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第1讲集合一、思维导图：请同学们根据思维导图回忆本讲的知识点：二、知识梳理：1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A⊆B,并且A≠BA B(或B A)集合相等两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素A＝B运算 自然语言符号语言Venn 图交集 由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合A ∩B ＝{x |x ∈A ,且 x ∈B }并集 由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素构成的集合A ∪B ＝{x |x ∈A ,或x ∈B }补集设A ⊆S ,由S 中不属于A的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集∁S A ＝{x |x ∈S ,且x ∉A }集合运算中常用的结论 （1）集合中的逻辑关系 ①交集的运算性质．，， ，，．②并集的运算性质．，， ，，．③补集的运算性质．∁U (∁U A)=A ，∁U ∅=U ，∁U U =∅． ④结合律与分配律．结合律： ． 分配律： ． （2）由个元素组成的集合的子集个数的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．（3）．三、高考试题：1. （2022.新高考1）若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N =（ ）A. {}02x x ≤< B. 123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C. {}316x x ≤< D. 1163xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D2. （2022.新高考2）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则AB =（ ）A B B A ⋂=⋂A B A ⋂⊆A B B ⋂⊆A I A ⋂=A A A ⋂=A ⋂∅=∅A B B A ⋃=⋃A A B ⊆⋃B A B ⊆⋃A I I ⋃=A A A ⋃=A A ⋃∅=()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃*(N )n n ∈A A 2n 21n -21n -22n -()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂A. {1,2}-B. {1,2}C. {1,4}D.{1,4}-【答案】B【解析】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2AB =，故选：B.3. （2022.全国乙（理））设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足∁U M ={1,3}，则（ ） A. 2M ∈ B. 3M ∈C. 4M ∉D. 5M ∉【答案】A【解析】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误，故选:A 4. （2022.全国甲（理））设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则∁U (A ∪B)=（ ）A. {1,3}B. {0,3}C. {2,1}-D. {2,0}-【答案】D【解析】由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-,所以∁U (A ∪B )={−2,0}.故选：D.5. （2022.北京）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则∁U A =（ ） A. (2,1]- B.(3,2)[1,3)--C. [2,1)-D.(3,2](1,3)--【答案】D【解析】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-或13}x <<，即(3,2](1,3)UA =--，故选：D ．6. （2022.浙江）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ） A. {2} B. {1,2}C. {2,4,6}D. {1,2,4,6}【答案】D 【解析】{}1,2,4,6AB =，故选：D.7．（2021.全国乙卷（文））已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则∁U (M ∪N)=（ ） A ．{}5 B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4【答案】A【解析】由题意可得：{}1,2,3,4MN =，则(){}5UM N =.故选：A.8．（2021.全国乙（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S ∩T =（ ） A ．∅ B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，ST T =.故选：C.9．（2021.全国甲（文））设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N =（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【解析】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=，故选：B.10．（2021.全国甲（理））设集合{}104,53M x x N xx ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤< D ．{}05x x <≤【答案】B【解析】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选：B.11．（2021.新高考1）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .12．