=xy ；(3)双曲线1=xy 在第一象限中的一支； (4)抛物线21=+y x .习题11. 21. (1)123,22,8=-=-+=w i w i w i ； (2)0arg π<<w .2. (1)圆周2211()24-+=u v ； (2) 圆周2214+=u v ； (3)直线=-v u ； (4) 直线12=u . 3. (1)不存在； (2)0； (3)不存在.4. (1)处处连续； (2)除=±z i 外处处连续. 习题11. 32. (1) 在直线12=y 上可导，在复平面上处处不解析；(2) 0=上可导，在复平面上处处不解析； (3) 在0=z 点可导，在复平面上处处不解析； (4) 在复平面上处处可导、处处解析.3. (1) 除=±z i 外在复平面上处处解析, 222()(1)'=-+zf z z ;(2) 当0≠c 时除=-dz c外在复平面上处处解析, 2()()-'=+ad bc f z cz d ．4. 3,1,==-=l n m 3()=f z iz , 2()3'=f z iz . 习题11. 41. (1) -ei ; )i +; (3)1ch ; (4)sin12cos12ch i sh +.2. (1)1ln 2(2),24i k k Z ππ++∈; (2) 4ln 5arctan (21),3i k i k Z π-++∈; (3) 2,k e k Z π-∈; (4) 1(2)4ln 2ln 2(cossin ),22k ei k Z π-+∈. 3. (1) k π; (2) 2k ππ+; (3) (21)k i π+; (4) 4k ππ-, 这里0,1,2,k =±±.4. (1) k i π; (2)212k i π+; (3) 1(2)2k i π+, 这里0,1,2,k =±±.5. ln z 与Lnz 在除原点与负实轴外处处解析，且1()()Lnz lnz z''==. 6. Lnz w z e αα==对每个单值分支在除原点与负实轴外处处解析，且1()z z ααα-'=. 总习题 111. (1) 33333Re ,Im ,,22422z z z argz z i π=-====--; (2)充分，必要； (3)C ； (4)2,3,2a b c ==-=； (4) sin 1i ish =, 22()k ii e k Z ππ+-=∈, 1ln(1)ln 224i i π-=-.2. (1)2(1); (2)2222cossin,0,1,2,344k k i k ππππ-+-++=.3. (1)(22)i ; (2)2468tan,0,,,,45555i i e ααππππα-=. 6. ()f z 处处不可导、处处不解析.8. (1) ln 2(2),3i k k Z ππ++∈; (2) 2e -.习题12. 12. (1)31(3)3i +；(2)31(3)3i +；(3)31(3)3i +.3. (1)1566i -+；(2) 1566i -+. 4. (1)i ； (2) 2i .5. (1)4i π； (2) 8i π.6. (1)0； (2) 0.习题12. 21. (1) 0； (2) 0； (3) 0； (4) 0.2. 相等；不能利用闭路变形原理.3. 0.4. (1) 0； (2) π.5. i π.6. (1) 0； (2) 1(2)2sh i ππ-； (3) sin1cos1-； (4) 2211(tan1tan 11)122th ith -+++. 习题12. 32. (1)22e i π；(2)i a π；(3) eπ；(4)0；(5) 0；(6) 0；(7) 0；(8) 12i π.3. (1) 0；(2) 0,当1α>时；i ie απ-,当1α<时.4. 当α与α-都不在C 的内部时，积分值为0；当α与α-中有一个在C 的内部时，积分值为i π；当α与α-都在C 的内部时，积分值为2i π.习题12. 44. 2222,()(1)v x xy y C f z i z iC =+-+=++(C 为实数).5. (1)2(1)i z --；(2)2(1)i z iC -+ (C 为实数)；(3)21iz +；(4)ln z C +.6. 当1p =±时，v 为调和函数；当1p =时, ()()z f z e C C R =+∈；当1p =-时,()()z f z e C C R -=-+∈.总习题 121. (1)D ； (2)D ； (3)C ； (4)D ；(5)B .2. (1)0； (2)π； (3)i π； (4)2i π；(5)12i π；(6)64i π.3. (1)0； (2)2i π； (3)ei π-； (4)(2)e i π-. 5. 2i π. 9. 12()u C ax by C =++.习题13. 14. (1) 收敛，极限为1-；(2) 收敛，极限为0；；(3) 收敛，极限为0；(4)发散.5. (1) 发散；(2) 发散； (3)绝对收敛； (4)条件收敛.6. (1)2；； (3)1； (4)1.习题13. 21. (1) i ； (2) 11(1)n n n z ∞-=+∑.2. (1)30(1),1nnn z R ∞=-=∑； (2)11,1n n nzR ∞-==∑； (3) 40(1),(2)!nnn z R n ∞=-=∞∑； (4) 212121(1),(2)!n nnn z R n -∞=+-=∞∑；(5)210,(21)!n n z R n +∞==∞+∑；(6) 20,!nn z R n ∞==∞∑. 3. (1) 11(1)(1),22n n n n z R -∞=--=∑； (2)211011(1)()(2),323n n n n n z R ∞++=---=∑；(3) 103[(1)],(13)n n n n z i R i ∞+=-+=-∑； (4) 11(1)(1),1n n n z R n -∞=--=∑. 习题13. 32. (1) 1(1)nn z ∞=---∑, 201(1)(2)nn n z ∞+=--∑；(2) 1(2)nn n z∞=-+∑,2(1)(1)nnn z ∞=---∑;(3) 23432121211()524816z z z z z z z++-------；(4) 112()(2),(2)()n nn n n n z i i i z i -∞∞++==+-+∑∑； (5) 2111()(1),01n n n n n z i z i i -∞-+=--<-<∑； 30(1)(1),1()n nn n n i z i z i ∞+=+-<-<+∞-∑； (6) 234111112!3!4!z z z z ---++.习题13. 