高中数学 第3章《推理与证明》3.3综合法和分析法(1)导学案(无答案)北师大版选修1-2

第3课时综合法与分析法1.结合已经学过的实例,了解直接证明的方法——综合法与分析法,知道综合法与分析法的思考过程和特点.2.通过对综合法与分析法的学习,体会数学思维的严密性、抽象性、科学性,养成缜密思维的习惯.3.通过综合法和分析法的学习,体会这两种方法相辅相成、辩证统一的关系.重点:会用综合法、分析法证明问题,了解综合法、分析法的思考过程.难点:根据问题的特点,结合综合法、分析法的思考过程及特点,选择适当的证明方法.我们都学过韦达定理.若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的两个根,则有x1+x2=-,x1x2=.那么韦达定理要如何证明呢?问题1:综合法一般地,从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发,经过一系列推理论证,推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题.问题2:分析法的特点分析法的思维特点是执果索因,即从结论逐步挖掘已知.问题3:用框图表示综合法与分析法的证明过程(1)综合法可用框图表示为:(用P表示已知条件,已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论)(2)若用Q表示要证明的结论,分析法可用框图表示为:问题4:分析法与综合法的联系与区别分析法与综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点,分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述过程容易出错.综合法条理清晰,易于表述,但思路不太好想.因此将二者交互使用,互补优缺点形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件,也就是用分析法寻找解题思路,用综合法加以表述.费马大定理,又被称为“费马最后的定理”,由法国数学家费马提出.他断言:当整数n > 2时,关于x, y, z的方程x n+y n=z n没有正整数解.该定理被提出后,历经三百多年的历史,最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明.1.下列说法不正确的是( ).A.综合法是由因导果的顺推证法B.分析法是执果索因的逆推证法C.综合法与分析法都是直接证法D.综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用【答案】D2.已知m>1,a=-,b=-,则以下结论正确的是( ).A.a>bB.a<bC.a=bD.a,b的大小不定【解析】要比较a,b的大小,即比较-与-的大小,即比较+与2的大小,即比较2m+2与4m的大小,因为2m+2<2m+2m=4m,所以a<b.【答案】B3.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是.【解析】y2=()2=a+b>=x2,即x<y.【答案】x<y4.设a>0,f(x)=+是R上的偶函数,求a的值.【解析】∵f(x)是R上的偶函数,∴f(-x)=f(x),∴(a-)(e x-)=0对于一切x∈R成立,由此得a-=0,即a2=1,又a>0,∴a=1.综合法的应用如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)证明:CD⊥AE,(2)证明:PD⊥平面ABE.【方法指导】解答本题可先明确线线、线面垂直的判定及性质定理,再用定理进行证明.【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA,。

学习资料§3 综合法与分析法授课提示：对应学生用书第22页[自主梳理]一、综合法的定义从命题的________出发,利用________、________、________及________，通过________一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．二、综合法证明的思维过程用P 表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为:错误!→错误!→错误!→…→错误!三、分析法的定义从________出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的________，直到归结为这个命题的______，或者归结为________、________、________等，这种思维方法称为分析法．四、分析法证明的思维过程用Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→错误!→错误!→…→错误![双基自测］1．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f （a )＝b ，则f (－a ）等于( ) A ．b B ．－b C.错误! D ．－错误!2．已知a 、b 是不相等的正数，x ＝错误!，y ＝错误!，则x 、y 的关系是( ）A ．x 〉yB ．x 〈yC ．x >2yD ．不确定3．验证错误!－错误!<错误!－错误!,只需要证（ )A ．(错误!－错误!)2〈（错误!－错误!)2B ．（错误!－错误!）2<（错误!－错误!）2C ．(2＋错误!)2〈（错误!＋错误!)2D ．（错误!－错误!－错误!)2<(－错误!)24．在△ABC 中，tan A tan B 〉1,则△ABC 是( ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5．若a 错误!＋b 错误!〉a 错误!＋b 错误!,则实数a ，b 应满足的条件是________．[自主梳理］一、条件 定义 公理 定理 运算法则 演绎推理 三、求证的结论 充分条件 条件 定义 公理 定理［双基自测］1．B f (－a )＝lg 1＋a 1－a＝lg （错误!)－1＝－lg 错误!＝－f （a ）＝－b . 2．B ∵x >0，y 〉0，∴要比较x 、y 的大小,只需比较x 2、y 2的大小，即比较错误!与a ＋b 的大小．∵a 、b 为不相等的正数，∴2ab 〈a ＋b 。