（2021.新高考2）若全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，3，6}，{2B =，3，4}，则A ∩∁U B =（ ） A ．{3} B ．{1，6} C ．{5，6} D ．{1，3}【答案】B【解析】因为全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，3，6}，{2B =，3，4}， 所以{1UB =，5，6}，故{1UAB =，6}．故选：B ．13.（2020.新高考1）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A. {x |2<x ≤3} B. {x |2≤x ≤3} C. {x |1≤x <4} D. {x |1<x <4} 【答案】C 【解析】[1,3](2,4)[1,4)AB ==,故选：C14．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3AB =，故选：D.15．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}， 且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2C ．2D ．4【答案】B【解析】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-.故选：B. 16．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））已知集合A ={x ||x |<3，x ⅠZ }，B ={x ||x |>1，x ⅠZ }，则A ∩B =（ ）A ．∅B ．{–3，–2，2，3）C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}【答案】D因为{}{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--，{}{1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈，所以{}2,2A B =-.故选：D.17．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则∁U (A ∪B)=（ ） A ．{−2，3} B ．{−2，2，3} C ．{−2，−1，0，3} D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【解析】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U2,3A B =-.故选：A.18．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故AB 中元素的个数为3.故选：B19．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题意，AB 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.。
第一章集合与常用逻辑用语第一讲集合的概念与运算ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一集合的基本概念一组对象的全体构成一个集合．(1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一．(3)常见集合的符号表示.数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*Z Q R(4)(5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示．知识点二集合之间的基本关系关系定义表示相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中的任意一个元素都是B中的元素A⊆B真子集A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A A B 空集用∅表示．(2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．知识点三集合的基本运算符号交集A∩B 并集A∪B 补集∁U A 语言图形语言意义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁U A＝{x|x∈U且x∉A}重要结论1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.2．A∪A＝A，A∪∅＝A．3．A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A．4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列命题错误的是(ABCD)A．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为1或－1或0.B．方程x－2 020＋(y＋2 021)2＝0的解集为{2 020，－2 021}．C．若A∩B＝A∩C，则B＝C．D．设U＝R，A＝{x|lg x<1}，则∁U A＝{x|lg x≥1}＝{x|x≥10}．题组二走进教材2．(必修1P5B1改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝45，则(D)A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P[解析]452＝2 025>2 021，∴a∉P，故选D．3．(必修1P7T3(2)改编)若A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，B＝{x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B 的关系是(B)A．A＝B B．A BC．A B D．A⊆B[解析]因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}＝{x|x＝2(2k)－1，k ∈Z}，集合B表示2与整数的积减1的集合，集合A表示2与偶数的积减1的集合，所以A B，故选B．