高中数学北师大版选修1-2第3章《推理与证明》导学案：3.3综合法和分析法(3)

第3课时综合法与分析法1.结合已经学过的实例,了解直接证明的方法——综合法与分析法,知道综合法与分析法的思考过程和特点.2.通过对综合法与分析法的学习,体会数学思维的严密性、抽象性、科学性,养成缜密思维的习惯.3.通过综合法和分析法的学习,体会这两种方法相辅相成、辩证统一的关系.重点:会用综合法、分析法证明问题,了解综合法、分析法的思考过程.难点:根据问题的特点,结合综合法、分析法的思考过程及特点,选择适当的证明方法.我们都学过韦达定理.若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的两个根,则有x1+x2=-,x1x2=.那么韦达定理要如何证明呢?问题1:综合法一般地,从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发,经过一系列推理论证,推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题.问题2:分析法的特点分析法的思维特点是执果索因,即从结论逐步挖掘已知.问题3:用框图表示综合法与分析法的证明过程(1)综合法可用框图表示为:(用P表示已知条件,已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论)(2)若用Q表示要证明的结论,分析法可用框图表示为:问题4:分析法与综合法的联系与区别分析法与综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点,分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述过程容易出错.综合法条理清晰,易于表述,但思路不太好想.因此将二者交互使用,互补优缺点形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件,也就是用分析法寻找解题思路,用综合法加以表述.费马大定理,又被称为“费马最后的定理”,由法国数学家费马提出.他断言:当整数n > 2时,关于x, y, z的方程x n+y n=z n没有正整数解.该定理被提出后,历经三百多年的历史,最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明.1.下列说法不正确的是( ).A.综合法是由因导果的顺推证法B.分析法是执果索因的逆推证法C.综合法与分析法都是直接证法D.综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用【答案】D2.已知m>1,a=-,b=-,则以下结论正确的是( ).A.a>bB.a<bC.a=bD.a,b的大小不定【解析】要比较a,b的大小,即比较-与-的大小,即比较+与2的大小,即比较2m+2与4m的大小,因为2m+2<2m+2m=4m,所以a<b.【答案】B3.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是.【解析】y2=()2=a+b>=x2,即x<y.【答案】x<y4.设a>0,f(x)=+是R上的偶函数,求a的值.【解析】∵f(x)是R上的偶函数,∴f(-x)=f(x),∴(a-)(e x-)=0对于一切x∈R成立,由此得a-=0,即a2=1,又a>0,∴a=1.综合法的应用如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)证明:CD⊥AE,(2)证明:PD⊥平面ABE.【方法指导】解答本题可先明确线线、线面垂直的判定及性质定理,再用定理进行证明.【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA,。

学习资料§3 综合法与分析法授课提示：对应学生用书第22页[自主梳理]一、综合法的定义从命题的________出发,利用________、________、________及________，通过________一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．二、综合法证明的思维过程用P 表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为:错误!→错误!→错误!→…→错误!三、分析法的定义从________出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的________，直到归结为这个命题的______，或者归结为________、________、________等，这种思维方法称为分析法．四、分析法证明的思维过程用Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→错误!→错误!→…→错误![双基自测］1．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f （a )＝b ，则f (－a ）等于( ) A ．b B ．－b C.错误! D ．－错误!2．已知a 、b 是不相等的正数，x ＝错误!，y ＝错误!，则x 、y 的关系是( ）A ．x 〉yB ．x 〈yC ．x >2yD ．不确定3．验证错误!－错误!<错误!－错误!,只需要证（ )A ．(错误!－错误!)2〈（错误!－错误!)2B ．（错误!－错误!）2<（错误!－错误!）2C ．(2＋错误!)2〈（错误!＋错误!)2D ．（错误!－错误!－错误!)2<(－错误!)24．在△ABC 中，tan A tan B 〉1,则△ABC 是( ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5．若a 错误!＋b 错误!〉a 错误!＋b 错误!,则实数a ，b 应满足的条件是________．[自主梳理］一、条件 定义 公理 定理 运算法则 演绎推理 三、求证的结论 充分条件 条件 定义 公理 定理［双基自测］1．B f (－a )＝lg 1＋a 1－a＝lg （错误!)－1＝－lg 错误!＝－f （a ）＝－b . 2．B ∵x >0，y 〉0，∴要比较x 、y 的大小,只需比较x 2、y 2的大小，即比较错误!与a ＋b 的大小．∵a 、b 为不相等的正数，∴2ab 〈a ＋b 。

