江苏省扬州中学-学年高二上学期期末调研测试数学试卷

扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题高 二 数 学2018．1（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1”的否定是 ▲ ． 2轴上的截距为 ▲ ． 3的焦点坐标为 ▲ ．5．在边长为2的正方形内随机取一点，取到的点到正方形中心的距离大于1的概率为▲ ． 6．某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方10▲ ．7值为 ▲ ．8的取值范围为 ▲ ．11R的解集为▲ ．离心率为▲ ．14．已知函值域则实最小值为▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）R上恒成立”．（1（2）16．（本题满分14分）为了让学生更多地了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：（1）填充上述表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）若利用组中值近似计算数据的平均数，求此次数学史初赛的平均成绩；（3）学校为了宣传班级的学习经验，的4位同学中的两位同学到学校其他班级介绍，求甲同学被抽取到的概率．17．（本题满分14分）3（1（218．（本题满分16分）（1（2．．319．（本题满分16分）（1）求椭圆的方程；（220．（本题满分16分）（1（2设（3其中常足条试判断在点扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题高二数学参考答案2018．11．．45 78．4 1014…………5分15．解：（1（2R上恒成立……………………11分∴实数a (14)分16．解：（1）①22；②14；③0.28；……………………3分（2 (8)分（3为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6甲丙、甲丁，共3……………………13分分17．解：（13……………………5分……………………7分（2……………………9分……14分18．解：（1分列表得： (6)分分（2根据（1增∵确保恰好．．3年不需要进行保护 (16)分19．解：（1分（2分，设直程它交于点分……………………16分………………8分………………10分 (14)分 (16)分20．解：（1表得：……………………3分（20，成立，且不恒为0增．……………………7分（311分方法（一）上恒成立∴在上单调增∴，即 (16)分……………14分 (16)分。

数学试卷2014．1（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．参考公式：柱体的体积公式：=V Sh 柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是高；球的体积公式：34=3V R π球，球的表面积公式：2=4S R π球，其中R 是球的半径；样本数据12x x ,，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“20,0x x x ∀>+>”的否定是 ▲ ．2．右图给出的是一个算法的伪代码，若输入值为3， 2Read If 0Then()2Else()log (1)End If Print()xx x f x f x x f x ≤←←+则输出值()f x = ▲ ．3．函数()sin xf x e x =的导数()f x '= ▲ ．4．先后抛掷一枚质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6）两次，骰子朝上的面的点数依次记为a 和b ，则双曲线22221x y a b-=为等轴双曲线的概率为 ▲ ．5．右边程序输出的结果是 ▲ ．6．恒大足球队主力阵容、替补阵容各有4名编号为1,2,3,4的球员进行足球点球练习，每人点球5次，射中的次数如下表： 队员\编号 1号 2号 3号 4号 主力 4 5 3 4 替补5 4 2 51For From 1 To 5 Step 2 End For Print S I S S I S←←+则以上两组数据的方差中较小的方差2S = ▲ ．7．下列有关命题的说法中，错误．．的是 ▲ (填所有错误答案的序号)． ①命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”； ②“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件；③若p q 且为假命题，则p 、q 均为假命题．8．已知抛物线x y 82=的焦点是双曲线)0(13222>=-a y a x 的右焦点， 则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．9．底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ 2m ．10．奇函数32()f x ax bx cx =++在1x =-处有极值，则3a b c ++的值为 ▲ ． 11．若,,l m n 是三条互不相同的空间直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 ▲ (填所有正确答案的序号)． ①若//,,,l n αβαβ⊂⊂则//l n ； ②若,,l αβα⊥⊂则l β⊥； ③若,,l n m n ⊥⊥则//l m ； ④若,//,l l αβ⊥则αβ⊥．12．设集合{,1},{,1,2},,{1,2,3,4,5,6,7}P x Q y x y ==∈，且P Q ⊆，在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(,)x y 所表示的点中任取一个，若该点落在圆2222()x y R R Z +=∈内的概率为25，则满足要求的2R 的最小值为 ▲ ． 13．如图平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率3e =，12,A A 分别是椭圆的左、右两个顶点， 圆1A 的半径为a ，过点2A 作圆1A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆于点Q ．则2PQQA = ▲ ． 14．设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ-上，其导函数为()f x '，且()02f π=，当0x π<<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<,则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）根据我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定》（试行），AQI 共分为六级：[0,50)为优，[50,100)为良，[100,150)为轻度污染，[150,200)为中度污染， [200,250),[250,300)均为重度污染，300及以上为严重污染．某市2013年11月份30天的AQI 的频率分布直方图如图所示：⑴该市11月份环境空气质量优或良的共有多少天？⑵若采用分层抽样方法从30天中抽取10天进行市民户外晨练人数调查，则中度污染被抽到的天数共有多少天？⑶空气质量指数低于150时市民适宜户外晨练，若市民王先生决定某天早晨进行户外晨练，则他当天适宜户外晨练的概率是多少？ 16．（本小题满分14分）已知命题22:114x y p m m +=--表示双曲线，命题22:124x y q m m+=--表示椭圆． ⑴若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围．⑵判断命题p 为真命题是命题q 为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）．17．（本小题满分15分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 上一点. ⑴若点D 是BC 的中点，求证1//A C 平面1AB D ； ⑵若平面1AB D ⊥平面11BCC B ，求证AD BC ⊥.18．（本小题满分15分）如图，储油灌的表面积S 为定值，它的上部是半球，下部是圆柱，半球的半径等于圆柱底面半径．⑴试用半径r 表示出储油灌的容积V ，并写出r 的范围．⑵当圆柱高h 与半径r 的比为多少时，储油灌的容积V 最大？19．（本小题满分16分）如图，椭圆1C 与椭圆2C 中心在原点，焦点均在x 轴上，且离心率相同．椭圆1C 的长轴长为221C 的左准线:2l x =-被椭圆2C 截得的线段ST 长为3P 是椭圆2C 上的一个动点． ⑴求椭圆1C 与椭圆2C 的方程；⑵设点1A 为椭圆1C 的左顶点，点1B 为椭圆1C 的下顶点，若直线OP 刚好平分11A B ，求点P 的坐标；⑶若点,M N 在椭圆1C 上，点,,P M N 满足2OP OM ON =+，则直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数x x g bx ax x f ln )(,)(2=+=．⑴当0=a 时，①若)(x f 的图象与)(x g 的图象相切于点00(,)P x y ，求0x 及b 的值；②()()f x g x =在],1[m 上有解，求b 的范围；⑵当1-=b 时，若)()(x g x f ≥在1[,]n e上恒成立，求a 的取值范围．2013—2014学年度第一学期高二数学期末试卷参 考 答 案2014．1一、填空题1．20,0x x x ∃>+≤ 2．2 3．sin cos x xe x e x + 4．61 5．10 6．217．③ 8．x y 3±= 9．33 10．0 11．④ 12．30 13．34 14．(,0)(,)66πππ- 二、解答题15⑴由题意知该市11月份环境空气质量优或良的共有63050)002.0002.0(=⨯⨯+天； ……4分 ⑵中度污染被抽到的天数共有31050006.0=⨯⨯天； ……9分⑶设“市民王先生当天适宜户外晨练”为事件A ， 则6.050)008.0002.0002.0()(=⨯++=A P . (14)分16⑴ 命题22:114x y p m m +=--表示双曲线为真命题，则(1)(4)0m m --<， ……3分∴14m <<； (5)分 ⑵命题22:124x y q m m+=--表示椭圆为真命题，204024m m m m ->⎧⎪∴->⎨⎪-≠-⎩， ……8分 ∴23m <<或34m <<， ……10分{|14}m m <<{|23m m ⊇<<或34}m <<∴p是q的必要不充分条件. ……14分17⑴连接1A B ,设11AB A B E =,则E 为1A B 的中点, ……2分连接DE ,由D 是BC 的中点,得1//DE A C ， ……4分 又1DE AB D ⊂面,且11A C AB D ⊄面,所以1//A C 平面1AB D ……7分 ⑵在平面11BCC B 中过B 作1BF B D ⊥，因平面1AB D ⊥平面11BCC B ， 又平面1AB D平面111BCC B B D=，所以BF ⊥平面1AB D ， ……10分所以BF AD ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，所以1BB AD ⊥， ……12分又1BB BF B=，所以AD ⊥平面11BCC B ，所以AD BC ⊥. ……15分18⑴2222232S r rh r r rhπππππ=++=+，FE232S r h rππ-∴=， ……3分3223V r r hππ∴=+35(0263rS r r ππ=-<<；……7分 ⑵2522S V r π'=-，令0V '=，得r =，列表……11分∴当r =时，体积V 取得最大值，此时h =:1:1h r ∴=. ……13分答：储油灌容积35(0)263rS V r r ππ=-<<，当:1:1h r =时容积V 取得最大值. …15分19⑴设椭圆1C 方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，椭圆2C 方程为222222221(0)x y a b a b +=>>，则12a =1a =2112a x c =-=-，∴11c =，则11b =∴椭圆1C 方程为2212x y +=，其离心率为12e =， ……3分 ∴椭圆2C 中22222a b =，由线段的ST 长为，得(S -,代入椭圆2C 22224312b b +=，得225b =，∴2210a =，椭圆2C 方程为221105x y +=； ……6分⑵11((0,1)A B -，则11A B中点为1()22--，∴直线OP为2y x =， ……7分由2211052x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴点P的坐标为； ……10分 ⑶设00(,)P x y ，1122(,),(,)M x y N x y ，则2200210x y +=，2222112222,22x y x y +=+=，由题意001122(,)(,)2(,)x y x y x y =+，∴01201222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩ ……12分 ∴22222222001212112211222(2)2(2)44288x y x x y y x x x x y y y y +=+++=+++++2222112212121212(2)4(2)6(2)106(2)10x y x y x x y y x x y y =+++++=++=……14分∴121220x x y y +=，∴121212y y x x =-，即12OM ON k k ⋅=-， ∴直线OM与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为12-． ……16分20⑴bx x f a =∴=)(0①1(),()f x b g x x ''==000011,,ln b x x e b ebx x ⎧=⎪∴∴=∴=⎨⎪=⎩， ……3分②xxb x x bx x g x f ln )0(ln )()(=∴>=∴= 即b y =与x x x h ln )(=在],1[m 上有交点…4分2'ln 1)(x x x h -=，e m ≤∴时)(x h 在],1[m 上递增，]ln ,0[)(mmx h ∈； e m >时)(x h 在],1[e 上递增，在],[m e 上递减且0)(>x h ，]1,0[)(ex h ∈ ……7分em ≤∴时，]ln ,0[mmb ∈；em >时，]1,0[eb ∈ ……8分⑵)()()(12x g x f x ax x f b ≥∴-=∴-= 即x x ax ln 2≥-，即2ln x x x a +≥在1[,]n e上恒成立， ……9分令2ln )(x x x x r +=，3ln 21)('x xx x r --=∴ 令()12ln s x x x =--，则()s x 为单调减函数，且(1)0s =， ……12分∴当(0,1)x ∈时，'()0r x >，()r x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，'()0r x <，()r x 单调递减， ……13分若1n ≤，则()r x 在1[,]n e上单调递增，∴2ln ()()max n n r x r n n +==，∴2ln n na n+≥； 若1n >，则()r x 在1[,1]e上单调递增，[1,]n 单调递减，∴()(1)1max r x r ==，∴1a ≥ ……15分∴1n ≤时，2ln n na n+≥；1n >时，1a ≥． ……16分。

2022-2023学年江苏省扬州市高二上册期末数学质量检测试卷一、单选题1．在等差数列{an }中，a 1＋a 33＝34，则a 8＝（）A ．5B ．6C ．8D ．92．函数3()31f x x x =-+的单调递减区间是()A ．(1,2)B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．,1(),)1(-∞-⋃+∞3．已知1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则()f x 的极小值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．24．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设{}n a 是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，5a =12nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前24项和为（）A ．322B ．3C．D ．65．试在抛物线24y x =-上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()2,1A -的距离之和最小，则最小值为（）A ．3B ．4C ．1D．6．已知F 是椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是（）A．1)B ．(0)2，C ．1(0)2，D ．1(1)2，7．函数()2cos sin 1f x x x x x =--+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对于任意实数x 都有()e (21)()x f x x f x =-+'，(0)1f =-，则不等式()5e x f x >的解集为（）A ．(32)-，B ．(23)-，C ．(3)(2)x --⋃+∞，，D ．(2)(3)-∞-⋃+∞，，二、多选题9．下列是递增数列的是（）A ．{}13n +B ．{}232n n +-C ．{}2nn -D ．(){}3n-10．已知集合3(,)|22y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，集合{}(,)|20B x y ax y =--=，且A B ⋂=∅，则=a （）A ．2B ．2-C ．52-D ．5211．（多选）给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是凸函数的是（）A ．()sin cos f x x x=-B ．()ln 2f x x x=-C ．()321f x x x =-+-D ．()xf x xe=12．已知F 为椭圆C ：22142x y +=的左焦点，直线l ：()0y kx k =≠与椭圆C 交于A ，B 两点，AE x⊥轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（）A ．14AF BF+的最小值为3B ．ABE C ．直线BE 的斜率为12kD ．∠PAB 为锐角三、填空题13．在数列{}n a 中，1112,1n na a a +=-=-，则2018a 的值为__________.14．双曲线2233x y -=的顶点为___________.15．设数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N ，则下列能判断数列{}n a 是等差数列的是______．①n S n =；②2n S n n =+；③2n n S =；④21n S n n =++．16．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与圆2C ：22245b x y +=，若在椭圆1C 上存在4个点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是________.四、解答题17．已知2213x y k k -=---1，当k 为何值时：(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在x 轴上的椭圆；(3)表示等轴双曲线．18．设函数32()2f x x x x =+--．(1)求()f x 在2x =-处的切线方程；(2)求()f x -8x 3的极值点和极值．19．若数列{}n a 满足221n n n a a a ++=，13a =，23243a a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若3log n n b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．20．已知圆C 经过)11,5(52B A ），，（两点，且圆心G 在直线1:2l y x =-上．(1)求圆G 的方程；(2)已知过点()0,2P 的直线2l 与圆G 相交，被圆C 截得的弦长为2，求直线2l 的方程．21．已知)1F ，()2F ，()0,1P ，动点M 满足1212MF MF PF PF +=+.（1）求动点M 的轨迹方程；（2）设直线l 不经过点P 且与动点M 的轨迹相交于A ，B 两点.若直线PA 与直线PB 的斜率和为1-.证明：直线l 过定点.22．已知函数32sin )(++=a x ax a x f ，其中a ∈R .(1)当2a =时，讨论()f x 在()0,2π上的单调性；(2)若对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有xex f ≥)(，求实数a 的取值范围.答案：1．A【分析】直接利用等差数列的性质求解即可【详解】因为a 5是a 1和a 9的等差中项，所以2a 5＝a 1＋a 9，即2a 5＝10，a 5＝5.故选：A 2．B【分析】由导数与单调性的关系求解，【详解】3()31f x x x =-+，则2()33f x x '=-，由2330x -<得11x -<<，故()f x 的单调递减区间是(1,1)-，故选：B 3．A【分析】对()f x 求导，根据1x =是()f x 的极小值点，得到()10f '=，求出a 的值，进一步得到()f x 的极小值．【详解】解：由32()3f x ax x =-，得2()36f x ax x '=-，1x = 是()f x 的极小值点，()10f '∴=，360a ∴-=，2a ∴=，经检验2a =时，符合题意，2a ∴=，32()23f x x x ∴=-，所以()2()6661f x x x x x '=-=-，则当0x <或1x >时()0f x '>，当01x <<时()0f x '<，即()f x 在(),0∞-和()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以当0x =时函数取得极大值，1x =时函数取得极小值，()()11f x f ∴==-极小值．