题组三考题再现4．(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A＝(C)A．{1,6} B．{1,7}C ．{6,7}D ．{1,6,7}[解析] 依题意得∁U A ＝{1,6,7}，故B ∩∁U A ＝{6,7}．故选C ．5．(2019·北京，5分)已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >1}，则A ∪B ＝( C ) A ．(－1,1) B ．(1,2) C ．(－1，＋∞)D ．(1，＋∞)[解析] 由题意得A ∪B ＝{x |x >－1}，即A ∪B ＝(－1，＋∞)，故选C ．6．(2019·全国卷Ⅱ，5分)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{x |x －1<0}，则A ∩B ＝( A ) A ．(－∞，1) B ．(－2,1) C ．(－3，－1)D ．(3，＋∞)[解析] 因为A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}＝{x |x >3或x <2}，B ＝{x |x －1<0}＝{x |x <1}，所以A ∩B ＝{x |x <1}，故选A ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 集合的基本概念——自主练透例1 (1)(多选题)已知集合A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( ABD ) A ．－2∈A B ．2 021∉A C ．3k 2＋1∉AD ．－35∈A(2)(2019·华师大第二附中10月月考)已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x∈Z }，则集合A 中的元素个数为( C )A ．2B ．3C ．4D ．5(3)已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，则2 020a 的值为1；若1∉A ，则a 不可能取得的值为－2，－1，0，－1＋52，－1－52.[解析] (1)当－2＝3k ＋1时，k ＝－1∈Z ，故A 正确；当2 021＝3k ＋1时，k ＝67313∉Z ，故B 正确；当－35＝3k ＋1时，k ＝－12∈Z ，故D 正确．故选A 、B 、D ．(2)∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3.又∵x ∈Z ，∴x 的取值为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4，故选C ．(3)若a ＋2＝1，则a ＝－1，A ＝{1,0,1}，不合题意；若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或－2，当a ＝0时，A ＝{2,1,3}，当a ＝－2时，A ＝{0,1,1}，不合题意；若a 2＋3a ＋3＝1，则a ＝－1或－2，显然都不合题意；因此a ＝0，所以2 0200＝1.∵1∉A ，∴a ＋2≠1，∴a ≠－1；(a ＋1)2≠1，解得a ≠0，－2；a 2＋3a ＋3≠1解得a ≠－1，－2.又∵a ＋2、(a ＋1)2、a 2＋3a ＋3互不相等，∴a ＋2≠(a ＋1)2得a ≠－1±52；a ＋2≠a 2＋3a＋3得a ≠－1；(a ＋1)2≠a 2＋3a ＋3得a ≠－2；综上a 的值不可以为－2，－1,0，－1＋52，－1－52.名师点拨 ☞(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．考点二 集合之间的基本关系——师生共研例2 (1)已知集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{x |x ∈A }，则集合A 与集合B 的关系为( C ) A ．A ⊆B B ．B ⊆A C ．A ＝BD ．不能确定(2)(2020·江西赣州五校协作体期中)已知集合A ＝{x |x ＝sin n π3，n ∈Z }，且B ⊆A ，则集合B 的个数为( C )A ．3B ．4C ．8D ．15(3)(多选题)设集合M ＝{x |x ＝k 3＋16，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 6＋23，k ∈Z }，则下面不正确的是( ACD )A ．M ＝NB ．M NC ．NMD ．M ∩N ＝∅(4)已知集合A ＝{x |x 2－2 020x ＋2 019<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是[2_019，＋∞).[解析] (1)B ＝{x |x ∈A }＝{1,2,3}＝A ，故选C ． (2)∵集合A ＝{x |x ＝sinn π3，n ∈Z }＝{0，32，－32}，且B ⊆A ，∴集合B 的个数为23＝8，故选C ．(3)解法一：(列举法)，由题意知 M ＝{…－12，－16，16，12，56，76，…}N ＝{…－16，0，16，13，12，23，56，…}显然M N ，故选A 、C 、D ． 解法二：(描述法) M ＝{x |x ＝2k ＋16，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ＋46，k ∈Z } ∵2k ＋1表示所有奇数，而k ＋4表示所有整数(k ∈Z ) ∴M N ，故选A 、C 、D ． (4)A ＝{x |1<x <2 019}，∵A ⊆B ， ∴借助数轴可得a ≥2 019，∴a 的取值范围为[2 019，＋∞)．名师点拨 ☞判断集合间关系的3种方法 列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(如第(1)、(2)题)结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(如第(3)题)数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(如第(4)题)(1)(2020·辽宁锦州质检(一))集合M ＝{x |x ＝3n ，n ∈N }，集合N ＝{x |x ＝3n ，n ∈N }，则集合M 与集合N 的关系是( D )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝∅D ．