2019-2020年高中数学北师大版选修1-2第三章《推理与证明》（第1课时合情推理）精品学案1.结合已学过的数学实例和生活实例,了解归纳推理与类比推理的含义.2.能利用归纳方法进行简单推理,体会并认识归纳推理在数学发展中的作用.3.掌握类比推理的一般方法,会对一些简单问题进行类比,得出新的结论,培养学生的类比推理能力.重点:了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理.难点:用归纳、类比进行推理,作出猜想.历史上,人们提出过许多永动机的设计方案,有人采用“螺旋汲水器”的原理,有人利用轮子惯性原理,有人利用水的浮力或毛细作用的原理,但均以失败告终.于是人们纷纷认为:不可能制造出永动机.问题1:他们为什么认为不可能制造出永动机?通过大量失败的例子归纳推理得到的,并由后人提出的能量守恒定律彻底说明永动机不可制造.问题2:归纳推理、类比推理及其特点(1)归纳推理:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,我们把这种推理方式称为归纳推理.它具有以下几个特点:①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的,但是可以为我们的研究提供一种方向.(2)类比推理:由于两类不同对象具有某些类似的特性,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.它具有以下几个特点:①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性,是一种从特殊到特殊的推理.③类比的结果不一定正确,但它却有发现的功能.问题3:归纳推理、类比推理的一般步骤(1)归纳推理:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想);如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可能为真.归纳推理的一般思维过程:①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;③检验猜想.类比推理的一般思维过程:问题4:合情推理及其意义归纳推理和类比推理都是最常见的合情推理.合情推理是根据实验与实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.尽管合情推理的结果不一定正确,但是,在数学、科学、经济和社会的历史发展中,合情推理有非常重要的价值,它是科学发现和创造的基础.数学中有一条三角形定理:三角形的两边之和大于第三边,根本不存在一条边大于其他两边之和的三角形.这个数学原理被一位科学家成功地运用到社会科学领域.他认为,历史上如果三个割据势力并存,就形成了三足鼎立,这是一种比较稳定的结构.如果强者侵犯了弱者,被侵犯的弱者就会与另一个弱者联合起来.结盟之后,两边之和大于第三边,稳定的三足结构就不会被破坏.只有当强者的力量超过了两个弱者之和,三国鼎立的局面才会结束.这位科学家利用类比推理表达自己的思想,使抽象的道理具体化,使论述更加形象,收到了良好的表达效果.1.数列{a n}的前四项为,1,,,由此可以归纳出该数列的一个通项公式为().A.a n=B.a n=C.a n=D.a n=【解析】将前四项分别写成,,,,即可作出归纳.【答案】B2.由数列1,10,100,1000,…猜测该数列的第n项可能是().A.10nB.10n-1C.10n+1D.11n【答案】B3.已知点A(x1,)、B(x2,)是函数y=x2的图像上任意不同两点,依据图像可知,线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方,因此有结论>()2成立.运用类比思想方法可知,若点C(x1,lg x1)、D(x2,lg x2)是函数y=lg x(x>0)的图像上的不同两点,则类似地有成立.【解析】因为线段总是位于C、D两点之间函数图像的下方,所以有<lg.【答案】<lg4.观察圆周上n个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,由此可以归纳出什么规律?【解析】设f(n)为n个点可连的弦的条数,则f(2)=1=,f(3)=3=,f(4)=6=,f(5)=10=,…,故f(n)=.归纳推理的应用已知函数f(x)=,设f1(x)=f(x),f n(x)=f n-1[f n-1(x)](n>1,n∈N+),则f3(x)的表达式为,猜想f n(x)(n∈N+)的表达式为.【方法指导】写出f1(x),f2(x),f3(x),观察f n(x)的特点,从而归纳出f n(x).【解析】由f1(x)=f(x)得f2(x)=f1[f1(x)]==,f3(x)=f2[f2(x)]==,…,由此猜想f n(x)=(n∈N+).【答案】f3(x)=f n(x)=(n∈N+)【小结】归纳推理的一般步骤:(1)经过观察个别情况发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个有明确结论的一般性命题.利用类比推理猜想结论在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N+)成立,类比上述性质,相应地:在等比数列{b n}中,若b9=1,则有等式成立.【方法指导】寻找类比对象,理解等差数列性质,结合等比数列性质给出结论.【解析】等差数列用减法定义性质用加法表述(若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q);等比数列用除法定义性质用乘法表述(若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q).由此,猜测本题的答案为b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+).【答案】b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+)【小结】本题考查等差数列与等比数列的类比.类比问题的关键是找好对应的类比对象,理解类比前问题成立的条件也是个关键.通过类比方法解题通过计算可得下列等式:22-12=2×1+132-22=2×2+142-32=2×3+1……(n+1)2-n2=2×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)2-12=2×(1+2+3+…+n)+n,即1+2+3+…+n=.类比上述求法,请你求出12+22+32+…+n2的值.【方法指导】利用提示的思路求得(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1,再叠加即可.【解析】23-13=3×12+3×1+133-23=3×22+3×2+143-33=3×32+3×3+1……(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)3-13=3×(12+22+32+…+n2)+3×(1+2+3+…+n) +n,所以12+22+32+…+n2=[(n+1)3-1-n-3··n]=n(n+1)(2n+1).【小结】类比推理是由特殊到特殊的推理,其关键就是注重本质的推导方式,通过这种推导方式对解决另一个问题起到指导作用.(1)设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,……根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N+且n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))=.(2)观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个．．．等式．．为.