41. (1)0z =,一级极点；z i =±,二级极点； (2)1z =-,一级极点；1z =,二级极点； (3)0z =,可去奇点； (4)0z =,三级极点；2(1,2,)k z k i k π==±±,一级极点； (5)z i =±,二级极点；(21)(1,2,)k z k i k =+=±,一级极点；(6)0z =,二级极点；1,2,)k ±=均为一级极点.2. (1)z a =, m n +级极点；(2) z a =,当m n >时为m n -级极点，当m n <时为n m -级 极点，当m n =时为可去奇点； (3) z a =为极点，级数为m 、n 中较大者；当m n =时z a =为极点, 级数小于或等于m , 也可能是可去奇点.7. (1)1Re [(),0]2s f z =-，3Re [(),2]2s f z =；(2)4Re [(),0]3s f z =-；(3)1Re [(),0]6s f z =-；(4)Re [(),0]0s f z =，1Re [(),](1),1,2,ks f z k k k ππ=-=±±.8. (1) 0；(2) 24e i π；(3) 2i π-；(4) 2i π.总习题 131. (1)D ； (2)C ； (3)A ； (4)D ；(5)B .2. (1)0； (2)1,1R z i =-≤；(3)31a -=-；(4)Re [()(),0](0)s f z g z f =；(5)一级极点, 4sin 1Re [,0]6z z s z -=.3. (1)1e ； (2)1； (3)2； (4)2；； 4. (1)1111,()lnarctan 412z R s z z z z +==+--； (2) 231,()(4)z R s z z -==-.5. (1) 101(1),33n n n z R ∞+=-+=∑； (2)11(1),1n n n z R ∞-=+=∑；(3) 210(1)(),(21)!nn n z R n π∞+=---=+∞+∑； (4)21(1),121n n n z R n ∞+=-=+∑. 6. (1) 在014z <-<内，101(1)54nn n z z ∞+=-=--∑； 在41z <-<+∞内，10145(1)n n n z z ∞+==--∑； (2) 在12z <<内，1221001()2(1)2nn n n n n z f z z ∞∞+++===--∑∑；在02z <-<11101(2)(2)()(1)(2)25n n n n n n i i f z i z z ++∞+=+--=+---∑； (3) 2101(1)sin (1),011(21)!nn n z z z n ∞--=-=--<-<+∞-+∑；(4) 1(1),011!z n n e z e z z n -∞=-=-<-<+∞-∑.8. (1)0z =为一级极点，z i =±为二级极点； (2)0z =为三级极点；(3)0z =为可去奇点，1z =为三级极点； (4)1z =为本性奇点，2()k z k i k Z π=∈ 为一级极点．9. (1)1Re [,](1)(),cos 22k z s k k k Z z ππππ++=-+∈； (2)42313Re [,]8(1)z s i i z +=-+, 42313Re [,]8(1)z s i iz +-=+； (3) 1Re [cos ,1]01s z =-； (4) 1Re [,0]0s zshz=, 11(1)Re [,],1,2,k s k i i k zshz k ππ--==±±.10. m -.11. (1)2i π-； (2)当3m ≥且为奇数时，原式12(1)(2)!n i n π-=-；当3m <或为偶数时，原式0=； (3)12i -； (4)26i π-. 12.. (1)2π； .。

大学高等数学下教材答案第一章: 函数与极限1. 函数的概念与性质1.1 概念和表示法1.2 函数的性质2. 一元函数的极限2.1 极限的定义2.2 极限的性质2.3 左极限和右极限3. 数列的极限3.1 数列极限的定义3.2 数列极限的性质3.3 大O记号与渐近性第二章: 导数与微分1. 导数的概念与计算1.1 导数的定义1.2 常见函数的导数计算1.3 高阶导数2. 微分与局部线性化2.1 微分的定义2.2 微分的应用2.3 局部线性化与微分近似3. 隐函数与参数方程的导数3.1 隐函数的导数3.2 参数方程的导数第三章: 微分中值定理与应用1. 微分中值定理1.1 罗尔定理1.2 拉格朗日中值定理1.3 柯西中值定理2. 泰勒公式与泰勒展开2.1 泰勒公式的定义2.2 泰勒展开与泰勒多项式3. 函数的单调性与曲线的凹凸性3.1 函数单调性的判定3.2 曲线凹凸性的判定第四章: 不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本公式1.1 不定积分的定义1.2 基本积分公式1.3 分部积分法2. 定积分的定义与计算2.1 定积分的定义2.2 定积分的性质2.3 计算定积分的方法3. 牛顿—莱布尼茨公式与反常积分3.1 牛顿—莱布尼茨公式3.2 反常积分的收敛与发散第五章: 微分方程1. 常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的定义1.2 解的存在唯一性定理2. 一阶线性微分方程2.1 齐次线性微分方程2.2 非齐次线性微分方程3. 高阶线性微分方程与常系数齐次线性微分方程3.1 高阶线性微分方程3.2 常系数齐次线性微分方程第六章: 多元函数的微分学1. 多元函数的极限与连续性1.1 多元函数的极限1.2 多元函数的连续性2. 多元函数的偏导数与全微分2.1 多元函数的偏导数2.2 多元函数的全微分3. 方向导数与梯度3.1 方向导数的定义3.2 梯度的定义与性质第七章: 重积分1. 二重积分的概念与性质1.1 二重积分的定义1.2 二重积分的性质1.3 二重积分的计算2. 二重积分的应用2.1 几何应用2.2 物理应用3. 三重积分的概念与性质3.1 三重积分的定义3.2 三重积分的性质3.3 三重积分的计算第八章: 曲线积分与曲面积分1. 曲线积分1.1 第一型曲线积分1.2 第二型曲线积分2. 曲面积分2.1 第一型曲面积分2.2 第二型曲面积分3. 格林公式与高斯公式3.1 格林公式3.2 高斯公式第九章: 空间解析几何与向量值函数1. 空间点、直线与平面1.1 三维坐标系1.2 点到直线的距离1.3 直线与平面的位置关系2. 向量值函数与空间曲线2.1 向量值函数的定义与性质2.2 空间曲线的参数方程2.3 弧长与切向量3. 空间曲面与曲面积分3.1 曲面的参数化表示3.2 曲面积分的计算以上是大学高等数学下教材各章节的答案内容概要。