M ⊆/ N 且N ⊆/ M(2)(多选题)(2020·湖南长郡中学模拟改编)已知集合M ＝{y |y ＝x －|x |，x ∈R }，N ＝{y |y ＝(12)x ，x ∈R }，则下列不正确的是( ABD )A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ＝∁R ND ．(∁R N )∩M ＝∅(3)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |mx ＋10>0}，若A ⊆B ，则m 的取值范围是(－2,5).[解析] (1)因为1∈M,1∉N,6∈N,6∉M ，所以M ⊆/ N 且N ⊆/ M ，故选D ．(2)由题意得y ＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x <0，∴M ＝(－∞，0]，N ＝(0，＋∞)，∴M ＝∁R N .故选A 、B 、D ．(3)化简A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，当m >0时，x >－10m ，因为A ⊆B ，所以－10m <－2，解得m <5，所以0<m <5.当m <0时，x <－10m ，因为A ⊆B ，所以－10m >5，解得m >－2，所以－2<m <0.当m ＝0时，B ＝R ，符合A ⊆B ．综上所述，所求的m 的取值范围是(－2,5)．考点三 集合的基本运算——多维探究角度1 集合的运算例3 (1)(2019·天津，5分)设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( D )A ．{2}B ．{2,3}C ．{－1,2,3}D ．{1,2,3,4}(2)(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N ＝( C ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2}D ．{x |2<x <3}(3)(2020·百校联考)已知集合A ＝{x |x －3≤0且4x －5>0}，B ＝{y |y ＝13x ＋15，x ≥1}，则∁B A＝( C )A ．[815，54]∪[3，＋∞)B ．[815，54)∪(3，＋∞)C ．[815，54]∪(3，＋∞)D ．[815，54)∪[3，＋∞)[解析] (1)由条件可得A ∩C ＝{1,2}，故(A ∩C )∪B ＝{1,2,3,4}．(2)方法一：∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}，∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C ． 方法二：由题可得N ＝{x |－2<x <3}．∵－3∉N ，∴－3∉M ∩N ，排除A ，B ；∵2.5∉M ，∴2.5∉M ∩N ，排除D ．故选C ．(3)因为A ＝{x |x －3≤0且4x －5>0}，B ＝{y |y ＝13x ＋15，x≥1}，所以A ＝(54，3]，B ＝[815，＋∞)，故∁B A ＝[815，54]∪(3，＋∞)．故选C ．角度2 利用集合的运算求参数例4 (1)已知集合A ＝{0,1,2m }，B ＝{x |1<22－x <4}，若A ∩B ＝{1,2m }，则实数m 的取值范围是( C )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(0，12)∪(12，1)D ．(0,1)(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}≠∅，若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为[2,3].[解析] (1)B ＝{x |0<2－x <2}＝{x |0<x <2}，∵A ∩B ＝{1,2m }，∴0<2m <2且2m ≠1，即0<m <1且m ≠12，故选C ．(2)由A ∩B ＝B 知，B ⊆A ．又B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[2,3]．[引申1]本例(2)中若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}情况又如何？ [解析] 应对B ＝∅和B ≠∅进行分类． ①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，由例得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．[引申2]本例(2)中是否存在实数m ，使A ∪B ＝B ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] 由A ∪B ＝B ，即A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3，不等式组无解，故不存在实数m ，使A ∪B ＝B ． [引申3]本例(2)中，若B ＝{x |m ＋1≤x ≤1－2m }，A B ，则m 的取值范围为(－∞，－3].[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，1－2m ≥5，解得m ≤－3.名师点拨 ☞集合的基本运算的关注点1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． 2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2019·浙江，4分)已知全集U ＝{－1,0,1,2,3}，集合A ＝{0,1,2}，B ＝{－1,0,1}，则(∁U A )∩B ＝( A )A ．{－1}B ．{0,1}C ．{－1,2,3}D ．{－1,0,1,3}(2)(角度1)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤3}，则(∁U A )∪B ＝( D ) A ．(2,3] B ．(－∞，1]∪(2，＋∞) C ．[1,2)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)(3)(角度2)设集合M ＝{x |y ＝2x －x 2}，N ＝{x |x ≥a }，若M ∪N ＝N ，则实数a 的取值范围是( B )A ．