故选：A ．4．C【分析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可.【详解】因为{}n a 是方公差为4的等方差数列，所以2214n n a a +-=，2518a =，∴225(5)41842042n a a n n n =+-⋅=+-=-，∴n a =，∴()()122142422n n a a n n +===++--24111222S =++⋅⋅⋅+(1122===故选：C ．5．A【分析】求出抛物线焦点坐标和准线方程，将||PF 转为点P 到抛物线准线的距离||PM ，由抛物线的定义，可得||||PF PM =，转化为求||||AP PM +的最小值，结合图形，即可求解.【详解】解：由题意得抛物线的焦点为()1,0F -，准线方程为:1l x =.过点P 作PM l ⊥于点M ，由抛物线的定义可得||||PF PM =，所以||||||||PA PF PA PM +=+，由图形可得，当P ，A ，M 三点共线时，||||PA PM +最小，最小值为点A 到准线:1l x =的距离213--=.故选：A.6．A【分析】将,A B 与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.【详解】如图设1，F F 分别为椭圆的左、右焦点，设直线y kx =与椭圆相交于,A B ，连接11,,,AF AF BF BF .根据椭圆的对称性可得：四边形1AF BF 为平行四边形.由椭圆的定义有：12,AF AF a +=12,FF c =1120F AF ∠=︒由余弦定理有：2221112cos120FF AF AF AF AF =+-⋅︒即()()222121114AF AF c AF AF AF AF AF AF ⎛⎫+=+-⋅≥+- ⎪⎝⎭所以()221222214432AF AF c AF AF a a a⎛⎫+≥+-=-= ⎪⎝⎭当且仅当1AF AF =时取等号，又y kx =的斜率存在，故A B ，不可能在y 轴上.所以等号不能成立,即即2234c a >，所以312e >>故选：A7．A【分析】结合导函数研究函数()f x 的单调性，通过单调性排除不满足的图像，选出答案.【详解】因为2()cos sin 1f x x x x x =--+，所以'()(2cos )f x x x =-，因为1cos 1x -≤≤，所以2cos 0x -＞，当x ＞0时，'()0f x ＞，()f x 在0（，）+∞上单调递增；当0x ＜时，'()0f x ＜，()f x 在∞（-，0）上单调递减，由此可排除选项B,C,D ，故选：A.8．A【分析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，()21e x f x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再通过逆用求导公式得到()2exf x x x m =-+，根据已知条件求得m 的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解．【详解】因为()e (21)()xf x x f x =-+'，所以()21e x f x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()2e x f x x x m =-+，亦即()()2e x f x x x m =-+，又()01f =-，所以1m =-，即有()()2e 1x f x x x =--．原不等式()5e x f x >可等价于215x x -->，即260x x -->，解得x 的取值范围是(2)(3)-∞-⋃+∞，，．故选：A ．9．AC【分析】根据递增数列的定义判断．【详解】A ．令13n a n =+，则()()11311330n n a a n n +-=++-+=>，是递增数列，正确；B ．令232nn n a +=-，则15a =-，27a =-，不合题意，错；C ．令2nn a n =-，则11221210n n n n n a a ++-=--=->，符合题意．正确；D ．令()3nn a =-，则13a =-，327a =-，不合题意．错．故选：AC ．10．AD【分析】根据直线平行和两线交于点()23，时，交集为空集，可得结果．【详解】解：因为集合3(,)|22y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，集合{}(,)|20B x y ax y =--=，且A B ⋂=∅，所以直线32(2)(2)y x x -=-≠与直线20ax y --=平行或交于点()23，，当两线平行时，2a =；当两线交于点()23，时，2320a --=，解得52a =．综上得a 等于52或2．故选：AD ．11．AD求出每个选项中函数()f x 的二阶导函数()f x ''，并验证()0f x ''<是否对任意的0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，由此可得出合适的选项.【详解】对于A ，()cos sin f x x x '=+，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝'⎭'，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，044x ππ-<-<，()0f x ''>，故()sin cos f x x x =-不是凸函数；对于B ，()12f x x '=-，()210f x x''=-<，故()ln 2f x x x =-是凸函数；对于C ，()232f x x '=-+，对任意的0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()60f x x ''=-<，故()321f x x x =-+-是凸函数；对于D ，()()1x f x x e '=+，对任意的0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()02x f x x e =+''>，故()xf x xe =不是凸函数．故选：AD ．12．BC【分析】A 项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，4AF BF +=，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值94，A 项错误；B 项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k 的函数关系式，再求函数最值；C 项，由对称性，可设()00,A x y ，则()00,B x y --，()0,0E x ，则可得直线BE 的斜率与k 的关系；D 项，先由A 、B 对称且与点P 均在椭圆上，可得2212PA PB b k k a ⋅=-=-，又由C 项可知12PB BE k k k ==，得1PA AB k k ⋅=-，即90PAB ∠=︒，排除D 项.【详解】对于A ，设椭圆C 的右焦点为F '，连接AF '，BF '，则四边形AF BF '为平行四边形，AF BF ∴+24AF AF a '=+==，()414114195444BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2BF AF =时等号成立，A 错误；对于B ，由22142x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得x =A B y y ∴-=ABE ∴的面积241412122A A B k S x y y k k k=-==≤++当且仅当2k =时等号成立，B 正确；对于C ，设()00,A x y ，则()00,B x y --，()0,0E x ，故直线BE 的斜率000012BE y k x x +==⋅+0012yk x =，C 正确；对于D ，设(),P m n ，直线PA 的斜率额为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，则PA PBk k ⋅=2200022000n y n y n y m x m x m x -+-⋅=-+-，又点P 和点A 在椭圆C 上，22142m n ∴+=①，2200142x y +=②，①-②得22022012n y m x -=--，易知12PB BE k k k ==，则1122PA k k ⋅=-，得1PA k k =-，11PA AB k k k k ⎛⎫∴⋅=-⋅=- ⎪⎝⎭，90PAB ∴∠=︒，D 错误.故选：BC.13．32【分析】判断出数列{}n a 的周期性，由此求得2018a .【详解】依题意，1112,1n na a a +=-=-，所以213122a =-=-，3111332a =-=，4111213a a =-=-=，所以数列{}n a 是周期为3的数列，所以201820162232a a a +===.故3214．(1,0)±【分析】根据双曲线的标准方程，直接计算得到该双曲线的定点.【详解】由2233x y -=得，2213y x -=，所以，该双曲线的顶点为(1,0)±.故(1,0)±15．①②【分析】根据()12n n n S S a n --=≥可以求出n a ，再结合n a 可以判断是否是等差数列.【详解】①当2n ≥时，()111n n n a S S n n -=-=--=；当1n =也符合1n a =，所以1n a =，数列}{n a 为等差数列；②当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=；当1n =时，112a S ==，符合2n a n =，所以2n a n =，数列}{n a 为等差数列；③当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=；当1n =时，112a S ==，不符合12n n a -=，所以12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，数列}{n a 不是等差数列；④当2n ≥时，()()22111112n n n a S S n n n n n -=-=++-----=；当1n =时，113a S ==，不符合2n a n =，所以3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩，数列}{n a 不是等差数列.故①②.16．0,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】设过点P 的两条直线与圆2C 分别切于点,M N ，由两条切线相互垂直，可知=5OP b ，由题知OP a >，解得b a >，又e =.【详解】设过P 的两条直线与圆2C 分别切于点,M N ，由两条切线相互垂直，知：55OP b b =，又在椭圆C 1上不存在点P ，使得由P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，所以OP a >，即得5b a >，所以4b a >，所以椭圆C 1的离心率c e a ==，又0e >，所以04e <<.故答案为.4⎛ ⎝⎭17．(1)k ＜－3或1＜k ＜3；(2)1＜k ＜3；(3)k ＜－3.【分析】利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论．【详解】（1）∵2213x y k k -=---1，即22113x y k k +=--，方程表示双曲线，∴(k －1)(|k |－3)＜0，可得k ＜－3或1＜k ＜3；（2）∵2213x y k k -=---1，即22113x y k k +=--，焦点在x 轴上的双曲线，则1030k k -⎧⎨-⎩＞＞，∴1＜k ＜3；（3）∵2213x y k k -=---1，即22113x y k k +=--，焦点在y 轴上的双曲线，则3010k k ⎧-⎨-⎩＞＞，∴k ＜－3．18．(1)7100x y -+=(2)极大值点=1x -，极小值点13x =，极大值是1-，极小值是5927-【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，（2）令()0f x '=，求得113x =，21x =-，然后通过判断函数的单调性可求出()f x 的极值点和极值(1)函数32()2f x x x x =+--，函数的导数为2()321f x x x '=+-．(2)12417f '-=--=，(2)84224f -=-++-=-，()f x 在2x =-处的切线方程：47(2)y x +=+，即7100x y -+=．(2)令()0f x '=，23210x x +-=，解得113x =，21x =-．当113x -<<时，可得()0f x '<，即()f x 的单调递减区间11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，1x <-或13x >，可得()0f x '>，∴函数单调递增区间(,1)-∞-，1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．∴()f x 的极大值点=1x -，极小值点13x =，∵32(1)(1)(1)(1)21f -=-+----=-，32111159()()()2333327f =+--=-∴极大值是1-，极小值是5927-．19．(1)3nn a =(2)()132134n n S n ++-=【分析】（1）利用等比中项法判断出{}n a 为等比数列，设其公比为q （0q ≠），由23243a a =，求出3q =，得到{}n a 的通项公式；（2）先得到3n nn a b n =⋅，利用错位相减法求和.（1）因为数列{}n a 满足221n n n a a a ++=，13a =，23243a a =，所以0n a ≠.所以数列{}n a 为等比数列，设其公比为q （0q ≠）.所以22323113243a a a q a q q =⨯=⨯=，解得.3q =所以113n nn a a q -==.即{}n a 的通项公式为3nn a =.（2）由（1）可知：33l 3log og n n n b a n ===，所以3n nn a b n =⋅，所以1122n n n S a b a b a b =+++ 1213233n n =⋅+⋅++⋅ ①3⨯①得：231313233n n n S +=⋅+⋅++⋅ ②①-②得：()123111313131333n nnS n +-⋅ ()1133331133n n n n S +-⋅=-⋅--所以()132134n n S n ++-=20．(1)()()22122x y -+=+(2)0x =或158160x y +-=【分析】（1）求得线段AB 的中点坐标和斜率，可得AB 的垂直平分线的方程，与直线2y x =联立，可得圆C 的圆心，求得AC ，可得圆的半径，进而得到圆的方程；（2）讨论直线2l 的斜率不存在和存在，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线方程．【详解】（1）线段AB 的中点为()1,2-，直线AB 的斜率为1312-+=，所以线段AB 的垂直平分线为()21y x +=--，即=1y x --，由21y x y x =-⎧⎨=--⎩解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以圆心为()1,2C -，半径为=AC 所以圆C 的方程为()()22122x y -+=+；（2）当直线2l 的斜率不存在时，由()()220122x x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，得1y =-，或=3y -，即直线0x =与圆C 相交所得弦长为()132---=，符合题意；当直线2l 的斜率存在时，设直线2l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=，由于圆C 到2l 1= 1=，解得158k =-，所以1528y x =-+．即158160x y +-=，综上所述，直线l 2的方程为0x =或158160x y +-=．21．（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得动点M 的轨迹为椭圆，焦点在x 轴上，可得24,2a c ==b ，进而可得动点M 的轨迹方程；（2）设直线PA 与直线PB 的斜率为12k k ，，经分析直线l 的斜率存在，设直线(1)l y kx m m =+≠：，设1122()()A x y B x y ，，，，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，再结合121k k +=-可得222448(21)(1)04141m kmk m k k --++-=++，从而可求得k 与m 的关系，进而可证得结论【详解】（1）解：由题意得1212||||||||4MF MF PF PF +=+=，则动点M 的轨迹为椭圆，焦点在x 轴上，可设为22221x y a b+=．2a c =，，1b =，故动点M 的轨迹方程为2214x y +=．（2）证明：设直线PA 与直线PB 的斜率为12k k ，．如果直线l 与x 轴垂直，设l x t =：，由题设可得0t ≠，且||2t <，可得A B ，的坐标分别为t ⎛ ⎝⎭，t ⎛ ⎝⎭，．则121k k +==-，得2t =，不符合题设．从而可设直线(1)l y kx m m =+≠：，将(1)y kx m m =+≠代入2214xy +=，得222(41)8440k x kmx m +++-=，由题意可得2216(41)0k m ∆=-+>，设1122()()A x y B x y ，，，，则21212228444141km m x x x x k k -+=-=++，，而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=，由题意得121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=，即222448(21)(1)04141m kmk m k k --++-=++，解得12m k +=-．当且仅当1m >-时，0∆>，12m l y x m +=-+：，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点(21)-，．22．(1)()f x 在()0,π上单调递减，在(),2ππ上单调递增(2){}|5a a ≤【分析】（1）根据题意求导，解导数方程，讨论导数的正负，即可得函数的单调性；（2）根据题意，构造函数()32sin cos g x x x ax x =+-和()()h x g x '=，对a 进行分类讨论，结合单调性即可求解a 的取值范围.（1）当2a =时，()2cos 2sin f x x x x =-，则()2sin f x x x '=-，令()0f x '=，当()0,2x π∈时，解得x π=，故当()0,x π∈时，()0f x '<；当(),2x ∈ππ时，()0f x ¢>.所以，()f x 在()0,π上单调递减，在(),2ππ上单调递增.（2）令()32sin cos g x x x ax x =+-，则()()32cos sin g x a x ax x =+'+-.当0a时，cos 0ax x ，所以()()00g x g >=.当05a <时，()33cos sin 0g x x ax x +'-> ，故()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.又()00g =，故()()00g x g >=.当5a >时，令()()()32cos sin h x g x a x ax x =+-+'=，则()()22sin cos 0h x a x ax x +'=->，故()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.()050,30.22a h a h ππ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭故存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00h x =，且当()00,x x ∈时()0h x <，即()g x 在()00,x 上单调递减，所以当()00,x x ∈时，()()00g x g <=，故不符合.综上所述，a 的取值范围为{}|5a a ≤。