参考答案与提示第7章 重积分7.1 重积分的概念与性质1、214I I =2、⎰⎰⎰⎰+<+DDdxdy y x dxdy y x 2)][ln()ln()1((2)⎰⎰⎰Ω++dv z y x 2222)(≤⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(2223、(1) 364≤≤I (2) ππ10036≤≤I(3)33323323ππ≤≤-I 7.2 二重积分的计算法7.2.1 利用直角坐标计算二重积分1、(1) ⎰⎰x xdy y x f dx 240),(或⎰⎰y y dx y x f dy 4402),((2) ⎰⎰--x x dy y x f dx 1110),( 或 ⎰⎰⎰⎰-+-+y y dx y x f dy dx y x f dy 101101),(),((3)⎰⎰e e ydx y x f dy ),(10(4)⎰⎰+--)1(21)1(2111),(y y dx y x f dy2、(1) 2- (2) 49 (3) 213、274、347.2.2 利用极坐标计算二重积分1、(1)⎰⎰θπρρθρθρθsin 202)sin ,cos (R d f d(2)⎰⎰θθθπρρθρθρθcos 1cos sin 402)sin ,cos (d f d (3)⎰⎰R d d 0320ρρθπ(4)⎰⎰θπρρθcos 10240d d (5)⎰⎰RR d f d 0arctan 0)(tan ρρθθ2、(1) 62π (2) 3R π (3) )12ln 2(4-π3、)43(916-π7.3 三重积分的计算法7.3.1 直角坐标系下三重积分的计算法1、(1) ⎰⎰⎰-xy x dz z y x f dy dx 01010),,((2) ⎰⎰⎰++----1004422),,(22y x x xdz z y x f dy dx(3) ⎰⎰⎰-+----222221341412121),,(x y x x x dz z y x f dy dx2、(1)25(2) 0 (3) π72 7.3.2 柱面坐标系下三重积分的计算法1、(1)⎰⎰⎰RR dz z f d d ρπθρθρρρθ),sin ,cos (020(2)⎰⎰⎰-22433020),sin ,cos (ρρπθρθρρρθdz z f d d(3)⎰⎰⎰112),sin ,cos (dz z f d d θρθρρρθπ2、(1) π8 (2)127π (3) π336 3、π3327.3.3 球面坐标系下三重积分的计算法1、(1)⎰⎰⎰ϕππϕθθϕϕϕθcos 02020,sin sin ,cos sin (sin r r f d ddr r r 2)cos ϕ(2)⎰⎰⎰ϕππϕθθϕϕϕθcos 404020,sin sin ,cos sin (sin r r f d ddr r r 2)cos ϕ(3)⎰⎰⎰12020,sin sin ,cos sin (sin ϕθθϕϕϕθππr r f d ddr r r 2)cos ϕ2、(1) 8π (2) 554R π (3) π153968 (4)10π 7.4 重积分的应用1、22222221a c c b b a ++ 2、π2 3、)34,0(πb4、)45,0,0(R 5、7966、H R μπ4237.5 总 习 题1、(1) π32(2) 0 (3) 0(4)⎰⎰⎰⎰-------+y yy y dx y x f dy dx y x f dy 11101101),(),(222、(1) A (2) B (3) C3、(1) 2301ab (2) 21-e (3) e e 2183-(4) π80 (5) 482ππ- (6) 2494R R ππ+ (7))34(313-πR (8) ))0()((f a f -π 4、提示：⎰=x dt t f x F 0)()( 6、(1) π1531(2) 1652ln -(3) π3256 (4) 548059R π 7、)](3[223t hf h t +π8、)(422t f t π 9、R 32 10、提示：⎰=x dt t f x F 0)()(12、提示：交换积分次序 13、π2316a14、(1) )157,0,0(2a (2) 645112a μ第8章 曲线积分与曲面积分8.1 曲线积分8.1.1 对弧长的曲线积分1、(1)2 (2) π2、(1)2212155+- (2) 2)42(-+a e a π(3) π 3、)0,54(a 4、)382(222222ππk a k a a ++8.1.2 对坐标的曲线积分1、(1) 1556- (2) 13 (3) π2- (4) 32a π- (5) 14 3、⎰Γ-+-ds y x Q x y x P x x )],()1(),(2[28.2 格林公式及其应用1、(1) π18- (2) 4 (3) -2π (4) 42π (5) π2a2、(1) 5 (2) 3cos 42cos 9+3、C y x xy y x +-+-4532344、π283a8.3 曲面积分 8.3.1 对面积的曲面积分1、(1) 434R π (2) 2932(3) )(22h a a -π (4) R H arctan 2π 2、3221R π 3、πμ434a 8.3.2 对坐标的曲面积分 1、(1) π32- (2) 71052R π (3) π23 2、⎰⎰∑++dS R Q P )5325253( *3、218.4 高斯公式 通量与散度1、(1) 3V (2) 2212z xze y x +++ (3) yz x 62- 2、(1)π556a (2) 44h π- (3) 4π 3、108π8.5 斯托克斯公式 环流量与旋度1、(1) ，，)sin(cos )cos()sin(cos (2z y xz xy z x -- (2) (0,0,0) 2、(1) 23R π- (2) 9π (3) )(b a a +-π 3、2π8.6 总 习 题1、(1) a 12 (2) π6- (3))(342224γβαπ++R (4) 0 2、(1) D (2) A (3) D (4) C3、(1) 0 (2) 22a (3) ]22)2[(31230-+t (4) 18π(5) 34 (6) 234ab (7) 351 (8) π162 (9) 0 (10) 当R <1时0 当R >1时π (11) 322)22(a b a ππ-+ (12) π4- 4、21 5、122-+y x6、(1) )(422222c b a R R +++π (2) 415264a (3) 52029a π (4) 34π (5) 2π (6)不包围原点0，包围原点时4π7、 -24 8、π23a - 9、3,3,3c b a ===ςηξ 10、58±=y 11、0 12、(1) 8xy +2y , }3,21,4{22x z yz xz --- (2) 0, }2,2,2{222z xz y yz x xy ---第9章 无穷级数9.1 常数项级数的概念与性质1、(1) 收敛 , 2 (2) 发散2、(1) 发散 (2) 收敛3、(1) 收敛 (2) 发散 (3) 收敛 (4) 发散9.2 常数项级数的审敛法1、(1) 发散 (2) 收敛 (3) 收敛 (4) 收敛(5) 收敛 (6) 当0< a ≤1时发散 当a > 1时收敛 2、(1) 收敛 (2) 收敛 (3) 收敛3、(1) 收敛 (2) 发散 (3) 当b < a 时收敛 当b > a 时发散4、(1) 条件收敛 (2) 绝对收敛 (3) 绝对收敛 (4) 当0< p ≤1时条件收敛 