[0,2]B ．(－∞，0]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2][解析] (1)由题意可得∁U A ＝{－1,3}，则(∁U A )∩B ＝{－1}．故选A ．(2)∁U A ＝{x |x <0或x >2}，则(∁U A )∪B ＝{x |x <0或x ≥1}，故选D ． (3)M ＝{x |0≤x ≤2}，∵M ∪N ＝N ，∴M ⊆N ，∴a ≤0，故选B ．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛┃·素养提升集合中的新定义问题例5 (2020·江西九江联考)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知M ＝{y |y ＝－x 2＋2x ，0<x <2}，N ＝{y |y ＝2x －1，x >0}，则M ⊗N ＝(0，12]∪(1，＋∞).[解析] M ＝{y |y ＝－x 2＋2x,0<x <2}＝(0,1]，N ＝{y |y ＝2x －1，x >0}＝(12，＋∞)，则M ∪N＝(0，＋∞)，M ∩N ＝(12，1]，所以M ⊗N ＝(0，12]∪(1，＋∞)．名师点拨 ☞集合新定义问题的“3定”(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 〔变式训练3〕对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R }，则A ⊕B ＝( C )A ．(－94，0]B ．[－94，0)C ．(－∞，－94)∪[0，＋∞)D ．(－∞，－94]∪(0，＋∞)[解析] A ＝{y |y ≥－94}，B ＝{y |y <0}，A －B ＝{y |y ≥0}，B －A ＝{y |y <－94}，(A －B )∪(B －9A)＝{y|y≥0或y<－4}，故选C．。
第一讲集合的概念及运算考点解读【基础性考点知识突破】一、集合的含义及表示方法1．元素与集合的含义一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象．2．集合中元素的性质集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性．(1)任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素，这是集合的最基本特征．(2)集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素．(3)在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序．3．集合的表示集合的表示有三种方法，分别是列举法、描述法和Venn图法．一般地，表示有限集合常用列举法；表示无限集合常用描述法；描述抽象集合常用Venn图法．正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征．4．元素与集合的关系“属于”或“不属于”，记为“ ”或“∉”．二、集合与集合之间的关系1．集合与集合之间的关系(1)包含关系子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A，显然A⊆A，∅⊆A.(2)相等关系如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，反过来，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素，那么就说集合A等于集合B，记作A=B.对于两个集合A与B，如果A⊆B，同时B⊆A，那么集合A与集合B相等，记作A=B．(3)真子集关系对于两个集合A 与B ，若A ⊆B ，且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B 或B A .显然有下面的结论：①对于集合A 、B 、C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，则A C ．(4)不包含关系用 表示2．空集不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集．3．有限集的子集、真子集的个数关于有限集的子集个数有下列结论：若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集的个数有2n 个，非空子集的个数有（21n -）个；真子集的个数有（21n -）个；非空真子集的个数有（22n -）个，三、集合的交、并、补集的运算1．交集(1)定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A ∩B ，A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }.(2)性质：A ∩A =A ；A ∩B =B ∩A (交换律)；A ∩∅=∅；(A ∩B )⊆A ；(A ∩B )⊆B ；若A ⊆B ，则A ∩B =A ．2．并集(1)定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }.(2)性质：A ∪A =A ；A ∪B =B ∪A (交换律)；A ∪∅=A ；A ⊆(A ∪B )；B ⊆(A ∪B )；若A ⊆B ，则A ∪B =B ．3．补集(1)定义：在研究某一集合问题的过程中，所有集合都是一个给定集合的子集，这个给定的集合就称为全集，记作U ．设A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在集合U 中的补集，记作U A ，即U A ={x |x ∈U 且x ∉A }（如图）．(2)性质：A ∪(U A )=U ；A ∩(U A )=∅，U (U A )=A ，U ∅=U , U U =∅．4．集合运算中常用的结论(1)U (A ∩B )=(U A )∪(U B )，U (A ∪B )=(U A )∩(U B )(2)A ⊆B ⇔A ∩B =A ；A ⊆B ⇔A ∪B =B .【培优性方法技巧综合】1．在处理有关集合的问题时首先确定集合中的元素是点集还是数集，然后明确集合中的元素所满足的条件，理解并正确掌握集合的相关术语及符号表示是解决集合问题的关键．2．