江苏省扬州市第一中学2024-2025学年高二上学期10月教学质量调研评估数学试卷一、单选题1．直线103x -=的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．过点()1,4A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A ．30x y -+=B ．50x y +-=C ．40x y -=或50x y +-=D ．40x y -=或30x y -+=3．已知m 为实数，直线()()12:220,:5210l m x y l x m y ++-=+-+=，则“12l l //”是“3m =-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．求圆心在直线210x y +-=上，且与直线20x y ++=相切于点(0,2)-的圆的方程是（）A ．()()22112x y -++=B ．()2212x y +-=C ．()()22114x y -++=D ．()2214x y +-=5．已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．(][),11,-∞-+∞ B ．[]1, 1-C ．[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．已知点P 在圆22:(2)(3)1C x y -+-=上运动，点()2,0A -，则AC AP ⋅的取值范围为（）A ．[]20,30B ．()20,30C ．[]20,25D ．()20,257．已知点(0,0)O ，点P 满足||1PO =，则点P 到直线02x m y --=的距离的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知点()1,0A -，()0,3B ，点P 是圆()2231x y -+=上任意一点，则PAB 面积的最小值为（）A ．6B ．112C ．92D ．62-二、多选题9．若三条直线123:210,:10,:220l x y l x y l x ay a -+=+-=++-=可以围成一个三角形，则实数a 的值可以为（）A ．1-B ．0C ．1D ．310．对于直线l ：()1230m x y m -+-+=，下列选项正确的是（）A ．直线l 恒过点()2,1-B ．当2m =时，直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为12C ．若直线l 不经过第二象限，则31,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．坐标原点到直线l11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A ，(0,3)B ，(,3)(0)C a a ≠，(1,0)D -，ABD △，BCD △的外接圆分别为圆M 、圆N ，则下列结论正确的是（）A ．直线BD 的方程为230x y -+=B ．点C 恒在圆M 外C ．若圆M 与圆N 的半径相等，则2a =-D ．若1a =，则圆N 的圆心的横坐标为0三、填空题12．1:30l x y -+=，与直线2:220l x my +-=平行，则直线1l 与2l 的距离为.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC V 的三个顶点(5,1),(7,3),(2,8)A B C --，若直线2y x b =+过ABC V 的外接圆的圆心，则b =；若点(2,)m 在ABC V 的外接圆内，则m的取值范围为．14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点,M N 及动点P ，若TMTNλ=（0λ>且1λ≠），则点T 的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点P 为圆22:(1)4A x y -+=上一动点，Q 为圆22:(3)(4)1B x y -+-=上一动点，点()3,0C -，则PC PQ PB ++的最小值为．四、解答题15．已知三角形ABC 的顶点坐标为()()()1,5,2,1,4,3A B C ---．(1)求过点C 且与边AB 平行的直线方程；(2)求AB 边上的高所在的直线方程．16．求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心是()4,0，且过点()2,2；(2)圆心在y 轴上，半径为5，且过点()3,4-；(3)求过两点()1,2C -和(D ，圆心在x 轴上的圆的标准方程．17．已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.(1)求直线BC 的方程和点C 的坐标；(2)求ABC V 的面积．18．已知O 为坐标原点，()1,2A -，过点A 且斜率为k 的直线l 与x 轴负半轴及y 轴正半轴分别交于点B C ､.(1)求AB AC ⋅的最小值；(2)若OBC △的面积为S ，且对于每一个S 的值满足条件的k 值只有2个，求S 的取值范围.19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设()11,A x y ，()22,B x y ，则欧几里得距离(,)D A B 1212(,)d A B x x y y =-+-，余弦距离(,)1cos(,)e A B A B =-，其中cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉（O 为坐标原点）．(1)若(1,2)A -，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，求A ，B 之间的曼哈顿距离(,)d A B 和余弦距离(,)e A B ；(2)若点(2,1)M ，(,)1d M N =，求(,)e M N 的最大值；(3)已知点P ，Q 是直线:1(1)l y k x -=-上的两动点，问是否存在直线l 使得min min (,)(,)d O P D O Q ，若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程，若不存在，请说明理由．。

２0１5-2016学年江苏省扬州市高二(上）期末数学试卷一、填空题（本大题共１4小题,每小题5分,共7０分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）１.命题“∀x∈R，x２＋x+1＞0”的否定是.2.某工厂生产Ａ、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为2:3:5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本,若样本中A种型号的产品有１5件,则样本容量n= .３.在区间[0，4]上任取一个实数ｘ,则x>2的概率是．4．根据如图所示的伪代码,如果输入x的值为0，则输出结果y为．5.若f(x)＝5sｉnx，则=.６.在三张奖券中有一、二等奖各一张,另一张无奖,甲乙两人各抽取一张(不放回），两人都中奖的概率为．7.如图,该程序运行后输出的ｙ值为．8．一个圆锥筒的底面半径为３cｍ,其母线长为5ｃm，则这个圆锥筒的体积为ｃｍ３．9.若双曲线的左右焦点分别为F1，Ｆ2,Ｐ为双曲线上一点,ＰF1=3,则PF2＝．１0．设l,m是两条不同的直线,α，β是两个不重合的平面,给出下列四个命题:①若α∥β,l⊥α,则ｌ⊥β;②若l∥ｍ,ｌ⊂α，m⊂β，则α∥β;③若m⊥α,l⊥m,则ｌ∥α；④若ｌ∥α,l⊥β,则α⊥β．其中真命题的序号有．（写出所有正确命题的序号）11.已知抛物线y2＝4ｘ的准线恰好是双曲线=1的左准线，则双曲线的渐近线方程为．1２.已知可导函数ｆ（x）（x∈R）的导函数ｆ′(x)满足f（x）＜f′(x）,则不等式f（x）≥ｆ(20１6)eｘ﹣20１6的解集是.１３．若椭圆的中心为坐标原点,长轴长为4，一条准线方程为ｘ=﹣4,则该椭圆被直线ｙ=x+1截得的弦长为.1４．若ａ＞0，b＞0,且函数ｆ(ｘ）=ae x+（ｂ2﹣3)ｘ在x=0处取得极值，则ａｂ的最大值等于.二、解答题:(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．某班４0名学生某次数学考试成绩（单位：分)的频率分布直方图如图所示.(学生成绩都在[５０,10０]之间)(1)求频率分布直方图中ａ的值；（2)估算该班级的平均分;（3）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级,从该班级４0名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．16．如图,在四面体ＡBCD中,ＡB⊥CＤ,AＢ⊥AD.Ｍ，N,Q分别为棱ＡD，BD，ＡＣ的中点.(1)求证:ＣD∥平面MＮQ;（2)求证:平面MNQ⊥平面ACD．1７．已知命题ｐ:“存在x∈R，x2﹣2x+m≤0”,命题ｑ:“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题r：t＜ｍ<t＋１（1)若“p且ｑ”是真命题，求m的取值范围;(2）若q是r的必要不充分条件，求t的取值范围．18.已知函数ｆ（ｘ)=﹣x3+3x2＋9x+a.(1）当a=﹣2时,求f（x）在x=2处的切线方程；（2)若f(x)在区间[﹣2，２]上的最大值为22,求它在该区间上的最小值．19.椭圆E:+=１(a＞ｂ＞0)经过点（1，），且离心率为,过点P的动直线l与椭圆相交于A,B两点．（1)求椭圆E的方程；(２)若椭圆E的右焦点是P，其右准线与ｘ轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1,+k2=0;直线BQ的斜率为ｋ2，求证:k１(３)设点P(t，０)是椭圆E的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点),是否存在与点P不同的定点Ｑ,使得＝恒成立？若存在,求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f(x)＝ｌｎx﹣，g(ｘ）=ｘ﹣1．（1)求函数f(ｘ)的单调递减区间;（2)若关于x的方程f(x）﹣g(x)+a=0在区间(，ｅ)上有两个不等的根，求实数a的取值范围;（3)若存在x0＞1,当x∈（１，x0)时,恒有f(x）＞kｇ（x），求实数ｋ的取值范围.ﻬ２015－2016学年江苏省扬州市高二（上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共１4小题，每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.命题“∀x∈R,x2+x+１＞０”的否定是∃x∈Ｒ,ｘ2+x+1≤０．【考点】命题的否定.【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可,据此分析选项可得答案．【解答】解:命题“∀ｘ∈R，x2+x+1>0“的否定是:∃x∈R，x2+ｘ+１≤0．故答案为:∃x∈R，x２+x＋1≤0．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“＞”的否定用“<”了.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”.２.某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为２：３：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本,若样本中A种型号的产品有１５件,则样本容量n=75 ．【考点】分层抽样方法．【分析】设出样本容量,根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式,解出方程中的变量ｎ,即为要求的样本容量【解答】解:设出样本容量为n,∵由题意知产品的数量之比依次为２:3：５,∴=，∴n＝75，故答案为：7５【点评】抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定,若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样,若总体的个体差异较大,可采用分层抽样.3.在区间［０,4]上任取一个实数x,则x>2的概率是.【考点】几何概型.【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度,可得答案.【解答】解：数集（2,４]的长度为2，数集[0,4]的长度为４,∴在区间[0,4]上任取一个实数x,则x＞2的概率为＝,故答案为:.【点评】本题考查了几何概型的概率计算，思路是先求得试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度,再求比值．４．根据如图所示的伪代码,如果输入x的值为0,则输出结果y为５．【考点】伪代码.【分析】模拟执行程序,可得程序的功能是计算并输出y=的值,当x=0,满足条件ｘ≥0,即可求得ｙ的值．【解答】解:模拟执行程序,可得程序的功能是计算并输出y＝的值，当x＝0，满足条件ｘ≥0，ｙ=5．故答案为:5．【点评】本题主要考查了伪代码和算法的应用，模拟执行程序，得程序的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．５．若f（ｘ)=5sｉnｘ,则= 0 .【考点】导数的运算.【分析】利用导数计算公式得出解：f′(x)＝5coｓx，代入计算即可．【解答】解:∵f(x）＝5ｓinx,∴f′（ｘ)=5cosｘ,∴则′=0.故答案为;0【点评】本题考查了导数的概念,运算，属于计算题,难度不大，准确计算即可. 6．在三张奖券中有一、二等奖各一张,另一张无奖,甲乙两人各抽取一张(不放回）,两人都中奖的概率为．【考点】互斥事件的概率加法公式.【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率.【解答】解:设一、二等奖各用A,B表示，另1张无奖用Ｃ表示,甲、乙两人各抽取１张的基本事件有ＡＢ,AＣ，BA，BC，CA，CB共6个, 其中两人都中奖的有ＡＢ,BＡ共２个，故所求的概率P=．故答案为:.【点评】本题考查概率的求法,是中档题，解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.7.如图,该程序运行后输出的y值为32 ．【考点】程序框图.【分析】根据题意，模拟该程序的运行过程,得出程序运行后输出的ｙ值. 【解答】解:模拟该程序的运行过程,如下;ｎ=1，n≤3,n=1+2=３，y=23＝8;n≤3，n=3+2＝5，y=２5＝32；n＞3，终止循环，输出y=３2．故答案为:３2．【点评】本题考查了程序语言的应用问题,解题时应模拟程序的运行过程,是基础题目.8．一个圆锥筒的底面半径为３ｃm,其母线长为５cm,则这个圆锥筒的体积为12π cm３．【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出圆锥的高，代入圆锥的体积公式即可求出．【解答】解:圆锥的高h＝=4，∴圆锥的体积V=×π×3２×4=1２π.故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，体积计算,属于基础题．9.若双曲线的左右焦点分别为F１，F２，P为双曲线上一点，ＰF1=3,则ＰF2=7 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a=2，运用双曲线的定义，可得|｜PＦ1｜﹣|ＰＦ2|｜=２a，解方程即可得到所求距离．【解答】解:双曲线的a=2,由双曲线的定义可得｜|PF1|﹣|PF2｜｜=２ａ=4,|｜=4，即有|3﹣|PＦ２解得|PＦ2|=7(﹣1舍去).故答案为:7.【点评】本题考查双曲线的定义和方程，注意定义法的运用,考查运算能力，属于基础题.１0．设l,m是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，ｌ⊥α，则l⊥β;②若l∥m，l⊂α,ｍ⊂β,则α∥β；③若m⊥α,l⊥m，则l∥α;④若l∥α，l⊥β，则α⊥β.其中真命题的序号有①④.(写出所有正确命题的序号）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由直线与平面垂直的判定定理得l⊥β；在②中，α与β相交或平行;在③中,l∥α或l⊂α;在④中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解:由l，ｍ是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,知：在①中，若α∥β，l⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得l⊥β，故①正确; 在②中,若l∥ｍ，l⊂α,m⊂β，则α与β相交或平行，故②错误;在③中，若m⊥α，ｌ⊥ｍ，则l∥α或l⊂α，故③错误;在④中,若l∥α,l⊥β,则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确．故答案为:①④.【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．１1．已知抛物线ｙ2=4x的准线恰好是双曲线=1的左准线，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，由题意可得ａ的方程，解方程可得a，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣,双曲线＝１的左准线为x=﹣，由题意可得=﹣=﹣,解得a＝±2，可得双曲线的方程为x２﹣y2＝4,即有渐近线的方程为y=±x.故答案为:ｙ=±x．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,注意运用抛物线的准线方程，考查运算能力,属于基础题．12.已知可导函数f（x)(x∈Ｒ）的导函数f′(x)满足f（x）<f′（x)，则不等式f （ｘ）≥f(２016)e x﹣2０16的解集是[２016，＋∞)．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g(x)=,求出g′(x)，得到g（x）在Ｒ递增,从而求出不等式的解集.【解答】解：由f(x)≥ｆ(2０16)e x﹣20１6,得：≥,令g（x）＝,g′(x）＝,∵f（x）<ｆ′（x),∴g′(x)＞０,∴ｇ（x)在Ｒ递增，∴ｘ≥2０16，故答案为:[２０１6，+∞)．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用,构造函数ｇ(ｘ)=是解题的关键,本题是一道中档题．１３．若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4,一条准线方程为x＝﹣4,则该椭圆被直线ｙ＝x＋1截得的弦长为.【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程为＋=1（a＞b>0）,由题意，利用椭圆性质求出椭圆的方程为＝1，由此能求出该椭圆被直线y＝ｘ＋1截得的弦长．【解答】解：设椭圆的方程为+=1(ａ>ｂ>0）,由题意,椭圆的焦点在ｘ轴上，且2a＝4,=4，解得a=2,c=1，∴b2＝a2﹣c2=3,∴椭圆的方程为=1，联立，得7x2+8ｘ﹣8=０,设直线y=x+1与椭圆交于A(x1，y1),B（x2，y2)，=﹣，则ｘ1+x2=﹣，x1x２∴该椭圆被直线ｙ=ｘ+１截得的弦长为:｜AB｜＝＝.故答案为:．【点评】本题考查椭圆弦长的求法，是中档题,解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质和椭圆弦长公式的合理运用.１4.若a＞0，b>0，且函数f(ｘ)＝ａe x+（b2﹣3）x在x=0处取得极值,则ab 的最大值等于2.【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导数f′(x）,据题意便有f′(0）=a＋b2﹣3=０,从而得出a＝3﹣b２，从而ab=﹣b3+3ｂ，并且根据a>0，ｂ＞0,可求出，并设g(b）＝﹣b3＋3b,求导数,根据导数符号便可判断出ｇ(b)在b=1时取得最大值,这样即可求出aｂ的最大值.【解答】解:f′(x）=ａe x＋ｂ２﹣3；∵f（x)在x=0处取得极值;∴ｆ′(0)=a+b2﹣３=0；∴a＝3﹣b2;∴ａｂ=（３﹣b2)b=﹣b3＋3b；∵a＞０,b＞0；∴３﹣ｂ２>0；∴；设g(b)=﹣b3+３b，g′(b）＝﹣３ｂ2+3=3(1﹣b2);∴ｂ∈(0，1）时,g′（b）>0,ｂ时，ｇ′(ｂ)<０；∴b=１时，ｇ（b)取最大值2；即ａb的最大值为２．故答案为:2．【点评】考查函数极值的概念,以及根据导数符号判断函数极值和最值的方法及过程,清楚函数在极值点处的导数为0,注意正确求导.二、解答题:（本大题共６小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．某班40名学生某次数学考试成绩(单位:分）的频率分布直方图如图所示.(学生成绩都在[５0,100]之间）（1)求频率分布直方图中ａ的值;（2)估算该班级的平均分；（3)若规定成绩达到8０分及以上为优秀等级，从该班级４0名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.【分析】（1）根据频率和为1，列出方程,求出a的值；(2)利用组中值，即可估算该班级的平均分;（3)根据成绩为优秀等级有1６人,即可求出从该班级４0名学生中任选一人,此人成绩为优秀等级的概率.【解答】解:（１)由题(2a＋2a+3a+6a+7a)×１0=1,∴２0a×10=1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分）∴ａ=0．005，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分)（2)该班级的平均分为=76．5; （3）成绩为优秀等级有16人,∴从该班级40名学生中任选一人，此人成绩为优秀等级的概率为=0．4【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了概率的计算，是基础题目.16．如图，在四面体ABCD中，ＡB⊥ＣD，AB⊥ＡD.M,N，Ｑ分别为棱AD，BＤ,AC的中点．(1）求证:CD∥平面ＭNQ；（2）求证:平面MNQ⊥平面ACD．【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定．【分析】(1)利用M,Q分别为棱AD，AC的中点，证明MQ∥CD,即可证明ＣD∥平面MＮQ；(２）证明MN⊥平面ACD，即可证明平面MNQ⊥平面AＣD.【解答】证明:(１)因为M,Ｑ分别为棱ＡＤ，AC的中点,所以MQ∥CD，…（３分）又CD⊄平面MNＱ,MQ⊂平面MNQ，故CD∥平面MNQ．…(7分）（２)因为M,N分别为棱AD，ＢD的中点，所以MN∥AB，又AＢ⊥CD，AB⊥AD，故MN⊥AＤ，ＭN⊥CD．…(9分)因为AD∩CD=Ｄ,AD，CD⊂平面AＣD，所以MＮ⊥平面ＡCD又ＭN⊂平面MNQ，所以平面MNQ⊥平面ACＤ．…（14分)【点评】本题考查线面平行，平面与平面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.17．已知命题p：“存在ｘ∈Ｒ,x2﹣2x+m≤0”，命题q:“曲线表示焦点在ｘ轴上的椭圆”，命题r：t<m＜ｔ+1（１)若“p且q”是真命题,求m的取值范围；(2)若q是r的必要不充分条件,求t的取值范围.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】(1)若p为真：△≥0；若q为真:则,若“p且q”是真命题，求其交集即可得出;（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t,ｔ+1)⊊(﹣１,2）,解出即可得出. 