【解析】(1)观察给定的各个函数解析式,可知分子都为x,分母都为关于x的一次式的形式且各个式子的常数项分别为2,4,8,16,…,这样f n(x)对应的函数的分母的常数为2n,x的系数比常数少1即为2n-1,因此f n(x)=f(f n-1(x))=.(2)由题中等式可知第i个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1+2+…+(i+1)的平方,所以第五个等式为13+23+33+43+53+63=212.【答案】(1)(2)13+23+33+43+53+63=212下列是用类比法进行猜测的几个结论:①由“a=b⇒ac=bc”类比得到“a>b⇒ac>bc”;②由“a(b+c)=ab+ac”类比得到“sin(A+B)=sin A+sin B”;③由“=(a>0,b>0,c>0)”类比得到“=(a>0,b>0,c>0)”;④由“分数的分子、分母同乘一个非零的数,分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子,分数值不变”.其中,正确结论的个数为().A.0B.1C.2D.3【解析】当c≤0时,①类比的结论不正确;②类比的结论是学生刚学习三角时经常出现的错误;③类比的结论也是学生在学习对数时常犯的错误,即类比推理的结论不一定正确;④类比的结论是正确的.【答案】B在平面上,若两个正三角形的边长之比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,求它们的体积之比.【解析】由类比推理得,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为1∶8.下面计算验证,假设两个正四面体的棱长分别为1和2,如图,正四面体ABCD的棱长为1,取BC的中点E,作AO⊥ED于O,则OD=ED=×=,又在Rt△AOD中,AO===,则V正四面体ABCD=S△BCD·AO=××=.同理,可算得棱长为2的正四面体的体积V正四面体A'B'C'D'=2.∴V正四面体ABCD∶V正四面体A'B'C'D'=∶=1∶8.1.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于().1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111A.1111110B.1111111C.1111112D.1111113【答案】B2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面体().A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点【解析】正四面体的四个面都是正三角形,其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心.【答案】C3.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=(n∈N+),可以猜测数列的通项a n的表达式为.【答案】a n=(n∈N+)4.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3,三侧面△SBC、△SAC、△SAB的面积分别为S1、S2、S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.【解析】在△DEF中,由正弦定理得==,于是类比三角形中的正弦定理,在四面体S-ABC 中,猜想:==.(xx年·陕西卷)观察下列等式:12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10……照此规律,第n个等式可为.【解析】设等式右边的数的绝对值构成数列{a n},∵a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,a n-a n-1=n,以上所有等式相加可得a n-a1=2+3+4+…+n,即a n=1+2+3+…+n=,再观察各式的符号可知第n个等式为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.【答案】12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·1.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于().A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有g(-x)=-g(x),故选D.【答案】D2.下图所示的是一串白黑相间排列的珠子,若按这种规律从左往右排起来,则第36颗珠子的颜色为().A.白色B.黑色C.白色的可能性大D.黑色的可能性大【解析】把三颗白珠子与两颗黑珠子看作一个整体,即5个珠子一个周期,故第36颗珠子与第1颗珠子的颜色相同.【答案】A3.已知经过计算和验证有下列正确的不等式:+<2,+<2,+<2,根据以上不等式的规律,写出对正实数m,n成立的条件不等式:.【答案】当m+n=20时,有+≤24.将全体正奇数排成一个三角形数阵:13 5791113151719……按照以上规律的排列,求第n(n≥3)行从左向右的第3个数.【解析】前n-1行有1+2+3+…+(n-1)=个数,加上第n行(n≥3)从左向右的3个数共有(-+3)个数,故第n(n≥3)行从左向右的第3个数为2(-+3)-1=n2-n+5.5.观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则7xx的末两位数字为().A.01B.43C.07D.49【解析】∵75=16807,76=117649,77=823543,78=5764801,…,发现74k-2的末两位数字为49,74k-1的末两位数为43,74k的末两位数为01,74k+1的末两位数为07,k∈N+,∵7xx=74×504-2,∴末两位数为49.【答案】D6.观察式子:1+<,1++<,1+++<,…,则可归纳出的式子为().A.1+++…+<(n≥2)B.1+++…+<(n≥2)C.1+++…+<(n≥2)D.1+++…+<(n≥2)【答案】C7.在平面几何体中,△ABC的内角∠C的平分线CE分AB所成线段的比=.把这个结论类比到空间:在三棱锥A—BCD中(如图),DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E,则得到类比的结论是.【答案】=8.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=-,且S n-1++2=0(n≥2,n∈N+),计算S1,S2,S3,S4,并猜想S n 的表达式.【解析】当n=1,S1=a1=-;当n=2时,=-2-S1=-,∴S2=-;当n=3时,=-2-S2=-,∴S3=-;当n=4时,=-2-S3=-,∴S4=-;猜想:S n=-(n∈N+).9.在公比为4的等比数列{b n}中,若T n是数列{b n}的前n项积,则有,,仍成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,在公差为3的等差数列{a n}中,若S n是{a n}的前n项和,则有也成等差数列,且该等差数列的公差为.【答案】S20-S10,S30-S20,S40-S3030010.在数列{a n}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和S满足=a n(S n-).(1)求,,,并求(不需证明);(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)当n≥2时,由a n=S n-S n-1和=a n(S n-),得=(S n-S n-1)(S n-),即=2+,所以=2+=2+1=3,=2+=5,=2+=7,……=2+=2n-1.(2)由(1)知S n=,当n≥2时,a n=S n-S n-1=-=-,显然a1=1不符合上述表达式,所以数列{a n}的通项公式为a n=。