判断两集合间的关系①化简集合，从表达式中寻求两集合间的关系； ②用列举法表示两集合，从元素中寻求关系．3．根据两集合的关系求参数的方法①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到．【提示】①题目中若有条件B ⊆A ，则应分B =∅和B ≠∅两种情况进行讨论． ②已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、V enn 图帮助分析．③两集合之间的关系与运算可以相互转化，即A B AB B A B B ⊆⇔=⇔=． 4．应当考虑空集的几种情况：在⊆A B ，A B ，=AB A ，=A B B ，都应当考虑到=∅A 时的情况．5．要注意表示集合的语言、文字、符号、图形的沟通与转化，对于某些集合运算的问题，文字描述较为抽象，可借助于Venn 图及坐标轴，利用几何图形的直观性，以“形”助“数”．同时加强与其他章节的渗透，在复习中要控制难度．考点分类精讲考点1 集合的概念1．集合概念的准确理解．2．集合的表示方法的准确把握与灵活运用．3．集合中元素的性质的灵活运用．【例1】已知集合22{23,2,log }a M a a a =-+，若1M ∈，则实数a 的取值集合为A ．{0,1}B ．{0,2}C ．{2}D ．{1}【解析】由1M ∈，可知2231a a -+=或 21a =或 2log 1a =．(1)若2231a a -+=，则有2220a a -+=，显然2(2)41240∆=--⨯⨯=-<，所以该方程无解，即2231a a -+=不成立；(2)若21a =，解得0a =，此时2log a 无意义，所以21a=不成立；(3)若2log 1a =，解得2a =，此时24a =，222322233a a -+=-⨯+=，集合{3,4,1}M =，满足题意．综上，实数a 的取值集合为{2}，故选C ．点拨：根据1M ∈，建立参数a 的三个方程，求得a 的值之后要注意检验，一是检验对数是否有意义，二是根据a 的值写出集合M 中的所有元素，然后检验元素是否符合互异性．【例2】集合{0,2,}A a =，2{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B =，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】∵{0,2,}A a =，2{1,}B a =，{0,1,2,4,16}A B ==2{0,1,2,,}a a ，∴2164a a ⎧=⎨=⎩，∴4a =，故选D ．点拨：解决集合的有关问题，首先要明确集合元素的构成形式；其次要注意集合元素性质（即元素的三性：确定性、互异性、无序性）的灵活运用，它既是解决有些题的切入点，也是问题解决之前的检验点．【例3】若集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素，则a ＝( )A ．92B ．98C ．0D ．0或98【解析】若集合A 中只有一个元素，则方程2320ax x -+=只有一个实根或有两个相等实根．当0a =时，32x =，符合题意； 当0a ≠时，由2(3)80a ∆=--=得98a =， 所以a 的取值为0或98． 点拨：由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想．考点2 集合之间的关系1．集合间的相等、子集、真子集关系的确定．2．已知集合的包含关系，确定有关参数的取值范围．3．求有关集合的子集的个数．【例4】已知集合1{|,}6A x x a a Z ==+∈，1{|,}23b B x x b Z ==-∈，{|2c C x x == 1,}6c Z +∈，则A ，B ，C 之间的关系 A ．A =B C B ．A B =C C ．A B C D ．B C =A【解析】解法一：简单列举集合中的元素；171319{,,,,,}6666A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅，1127{,,,,,}3636B =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，12710{,,,,,}6366C =⋅⋅⋅⋅⋅⋅， ∴A B ，B =C ，即A B =C ，故选B ．解法二：判断集合中元素的共性和差异．61{|,}6a A x x a Z +==∈，32{|,}6b B x x b Z -==∈，31{|,}6c C x x c Z +==∈ ∵323(1)1b b -=-+，b Z ∈，∴A B =C ，故选B ．点拨：辨析集合之间的关系应该从集合中元素的特点入手，可将元素列举出来直观分析，也可从描述法中认识集合中元素具备的特性，定性分析，以上两种思想是解决此类问题的通法，应根据问题的具体情况合理选择．【例5】集合{,,,,}S a b c d e =，包含{,}a b 的S 的子集共有( ).A ．2个B ．3个C ．5个D ．8个【解析】解答本题可以一一列举出所有子集，还可以用排列组合的知识求解．下列用组合方法求解，在每个集合包含,a b 时，,,c d e 三个元素可任选0、1、2、3个，所以共有∅，{},{},{}c d e ，{,},{,},{,}c d c e d e ，{,,}c d e 8（个）．故选D ． 点拨：解决集合的子集的个数的问题，应注意利用列举法来分析解决问题．考点3 集合的运算1．进行具体集合的交、并、补运算．2．利用集合的运算性质解决问题．3．与集合运算有关的开放性问题．【例6】(1)(2019年全国Ⅲ卷)已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=，≤，则AB =A ．{}1,0,1-B ．{0,1}C ．{}1,1-D ．{0,1,2} (2)(2018天津)设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-<R ≤， 则()A B C =A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4} 【解析】(1)解法一 由题意得集合{|11}B x x =-≤≤，则{1,0,1}A B =-．故选A ．解法二 将集合A 中的元素分别代入21x ≤进行检验，可得{1,0,1}AB =-．故选A ． (2)由题意{1,0,1,2,3,4}A B =-，∴(){1,0,1}A BC =-，故选C ．【例7】(2017全国卷Ⅱ)设集合{1,2,4}A =，2{|40}B x x x m =-+=．