【解答】解：(1）若ｐ为真：△＝４﹣4m≥０﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分）解得ｍ≤1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（２分）若ｑ为真：则﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）解得﹣１＜m<２﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）若“p且q”是真命题,则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分）解得﹣1＜ｍ≤1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（７分）(２)由ｑ是ｒ的必要不充分条件,则可得（ｔ，t＋１)⊊(﹣1，2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分)即（等号不同时成立）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(１３分）解得﹣１≤t≤１﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1５分）【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．1８.已知函数f（x)=﹣ｘ３+3x2+９x+a．(1）当a=﹣2时,求f(x)在x=2处的切线方程;（２)若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为2２，求它在该区间上的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】（1)求出f（x)的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得切线的方程；（2)求得导数，求得极值点，求出单调区间，可得ｆ(x）的最值，解方程可得ａ=0,进而得到最小值．【解答】解：(１）f(ｘ)的导数为f′（x)=﹣3x２＋6ｘ+9,可得切线的斜率为f′（２)=９，切点为(2，２0）,所以f(x)在x=２处的切线方程为ｙ﹣20=9（x﹣2），即９x﹣y+2＝0．（2）令f′(ｘ)=﹣3x２+6x+9=0,得x=3(舍）或x=﹣1,当x∈（﹣2,﹣1）时,f＇(x)<0，所以f(x)在x∈(﹣2,﹣1)时单调递减,当x∈(﹣1,2)时f＇(x)>0,所以ｆ（ｘ）在x∈（﹣1,２)时单调递增,又ｆ(﹣２)=2+a,f(２)=22+ａ，所以f（2)>ｆ(﹣2）．因此f(2)和ｆ（﹣1)分别是f（ｘ）在区间［﹣２,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a=2２，解得a=0．故f(x)=﹣x3＋３x2+9x,因此f(﹣1）＝﹣5，即函数f（x）在区间[﹣2,2］上的最小值为﹣5.【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值,考查运算能力，属于中档题．１９.椭圆Ｅ：＋=1（a＞b＞０)经过点(1,),且离心率为，过点P的动直线l与椭圆相交于Ａ，B两点.(1)求椭圆E的方程；（2)若椭圆E的右焦点是P,其右准线与x轴交于点Ｑ，直线AQ的斜率为k1，，求证：k1＋k2=0;直线ＢQ的斜率为k２（３）设点P(ｔ,0)是椭圆E的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点)，是否存在与点Ｐ不同的定点Q,使得＝恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在，说明理由.【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆E：+＝1(a＞ｂ＞0)经过点（1，），且离心率为，利用椭圆简单性质列出方程组,求出a，ｂ，由此能求出椭圆E的方程.(２)设Ａ（ｘ1,y1）,B(ｘ2，y2)，则,由此利用点差法能证明k１+k２=0.（3）当直线l与y轴平行时，Ｑ点的坐标为（x0，0);当直线ｌ与ｙ轴垂直时,Q 点坐标只可能为,再证明对任意直线l,均有即可．【解答】解:(１)∵椭圆Ｅ:＋＝1（a＞b>0)经过点（１,)，且离心率为,∴，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为．(4分）证明:(2)设A（x１,ｙ１），Ｂ（ｘ2，ｙ２),则.由题意P(１，０），Q(2，0），∵.∴,若y1=y2，则k１=k２＝0,结论成立．(此处不交代扣1分）若y1≠y２，则x1y2+x2ｙ1＝2(y１+y2)，∴.(10分)备注：本题用相似三角形有关知识证明同样给分，用韦达定理解决也相应给分．解:（3)当直线l与y轴平行时，设直线l与椭圆相交于C,D两点，如果存在定点Q满足条件,则有，即QC=QD,∴Q在ｘ轴上,可设Q点的坐标为（x0，0).当直线ｌ与y轴垂直时，设直线与椭圆相交于M，N两点，则M,Ｎ的坐标分别为，由，有,解得.∴若存在不同于点Ｐ不同的定点Q满足条件,则Q点坐标只可能为.（12分）下面证明:对任意直线l，均有.记直线AQ的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2,设A(ｘ1,y1),B(x２，ｙ２）,则．由题意，∵.∴若y1＝y2，则ｋ1=k2＝０.∴．点B于ｘ轴对称的点B'的坐标为(﹣x2，y２）.∴k Q A=ｋQB′，∴Ｑ,A，B'三点共线.∴.∴对任意直线ｌ,均有．(1６分)【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查ｋ１＋k2=0的证明,考查是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立的判断与证明，是中档题,解题时要认真审题，注意椭圆性质、椭圆与直线位置关系的合理运用.20．已知函数f(x）＝lnx﹣,g(ｘ)=x﹣1.(1）求函数f（ｘ）的单调递减区间；（2）若关于x的方程f(x)﹣g(ｘ）+a=０在区间（，e)上有两个不等的根,求实数a的取值范围；(３）若存在x0＞１，当x∈(１,ｘ0）时，恒有f(x）>kg(x）,求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数,由导数小于０，可得减区间，注意定义域;（2)由题意可得﹣a＝ｌｎx﹣﹣（ｘ﹣1）在（，e)上有两个实根，令h(ｘ)＝lｎx﹣﹣（x﹣1）,求出导数，求得单调区间、极值和最值,可得ａ的范围；(3）由题意可得当x∈（1，x)时,ｆ（x）的图象恒在直线ｙ＝k(x﹣１)的上方，０求出f(x）的单调区间，画出它们的图象,由直线和曲线相切，求得k，再由直线旋转可得ｋ的范围.【解答】解：（1)函数f(x)＝lnｘ﹣的导数为f′（x）=﹣(x﹣1)＝，(x>0)，由f′(x)<0,可得ｘ>，即有f(ｘ）的单调减区间为(,+∞)；（２）由题意可得﹣a=ｌnｘ﹣﹣(ｘ﹣１)在（，e)上有两个实根, 令ｈ（x)＝lｎｘ﹣﹣(x﹣１)，h′(x）=﹣（x﹣1）﹣1=，即有ｈ(x）在（，1）递增，（1,e）递减，且h(１）＝0，h()=﹣（1﹣）２﹣＞h(e)＝２﹣e﹣(e﹣1)2，由题意可得﹣（1﹣)２﹣＜﹣a＜0,解得0＜a＜（1﹣)2+；(3)由题意可得当x∈（1，x)时,f（x)的图象恒在直线y=k（ｘ﹣1)的上方，０由f′(ｘ)=﹣(x﹣1）＝,（x>0）,可得f(x）的增区间为(1，）减区间为(，+∞)；直线y＝ｋ（x﹣1)为过定点（1,0）的直线．画出它们的图象，当直线与曲线y=f（x)相切时,切点为(1,0）,可得ｋ=f′(1）=1﹣(1﹣1)=1，通过直线绕着定点(1，0)旋转,可得ｋ的取值范围是k≤1．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值,考查函数方程的转化思想,以及不等式恒成立问题的解法,属于中档题.。

扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题高 二 数 学2018．1（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．命题“x ∃∈R ，210x -<”的否定是 ▲ ． 2．直线210x y ++=在y 轴上的截距为 ▲ ． 3．抛物线24y x =的焦点坐标为 ▲ ．5．在边长为2的正方形内随机取一点，取到的点到正方形中心的距离大于1的概率为 ▲ ． 6．某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为n 的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么n = ▲ ． 7．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 ▲ ．8．已知函数ln(4)y x =-的定义域为A ，集合{|}B x x a =>，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．9． 已知椭圆22:1x y C +=上的点M 到右焦点的距离为2，则点M 到左准线的距离为 ▲ ．11．已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 是()f x 的导函数，且(2)3f =，'()1f x <，则不等式()1f x x >+的解集为 ▲ ．12．已知(4,0)A ，(1,0)B ，动点P 满足2PA PB =．设点P 到点(3,0)C -的距离为d ，则d 的取值范围为 ▲ ．13．斜率为13直线l 经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点A ，且与椭圆交于另一个点B ，若在y轴上存在点C 使得ABC △是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率 为 ▲ ． 14． 已知函数2()|3|f x x x a =-在[0,2]x ∈的值域为[0,4]m ，则实数m 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）已知命题p ：“椭圆2215x y a+=的焦点在x 轴上”；命题q ：“关于x 的不等式23230x ax ++≥在R 上恒成立”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2） 若命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 16．（本题满分14分）为了让学生更多地了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音” 的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如（1）填充上述表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）； （2）若利用组中值近似计算数据的平均数，求此次数学史初赛的平均成绩；（3）甲同学的初赛成绩在[90,100]，学校为了宣传班级的学习经验，随机抽取分数在[90,100]的4位同学中的两位同学到学校其他班级介绍，求甲同学被抽取到的概率．17．（本题满分14分）已知圆C 的半径为3，圆心在y 轴正半轴上，直线4390x y --=圆C 相切． （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)Q 的直线l 与圆C 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 且4AB =，求12x x 的值． 18．（本题满分16分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x （年）（其中*x N ∈）的关系为2x y e =．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值21ayM x x =-+（其中a 为常数，且0a >）来进行生态环境分析． （1）当1a =时，求比值M 取最小值时x 的值； （2）经过调查，环保部门发现：当比值M 不超过4e 时不需要进行环境防护．为确保恰好．．3年不需要进行保护，求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底， 2.71828e =L ）19．（本题满分16分）已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的右准线方程为2x =，椭圆的左顶点为A ，上顶点为B ，点P 为椭圆上异于,A B 任意一点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线BP 与x 轴交于点M ，直线AP 与y 轴交于点N ，求证：AM BN ⋅为定值． 20．（本题满分16分）已知：函数()ln f x ax x =-． （1）当1a =时，求函数()y f x =的极值；（2）若函数()()2g x f x x =-，讨论()y g x =的单调性；（3）若函数2()()h x f x x =+的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<．设012x x x λμ=+，其中常数λ、μ满足条件1λμ+=，且0≥>μλ．试判断在点00(,())M x h x 处的切线斜率的正负，并说明理由．扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题高 二 数 学 参 考 答 案 2018．11．x ∀∈R ，210x -≥ 2．1- 3．(1,0) 4．y x = 5． 14π-6．45 7．1158．(,4)-∞ 9．4 10．221y x -= 11．(,2)-∞ 12．[1,5] 1314．1215．解：（1）p 真：椭圆2215x y a+=的焦点在x 轴上 ∴05a << …………5分（2）∵“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题 ∴p 真q 假或p 假q 真………………7分q 真：∵关于x 的不等式23230x ax ++≥在R 上恒成立∴2(2)4330a ∆=-⨯⨯≤，解得：33a -≤≤ ……………………11分 ∴0533a a a <<⎧⎨<->⎩或或0533a a a ≤≥⎧⎨-≤≤⎩或 解得：35a <<或30a -≤≤∴实数a 的取值范围是35a <<或30a -≤≤． ……………………14分 16．解：（1）①22；②14；③0.28； ……………………3分 （2）650.20750.44850.28950.0877.4⨯+⨯+⨯+⨯=； ……………………8分 （3）记“甲同学被抽取到”为事件A ，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为： 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6个基本事件；满足事件A 的基本事件：甲乙、甲丙、甲丁，共3个基本事件，则1()2P A = ……………………13分答：此次数学史初赛的平均成绩为77.4，甲同学被抽取到的概率为12．……………………14分 17．解：（1）设(0,)C m ，0m >∵直线4390x y --=圆C 相切，且圆C 的半径为3 ∴|39|35m --=，解得2m =或8m =- ∵0m > ∴2m = ……………………5分 ∴圆C 的方程为：22(2)9x y +-=； ……………………7分 （2）若直线AB 的斜率不存在，则直线:1AB x =∴AB = 若直线AB 的斜率存在，设AB ：(1)y k x =-∵4AB = ∴点C 到直线:0AB kx y k --==化简得：24410k k -+= ∴12k =……………………9分 联立方程：221(1)2(2)9y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，消去y 得：2510110x x --=∴12115x x =- ……14分18．解：（1）当1a =时，22(1)1xe M x x x =>-+，∴222(1)(2)'(1)x x x e M x x --=-+……………………3分列表得：…………………6分∴M 在(1,2)上单调减，在(2,)+∞上单调增 ∴M 在2x =时取最小值；……………………8分（2）∵222(1)(2)'(0)(1)xa x x e M a x x --=>-+ 根据（1）知：M 在(1,2)上单调减，在(2,)+∞上单调增 ∵确保恰好．．3年不需要进行保护 ∴43444(1)22(3)72(4)13M e e ae M e ae M e ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得：13722e a<≤答：实数a 的取值范围为137(,]22e． ……………………16分19．解：（1）∵椭圆的右准线方程为2x = ∴22a c =∴a = ∴21,2c a == ∴21b = ∴椭圆的方程为：2212x y +=；………………6分（2）方法（一）设点00(,)P x y ，则220012x y +=，((0,1)A B ，即220022x y +=． 当00x =时，(0,1)P -，则(0,0)M ，(0,1)N -∴2AM BN ⋅=分∵点P 异于点A ∴0x ≠当0x ≠00x ≠时，设直线AP 方程为：y x =，它与y 轴交于点N直线BP 方程为：0011y y x x -=+，它与x 轴交于点00(,0)1x M y --∴000||1x AM y =-=-，|1BN ==…………12分∴22000||(1)x AM BN y --⋅==-||== ……………………16分方法（二）若直线BP 斜率不存在，则直线BP 方程为：0x =，此时(0,1)P -，则(0,0)M ，(0,1)N -∴2AM BN ⋅= ………………8分若直线BP 斜率存在，设直线BP 方程为：1y kx =+，且0k ≠∴1(,0)M k-且1|AM k =-= ………………10分 则联立方程：22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：22(21)40k x kx ++=，解得： 10x =或22421k x k =-+，即点222421(,)2121k k P k k -+-++ ∵点P 异于点A∴k ≠∴22222121421APk k k k k -++===-+∴直线AP的方程为：y x =+，则(0,N且|1|BN == ………………14分∴1|||AM BN k -⋅=⨯= ………………16分20．解：（1）当1a =时，()ln f x x x =- ∴()11'1x f x-=-=，令()'0f x =，则1x =，列表得：∴()f x 有极小值()11f =，无极大值； ……………………3分 （2）()2ln g x ax x x =--，0x >∴()2121'2x ax g x a x x x-+-=--=，设2()21G x x ax =-+-①当0a ≤时，()0G x <恒成立，即()'0g x <恒成立，∴()g x 在(0,)+∞上单调减；②当0a >且280a ∆=-≤，即0a <≤()'0G x ≤恒成立，且不恒为0，则()'0g x ≤恒成立，且不恒为0，∴()g x 在(0,)+∞上单调减； ③当0a >且280a ∆=->，即a >()0G x =有两个实数根：12x x =121210,022a x x x x +=>=>∴120x x>> ∴当20x x <<或1x x >时，()0G x <，'()0g x <；当21x x x <<时，()0G x>，'()0g x >； ∴()g x在和)+∞上单调减，在上单调增．∴综上：当a ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调减；当a >时，()g x 在和)+∞上单调减，在上单调增． ……………………7分（3）2()ln h x ax x x =-+，1'()2h x a x x=-+，问题即为判断0'()h x 的符号． ∵函数2()()h x f x x =+的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<∴21112222ln 0ln 0ax x x ax x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 两式相减得：22121212()(ln ln )()0a x x x x x x ---+-=∴121212ln ln ()x x a x x x x -=-+- ……………………9分∴01212121'()'()2()h x h x x a x x x x =+=-+++λμλμλμ121212121212121212ln ln ln ln 11()2()(21)()x x x x x x x x x x x x x x x x x x --=-+-++=+----+-+λμλλμλμ ∵0≥>μλ且1+=λμ ∴210-≤λ ∵120x x << ∴12(21)()0x x --≥λ………………11分 研究：121212ln ln 1x x x x x x ---+λμ的符号，即判断112212ln x x x x x x --+λμ的符号． 令12,(0,1)x t t x =∈，1122121ln ln x x x t t x x x t ---=-++λμλμ，设1()ln ,(0,1)t H t t t t -=-∈+λμ∴2222221()(1)11(21)'()()()()t t t t H t t t t t t t +--+-+=-=-=+++λμλλλμμλμλμλμ方法（一）设222()(21)F t t t =+-+λλμμ，其对称轴为：2221212(1)1211222t ----===+≥λμλλλλλλ∴()F t 在(0,1)上单调减，则222()(1)21()10F t F >=+-+=+-=λλμμλμ，即'()0H t >在(0,1)上恒成立 ∴()H t 在(0,1)上单调增 ∴()(1)0H t H <=，即112212ln 0x x xx x x --<+λμ ……………14分 ∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x -->-+λμ∴12121212ln ln 1(21)()0x x x x x x x x -+--->-+λλμ，即0'()0h x >∴在点00(,())M x h x 处的切线斜率为正． ……………………16分方法（二）2222222(21)(1)()'()()()t t t t H t t t t t +-+--==++λλμμλμλμλμ ∵0≥>μλ，01t << ∴2210,0t t -<-<λμ ∴'()0H t >在(0,1)上恒成立 ∴()H t 在(0,1)上单调增 ∴()(1)0H t H <=，即112212ln 0x x xx x x --<+λμ ……………14分 ∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x -->-+λμ∴12121212ln ln 1(21)()0x x x x x x x x -+--->-+λλμ，即0'()0h x >∴在点00(,())M x h x 处的切线斜率为正． ……………………16分。