3.3综合法与分析法课前预习学案一、预习目标：了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。

二、预习内容：证明方法可以分为直接证明和间接证明1．直接证明分为和2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义，公里，定理，推证结论的真实性。

3．综合法是从推导到的方法。

而分析法是一种从追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。

综合法是由导，分析法是执索。

三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用二、学习过程：例1．已知a,b∈R+≥例2 已知a,b,c∈R，求证：（1);a b≥+（2).++a b c课后练习与提高1．（A 级）函数⎩⎨⎧≥<<-=-0,;01,sin )(12x e x x x f x π，若,2)()1(=+a f f 则a 的所有可能值为 （ ）A ．1B ．22-C ．1,2-或D ．1,2或 2．（A 级）函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数 （ ）A ．)23,2(ππ B ．)2,(ππC ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ 3．（A 级）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ） A ．22- B ．335-C ．－3D ．27-4．（A 级）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x y 2sin = B ．xxe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(5．（A 级）设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定6．（A 级）已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。

3.1归纳与类比归纳推理教材依据“归纳推理”是北京师范大学出版社出版的普通中学课程标准实验教科书数学（选修1－2）第三章第一节的内容。

教学目标：1.知识与技能目标：理解归纳推理的原理，并能运用解决一些简单的问题。

2.过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”的理念。

3.情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

教学重点：归纳推理的原理教学难点：归纳推理的具体应用。

教法学法：自主、合作探究教学教学准备：多媒体电脑、课件、空间多面体模型等教学过程：1.创设情景：1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理”思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。