若{1}AB =，则B =A ．{1，-3}B ．{1，0}C ．{1，3}D ．{1，5}【解析】因为{1}A B =，所以1B ∈，所以1是方程240x x m -+=的根，所以140m -+=，3m =，方程为2430x x -+=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B =，选择C ．点拨：关于集合及其运算问题，首先要从本质上认识集合，即集合中的元素是什么(如数、点、图形等)，有什么样的特征，进而采取什么样的策略解决问题．【例8】已知集合{||2|}A x x a =-≤，2{|540}B x x x =-+≥．若A B =∅，求实数a 的取值范围．【解析】当0a <时，A =∅，显然A B =∅．当0a ≥时，A ≠∅，{||2|}A x x a =-≤={|22}x a x a -+≤≤,2{|540}B x x x =-+≥={|1x x ≤或4}x ≥，由A B =∅，画出示意图如图得21240a a a ->⎧⎪+<⎨⎪⎩≥，解得01a <≤．综上所述，a 的取值范围为{|1,}a a a R <∈．点拨：解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．【例9】设全集I R =，已知集合2{|(3)0}M x x =+≤，2{|60}N x x x =+-=．(1)求()I M N ；(2)记集合A ＝()I M N ，已知集合{|15,}B x a x a a R =--∈≤≤，若 B A A =，求实数a 的取值范围．【解析】(1)∵2{|(3)0}M x x =+≤＝{3}-，2{|60}N x x x =+-=＝{3,2}-，∴{|I M x x R =∈且3}x ≠-，∴()I M N ＝{2}． (2)A ＝()I M N ＝{2}，∵B A A =，∴B A ⊆，∴B =∅或B ＝{2}，当B =∅时，15a a ->-，∴3a >；当B ＝{2}时，1252a a -=⎧⎨-=⎩解得3a =， 综上所述，所求a 的取值范围为{|3}a a ≥．点拨：B A A =时，B =∅的情况．考点4 集合的综合运用1．集合运算的逆向问题．2．集合与函数、方程、不等式的综合问题．3．集合的开放问题与实际应用问题．【例10】(2016北京)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种．【解析】设第一天售出的商品为集合A ，则A 中有19个元素，第二天售出的商品为集合B ，则B 中有13个元素，第三天售出的商品为集合C ，则C 中有18个元素，由于前两天都售出的商品有3种，则A ∩B 中有3个元素，后两天都售出的商品有4种，则B ∩C 中有4个元素，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16种，这三天售出的商品种数最少时，第一天和第三天售出的种类重合最多，由于前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，故第一天和第三天都售出的商品可以有17种，即A ∩C 中有17个元素，如图，即这三天售出的商品最少有2 +14 +3+1+9 =29种．【例11】已知{|(1,0)(0,1),}P m m R ==+∈a a ，{|(1,1)(1,1),}Q n n R ==+-∈b b 是两个向量集合，则P Q =A ．{(1,1)}B ．{(1,1)}-C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}【解析】因为(1,)m =a ，(1,1)n n =-+b ，令=a b ，得1m =，0n =，故{(1,1)}P Q ⋂= 故选A ．点拨：解答集合的运算类试题必须彻底弄清楚参与运算的集合的意义，即参与运算的集合是由哪些元素组成的，不然就会得出错误的答案，本题这样设计还不至于有多大问题，如果本题中集合Q 改为{|(1,1)(1,1),}Q m m R ==+-∈b b ，就可能出现得到的方程组是111m m m=-⎧⎨=+⎩，而这个方程组无解，就可能认为P Q =∅，这就是没有理解集合的意义所致，实际上本题中的集合P ，Q 都可以看做坐标平面上的点集，集合P 是直线1x =上的点的集合，集合Q 是直线2x y +=上的点的集合，所求的交集就是这两条直线的交点坐标．【例12】某试验班有21个学生参加数学竞赛，17个学生参加物理竞赛，10个学生参加化学竞赛，他们之间既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，问需要预订多少张火车票？【解析】该班参加竞赛的学生如图所示，集合A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 中的任何两个无公共元素，其中G 表示三科全参加的学生集合，card(G )=2，∵既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人．∴card(D )= 12-2= 10．同理，得card(E ) =6-2 =4，card(F ) =5-2 =3．又∵参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21、17、10．∴card(A ) =21-2-10-4 =5，card(B ) =17-2-10-3 =2，card(C ) =10-3-2-4 =1．∴需预定火车票为5 +2+1+10+4+3+2=27（张）．点拨：解决有些集合问题，若充分利用Venn 图，可以使有些问题得到快速地解决．【例13】定义集合运算:{},,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}1,2A =，{}0,2B =，则集合A B *的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．6【解析】z xy =，{1,2}x ∈，{0,2}y ∈，故0,2,4xy =，从而*{0,2,4}A B =，所以集合A B *的所有元素之和为6，故选D ．点拨：本题是属于创新型的概念理解题，准确地理解A B *是解决本题的关键所在，并且又考查了集合元素的互异性，因此要准确理解集合含义，明确题目所要解决的问题，才能使问题得以解决，从而培养学生分析问题、解决问题的能力． 本专题试题训练详见《试题精练》物理数学化学G F E D C B A。