2020-2021学年扬州市高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知A(2,3)，F 为抛物线y 2=6x 焦点，P 为抛物线上动点，则|PF|+|PA|的最小值为( )A. 5B. 4.5C. 3.5D. 不能确定2.不等式1≤|x −2|≤7的解集为( )A. {x|x ≤1或x ≥3}B. {x|1≤x ≤3}C. {x|−5≤x ≤1或3≤x ≤9}D. {x|−5≤x ≤9}3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1+a 3<2a 2”是“S 2n−1<0”的( )A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要4.已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ,a n 使得√a m a n =4a 1，则1m +4n 的最小值为( )A. 9B. 43C. 53D. 325.已知函数f(x)(x ∈R)满足f(1)=1，且f′(x)<12，则f(x)<x2+12的解集为( )A. {x|−1<x <1}B. {x|x >−1}C. {x|x <−1或x >1}D. {x|x >1}6.已知数列{a n }是从第二项起各项均为正数的等差数列，其前13项和S 13=132，则1a 5+4a 9的最小值为 ( )A. 8B. 9C. 12D. 167.已知两平面的法向量分别为m⃗⃗⃗ =(0,1,0)，n ⃗ =(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) A. 45°B. 135°C. 45°或135°D. 90°8.一元二次不等式x 2−x −2>0的解集是( )A.B. C. D. (−2,1)9.等差数列{a n }中，a 1=1，a n+1−a n =2，则a 50的值为( )A. 99B. 100C. 101D. 10210. (理)抛物线x 2=16y 的准线与双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)一条渐近线交点的横坐标为−8，双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为( ) A. √2B. √3C. 2D. √511. 当−π2≤x ≤π2时，函数f(x)=sin(2π+x)+√3cos(2π−x)−sin(2013π+π6)的最大值和最小值分别是( )A. 52，−12B. 52，32C. 32，−12D. 32，−3212. 已知双曲线x 2−y 2b 2=1的两条渐近线的夹角为60°，且焦点到一条渐近线的距离大于√22√1+b ，则b =( )A. 3B. 13C. √3D. √33二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在平面直角坐标系中，动点P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y =x 对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；④曲线W 上的点到原点距离的最小值为其中，所有正确结论的序号是________．14. 各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n . 对任意n ∈N ∗，m n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a n+1−a n , 2a n+1)都是直线y =kx 的法向量．若n →∞limS n 存在，则实数k 的取值范围是______．15. 已知抛物线C ：x 2=8y 的焦点为F ，过点P(0,−1)斜率为k(k >0)的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，AB 的中点Q 到x 轴的距离为3，若M 是直线l 上的一个动点，E(3,0)，则||MF|−|ME||的最大值为______．16. 已知一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解集为(1,2)，则不等式bx 2−cx +a ≥0的解集为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知a 、b 、c 都是正数，(1)求证：bca +cab+abc≥a+b+c，(2)若a+b+c=1，求证：1−aa +1−bb+1−cc≥6．18.已知在等差数列{a n}中，a2=4，a5+a6=15．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n−2+n，求b1+b2+⋯+b10．19.已知等腰梯形ABCD中(如图1)，AB=4，BC=CD=DA=2，F为线段CD的中点，E，M为线段AB上的点，AE=EM=1，现将四边形AEFD沿EF折起(如图2)．(Ⅰ)求证：AM||平面BCD；(Ⅱ)在图2中，若BD=√6，求直线CD与平面BCFE所成角的正弦值．20.如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，侧棱与底面所成的角为(O°<<90°)，点B1在底面上的射影D落在BC上(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；(2)若AB1⊥BC1，且点D为BC中点，求角；(3)若cos=，且当AC=BC=AA1时，求二面角C1−AB−C的大小。

江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期期末考试试卷（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“x ∃∈R ，210x -<”的否定是 ▲ ． 2．直线210x y ++=在y 轴上的截距为 ▲ ． 3．抛物线24y x =的焦点坐标为 ▲ ．4．曲线2sin y x x =-在(0,0)处的切线方程为 ▲ ．5．在边长为2的正方形内随机取一点，取到的点到正方形中心的距离大于1的概率为 ▲ ． 6．某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为n 的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么n = ▲ ．7．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 ▲ ．8．已知函数ln(4)y x =-的定义域为A ，集合{|}B x x a =>，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．9． 已知椭圆22:143x y C +=上的点M 到右焦点的距离为2，则点M 到左准线的距离为▲ ．10．已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且过点(1,2)，则双曲线的标准方程为 ▲ ． 11．已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 是()f x 的导函数，且(2)3f =，'()1f x <，则不等 式()1f x x >+的解集为 ▲ ．12．已知(4,0)A ，(1,0)B ，动点P 满足2PA PB =．设点P 到点(3,0)C -的距离为d ，则d 的 取值范围为 ▲ ．13．斜率为13直线l 经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点A ，且与椭圆交于另一个点B ，若在y 轴上存在点C 使得ABC △是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心 率为 ▲ ．14． 已知函数2()|3|f x x x a =-在[0,2]x ∈的值域为[0,4]m ，则实数m 的最小值为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知命题p ：“椭圆2215x y a+=的焦点在x 轴上”；命题q ：“关于x 的不等式23230x ax ++≥在R 上恒成立”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2） 若命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．16．（本题满分14分）为了让学生更多地了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：序号 分数段 人数 频率 1 [60,70) 10 0.20 2 [70,80) ① 0.44 3 [80,90) ② ③ 4[90,100]4 0.08 合计501（1）填充上述表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）； （2）若利用组中值近似计算数据的平均数，求此次数学史初赛的平均成绩；（3）甲同学的初赛成绩在[90,100]，学校为了宣传班级的学习经验，随机抽取分数在[90,100]的4位同学中的两位同学到学校其他班级介绍，求甲同学被抽取到的概率．17．（本题满分14分）已知圆C 的半径为3，圆心在y 轴正半轴上，直线4390x y --=圆C 相切． （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)Q 的直线l 与圆C 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 且4AB =，求12x x 的值．18．（本题满分16分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x （年）（其中*x N ∈）的关系为2x y e =．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值21ayM x x =-+（其中a 为常数，且0a >）来进行生态环境分析．（1）当1a =时，求比值M 取最小值时x 的值；（2）经过调查，环保部门发现：当比值M 不超过4e 时不需要进行环境防护．为确保恰好．．3年不需要进行保护，求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底， 2.71828e =）19．（本题满分16分）已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的右准线方程为2x =，又离心率为22，椭圆的左顶点为A ，上顶点为B ，点P 为椭圆上异于,A B 任意一点． （1）求椭圆的方程；（2）若直线BP 与x 轴交于点M ，直线AP 与y 轴交于点N ，求证：AM BN ⋅为定值．20．（本题满分16分）已知：函数()ln f x ax x =-．（1）当1a =时，求函数()y f x =的极值；（2）若函数()()2g x f x x =-，讨论()y g x =的单调性；（3）若函数2()()h x f x x =+的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<．设 012x x x λμ=+，其中常数λ、μ满足条件1λμ+=，且0≥>μλ．试判断在点00(,())M x h x 处 的切线斜率的正负，并说明理由．参考答案1．x ∀∈R ，210x -≥ 2．1- 3．(1,0) 4．y x = 5． 14π-6．45 7．1158．(,4)-∞ 9．4 10．221y x -= 11．(,2)-∞ 12．[1,5] 13．6314．1215．解：（1）p 真：椭圆2215x y a+=的焦点在x 轴上 ∴05a << …………5分（2）∵“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题 ∴p 真q 假或p 假q 真………………7分q 真：∵关于x 的不等式23230x ax ++≥在R 上恒成立∴2(2)4330a ∆=-⨯⨯≤，解得：33a -≤≤ ……………………11分 ∴0533a a a <<⎧⎨<->⎩或或0533a a a ≤≥⎧⎨-≤≤⎩或 解得：35a <<或30a -≤≤ ∴实数a 的取值范围是35a <<或30a -≤≤． …………………14分 16．解：（1）①22；②14；③0.28； …3分 （2）650.20750.44850.28950.0877.4⨯+⨯+⨯+⨯=； …………8分 （3）记“甲同学被抽取到”为事件A ，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为： 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6个基本事件；满足事件A 的基本事件：甲乙、甲丙、甲丁，共3个基本事件，则1()2P A =……………………13分 答：此次数学史初赛的平均成绩为77.4，甲同学被抽取到的概率为12．……………14分 17．解：（1）设(0,)C m ，0m >∵直线4390x y --=圆C 相切，且圆C 的半径为3∴|39|35m --=，解得2m =或8m =- ∵0m > ∴2m = ……………………5分 ∴圆C 的方程为：22(2)9x y +-=； ……………………7分 （2）若直线AB 的斜率不存在，则直线:1AB x =∴42AB =，不符合题意，舍； 若直线AB 的斜率存在，设AB ：(1)y k x =-∵4AB = ∴点C 到直线:0AB kx y k --=的距离为5，即2|2|51k k --=+，化简得：24410k k -+= ∴12k =……………………9分 联立方程：221(1)2(2)9y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，消去y 得：2510110x x --=∴12115x x =- ……14分18．解：（1）当1a =时，22(1)1xe M x x x =>-+，∴222(1)(2)'(1)x x x e M x x --=-+……………3分 列表得：x(1,2) 2 (2,)+∞()'f x-0 +()f x单调减极小值单调增……………6分∴M 在(1,2)上单调减，在(2,)+∞上单调增 ∴M 在2x =时取最小值；…………………8分 （2）∵222(1)(2)'(0)(1)xa x x e M a x x --=>-+ 根据（1）知：M 在(1,2)上单调减，在(2,)+∞上单调增∵确保恰好．．3年不需要进行保护 ∴43444(1)22(3)72(4)13M e e ae M e ae M e ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得：13722e a <≤ 答：实数a 的取值范围为137(,]22e． ……………………16分19．解：（1）∵椭圆的右准线方程为2x = ∴22a c = ∵离心率为22∴2a c = ∴21,2c a == ∴21b = ∴椭圆的方程为：2212x y +=； ………………6分（2）方法（一）设点00(,)P x y ，则220012x y +=，(2,0),(0,1)A B -，即220022x y +=． 当00x =时，(0,1)P -，则(0,0)M ，(0,1)N - ∴2222AM BN ⋅=⨯=………8分 ∵点P 异于点A ∴02x ≠-当02x ≠-且00x ≠时，设直线AP 方程为：00(2)2y y x x =++，它与y 轴交于点002(0,)2y N x +直线BP 方程为：0011y y x x -=+，它与x 轴交于点00(,0)1x M y --∴0000022|2|||11x y x AM y y --=-+=--，00000222|1|||22y x y BN x x +-=-=++……12分 ∴220000000000000000(22)(22)2222422||||(1)(2)22y x x y x y x y x y AM BN y x x y x y --+-+++--⋅=⋅=-+-+- 000000002222422||2222x y x y x y x y ++--==-+-为定值．……………………16分 方法（二）若直线BP 斜率不存在，则直线BP 方程为：0x =，此时(0,1)P -，则(0,0)M ， (0,1)N - ∴2222AM BN ⋅=⨯= ………………8分若直线BP 斜率存在，设直线BP 方程为：1y kx =+，且0k ≠∴1(,0)M k-且 121|2|||k AM k k -=-+= ……………10分 则联立方程：22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：22(21)40k x kx ++=，解得： 10x =或22421k x k =-+， 即点222421(,)2121k k P k k -+-++ ∵点P 异于点A ∴22k ≠∴2222221212121422422(21)221APk k k k k k k k k k -+-+++===--+--++ ∴直线AP 的方程为：21(2)2(21)k y x k +=-+-，则21(0,)21k N k +--且2122|1|||2121k k BN k k +=+=-- ………………14分∴2122||||2221k kAM BN k k -⋅=⨯=-为定值． ……………16分20．解：（1）当1a =时，()ln f x x x =- ∴()11'1x f x x x-=-=，令()'0f x =，则1x =，列表得：x(0,1) 1 (1,)+∞()'f x-0 +()f x单调减极小值单调增∴()f x 有极小值()11f =，无极大值； ………………3分（2）()2ln g x ax x x =--，0x >∴()2121'2x ax g x a x x x-+-=--=，设2()21G x x a x =-+-①当0a ≤时，()0G x <恒成立，即()'0g x <恒成立，∴()g x 在(0,)+∞上单调减； ②当0a >且280a ∆=-≤，即022a <≤时，()'0G x ≤恒成立，且不恒为0，则()'0g x ≤恒成立，且不恒为0，∴()g x 在(0,)+∞上单调减； ③当0a >且280a ∆=->，即22a >时，()0G x =有两个实数根：221288,44a a a a x x +---==，且121210,022a x x x x +=>=> ∴120x x >> ∴当20x x <<或1x x >时，()0G x <，'()0g x <；当21x x x <<时，()0G x >，'()0g x >；∴()g x 在28(0,)4a a --和28(,)4a a +-+∞上单调减，在2288()44a a a a --+-，上单调增．∴综上：当22a ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调减；当22a >时，()g x 在28(0,)4a a --和28(,)4a a +-+∞上单调减，在2288()44a a a a --+-，上单调增．……………7分（3）2()ln h x ax x x =-+，1'()2h x a x x=-+，问题即为判断0'()h x 的符号． ∵函数2()()h x f x x =+的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<∴21112222ln 0ln 0ax x x ax x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 两式相减得：22121212()(ln ln )()0a x x x x x x ---+-=∴121212ln ln ()x x a x x x x -=-+- ………………9分∴01212121'()'()2()h x h x x a x x x x =+=-+++λμλμλμ121212121212121212ln ln ln ln 11()2()(21)()x x x x x x x x x x x x x x x x x x --=-+-++=+----+-+λμλλμλμ∵0≥>μλ且1+=λμ ∴210-≤λ∵120x x << ∴12(21)()0x x --≥λ………………11分 研究：121212ln ln 1x x x x x x ---+λμ的符号，即判断112212ln x x x x x x --+λμ的符号．令12,(0,1)x t t x =∈，1122121ln ln x x x t t x x x t ---=-++λμλμ，设1()ln ,(0,1)t H t t t t -=-∈+λμ∴2222221()(1)11(21)'()()()()t t t t H t t t t t t t +--+-+=-=-=+++λμλλλμμλμλμλμ方法（一）设222()(21)F t t t =+-+λλμμ，其对称轴为：2221212(1)1211222t ----===+≥λμλλλλλλ∴()F t 在(0,1)上单调减，则222()(1)21()10F t F >=+-+=+-=λλμμλμ，即'()0H t >在(0,1)上恒成立 ∴()H t 在(0,1)上单调增 ∴()(1)0H t H <=，即112212ln0x x x x x x --<+λμ ……………14分 ∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x -->-+λμ∴12121212ln ln 1(21)()0x x x x x x x x -+--->-+λλμ，即0'()0h x >∴在点00(,())M x h x 处的切线斜率为正． ………………16分方法（二）2222222(21)(1)()'()()()t t t t H t t t t t +-+--==++λλμμλμλμλμ∵0≥>μλ，01t << ∴2210,0t t -<-<λμ ∴'()0H t >在(0,1)上恒成立 ∴()H t 在(0,1)上单调增 ∴()(1)0H t H <=，即112212ln 0x x x x x x --<+λμ ……………14分 ∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x -->-+λμ∴12121212ln ln 1(21)()0x x x x x x x x -+--->-+λλμ，即0'()0h x > ∴在点00(,())M x h x 处的切线斜率为正． ……………16分。