如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7， 16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……2.探求研究:探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。

教师指导，合作交流，归纳：22V V V =棱柱棱台棱锥＝－，32E E E =棱柱棱台棱锥＝，1F F F 棱柱棱台棱锥＝＝＋，F+V-E=2等等，其中“F+V -E=2”为“欧拉公式”。

3.概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。

定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。

陕西省榆林育才中学高中数学第3章《推理与证明》3.3综合法和分析法（2）导学案（无答案）北师大版选修1-2学习目标.2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.学习过程一、课前准备48 P50，找出疑惑之处）复习1：综合法是由导 ;复习2：基本不等式:新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因※典型例题例13526变式：求证3725<小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,1()2s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.※动手试试练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.练2. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：2224--+≥c a b ab三、总结提升※学习小结,P P⋅⋅⋅，直到所有的分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知12,已知P都成立.※知识拓展证明过程中分析法和综合法的区别:在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 可选择的方法有以下几种,其中最合理的是 A.综合法 B.分析法 C.反证法 D. 归纳法2.不等式①233x x +>;②2b a a b+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确2. 设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+。

3综合法与分析法综合法阅读下面的例题．例：若实数a，b满足a＋b＝2，证明：2a＋2b≥4.证明：因为a＋b＝2，所以2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝222＝4，故2a＋2b≥4成立．问题1：本题利用了什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．综合法(1)含义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法．(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”．(3)模式：综合法可以用以下的框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q其中P为条件，Q为结论.分析法你们看过侦探小说《福尔摩斯探案集》吗？福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了．有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据．问题1：福尔摩斯的推理如何入手？提示：从结论成立入手．问题2：他又是如何分析的？提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件．问题3：这种分析问题方法在数学问题的证明中可以借鉴吗？提示：可以．分析法(1)含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这种证明问题的思维方法称为分析法．(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．(3)模式：若用Q 表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．综合法的应用[例1] 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：a ＋b≥4.[思路点拨] 由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析] 法一：∵a ，b 为正数，且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4.法二：∵a ，b 为正数， ∴a ＋b ≥2ab ＞0，1a ＋1b ≥21ab＞0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三：∵a ，b 为正数，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． [一点通] 综合法的解题步骤1．在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明B ＝C .证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos Bcos C .于是sin B cos C －cos B sin C＝0，即sin(B －C )＝0，因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0，所以B ＝C .2．已知点P 是直角三角形ABC 所在平面外的一点，O 是斜边AB 的中点，并且PA ＝PB ＝PC .求证：PO ⊥平面ABC . 证明：连接OC ，如图所示，∵AB 是Rt △ABC 的斜边，O 是AB 的中点，∴OA ＝OB ＝OC . 又∵PA ＝PB ＝PC ，∴PO ⊥AB ，且△POA ≌△POC ， ∴∠POA ＝∠POC . ∴∠POC ＝90°，即PO ⊥AB ，PO ⊥OC ，且AB ∩OC ＝O ，所以PO ⊥平面ABC .分析法的应用[例2] 当a ＋b >0时，求证： a 2＋b 2≥22(a ＋b )． [思路点拨] 条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明，将要证明的不等式一步步转化为较简单的不等式．[精解详析] 要证 a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a ＋b 2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .因为a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， 所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． [一点通] 分析法是“执果索因”，一步步寻找结论成立的充分条件．它是从求证的结论出发，逆向分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书写表达式是“要证……，只需证……”．3．求证：3＋6<4＋ 5.证明：欲证不等式3＋6<4＋5成立， 只需证3＋218＋6<4＋220＋5成立， 即证18<20成立， 即证18<20成立．由于18<20成立，故3＋6<4＋ 5.4.如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ， 只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )．只需证AE ⊥平面SBC ， 只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )， 只需证BC ⊥平面SAB ， 只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC )， 由SA ⊥平面ABC 可知，BC ⊥SA 成立． ∴AF ⊥SC .