当p > 1时绝对收敛 (5) 条件收敛9.3 幂级数1、(1) R = 1 (-1,1) (2) ),(+∞-∞ (3) 绝对收敛2、(1) ]21,21[- (2) )21,21(-(3) )21,23[-- 3、(1) )1,1(,)1(222-∈-x x x (2) )1,1(,11ln 41arctan 21-∈--++x x x x x9.4 将函数展开成幂级数1、(1) ∑+∞=-+=122)!2(2)2()1(1cos n nnn x x +∞<<∞-x (2) ∑+∞=--+=++2)1()1()1ln()1(n nnnn xx x x 11≤<-x2、n n n n n x x x )3(])92(21[51)1(3210112---=-+∑+∞=++ 51<<x3、∑+∞=---=+1112)1()1(1n n n nx x 11<<-x4、∑+∞=---=-+11212)1()21ln(n nn n x n x x 2121≤<-x5、∑∞+=++-++-=0212])!2()3(3)!12()3([)1(21sin n nn n n x n x x ππ+∞<<∞-x9.5 傅里叶级数1、⎰-πππdx x f )(1⎰-πππnxdx x f cos )(1⎰-πππnxdx x f sin )(1（ ,2,1=n ）2、∑+∞=---+-=12cos )]()1(1[{)(4)(n n nx n b a a b x f ππ π)12(},sin )()1(1+≠+--+k x nx nb a n3、nx n x n n sin 2)1(11∑∞=--=，),(ππ-∈x 4、正弦级数：h x x nx n nhx f n ≠≤<-=∑+∞=且ππ0,sin cos 1 2)(1余弦级数：h x x nx nnhhx f n ≠≤≤+=∑+∞=且πππ0,cos sin2)(19.6 一般周期函数的傅里叶级数1、]1,1[)12cos()12(1425)(122-∈---=∑∞=x x n n x f n ππ2、 正弦级数：)2,0[,2sin )1(411∈-=∑∞=+x xn n x n n ππ余弦级数：]2,0[,2cos ]1)1[(41122∈---=∑+∞=x xn n x n n ππ9.7 总 习 题1、(1) 8 (2) 2 (3) )1ln(x -- )11(<≤-x(4) 2e (5) π43- , π9232-2、(1) B (2) B (3) A (4 )C (5) B3、(1) 发散 (2) 收敛 (3) 当0< a <1时收敛，当a >1时发散，当a =1时，s > 1收敛，0< s ≤1发散4、(1) 绝对收敛 (2) 发散5、(1) )1ln(12222x x x +++ )1,1(-∈x (2) 3)1(2x x - )1,1(-∈x6、(1)2ln 4385- (2) )1sin 1(cos 21+7、(1) 53,)1()1(41)1(4ln )3ln(011≤<--+-+=+∑+∞=++x x n x n n n n(2) 31,)1)(2121()1(34103222<<----=++∑+∞=++x x x x n n n n n8、(1) sin 2)1(11∑+∞=+-=n n nx nx ),0(π∈x (2) ∑+∞=+-+=2)2sin 12cos 1(2n nx nnx n x ππ),0(π∈x 9、∑+∞=---=12)12cos()12(142n x n n x ππ ],0[π∈x ， 82π 10、提示：在x 0 = 0处展开成一阶泰勒级数第10章 常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 一阶微分方程10.2.1 一阶微分方程(一)1、（1）33x Cey -= （2）222)1)(1(Cx y x =++（3）C x x y =++)1(22、(1) Cx xe y = (2) 333yx Ce y =10.2.2 一阶微分方程（二）1、(1) )(C x e y x +=- (2) )1(12+=yCe y x 2、(1) 21x x y -+= (2) 1sin 2sin -+=-x e y x 3、(1) 53525Cx x y +=- (2) C x x y 422)1()1(31-+-+=10.2.3 一阶微分方程（三）1、(1)C y xy x =-+2331 (2) C y x x y =+sin cos(3) C y y x =+22ln (4)C yxy x =+++arctan122 2、(1) 21)(C e x C y x+-=- (2) 21)cos(ln C C x y ++-= 3、(1) xy 11+= (2) 1)1(+-=x e y x 10.3 高阶线性微分方程10.3.1 高阶线性微分方程（一）1、2)(21x e x C C y += 2、1)1()1(221+-+-=x C x C y 3、(1) x x e C e C y 3231-+= (2) x e C C y 421+= (3) )(2221xxx e C e C e y -+=(4) )23sin 23cos(2121x C x C ey x +=- (5) x e x C C y λλ-+==)(,1212时当xxe C e C y )1(2)1(1222,1----+-+=>λλλλλ时当)1sin 1cos (,122212x C x C e y x λλλλ-+-=<-时当(6) x C x C C y sin cos 321++=(7) x x e x C C e x C C y 24321)()(-+++=10.3.2 高阶线性微分方程（二）1、(1) =*y x e dx x b ax Ce x sin )(cos )(++++ (2) =*y ]2sin )(2cos )[(4x d cx x b ax xe x +++ (3) =*y )2sin 2cos ()(2x d x c e b ax e x x x +++ (4)=*y )3sin 3cos ()(323x e x d e c bx ax xe x x ++++(5)=*y x d cx x b ax sin )(cos )(+++2、(1) )1(41)(221x e x C C y x +++= (2) )cos (sin 2121x x e C C y x +-+=- (3) x x e e x C C y 2221161)(-++=3、(1) x x y cos 813cos 241+= (2) )sin (x x e y x -=-4、(1) x x C x C y 212231++=(2))sin(ln 21)]ln 3sin()ln 3cos([21x x x C x C x y ++=10.4 总 习 题1、(1)e e y x +++=11ln 21 (2))sin(x yCe x = (3)2321y Cy x +=(4) xCx x x y +-=-ln 23 (5) C x y x +=arctan(6) C xy y x +=2(7) 212111ln 1C x C C C x y ++-=(8) 1)1(=-y x2、(1) 43161)(2221+++=-x x e e x C C y(2) x x C x C e y x 2cos 263)23sin 23cos (2121++=- 212sin 131+-x(3) (4) x xe y x sin 2=3、1ln )(+=x x f4、x e x f 2)(-=5、)(2x C x y -=6、]1,0[,156)(2∈++-==x x x x f y7、x x xe x x eC e C x 22221)21()(-++=ϕ 8、x xx x f cos 2sin 21)(+=9、 0)(2)(2='+''r f r r f r ，rr f 12)(-= 第11章 复变函数与解析函数11.1 复数及其运算1、(1)133 ， 132- ， i 132133+ ， 1313， 32arctan -(2) 3cos πn ， 3s i n πn ， 3sin 3cos ππn i n - ，1 ，3πn(3) i 1327-- (4))6sin()6cos(ππ-+-i ，i e 6π- (5) i 8- 2、(1) B (2) A (3) C (4 ) D3、)]43sin()43[cos(2ππ-+-i4、)12sin 12(cos 2261260πππi e w i -==- )127sin127(cos22612761πππi ew i +==)45sin 45(cos 2264562πππi ew i +==5、i 31+ 2- i 31-11.2 复数函数1、π<<w arg 02、4122=+v u3、21- 4、除i z ±=外处处连续11.3 解析函数1、(1) 1-n nz (2) 21z-(3) i z 232+ (4) i i ，，0- . 2、(1) D (2) B (3) A (4 ) C3、(1) 仅在21=y 上可导处处不解析 (2) 仅在x y 32±=上可导处处不解析4、3,1,3-==-=n m li z xy x i y x y z f 32323)3()3()(=-+-= i z z f 23)(='11.4 初等函数1、(1) )24(2ln ππk i ++ ⋅⋅⋅±=,1,0k ， 42ln πi+(2) )]2ln 4sin()2ln 4[cos(224-+-+ππππi e k)]2ln 4sin()2ln 4[cos(24-+-πππi e(3) )1(2241i e + (4）2sh 1cos 2ch 2sin i + 2、i k z )22(ππ+= ⋅⋅⋅±±=,2,1,0k11.5 总 习 题1、(1) 23-，23 ， i 2323-- ，223 ， 43π(2) )]65sin()65[cos(4ππ-+-i ， i e π654-(3) 3)12(2arctan 615π-+k ie ⋅⋅⋅=,1,0k (4) 8i -(5) 22y xx e + ， 22yx y+-(6) 0,0,1>>=y x xy (7))22(3ln ππ-+k i ⋅⋅⋅±=,1,0k (8))22(ππ+-k e⋅⋅⋅±=,1,0k2、1=x ，11=y3、k n 4= ⋅⋅⋅±=,1,0k4、i 322-5、i z )22(20-+= i z )22(21++-=6、e ， 3π-7、2 9、仅在0=+x y 上可导处处不解析10、1-=a 1=b 11、处处解析 )1()(z e z f z+='第12章 复变函数的积分12.1 复数函数积分的概念1、(1) i 3266+ (2) i 3266+ (3) i 3266+2、(1)i 6561+- (2)i 6561+-3、)1(32i +12.2 基本积分定理1、02、03、04、05、2sin 21π-6、 22)1(tan 21)(tan 211tan tan -+-i i 12.3 基本积分公式1、(1) i π2 (2)17164i ππ+ （3）aiπ （4）1-e π （5）0 （6）ei π （7）i i cos π- （8）12iπ2、(1) 0 (2) 当1>α时等于0 当1<α时等于i ie απ-12.4 解析函数与调和函数的关系1、C x y xy v ++-=222)2()2()(2222C x y xy i xy y x z f ++-+--=C z i ++=2)1(2、 21)(2222++++-=i y x y y x x z f z 121-= 3、C e z f p z +==)(1时 C e z f p z +=-=-)(1时12.5 总 习 题1、(1) i π2 (2) 0 (3) )21(ae a + (4) 0(5)i π2 (6) 1sin 2i π- (7)2112---ieie ππ (8)!52iπ-2、当α和-α都在C 的外部时为0，当α和-α都在C 的内部时为i π2，当α和-α一个在C 的外部一个在C 的内部时为i π3、2=k C x y xy v ++-=22422222)2()4()222()(z i x y xy i xy y x z f +=+-+--=4、2)211()222(2)(22222+-=-++++-=z i x y xy i xy y x z f第13章 复变函数的级数与留数定理13.1 复变函数项级数1、(1) C (2) D (3) A (4 ) D (5 ) B2、(1)1=R (2)22=R (3)1=R 13.2 泰勒级数1、(1) A (2) D2、(1)∑+∞=-03)1(n nnz1<z (2) ∑+∞=++-011n n n z 1<z3、(1) ∑+∞=++-01)1)(31n nn z 31<+z (2)∑+∞=++---0112)2)(3121()1(n nn n n z 32<-z 13.3 洛朗级数1、(1) B (2) B (3) B2、(1) ∑+∞-=+1)2(n nzn 10<<z(2) ∑+∞-=--2)1()1(n n nz 110<-<z(3)⋅⋅⋅++-+4321111z z z z +∞<<||1z (4) )842(21432⋅⋅⋅-+-zz z +∞<<||2z13.4 留数与留数定理1、(1) A (2) C (3) B (4 ) C (5 ) B (6) A (7) B (8) A (9) D (10) C2、(1) z = 0为一级极点 z = ±i 为二级极点 (2) z = 0为可去奇点(3) z = 0为三级极点 )2,1(,2⋅⋅⋅±±==k i k z k π为一级极点 3、(1) 21]0),([s Re -=z f 23]2),([s Re =z f (2) i i z f 83]),([s Re -= i i z f 83]),([s Re =-(3) ⋅⋅⋅±=+-=++1,0),2()1(]2),([s Re 1k k k z f k ππππ4、(1) i e 24π (2) i π213.5 总 习 题1、(1)1=R 1<-i z (2) m n -， 极 (3) 2 1 (4)121<<R (5) 4 2、(1)C (2) B (3) D (4) C (5 ) B (6 ) B3、∑+∞=++--01)()1()1(n nn n i z i 2<+i z 4、∑+∞=+--=--012)1(341321n n nn z z z +∞<<||3z 5、)2,1(,2,0⋅⋅⋅±±===k k z z k π为可去奇点)2,1,0(,)12(⋅⋅⋅±±=+=k k z k π为一级极点6、(1) i π4- (2) i 2π-高等数学(下)期中模拟试卷(一)一、1. D 2. C 3. C 4. D 5. C二、1. 