江苏省扬州中学2022-2023学年高二期末迎考模拟试卷注意事项：1.本试卷共150分，考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列3，5，9，17，33，⋯的一个通项公式为（ ） A ．2n a n =B ．21n n a =-C ．12n n a +=D ．21n n a =+2．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于A ，B 两点.若||||4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎤⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．⎛ ⎝⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．若M 是圆()()22:321C x y ++-=上任一点，则点M 到直线2y kx =-的距离的值不可能等于（ ）A ．4B ．6C ．1D ．84．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若0(2)(2)1lim22x f f x x →-+∆=∆，则(2)f '=（ ）A ．1-B ．14-C ．1D ．145．当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．16．某大学毕业生为自主创业于2019年8月初向银行贷款360000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2019年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为0.5%，现因经营状况良好准备向银行申请提前还款，计划于上2024年8月初将数额少（ ）（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：1年按12个月计算） A ．18300元B ．22450元C ．27450元D ．28300元7．已知函数()()22log 1,131255,322x x f x x x x ⎧+-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不同的实数解1234,,,x x x x ，且满足1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）A ．121x x =-B ．[]3421,25x x ∈C ．3422x x +=D ．12111x x +=- 8．已知1F 、2F 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线的渐近线上一点，满足1260F PF ∠=︒，12OP F =（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ） ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ） A ．1x y +≤ B ．2x y +≥- C ．222x y +≤D ．221x y +≥10．已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线11．已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>12．双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（ ）AB ．32C D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．14．已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．15．曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．16．设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.(1)经过点()3,2A，(B ，圆心在x 轴上；(2)经过直线210x y ++=与230x y -+=的交点，圆心为点()2,1C -.18．已知数列{}n a 满足212n n n a a a ++=，且1411,381a a ==. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设31212111()log ,()()(),n n n nf x x b f a f a f a T b b b ==+++=+++，求2017T .19．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F l交C 于,P Q 两点，且12PF PF -=(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若点()2,1A ，直线,AP AQ 与y 轴分别相交于,M N 两点，且0,OM ON O +=为坐标原点，证明：直线l 过定点.20．已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足()241n n S a =+.(1)求n a ；(2)令12nn n a a b +=，记数列{}n b 前n 项和为n T ，若对任意的*n ∈N ，均有16(34)(25)()29n n n m n T +≥--⋅恒成立，求实数m 的取值范围.21．已知函数()321()13f x x a x x =--+.（1）若2a ＝-，求函数()f x 的单调区间；（2）求证：对任意的a ∈R ，()f x 只有一个零点.22．已知2x =是函数2()e x f x ax =-的极值点. (1)求a ；(2)证明：()f x 有两个零点，且其中一个零点02,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；(3)证明：()f x 的所有零点都大于1ln 22-.参考答案：1．D【分析】根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式.【详解】解：因为1321=+，2521=+，3921=+，41721=+，53321=+，……，所以数列3，5，9，17，33，⋯的一个通项公式可以为21nn a =+.故选：D 2．C【分析】根据椭圆的定义结合几何关系求出2a =，并利用点到直线的距离关系求得1b ≥，进而可求离心率的取值范围.【详解】如图，设F '为椭圆的左焦点，连接,AF BF '', 由对称性可得O 为AB 中点，且O 为F F '中点， 则四边形AFBF '为平行四边形，所以4||||||||2AF BF AF AF a '=+=+=，所以2a =， 取(0,)M b ，因为点M 到直线l 的距离不小于45，45≥，解得1b ≥，所以c e a == 又因为0=>ce a，所以椭圆E 的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎦. 故选：C. 3．D【分析】根据题意作出示意图，判断出直线过定点()0,2-，进而求出圆心到直线距离的最大值，然后判断各个答案.【详解】如图，圆()()22:321C x y ++-=的圆心坐标为()3,2-，半径为1，直线2y kx =-过定点()0,2-．由图可知，圆心C 到直线2y kx =-5=，则点P 到直线2y kx =-距离的最大值为516+=；当直线与圆有公共点时，点P 到直线距离的最小值为0．即距离的范围是[]0,6. 选项中仅D 选项不在范围内.故选：D. 4．A【分析】根据极限与导数的定义计算． 【详解】00(2)(2)(2)(2)1lim2lim 2122(2)x x f x f f f x f x x →→'+∆--+∆=-==-⨯=-∆∆故选：A ． 5．B【分析】根据题意可知()12f =-，()10f '=即可解得,a b ，再根据()f x '即可解出． 【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，()12f =-，()10f '=，而()2a b f x x x '=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x'=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f '=-+=-．故选：B. 6．C【分析】分析可知所少的部分为按原计划还款时后60个月的利息，根据“等额本金还款法”，结合数列的知识计算可得后60个月的利息，从而得到结果.【详解】截止2024年8月，两种还款方式所还利息也相同，且两种还款方式最终所还本金相同，∴按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少的部分为：按原计划还款时，自2024年9月起至原计划结束时所还的利息，即共计60个月的利息； 每月应还本金为3600001203000÷=，2024∴年8月还完后本金还剩360000300060180000-⨯=， 2024∴年9月应还利息为：1800000.5%⨯； 2024年10月应还利息为：()180********.5%-⨯；2024年11月应还利息为：()180000300020.5%-⨯⨯；……，最后一次应还利息为：()1800003000590.5%-⨯⨯；∴后60个月的利息合计为：()()180000603000123590.5%⨯-⨯+++⋅⋅⋅+⨯()10800000300017700.5%=-⨯⨯27450=.即该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少27450元. 故选：C. 7．D【分析】先作函数()y f x =和y m =的图象，利用特殊值验证A 错误，再结合对数函数的性质及二次函数的对称性，计算判断BCD 的正误即可. 【详解】作函数()y f x =和y m =的图象，如图所示：当1m =时，()()2122log 1log 1x x +=+，即()()2122l og 11,l o g 11x x +=-+=，解得121,12x x =-=，此时1212x x =-，故A 错误；结合图象知，02m <<，当3x >时，可知34,x x 是方程()2125522f x x x m =-+=，即2102520x x m -+-=的二根，故3410x x +=，()3425221,25x x m =-∈，端点取不到，故BC错误；当13x -<≤时，()()2122log 1log 1x x +=+，即()()2122log 1log 1x x -+=+，故()2221log log 111x x =++，即21111x x =++，所以()()21111x x ++=，故1212x x x x +=-，即12121x x x x +=-，所以12111x x +=-，故D 正确.故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数有零点个数求参数值(取值范围)或相关问题，常先分离参数，再作图象，将问题转化成函数图象的交点问题，利用数形结合法进行分析即可. 8．A【分析】设,b P m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据12OP F 求出m ，再在12PF F △中，利用余弦定理得到关于,,a b c 的齐次方程，结合222c a b =+即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题可知，()1,0F c -，()2,0F c ，根据对称性，不妨设P 为渐近线b y x a =上一点，坐标为,b m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，因为12OP F =2c ，则222212b m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m ，故)P，在12PF F △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即222224))))c c c =+++-+122-，即22224424c a c b =++则22c =4422498c c a c =-， 即22485a c c =，即2285a c =，即2285c a =，所以c e a ===故选：A. 9．BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设cos sin 2y x y θθ-==，所以cos ,x y θθθ==，因此2222511cos sin cos 12cos 2333x y θθθθ=θ-θ+=++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当x y =221x y +≥不成立，所以D 错误． 故选：BC ． 10．AC【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x ¢>得x >x <令()0f x '<得x <所以()f x 在(,-∞，)+∞上单调递增，(上单调递减，所以x =是极值点，故A 正确；因(10f =>，10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当x ≥时，()0f x f ≥>⎝⎭，即函数()f x 在⎫∞⎪⎪⎝⎭上无零点， 综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-， 则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心， 将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象， 所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误. 故选：AC.11．BCD【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C 、D.【详解】将点A 的代入抛物线方程得12p =，所以抛物线方程为2x y =，故准线方程为14y =-，A 错误；1(1)210AB k --==-，所以直线AB 的方程为21y x =-， 联立221y x x y=-⎧⎨=⎩，可得2210x x -+=，解得1x =，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点， 所以，直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立21y kx x y=-⎧⎨=⎩，得210x kx -+=，所以21212Δ401k x x k x x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩，所以2k >或2k <-，21212()1y y x x ==，又||OP ==||OQ =所以2||||||2||OP OQ k OA ⋅==>=，故C 正确；因为1|||BP x =，2|||BQ x =，所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD 12．AC【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到23b a =或2a b =，即可得解，注意就,M N 在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支， OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=， 235NA NF 22a a ==， 21NF NF 2a -=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=， 选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 所以OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=， 由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==， 12NF NF 2a -=352222a b a a +-=， 所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ===选C[方法二]：答案回代法A e =选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，C e 选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49-=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ， 若,M N 分别在左右支， 因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 又OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+， 故()122sin sin sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin a c β=，cos b c β=，故4sin 5α=， 代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ===若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=-， 故()212sin sin sin NF NF cβαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a c βαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故e =故选：AC.13．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先求出点A 关于y a =对称点A '的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．0x -【分析】令AB 的中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令AB 的中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标， 再根据MN 求出k 、m ，即可得解；解：令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=，所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+=所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，所以,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1222mk m k ⨯=--，解得k =k =，又MN =MN =2m =或2m =-（舍去），所以直线:2AB y x =+，即0x -；故答案为：0x -=[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点E 既为线段AB 的中点又是线段MN 的中点， 设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为MN =OE =联立直线AB 与椭圆方程得22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 得222(12)4260k x mkx m +++-=其中2221224=4-4(12)260,12mkmk k m x x k ∆+-+=-+（）（）>，∴AB 中点E 的横坐标2212E mk x k =-+,又,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴22=122E mk x k m k =-+- ∵0k <，0m >，∴k又O E =m=2所以直线:2AB y x =+，即0x - [方法三]：令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=，所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+=所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >， 令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，所以,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 即1222mk m k ⨯=--，解得k =k =，又MN =MN =2m =或2m =-（舍去），所以直线:2AB y x =+，即0x -；故答案为：0x -=15． 1e y x = 1ey x =-【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得； 解： 因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e ey x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-， 又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e ey x -=+-，即1e y x =-；故答案为：1e y x =；1ey x =-[方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e ey x -=-，即1ey x =；因为ln y x =是偶函数，图象为：所以当0x <时的切线，只需找到1e y x =关于y 轴的对称直线1ey x =-即可.