综合法和分析法的应用[例3] 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，记A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.[思路点拨] 综合分析此题，利用等差数列的性质及余弦定理即可得证． [精解详析] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3， 即证明c a ＋b ＋ab ＋c＝1，所以只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 即证明c 2＋a 2＝ac ＋b 2.(*)∵△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， ∴∠B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. ∴b 2＝c 2＋a 2－ac .代入(*)式，等式成立． ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．故命题得证．[一点通] 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．5．设x ，y ∈(0，＋∞)，求证：12(x ＋y )2＋14(x ＋y )≥x y ＋y x .证明：原不等式等价于2(x ＋y )2＋x ＋y ≥4x y ＋4y x ，即证(x ＋y )[2(x ＋y )＋1]≥2xy (2x ＋2y )．∵x ，y ∈(0，＋∞)， ∴x ＋y ≥2xy >0.∴只需证2(x ＋y )＋1≥2x ＋2y ，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14≥x ＋y . ∵x ＋14≥x ，y ＋14≥y ，当且仅当x ＝y ＝14时，等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14≥x ＋y 成立． ∴12(x ＋y )2＋14(x ＋y )≥x y ＋y x . 6．证明函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数． 证明：∵x 2＋1>|x |， ∴x 2＋1＋x >0恒成立，∴f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )的定义域为R ， ∴要证函数y ＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数， 只需证f (－x )＝－f (x )，只需证log 2(x 2＋1－x )＋log 2(x 2＋1＋x )＝0， 只需证log 2[(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )]＝0， ∵(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )＝x 2＋1－x 2＝1， 而log 21＝0.∴上式成立．故函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数．分析法与综合法的优缺点：综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点．分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程．1．下列表述：①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正确的说法有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选C 由分析法、综合法的定义知①②③⑤正确.2．2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA ―→＋OC ―→＝OB ―→＋OD ―→，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形D ．平行四边形解析：选D ∵OA ―→＋OC ―→＝OB ―→＋OD ―→， ∴OA ―→－OB ―→＝OD ―→－OC ―→.∴BA ―→＝CD ―→. ∴四边形ABCD 为平行四边形．3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析：选C ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.4．用分析法证明命题“已知a －b ＝1.求证：a 2－b 2＋2a －4b －3＝0.”最后要具备的等式为( )A ．a ＝bB ．a ＋b ＝1C ．a ＋b ＝－3D ．a －b ＝1解析：选D 要证a 2－b 2＋2a －4b －3＝0，即证a 2＋2a ＋1＝b 2＋4b ＋4，即(a ＋1)2＝(b ＋2)2，即证|a ＋1|＝|b ＋2|， 即证a ＋1＝b ＋2或a ＋1＝－b －2，故a －b ＝1或a ＋b ＝－3，而a －b ＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件． 5．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥06．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．解析：∵a ＋b ＋c ＝0，a·b ＝0，∴c ＝－(a ＋b )． ∴|c |2＝(a ＋b )2＝1＋b 2. 由(a －b )·c ＝0，∴(a －b )·[－(a ＋b )]＝－|a |2＋|b |2＝0. ∴|a |2＝|b |2＝1. ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 答案：47．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大． 证明：设圆和正方形的周长为L ，则圆的面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2，正方形的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42，则本题即证π⎝⎛⎭⎪⎫L 2π2>⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42.要证π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2>⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42，只需证πL 24π2>L 216，只需证1π>14，即证4>π.因为4>π显然成立，所以π⎝⎛⎭⎪⎫L 2π2>⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42.故原命题成立．8．求证：x 2－3x ＋4x 2＋3x ＋4≤7.证明：因为x 2＋3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋74>0，所以要证x 2－3x ＋4x 2＋3x ＋4≤7，只需证x 2－3x ＋4≤7(x 2＋3x ＋4)， 只需证x 2＋4x ＋4≥0.因为x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0成立，所以x 2－3x ＋4x 2＋3x ＋4≤7成立．9．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图像关于y 轴对称．求证：f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．证明：要证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的对称轴为x ＝0. 只需证－b 2a －12＝0.只需证a ＝－b .∵函数f (x ＋1)与f (x )的图像关于y 轴对称， 即x ＝－b 2a －1与x ＝－b2a关于y 轴对称．∴－b 2a －1＝－－b2a，∴a ＝－b .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．。