3.1归纳与类比归纳推理教材依据“归纳推理”是北京师范大学出版社出版地普通中学课程标准实验教科书数学（选修1—2）第三章第一节地内容•教学目标：1. 知识与技能目标：理解归纳推理地原理，并能运用解决一些简单地问题2. 过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”地理念3. 情感、态度与价值观：感受数学地人文价值，提高学生地学习兴趣，使其体会到数学学习地美感.教学重点：归纳推理地原理教学难点：归纳推理地具体应用.教法学法：自主、合作探究教学教学准备：多媒体电脑、课件、空间多面体模型等教学过程：1. 创设情景：1 •情景㈠：苹果落地地故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大地“万有引力定理”思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”.2 •情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中地伟大成就：任何一个大于4地偶数都可以写成两个奇素数之和.如：6= 3+3, 8= 3+5, 10= 5+5, 12 = 5+7, 14= 7+7, 16 = 5+11,…，1000 = 29+ 971, 1002 = 139+ 863,……2. 探求研究：探究1.学生根据自备地多面体进行观察，统计多面体地面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2•观察、猜想它们之间是否有稳定地数量关系？探究3•整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝3E 棱柱=E 棱台3E 棱锥,F 棱柱=F 棱台=F 棱锥+ 1 , F+V-E=2等等，其中“ F+V-E=2'为“欧拉2公式”.3. 概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理地概念及分析 定义：根据一类事物地部分事物具有某种属性 ，推断该类事物地每一个都具有这种属性 地推理，或者由个别事实概括出一般结论地推理，称为归纳推理（简称归纳）.说明：⑴归纳推理地作用：发现新事实，获得新结论；（2）归纳推理地一般步骤：试验、观察T 概括、推广T 猜测一般性结论T 证明；⑶归纳推理地结论不一定成立4. 例题解析至 n N * ,猜想这个数列地通项公式?In22 2 2,a 4 ,a 545 6时,往往统一分子（或分母）,再寻找另一部分地变化规律 •例2、（拓展）问：如果面积是一定地，什么样地平面图形周长最小？试猜测结论 教师：设定任务一：常见多边形面积一定时，计算其周长;任务二：归纳、猜想一般性结论 .试证明•@令0 O教师指导，合作交流，归纳：V棱柱V棱台=2V棱锥—2 ,例1: 在数列 a n 中， a 1 1,a n1解析: 先由学生计算：a 22 2®归纳：2 ( a n (n n 1*N )说明（学生完成）：⑴有整数和分数时,往往将整数化为分数；⑵当分子分母都在变化面积 一疋 时，---- > 圆地周长导电”，你能最小6.课时小结（师生共同） 1什么是归纳推理？ 2归纳推理地一般步骤：试验、观察T 概括、推广T 猜测一般性结论T 证明 布置作业: （补充）：已知a n 的前n 项和S n 与a n 满足：& 1 试归纳出其通项公式亦拓展延伸:1. 工匠鲁班类比带齿地草叶和蝗虫地牙齿，发明了锯；2. 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似地特征：⑴火星也绕太阳运行，绕轴自转地行星；⑵有大气层,在一年中也有季节变更;⑶火星上大部分时间地温度适合地球上某些已知生物地生存等等；边形 3 46 8最小 周长4. 56 4 3. 72 3. 642 •观察下列式子，归纳结论:13 12 , 13 23 9 (1 2)2 ,13 233313 23 33 43 100 (12 34)2问:13 23 33 L n 33.右图中5个图形及相应点地个数地变化规律，试猜测第n 个图形中有 占； 八(1) (2) (3)4.已知数列 a n 中，a 1 1,且aa n（n N ），试归纳这个数列地通项公式 a n答案：1.金属导电;2 . 1323 33n 3 (1 2 3n)2 ；3. n 2 n 1； 4 • a n 1 (n nN ).纳出什么结论?科学家猜想；火星上也可能有生命存在•说明：以上两练习使用地是类比推理•目地是知识上承上启下，把本节知识延伸，既拓宽了学生视野，也为下一节“类比推理”地教学作了铺垫教后反思：⑴要实现数学新知识地建构学习，教师要创设适当地情境，情境应符合实际•包括生活场景地实际，数学教学内容地实际，学生知识状况地实际，学生思维发展地实际等等•⑵学生通过“经历”，“体会”，“感受”，最后形成概念地过程学习，充分体现了以学生为本地现代教育观；同时练习和作业地分层设计尽量满足多样化地学习需求做到因材施教，促进全体地参与.附：板书设计。

[边听边记] 证明：证法一：(1)∵a＋b＋c＝1， ∴(a＋b＋c)2＝1， ∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1.① 又 2ab≤a2＋b2,2bc≤b2＋c2,2ca≤c2＋a2， ∴2ab＋2bc＋2ca≤2(a2＋b2＋c2)， ∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)． 结合①可得 a2＋b2＋c2≥13.
•§3 综合法与分析法 •3．1 综合法
课前预习学案
若ax＋by＝1(a、b、x、y∈R＋，且 a≠b)， 求证：x＋y≥( a＋ b)2. 提示： 证明：∵x、y、a、b＞0 且ax＋by＝1， ∴x＋y＝(x＋y)ax＋by＝a＋b＋yxa＋xyb ≥a＋b＋2 yxa·xyb＝a＋b＋2 ab＝( a＋ b)2
1．综合法的定义
• 从命题的条件出发，利用__定__义___、_公_理____、_定_理____
运及 的算_结法_则论__，__直__到__演完通绎成过推理命__题__的__证__明__，一这步种步思地维接方近法要称证为明
________．
综合法
2．综合法的推证过程
A命题的条件或已有的定义、公理、定理等 ⇒ 结论B ⇒ 结论C ⇒ 命题的结论D
• 3．设p＝2x4＋1，q＝2x3＋x2，x∈R，则p与q的大小 关系是______．
解析： p－q＝2x4＋1－(2x3＋x2) ＝2x4－2x3＋1－x2＝2x3(x－1)＋(1－x)(1＋x) ＝(x－1)(2x3－1－x)＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)
＝(x－1)22x＋122＋12≥0 ∴p≥q.
•
综合法的特点
• 1．从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由
因导果，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条 件．