[方法三]：因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e ey x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-， 又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e ey x -=+-，即1ey x =-；故答案为：1e y x =；1ey x =-.16． 0（答案不唯一） 1【分析】根据分段函数中的函数1y ax =-+的单调性进行分类讨论，可知，0a =符合条件，a<0不符合条件，0a >时函数1y ax =-+没有最小值，故()f x 的最小值只能取2(2)y x =-的最小值，根据定义域讨论可知210a -+≥或()2212a a -+≥-， 解得 01a <≤.【详解】解：若0a =时，21,0(){(2),0x f x x x <=-≥，∴min ()0f x =；若a<0时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值，不符合题目要求； 若0a >时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递减，2()()1f x f a a >=-+，当x a >时，min20(02)(){(2)(2)a f x a a <<=-≥ ∴210a -+≥或2212a a -+≥-（）， 解得01a <≤， 综上可得01a ≤≤；故答案为：0（答案不唯一），117．(1)()2234x y -+=(2)()()22211x y ++-=【分析】（1）设出圆的方程，代入A 、B 两点坐标，求出圆心和半径，从而求出圆的方程；（2）先求出交点坐标，进而求出半径，写出圆的方程.【详解】（1）设圆的方程为()222x m y r -+=，由题意得：()()22223423m r m r⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：32m r =⎧⎨=⎩，所以圆的方程为()2234x y -+=；（2）联立210x y ++=与230x y -+=，解得：11x y =-⎧⎨=⎩，所以交点为()1,1-，则圆的半径为1=，所以圆的方程为()()22211x y ++-=.18．(1)1()3n n a =(2)20171009-【分析】(1)根据等比数列的定义求解通项公式；(2)利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）因为数列{}n a 满足212n n n a a a ++=，所以112n n nn a a a a +++=， 所以数列{}n a 是等比数列，首项为13，设公比为q ，由1411,381a a ==，可得：311813q =⨯，解得13q =.1111()()333n n n a -∴=⨯=.（2）31()log ()3nn f a n ==-，12(1)()()()122n n n n b f a f a f a n +∴=+++=----=-， 1112()1n b n n ∴=--+， 1211111111122(1)()()2(1)234111n n nT b b b n n n n -⎡⎤=+++=--+-++-=--=⎢⎥+++⎣⎦， 201720171009T -∴=. 19．(1)2212x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的定义，结合离心率得a =c = （2）设()0,M m ，则()()()11220,,,,,N m P x y Q x y -，进而求出直线AP ，AQ 的方程，并与椭圆联立方方程解得1212,,,x x y y ，进而得直线PQ 的方程为()211121y y y y x x x x --=--，并整理得22111m y x m -=-++即可证明结论.【详解】（1）解：因为12||||||PF PF -= 所以2a =a设双曲线C 的半焦距为c所以c a =，解得c =则1b =，所以双曲线C 的标准方程为2212x y -=.（2）证明：设()0,M m ，则()()()112210,,,,,,2AM m N m P x y Q x y k --=，12AN mk +=， 直线AP 的方程为12AM my k x m x m -=+=+， 直线AQ 的方程为12AN my k x m x m +=-=-.联立方程221222m y x m x y -⎧=+⎪⎨⎪-=⎩消去y 并整理得()222(1)1212202m x m m x m ⎡⎤--+---=⎢⎥⎣⎦显然()()()()2222211021Δ41422102m m m m m ⎧--≠⎪⎪⎨⎡⎤-⎪=-++->⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎩，即111m m m ⎧≠⎪⎪≠⎨⎪≠-⎪⎩所以，222111122222221(1)22,,(1)(1)22(1)212m m m m x x y x m m m m ++-+-=-==+=-------，联立方程221222m y x m x y +⎧=-⎪⎨⎪-=⎩消去y 并整理得()222(1)1212202m x m m x m ⎡⎤+-++--=⎢⎥⎣⎦，显然()()()()2222211021Δ41422102m m m m m ⎧+-≠⎪⎪⎨⎡⎤+⎪=+++->⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎩，即111m m m ⎧≠-+⎪⎪≠-⎨⎪≠⎪⎩ 2222222221(1)2,(1)22(1)2m m m x y x m m m ++--==-=-+-+-，即当1,1,1m m m ≠±≠≠时，直线PQ 的方程为()211121y y y y x x x x --=--， 将上面求得的1212,,,x x y y 的解析式代入得222222(1)2122(1)21(1)2m m m y x m m m ⎡⎤+--++=--⎢⎥--+--⎣⎦， 整理得22111m y x m -=-++，所以直线l 过定点()0,1.20．(1)()*21N n a n n =-∈(2)1,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据n a 与n S 的关系即可求解；（2）利用错位相减法求解得n T ，参变分离即可求m 的范围. 【详解】（1）因为()241n n S a =+， 当*2,n n ≥∈N 时，有()21141n n S a --=+， 两式相减得1221422n n n n n a a a a a ---+-=，移项合并同类项因式分解得()()1120n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以有120n n a a ---=，在()241n n S a =+中，当1n =得11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，故有()*21n a n n =-∈N（2）由（1）知12121()24n n n n b n --==⨯， 21231444n n nT -∴=++++， 23112344444n nn T ∴=++++ 21113111441411444444334414n n n n n n n n n n T --∴=++++-=-=-⨯--， 11634994n n n T -+∴=-⨯， 由题意，对任意的*n ∈N ，均有16(34)(25)()29nn n m n T +≥--⋅恒成立，1(25)(34)(34)294nn n n n m --+∴+≥⋅⨯，即42592n n m -≥⨯恒成立，设252n nn c -=，所以111232572222n n n n n n n n c c +++----=-=， 当3n ≤时，10n n c c +->，即1n n c c +> ；当4n ≥时，10n n c c +-<，即1n n c c +<，所以n c 的最大值为4316c =， 所以43191612m ≥⨯=. 故m 的取值范围是1,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间即可；（2）令()0f x =，则有3231x a x x =-+，令32()1x g x x x =-+，利用导数得出()g x 的单调性，从而得出结论．【详解】解：（1）2a =-时，321()2(1)3f x x x x =-++， 则22()42(2)6f x x x x '=-=++-，令()0f x '>，解得：2x >-2x <-令()0f x '<，解得：22x -<-故()f x 在(,2-∞-和(2-)∞+递增，在(2-2-递减；（2）证明： 令()0f x =，则有3231x a x x =-+， 令32()1x g x x x =-+， 则22222222(23)[(1)2]()0(1)(1)x x x x x g x x x x x -+-+'==>-+-+，故()g x 在R 上递增，又()g x ∈R ，所以3()a g x =仅有1个根，即()f x 只有1个零点.22．(1)2e 4； (2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)根据极值点的定义可得(2)0f '=，求得2e 4a =，检验即可； (2)根据函数零点个数、方程的根个数与函数图象交点的个数之间的联系，作出e x y =和22e 4y x =函数图象，结合图形即可判断零点的个数.利用零点的存在性定理即可判断零点的范围；(3)根据零点的定义可得221e (0)()4x h x x x -==≠，利用导数研究函数()h x 的性质，根据不等式的性质可得213132,0()1ln 222ln 22-<-<-<<--，又32e 4>，由放缩法可得11()ln 224h <-，结合图形即可证明.【详解】（1）2()e x f x ax =-，则()e 2x f x ax '=-，因为2x =是函数()f x 的极值点，所以(2)0f '=，即2e 40a -=，解得2e 4a =. 当2e 4a =时，2e ()e 2x f x x '=-， 当(1,2)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以2x =是函数()f x 的极小值点，故2e 4a =； （2）由(1)知，22e ()e 4xf x x =-，令()0f x =，则22e e 4x x =， 作e xy =和22e 4y x =函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有2个交点，且一个交点分布在(,0)-∞上，另一个分布在(0,)+∞上， 所以方程()0f x =有2个解，即函数()y f x =有2个零点.易知2是函数()f x 的一个零点，设另一个零点为0x ，又(0)10=>f ，2222e e 2e 2()e ()e 10e 4ef ---=--=-<， 所以2(0)()0ef f -<，又函数()f x 在定义域上连续， 由零点的存在性定理，知02(,0)ex ∈-； （3）由(1)知，22e ()e 4xf x x =-， 当0x =时，(0)1f =，当0x ≠时，令()0f x =，则22e 14x x -=， 设22e (0)()x h x x x -=≠，则()0h x >，23e (2)()x x x h x --='， 令()00h x x '>⇒<或2x >，令()002h x x '<⇒<<，所以函数()h x 在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增，在(0,2)上单调递减，又1(2)0,(2)4h h ->=，2ln 221-<-<-，得111ln 222-<<-- 所以213132,0()1ln 222ln 22-<-<-<<--，又332e >16e 4⇒>， 所以当1ln 22x =-时， 1322ln 2223322221e e (ln 22)11()11ln 224()()e e ln 22ln 22h ----=<=<<---， 作出函数()y h x =和14y =的图象，如图所示， 由图可知，两函数图象的交点的的横坐标都大于1ln 22-， 故函数()f x 的所有零点都大于1ln 22-. 【点睛】与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．。

扬州市2022-2022年高二上学期数学期末试题及答案2022—2022学年度第一学期高二数学期末调研测试试题2022．1（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．参考公式：样本数据某1,某2,均数．棱柱的体积VSh，其中S为底面积，h为高；棱锥的体积V221某某某2某,某n的方差：1n2某n某，其中某为样本平1Sh，其中S为底面积，h为高．32一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）Read某21．命题“若某0，则某0”的否命题是▲.If某1Theny2某12．右图给出的是一个算法的伪代码，若输入值为2，Ele则y=▲.y某3EndIfPrinty3．取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于10cm的概率为▲.4．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图，则该组数据的方差为▲.5．如右图，该程序运行后输出的结果为▲.第（2）题图12478801开始第（4）题图a1,b1b2baa1a3N输出b第（5）题图6．若正四棱锥的底面边长为23cm，体积为4cm，则它的侧面积为▲cm.23Y某2y21的7．已知抛物线y8某的焦点恰好是双曲线2a32右焦点，则双曲线的渐近线方程为▲.结束8．从集合{1,1,2}中随机选取一个数记为m，从集合{1,2}中随机选取一个数记为n，则方程某2y21表示双曲线的概率为▲.mn9．函数y1某co某,某[0,2]的单调减区间为▲.210．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是▲.（填写所有正确命题的序号）①m，n，mn；②l，m，lmA，l//，m////；③l//，m//，//l//m；④，m，nmn．e某11．设f(某)，其中a为正实数，若f(某)为R上的单调函数，则a的取值范围为21a某▲.某2y21的左、右焦点为F1，F2，其上一点P满足PF15PF2，则点P到12．已知双曲线169右准线的距离为▲.13．已知定义域为R的函数f(某)满足f(1)3，且f(某)的导数f(某)2某1，则不等式f(2某)4某22某1的解集为▲.某2y214．已知椭圆221ab0的右焦点为F1(1,0)，离心率为e．设A，B为椭圆上关于原ab点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若0k3，则e的取值范围为▲.二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是AB的中点．A1求证：（1）OE//平面BCC1B1；（2）若AC1A1B，求证：AC1BC．16．（本题满分14分2B1OC1AEBC第（15）题图已知命题p：实数某满足某2某80；命题q：实数某满足|某2|m(m0)．。

扬州市2018—2019学年度第一学期期末调研测试试题高二数学2019.01 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.命题“，”的否定是________．【答案】，【解析】【分析】根据全称命题“”的否定为特称命题“”即可得结果.【详解】因为“”的否定是“”，“，”的否定是“，”，故答案为，.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.2.已知直线过点,则直线的斜率为________．【答案】-1【解析】【分析】直接根据直线的斜率公式计算斜率的值即可.【详解】因为直线过点,所以直线的斜率为，故答案为.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.3.一质点的运动方程为（位移单位：；时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为________ ．【答案】6【解析】【分析】先求质点的运动方程为的导函数，再求得秒时的导函数值,即可得到所求的瞬时速度.【详解】质点的运动方程为，所以该质点在秒的瞬时速度为，故答案为6.【点睛】本题主要考查了导数的物理意义，属于基础题，导数在物理的应用,是近几年高考的热点，利用数学知识解决物理问题，在高考试卷中的份量在逐年加重，对此类题解题规律应好好把握.4.课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为, 若用分层抽样的方法抽取个城市，则丙组中应抽取的城市数为________个. 【答案】2【解析】【分析】根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果.【详解】城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4 ,12,8.本市共有城市数24 ,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，每个个体被抽到的概率是，丙组中对应的城市数8，则丙组中应抽取的城市数为,故答案为2.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.5.在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】【分析】直接利用抛物线的标准方程求得,再利用准线为可得结果.【详解】抛物线的开口向右，,所以抛物线的准线方程，即，故答案为.【点睛】本题考查抛物线的方程与准线方程,意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.6.执行如图所示的伪代码，若输出的的值为，则输入的的值是________．【答案】3【解析】【分析】分析出算法的功能是求分段函数的值，根据输出的值为10 ,分别求出当时和当时的值即可.【详解】由程序语句知：算法的功能是求的值，当时，，解得(或 ,不合題意舍去)；当时，,解得 ,舍去，综上，的值为3，故答案为3 .【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.7.若,则“”是“直线：与：垂直”的________条件．（注：在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“ 必要不充分”中选填一个）【答案】充分不必要【解析】【分析】两直线垂直等价于 ,即或 ,再根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】“直线与垂直” 等价于,即或,又易知：“”与“或”的充分不必要条件，即“”是直线与垂直的充分不必要条件，故答案为充分不必要.【点睛】本题考查了两直线垂直的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8.函数的单调递减区间为________．【答案】（写成，，也算对）【解析】【分析】由,知,由能求出的单调递减区间.【详解】,,由，得,的单调递减区间为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.利用导数求函数的单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间；求得的范围，可得函数的减区间.9.已知椭圆左焦点为，左准线为，若过且垂直于轴的弦长等于点到的距离，则椭圆的离心率是________．【答案】【解析】【分析】先求出过且垂直于轴的弦长和点到的距离,由过且垂直于轴的弦长等于点到的距离，建立方程，再利用的关系求出的值.【详解】过且垂直于轴的弦长等于，点到的距离,因为过且垂直于轴的弦长等于点到的距离，所以，即，故答案为.【点睛】本题主要考查椭圆的方程与离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．10.有一个质地均匀的正四面体木块个面分别标有数字.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于的概率为__________．【答案】【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有种情况，其中两次看不到的数字都大于的情况有，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为．答案：11.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为_______．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的一个焦点为（3，0），即可求出m的值，然后求解渐近线方程．【详解】∵双曲线的一个焦点为（3，0），∴m+m+1=9，∴m=4，双曲线方程化为：，可得渐近线方程：y=±x．故答案为：y=±x．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，是基本知识的考查．12.已知可导函数的定义域为，，其导函数满足,则不等式的解集为________．【答案】【解析】【分析】先构造函数，根据可得函数在上单调递增函数，结合不等式,变形得到,根据单调性解之即可.【详解】不等式，令，因为，所以则,函数在上单调递增函数，，即,根据函数在上单调递增函数可知，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.13.已知圆，为圆上的两个动点，且，为弦的中点.直线上有两个动点，且.当在圆上运动时，恒为锐角，则线段中点的横坐标取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由已知可得，在以为圆心，以2为半径的圆上，把在圆上运动恒为锐角转化为以为圆心，以2为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆外离求解.【详解】圆的半径为为弦的中点，，的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，设中点为，，且当在圆上运动时，恒为锐角，则以为圆心以2为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆外离，则，即，解得或，线段中点的横坐标取值范围为，故答案为.