212.⎰⎰⎰+33020)(ρπρρρθdz z f d d3. 6π4. {1,1,1}5. p > 0三、1. 当0 ≤ λ ≤ e 时绝对收敛，当λ > e 时发散 2. 条件收敛四、)12(32- 五、8π 六、2)133(32a -π 七、8八、428R π-九、 -4π 十、提示：⎰=-b a ydy a b 222 高等数学(下)期中模拟试卷(二)一、1. B 2. C 3. B 4. C 5. D 二、1. 2 2. 29-xy 3. -1 4. }2,2,2{222z xz y yz x xy --- 5. 7三、1. 绝对收敛 2. 条件收敛 四、π)212(ln - 五、π2六、74π七、611- 八、)32,0,0(R 九. -π十、提示：γβαθcos cos cos cos z y x n r r ++=⋅=→→高等数学(下)期末模拟试卷(一)一、1. A 2. B 3. B 4. C 5. B二、1. 4πR 32. -18π3. 83π4. 43π，21-+e e5. 2e 2三、2πi cos1 四、在直线21=x 上可导但处处不解析 五、∑+∞=+022n n n z+∞<<z 2 六、π5512a七、（1） R = 1 (-1,1) （2）)1,1(11ln 21-∈-+x xx八、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<≤-∑+∞=-ππx x nx n n n ,00,sin )1(211九、1. Cx x y +=2 2. 133++=x x y十、x x x e x f x 231)(23+-+=-高等数学(下)期末模拟试卷(二)一、1. A 2. D 3. A 4. D 5. C二、1. π 2. -3 3. )(C e x y x += 4. 052=+'+''y y y 5. -8i 2π-三、1.i π2 2. 0 四、仅在(0,0)点可导但处处不解析五、∑+∞=+--02)1(2)1(n n n nz +∞<-<12z 六、3π- 七、 [-1,1) )1,1[)1ln(-∈--x x ln2八、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<<<≤+∑+∞=h x x h h x nx nh n h n ,21,0,cos sin 21πππ九、x y arcsin = 十、x x x e x x e e x y ----+-=)63(78)(2。

第1章 极限与连续1.1 函数1、(1) x -- (2) ]3,0()0,( -∞ (3) 时，210≤<a a x a -≤≤1，φ时，21>a(4) 奇函数 (5)）（101log 2<<-x x x(6) )1(-≠x x (7) 22+x (8))(x g π2 (9) 1525++⋅x x(10) xe1sin 2-2、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<-==<<=e x e x e x e x e x e x g f 或或1011011)]([ 3、⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<--≤+=262616152)(2x x x xx x x f 4)(max =x f 1.2 数列的极限1、(1) D (2) C (3) D1.3 函数的极限1、(1) 充分 (2) 充要 3、 11.4 无穷小与无穷大1、(1) D (2) D (3) C (4) C1.5 极限运算法则1、 (1) 21-(2) 21(3) ∞ (4) 1- (5) 02、（1）B （2）D3、(1) 0 (2)23x (3)1-(4) 62 (5) 1 (6) 4 4、a = 1 b = -11.6 极限存在准则 两个重要极限1、(1) 充分 (2) ω，3 (3) 2 ，23(4) 0，22t (5) 3e ，2e2、(1) x (2)32(3) 2 (4) 1 (5) 3-e (6) 1-e 1.7 无穷小的比较1、(1) D (2) A (3) B (4) C2、(1) 1 (2) 2 (3) 23- (4) 21- (5) 23 (6) 32-3、e1.8 函数的连续性与间断点1、(1) 充要 (2) 2 (3) 0，32(4) 跳跃 ，无穷 ，可去 2、(1) B (2) B (3) B (4) D3、(1) 1-e (2)21-e4、a =1 ， b = 25、 (1))(2,0Z k k x x ∈+==ππ是可去间断点，)0(≠=k k x π是无穷间断；(2) 0=x 是跳跃间断点，1=x 是无穷间断点 6、e b a ==,01.10 总习题1、(1) 2 (2) },,,max{d c b a (3) 21(4) 2 (5) 2 8-(6) 2 (7)23(8) 0 1- (9) 跳跃 可去 (10) 2 2、(1) D (2) D (3) D (4) C (5) D (6) B (7) D (8) D (9) B (10) B (11) B3、（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=11575115100190100090)(x x x x x p（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=11515115100130100030)60(2x x x x x x xx p P（3）15000=P （元）。

参考答案与提示第7章 向量代数与空间解析几何§7.1 空间直角坐标系1． (1)b=c=0; c=0; 0,0,0>>>c b a . (2)222c b a ++;22b a +; c . (3) )0,0,(a ;),,0(c b (4) ),,(c b a - 2．)2,1,0(-§7.2 向量及其线性运算1．j 2;0};1,2,0{2．(1)向量与x 轴垂直，即平行于yOz 平面 (2) 向量与y 轴垂直，即平行于zOx 平面(3) 向量既与x 轴垂直又与y 轴垂直，即垂直于xOy 平面 32= ,21cos ,22cos ,21cos =-=-=γβα;3,43,32πγπβπα===,}21,22,21{021--=M M §7.3 数量积、向量积、混合积1．(1) 正确 (2) 错误 (3)正确 (4) 正确 (5) 错误 (6) 正确 (7) 错误 2．(1)C (2)C 3．3(1)1(2)2--4．105．提示：作数量积6. 2,2}±--7．(2)683§7.4 平面与直线1．(1)37540x y z -+-= (2)320x y z --= (3)5y =- (4)920y z --= 2．1,1,3-交点坐标为()3．1d =4．(1)两平面平行但不重合 (2)两平面垂直相交。

5.对称式：149710y x z --==，参数式：971104x t y t z t =⎧⎪=+⎨⎪=+⎩6.(1)143215y x z +--== （2）24231y x z --==-7．15(0,1,1),arcsin 19ϕ-=交点为夹角为8．(1)161411650x y z ---= (2)0x y z -+= 9. 024147=++y x§7.5 曲面及其方程1．22224116()(1)()339x y z +++++=2433表示的是以(-,-1,-)为球心,以半径的球面2．（1）绕x 轴：22249()36x y z -+=是一个双叶双曲面 绕y 轴：2224()936x z y +-=是一个单叶双曲面 3(1)表示母线平行于z 轴，准线为xoy 平面上的椭圆22410x y z +=⎧⎨=⎩的椭圆柱面;(2)表示母线平行于x 轴，准线为yoz 平面上的双曲线2210y z x -=⎧⎨=⎩的双曲柱面;(3)表示椭球面; (4)表示单叶双曲面; (5)表示双叶双曲面; (6)表示椭圆抛物面;(7)表示圆锥面.§7.6 空间曲线1．(1) co s sin 0x R t y R t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ , π20≤≤t ;(2)3sin x ty tz t⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩,π20≤≤t .2.221168y x +=3．(1)222(1)90x y x z ++-=⎧⎨=⎩(2)223600z x y +-=⎧⎨=⎩4. (1) 0,122=≤+z y x ; (2) 0,222=≤+z y x .总习题七1．(1)D (2)B (3)B (4)C (5)B (6)D (7) D 2．(1)6-, (2) 23-,(3) }1,0,1{-, (4) d =, (5) 2=y ,(6) }2,2,1{, (7) )724,72,71(--, (8)334231--=-=-z y x ,(9)1, (10)224x y z +=；225x y z ++=;2240x y z +=⎧⎨=⎩3. 30±4.d =5. 111011y x z l --- ==：　6. 111-=-=-z y x第8章 多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念1、(1)}14),{(22≥+y x y x (2)}1),{(<+y x y x (3)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (4)连续 (5)x y =22、提示：kx y =令3、(1) 41-(2) 0§8.2 偏导数1.(1) 1-; (2) 2e π2. (1)yxy x y z y x yxz 2csc2,2csc22-=∂∂=∂∂; (2)xyyxy z yx ++=1)1(2, ]1)1[ln()1(xyxy xy xy z y y ++++=3.22222)(2y x xy xz +=∂∂, 222222)(y x xy yx z +-=∂∂∂,22222)(2y x xy yz+-=∂∂4.(1)r zz r r y y r r x xr =∂∂=∂∂=∂∂,,, (2)322223222232222,,rz r zr ry r yr rx r xr -=∂∂-=∂∂-=∂∂§8.3 全微分及其应用1. (1)dx 2 (2) 0.25e2. (1) ))(cos(xdy ydx xy dz += (2) )ln ln (1ydz xy xzdy ydx yz y du xz ++=-§8.4 多元复合函数求导法1、(1) 212f xe f y xy '+'- (2) 12+'ϕx (3) t t t 232423-+2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'=, 32f xz f x u y '+'=, 3f xy u z '=;(2) f x f z xx''+'=''242, f xy z xy ''=''4 (3)2231122121f yx f xy f yf yx z ''-''+'-'=∂∂∂ 3. z xyxyf 2)(2或§8.5 隐函数的求导公式1、yx y x -+ 2、zx 2sin 2sin -, zy 2s i n 2s i n -3、322224)()2(xy zy x xyz zz --- 4、 2121F y F x dy F z dx F z dz '+''+'=§8.6 多元函数的极值及其应用1、极小值2)1,21(e f -=-2. 4)1,2(,64)2,4(==-==f M f m3.两直角边边长为l 21时，周长最大.4. 140,90==y x总习题八1、(1) }10),{(22<+<y x y x ϕϕ''+'+''y f y(2) 1 (3)232)43(1123t t t-+- (4) )(2dy dx e +(5) 既非充分也非必要，充分，必要2、(1) B (2) C (3) A (4) D (5) B3、 2331213sin cos cos sin f y e f x e f x y f e y x y x y x ''-''+''-'+++ 33)(2f e y x ''++ 4.θθsin cos yu x u r u ∂∂+∂∂=∂∂,θθθcos )sin (r yu r xu u ⋅∂∂+-⋅∂∂=∂∂5、)2()2(222122112221f e f ye x f y x f e y x x f x xy xy xy''+''+''+'++' 6. 222yx e--7. yz xy z y z z x zx z+=∂∂+=∂∂2，,3222)(z x zx z +-=∂∂8. ϕϕϕϕ''+=∂∂'-=∂∂xy xz y y z x y xy x z322，9.3232)1(22---z x zz z11. 8)2,0(,0)0,0(====f M f m12. 338abc13.359m ax +=d 359m i n -=d14. 最近点)21,21,21(-，距离为632， 最远点)21,21,21(--，距离为63415.(1) 25.1,75.021==x x (2) 5.1,021==x x16.(1) 7,5,10,42211====P Q P Q 时有最大利润52=L ； (2) 4,5,82121====Q Q P P 时有最大利润49=L ，实行价格差别策略时利润较大.。

参考答案与提示 第8章 多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念1、(1)}14),{(22≥+y x y x (2)}1),{(<+y x y x (3)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (4)连续 (5)x y =2 2、提示：kx y =令 3、(1) 41-(2) 0 §8.2 偏导数1.(1) 1-; (2) 2e π2. (1)yx y x y z y x y x z 2csc 2,2csc 22-=∂∂=∂∂; (2)xyy xy z yx ++=1)1(2, ]1)1[ln()1(xy xy xy xy z y y ++++= 3. 22222)(2y x xy x z +=∂∂, 222222)(y x x y y x z +-=∂∂∂, 22222)(2y x xyy z +-=∂∂ 4.(1)rzz r r y y r r x x r =∂∂=∂∂=∂∂,,,(2)322223222232222,,rz r z r r y r y r r x r x r -=∂∂-=∂∂-=∂∂ §8.3 全微分及其应用1. (1)dx 2 (2) 0.25e2. (1) ))(cos(xdy ydx xy dz +=(2) )ln ln (1ydz xy xzdy ydx yz y du xz ++=-§8.4 多元复合函数求导法1、(1) 212f xe f y xy '+'- (2) 12+'ϕx (3) t t t 232423-+2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'=, 32f xz f x u y '+'=, 3f xy u z '=;(2) f x f z xx ''+'=''242, f xy z xy ''=''4(3) 2231122121f yxf xy f y f y x z ''-''+'-'=∂∂∂ 3. z xy xyf 2)(2或§8.5 隐函数的求导公式1、y x y x -+ 2、z x 2sin 2sin -, zy2s i n 2s i n - 3、322224)()2(xy z y x xyz z z ---4、 2121F y F x dyF z dx F z dz '+''+'=§8.6 多元函数的极值及其应用1、极小值2)1,21(ef -=-2. 4)1,2(,64)2,4(==-==f M f m3.两直角边边长为l 21时，周长最大. 4. 140,90==y x总习题八1、(1) }10),{(22<+<y x y x ϕϕ''+'+''y f y(2) 1 (3) 232)43(1123t t t -+- (4) )(2dy dx e + (5) 既非充分也非必要，充分，必要2、(1) B (2) C (3) A (4) D (5) B3、 2331213sin cos cos sin f y e f x e f x y f e y x y x y x ''-''+''-'+++ 33)(2f e y x ''++ 4.θθsin cos y ux u r u ∂∂+∂∂=∂∂, θθθcos )sin (r yu r x u u ⋅∂∂+-⋅∂∂=∂∂ 5、)2()2(222122112221f e f ye x f y x f e y x x f x xyxy xy ''+''+''+'++' 6. 222y x e--7. yz xy z y z z x z x z +=∂∂+=∂∂2，,3222)(z x z x z +-=∂∂8. ϕϕϕϕ''+=∂∂'-=∂∂xy xz y y z x y xy x z 322， 9. 3232)1(22---z x z z z11. 8)2,0(,0)0,0(====f M f m12.338abc13.359max +=d 359m i n -=d14. 最近点)21,21,21(-，距离为632， 最远点)21,21,21(--，距离为63415.(1) 25.1,75.021==x x (2) 5.1,021==x x 16.(1) 7,5,10,42211====P Q P Q 时有最大利润52=L ； (2) 4,5,82121====Q Q P P 时有最大利润49=L ，实行价格差别策略时利润较大.第9章 二重积分§9.1 二重积分的概念与性质1、214I I =2、σd y x ⎰⎰+D)(ln σd y x ⎰⎰+<D2)]([ln 3、(1) 82≤≤I (2) ππ10036≤≤I§9.2 二重积分的计算1、(1)⎰⎰x xdy y x f dx 240),(或⎰⎰y y dx y x f dy 4402),((2) ⎰⎰--x x dy y x f dx 1110),( 或⎰⎰⎰⎰-+-+y y dx y x f dy dx y x f dy 10101001),(),((3) ⎰⎰e e ydx y x f dy ),(10(4) ⎰⎰--21011),(x dy y x f dx2、(1) 38 (2) 2- (3) 49 (4) 213、(1)⎰⎰120)(rdr r f d πθ(2)⎰⎰-θππθθcos 2022)(tan rdr f d(3) ⎰⎰2220)(rdr r f d πθ (4) ⎰⎰θπθθθsin 2020)sin ,cos (R rdr r r f d(5)r d r d ⎰⎰θπθcos 102404、(1) 62π (2) 3R π(3)原积分当1>p 时收敛，收敛到1-p π；1≤p 时发散 5、π6总习题九1、(1)π32(2) 0 (3)⎰⎰⎰⎰-------+y yy y dx y x f dy dx y x f dy 1111101),(),(22(4)⎰⎰+--)1(21)1(2111),(y y dx y x f dy(5)⎰⎰--x x dy y x f dx 21110),(2、(1) A (2) B (3) D3、(1) 2301ab (2) π23- (3) 21-e (4)422ln ππ- (5)482ππ-(6)2494R R ππ+ (7)4ln 23+ (8) π80 (9)12-π (10) 2049 (11)2π-4、(1)e e 2183- (2) π33 5.34 6. 27 7.964316-π 9. )]0()1([f f -π10、提示：⎰⎰x a dy y f x f dx)()(⎰⎰=y a dx y f x f dy 0)()(11、提示：定积分换元后交换积分次序。