【点睛】本题考查直线与圆位置关系、圆与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为圆与圆的位置关系是解题的关键.14.函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】分段去绝对值，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于的不等式组，求解后再取并集得结果.【详解】，当时，，要使在上单调递增，则在上恒成立，即；当时，，要使在上单调递增，则在上恒成立，即，综上，实数的取值范囿是，故答案为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，以及不等式恒成立问题，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知为实数.命题：方程表示双曲线；命题：对任意，恒成立.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“或”为真命题、“且”为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由真可得,解不等式即可得到所求范围；(2)由真可得判别式小于0 ,解得的范国，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）若命题为真命题，则，即的取值范围是.（2）若命题为真命题，则，解得.即.∵命题“或”为真命题、“且”为假命题，∴和中有且仅有一个正确.若真假，则，解得；若假真，则，解得或.所以，综上所述：的取值范围为.【点睛】本题通过判断或命题、且命题真假，综合考查双曲线的方程以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.16.某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭.在进行资产清算时发现有3000名客户办理的充值会员卡上还有余额.为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽取了300名客户的充值卡余额进行统计．其中余额分组区间为，，，，，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：（1）求的值；（2）求余额不低于元的客户大约为多少人？（3）根据频率分布直方图，估计客户人均损失多少？(用组中值代替各组数据的平均值)．【答案】（1）（2）300人（3）765元【解析】【分析】(1)由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出的值；(2) 由直方图的性质求得余额在之间的频率为，由此能估计余额不低于900元的客户数量；（3）利用频率分布直方图中每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值，能求出客户人均损失的估计值.【详解】（1）由，解得.（2）余额在之间的频率为0.1，故可估计余额不低于900元的客户大约为（人）.（3）客户人均损失的估计值为：（元）.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.17.在平面直角坐标系中，直线，.(1)直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由;(2)已知点，若直线上存在点满足条件，求实数的取值范围.【答案】（1）过定点，定点坐标为；（2）或.【解析】【分析】(1) 假设直线过定点，则关于恒成立，利用即可结果；(2)直线上存在点,求得 ,故点在以为圆心，2为半径的圆上，根据题意，该圆和直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，由此求得实数的取值范围. 【详解】（1）假设直线过定点，则，即关于恒成立，∴，∴，所以直线过定点，定点坐标为（2）已知点,，设点，则，，∵,∴,∴所以点的轨迹方程为圆，又点在直线：上，所以直线：与圆有公共点，设圆心到直线的距离为，则，解得实数的范围为或.【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.18.2019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心、之间的距离为米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点，，，均在圆弧上，于点．设.当时,求喷泉的面积;(2)求为何值时，可使喷泉的面积最大?.【答案】（1）平方米（2）【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性质求出,即可求出喷泉的面积； (2)要构造矩形的面积关于角的函数，需要利用三角函数把矩形的长和宽用角表示出来，进而利用矩形的面积公式表示面积,然后利用导数求函数的最值，在求解时要注意角的取值范围.【详解】（1）在直角中，，，则,所以(平方米)答：矩形的面积为平方米.（2）在直角中，，，则，所以矩形的面积，令，，则，令，得.设，且列表如下：所以当时，最大，即最大.此时答：当为时，喷泉的面积最大【点睛】本题主要考查三角函数的应用以及利用导数求最值，属于中档题. 求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.19.已知椭圆的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过动点的直线交轴于点，交椭圆于点，(在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点.①设直线、的斜率分别为，证明为定值;②求直线斜率取最小值时，直线的方程.【答案】（1）（2）①详见解析②【解析】【分析】(1) 利用长轴长为，离心率为分别求出的值，再求出的值，即可求出椭圆方程；(2)①设出的坐标，表示出直线的斜率，作比即可；②设出的坐标，分别求出的方程，联立方程组，求出直线的斜率的解析式，根据不等式的性质计算出的最小值，再求出的值即可.【详解】（1）由题意得：，所以，，故椭圆方程为.（2）①设，（，），由，可得，所以直线的斜率，直线的斜率此时，所以为定值.②设，，直线的方程为，直线的方程为.联立，整理得，由，可得，同理，.所以，，，所以，由，，可知，所以，当且仅当时取得等号.由，，在椭圆：上得，此时，即，由得，，所以时，符合题意.所以直线的斜率最小时，直线的方程为.【点睛】本题主要考查椭圆的方程，椭圆的定值问题、最值问题，以及直线圆椭圆的位置关系，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.20.已知函数，.(1)求在处的切线方程；(2)当时，求在上的最大值；(3)求证：的极大值小于1.【答案】（1）；（2）故当时，；当时，；当时，；（3）详见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率再由点斜式可得结果；(2)求出的解析式，求出，分别令可得函数增区间，令可得函数的减区间，分类讨论，根据函数的单调性可求出的最大值；(3)求出函数的导数，两次求导可判断函数的单调性，利用单调性求出函数的极值，判断即可.【详解】（1）∵，∴，∴在处的切线方程为，即，（2），（），令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；故当时，在上递减，.当时，先增后减，故.当时，在上递增，此时.（3），令，，则函数在上单调递减，，，所以存在唯一的，当时，当时，，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，其中，所以函数有极大值.函数的极大值是，由，得，所以，因为，所以，即，所以的极大值小于1.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。

江苏省扬州中学2024-2025学年高二上学期10月自主学习效果评估数学试题一、单选题1．已知()()2,02,3A B ､，直线l 过定点()1,2P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．21k -≤≤ B ．112k -≤≤C ．12k ≤-或1k ≥D ．2k ≤-或1k ≥2．若圆()2221:(4)0O x y r r ++=>与圆222:(2)9O x y -+=相切，则r =（ ）A ．6B ．3或6C ．9D ．3或93．已知直线1:10l x y -+=，2:210l x y --=，则过1l 和2l 的交点且与直线3450x y +-=垂直的直线方程为（ ） A ．3410x y --= B ．3410x y -+= C ．4310x y --=D ．4310x y -+=4．若点(),P a b 在圆221C x y +=：内，则直线1ax by +=与圆C 的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定5．圆心为(2,1)M -，且与直线2+1=0x y -相切的圆的方程为（ ） A ．22(2)(1)5x y -+-= B ．22(2)(1)5x y -++= C ．22(2)(1)25x y -++=D ．22(2)(1)25x y -+-=6．已知圆224x y +=上有四个点到直线y x b =+的距离等于1，则实数b 的取值范围为（ ）A ．()2,2-B ．(C ．()1D ．()1,1-7．已知圆22:330C x y mx y +-++=关于直线:0l mx y m +-=对称，则实数m =（ ） A ．1或3-B ．1C ．3D ．1-或38．若圆22:(cos )(sin )1(02π)M x y θθθ-+-=≤<与圆22:240N x y x y +--=交于A B ､两点，则tan ANB ∠的最大值为（ ）A ．34B C ．45D ．43二、多选题9．若直线:2cos 0l x y θ-⋅=与圆22:10E x y +--=交于两点,A B ，则（ ）A ．圆E 的圆心坐标为()- B ．圆E 的半径为3 C ．当1cos 2θ=时，直线l 的倾斜角为π4D ．AB 的取值范围是⎡⎢⎣⎦10．已知点P 在22:4O x y +=e 上，点()3,0A ，()0,4B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离最大值是125B ．满足AP BP ⊥的点P 有2个C ．过直线AB 上任意一点作O e 的两条切线，切点分别为,M N ，则直线MN 过定点4,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．2PA PB +的最小值为11．设直线系:cos sin 1m n M x y θθ+=（其中,,m n θ均为参数，{}02π,,1,2m n θ≤≤∈），则下列命题中是真命题的是（ ）A ．当1,1m n ==时，存在一个圆与直线系M 中所有直线都相切B ．当2,1m n ==时，若存在一点(),0A a ，使其到直线系M 中所有直线的距离不小于1，则0a ≤C ．存在,m n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限D ．当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1三、填空题12．已知直线:1l x my =--，圆22:6890O x y x y ++++=，写出满足“对于直线l 上任意一点A ，在圆O 上总存在点B 使得π2ABO ∠=”的m 的一个值． 13．已知二次函数()()223411y x m x m m =+---∈R 与x 轴交于,A B 两点，点()1,3C ，圆G过,,A B C 三点，存在一条定直线l 被圆G 截得的弦长为定值，则该定值为.14．如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上的一个动点，点Q 是以AB 为直径的圆O 的下半个圆（包括A ，B 两点）上的一个动点，,3,2PB AB AB PB ⊥==，则1)3AP BA QC +⋅u u u r u u u r u u u r（的最小值为.四、解答题15．已知直线()1:280l m x my ++-=与直线2:40,R l mx y m +-=∈． (1)若12l l //，求m 的值；(2)若点()1,P m 在直线2l 上，直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程． 16．已知C e ：()()22124x y -+-=及经过点()1,1P --的直线l .(1)当l 平分C e 时，求直线l 的方程； (2)当l 与C e 相切时，求直线l 的方程.17．如图，已知(()(),0,0,12,0A B C ，直线(():20l k x y k k --=∈R .(1)若直线l 等分ABC V 的面积，求直线l 的一般式方程；(2)若(P ，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）､AC（反射点为I ）反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程. 18．已知圆M与直线340x +=相切于点(，圆心M 在x 轴上. (1)求圆M 的标准方程；(2)若直线()()():21174l m x m y m m +++=+∈R 与圆M 交于,P Q两点，当PQ =求实数m 的值；(3)过点M 且不与x 轴重合的直线与圆M 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，直线,OA OB 分别与直线8x =相交于,C D 两点，记,OAB OCD VV 的面积为12,S S ，求12S S 的最大值. 19．在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点()111,P x y 和()222,P x y ，记1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭，称12t PP 为点1P 与点2P 之间的“t -距离”，其中{}max ,p q 表示,p q 中较大者． (1)计算点()1,2P 和点()2,4Q 之间的“t -距离”；(2)设()000,P x y 是平面中一定点，0r >．我们把平面上到点0P 的“t -距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点0P 为圆心，以r 为半径的“t -圆”．求以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的面积；(3)证明：对任意点()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+．。

江苏省扬州市2021届数学高二上学期期末调研试卷一、选择题1．命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是( ) A ．2,x x R e x ∀∈≤ B ．0200,x x R ex ∃∈>C ．0200,x x R ex ∃∈≤D ．2,xx R e x ∀∈<2．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则()()D Y D X -的值为( ) A.12512B.3512C.274D.2343．命题“0x ∀>，总有1x e x >+”的否定是( ) A ．0x ∀>，总有1x e x ≤+B ．0x ∀≤，总有1x e x ≤+C ．000,1xx e x ∃≤≤+总有D ．000,1xx e x ∃>≤+总有4．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的“a MODb ”表示a 除以b 的余数，若输入,a b 的值分别为195和52，则执行该程序输出的结果为( )A ．13B ．26C ．39D ．785．已知线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ，则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为A ．B ．C ．D ．6．某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布.已知数学成绩平均分为90分,60分以下的人数占10%,则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为 （ ） A ．40%B ．30%C ．20%D ．10%7．设22(1)1x y +-≤，则2x y +≥的概率为（ ）A ．24ππ- B ．14C ．12πD ．324ππ+8．随机变量()~1,4X N ，若()20.2p x ≥=，则()01p x ≤≤为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.69．抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） A.(0,1) B.1(0,)16C.(1,0)D.1(,0)1610．曲线在点（1，3）处的切线的倾斜角为( )A ．B ．C ．D ．11．如图是一个几何体的三视图，其左视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为( )A ．13B ．23C ．2D ．412．袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回的摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则()P B A =（ ） A.110B.15C.14D.25二、填空题13．正方形ABCO 中，点O 为坐标原点，且向量(5,4)OA =，边AB 所在直线的点法向式方程为______.14．已知函数21,0()lg(1),0x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是___．15．如果数据1x ，2x ，⋯，n x 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，⋯，52n x +的方差为______．16．已知()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x ≥时，2()ln(1)f x x x =++，则不等式(21)1ln 2f x +>+的解集为_________.三、解答题17．[选修4−4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线的直角坐标方程； （Ⅱ）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值.18．如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，且，E 是SA 的中点。

度第一学期期末调研测试试题高 二 数 学2019.01（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1. 命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．2. 已知直线l 过点()()1120A ,B ,、,则直线l 的斜率为 ▲ ． 3. 一质点的运动方程为210S t =+（位移单位：m ；时间单位：s ），则该质点在3t =时的瞬时速度为 ▲ /m s ．4. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4128、、, 若用分层抽样的方法抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 ▲ 个.5. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =的准线方程为 ▲ ．6. 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为10，则输入的x 的值 是 ▲ ．7.若R a ∈,则“3a =-”是“直线1l ：10ax y +-=与2l ：()1240a x ay +++=垂直”的 ▲ 条件．（注：在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“ 必要不充分”中选填一个） 8. 函数()332f x x x =-+的单调递减区间为 ▲ ．9. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左焦点为F 1，左准线为l ，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 的距离，则椭圆的离心率是 ▲ ．10. 有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1234,,,.将此木块在水平桌面上 抛两次，则两次看不到．．．的数字都大于2的概率为 ▲ ． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2211x y m m -=+的一个焦点为()30,，则双曲线 的渐近线方程为 ▲ ．（第6题）12. 已知可导函数()f x 的定义域为R ，()12f =，其导函数()f x '满足()23f x x '>,则不 等式()3281f x x <+的解集为 ▲ ．13. 已知圆()22:16C x y +-=，AB 为圆C上的两个动点，且AB =G 为弦AB的中点.直线20l :x y --=上有两个动点PQ ，且2PQ =.当AB 在圆C 上运动时，PGQ ∠恒为锐角，则线段PQ 中点M 的横坐标取值范围为 ▲ ．14．函数()xf x x e a =-在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）已知m 为实数.命题p ：方程221313x y m m +=--表示双曲线；命题q ：对任意x R ∈，29(2)04x m x +-+>恒成立. （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭。